段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）、指數函數

基隆高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 基隆高中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 基隆高中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題底數小於一的指數函數值也可以超過一百，只是發生在自變數為負的時候；第 8 題八弧度要先扣掉一整圈再看象限；第 13 題要由圖形起點定出括號裡的常數，再代零求與縱軸的交點；第 15 題是往回推六十年，兩城各要除以成長倍數；第 17 題走到終點時剛好站在第七個山頂，要算進去。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

是非題 5 題（每題 4 分，共 20 分）、單一選擇題 7 題（每題 5 分，共 35 分）、多重選擇題 2 題（每題 10 分，共 20 分）、填充題 5 題（每小題 5 分，共 25 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、是非題：（對選「是」、錯選「否」；每題 4 分；共 20 分）

廣義角

π

與

- 3 π

互為同界角。

半徑為

3

，圓心角為

3 0^{\circ}

的扇形之弧長為

90

。

函數

y = sin 3 x

，圖形對稱於直線

x = \frac{π}{6}

。

y = sin x + 2

的圖形可由

y = sin x

的圖形向右平移

2

單位而得。

指數函數

y = (0.99)^{x}

的圖形與

y = 100

不相交。

二、單一選擇題：（每題 5 分；共 35 分）

半徑

4

，圓心角

θ = 7 2^{\circ}

，求

θ

所對的扇形面積是？

(A) $\frac{2 π}{5}$
(B) $\frac{4 π}{5}$
(C) $\frac{8 π}{5}$
(D) $\frac{16 π}{5}$

不等式

(\frac{1}{27})^{x - 8} > (\frac{1}{3})^{x + 2}

的解為？

(A) $x > \frac{50}{7}$
(B) $x < \frac{50}{7}$
(C) $x > 10$
(D) $x < 10$

點

P (cos 8, sin 8)

位在第幾象限？

(A) 一
(B) 二
(C) 三
(D) 四

將

21 0^{\circ}

化為弳應為何？

(A) $\frac{5 π}{6}$
(B) $\frac{5 π}{3}$
(C) $\frac{7 π}{6}$
(D) $\frac{7 π}{3}$

如右圖，兩個同心圓的半徑分別是

4

和

6

，且

A B

的長度為

6

（註：卷面

A B

上沒有印弧的記號，依選項與學校公布的答案，這裡指弧

A B

的長度），求陰影部分的面積為

(A) $10$
(B) $20$
(C) $10 π$
(D) $20 π$

載入中...

以下有關

a = 4^{3}

，

b = 0.2 5^{0.5}

，

c = 4^{- 3}

三數的大小關係，試選出正確的選項。

(A) $a < b < c$
(B) $a < c < b$
(C) $c < b < a$
(D) $b < a < c$

設

a > 0

且

a \neq = 1

，關於指數函數

y = f (x) = a^{x}

圖形的敘述，下面哪個選項是正確的？

(A) $f (x)$ 通過原點 $(0, 0)$
(B) 與直線 $y = π$ 恰有一交點
(C) 隨著 $x$ 值愈大，與 $x$ 軸的距離愈小
(D) 與直線 $x - y = 0$ 恰有一交點

三、多重選擇題：（每題 10 分，共 20 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上得 0 分）

如圖是函數

y = a sin (b x + c)

在一個週期內的圖形，其中

a > 0

、

b > 0

、

∣ c ∣ < π

。試選出正確的選項為下列何者？

(A) $a = 4$
(B) $b = \frac{π}{6}$
(C) $c = 1$
(D) $c = - b$
(E) 此函數與 $y$ 軸交於 $(0, - 1)$ 。

載入中...

設函數

f (x) = 2 sin 3 x - 1

，關於

f (x)

的描述下列哪些選項是正確的？

(A) 定義域為任意實數
(B) 振幅為 $2$
(C) 頻率為 $\frac{3}{2 π}$
(D) 值域為 $[- 2, 2]$
(E) 週期為 $2 π$

四、填充題（每小題 5 分，共 25 分）

根據過去

100

年的紀錄，城市 A 的人口每經過

20

年，人口增加為原來的

2

倍；城市 B 的人口每經過

30

年，人口增加為原來的

\frac{5}{4}

倍。若在今年兩城市人口一樣，則

60

年前，A 城市的人口是 B 城市人口的 ____ 倍。

已知四個函數

y = 2^{x}

，

y = (2)^{x}

，

y = 2^{- 0.5 x}

，

y = 2^{- x}

的圖形如圖，則序組

(a, b, c, d) =

____。

載入中...

將

y = sin \frac{x}{2}

的圖形想像成高高低低的山，從原點開始順著函數圖形往右走到

x = 25 π

，則總共會登頂（最高點） ____ 次？

已知

0 \leq x \leq 2.5 π

，如果

sin x = k

有三組解，由小到大依序是

α

、

β

、

γ

且

α + β + γ = \frac{19}{6} π

，則數對

(α, k) =

____。

求值：

23 tan \frac{π}{3} - 22 sin \frac{7 π}{6} + 2 cos \frac{5 π}{4} + 2 sin \frac{3 π}{2} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 6 題(D)

第 7 題(D)

第 8 題(B)

第 9 題(C)

第 10 題(A)

第 11 題(C)

第 12 題(B)

第 13 題(B)(D)(E)

第 14 題(A)(B)(C)

第 15 題

\frac{25}{128}

第 16 題

(\frac{2}{2}, \frac{1}{2}, 2, 2)

第 17 題

7

第 18 題

(\frac{π}{6}, \frac{1}{2})

第 19 題

4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：同界角、弧長、對稱軸、平移、指數函數的值域

第 1 題1是。兩角相差

π - (- 3 π) = 4 π = 2 \times 2 π

，是

2 π

的整數倍，所以互為同界角。

兩個角的終邊都落在

x

軸的負向上。

第 2 題2否。弧長公式

s = r θ

的

θ

要用弧度：

3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

，弧長

= 3 \times \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，不是

90

。

90

是把

30

度直接乘上半徑

3

的結果。整個圓的周長才

6 π \approx 18.8

，弧長不可能是

90

。

第 3 題1是。

x = \frac{π}{6}

時

y = sin \frac{3 π}{6} = sin \frac{π}{2} = 1

，是最大值。正弦函數的圖形對稱於通過最高點（或最低點）的鉛直線，所以圖形對稱於直線

x = \frac{π}{6}

。

y = sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

，對稱軸每隔半個週期

\frac{π}{3}

有一條：

x = \frac{π}{6}

、

\frac{π}{2}

、

\frac{5 π}{6}

、…。

第 4 題2否。

y = sin x + 2

是把每一點的

y

坐標加

2

，圖形是由

y = sin x

向上平移

2

單位而得。向右平移

2

單位得到的是

y = sin (x - 2)

。

y = sin x + 2

的值在

1

到

3

之間，而左右平移不會改變值的範圍（仍是

- 1

到

1

），兩者不可能相同。

第 5 題2否。底數

0.99

介於

0

與

1

之間，

y = (0.99)^{x}

的圖形由左到右一路下降，

x

越往負的方向走函數值越大，可以超過任何正數；它的函數值可以是任意正數。

100

是正數，所以圖形與水平線

y = 100

相交，而且恰交於一點。

交點的

x

坐標是負的。

(0.99)^{x} = (\frac{100}{99})^{- x}

，

x

取很小的負數時就是把比

1

大的數連乘很多次。

02單選第 6～9 題：扇形面積、指數不等式、弧度角的象限、度化弧度

第 6 題答案 (D)。

7 2^{\circ} = 72 \times \frac{π}{180} = \frac{2 π}{5}

。扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{2 π}{5} = \frac{16 π}{5}

。

也可以用比例：

7 2^{\circ}

是整圈的

\frac{1}{5}

，面積是整個圓

16 π

的

\frac{1}{5}

。(C) 是弧長

4 \times \frac{2 π}{5}

。

第 7 題答案 (D)。兩邊都化成以

3

為底：

\frac{1}{27} = 3^{- 3}

，

\frac{1}{3} = 3^{- \frac{1}{2}}

。原式成為

3^{- 3 (x - 8)} > 3^{- \frac{1}{2} (x + 2)}

。底數

3 > 1

，指數大的值就大，所以

- 3 (x - 8) > - \frac{1}{2} (x + 2)

。兩邊同乘

2

：

- 6 x + 48 > - x - 2

，移項得

50 > 5 x

，即

x < 10

。

也可以化成以

\frac{1}{3}

為底：

\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^{6}

，底數小於

1

時不等號要反向，得

6 (x - 8) < x + 2

，同樣是

x < 10

。

第 8 題答案 (B)。

8

是

8

弧度。一圈是

2 π \approx 6.28

，

8 - 2 π \approx 1.72

，與

8

弧度是同界角。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 1.72 < π \approx 3.14

，所以是第二象限角，

cos 8 < 0

、

sin 8 > 0

，點

P

在第二象限。

1.72

弧度約是

98. 4^{\circ}

，只比

9 0^{\circ}

多一點；

π

取

3.14

就足以判斷。

第 9 題答案 (C)。

18 0^{\circ} = π

弳，所以

21 0^{\circ} = 210 \times \frac{π}{180} = \frac{7 π}{6}

弳。

03單選第 10～12 題：扇形相減、指數比大小、指數函數的圖形

第 10 題答案 (A)。

A

、

B

在半徑

6

的大圓上，弧

A B

長

6

，由

s = r θ

得圓心角

θ = \frac{6}{6} = 1

（弧度）。陰影部分是大扇形

O A B

扣掉小扇形

O C D

，兩個扇形的圓心角都是

1

：面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times 1 - \frac{1}{2} \times 4^{2} \times 1 = 18 - 8 = 10

。

卷面印的是「

A B

的長度為

6

」，

A B

上沒有弧的記號。若當成線段（弦）

\overline{A B} = 6

，

△ O A B

是正三角形、圓心角

\frac{π}{3}

，面積會是

\frac{10 π}{3}

，四個選項都不符；所以這裡的

A B

是指弧

A B

，答案與學校公布的相同。

第 11 題答案 (C)。都化成以

4

為底：

0.25 = \frac{1}{4} = 4^{- 1}

，所以

b = 4^{- 0.5}

。三個指數是

3 \approx 1.73

、

- 0.5 \approx - 0.71

、

- 3 \approx - 1.73

，大小為

- 3 < - 0.5 < 3

。底數

4 > 1

，指數越大值越大，所以

c < b < a

。

a

的指數是正的，

a > 1

；

b

、

c

的指數是負的，都小於

1

。

第 12 題答案 (B)。(A)

f (0) = a^{0} = 1

，圖形通過

(0, 1)

，不通過原點，錯誤。(B) 不論

a > 1

（圖形一路上升）或

0 < a < 1

（圖形一路下降），

a^{x}

的值都可以是任意正數，而且不同的

x

對應不同的值；

π

是正數，所以圖形與水平線

y = π

恰有一個交點，正確。(C) 只有

0 < a < 1

時才成立；

a > 1

時

x

愈大函數值愈大，與

x

軸的距離愈大，錯誤。(D) 直線

x - y = 0

就是

y = x

。取

a = 2

：

x \leq 0

時

2^{x} > 0 \geq x

；

x > 0

時，設整數

n \leq x < n + 1

（

n \geq 0

），則

2^{x} \geq 2^{n} \geq n + 1 > x

（

2^{n}

依序是

1, 2, 4, 8, \dots

，都不小於

n + 1

），

y = 2^{x}

的圖形整個在直線

y = x

的上方，一個交點也沒有，錯誤。

(D) 在

0 < a < 1

時確實恰有一個交點，但題目是對所有

a > 0

、

a \neq = 1

問的，有一個反例就不成立。

比大小、解不等式都先化成同一個底數：底數大於

1

時指數大的值大，底數在

0

與

1

之間時相反。

04多選第 13、14 題：由圖形決定係數、正弦函數的各項性質

第 13 題答案 (B)(D)(E)。(A) 圖形最高到

2

、最低到

- 2

，且

a > 0

，所以

a = 2

，錯誤。(B) 圖形從

x = 1

到

x = 13

是一個週期，週期

= 12

；

b > 0

，由

\frac{2 π}{b} = 12

得

b = \frac{π}{6}

，正確。(C)(D) 圖形在

x = 1

從

0

開始上升，就是

y = 2 sin \frac{π}{6} x

的圖形（在

x = 0

從

0

開始上升）向右平移

1

單位：

y = 2 sin \frac{π}{6} (x - 1) = 2 sin (\frac{π}{6} x - \frac{π}{6})

，所以

c = - \frac{π}{6} = - b

，而且

∣ c ∣ < π

符合條件；(D) 正確，(C) 錯誤。(E) 代

x = 0

：

y = 2 sin (- \frac{π}{6}) = 2 \times (- \frac{1}{2}) = - 1

，與

y

軸交於

(0, - 1)

，正確。

檢查：

x = 4

時

y = 2 sin \frac{π}{2} = 2

是最高點，

x = 10

時

y = 2 sin \frac{3 π}{2} = - 2

是最低點，與圖相符。滿足「

x = 1

時括號內是

0

加上

2 π

的整數倍」的

c

還有

- \frac{π}{6} \pm 2 π

等，但絕對值都超過

π

，所以

c

只有

- \frac{π}{6}

。圖上只畫了

x = 1

到

13

這一段，(E) 問的是整個函數在

x = 0

的值。

第 14 題答案 (A)(B)(C)。(A) 任何實數

x

都可以代入，定義域是全體實數，正確。(B)

sin 3 x

前面的係數是

2

，振幅為

2

；後面的

- 1

只是把圖形往下移，不改變振幅，正確。(C)(E) 週期

= \frac{2 π}{3}

，所以 (E) 錯誤；頻率是週期的倒數

\frac{3}{2 π}

，(C) 正確。(D)

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，乘以

2

再減

1

得

- 3 \leq f (x) \leq 1

，值域是

[- 3, 1]

，錯誤。

(D) 的

[- 2, 2]

是

y = 2 sin 3 x

的值域，少了往下移的

1

。(E) 的

2 π

是

y = sin x

的週期；

x

的係數是

3

，圖形左右壓縮成

\frac{1}{3}

，週期也變成

\frac{1}{3}

。

2 π

剛好是三個週期，圖形也會重複，但課本說的週期是指最小的正週期

\frac{2 π}{3}

，所以 (E) 不對。

y = a sin (b x + c) + d

：振幅看

∣ a ∣

，週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

，頻率是週期的倒數，值域是

d - ∣ a ∣

到

d + ∣ a ∣

。

05填充第 15、16 題：指數成長往回推、由圖形辨認底數

第 15 題設今年兩城市的人口都是

P

。

60

年是

3

個

20

年，A 城市這段期間成長為

2^{3} = 8

倍，所以

60

年前 A 的人口是

\frac{P}{8}

。

60

年是

2

個

30

年，B 城市這段期間成長為

(\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}

倍，所以

60

年前 B 的人口是

P \div \frac{25}{16} = \frac{16 P}{25}

。所求

= \frac{P}{8} \div \frac{16 P}{25} = \frac{1}{8} \times \frac{25}{16} = \frac{25}{128}

（倍）。

A 成長得比較快，今年才追平，所以

60

年前 A 的人口比較少，答案小於

1

是合理的。若把倍數顛倒，會得到

\frac{128}{25}

。

第 16 題先把四個函數都寫成「底數的

x

次方」：

y = 2^{x}

的底數是

2

；

y = (2)^{x}

的底數是

2

；

y = 2^{- 0.5 x} = (2^{- 0.5})^{x}

，底數是

\frac{1}{2} = \frac{2}{2}

；

y = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}

，底數是

\frac{1}{2}

。圖中

y = c^{x}

與

y = d^{x}

由左到右上升，底數大於

1

；取

x = 1

比較，函數值就是底數，

y = c^{x}

在

y

軸右邊升得比較快、位置比較高，所以

c = 2

、

d = 2

。

y = a^{x}

與

y = b^{x}

由左到右下降，底數在

0

與

1

之間；取

x = - 1

比較，函數值是底數的倒數，

y = b^{x}

在

y

軸左邊位置比較高，

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，所以

\frac{1}{b} = 2

、

\frac{1}{a} = 2

，即

b = \frac{1}{2}

、

a = \frac{2}{2}

。答：

(a, b, c, d) = (\frac{2}{2}, \frac{1}{2}, 2, 2)

。

學校公布的答案把

a

寫成

\frac{1}{2}

，與

\frac{2}{2}

相等。

y = 2^{- x}

與

y = 2^{x}

、

y = 2^{- 0.5 x}

與

y = (2)^{x}

各自對稱於

y

軸，圖上也看得出左右成對。

06填充第 17～19 題：數最高點、用對稱找解、特殊角

第 17 題

y = sin \frac{x}{2}

的週期是

\frac{2 π}{\frac{1}{2}} = 4 π

。最高點出現在

\frac{x}{2} = \frac{π}{2}

，即

x = π

，之後每隔一個週期

4 π

再出現一次：

x = π

、

5 π

、

9 π

、

13 π

、

17 π

、

21 π

、

25 π

。從

x = 0

走到

x = 25 π

共經過

7

個最高點，登頂

7

次。

25 π = π + 6 \times 4 π

，終點

x = 25 π

剛好就是第

7

個最高點，要算進去。若只用

25 π \div 4 π = 6.25

取整數，會少算一次。

第 18 題畫出

y = sin x

在

0 \leq x \leq 2.5 π

的圖形，看水平線

y = k

與它交幾點。

k < 0

時交點都在

π

與

2 π

之間，最多

2

個；

k = 1

時交於

x = \frac{π}{2}

、

\frac{5 π}{2}

共

2

點；

k = 0

時交於

x = 0

、

π

、

2 π

，和是

3 π

，不等於

\frac{19}{6} π

。所以

0 < k < 1

：這時在

0

到

π

之間有兩個解

α

、

β

，在

2 π

到

2.5 π

之間有一個解

γ

，剛好三個。圖形在

0

到

π

這一段對稱於直線

x = \frac{π}{2}

，所以

α + β = π

；正弦函數的週期是

2 π

，所以

γ = α + 2 π

。代入：

α + β + γ = π + α + 2 π = 3 π + α = \frac{19}{6} π

，得

α = \frac{π}{6}

，

k = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。答：

(α, k) = (\frac{π}{6}, \frac{1}{2})

。

驗算：三個解是

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

、

\frac{13 π}{6}

，都在

0

到

2.5 π

之間，和是

\frac{19 π}{6}

。

第 19 題

tan \frac{π}{3} = 3

。

\frac{7 π}{6} = 21 0^{\circ}

在第三象限，

sin \frac{7 π}{6} = - sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

。

\frac{5 π}{4} = 22 5^{\circ}

在第三象限，

cos \frac{5 π}{4} = - cos 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

。

sin \frac{3 π}{2} = - 1

。原式

= 23 \times 3 - 22 \times (- \frac{1}{2}) + 2 \times (- \frac{2}{2}) + 2 \times (- 1) = 6 + 2 - 2 - 2 = 4

。

第二項是減去一個負數，變成加

2

，正好與第三項的

- 2

抵消。

正弦圖形上同一高度的點，靠對稱軸與週期就能互相表示，不必一個一個解。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

基隆高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題底數小於一的指數函數值也可以超過一百，只是發生在自變數為負的時候；第 8 題八弧度要先扣掉一整圈再看象限；第 13 題要由圖形起點定出括號裡的常數，再代零求與縱軸的交點；第 15 題是往回推六十年，兩城各要除以成長倍數；第 17 題走到終點時剛好站在第七個山頂，要算進去。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）、指數函數

基隆高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、是非題：（對選「是」、錯選「否」；每題 4 分；共 20 分）

廣義角

π

與

- 3 π

互為同界角。

半徑為

3

，圓心角為

3 0^{\circ}

的扇形之弧長為

90

。

函數

y = sin 3 x

，圖形對稱於直線

x = \frac{π}{6}

。

y = sin x + 2

的圖形可由

y = sin x

的圖形向右平移

2

單位而得。

指數函數

y = (0.99)^{x}

的圖形與

y = 100

不相交。

二、單一選擇題：（每題 5 分；共 35 分）

半徑

4

，圓心角

θ = 7 2^{\circ}

，求

θ

所對的扇形面積是？

(A) $\frac{2 π}{5}$
(B) $\frac{4 π}{5}$
(C) $\frac{8 π}{5}$
(D) $\frac{16 π}{5}$

不等式

(\frac{1}{27})^{x - 8} > (\frac{1}{3})^{x + 2}

的解為？

(A) $x > \frac{50}{7}$
(B) $x < \frac{50}{7}$
(C) $x > 10$
(D) $x < 10$

點

P (cos 8, sin 8)

位在第幾象限？

(A) 一
(B) 二
(C) 三
(D) 四

將

21 0^{\circ}

化為弳應為何？

(A) $\frac{5 π}{6}$
(B) $\frac{5 π}{3}$
(C) $\frac{7 π}{6}$
(D) $\frac{7 π}{3}$

如右圖，兩個同心圓的半徑分別是

4

和

6

，且

A B

的長度為

6

（註：卷面

A B

上沒有印弧的記號，依選項與學校公布的答案，這裡指弧

A B

的長度），求陰影部分的面積為

(A) $10$
(B) $20$
(C) $10 π$
(D) $20 π$

載入中...

以下有關

a = 4^{3}

，

b = 0.2 5^{0.5}

，

c = 4^{- 3}

三數的大小關係，試選出正確的選項。

(A) $a < b < c$
(B) $a < c < b$
(C) $c < b < a$
(D) $b < a < c$

設

a > 0

且

a \neq = 1

，關於指數函數

y = f (x) = a^{x}

圖形的敘述，下面哪個選項是正確的？

(A) $f (x)$ 通過原點 $(0, 0)$
(B) 與直線 $y = π$ 恰有一交點
(C) 隨著 $x$ 值愈大，與 $x$ 軸的距離愈小
(D) 與直線 $x - y = 0$ 恰有一交點

三、多重選擇題：（每題 10 分，共 20 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上得 0 分）

如圖是函數

y = a sin (b x + c)

在一個週期內的圖形，其中

a > 0

、

b > 0

、

∣ c ∣ < π

。試選出正確的選項為下列何者？

(A) $a = 4$
(B) $b = \frac{π}{6}$
(C) $c = 1$
(D) $c = - b$
(E) 此函數與 $y$ 軸交於 $(0, - 1)$ 。

載入中...

設函數

f (x) = 2 sin 3 x - 1

，關於

f (x)

的描述下列哪些選項是正確的？

(A) 定義域為任意實數
(B) 振幅為 $2$
(C) 頻率為 $\frac{3}{2 π}$
(D) 值域為 $[- 2, 2]$
(E) 週期為 $2 π$

四、填充題（每小題 5 分，共 25 分）

根據過去

100

年的紀錄，城市 A 的人口每經過

20

年，人口增加為原來的

2

倍；城市 B 的人口每經過

30

年，人口增加為原來的

\frac{5}{4}

倍。若在今年兩城市人口一樣，則

60

年前，A 城市的人口是 B 城市人口的 ____ 倍。

已知四個函數

y = 2^{x}

，

y = (2)^{x}

，

y = 2^{- 0.5 x}

，

y = 2^{- x}

的圖形如圖，則序組

(a, b, c, d) =

____。

載入中...

將

y = sin \frac{x}{2}

的圖形想像成高高低低的山，從原點開始順著函數圖形往右走到

x = 25 π

，則總共會登頂（最高點） ____ 次？

已知

0 \leq x \leq 2.5 π

，如果

sin x = k

有三組解，由小到大依序是

α

、

β

、

γ

且

α + β + γ = \frac{19}{6} π

，則數對

(α, k) =

____。

求值：

23 tan \frac{π}{3} - 22 sin \frac{7 π}{6} + 2 cos \frac{5 π}{4} + 2 sin \frac{3 π}{2} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 6 題(D)

第 7 題(D)

第 8 題(B)

第 9 題(C)

第 10 題(A)

第 11 題(C)

第 12 題(B)

第 13 題(B)(D)(E)

第 14 題(A)(B)(C)

第 15 題

\frac{25}{128}

第 16 題

(\frac{2}{2}, \frac{1}{2}, 2, 2)

第 17 題

7

第 18 題

(\frac{π}{6}, \frac{1}{2})

第 19 題

4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：同界角、弧長、對稱軸、平移、指數函數的值域

第 1 題1是。兩角相差

π - (- 3 π) = 4 π = 2 \times 2 π

，是

2 π

的整數倍，所以互為同界角。

兩個角的終邊都落在

x

軸的負向上。

第 2 題2否。弧長公式

s = r θ

的

θ

要用弧度：

3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

，弧長

= 3 \times \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，不是

90

。

90

是把

30

度直接乘上半徑

3

的結果。整個圓的周長才

6 π \approx 18.8

，弧長不可能是

90

。

第 3 題1是。

x = \frac{π}{6}

時

y = sin \frac{3 π}{6} = sin \frac{π}{2} = 1

，是最大值。正弦函數的圖形對稱於通過最高點（或最低點）的鉛直線，所以圖形對稱於直線

x = \frac{π}{6}

。

y = sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

，對稱軸每隔半個週期

\frac{π}{3}

有一條：

x = \frac{π}{6}

、

\frac{π}{2}

、

\frac{5 π}{6}

、…。

第 4 題2否。

y = sin x + 2

是把每一點的

y

坐標加

2

，圖形是由

y = sin x

向上平移

2

單位而得。向右平移

2

單位得到的是

y = sin (x - 2)

。

y = sin x + 2

的值在

1

到

3

之間，而左右平移不會改變值的範圍（仍是

- 1

到

1

），兩者不可能相同。

第 5 題2否。底數

0.99

介於

0

與

1

之間，

y = (0.99)^{x}

的圖形由左到右一路下降，

x

越往負的方向走函數值越大，可以超過任何正數；它的函數值可以是任意正數。

100

是正數，所以圖形與水平線

y = 100

相交，而且恰交於一點。

交點的

x

坐標是負的。

(0.99)^{x} = (\frac{100}{99})^{- x}

，

x

取很小的負數時就是把比

1

大的數連乘很多次。

02單選第 6～9 題：扇形面積、指數不等式、弧度角的象限、度化弧度

第 6 題答案 (D)。

7 2^{\circ} = 72 \times \frac{π}{180} = \frac{2 π}{5}

。扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{2 π}{5} = \frac{16 π}{5}

。

也可以用比例：

7 2^{\circ}

是整圈的

\frac{1}{5}

，面積是整個圓

16 π

的

\frac{1}{5}

。(C) 是弧長

4 \times \frac{2 π}{5}

。

第 7 題答案 (D)。兩邊都化成以

3

為底：

\frac{1}{27} = 3^{- 3}

，

\frac{1}{3} = 3^{- \frac{1}{2}}

。原式成為

3^{- 3 (x - 8)} > 3^{- \frac{1}{2} (x + 2)}

。底數

3 > 1

，指數大的值就大，所以

- 3 (x - 8) > - \frac{1}{2} (x + 2)

。兩邊同乘

2

：

- 6 x + 48 > - x - 2

，移項得

50 > 5 x

，即

x < 10

。

也可以化成以

\frac{1}{3}

為底：

\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^{6}

，底數小於

1

時不等號要反向，得

6 (x - 8) < x + 2

，同樣是

x < 10

。

第 8 題答案 (B)。

8

是

8

弧度。一圈是

2 π \approx 6.28

，

8 - 2 π \approx 1.72

，與

8

弧度是同界角。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 1.72 < π \approx 3.14

，所以是第二象限角，

cos 8 < 0

、

sin 8 > 0

，點

P

在第二象限。

1.72

弧度約是

98. 4^{\circ}

，只比

9 0^{\circ}

多一點；

π

取

3.14

就足以判斷。

第 9 題答案 (C)。

18 0^{\circ} = π

弳，所以

21 0^{\circ} = 210 \times \frac{π}{180} = \frac{7 π}{6}

弳。

03單選第 10～12 題：扇形相減、指數比大小、指數函數的圖形

第 10 題答案 (A)。

A

、

B

在半徑

6

的大圓上，弧

A B

長

6

，由

s = r θ

得圓心角

θ = \frac{6}{6} = 1

（弧度）。陰影部分是大扇形

O A B

扣掉小扇形

O C D

，兩個扇形的圓心角都是

1

：面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times 1 - \frac{1}{2} \times 4^{2} \times 1 = 18 - 8 = 10

。

卷面印的是「

A B

的長度為

6

」，

A B

上沒有弧的記號。若當成線段（弦）

\overline{A B} = 6

，

△ O A B

是正三角形、圓心角

\frac{π}{3}

，面積會是

\frac{10 π}{3}

，四個選項都不符；所以這裡的

A B

是指弧

A B

，答案與學校公布的相同。

第 11 題答案 (C)。都化成以

4

為底：

0.25 = \frac{1}{4} = 4^{- 1}

，所以

b = 4^{- 0.5}

。三個指數是

3 \approx 1.73

、

- 0.5 \approx - 0.71

、

- 3 \approx - 1.73

，大小為

- 3 < - 0.5 < 3

。底數

4 > 1

，指數越大值越大，所以

c < b < a

。

a

的指數是正的，

a > 1

；

b

、

c

的指數是負的，都小於

1

。

第 12 題答案 (B)。(A)

f (0) = a^{0} = 1

，圖形通過

(0, 1)

，不通過原點，錯誤。(B) 不論

a > 1

（圖形一路上升）或

0 < a < 1

（圖形一路下降），

a^{x}

的值都可以是任意正數，而且不同的

x

對應不同的值；

π

是正數，所以圖形與水平線

y = π

恰有一個交點，正確。(C) 只有

0 < a < 1

時才成立；

a > 1

時

x

愈大函數值愈大，與

x

軸的距離愈大，錯誤。(D) 直線

x - y = 0

就是

y = x

。取

a = 2

：

x \leq 0

時

2^{x} > 0 \geq x

；

x > 0

時，設整數

n \leq x < n + 1

（

n \geq 0

），則

2^{x} \geq 2^{n} \geq n + 1 > x

（

2^{n}

依序是

1, 2, 4, 8, \dots

，都不小於

n + 1

），

y = 2^{x}

的圖形整個在直線

y = x

的上方，一個交點也沒有，錯誤。

(D) 在

0 < a < 1

時確實恰有一個交點，但題目是對所有

a > 0

、

a \neq = 1

問的，有一個反例就不成立。

比大小、解不等式都先化成同一個底數：底數大於

1

時指數大的值大，底數在

0

與

1

之間時相反。

04多選第 13、14 題：由圖形決定係數、正弦函數的各項性質

第 13 題答案 (B)(D)(E)。(A) 圖形最高到

2

、最低到

- 2

，且

a > 0

，所以

a = 2

，錯誤。(B) 圖形從

x = 1

到

x = 13

是一個週期，週期

= 12

；

b > 0

，由

\frac{2 π}{b} = 12

得

b = \frac{π}{6}

，正確。(C)(D) 圖形在

x = 1

從

0

開始上升，就是

y = 2 sin \frac{π}{6} x

的圖形（在

x = 0

從

0

開始上升）向右平移

1

單位：

y = 2 sin \frac{π}{6} (x - 1) = 2 sin (\frac{π}{6} x - \frac{π}{6})

，所以

c = - \frac{π}{6} = - b

，而且

∣ c ∣ < π

符合條件；(D) 正確，(C) 錯誤。(E) 代

x = 0

：

y = 2 sin (- \frac{π}{6}) = 2 \times (- \frac{1}{2}) = - 1

，與

y

軸交於

(0, - 1)

，正確。

檢查：

x = 4

時

y = 2 sin \frac{π}{2} = 2

是最高點，

x = 10

時

y = 2 sin \frac{3 π}{2} = - 2

是最低點，與圖相符。滿足「

x = 1

時括號內是

0

加上

2 π

的整數倍」的

c

還有

- \frac{π}{6} \pm 2 π

等，但絕對值都超過

π

，所以

c

只有

- \frac{π}{6}

。圖上只畫了

x = 1

到

13

這一段，(E) 問的是整個函數在

x = 0

的值。

第 14 題答案 (A)(B)(C)。(A) 任何實數

x

都可以代入，定義域是全體實數，正確。(B)

sin 3 x

前面的係數是

2

，振幅為

2

；後面的

- 1

只是把圖形往下移，不改變振幅，正確。(C)(E) 週期

= \frac{2 π}{3}

，所以 (E) 錯誤；頻率是週期的倒數

\frac{3}{2 π}

，(C) 正確。(D)

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，乘以

2

再減

1

得

- 3 \leq f (x) \leq 1

，值域是

[- 3, 1]

，錯誤。

(D) 的

[- 2, 2]

是

y = 2 sin 3 x

的值域，少了往下移的

1

。(E) 的

2 π

是

y = sin x

的週期；

x

的係數是

3

，圖形左右壓縮成

\frac{1}{3}

，週期也變成

\frac{1}{3}

。

2 π

剛好是三個週期，圖形也會重複，但課本說的週期是指最小的正週期

\frac{2 π}{3}

，所以 (E) 不對。

y = a sin (b x + c) + d

：振幅看

∣ a ∣

，週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

，頻率是週期的倒數，值域是

d - ∣ a ∣

到

d + ∣ a ∣

。

05填充第 15、16 題：指數成長往回推、由圖形辨認底數

第 15 題設今年兩城市的人口都是

P

。

60

年是

3

個

20

年，A 城市這段期間成長為

2^{3} = 8

倍，所以

60

年前 A 的人口是

\frac{P}{8}

。

60

年是

2

個

30

年，B 城市這段期間成長為

(\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}

倍，所以

60

年前 B 的人口是

P \div \frac{25}{16} = \frac{16 P}{25}

。所求

= \frac{P}{8} \div \frac{16 P}{25} = \frac{1}{8} \times \frac{25}{16} = \frac{25}{128}

（倍）。

A 成長得比較快，今年才追平，所以

60

年前 A 的人口比較少，答案小於

1

是合理的。若把倍數顛倒，會得到

\frac{128}{25}

。

第 16 題先把四個函數都寫成「底數的

x

次方」：

y = 2^{x}

的底數是

2

；

y = (2)^{x}

的底數是

2

；

y = 2^{- 0.5 x} = (2^{- 0.5})^{x}

，底數是

\frac{1}{2} = \frac{2}{2}

；

y = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}

，底數是

\frac{1}{2}

。圖中

y = c^{x}

與

y = d^{x}

由左到右上升，底數大於

1

；取

x = 1

比較，函數值就是底數，

y = c^{x}

在

y

軸右邊升得比較快、位置比較高，所以

c = 2

、

d = 2

。

y = a^{x}

與

y = b^{x}

由左到右下降，底數在

0

與

1

之間；取

x = - 1

比較，函數值是底數的倒數，

y = b^{x}

在

y

軸左邊位置比較高，

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，所以

\frac{1}{b} = 2

、

\frac{1}{a} = 2

，即

b = \frac{1}{2}

、

a = \frac{2}{2}

。答：

(a, b, c, d) = (\frac{2}{2}, \frac{1}{2}, 2, 2)

。

學校公布的答案把

a

寫成

\frac{1}{2}

，與

\frac{2}{2}

相等。

y = 2^{- x}

與

y = 2^{x}

、

y = 2^{- 0.5 x}

與

y = (2)^{x}

各自對稱於

y

軸，圖上也看得出左右成對。

06填充第 17～19 題：數最高點、用對稱找解、特殊角

第 17 題

y = sin \frac{x}{2}

的週期是

\frac{2 π}{\frac{1}{2}} = 4 π

。最高點出現在

\frac{x}{2} = \frac{π}{2}

，即

x = π

，之後每隔一個週期

4 π

再出現一次：

x = π

、

5 π

、

9 π

、

13 π

、

17 π

、

21 π

、

25 π

。從

x = 0

走到

x = 25 π

共經過

7

個最高點，登頂

7

次。

25 π = π + 6 \times 4 π

，終點

x = 25 π

剛好就是第

7

個最高點，要算進去。若只用

25 π \div 4 π = 6.25

取整數，會少算一次。

第 18 題畫出

y = sin x

在

0 \leq x \leq 2.5 π

的圖形，看水平線

y = k

與它交幾點。

k < 0

時交點都在

π

與

2 π

之間，最多

2

個；

k = 1

時交於

x = \frac{π}{2}

、

\frac{5 π}{2}

共

2

點；

k = 0

時交於

x = 0

、

π

、

2 π

，和是

3 π

，不等於

\frac{19}{6} π

。所以

0 < k < 1

：這時在

0

到

π

之間有兩個解

α

、

β

，在

2 π

到

2.5 π

之間有一個解

γ

，剛好三個。圖形在

0

到

π

這一段對稱於直線

x = \frac{π}{2}

，所以

α + β = π

；正弦函數的週期是

2 π

，所以

γ = α + 2 π

。代入：

α + β + γ = π + α + 2 π = 3 π + α = \frac{19}{6} π

，得

α = \frac{π}{6}

，

k = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。答：

(α, k) = (\frac{π}{6}, \frac{1}{2})

。

驗算：三個解是

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

、

\frac{13 π}{6}

，都在

0

到

2.5 π

之間，和是

\frac{19 π}{6}

。

第 19 題

tan \frac{π}{3} = 3

。

\frac{7 π}{6} = 21 0^{\circ}

在第三象限，

sin \frac{7 π}{6} = - sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

。

\frac{5 π}{4} = 22 5^{\circ}

在第三象限，

cos \frac{5 π}{4} = - cos 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

。

sin \frac{3 π}{2} = - 1

。原式

= 23 \times 3 - 22 \times (- \frac{1}{2}) + 2 \times (- \frac{2}{2}) + 2 \times (- 1) = 6 + 2 - 2 - 2 = 4

。

第二項是減去一個負數，變成加

2

，正好與第三項的

- 2

抵消。

正弦圖形上同一高度的點，靠對稱軸與週期就能互相表示，不必一個一個解。

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03單選第 10～12 題：扇形相減、指數比大小、指數函數的圖形

04多選第 13、14 題：由圖形決定係數、正弦函數的各項性質

05填充第 15、16 題：指數成長往回推、由圖形辨認底數

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