基隆高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答 ○。用導數的定義看 $x=2$ 兩側的差商。$f(2)=0$，

$$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{|h|}{h}$$

$h\to 0^{+}$ 時這個值是 $1$，$h\to 0^{-}$ 時是 $-1$，左右極限不相等，極限不存在，所以 $f^{\prime }(2)$ 不存在。

答 ○。$f(x)$ 在 $x=a$ 可微，表示 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$ 存在。當 $x\ne a$ 時

$$f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)$$

$x\to a$ 時右邊趨近 $f^{\prime }(a)\cdot 0=0$，所以 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$，即 $f(x)$ 在 $x=a$ 連續。

答 ×。切線只要求在切點附近貼著圖形，在遠處仍可能再與圖形相交。

反例：$f(x)=x^3$，$f^{\prime }(x)=3x^2$，在 $(1,1)$ 的切線斜率 $f^{\prime }(1)=3$，切線為 $y=3x-2$。解 $x^3=3x-2$，即 $x^3-3x+2=0$，

$$x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)=0$$

得 $x=1$ 或 $x=-2$，切線 $y=3x-2$ 與圖形交於 $(1,1)$ 與 $(-2,-8)$ 兩點。

答 ×。由導數的定義，

$$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)}=f^{\prime }(-1)$$

由圖形，函數在 $x=0$ 附近有極小值，在它的左邊圖形往右下降；$x=-1$ 在這一段裡，所以 $f^{\prime }(-1)<0$，原式小於 $0$。

答案 (C)。$f^{\prime }(0)$ 存在，函數在 $x=0$ 至少要有定義、要連續，而且左右兩側的切線斜率要相同。

(A) $x=0$ 處是空心點，$f(0)$ 沒有定義，$f^{\prime }(0)$ 不存在。

(B) $f(0)$ 是 $y$ 軸上方那個實心點，但 $x\to 0$ 時圖形趨近空心點的高度，與 $f(0)$ 不相等，函數在 $0$ 不連續，所以不可微。

(C) 圖形在 $(0,0)$ 平滑地轉折，這裡是極大點，切線是水平線，$f^{\prime }(0)=0$ 存在。

(D) 圖形在原點是尖角，左邊斜率為負、右邊斜率為正，左右不相等，$f^{\prime }(0)$ 不存在。

(E) 左段的實心點與右段的空心點高度不同，函數在 $0$ 跳一格、不連續，所以不可微。

答案 (A)。由導數的定義，所求就是 $f^{\prime }(2)$。

$$f^{\prime }(x)=-3x^2-6x+9$$

$f^{\prime }(2)=-12-12+9=-15$。

答案 (E)。$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$。

$4x^2\ge 0$，所以 $f^{\prime }(x)$ 的正負由 $x-3$ 決定：$x>3$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 嚴格遞增；$x<3$ 且 $x\ne 0$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 遞減。

五個區間中只有 (E) $(3,5)$ 落在 $x>3$ 裡。

答案 (B)。由 $y=f(x)$ 的圖形：

$x<0$ 時圖形上升，$f^{\prime }(x)>0$；$0<x<2$ 時圖形下降，$f^{\prime }(x)<0$；$x>2$ 時圖形上升，$f^{\prime }(x)>0$。$x=0$（高峰）與 $x=2$（低谷）切線水平，$f^{\prime }(0)=f^{\prime }(2)=0$。

所以 $f^{\prime }(x)$ 的圖形與 $x$ 軸交於 $(0,0)$、$(2,0)$，兩交點之間在 $x$ 軸下方、兩側在上方，是開口向上的拋物線，即 (B)。

答案 (B)(D)。

(A) 錯誤。 極值只和附近的函數值比較，不同位置的極小值可以比極大值大。例：$f(x)=3x^5-25x^3+60x$，$f^{\prime }(x)=15x^4-75x^2+60=15(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)$，$f^{\prime }(x)$ 在 $x=-2$ 由正變負、在 $x=2$ 由負變正，所以 $f(-2)=-16$ 是極大值，$f(2)=16$ 是極小值，極小值比極大值大。

(B) 正確。 多項式函數處處可微。若 $f^{\prime }(a)>0$，$f$ 在 $a$ 附近遞增，左邊的函數值比 $f(a)$ 小、右邊的比 $f(a)$ 大，$f(a)$ 不是極值；$f^{\prime }(a)<0$ 也一樣。所以有極值的地方一定 $f^{\prime }(a)=0$。

(C) 錯誤。 反例 $f(x)=x^4$：$f^{\prime \prime }(x)=12x^2$，$f^{\prime \prime }(0)=0$，但 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $0$ 的兩側都大於 $0$，圖形在 $0$ 的兩側都凹口向上，凹凸性沒有改變，$(0,0)$ 不是反曲點。

(D) 正確。 反曲點兩側凹凸相反，也就是 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $a$ 的兩側一正一負。$f^{\prime \prime }(x)$ 是多項式，圖形連續，由正變負（或由負變正）時一定通過 $0$，所以 $f^{\prime \prime }(a)=0$。

(E) 錯誤。 反例 $f(x)=x^3$：$f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$，函數一路遞增，沒有極大值也沒有極小值。

答案 (A)(B)(D)(E)。$x=-1$、$x=3$ 是極值點，所以 $f^{\prime }(-1)=f^{\prime }(3)=0$，

$$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=3a(x+1)(x-3)=3a{x}^2-6ax-9a$$

比較係數得 $b=-3a$、$c=-9a$。再由 $f(-1)=15$、$f(3)=-17$：

$$f(-1)=-a+b-c+d=5a+d=15,f(3)=27a+9b+3c+d=-27a+d=-17$$

兩式相減得 $32a=32$，$a=1$，$d=10$，於是 $b=-3$、$c=-9$，$f(x)=x^3-3x^2-9x+10$。

(A) 正確。 $a=1>0$。（也可以直接看：先極大後極小，$f^{\prime }(x)$ 在 $-1$ 由正變負，$3a(x+1)(x-3)$ 在兩根之外為正，所以 $a>0$。）

(B) 正確。 $b^2-3ac=9+27=36>0$。

(C) 錯誤。 $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$，$x<1$ 時 $f^{\prime \prime }(x)<0$ 凹向下，$x>1$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 凹向上。在 $(1,3)$ 這一段是凹向上，所以整個 $(-1,3)$ 不是凹向下。

(D) 正確。 $f^{\prime \prime }(1)=0$，且 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $1$ 的兩側變號，$f(1)=1-3-9+10=-1$，反曲點為 $(1,-1)$。

(E) 正確。 極大值 $15>0$、極小值 $-17<0$。$f$ 在 $(-\infty ,-1)$ 遞增，$x$ 很小時 $f(x)<0$，到 $f(-1)=15>0$，中間有一個根；在 $(-1,3)$ 由 $15$ 降到 $-17$，有一個根；在 $(3,\infty )$ 由 $-17$ 遞增到很大的正數，又有一個根。共 $3$ 個實根。

$f^{\prime }(1)$ 存在，$f$ 在 $x=1$ 一定連續，而且左右兩側算出來的導數要相等。

連續：$x$ 從右邊趨近 $1$ 時 $ax+b$ 趨近 $a+b$，要等於 $f(1)=1^2=1$，所以 $a+b=1$。

導數：左側 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x+1)=2$；右側用 $b=1-a$，

$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{ax+b-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{a(x-1)}{x-1}=a$$

兩側相等，$a=2$，$b=1-2=-1$。所以 $(a,b)=(2,-1)$。

先確認 $P$ 在圖形上：$f(1)=2-4+3=1$。切線斜率是 $f^{\prime }(1)$：

$$f^{\prime }(x)=6x^2-8x,f^{\prime }(1)=6-8=-2$$

過 $(1,1)$、斜率 $-2$ 的直線是 $y-1=-2(x-1)$，即 $y=-2x+3$。

$f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x+2)(x-2)$，$f^{\prime }(x)=0$ 時 $x=-2$、$0$、$2$。看 $f^{\prime }(x)$ 的正負：

$x<-2$ 時 $f^{\prime }(x)<0$；$-2<x<0$ 時 $f^{\prime }(x)>0$；$0<x<2$ 時 $f^{\prime }(x)<0$；$x>2$ 時 $f^{\prime }(x)>0$。

$f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 由正變負，所以 $x=0$ 時有相對極大值 $f(0)=5$。

設切去的小正方形邊長為 $x$ 公分，紙盒的底是邊長 $30-2x$ 的正方形、高是 $x$，其中 $0<x<15$。容積

$$V(x)=x(30-2x{)}^2=4x^3-120x^2+900x$$

$V^{\prime }(x)=12x^2-240x+900=12(x-5)(x-15)$。在 $0<x<5$ 時 $V^{\prime }(x)>0$（遞增），在 $5<x<15$ 時 $V^{\prime }(x)<0$（遞減），所以 $x=5$ 時容積最大：

$$V(5)=5\times 20^2=2000$$

最大容積為 $2000$ 立方公分。

答案 (B)。製造第 $501$ 臺的實際成本，是做 $501$ 臺與做 $500$ 臺的總成本之差：

$$f(501)-f(500)=-0.3(501^2-500^2)+400(501-500)$$

$501^2-500^2=(501+500)(501-500)=1001$，所以

$$f(501)-f(500)=-0.3\times 1001+400=-300.3+400=99.7$$

實際成本為 $99.7$ 美元。

總成本函數對 $x$ 的變化率就是導函數：

$$f^{\prime }(x)=-0.6x+400$$

$$f^{\prime }(500)=-0.6\times 500+400=-300+400=100$$

所以 $x=500$ 時的邊際成本為 $100$ 美元。