基隆高中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

① 重心是三頂點坐標的平均，以 $O$ 為起點：$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$。

② 把 $\overrightarrow{OA}=\frac{1}{h}\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OB}=\frac{1}{k}\overrightarrow{OQ}$ 代進去：

$$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3h}\overrightarrow{OP}+\frac{1}{3k}\overrightarrow{OQ}$$

③ $G$ 在直線 $PQ$ 上，所以兩個係數相加等於 $1$：$\frac{1}{3h}+\frac{1}{3k}=1$。

④ 兩邊乘以 $3$：$\frac{1}{h}+\frac{1}{k}=3$。

答案 (C)。

① $\overline{AB}=\left|(-3,4)\right|=\sqrt{9+16}=5$。

② $\overline{BC}=\left|(7,-1)\right|=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。

③ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(-3+7,4-1)=(4,3)$，$\overline{AC}=\sqrt{16+9}=5$。

④ 周長 $=5+5\sqrt{2}+5=10+5\sqrt{2}$。

答案 (B)。

① 先算空間中四點的 $K$ 值。三段等長，設每段長 $d$，則 $\overline{Q_1{Q}_4}=3d$，$\overline{Q_2{Q}_3}=d$，$\overline{Q_1{Q}_3}=\overline{Q_2{Q}_4}=2d$：

$$K=\frac{3d\times d}{2d\times 2d}=\frac{3}{4}$$

② 依原則三，畫紙上四點的 $K$ 值也要是 $\frac{3}{4}$；依原則二，畫紙上的順序也要是 $Q_1$、$Q_2$、$Q_3$、$Q_4$（四個選項都由小到大排，順序沒問題）。

③ 數線上兩點的距離就是坐標相減，逐項算：

(A) $\frac{(9-3)(6-4)}{(6-3)(9-4)}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$。

(B) $\frac{(8-1)(4-2)}{(4-1)(8-2)}=\frac{14}{18}=\frac{7}{9}$。

(C) $\frac{(9-1)(8-5)}{(8-1)(9-5)}=\frac{24}{28}=\frac{6}{7}$。

(D) $\frac{(10-1)(9-7)}{(9-1)(10-7)}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$。

④ 只有 (D) 的 $K$ 值等於 $\frac{3}{4}$。

答案 (D)。

三個頂點沒有指定順序，第四個頂點 $D$ 有三種情形。平行四邊形的兩條對角線互相平分，所以對角兩頂點的坐標和相等。

① $\overline{AC}$ 是對角線：$D=A+C-B=(4+0+2,1+3+2)=(6,6)$。

② $\overline{AB}$ 是對角線：$D=A+B-C=(4-2-0,1-2-3)=(2,-4)$。

③ $\overline{BC}$ 是對角線：$D=B+C-A=(-2+0-4,-2+3-1)=(-6,0)$。

(A) 正確。$(2,-4)$ 是情形 ②。

(B) 錯誤。$(2,4)$ 不是三種情形中的任何一個。

(C) 正確。$(-6,0)$ 是情形 ③。

(D) 正確。$(6,6)$ 是情形 ①。

答案 (A)(C)(D)。

正方形的兩條對角線互相垂直、平分而且等長。

① 已知對角線的中點 $M=\left(\frac{-1+6}{2},\frac{-1+0}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$。

② 從 $M$ 到 $(6,0)$ 的半條對角線：$\left(6-\frac{5}{2},0+\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right)$。

③ 另一條對角線的半條要與它垂直、等長：$\left(-\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)$ 或 $\left(\frac{1}{2},-\frac{7}{2}\right)$（與 $\left(\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right)$ 的內積都是 $0$）。

④ 兩端點：$\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}+\frac{7}{2}\right)=(2,3)$，$\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2},-\frac{1}{2}-\frac{7}{2}\right)=(3,-4)$。

(A) 錯誤。$(1,-4)$ 不是端點。

(B) 錯誤。$(-2,3)$ 不是端點。

(C) 正確。

(D) 正確。

答案 (C)(D)。

把 $(1,1)=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}$ 寫成聯立方程式解 $\alpha$、$\beta$，看是否都在 $0$ 到 $1$ 之間。

(A) 錯誤。$2\alpha -4\beta =1$，$-3\alpha +3\beta =1$。由第二式 $\alpha =\beta -\frac{1}{3}$，代入第一式得 $-2\beta -\frac{2}{3}=1$，$\beta =-\frac{5}{6}<0$，不合。

(B) 正確。$3\alpha +4\beta =1$，$4\alpha -\beta =1$。由第二式 $\beta =4\alpha -1$，代入得 $19\alpha =5$，$\alpha =\frac{5}{19}$，$\beta =\frac{1}{19}$，都在 $0$ 到 $1$ 之間。

(C) 正確。$3\alpha +3\beta =1$，$2\alpha +4\beta =1$。得 $\alpha +\beta =\frac{1}{3}$，再代入得 $\beta =\frac{1}{6}$，$\alpha =\frac{1}{6}$，都在範圍內。

(D) 正確。$\alpha +2\beta =1$，$2\alpha +\beta =1$，相減得 $\alpha =\beta$，$\alpha =\beta =\frac{1}{3}$，都在範圍內。

答案 (B)(C)(D)。

① 兩向量平行，對應分量成比例：$(x+2)\times 12-(-6)\times (1-4x)=0$。

② 展開：$12x+24+6-24x=0$，$-12x+30=0$。

③ $x=\frac{5}{2}$。

答案 $\frac{5}{2}$。

① $M$ 在直線 $AP$ 上，設 $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AP}=\frac{t}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{t}{5}\overrightarrow{AC}$。

② $M$ 又在 $\overline{BC}$ 上，所以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 的係數和為 $1$：$\frac{t}{2}+\frac{t}{5}=1$，$\frac{7t}{10}=1$，$t=\frac{10}{7}$。

③ $\overrightarrow{AM}=\frac{10}{7}\left(\frac{7}{10},\frac{7}{5}\right)=(1,2)$。

答案 $(1,2)$。

① $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，兩邊平方（自己和自己內積）：

$${\left|\overrightarrow{BC}\right|}^2={\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+{\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2$$

② 代入長度：$49=25-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+9$。

③ $2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=34-49=-15$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{15}{2}$。

答案 $-\frac{15}{2}$。

① 先算 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\times 2\times \cos 60^{\circ }=1$。

② (1) 長度平方展開：

$${\left|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2=9{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+6\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=9+6+4=19$$

所以 $\left|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{19}$。

③ (2) 垂直就是內積為 $0$：

$$\left(\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\right)\cdot \left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+k\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-k{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$$

④ 代入：$1-1+k-4k=-3k=0$，$k=0$。

答案 (1) $\sqrt{19}$；(2) $0$。

① 正射影與投影的方向平行，所以 $\overrightarrow{u}$ 平行於 $(2,-1)$，$\overrightarrow{v}$ 平行於 $(1,2)$。

② $(2,-1)\cdot (1,2)=2-2=0$，兩個方向互相垂直。

③ 設 $\overrightarrow{a}=(x,y)$。在 $(2,-1)$ 方向的正射影是 $\frac{2x-y}{5}(2,-1)=(2,-1)$，得 $2x-y=5$。

④ 在 $(1,2)$ 方向的正射影是 $\frac{x+2y}{5}(1,2)=(1,2)$，得 $x+2y=5$。

⑤ 解聯立：$x=3$，$y=1$，$\overrightarrow{a}=(3,1)$，$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。

答案 $\sqrt{10}$。

① 設 $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=c$。則 $\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\cdot \overrightarrow{u}=1+c$，${\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|}^2=1+2c+1=2+2c$。

② 夾角 $45^{\circ }$：

$$\cos 45^{\circ }=\frac{1+c}{\sqrt{2+2c}\times 1}=\sqrt{\frac{1+c}{2}}$$

③ $\sqrt{\frac{1+c}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，平方得 $\frac{1+c}{2}=\frac{1}{2}$，$c=0$。

④ 題目給 $\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|\ne 0$，即 $c\ne -1$，夾角才有定義；$c=0$ 符合。

答案 $0$。

① $\overrightarrow{QP}=(7-2,0-1)=(5,-1)$，$\overrightarrow{QR}=(8-2,5-1)=(6,4)$。

② $\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QR}=30-4=26$，${\left|\overrightarrow{QR}\right|}^2=36+16=52$。

③ 正射影：

$$\frac{\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QR}}{{\left|\overrightarrow{QR}\right|}^2}\overrightarrow{QR}=\frac{26}{52}(6,4)=(3,2)$$

答案 $(3,2)$。

① 方向向量：$L_1$ 的斜率 $2$，取 $(1,2)$；$L_2$ 的斜率 $-3$，取 $(1,-3)$。

② 兩方向向量的夾角 $\theta$：

$$\cos \theta =\frac{1\times 1+2\times (-3)}{\sqrt{5}\times \sqrt{10}}=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

③ $\theta =135^{\circ }$，兩直線的夾角是 $135^{\circ }$ 與 $45^{\circ }$，銳夾角為 $45^{\circ }$。

答案 $45$。

① $\overrightarrow{AB}=(3,0)$，$\overrightarrow{AC}=(2,2)$，$\overrightarrow{AP}=(3r+2t,2t)$。

② 固定 $t$，$r$ 從 $1$ 變到 $3$，$P$ 在水平方向走出一段長 $(3-1)\times 3=6$ 的線段。

③ $t$ 從 $0$ 變到 $4$，這條線段沿 $\overrightarrow{AC}$ 方向平移，掃出一個平行四邊形，四個頂點是 $(3,0)$、$(9,0)$、$(17,8)$、$(11,8)$。

④ 底邊在 $x$ 軸上長 $6$，高是 $y$ 坐標的變化 $2\times 4=8$。

⑤ 面積 $=6\times 8=48$。

答案 $48$。

① 設 A3 的短邊為 $x$ 公分。沿長邊對折剪開，A4 的兩邊是 $x$ 與 $\frac{42}{2}=21$。

② A4 的長邊是 $x$（因為 $x>21$），短邊是 $21$。

③ 兩張紙相似，長邊與短邊的比相同：$\frac{42}{x}=\frac{x}{21}$。

④ $x^2=42\times 21=882=441\times 2$，$x=21\sqrt{2}$。

⑤ A4 的長邊就是 A3 的短邊 $x$。

答案 $21\sqrt{2}$。