段考詳解範圍：弧度量、正弦函數的圖形與週期性數學模型

基隆高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

第壹部分選擇（填）題占 86 分：單選題 6 題（每題 6 分，共 36 分）、多選題 4 題（每題 5 分，共 20 分；答錯 1 個選項得 3 分，答錯 2 個選項得 1 分）、選填題 5 題（每題 6 分，共 30 分）；第貳部分混合題 1 題組占 14 分（第 16、17 題各 7 分）。單選與選填的框內說明印每題 5 分，配分照大題標題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

第壹部分：選擇（填）題（占 86 分）　一、單選題（每題 6 分，共 36 分）說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

將

- 12 0^{\circ}

化為弳應為何？

(A) $\frac{π}{3}$
(B) $- \frac{π}{3}$
(C) $\frac{2 π}{3}$
(D) $- \frac{2 π}{3}$
(E) $- \frac{3 π}{4}$

已知

a = sin 2

，試選出正確的選項。

(A) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(B) $- 1 < a < - \frac{1}{2}$
(C) $- \frac{1}{2} < a < 0$
(D) $\frac{1}{2} < a < 1$
(E) $\frac{3}{2} < a < 1$

設

f (x) = sin x + cos x

，求

f (\frac{π}{6}) =

？

(A) $\frac{3 + 1}{2}$
(B) $\frac{3 - 1}{2}$
(C) $\frac{π}{6}$
(D) $\frac{π}{3}$
(E) $0$

20

（弳）為第幾象限角？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 象限角

若函數

f_{1} (x) = sin (\frac{x}{3})

、

f_{2} (x) = sin x

、

f_{3} (x) = sin (3 x)

與

f_{4} (x) = sin (π x)

的週期分別為

p_{1}

、

p_{2}

、

p_{3}

、

p_{4}

，且以下有

5

個敘述： ①

p_{1} > p_{2} > p_{3}

　②

p_{4} > p_{1} > p_{2}

　③

4

個函數的最大值都是

2

④

4

個函數的最小值都是

- 1

　⑤

p_{1}

、

p_{2}

、

p_{3}

、

p_{4}

四個數中沒有整數試問上述

5

個敘述有幾個是正確的？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$

方程式

π \cdot sin x = x

的實根個數有幾個？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $3$
(D) $5$
(E) 無限多個

二、多選題（每題 5 分，共 20 分）說明：第 7 題至第 10 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

試選出數值小於

0

的選項。

(A) $sin 1$
(B) $cos 2$
(C) $tan 3$
(D) $sin 4$
(E) $cos 5$

設

sin θ = - \frac{4}{5}

，且

θ

為第四象限角，試選出正確的選項。

(A) $cos θ = \frac{3}{5}$
(B) $tan θ = - \frac{3}{4}$
(C) $sin (π + θ) = \frac{4}{5}$
(D) $cos (\frac{π}{2} - θ) = - \frac{4}{5}$
(E) $tan (θ - π) = \frac{3}{4}$

關於函數

y = 5 sin 2 x

，則下列選項哪些正確？

(A) $- 5 \leq y \leq 5$
(B) $y = 5 sin 2 x$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 時有最大值
(C) 此函數圖形的振幅為 $2$
(D) 此函數圖形的週期為 $2 π$
(E) 此函數的圖形對稱於直線 $x = \frac{3 π}{4}$

下列關於度與弳的互換，請選出正確的選項？

(A) $\frac{5 π}{3} = 30 0^{\circ}$
(B) $\frac{3 π}{2} = 13 5^{\circ}$
(C) $π = 36 0^{\circ}$
(D) $π = 18 0^{\circ}$
(E) $1 = \frac{18 0 ^{\circ}}{π}$

三、選填題（每題 6 分，共 30 分）說明：1. 第 11 至 15 題，將答案劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號　2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

時鐘指向

10

點

10

分時，時針與分針所夾之較小角為 ____

π

（弳）。（請化為最簡分數）

求值：

3 tan \frac{π}{3} + 22 sin \frac{5 π}{6} - 2 cos \frac{7 π}{4} =

____。

若

y = sin x + 3

的圖形向右平移

2

單位，再向下平移

2

單位可得到

f (x) = sin (x + a) + b

的圖形，已知

a

，

b

均為整數，則數對

(a, b) =

____。

為了防止山羌再誤入生態池，小智在生態池外圍加裝圍籬

A B C D

，如圖為扇形

A O B

與扇形

C O D

中，

\overline{O A} = 10

公尺，

\overline{O C} = 8

公尺，

∠ A O B = 12 0^{\circ}

，試求

A B C D

圍籬周長為 ____

+

____

π

。

載入中...

位於彰化花壇鄉的別有洞天水管咖啡莊園，因為有個巨大的水泥管變成小孩的秘密基地，咖啡上桌後，瞬間又成了約會的好地方，每根水管皆是底面直徑為

2

公尺的圓柱體，重達

8.7

公噸，小慈想計算三個圓中間所圍

A B C

區域面積為

□ - \frac{π}{□}

平方公尺。（不計算水管的厚度）

載入中...

第貳部分、混合題或非選擇題（占 14 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在答題卷標示題號的作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

16－17 題為題組（第 16～17 題）　麗寶樂園-天空之夢(Sky Dream)摩天輪，中心軸高

66

公尺，直徑

120

公尺，逆時針方向旋轉一圈需時

24

分鐘。

當摩天輪開始運轉時，小憂坐在離地面最近的位置上，則運轉

8

分鐘後，試問小憂離地面幾公尺？（7 分）

(A) $82$
(B) $84$
(C) $88$
(D) $92$
(E) $96$

承(第 16 題)當摩天輪開始運轉時，小憂恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，小憂離地的高度可表為

y = a sin (b x - \frac{π}{2}) + c

（公尺），

a > 0

且

b > 0

，則序組

(a, b, c) =

？（7 分）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(E)（(D) 的範圍也成立，(E) 較精確）

第 3 題(A)

第 4 題(A)

第 5 題(B)

第 6 題(C)

第 7 題(B)(C)(D)

第 8 題(A)(C)(D)

第 9 題(A)(E)

第 10 題(A)(D)(E)

第 11 題

\frac{23}{36} π

第 12 題

3

第 13 題

(- 2, 1)

第 14 題

4 + 12 π

第 15 題

3 - \frac{π}{2}

第 16 題(E)

第 17 題

(60, \frac{π}{12}, 66)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：度與弧度、弧度角的三角函數值與象限

第 1 題答案 (D)。

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳。

- 12 0^{\circ} = - 120 \times \frac{π}{180} = - \frac{2 π}{3}

弳。

負角換成弧度後仍是負的，符號要留著。

第 2 題

答案 (E)。用 $π \approx 3.14$ ： $\frac{π}{2} \approx 1.57$ ， $\frac{2 π}{3} \approx 2.09$ ，所以 $\frac{π}{2} < 2 < \frac{2 π}{3}$ ， $2$ 弳是第二象限角。在 $\frac{π}{2}$ 到 $π$ 之間，角愈大正弦值愈小，所以 $sin \frac{2 π}{3} < sin 2 < sin \frac{π}{2}$ ，也就是 $\frac{3}{2} < a < 1$ 。

補充： $\frac{3}{2} < a < 1$ 時， $\frac{1}{2} < a < 1$ 也成立，所以 (D) 的敘述同樣正確；(E) 的範圍包含在 (D) 裡、比較精確，是「最適當」的選項，學校答案也是 (E)。本卷單選說明寫「正確或最適當」，所以選範圍最精確的 (E)。

2

弳約是

114. 6^{\circ}

，介於

9 0^{\circ}

與

12 0^{\circ}

之間；

sin 2 \approx 0.909

，而

\frac{3}{2} \approx 0.866

。

第 3 題答案 (A)。

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

，

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

，所以

f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3 + 1}{2}

。

\frac{π}{6}

是代進去的角，不是函數值，(C) 是陷阱。

第 4 題答案 (A)。一圈是

2 π \approx 6.28

弳，

3

圈是

6 π \approx 18.85

弳。

20 - 6 π \approx 1.15

，而

0 < 1.15 < \frac{π}{2} \approx 1.57

，所以

20

弳與

20 - 6 π

弳是同界角，落在第一象限。

20

弳不是

2 0^{\circ}

；要先扣掉整圈

2 π

的倍數再判斷。

弧度角判斷象限：先用

π \approx 3.14

算出

\frac{π}{2}

、

π

、

\frac{3 π}{2}

、

2 π

的近似值當刻度，再看角落在哪兩個刻度之間。

02單選第 5、6 題：週期與最大最小值、用圖形數實根

第 5 題

答案 (B)。 $y = sin (k x)$ （ $k > 0$ ）的週期是 $\frac{2 π}{k}$ ，所以 $p_{1} = \frac{2 π}{\frac{1}{3}} = 6 π$ ， $p_{2} = 2 π$ ， $p_{3} = \frac{2 π}{3}$ ， $p_{4} = \frac{2 π}{π} = 2$ 。

① $6 π > 2 π > \frac{2 π}{3}$ ，正確。② $p_{4} = 2$ 小於 $p_{1} = 6 π$ ，錯誤。③ 正弦函數的值介於 $- 1$ 與 $1$ 之間，四個函數的最大值都是 $1$ ，錯誤。④ 最小值都是 $- 1$ ，正確。⑤ $p_{4} = 2$ 是整數，錯誤。正確的是 ①④，共 $2$ 個。

sin (π x)

裡的

π

是係數，週期

\frac{2 π}{π} = 2

剛好是整數。

第 6 題

答案 (C)。方程式等於 $sin x = \frac{x}{π}$ ，實根個數就是曲線 $y = sin x$ 與直線 $y = \frac{x}{π}$ 的交點個數。

正弦值介於 $- 1$ 與 $1$ 之間，而 $x > π$ 時 $\frac{x}{π} > 1$ 、 $x < - π$ 時 $\frac{x}{π} < - 1$ ，所以交點只可能在 $- π \leq x \leq π$ 。 $x = 0$ 時兩邊都是 $0$ ，是一個根。在 $0 < x < π$ ： $x = \frac{π}{2}$ 時曲線高 $1$ 、直線高 $\frac{1}{2}$ ，曲線在上； $x = π$ 時曲線高 $0$ 、直線高 $1$ ，直線在上。在 $(0, \frac{π}{2}]$ ，由單位圓上三角形面積小於扇形面積得 $sin x > x cos x$ ： $0 < x \leq \frac{π}{3}$ 時 $sin x \geq \frac{x}{2} > \frac{x}{π}$ ， $\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{2}$ 時 $sin x \geq \frac{3}{2} > \frac{x}{π}$ ，曲線一直在直線上方；在 $(\frac{π}{2}, π)$ ， $sin x$ 遞減而 $\frac{x}{π}$ 遞增，曲線由上方（ $x = \frac{π}{2}$ 時 $1 > \frac{1}{2}$ ）穿到下方（ $x = π$ 時 $0 < 1$ ）恰好一次，所以正的根恰有 $1$ 個。兩個圖形都對稱於原點，負的根也恰有 $1$ 個。共 $3$ 個實根。

x = \pm π

不是根：

π sin π = 0 \neq = π

。正的根約在

x \approx 2.31

。

03多選第 7、8 題：三角函數值的正負與廣義角

第 7 題

答案 (B)(C)(D)。先用 $π \approx 3.14$ 定刻度： $\frac{π}{2} \approx 1.57$ ， $π \approx 3.14$ ， $\frac{3 π}{2} \approx 4.71$ ， $2 π \approx 6.28$ 。

(A) 錯誤。 $0 < 1 < \frac{π}{2}$ ，第一象限， $sin 1 > 0$ 。

(B) 正確。 $\frac{π}{2} < 2 < π$ ，第二象限，餘弦為負， $cos 2 < 0$ 。

(D) 正確。 $π < 4 < \frac{3 π}{2}$ ，第三象限，正弦為負， $sin 4 < 0$ 。

(E) 錯誤。 $\frac{3 π}{2} < 5 < 2 π$ ，第四象限，餘弦為正， $cos 5 > 0$ 。

近似值：

sin 1 \approx 0.84

，

cos 2 \approx - 0.42

，

tan 3 \approx - 0.14

，

sin 4 \approx - 0.76

，

cos 5 \approx 0.28

。

第 8 題

答案 (A)(C)(D)。 $θ$ 在第四象限， $cos θ > 0$ 。由 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ ， $cos^{2} θ = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ ， $cos θ = \frac{3}{5}$ ； $tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = - \frac{4}{3}$ 。

(A) 正確。 $cos θ = \frac{3}{5}$ 。

(B) 錯誤。 $tan θ = - \frac{4}{3}$ ，不是 $- \frac{3}{4}$ 。

(D) 正確。 $cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ = - \frac{4}{5}$ 。

(E) 錯誤。 $θ - π$ 與 $θ + π$ 是同界角， $tan (θ - π) = tan (θ + π) = tan θ = - \frac{4}{3}$ 。

正切的週期是

π

，加減

π

值不變；(B)(E) 都是把

\frac{sin θ}{cos θ}

寫顛倒成

\frac{cos θ}{sin θ}

的數字。

04多選第 9、10 題：正弦函數的圖形、度與弧度

第 9 題

答案 (A)(E)。 $y = 5 sin 2 x$ 的振幅是 $5$ ，週期是 $\frac{2 π}{2} = π$ 。

(A) 正確。 $- 1 \leq sin 2 x \leq 1$ ，乘以 $5$ 得 $- 5 \leq y \leq 5$ 。

(B) 錯誤。 $x = \frac{π}{2}$ 時 $y = 5 sin π = 0$ ，不是最大值 $5$ ；最大值發生在 $2 x = \frac{π}{2} + 2 k π$ ，即 $x = \frac{π}{4} + k π$ （ $k$ 為整數）。

(D) 錯誤。 週期是 $π$ 。

(E) 正確。 $x = \frac{3 π}{4}$ 時 $y = 5 sin \frac{3 π}{2} = - 5$ ，是最低點。正弦曲線對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，所以圖形對稱於直線 $x = \frac{3 π}{4}$ 。

也可以直接檢查：

x = \frac{3 π}{4} \pm t

時，

y = 5 sin (\frac{3 π}{2} \pm 2 t)

，兩者都等於

- 5 cos 2 t

，左右對稱。

第 10 題

答案 (A)(D)(E)。 $π$ 弳 $= 18 0^{\circ}$ 。

(A) 正確。 $\frac{5 π}{3} = \frac{5}{3} \times 18 0^{\circ} = 30 0^{\circ}$ 。

(B) 錯誤。 $\frac{3 π}{2} = \frac{3}{2} \times 18 0^{\circ} = 27 0^{\circ}$ 。

(D) 正確。 半圓的弧長是 $π r$ ，對應的圓心角是 $π$ 弳，也就是 $18 0^{\circ}$ 。

(E) 正確。 由 $π = 18 0^{\circ}$ ，兩邊除以 $π$ 得 $1$ 弳 $= \frac{18 0 ^{\circ}}{π}$ （約 $57. 3^{\circ}$ ）。

寫角度時不寫單位就表示弳，所以

π = 18 0^{\circ}

、

1 = \frac{18 0 ^{\circ}}{π}

都是合理的寫法。

y = a sin (b x)

（

a > 0

，

b > 0

）：振幅

a

，週期

\frac{2 π}{b}

；對稱軸是通過最高點與最低點的鉛直線。

05選填第 11～13 題：時鐘夾角、特殊角求值、圖形平移

第 11 題以

12

點方向為起點、順時針量角。分針每分鐘走

6^{\circ}

，

10

分時在

6 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

10

點

10

分時在

10 \times 3 0^{\circ} + 10 \times 0. 5^{\circ} = 30 5^{\circ}

。兩針相差

30 5^{\circ} - 6 0^{\circ} = 24 5^{\circ}

，較小角是

36 0^{\circ} - 24 5^{\circ} = 11 5^{\circ}

。化為弳：

115 \times \frac{π}{180} = \frac{23}{36} π

。

時針在

10

點

10

分已經離開「

10

」走了

5^{\circ}

，若當成正好指著

10

會算成

12 0^{\circ}

。

第 12 題

$tan \frac{π}{3} = 3$ ，所以第一項是 $3 \times 3 = 3$ 。 $\frac{5 π}{6}$ 是第二象限角， $sin \frac{5 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ，第二項是 $22 \times \frac{1}{2} = 2$ 。 $\frac{7 π}{4}$ 是第四象限角， $cos \frac{7 π}{4} = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ ，第三項是 $- 2 \times \frac{2}{2} = - 2$ 。

合計 $3 + 2 - 2 = 3$ 。

第 13 題圖形向右平移

2

單位，是把式子裡的

x

換成

x - 2

：

y = sin (x - 2) + 3

。再向下平移

2

單位，是整個式子減

2

：

y = sin (x - 2) + 1

。和

f (x) = sin (x + a) + b

對照，

a = - 2

、

b = 1

。

sin (x + a)

的

a

換成

- 2 + 2 k π

也是同一個圖形，但

k \neq = 0

時不是整數，所以整數解只有

a = - 2

。

06選填第 14、15 題：扇形的弧長、三個相切的圓

第 14 題

圍籬 $A B C D$ 由弧 $A B$ 、線段 $B D$ 、弧 $D C$ 、線段 $C A$ 組成（ $C$ 在 $\overline{O A}$ 上、 $D$ 在 $\overline{O B}$ 上）。 $∠ A O B = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}$ 弳，弧長＝半徑×圓心角（弳）。

弧 $A B = 10 \times \frac{2 π}{3} = \frac{20 π}{3}$ ，弧 $C D = 8 \times \frac{2 π}{3} = \frac{16 π}{3}$ ， $\overline{A C} = \overline{B D} = 10 - 8 = 2$ 。

周長 $= \frac{20 π}{3} + \frac{16 π}{3} + 2 + 2 = 4 + 12 π$ （公尺）。

周長不含

\overline{O C}

、

\overline{O D}

，只算外圍一圈

A \to B \to D \to C \to A

。

第 15 題

三個圓的半徑都是 $1$ 公尺，兩兩外切，三個圓心兩兩相距 $2$ ，連成邊長 $2$ 的正三角形，切點 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分別在三邊的中點。

正三角形面積 $= \frac{3}{4} \times 2^{2} = 3$ 。正三角形每個內角 $6 0^{\circ} = \frac{π}{3}$ ，三角形內含三個半徑 $1$ 、圓心角 $\frac{π}{3}$ 的扇形，每個面積 $\frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{π}{6}$ ，合計 $\frac{π}{2}$ 。

區域 $A B C$ 的面積 $= 3 - \frac{π}{2}$ 平方公尺，所以兩格依序是 $3$ 與 $2$ 。

題目中的重量

8.7

公噸與計算無關。

3 - \frac{π}{2} \approx 0.161

平方公尺。

弧度制的好處：弧長

= r θ

，扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

。曲線圍成的區域先找多邊形，再扣掉（或加上）扇形。

07混合題第 16、17 題：摩天輪的高度

第 16 題

答案 (E)。半徑是 $60$ 公尺，最低點離地 $66 - 60 = 6$ 公尺。一圈 $24$ 分鐘， $8$ 分鐘轉了 $\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ 圈，也就是 $12 0^{\circ}$ 。

從最低點（在中心正下方）轉 $12 0^{\circ}$ 後，座艙在中心水平線上方，和「中心正上方」的方向夾 $6 0^{\circ}$ ，比中心高 $60 cos 6 0^{\circ} = 30$ 公尺。離地高度 $= 66 + 30 = 96$ 公尺。

轉

9 0^{\circ}

時與中心等高（

66

公尺），再多轉

3 0^{\circ}

又升高

60 sin 3 0^{\circ} = 30

公尺，結果相同。

第 17 題

$a > 0$ ， $sin (b x - \frac{π}{2})$ 的值介於 $- 1$ 與 $1$ 之間，所以 $y$ 的最大值是 $a + c$ ，最小值是 $- a + c$ 。

摩天輪的最高點離地 $66 + 60 = 126$ 公尺，最低點離地 $66 - 60 = 6$ 公尺，所以 $a + c = 126$ 、 $- a + c = 6$ ，解得 $a = 60$ ， $c = 66$ 。

$b > 0$ 時週期是 $\frac{2 π}{b}$ 。轉一圈需 $24$ 分鐘，所以 $\frac{2 π}{b} = 24$ ， $b = \frac{π}{12}$ 。

驗證起點： $x = 0$ 時 $y = 60 sin (- \frac{π}{2}) + 66 = - 60 + 66 = 6$ ，正是最低點，符合題意。故 $(a, b, c) = (60, \frac{π}{12}, 66)$ 。

代回第 16 題：

x = 8

時

y = 60 sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{2}) + 66 = 60 sin \frac{π}{6} + 66 = 96

，與第 16 題一致。

週期性模型

y = a sin (b x + d) + c

：

c

是中心線（最高與最低的平均），

a

是振幅（最高與最低差的一半），

b

由週期

\frac{2 π}{b}

決定。

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基隆高中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2、4、7 題要用圓周率約三點一四把弧度角放進正確的象限，不能當成度；第 5 題四個週期裡有一個是整數，最大值都是一不是二；第 6 題要畫出正弦曲線與直線，原點也是一個根；第 11 題時針在十點十分已經走過一小段，不是正好指著十；第 13 題向右平移是把 x 換成 x 減二；第 17 題要用最高點、最低點與一圈的時間定出三個係數。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自基隆高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：弧度量、正弦函數的圖形與週期性數學模型

基隆高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

將

- 12 0^{\circ}

化為弳應為何？

(A) $\frac{π}{3}$
(B) $- \frac{π}{3}$
(C) $\frac{2 π}{3}$
(D) $- \frac{2 π}{3}$
(E) $- \frac{3 π}{4}$

已知

a = sin 2

，試選出正確的選項。

(A) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(B) $- 1 < a < - \frac{1}{2}$
(C) $- \frac{1}{2} < a < 0$
(D) $\frac{1}{2} < a < 1$
(E) $\frac{3}{2} < a < 1$

設

f (x) = sin x + cos x

，求

f (\frac{π}{6}) =

？

(A) $\frac{3 + 1}{2}$
(B) $\frac{3 - 1}{2}$
(C) $\frac{π}{6}$
(D) $\frac{π}{3}$
(E) $0$

20

（弳）為第幾象限角？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 象限角

若函數

f_{1} (x) = sin (\frac{x}{3})

、

f_{2} (x) = sin x

、

f_{3} (x) = sin (3 x)

與

f_{4} (x) = sin (π x)

的週期分別為

p_{1}

、

p_{2}

、

p_{3}

、

p_{4}

，且以下有

5

個敘述： ①

p_{1} > p_{2} > p_{3}

　②

p_{4} > p_{1} > p_{2}

　③

4

個函數的最大值都是

2

④

4

個函數的最小值都是

- 1

　⑤

p_{1}

、

p_{2}

、

p_{3}

、

p_{4}

四個數中沒有整數試問上述

5

個敘述有幾個是正確的？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$

方程式

π \cdot sin x = x

的實根個數有幾個？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $3$
(D) $5$
(E) 無限多個

試選出數值小於

0

的選項。

(A) $sin 1$
(B) $cos 2$
(C) $tan 3$
(D) $sin 4$
(E) $cos 5$

設

sin θ = - \frac{4}{5}

，且

θ

為第四象限角，試選出正確的選項。

(A) $cos θ = \frac{3}{5}$
(B) $tan θ = - \frac{3}{4}$
(C) $sin (π + θ) = \frac{4}{5}$
(D) $cos (\frac{π}{2} - θ) = - \frac{4}{5}$
(E) $tan (θ - π) = \frac{3}{4}$

關於函數

y = 5 sin 2 x

，則下列選項哪些正確？

(A) $- 5 \leq y \leq 5$
(B) $y = 5 sin 2 x$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 時有最大值
(C) 此函數圖形的振幅為 $2$
(D) 此函數圖形的週期為 $2 π$
(E) 此函數的圖形對稱於直線 $x = \frac{3 π}{4}$

下列關於度與弳的互換，請選出正確的選項？

(A) $\frac{5 π}{3} = 30 0^{\circ}$
(B) $\frac{3 π}{2} = 13 5^{\circ}$
(C) $π = 36 0^{\circ}$
(D) $π = 18 0^{\circ}$
(E) $1 = \frac{18 0 ^{\circ}}{π}$

時鐘指向

10

點

10

分時，時針與分針所夾之較小角為 ____

π

（弳）。（請化為最簡分數）

求值：

3 tan \frac{π}{3} + 22 sin \frac{5 π}{6} - 2 cos \frac{7 π}{4} =

____。

若

y = sin x + 3

的圖形向右平移

2

單位，再向下平移

2

單位可得到

f (x) = sin (x + a) + b

的圖形，已知

a

，

b

均為整數，則數對

(a, b) =

____。

為了防止山羌再誤入生態池，小智在生態池外圍加裝圍籬

A B C D

，如圖為扇形

A O B

與扇形

C O D

中，

\overline{O A} = 10

公尺，

\overline{O C} = 8

公尺，

∠ A O B = 12 0^{\circ}

，試求

A B C D

圍籬周長為 ____

+

____

π

。

載入中...

2

公尺的圓柱體，重達

8.7

公噸，小慈想計算三個圓中間所圍

A B C

區域面積為

□ - \frac{π}{□}

平方公尺。（不計算水管的厚度）

載入中...

16－17 題為題組（第 16～17 題）　麗寶樂園-天空之夢(Sky Dream)摩天輪，中心軸高

66

公尺，直徑

120

公尺，逆時針方向旋轉一圈需時

24

分鐘。

當摩天輪開始運轉時，小憂坐在離地面最近的位置上，則運轉

8

分鐘後，試問小憂離地面幾公尺？（7 分）

(A) $82$
(B) $84$
(C) $88$
(D) $92$
(E) $96$

承(第 16 題)當摩天輪開始運轉時，小憂恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，小憂離地的高度可表為

y = a sin (b x - \frac{π}{2}) + c

（公尺），

a > 0

且

b > 0

，則序組

(a, b, c) =

？（7 分）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(E)（(D) 的範圍也成立，(E) 較精確）

第 3 題(A)

第 4 題(A)

第 5 題(B)

第 6 題(C)

第 7 題(B)(C)(D)

第 8 題(A)(C)(D)

第 9 題(A)(E)

第 10 題(A)(D)(E)

第 11 題

\frac{23}{36} π

第 12 題

3

第 13 題

(- 2, 1)

第 14 題

4 + 12 π

第 15 題

3 - \frac{π}{2}

第 16 題(E)

第 17 題

(60, \frac{π}{12}, 66)

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選第 1～4 題：度與弧度、弧度角的三角函數值與象限

第 1 題答案 (D)。

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳。

- 12 0^{\circ} = - 120 \times \frac{π}{180} = - \frac{2 π}{3}

弳。

負角換成弧度後仍是負的，符號要留著。

第 2 題

2

弳約是

114. 6^{\circ}

，介於

9 0^{\circ}

與

12 0^{\circ}

之間；

sin 2 \approx 0.909

，而

\frac{3}{2} \approx 0.866

。

第 3 題答案 (A)。

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

，

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

，所以

f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3 + 1}{2}

。

\frac{π}{6}

是代進去的角，不是函數值，(C) 是陷阱。

第 4 題答案 (A)。一圈是

2 π \approx 6.28

弳，

3

圈是

6 π \approx 18.85

弳。

20 - 6 π \approx 1.15

，而

0 < 1.15 < \frac{π}{2} \approx 1.57

，所以

20

弳與

20 - 6 π

弳是同界角，落在第一象限。

20

弳不是

2 0^{\circ}

；要先扣掉整圈

2 π

的倍數再判斷。

弧度角判斷象限：先用

π \approx 3.14

算出

\frac{π}{2}

、

π

、

\frac{3 π}{2}

、

2 π

的近似值當刻度，再看角落在哪兩個刻度之間。

02單選第 5、6 題：週期與最大最小值、用圖形數實根

第 5 題

sin (π x)

裡的

π

是係數，週期

\frac{2 π}{π} = 2

剛好是整數。

第 6 題

答案 (C)。方程式等於 $sin x = \frac{x}{π}$ ，實根個數就是曲線 $y = sin x$ 與直線 $y = \frac{x}{π}$ 的交點個數。

x = \pm π

不是根：

π sin π = 0 \neq = π

。正的根約在

x \approx 2.31

。

03多選第 7、8 題：三角函數值的正負與廣義角

第 7 題

答案 (B)(C)(D)。先用 $π \approx 3.14$ 定刻度： $\frac{π}{2} \approx 1.57$ ， $π \approx 3.14$ ， $\frac{3 π}{2} \approx 4.71$ ， $2 π \approx 6.28$ 。

(A) 錯誤。 $0 < 1 < \frac{π}{2}$ ，第一象限， $sin 1 > 0$ 。

(B) 正確。 $\frac{π}{2} < 2 < π$ ，第二象限，餘弦為負， $cos 2 < 0$ 。

(D) 正確。 $π < 4 < \frac{3 π}{2}$ ，第三象限，正弦為負， $sin 4 < 0$ 。

(E) 錯誤。 $\frac{3 π}{2} < 5 < 2 π$ ，第四象限，餘弦為正， $cos 5 > 0$ 。

近似值：

sin 1 \approx 0.84

，

cos 2 \approx - 0.42

，

tan 3 \approx - 0.14

，

sin 4 \approx - 0.76

，

cos 5 \approx 0.28

。

第 8 題

(A) 正確。 $cos θ = \frac{3}{5}$ 。

(B) 錯誤。 $tan θ = - \frac{4}{3}$ ，不是 $- \frac{3}{4}$ 。

(D) 正確。 $cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ = - \frac{4}{5}$ 。

(E) 錯誤。 $θ - π$ 與 $θ + π$ 是同界角， $tan (θ - π) = tan (θ + π) = tan θ = - \frac{4}{3}$ 。

正切的週期是

π

，加減

π

值不變；(B)(E) 都是把

\frac{sin θ}{cos θ}

寫顛倒成

\frac{cos θ}{sin θ}

的數字。

04多選第 9、10 題：正弦函數的圖形、度與弧度

第 9 題

答案 (A)(E)。 $y = 5 sin 2 x$ 的振幅是 $5$ ，週期是 $\frac{2 π}{2} = π$ 。

(A) 正確。 $- 1 \leq sin 2 x \leq 1$ ，乘以 $5$ 得 $- 5 \leq y \leq 5$ 。

(B) 錯誤。 $x = \frac{π}{2}$ 時 $y = 5 sin π = 0$ ，不是最大值 $5$ ；最大值發生在 $2 x = \frac{π}{2} + 2 k π$ ，即 $x = \frac{π}{4} + k π$ （ $k$ 為整數）。

(D) 錯誤。 週期是 $π$ 。

也可以直接檢查：

x = \frac{3 π}{4} \pm t

時，

y = 5 sin (\frac{3 π}{2} \pm 2 t)

，兩者都等於

- 5 cos 2 t

，左右對稱。

第 10 題

答案 (A)(D)(E)。 $π$ 弳 $= 18 0^{\circ}$ 。

(A) 正確。 $\frac{5 π}{3} = \frac{5}{3} \times 18 0^{\circ} = 30 0^{\circ}$ 。

(B) 錯誤。 $\frac{3 π}{2} = \frac{3}{2} \times 18 0^{\circ} = 27 0^{\circ}$ 。

(D) 正確。 半圓的弧長是 $π r$ ，對應的圓心角是 $π$ 弳，也就是 $18 0^{\circ}$ 。

(E) 正確。 由 $π = 18 0^{\circ}$ ，兩邊除以 $π$ 得 $1$ 弳 $= \frac{18 0 ^{\circ}}{π}$ （約 $57. 3^{\circ}$ ）。

寫角度時不寫單位就表示弳，所以

π = 18 0^{\circ}

、

1 = \frac{18 0 ^{\circ}}{π}

都是合理的寫法。

y = a sin (b x)

（

a > 0

，

b > 0

）：振幅

a

，週期

\frac{2 π}{b}

；對稱軸是通過最高點與最低點的鉛直線。

05選填第 11～13 題：時鐘夾角、特殊角求值、圖形平移

第 11 題以

12

點方向為起點、順時針量角。分針每分鐘走

6^{\circ}

，

10

分時在

6 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

10

點

10

分時在

10 \times 3 0^{\circ} + 10 \times 0. 5^{\circ} = 30 5^{\circ}

。兩針相差

30 5^{\circ} - 6 0^{\circ} = 24 5^{\circ}

，較小角是

36 0^{\circ} - 24 5^{\circ} = 11 5^{\circ}

。化為弳：

115 \times \frac{π}{180} = \frac{23}{36} π

。

時針在

10

點

10

分已經離開「

10

」走了

5^{\circ}

，若當成正好指著

10

會算成

12 0^{\circ}

。

第 12 題

合計 $3 + 2 - 2 = 3$ 。

第 13 題圖形向右平移

2

單位，是把式子裡的

x

換成

x - 2

：

y = sin (x - 2) + 3

。再向下平移

2

單位，是整個式子減

2

：

y = sin (x - 2) + 1

。和

f (x) = sin (x + a) + b

對照，

a = - 2

、

b = 1

。

sin (x + a)

的

a

換成

- 2 + 2 k π

也是同一個圖形，但

k \neq = 0

時不是整數，所以整數解只有

a = - 2

。

06選填第 14、15 題：扇形的弧長、三個相切的圓

第 14 題

弧 $A B = 10 \times \frac{2 π}{3} = \frac{20 π}{3}$ ，弧 $C D = 8 \times \frac{2 π}{3} = \frac{16 π}{3}$ ， $\overline{A C} = \overline{B D} = 10 - 8 = 2$ 。

周長 $= \frac{20 π}{3} + \frac{16 π}{3} + 2 + 2 = 4 + 12 π$ （公尺）。

周長不含

\overline{O C}

、

\overline{O D}

，只算外圍一圈

A \to B \to D \to C \to A

。

第 15 題

三個圓的半徑都是 $1$ 公尺，兩兩外切，三個圓心兩兩相距 $2$ ，連成邊長 $2$ 的正三角形，切點 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分別在三邊的中點。

區域 $A B C$ 的面積 $= 3 - \frac{π}{2}$ 平方公尺，所以兩格依序是 $3$ 與 $2$ 。

題目中的重量

8.7

公噸與計算無關。

3 - \frac{π}{2} \approx 0.161

平方公尺。

弧度制的好處：弧長

= r θ

，扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

。曲線圍成的區域先找多邊形，再扣掉（或加上）扇形。

07混合題第 16、17 題：摩天輪的高度

第 16 題

答案 (E)。半徑是 $60$ 公尺，最低點離地 $66 - 60 = 6$ 公尺。一圈 $24$ 分鐘， $8$ 分鐘轉了 $\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ 圈，也就是 $12 0^{\circ}$ 。

轉

9 0^{\circ}

時與中心等高（

66

公尺），再多轉

3 0^{\circ}

又升高

60 sin 3 0^{\circ} = 30

公尺，結果相同。

第 17 題

$a > 0$ ， $sin (b x - \frac{π}{2})$ 的值介於 $- 1$ 與 $1$ 之間，所以 $y$ 的最大值是 $a + c$ ，最小值是 $- a + c$ 。

摩天輪的最高點離地 $66 + 60 = 126$ 公尺，最低點離地 $66 - 60 = 6$ 公尺，所以 $a + c = 126$ 、 $- a + c = 6$ ，解得 $a = 60$ ， $c = 66$ 。

$b > 0$ 時週期是 $\frac{2 π}{b}$ 。轉一圈需 $24$ 分鐘，所以 $\frac{2 π}{b} = 24$ ， $b = \frac{π}{12}$ 。

驗證起點： $x = 0$ 時 $y = 60 sin (- \frac{π}{2}) + 66 = - 60 + 66 = 6$ ，正是最低點，符合題意。故 $(a, b, c) = (60, \frac{π}{12}, 66)$ 。

代回第 16 題：

x = 8

時

y = 60 sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{2}) + 66 = 60 sin \frac{π}{6} + 66 = 96

，與第 16 題一致。

週期性模型

y = a sin (b x + d) + c

：

c

是中心線（最高與最低的平均），

a

是振幅（最高與最低差的一半），

b

由週期

\frac{2 π}{b}

決定。

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01單選第 1～4 題：度與弧度、弧度角的三角函數值與象限

02單選第 5、6 題：週期與最大最小值、用圖形數實根

03多選第 7、8 題：三角函數值的正負與廣義角

04多選第 9、10 題：正弦函數的圖形、度與弧度

05選填第 11～13 題：時鐘夾角、特殊角求值、圖形平移

06選填第 14、15 題：扇形的弧長、三個相切的圓

07混合題第 16、17 題：摩天輪的高度

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02單選第 5、6 題：週期與最大最小值、用圖形數實根

03多選第 7、8 題：三角函數值的正負與廣義角

04多選第 9、10 題：正弦函數的圖形、度與弧度

05選填第 11～13 題：時鐘夾角、特殊角求值、圖形平移

06選填第 14、15 題：扇形的弧長、三個相切的圓

07混合題第 16、17 題：摩天輪的高度

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