段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮級數、函數的概念與合成、函數的極限、連續函數）

基隆高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

是非題 8 題（每題 5 分，共 40 分）、單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、多選題 3 題（每題 6 分，共 18 分）、選填題 4 題（每格 5 分，共 20 分）、混合題 2 小題（各 6 分，共 12 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、是非題（每題 5 分，共 40 分。）

⟨ \frac{2 n + 1}{n - 2} ⟩

為收斂數列。

級數

k = 1 \sum \infty 1

收斂。

若數列

⟨ r^{n} ⟩

為收斂數列，則

- 1 < r \leq 1

。

極限

n \to \infty lim (1 + \frac{7}{n})^{n}

不存在。

n \to \infty lim (n + 1 - n) = 0

。

f (x) = ∣ x ∣

是偶函數。

函數

f (x) = - x^{2} + 2 x + 3

之定義域為

{x ∣ - 3 \leq x \leq 1, x \in R}

。

如果

f (x)

、

g (x)

皆為多項式函數，且

f (x)

的次數為

m

、

g (x)

的次數為

n

，則

(f \circ g) (x)

的次數為

m + n

。

二、單選題（每題 5 分，共 10 分。）

設

x

為方程式

x \cdot 5^{x} = 5^{12}

的正實根，且

x

落在兩個連續正整數

n

與

n + 1

之間，則

n =

(A) $8$
(B) $9$
(C) $10$
(D) $11$
(E) $12$

某人從原點

O

出發，向南走

16

公尺，再向東走

8

公尺，再向北走

4

公尺，再向西走

2

公尺，再依序向南、向東、向北、向西、……繼續不斷，每次路程均為前次之半，最後幾乎停止於

A

點，則

A

，

O

兩點距離為何？

(A) $\frac{16}{5}$
(B) $\frac{16 5}{5}$
(C) $\frac{32}{5}$
(D) $\frac{32 5}{5}$
(E) 無法計算

三、多選題（每題 6 分，共 18 分。答錯一個選項得 4 分，答錯兩個選項得 2 分。答錯兩個選項以上不給分）

若

a

，

b

，

c

，

d

為實數，已知

n \to \infty lim \frac{a n ^{3} + b n ^{2} - c n - d}{6 n ^{2}} = 2

，試選出必定正確的選項。

(A) $a = 0$
(B) $b = 12$
(C) $c = 0$
(D) $d = 0$
(E) $n \to \infty lim \frac{a n ^{3} + b n ^{2} + c n + d}{2 n ^{2}} = 6$

函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - x, - x, 3 x - 4, x \leq - 1 - 1 < x \leq 1 x > 1

，則下列何者正確？

(A) $f (1) = 0$
(B) $x \to 1^{-} lim f (x) = - 1$
(C) $x \to 1 lim f (x)$ 不存在
(D) $x \to 0^{+} lim f (x) = 0$
(E) $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 連續

已知兩數列

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

，下列哪些選項正確？

(A) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列，且 $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} \cdot b_{n} ⟩$ 可為收斂數列
(B) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，且 $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 必為收斂數列
(C) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，且 $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ \frac{a _{n}}{b _{n}} ⟩$ 必為收斂數列
(D) 若 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 為發散數列，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，且 $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列
(E) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列，且 $⟨ \frac{a _{n}}{b _{n}} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 可為收斂數列

四、選填題（請將正確答案劃記至相對應的題號內，每格答案皆須化到最簡：每格 5 分，共 20 分。）｜原卷題號為甲、乙、丙、丁，本頁依序編為第 14、15、16、17 題。

1 \times 0. \overline{1} + 2 \times 0. \overline{2} + 3 \times 0. \overline{3} + \dots\dots + 9 \times 0. \overline{9} =

____。（化成最簡分數；原卷的答案格為分數，分子兩格、分母一格）

求級數

1 \times 29 + 2 \times 28 + 3 \times 27 + 4 \times 26 + \dots\dots + 10 \times 20 =

____。（原卷的答案格為四格）

n \to \infty lim \frac{1 + 2 + 3 + \dots\dots + 3 n}{2 + 5 + 8 + \dots\dots + ( 3 n - 1 )} =

____。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3 x + a}{x - 2}, b, x \neq = 2 x = 2

，且

f (x)

在

x = 2

處連續，則數對

(a, b) =

____。（原卷的答案格為「（兩格，一格）」）

五、混合題（共 12 分）｜原卷小題編號為 (25)、(26)，本頁依序編為第 18、19 題。

第 18～19 題為題組（混合題）（第 18～19 題）　某地區由測得的數據發現在

p

人（單位：千人）生活的社區裡，空氣中平均的一氧化碳濃度為

C (p) = 0.3 p + 1

（ppm），又估算從現在開始

t

年後，社區人口將成長為

p (t) = 7 + 0.2 t^{2}

（千人），則：

試將空氣中一氧化碳濃度用時間函數描述。（計算題，6 分）

幾年後，濃度將達到

4.6

ppm？（單選，6 分）

(A) $3$ 年
(B) $5$ 年
(C) $8$ 年
(D) $10$ 年
(E) $12$ 年

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 9 題(C)

第 10 題(D)

第 11 題(A)(B)(E)

第 12 題(B)(D)(E)

第 13 題(A)(B)

第 14 題

\frac{95}{3}

第 15 題

1265

第 16 題

3

第 17 題

(- 6, 3)

第 18 題

C (p (t)) = 0.06 t^{2} + 3.1

（ppm）

第 19 題(B)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：數列與級數的收斂

第 1 題1對。分子分母同除以

n

：

\frac{2 n + 1}{n - 2} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{2}{n}}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{n} \to 0

、

\frac{2}{n} \to 0

，所以極限是

\frac{2 + 0}{1 - 0} = 2

，數列收斂。

這個式子在

n = 2

時分母為

0

、沒有定義；數列收斂與否只看

n

很大以後的項，從第

3

項起看即可，不影響結論。學校公布的答案也是「對」。

第 2 題2錯。級數收斂的意思是部分和數列收斂。前

n

項的和

S_{n} = n 個 1 + 1 + \dots + 1 = n

，

n \to \infty

時

S_{n}

越來越大、不趨近任何定值，所以級數發散。

也可以看一般項：級數收斂時一般項必趨近

0

，這裡每一項都是

1

，不趨近

0

。

第 3 題1對。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

：

∣ r ∣ < 1

時收斂到

0

；

r = 1

時每項都是

1

，收斂到

1

；

r = - 1

時各項是

- 1, 1, - 1, \dots

，發散；

∣ r ∣ > 1

時

∣ r^{n} ∣

越來越大，發散。所以

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件正是

- 1 < r \leq 1

。

第 4 題2錯。課本由連續複利介紹常數

e

：

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e \approx 2.718

。令

m = \frac{n}{7}

（

m

不一定是整數；

m

為正實數趨近無限大時

(1 + \frac{1}{m})^{m}

同樣趨近

e

），則

(1 + \frac{7}{n})^{n} = (1 + \frac{1}{m})^{7 m} = [(1 + \frac{1}{m})^{m}]^{7}

；

n \to \infty

時

m \to \infty

，中括號內趨近

e

，所以極限是

e^{7}

，極限存在。

這是本金

1

、年利率

700%

、一年複利

n

次的本利和；複利次數越多本利和越大，但不會無限制變大，會趨近

e^{7} \approx 1096.6

。

第 5 題1對。

\infty - \infty

的形狀不能直接相減，先有理化：

n + 1 - n = \frac{( n + 1 - n ) ( n + 1 + n )}{n + 1 + n} = \frac{1}{n + 1 + n}

。

n \to \infty

時分母越來越大，所以極限是

0

。

02是非第 6～8 題：偶函數、定義域、合成函數的次數

第 6 題1對。

f (x) = ∣ x ∣

的定義域是全體實數，而且對每個實數

x

都有

f (- x) = ∣ - x ∣ = ∣ x ∣ = f (x)

，所以是偶函數（圖形對稱於

y

軸）。

第 7 題2錯。根號內不可為負：

- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0

，即

x^{2} - 2 x - 3 \leq 0

，

(x - 3) (x + 1) \leq 0

，得

- 1 \leq x \leq 3

。定義域是

{x ∣ - 1 \leq x \leq 3, x \in R}

，不是

- 3 \leq x \leq 1

。

用一個數檢查：

x = - 3

時根號內是

- 9 - 6 + 3 = - 12 < 0

，沒有意義，所以

- 3

不在定義域內。

第 8 題2錯。

(f \circ g) (x) = f (g (x))

是把

n

次的

g (x)

代進

m

次的

f

裡，最高次項來自

(g (x))^{m}

，次數是

mn

，不是

m + n

。例如

f (x) = x^{3}

、

g (x) = x^{3}

，

f (g (x)) = x^{9}

是

9

次，而

m + n = 6

。

m + n

是兩個多項式相乘

f (x) \cdot g (x)

的次數。

03單選第 9、10 題：夾出方程式的根、走路問題的等比級數

第 9 題答案 (C)。令

g (x) = x \cdot 5^{x}

。

x > 0

時

x

與

5^{x}

都是正的而且都隨

x

變大而變大，所以

g (x)

遞增，正實根只有一個。把右邊寫成

5^{12} = 25 \cdot 5^{10}

來比較：

g (10) = 10 \cdot 5^{10} < 25 \cdot 5^{10}

；

g (11) = 11 \cdot 5^{11} = 55 \cdot 5^{10} > 25 \cdot 5^{10}

。因此根

x

在

10

與

11

之間，

n = 10

。

g (9)

、

g (10)

都比

5^{12}

小，

g (11)

、

g (12)

都比

5^{12}

大，所以大小關係是在

10

與

11

之間改變的。

第 10 題答案 (D)。以

O

為原點，東為

x

軸正向、北為

y

軸正向。南北方向的位移依序是

- 16, + 4, - 1, \dots

，是首項

- 16

、公比

- \frac{1}{4}

的無窮等比級數，和為

\frac{- 16}{1 - ( - \frac{1}{4} )} = - \frac{64}{5}

。東西方向的位移依序是

+ 8, - 2, + \frac{1}{2}, \dots

，是首項

8

、公比

- \frac{1}{4}

的無窮等比級數，和為

\frac{8}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{32}{5}

。所以

A (\frac{32}{5}, - \frac{64}{5})

，

\overline{O A} = \frac{32}{5} 1^{2} + 2^{2} = \frac{32 5}{5}

（公尺）。

每次路程是前次的一半，但同一個方向（南北或東西）隔一次才輪到，而且方向相反，所以各方向的公比是

- \frac{1}{4}

，不是

\frac{1}{2}

。(C) 只是東西方向的位移。

04多選第 11～13 題：反推係數、分段函數的極限與連續、收斂發散的判斷

第 11 題答案 (A)(B)(E)。

\frac{a n ^{3} + b n ^{2} - c n - d}{6 n ^{2}} = \frac{a}{6} n + \frac{b}{6} - \frac{c}{6 n} - \frac{d}{6 n ^{2}}

。若

a \neq = 0

，第一項

\frac{a}{6} n

會無限制變大（或變小），其餘各項都趨近定值，數列發散；極限存在，所以

a = 0

，(A) 正確。此時極限是

\frac{b}{6} = 2

，

b = 12

，(B) 正確。

- \frac{c}{6 n}

與

- \frac{d}{6 n ^{2}}

不論

c

、

d

是多少都趨近

0

，所以

c

、

d

可以是任意實數，不一定是

0

，(C)、(D) 不是必定正確。(E) 代入

a = 0

、

b = 12

：

\frac{12 n ^{2} + c n + d}{2 n ^{2}} = 6 + \frac{c}{2 n} + \frac{d}{2 n ^{2}} \to 6

，正確。

例如

c = 5

、

d = - 3

時原式仍趨近

2

，所以 (C)、(D) 不能選。

第 12 題答案 (B)(D)(E)。(A)

x = 1

屬於

- 1 < x \leq 1

這一段，

f (1) = - 1

，不是

0

，錯誤。(B)

x

從左邊接近

1

時用

f (x) = - x

，

x \to 1^{-} lim f (x) = - 1

，正確。(C)

x

從右邊接近

1

時用

f (x) = 3 x - 4

，

x \to 1^{+} lim f (x) = 3 - 4 = - 1

；左右極限都是

- 1

，所以

x \to 1 lim f (x) = - 1

，極限存在，錯誤。(D)

0

的附近都在

- 1 < x \leq 1

這一段，

x \to 0^{+} lim f (x) = - 0 = 0

，正確。(E)

x \to 1 lim f (x) = - 1 = f (1)

，所以

f (x)

在

x = 1

連續，正確。

這個函數不連續的地方在

x = - 1

：左極限是

1 - (- 1) = 2

，右極限是

- (- 1) = 1

，兩者不相等。

第 13 題答案 (A)(B)。(A) 題目問的是「可為」，舉得出例子即可：

a_{n} = (- 1)^{n}

發散、

b_{n} = \frac{1}{n}

收斂到

0

，而

a_{n} b_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

收斂到

0

，正確。(B) 兩個收斂數列的和仍收斂，極限是兩極限的和，正確。(C) 相除時要求分母的極限不為

0

：

a_{n} = 1

、

b_{n} = \frac{1}{n}

都收斂，但

\frac{a _{n}}{b _{n}} = n

發散，錯誤。(D) 若

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

都收斂，由 (B) 知

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

也收斂，與前提矛盾；所以

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

發散時，兩個數列至少有一個發散，結論不可能成立，錯誤。(E) 假設

⟨ b_{n} ⟩

收斂，則

a_{n} = \frac{a _{n}}{b _{n}} \cdot b_{n}

是兩個收斂數列的乘積，必收斂，與

⟨ a_{n} ⟩

發散矛盾；所以

⟨ b_{n} ⟩

不可能收斂，錯誤。

收斂數列的和、差、積一定收斂；商要另外確認分母的極限不是

0

。(E) 用的是「積一定收斂」這一條反推。

05選填第 14～17 題（原卷甲、乙、丙、丁）：循環小數、求和公式、先求和再取極限、連續的條件

第 14 題循環小數

0. \overline{k} = \frac{k}{9}

（

k = 1, 2, \dots, 9

；其中

0. \overline{9} = \frac{9}{9} = 1

）。所以原式

= k = 1 \sum 9 k \cdot \frac{k}{9} = \frac{1}{9} k = 1 \sum 9 k^{2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} = \frac{285}{9} = \frac{95}{3}

。

0. \overline{1} = 0.111 \dots

是首項

0.1

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.1}{1 - 0.1} = \frac{1}{9}

；其餘各數是它的

k

倍。

第 15 題第

k

項是

k (30 - k)

，

k = 1, 2, \dots, 10

。原式

= k = 1 \sum 10 (30 k - k^{2}) = 30 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} - \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 1650 - 385 = 1265

。

每一項的兩個因數相加都是

30

：

1 + 29

、

2 + 28

、……、

10 + 20

。

第 16 題分子是

1

加到

3 n

，共

3 n

項：

\frac{3 n ( 3 n + 1 )}{2}

。分母是首項

2

、公差

3

、末項

3 n - 1

的等差級數，共

n

項：

\frac{n ( 2 + ( 3 n - 1 ) )}{2} = \frac{n ( 3 n + 1 )}{2}

。兩者相除得

\frac{3 n ( 3 n + 1 )}{n ( 3 n + 1 )} = 3

，對每個

n

都是

3

，所以極限是

3

。

分子與分母各自都趨近無限大，不能分開取極限；先各自求和、化成一個式子再取極限。

第 17 題

f (x)

在

x = 2

連續，表示

x \to 2 lim \frac{3 x + a}{x - 2}

存在且等於

f (2) = b

。

x \to 2

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

3 \cdot 2 + a = 0

，

a = - 6

。此時

\frac{3 x - 6}{x - 2} = \frac{3 ( x - 2 )}{x - 2} = 3

（

x \neq = 2

），極限是

3

，所以

b = 3

。

(a, b) = (- 6, 3)

。

若分子不趨近

0

，分式的絕對值會隨

x

接近

2

而無限制變大，極限不存在。原卷的答案格依序填負號、

6

、

3

。

06混合題第 18、19 題（原卷 (25)、(26)）：合成函數

第 18 題濃度由人口決定，人口由時間決定，所以把

p (t)

代入

C (p)

：

(C \circ p) (t) = C (p (t)) = 0.3 (7 + 0.2 t^{2}) + 1 = 2.1 + 0.06 t^{2} + 1 = 0.06 t^{2} + 3.1

。即

t

年後的一氧化碳濃度為

0.06 t^{2} + 3.1

（ppm），其中

t \geq 0

。

檢查：現在（

t = 0

）人口

7

千人，濃度

0.3 \times 7 + 1 = 3.1

ppm，與式子代

t = 0

相同。

第 19 題答案 (B)。由第 18 題，令

0.06 t^{2} + 3.1 = 4.6

，得

0.06 t^{2} = 1.5

，

t^{2} = 25

；

t \geq 0

，所以

t = 5

，即

5

年後。

也可以分兩步：濃度

4.6

時

0.3 p + 1 = 4.6

，

p = 12

（千人）；再由

7 + 0.2 t^{2} = 12

得

t^{2} = 25

，

t = 5

。

一個量由第二個量決定、第二個量又由第三個量決定時，把裡面的函數整個代進外面的函數，就是合成函數。

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基隆高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題的極限是存在的，值是常數 e 的七次方；第 8 題合成函數的次數是相乘不是相加；第 10 題同一個方向隔一次才輪到而且反向，公比是負四分之一；第 13 題選項 E 要用乘積一定收斂來反推。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自基隆高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮級數、函數的概念與合成、函數的極限、連續函數）

基隆高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、是非題（每題 5 分，共 40 分。）

⟨ \frac{2 n + 1}{n - 2} ⟩

為收斂數列。

級數

k = 1 \sum \infty 1

收斂。

若數列

⟨ r^{n} ⟩

為收斂數列，則

- 1 < r \leq 1

。

極限

n \to \infty lim (1 + \frac{7}{n})^{n}

不存在。

n \to \infty lim (n + 1 - n) = 0

。

f (x) = ∣ x ∣

是偶函數。

函數

f (x) = - x^{2} + 2 x + 3

之定義域為

{x ∣ - 3 \leq x \leq 1, x \in R}

。

如果

f (x)

、

g (x)

皆為多項式函數，且

f (x)

的次數為

m

、

g (x)

的次數為

n

，則

(f \circ g) (x)

的次數為

m + n

。

二、單選題（每題 5 分，共 10 分。）

設

x

為方程式

x \cdot 5^{x} = 5^{12}

的正實根，且

x

落在兩個連續正整數

n

與

n + 1

之間，則

n =

(A) $8$
(B) $9$
(C) $10$
(D) $11$
(E) $12$

某人從原點

O

出發，向南走

16

公尺，再向東走

8

公尺，再向北走

4

公尺，再向西走

2

公尺，再依序向南、向東、向北、向西、……繼續不斷，每次路程均為前次之半，最後幾乎停止於

A

點，則

A

，

O

兩點距離為何？

(A) $\frac{16}{5}$
(B) $\frac{16 5}{5}$
(C) $\frac{32}{5}$
(D) $\frac{32 5}{5}$
(E) 無法計算

三、多選題（每題 6 分，共 18 分。答錯一個選項得 4 分，答錯兩個選項得 2 分。答錯兩個選項以上不給分）

若

a

，

b

，

c

，

d

為實數，已知

n \to \infty lim \frac{a n ^{3} + b n ^{2} - c n - d}{6 n ^{2}} = 2

，試選出必定正確的選項。

(A) $a = 0$
(B) $b = 12$
(C) $c = 0$
(D) $d = 0$
(E) $n \to \infty lim \frac{a n ^{3} + b n ^{2} + c n + d}{2 n ^{2}} = 6$

函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - x, - x, 3 x - 4, x \leq - 1 - 1 < x \leq 1 x > 1

，則下列何者正確？

(A) $f (1) = 0$
(B) $x \to 1^{-} lim f (x) = - 1$
(C) $x \to 1 lim f (x)$ 不存在
(D) $x \to 0^{+} lim f (x) = 0$
(E) $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 連續

已知兩數列

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

，下列哪些選項正確？

(A) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列，且 $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} \cdot b_{n} ⟩$ 可為收斂數列
(B) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，且 $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 必為收斂數列
(C) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，且 $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ \frac{a _{n}}{b _{n}} ⟩$ 必為收斂數列
(D) 若 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 為發散數列，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，且 $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列
(E) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列，且 $⟨ \frac{a _{n}}{b _{n}} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 可為收斂數列

1 \times 0. \overline{1} + 2 \times 0. \overline{2} + 3 \times 0. \overline{3} + \dots\dots + 9 \times 0. \overline{9} =

____。（化成最簡分數；原卷的答案格為分數，分子兩格、分母一格）

求級數

1 \times 29 + 2 \times 28 + 3 \times 27 + 4 \times 26 + \dots\dots + 10 \times 20 =

____。（原卷的答案格為四格）

n \to \infty lim \frac{1 + 2 + 3 + \dots\dots + 3 n}{2 + 5 + 8 + \dots\dots + ( 3 n - 1 )} =

____。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3 x + a}{x - 2}, b, x \neq = 2 x = 2

，且

f (x)

在

x = 2

處連續，則數對

(a, b) =

____。（原卷的答案格為「（兩格，一格）」）

五、混合題（共 12 分）｜原卷小題編號為 (25)、(26)，本頁依序編為第 18、19 題。

第 18～19 題為題組（混合題）（第 18～19 題）　某地區由測得的數據發現在

p

人（單位：千人）生活的社區裡，空氣中平均的一氧化碳濃度為

C (p) = 0.3 p + 1

（ppm），又估算從現在開始

t

年後，社區人口將成長為

p (t) = 7 + 0.2 t^{2}

（千人），則：

試將空氣中一氧化碳濃度用時間函數描述。（計算題，6 分）

幾年後，濃度將達到

4.6

ppm？（單選，6 分）

(A) $3$ 年
(B) $5$ 年
(C) $8$ 年
(D) $10$ 年
(E) $12$ 年

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 9 題(C)

第 10 題(D)

第 11 題(A)(B)(E)

第 12 題(B)(D)(E)

第 13 題(A)(B)

第 14 題

\frac{95}{3}

第 15 題

1265

第 16 題

3

第 17 題

(- 6, 3)

第 18 題

C (p (t)) = 0.06 t^{2} + 3.1

（ppm）

第 19 題(B)

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01是非第 1～5 題：數列與級數的收斂

第 1 題1對。分子分母同除以

n

：

\frac{2 n + 1}{n - 2} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{2}{n}}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{n} \to 0

、

\frac{2}{n} \to 0

，所以極限是

\frac{2 + 0}{1 - 0} = 2

，數列收斂。

這個式子在

n = 2

時分母為

0

、沒有定義；數列收斂與否只看

n

很大以後的項，從第

3

項起看即可，不影響結論。學校公布的答案也是「對」。

第 2 題2錯。級數收斂的意思是部分和數列收斂。前

n

項的和

S_{n} = n 個 1 + 1 + \dots + 1 = n

，

n \to \infty

時

S_{n}

越來越大、不趨近任何定值，所以級數發散。

也可以看一般項：級數收斂時一般項必趨近

0

，這裡每一項都是

1

，不趨近

0

。

第 3 題1對。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

：

∣ r ∣ < 1

時收斂到

0

；

r = 1

時每項都是

1

，收斂到

1

；

r = - 1

時各項是

- 1, 1, - 1, \dots

，發散；

∣ r ∣ > 1

時

∣ r^{n} ∣

越來越大，發散。所以

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件正是

- 1 < r \leq 1

。

第 4 題2錯。課本由連續複利介紹常數

e

：

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e \approx 2.718

。令

m = \frac{n}{7}

（

m

不一定是整數；

m

為正實數趨近無限大時

(1 + \frac{1}{m})^{m}

同樣趨近

e

），則

(1 + \frac{7}{n})^{n} = (1 + \frac{1}{m})^{7 m} = [(1 + \frac{1}{m})^{m}]^{7}

；

n \to \infty

時

m \to \infty

，中括號內趨近

e

，所以極限是

e^{7}

，極限存在。

這是本金

1

、年利率

700%

、一年複利

n

次的本利和；複利次數越多本利和越大，但不會無限制變大，會趨近

e^{7} \approx 1096.6

。

第 5 題1對。

\infty - \infty

的形狀不能直接相減，先有理化：

n + 1 - n = \frac{( n + 1 - n ) ( n + 1 + n )}{n + 1 + n} = \frac{1}{n + 1 + n}

。

n \to \infty

時分母越來越大，所以極限是

0

。

02是非第 6～8 題：偶函數、定義域、合成函數的次數

第 6 題1對。

f (x) = ∣ x ∣

的定義域是全體實數，而且對每個實數

x

都有

f (- x) = ∣ - x ∣ = ∣ x ∣ = f (x)

，所以是偶函數（圖形對稱於

y

軸）。

第 7 題2錯。根號內不可為負：

- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0

，即

x^{2} - 2 x - 3 \leq 0

，

(x - 3) (x + 1) \leq 0

，得

- 1 \leq x \leq 3

。定義域是

{x ∣ - 1 \leq x \leq 3, x \in R}

，不是

- 3 \leq x \leq 1

。

用一個數檢查：

x = - 3

時根號內是

- 9 - 6 + 3 = - 12 < 0

，沒有意義，所以

- 3

不在定義域內。

第 8 題2錯。

(f \circ g) (x) = f (g (x))

是把

n

次的

g (x)

代進

m

次的

f

裡，最高次項來自

(g (x))^{m}

，次數是

mn

，不是

m + n

。例如

f (x) = x^{3}

、

g (x) = x^{3}

，

f (g (x)) = x^{9}

是

9

次，而

m + n = 6

。

m + n

是兩個多項式相乘

f (x) \cdot g (x)

的次數。

03單選第 9、10 題：夾出方程式的根、走路問題的等比級數

第 9 題答案 (C)。令

g (x) = x \cdot 5^{x}

。

x > 0

時

x

與

5^{x}

都是正的而且都隨

x

變大而變大，所以

g (x)

遞增，正實根只有一個。把右邊寫成

5^{12} = 25 \cdot 5^{10}

來比較：

g (10) = 10 \cdot 5^{10} < 25 \cdot 5^{10}

；

g (11) = 11 \cdot 5^{11} = 55 \cdot 5^{10} > 25 \cdot 5^{10}

。因此根

x

在

10

與

11

之間，

n = 10

。

g (9)

、

g (10)

都比

5^{12}

小，

g (11)

、

g (12)

都比

5^{12}

大，所以大小關係是在

10

與

11

之間改變的。

第 10 題答案 (D)。以

O

為原點，東為

x

軸正向、北為

y

軸正向。南北方向的位移依序是

- 16, + 4, - 1, \dots

，是首項

- 16

、公比

- \frac{1}{4}

的無窮等比級數，和為

\frac{- 16}{1 - ( - \frac{1}{4} )} = - \frac{64}{5}

。東西方向的位移依序是

+ 8, - 2, + \frac{1}{2}, \dots

，是首項

8

、公比

- \frac{1}{4}

的無窮等比級數，和為

\frac{8}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{32}{5}

。所以

A (\frac{32}{5}, - \frac{64}{5})

，

\overline{O A} = \frac{32}{5} 1^{2} + 2^{2} = \frac{32 5}{5}

（公尺）。

每次路程是前次的一半，但同一個方向（南北或東西）隔一次才輪到，而且方向相反，所以各方向的公比是

- \frac{1}{4}

，不是

\frac{1}{2}

。(C) 只是東西方向的位移。

04多選第 11～13 題：反推係數、分段函數的極限與連續、收斂發散的判斷

第 11 題答案 (A)(B)(E)。

\frac{a n ^{3} + b n ^{2} - c n - d}{6 n ^{2}} = \frac{a}{6} n + \frac{b}{6} - \frac{c}{6 n} - \frac{d}{6 n ^{2}}

。若

a \neq = 0

，第一項

\frac{a}{6} n

會無限制變大（或變小），其餘各項都趨近定值，數列發散；極限存在，所以

a = 0

，(A) 正確。此時極限是

\frac{b}{6} = 2

，

b = 12

，(B) 正確。

- \frac{c}{6 n}

與

- \frac{d}{6 n ^{2}}

不論

c

、

d

是多少都趨近

0

，所以

c

、

d

可以是任意實數，不一定是

0

，(C)、(D) 不是必定正確。(E) 代入

a = 0

、

b = 12

：

\frac{12 n ^{2} + c n + d}{2 n ^{2}} = 6 + \frac{c}{2 n} + \frac{d}{2 n ^{2}} \to 6

，正確。

例如

c = 5

、

d = - 3

時原式仍趨近

2

，所以 (C)、(D) 不能選。

第 12 題答案 (B)(D)(E)。(A)

x = 1

屬於

- 1 < x \leq 1

這一段，

f (1) = - 1

，不是

0

，錯誤。(B)

x

從左邊接近

1

時用

f (x) = - x

，

x \to 1^{-} lim f (x) = - 1

，正確。(C)

x

從右邊接近

1

時用

f (x) = 3 x - 4

，

x \to 1^{+} lim f (x) = 3 - 4 = - 1

；左右極限都是

- 1

，所以

x \to 1 lim f (x) = - 1

，極限存在，錯誤。(D)

0

的附近都在

- 1 < x \leq 1

這一段，

x \to 0^{+} lim f (x) = - 0 = 0

，正確。(E)

x \to 1 lim f (x) = - 1 = f (1)

，所以

f (x)

在

x = 1

連續，正確。

這個函數不連續的地方在

x = - 1

：左極限是

1 - (- 1) = 2

，右極限是

- (- 1) = 1

，兩者不相等。

第 13 題答案 (A)(B)。(A) 題目問的是「可為」，舉得出例子即可：

a_{n} = (- 1)^{n}

發散、

b_{n} = \frac{1}{n}

收斂到

0

，而

a_{n} b_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

收斂到

0

，正確。(B) 兩個收斂數列的和仍收斂，極限是兩極限的和，正確。(C) 相除時要求分母的極限不為

0

：

a_{n} = 1

、

b_{n} = \frac{1}{n}

都收斂，但

\frac{a _{n}}{b _{n}} = n

發散，錯誤。(D) 若

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

都收斂，由 (B) 知

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

也收斂，與前提矛盾；所以

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

發散時，兩個數列至少有一個發散，結論不可能成立，錯誤。(E) 假設

⟨ b_{n} ⟩

收斂，則

a_{n} = \frac{a _{n}}{b _{n}} \cdot b_{n}

是兩個收斂數列的乘積，必收斂，與

⟨ a_{n} ⟩

發散矛盾；所以

⟨ b_{n} ⟩

不可能收斂，錯誤。

收斂數列的和、差、積一定收斂；商要另外確認分母的極限不是

0

。(E) 用的是「積一定收斂」這一條反推。

05選填第 14～17 題（原卷甲、乙、丙、丁）：循環小數、求和公式、先求和再取極限、連續的條件

第 14 題循環小數

0. \overline{k} = \frac{k}{9}

（

k = 1, 2, \dots, 9

；其中

0. \overline{9} = \frac{9}{9} = 1

）。所以原式

= k = 1 \sum 9 k \cdot \frac{k}{9} = \frac{1}{9} k = 1 \sum 9 k^{2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} = \frac{285}{9} = \frac{95}{3}

。

0. \overline{1} = 0.111 \dots

是首項

0.1

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.1}{1 - 0.1} = \frac{1}{9}

；其餘各數是它的

k

倍。

第 15 題第

k

項是

k (30 - k)

，

k = 1, 2, \dots, 10

。原式

= k = 1 \sum 10 (30 k - k^{2}) = 30 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} - \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 1650 - 385 = 1265

。

每一項的兩個因數相加都是

30

：

1 + 29

、

2 + 28

、……、

10 + 20

。

第 16 題分子是

1

加到

3 n

，共

3 n

項：

\frac{3 n ( 3 n + 1 )}{2}

。分母是首項

2

、公差

3

、末項

3 n - 1

的等差級數，共

n

項：

\frac{n ( 2 + ( 3 n - 1 ) )}{2} = \frac{n ( 3 n + 1 )}{2}

。兩者相除得

\frac{3 n ( 3 n + 1 )}{n ( 3 n + 1 )} = 3

，對每個

n

都是

3

，所以極限是

3

。

分子與分母各自都趨近無限大，不能分開取極限；先各自求和、化成一個式子再取極限。

第 17 題

f (x)

在

x = 2

連續，表示

x \to 2 lim \frac{3 x + a}{x - 2}

存在且等於

f (2) = b

。

x \to 2

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

3 \cdot 2 + a = 0

，

a = - 6

。此時

\frac{3 x - 6}{x - 2} = \frac{3 ( x - 2 )}{x - 2} = 3

（

x \neq = 2

），極限是

3

，所以

b = 3

。

(a, b) = (- 6, 3)

。

若分子不趨近

0

，分式的絕對值會隨

x

接近

2

而無限制變大，極限不存在。原卷的答案格依序填負號、

6

、

3

。

06混合題第 18、19 題（原卷 (25)、(26)）：合成函數

第 18 題濃度由人口決定，人口由時間決定，所以把

p (t)

代入

C (p)

：

(C \circ p) (t) = C (p (t)) = 0.3 (7 + 0.2 t^{2}) + 1 = 2.1 + 0.06 t^{2} + 1 = 0.06 t^{2} + 3.1

。即

t

年後的一氧化碳濃度為

0.06 t^{2} + 3.1

（ppm），其中

t \geq 0

。

檢查：現在（

t = 0

）人口

7

千人，濃度

0.3 \times 7 + 1 = 3.1

ppm，與式子代

t = 0

相同。

第 19 題答案 (B)。由第 18 題，令

0.06 t^{2} + 3.1 = 4.6

，得

0.06 t^{2} = 1.5

，

t^{2} = 25

；

t \geq 0

，所以

t = 5

，即

5

年後。

也可以分兩步：濃度

4.6

時

0.3 p + 1 = 4.6

，

p = 12

（千人）；再由

7 + 0.2 t^{2} = 12

得

t^{2} = 25

，

t = 5

。

一個量由第二個量決定、第二個量又由第三個量決定時，把裡面的函數整個代進外面的函數，就是合成函數。

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01是非第 1～5 題：數列與級數的收斂

02是非第 6～8 題：偶函數、定義域、合成函數的次數

03單選第 9、10 題：夾出方程式的根、走路問題的等比級數

04多選第 11～13 題：反推係數、分段函數的極限與連續、收斂發散的判斷

05選填第 14～17 題（原卷甲、乙、丙、丁）：循環小數、求和公式、先求和再取極限、連續的條件

06混合題第 18、19 題（原卷 (25)、(26)）：合成函數

同一次段考的其他學校

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常見問題

基隆高中 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

基隆高中 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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基隆高中 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

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基隆高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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高三第一次段考
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