段考詳解範圍：指數與對數函數（指數、指數函數、對數與對數律、對數函數）

基隆高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

是非題 10 題（每題 3.5 分，共 35 分）、選填題 11 題（每題 5 分，共 55 分）、混合題 1 題 2 小題（共 10 分，原卷未印各小題配分）。原卷選填題題號 A～K，本頁依序編為第 11～21 題；混合題第 34 題的 (1)(2) 編為第 22、23 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。第 21 題卷面最後一個參考數值少印一個 0，答案照學校公布的 23378，附註寫明用實際值算為 20338。

一、是非題：（敘述正確請選「是」，錯誤請選「否」）10 小題，每題 3.5 分，共 35 分

2^{l o g 3} = 3

lo g_{2} 3 = \frac{1}{lo g _{3} 2}

。

y = lo g x

的圖形恆在

y

軸右方。

對數

lo g \frac{1}{208}

的尾數與

lo g 208

的尾數相同。

將

y = 2^{x}

的圖形，向左平移

2

單位，再向下平移

2

單位，會得到函數

y = 4 \cdot 2^{x} - 2

的圖形。

若指數

a = 0. 8^{0}

，

b = (\frac{1}{2})^{- 2}

，

c = 8^{\frac{1}{3}}

，則

c > b > a

。

關於

y = 2^{x}

與圖形

y = lo g_{2} x

，兩圖形對稱於直線

y = x

。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則

lo g_{6} 100 = \frac{2}{ab}

。

設

t > 0

，關於函數

f (x) = t lo g x

，則

f (x)

的圖形凹口向下。

設

0 < a < 1

，函數

y = lo g_{a} x

和

y = (a - 1) x

的圖形可能是下列圖形。

載入中...

二、選填題：（11 小題，每題 5 分，共 55 分）

若對數

lo g_{3 x - 2} (7 - x)

有意義，則符合的

x

值整數和為 ____。

求

(lo g_{2} 9 + lo g_{4} 81) (lo g_{3} 8 - lo g_{9} 2) =

____。

滿足不等式

lo g_{\frac{1}{2}} lo g_{3} (x) \geq - 1

的整數

x

共有多少個？____。

假設對數函數

f (x) = lo g_{2} x

，今將函數圖形

f (x)

向右平移

1

單位，再向上平移

3

單位所得的函數圖形為

g (x)

，則

g (3) =

____。

將

(0.2)^{100}

表示為純小數時，小數點後第幾位才開始出現不為

0

的數字？____。（已知

lo g 2 \approx 0.301

）

對任意實數

x

而言，

lo g_{3} 8 1^{x^{2} - x + 1}

的最小值為 ____。

試求函數

y = 4^{x + 1}

與

y = 33 \cdot 2^{x} - 8

之圖形在第二象限的交點

x

坐標為 ____。

已知

a

，

b

，

c

為正整數，若

\frac{a}{lo g _{2} 60} + \frac{b}{lo g _{3} 60} + \frac{c}{lo g _{5} 60} = 3

，則序組

(a, b, c) =

____。

已知

- 1 \leq x \leq 2

，若

f (x) = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3

的最大值為

M

，最小值

m

，試求

(M, m) =

____。

有些數學家在學術研究之餘，樂於玩弄只用三個數字及數學符號來表示實數。例如用

2

，

3

，

4

等三數表成實數

4^{(3^{2})}

就是一個例子。請問，這個實數是幾位數？____。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

小原在

17

歲生日當天將

100

萬存入銀行，銀行提供兩種利率方案：方案 A：一次存入本金，利息按年單利計算，年利率

1.25 %

。方案 B：一次存入本金，利息按半年複利計算一次，每年利率

1.2 %

。若小原預計在

37

歲生日當天將這筆儲蓄提領出來，則他採用方案 B 領出的金額減去方案 A 領出的金額為 ____ 元。（四捨五入取到整數位；參考數值：

(1.024)^{10} \approx 1.2676506

，

(1.012)^{20} \approx 1.2694343

，

(1.006)^{40} \approx 1.273378

）（最後一個參考數值卷面如此，實際值約為

1.2703378

）

三、混合題（2 小題，共 10 分）

第 22、23 題為題組（混合題，原卷第 34 題）（第 22～23 題）　液液在網路上看到一則天津麥田圈的新聞，這個麥田圈的圖案最外圍是一個正方形

Q_{1}

，內切一個圓形，再內接一個正方形

Q_{2}

，再內切一個圓形，再內接一個正方形

Q_{3}

，再內切一個圓形，……，依此類推。（提示：令

Q_{1}

的邊長為

d_{1}

，

Q_{2}

的邊長為

d_{2}

，如圖）

請問

Q_{2}

的邊長是

Q_{1}

邊長的幾倍？（單選題）

(A) $\frac{1}{2}$ 倍
(B) $\frac{1}{3}$ 倍
(C) $\frac{1}{2}$ 倍
(D) $\frac{1}{3}$ 倍
(E) $\frac{1}{4}$ 倍

載入中...

當

n

最小為多少時，

Q_{n}

的邊長會小於

Q_{1}

邊長的

\frac{1}{100}

？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）（非選擇題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2是

3是

4否

5是

6否

7是

8否

9是

10否

第 11 題

20

第 12 題

10

第 13 題

8

第 14 題

4

第 15 題

70

第 16 題

3

第 17 題

- 2

第 18 題

(6, 3, 3)

第 19 題

(11, 2)

第 20 題

6

第 21 題

23378

（照卷面的參考數值；用實際值算為

20338

）

第 22 題(A)

第 23 題

n = 15

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：指數上的對數、換底、定義域、尾數、平移

第 1 題否錯。兩邊取常用對數：左邊

lo g (2^{l o g 3}) = lo g 3 \cdot lo g 2

，右邊是

lo g 3

。因為

lo g 2 \neq = 1

，所以

lo g 3 \cdot lo g 2 \neq = lo g 3

，兩數不相等。

2^{l o g 3} = 3^{l o g 2} \approx 1.39

。底數要是

10

才會有

1 0^{l o g 3} = 3

。

第 2 題是對。由換底公式，

lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2}

，

lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}

，兩者互為倒數，所以

lo g_{2} 3 = \frac{1}{lo g _{3} 2}

。

第 3 題是對。

lo g x

只有在

x > 0

時才有定義，所以

y = lo g x

的圖形上每一點的

x

坐標都大於

0

，圖形全部在

y

軸右方。

第 4 題否錯。

lo g 208 = 2 + lo g 2.08

，首數

2

、尾數

lo g 2.08 \approx 0.318

。

lo g \frac{1}{208} = - lo g 208 = - 2 - lo g 2.08 = - 3 + (1 - lo g 2.08)

，首數

- 3

、尾數

1 - lo g 2.08 \approx 0.682

。兩個尾數不同。

尾數一定在

0

與

1

之間（可以是

0

）；把負數寫成「整數＋尾數」時，整數要往下取。兩者尾數的和是

1

。

第 5 題是對。向左平移

2

單位，把

x

換成

x + 2

，得

y = 2^{x + 2} = 2^{2} \cdot 2^{x} = 4 \cdot 2^{x}

；再向下平移

2

單位，得

y = 4 \cdot 2^{x} - 2

。

02是非第 6～10 題：比大小、對稱、換底、凹凸、底數小於 1 的圖形

第 6 題否錯。

a = 0. 8^{0} = 1 = 2^{0}

；

b = (\frac{1}{2})^{- 2} = (2^{- 1})^{- 2} = 2^{2}

；

c = 8^{\frac{1}{3}} = (2^{3})^{\frac{1}{3}} = 2^{1}

。

y = 2^{x}

遞增，而

0 < 1 < 2

，所以

a < c < b

，即

b > c > a

，不是

c > b > a

。

b = 2^{2} \approx 2.67

，

c = 2

。

第 7 題是對。

y = lo g_{2} x

與

y = 2^{x}

互為反函數：點

(p, q)

在

y = 2^{x}

上，即

q = 2^{p}

，等價於

p = lo g_{2} q

，也就是點

(q, p)

在

y = lo g_{2} x

上。

(p, q)

與

(q, p)

對稱於直線

y = x

，所以兩圖形對稱於

y = x

。

第 8 題否錯。

lo g_{6} 100 = \frac{lo g 100}{lo g 6} = \frac{2}{lo g 2 + lo g 3} = \frac{2}{a + b}

，不是

\frac{2}{ab}

。

lo g 6 = lo g (2 \times 3) = lo g 2 + lo g 3

，乘積的對數是對數的和，不是對數的積。

第 9 題是對。任取

0 < x_{1} < x_{2}

，比較圖形上兩點連線中點的高度

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

與

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

：

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} = \frac{t}{2} lo g (x_{1} x_{2}) = t lo g x_{1} x_{2}

。由算幾不等式

x_{1} x_{2} < \frac{x _{1} + x _{2}}{2}

，又

y = lo g x

遞增、

t > 0

，所以

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} < f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

。圖形上任兩點的連線中點都在圖形下方，所以圖形凹口向下。

t > 0

只是把

y = lo g x

的圖形鉛直伸縮，不改變凹口的方向；若

t < 0

，圖形上下翻轉，就變成凹口向上。

第 10 題否錯。

0 < a < 1

時，

y = lo g_{a} x

是遞減函數，圖形過

(1, 0)

後由左上往右下；但圖中的曲線過

(1, 0)

、由左下往右上，是遞增的，不符合。（直線部分：

a - 1 < 0

，

y = (a - 1) x

過原點、斜率為負，與圖相符，但曲線已經不符合。）

03選填第 11～14 題（原卷 A～D）：有意義的條件、換底、對數不等式、平移

第 11 題對數

lo g_{3 x - 2} (7 - x)

有意義要同時滿足：底數

3 x - 2 > 0

且

3 x - 2 \neq = 1

，真數

7 - x > 0

。得

x > \frac{2}{3}

、

x \neq = 1

、

x < 7

。範圍內的整數是

2, 3, 4, 5, 6

（

1

要排除），和為

20

。

x = 1

時底數是

1

，對數沒有意義，這是最容易漏掉的條件。

第 12 題

lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3

，

lo g_{4} 81 = \frac{lo g _{2} 3 ^{4}}{lo g _{2} 4} = \frac{4 lo g _{2} 3}{2} = 2 lo g_{2} 3

，所以第一個括號是

4 lo g_{2} 3

。

lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2

，

lo g_{9} 2 = \frac{lo g _{3} 2}{lo g _{3} 9} = \frac{1}{2} lo g_{3} 2

，所以第二個括號是

\frac{5}{2} lo g_{3} 2

。相乘得

4 \cdot \frac{5}{2} \cdot lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 10 \times 1 = 10

。

第 13 題先要

lo g_{3} x

有意義且為正（它是外層對數的真數）：

x > 0

且

lo g_{3} x > 0

，即

x > 1

。又

- 1 = lo g_{\frac{1}{2}} 2

，底數

\frac{1}{2} < 1

，函數

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

遞減，所以

lo g_{\frac{1}{2}} lo g_{3} x \geq lo g_{\frac{1}{2}} 2

等價於

lo g_{3} x \leq 2

，即

x \leq 9

。合起來

1 < x \leq 9

，整數

x = 2, 3, \dots, 9

，共

8

個。

底數小於

1

時去掉對數要把不等號反向；還要記得外層真數

lo g_{3} x > 0

，所以

x = 1

不行。

第 14 題向右平移

1

單位，把

x

換成

x - 1

；再向上平移

3

單位，整個函數值加

3

：

g (x) = lo g_{2} (x - 1) + 3

。所以

g (3) = lo g_{2} 2 + 3 = 1 + 3 = 4

。

04選填第 15～18 題（原卷 E～H）：第幾位、極值、指數方程式、換底與質因數

第 15 題

lo g (0.2)^{100} = 100 lo g \frac{2}{10} = 100 (lo g 2 - 1) \approx 100 (0.301 - 1) = - 69.9 = - 70 + 0.1

。所以

(0.2)^{100} = 1 0^{- 70} \times 1 0^{0.1}

，而

1 < 1 0^{0.1} < 10

，即

(0.2)^{100}

是一個

1

到

10

之間的數乘以

1 0^{- 70}

，小數點後第

70

位才開始出現不為

0

的數字。

首數是

- 70

，就是第

70

位；不要寫成

69

。可以用小一點的例子對照：

0.02

的常用對數首數是

- 2

，第一個非零數字在第

2

位。

第 16 題

lo g_{3} 8 1^{x^{2} - x + 1} = (x^{2} - x + 1) lo g_{3} 81 = 4 (x^{2} - x + 1)

。配方：

x^{2} - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}

，等號在

x = \frac{1}{2}

成立。所以最小值是

4 \times \frac{3}{4} = 3

。

第 17 題令

t = 2^{x} > 0

，則

4^{x + 1} = 4 \cdot (2^{x})^{2} = 4 t^{2}

。兩式相等：

4 t^{2} = 33 t - 8

，即

4 t^{2} - 33 t + 8 = 0

，

(4 t - 1) (t - 8) = 0

，

t = \frac{1}{4}

或

t = 8

。對應

x = - 2

或

x = 3

。第二象限的點

x < 0

、

y > 0

：

x = - 2

時

y = 4^{- 1} = \frac{1}{4} > 0

，符合；

x = 3

在第一象限。所以交點的

x

坐標為

- 2

。

第 18 題由換底公式，

\frac{1}{lo g _{2} 60} = lo g_{60} 2

，同理

\frac{1}{lo g _{3} 60} = lo g_{60} 3

、

\frac{1}{lo g _{5} 60} = lo g_{60} 5

。條件化為

a lo g_{60} 2 + b lo g_{60} 3 + c lo g_{60} 5 = 3

，即

lo g_{60} (2^{a} 3^{b} 5^{c}) = 3

，

2^{a} 3^{b} 5^{c} = 6 0^{3} = (2^{2} \cdot 3 \cdot 5)^{3} = 2^{6} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3}

。

a

、

b

、

c

是正整數，由質因數分解的唯一性，

(a, b, c) = (6, 3, 3)

。

05選填第 19～21 題（原卷 I～K）：換元求極值、位數、單利與複利

第 19 題令

t = 2^{x}

，

- 1 \leq x \leq 2

時

\frac{1}{2} \leq t \leq 4

。

f (x) = (2^{x})^{2} - 2 \cdot 2^{x} + 3 = t^{2} - 2 t + 3 = (t - 1)^{2} + 2

。在

\frac{1}{2} \leq t \leq 4

上，

t = 1

（

x = 0

）時最小，

m = 2

；離

t = 1

最遠的是

t = 4

（

x = 2

），最大值

M = 3^{2} + 2 = 11

。所以

(M, m) = (11, 2)

。

另一端

t = \frac{1}{2}

時值為

\frac{9}{4}

，比

11

小，不是最大值。

第 20 題

4^{(3^{2})} = 4^{9} = 2^{18}

。

lo g 2^{18} = 18 lo g 2 \approx 18 \times 0.3010 = 5.418

，首數是

5

，所以這個數介於

1 0^{5}

與

1 0^{6}

之間，是

6

位數。

實際上

2^{18} = 262144

，確實是

6

位數。

4^{(3^{2})}

是先算指數上的

3^{2} = 9

，與

(4^{3})^{2} = 4^{6}

不同。

第 21 題從

17

歲到

37

歲共

20

年。方案 A（單利）：本利和

= 1000000 \times (1 + 0.0125 \times 20) = 1000000 \times 1.25 = 1250000

元。方案 B（半年複利）：每半年利率

\frac{1.2 %}{2} = 0.6 %

，

20

年共

40

期，本利和

= 1000000 \times (1.006)^{40}

；用卷面的參考數值

(1.006)^{40} \approx 1.273378

，得

1273378

元。兩者相減

1273378 - 1250000 = 23378

元，這是學校公布的答案。

卷面給的

(1.006)^{40} \approx 1.273378

與實際值不符：實際上

(1.006)^{40} \approx 1.2703378

（卷面的數字少了一個

0

）。用實際值算，方案 B 約

1270338

元，相差約

20338

元。卷面提供了參考數值，學校答案

23378

是照卷面數值算出的。另外兩個參考數值

(1.024)^{10}

、

(1.012)^{20}

是正確的，但對應的是「每兩年」「每年」計息，不是本題的半年複利，不要選錯。

06混合題第 22、23 題（原卷第 34 題 (1)(2)）：正方形邊長的等比縮小

第 22 題答案 (A)。圓內切於

Q_{1}

，所以圓的半徑是

\frac{d _{1}}{2}

。

Q_{2}

內接於這個圓，由圓心到

Q_{2}

的頂點的距離就是半徑

\frac{d _{1}}{2}

；由圓心到

Q_{2}

一邊的垂直距離是

\frac{d _{2}}{2}

。這兩條線段與

Q_{2}

的半邊圍成等腰直角三角形，斜邊是

\frac{d _{1}}{2}

，所以

\frac{d _{2}}{2} = \frac{d _{1}}{2} cos 4 5^{\circ} = \frac{d _{1}}{2 2}

，

d_{2} = \frac{1}{2} d_{1}

。

也可以看成：

Q_{2}

的對角線長等於圓的直徑

d_{1}

，所以

Q_{2}

的邊長是

\frac{d _{1}}{2}

。

第 23 題每往內一層，正方形邊長乘以

\frac{1}{2}

，所以

Q_{n}

的邊長是

d_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1} d_{1} = 2^{- \frac{n - 1}{2}} d_{1}

。要

d_{n} < \frac{1}{100} d_{1}

，即

2^{- \frac{n - 1}{2}} < 1 0^{- 2}

。兩邊取常用對數（

y = lo g x

遞增，不等號方向不變）：

- \frac{n - 1}{2} lo g 2 < - 2

，即

n - 1 > \frac{4}{lo g 2} \approx \frac{4}{0.3010} \approx 13.29

。

n

是正整數，所以

n - 1 \geq 14

，

n \geq 15

，

n

最小為

15

。

檢查：

n = 14

時

2^{- 6.5} \approx 0.0110

，還大於

0.01

；

n = 15

時

2^{- 7} = \frac{1}{128} \approx 0.0078

，已小於

0.01

。題目給的

lo g 3

本題用不到。

等比縮小的問題，先寫出第

n

項的一般式，再兩邊取常用對數把指數拿下來；最後的不等式解出來是小數時，要依題意取「最小的整數」。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

基隆高中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題負數的對數要先把整數部分往下取才看得出尾數；第 13 題底數小於 1 去掉對數時不等號要反向，還要記得內層對數必須為正；第 11 題要排除底數等於 1 的整數；第 21 題卷面最後一個參考數值與實際值不同，學校答案是照卷面數值算的。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數、指數函數、對數與對數律、對數函數）

基隆高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

一、是非題：（敘述正確請選「是」，錯誤請選「否」）10 小題，每題 3.5 分，共 35 分

2^{l o g 3} = 3

lo g_{2} 3 = \frac{1}{lo g _{3} 2}

。

y = lo g x

的圖形恆在

y

軸右方。

對數

lo g \frac{1}{208}

的尾數與

lo g 208

的尾數相同。

將

y = 2^{x}

的圖形，向左平移

2

單位，再向下平移

2

單位，會得到函數

y = 4 \cdot 2^{x} - 2

的圖形。

若指數

a = 0. 8^{0}

，

b = (\frac{1}{2})^{- 2}

，

c = 8^{\frac{1}{3}}

，則

c > b > a

。

關於

y = 2^{x}

與圖形

y = lo g_{2} x

，兩圖形對稱於直線

y = x

。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則

lo g_{6} 100 = \frac{2}{ab}

。

設

t > 0

，關於函數

f (x) = t lo g x

，則

f (x)

的圖形凹口向下。

設

0 < a < 1

，函數

y = lo g_{a} x

和

y = (a - 1) x

的圖形可能是下列圖形。

載入中...

二、選填題：（11 小題，每題 5 分，共 55 分）

若對數

lo g_{3 x - 2} (7 - x)

有意義，則符合的

x

值整數和為 ____。

求

(lo g_{2} 9 + lo g_{4} 81) (lo g_{3} 8 - lo g_{9} 2) =

____。

滿足不等式

lo g_{\frac{1}{2}} lo g_{3} (x) \geq - 1

的整數

x

共有多少個？____。

假設對數函數

f (x) = lo g_{2} x

，今將函數圖形

f (x)

向右平移

1

單位，再向上平移

3

單位所得的函數圖形為

g (x)

，則

g (3) =

____。

將

(0.2)^{100}

表示為純小數時，小數點後第幾位才開始出現不為

0

的數字？____。（已知

lo g 2 \approx 0.301

）

對任意實數

x

而言，

lo g_{3} 8 1^{x^{2} - x + 1}

的最小值為 ____。

試求函數

y = 4^{x + 1}

與

y = 33 \cdot 2^{x} - 8

之圖形在第二象限的交點

x

坐標為 ____。

已知

a

，

b

，

c

為正整數，若

\frac{a}{lo g _{2} 60} + \frac{b}{lo g _{3} 60} + \frac{c}{lo g _{5} 60} = 3

，則序組

(a, b, c) =

____。

已知

- 1 \leq x \leq 2

，若

f (x) = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3

的最大值為

M

，最小值

m

，試求

(M, m) =

____。

有些數學家在學術研究之餘，樂於玩弄只用三個數字及數學符號來表示實數。例如用

2

，

3

，

4

等三數表成實數

4^{(3^{2})}

就是一個例子。請問，這個實數是幾位數？____。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

小原在

17

歲生日當天將

100

萬存入銀行，銀行提供兩種利率方案：方案 A：一次存入本金，利息按年單利計算，年利率

1.25 %

。方案 B：一次存入本金，利息按半年複利計算一次，每年利率

1.2 %

。若小原預計在

37

歲生日當天將這筆儲蓄提領出來，則他採用方案 B 領出的金額減去方案 A 領出的金額為 ____ 元。（四捨五入取到整數位；參考數值：

(1.024)^{10} \approx 1.2676506

，

(1.012)^{20} \approx 1.2694343

，

(1.006)^{40} \approx 1.273378

）（最後一個參考數值卷面如此，實際值約為

1.2703378

）

三、混合題（2 小題，共 10 分）

第 22、23 題為題組（混合題，原卷第 34 題）（第 22～23 題）　液液在網路上看到一則天津麥田圈的新聞，這個麥田圈的圖案最外圍是一個正方形

Q_{1}

，內切一個圓形，再內接一個正方形

Q_{2}

，再內切一個圓形，再內接一個正方形

Q_{3}

，再內切一個圓形，……，依此類推。（提示：令

Q_{1}

的邊長為

d_{1}

，

Q_{2}

的邊長為

d_{2}

，如圖）

請問

Q_{2}

的邊長是

Q_{1}

邊長的幾倍？（單選題）

(A) $\frac{1}{2}$ 倍
(B) $\frac{1}{3}$ 倍
(C) $\frac{1}{2}$ 倍
(D) $\frac{1}{3}$ 倍
(E) $\frac{1}{4}$ 倍

載入中...

當

n

最小為多少時，

Q_{n}

的邊長會小於

Q_{1}

邊長的

\frac{1}{100}

？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）（非選擇題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2是

3是

4否

5是

6否

7是

8否

9是

10否

第 11 題

20

第 12 題

10

第 13 題

8

第 14 題

4

第 15 題

70

第 16 題

3

第 17 題

- 2

第 18 題

(6, 3, 3)

第 19 題

(11, 2)

第 20 題

6

第 21 題

23378

（照卷面的參考數值；用實際值算為

20338

）

第 22 題(A)

第 23 題

n = 15

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：指數上的對數、換底、定義域、尾數、平移

第 1 題否錯。兩邊取常用對數：左邊

lo g (2^{l o g 3}) = lo g 3 \cdot lo g 2

，右邊是

lo g 3

。因為

lo g 2 \neq = 1

，所以

lo g 3 \cdot lo g 2 \neq = lo g 3

，兩數不相等。

2^{l o g 3} = 3^{l o g 2} \approx 1.39

。底數要是

10

才會有

1 0^{l o g 3} = 3

。

第 2 題是對。由換底公式，

lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2}

，

lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}

，兩者互為倒數，所以

lo g_{2} 3 = \frac{1}{lo g _{3} 2}

。

第 3 題是對。

lo g x

只有在

x > 0

時才有定義，所以

y = lo g x

的圖形上每一點的

x

坐標都大於

0

，圖形全部在

y

軸右方。

第 4 題否錯。

lo g 208 = 2 + lo g 2.08

，首數

2

、尾數

lo g 2.08 \approx 0.318

。

lo g \frac{1}{208} = - lo g 208 = - 2 - lo g 2.08 = - 3 + (1 - lo g 2.08)

，首數

- 3

、尾數

1 - lo g 2.08 \approx 0.682

。兩個尾數不同。

尾數一定在

0

與

1

之間（可以是

0

）；把負數寫成「整數＋尾數」時，整數要往下取。兩者尾數的和是

1

。

第 5 題是對。向左平移

2

單位，把

x

換成

x + 2

，得

y = 2^{x + 2} = 2^{2} \cdot 2^{x} = 4 \cdot 2^{x}

；再向下平移

2

單位，得

y = 4 \cdot 2^{x} - 2

。

02是非第 6～10 題：比大小、對稱、換底、凹凸、底數小於 1 的圖形

第 6 題否錯。

a = 0. 8^{0} = 1 = 2^{0}

；

b = (\frac{1}{2})^{- 2} = (2^{- 1})^{- 2} = 2^{2}

；

c = 8^{\frac{1}{3}} = (2^{3})^{\frac{1}{3}} = 2^{1}

。

y = 2^{x}

遞增，而

0 < 1 < 2

，所以

a < c < b

，即

b > c > a

，不是

c > b > a

。

b = 2^{2} \approx 2.67

，

c = 2

。

第 7 題是對。

y = lo g_{2} x

與

y = 2^{x}

互為反函數：點

(p, q)

在

y = 2^{x}

上，即

q = 2^{p}

，等價於

p = lo g_{2} q

，也就是點

(q, p)

在

y = lo g_{2} x

上。

(p, q)

與

(q, p)

對稱於直線

y = x

，所以兩圖形對稱於

y = x

。

第 8 題否錯。

lo g_{6} 100 = \frac{lo g 100}{lo g 6} = \frac{2}{lo g 2 + lo g 3} = \frac{2}{a + b}

，不是

\frac{2}{ab}

。

lo g 6 = lo g (2 \times 3) = lo g 2 + lo g 3

，乘積的對數是對數的和，不是對數的積。

第 9 題是對。任取

0 < x_{1} < x_{2}

，比較圖形上兩點連線中點的高度

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

與

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

：

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} = \frac{t}{2} lo g (x_{1} x_{2}) = t lo g x_{1} x_{2}

。由算幾不等式

x_{1} x_{2} < \frac{x _{1} + x _{2}}{2}

，又

y = lo g x

遞增、

t > 0

，所以

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} < f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

。圖形上任兩點的連線中點都在圖形下方，所以圖形凹口向下。

t > 0

只是把

y = lo g x

的圖形鉛直伸縮，不改變凹口的方向；若

t < 0

，圖形上下翻轉，就變成凹口向上。

第 10 題否錯。

0 < a < 1

時，

y = lo g_{a} x

是遞減函數，圖形過

(1, 0)

後由左上往右下；但圖中的曲線過

(1, 0)

、由左下往右上，是遞增的，不符合。（直線部分：

a - 1 < 0

，

y = (a - 1) x

過原點、斜率為負，與圖相符，但曲線已經不符合。）

03選填第 11～14 題（原卷 A～D）：有意義的條件、換底、對數不等式、平移

第 11 題對數

lo g_{3 x - 2} (7 - x)

有意義要同時滿足：底數

3 x - 2 > 0

且

3 x - 2 \neq = 1

，真數

7 - x > 0

。得

x > \frac{2}{3}

、

x \neq = 1

、

x < 7

。範圍內的整數是

2, 3, 4, 5, 6

（

1

要排除），和為

20

。

x = 1

時底數是

1

，對數沒有意義，這是最容易漏掉的條件。

第 12 題

lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3

，

lo g_{4} 81 = \frac{lo g _{2} 3 ^{4}}{lo g _{2} 4} = \frac{4 lo g _{2} 3}{2} = 2 lo g_{2} 3

，所以第一個括號是

4 lo g_{2} 3

。

lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2

，

lo g_{9} 2 = \frac{lo g _{3} 2}{lo g _{3} 9} = \frac{1}{2} lo g_{3} 2

，所以第二個括號是

\frac{5}{2} lo g_{3} 2

。相乘得

4 \cdot \frac{5}{2} \cdot lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 10 \times 1 = 10

。

第 13 題先要

lo g_{3} x

有意義且為正（它是外層對數的真數）：

x > 0

且

lo g_{3} x > 0

，即

x > 1

。又

- 1 = lo g_{\frac{1}{2}} 2

，底數

\frac{1}{2} < 1

，函數

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

遞減，所以

lo g_{\frac{1}{2}} lo g_{3} x \geq lo g_{\frac{1}{2}} 2

等價於

lo g_{3} x \leq 2

，即

x \leq 9

。合起來

1 < x \leq 9

，整數

x = 2, 3, \dots, 9

，共

8

個。

底數小於

1

時去掉對數要把不等號反向；還要記得外層真數

lo g_{3} x > 0

，所以

x = 1

不行。

第 14 題向右平移

1

單位，把

x

換成

x - 1

；再向上平移

3

單位，整個函數值加

3

：

g (x) = lo g_{2} (x - 1) + 3

。所以

g (3) = lo g_{2} 2 + 3 = 1 + 3 = 4

。

04選填第 15～18 題（原卷 E～H）：第幾位、極值、指數方程式、換底與質因數

第 15 題

lo g (0.2)^{100} = 100 lo g \frac{2}{10} = 100 (lo g 2 - 1) \approx 100 (0.301 - 1) = - 69.9 = - 70 + 0.1

。所以

(0.2)^{100} = 1 0^{- 70} \times 1 0^{0.1}

，而

1 < 1 0^{0.1} < 10

，即

(0.2)^{100}

是一個

1

到

10

之間的數乘以

1 0^{- 70}

，小數點後第

70

位才開始出現不為

0

的數字。

首數是

- 70

，就是第

70

位；不要寫成

69

。可以用小一點的例子對照：

0.02

的常用對數首數是

- 2

，第一個非零數字在第

2

位。

第 16 題

lo g_{3} 8 1^{x^{2} - x + 1} = (x^{2} - x + 1) lo g_{3} 81 = 4 (x^{2} - x + 1)

。配方：

x^{2} - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}

，等號在

x = \frac{1}{2}

成立。所以最小值是

4 \times \frac{3}{4} = 3

。

第 17 題令

t = 2^{x} > 0

，則

4^{x + 1} = 4 \cdot (2^{x})^{2} = 4 t^{2}

。兩式相等：

4 t^{2} = 33 t - 8

，即

4 t^{2} - 33 t + 8 = 0

，

(4 t - 1) (t - 8) = 0

，

t = \frac{1}{4}

或

t = 8

。對應

x = - 2

或

x = 3

。第二象限的點

x < 0

、

y > 0

：

x = - 2

時

y = 4^{- 1} = \frac{1}{4} > 0

，符合；

x = 3

在第一象限。所以交點的

x

坐標為

- 2

。

第 18 題由換底公式，

\frac{1}{lo g _{2} 60} = lo g_{60} 2

，同理

\frac{1}{lo g _{3} 60} = lo g_{60} 3

、

\frac{1}{lo g _{5} 60} = lo g_{60} 5

。條件化為

a lo g_{60} 2 + b lo g_{60} 3 + c lo g_{60} 5 = 3

，即

lo g_{60} (2^{a} 3^{b} 5^{c}) = 3

，

2^{a} 3^{b} 5^{c} = 6 0^{3} = (2^{2} \cdot 3 \cdot 5)^{3} = 2^{6} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3}

。

a

、

b

、

c

是正整數，由質因數分解的唯一性，

(a, b, c) = (6, 3, 3)

。

05選填第 19～21 題（原卷 I～K）：換元求極值、位數、單利與複利

第 19 題令

t = 2^{x}

，

- 1 \leq x \leq 2

時

\frac{1}{2} \leq t \leq 4

。

f (x) = (2^{x})^{2} - 2 \cdot 2^{x} + 3 = t^{2} - 2 t + 3 = (t - 1)^{2} + 2

。在

\frac{1}{2} \leq t \leq 4

上，

t = 1

（

x = 0

）時最小，

m = 2

；離

t = 1

最遠的是

t = 4

（

x = 2

），最大值

M = 3^{2} + 2 = 11

。所以

(M, m) = (11, 2)

。

另一端

t = \frac{1}{2}

時值為

\frac{9}{4}

，比

11

小，不是最大值。

第 20 題

4^{(3^{2})} = 4^{9} = 2^{18}

。

lo g 2^{18} = 18 lo g 2 \approx 18 \times 0.3010 = 5.418

，首數是

5

，所以這個數介於

1 0^{5}

與

1 0^{6}

之間，是

6

位數。

實際上

2^{18} = 262144

，確實是

6

位數。

4^{(3^{2})}

是先算指數上的

3^{2} = 9

，與

(4^{3})^{2} = 4^{6}

不同。

第 21 題從

17

歲到

37

歲共

20

年。方案 A（單利）：本利和

= 1000000 \times (1 + 0.0125 \times 20) = 1000000 \times 1.25 = 1250000

元。方案 B（半年複利）：每半年利率

\frac{1.2 %}{2} = 0.6 %

，

20

年共

40

期，本利和

= 1000000 \times (1.006)^{40}

；用卷面的參考數值

(1.006)^{40} \approx 1.273378

，得

1273378

元。兩者相減

1273378 - 1250000 = 23378

元，這是學校公布的答案。

卷面給的

(1.006)^{40} \approx 1.273378

與實際值不符：實際上

(1.006)^{40} \approx 1.2703378

（卷面的數字少了一個

0

）。用實際值算，方案 B 約

1270338

元，相差約

20338

元。卷面提供了參考數值，學校答案

23378

是照卷面數值算出的。另外兩個參考數值

(1.024)^{10}

、

(1.012)^{20}

是正確的，但對應的是「每兩年」「每年」計息，不是本題的半年複利，不要選錯。

06混合題第 22、23 題（原卷第 34 題 (1)(2)）：正方形邊長的等比縮小

第 22 題答案 (A)。圓內切於

Q_{1}

，所以圓的半徑是

\frac{d _{1}}{2}

。

Q_{2}

內接於這個圓，由圓心到

Q_{2}

的頂點的距離就是半徑

\frac{d _{1}}{2}

；由圓心到

Q_{2}

一邊的垂直距離是

\frac{d _{2}}{2}

。這兩條線段與

Q_{2}

的半邊圍成等腰直角三角形，斜邊是

\frac{d _{1}}{2}

，所以

\frac{d _{2}}{2} = \frac{d _{1}}{2} cos 4 5^{\circ} = \frac{d _{1}}{2 2}

，

d_{2} = \frac{1}{2} d_{1}

。

也可以看成：

Q_{2}

的對角線長等於圓的直徑

d_{1}

，所以

Q_{2}

的邊長是

\frac{d _{1}}{2}

。

第 23 題每往內一層，正方形邊長乘以

\frac{1}{2}

，所以

Q_{n}

的邊長是

d_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1} d_{1} = 2^{- \frac{n - 1}{2}} d_{1}

。要

d_{n} < \frac{1}{100} d_{1}

，即

2^{- \frac{n - 1}{2}} < 1 0^{- 2}

。兩邊取常用對數（

y = lo g x

遞增，不等號方向不變）：

- \frac{n - 1}{2} lo g 2 < - 2

，即

n - 1 > \frac{4}{lo g 2} \approx \frac{4}{0.3010} \approx 13.29

。

n

是正整數，所以

n - 1 \geq 14

，

n \geq 15

，

n

最小為

15

。

檢查：

n = 14

時

2^{- 6.5} \approx 0.0110

，還大於

0.01

；

n = 15

時

2^{- 7} = \frac{1}{128} \approx 0.0078

，已小於

0.01

。題目給的

lo g 3

本題用不到。

等比縮小的問題，先寫出第

n

項的一般式，再兩邊取常用對數把指數拿下來；最後的不等式解出來是小數時，要依題意取「最小的整數」。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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題目取自基隆高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 113 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 23 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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每一題，錯在哪一步

01是非第 1～5 題：指數上的對數、換底、定義域、尾數、平移

02是非第 6～10 題：比大小、對稱、換底、凹凸、底數小於 1 的圖形

03選填第 11～14 題（原卷 A～D）：有意義的條件、換底、對數不等式、平移

04選填第 15～18 題（原卷 E～H）：第幾位、極值、指數方程式、換底與質因數

05選填第 19～21 題（原卷 I～K）：換元求極值、位數、單利與複利

06混合題第 22、23 題（原卷第 34 題 (1)(2)）：正方形邊長的等比縮小

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05選填第 19～21 題（原卷 I～K）：換元求極值、位數、單利與複利

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基隆高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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