段考詳解範圍：多項式的運算與應用（除法原理、餘式定理）、一次二次三次函數的圖形、多項式不等式

基隆高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 基隆高中 112 上 高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案，是非題 8 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 基隆高中 112 上 高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

是非第 3 題要從式子判斷三次函數不會先升再降，或直接代點驗證；多選第 9 題的 a−b+c 要由對稱軸推出 −1 夾在兩截距之間；多選第 11 題要把式子改寫成以 x+1 為主找出對稱中心 (−1, 6)；填充第 15 題不能把共同因式直接約掉，還要記得 x=−1 這個孤立的解；填充第 18 題要先由三個餘式解出 a、b、c 再求二次餘式。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

是非題 8 題（24 分）、多選題 3 題（24 分）、填充題 7 題（42 分）、混合題 1 題組 2 小題（10 分：第 19 題填答、第 20 題多選，各 5 分）；題號與卷面相同。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、是非題（每題 3 分，共 24 分。）說明：第 1 題至第 8 題為是非題，請將答案劃記在答案卡上。正確選 A，錯誤選 B，每題只有一個正確選項，各題答對得 3 分；答錯、未作答或劃記多於一個選項，該題以 0 分計算。

設

f (x)

與

g (x)

皆為三次多項式，則

f (x) - g (x)

的次數必小於三次。

多項式

x^{100} - 5 x + 1

除以

x + 1

的餘式為

7

。

y = f (x) = - x^{3} - 2 x + 4

其圖形可大致描繪如下圖。

載入中...

已知

x^{2} - 4 x + 4 \leq 0

，則

x

無實數解。

y = f (x) = x^{2} - 2 x + 4

其圖形為一拋物線，頂點為

(1, 3)

。

不等式

(x + 2) (3 - x) > 0

的解為

- 2 < x < 3

。

y = f (x) = x^{2} + x

其圖形可由適當的平移與

y = g (x) = x^{2} - 200 x + 4

的圖形完全重合。

y = f (x) = 2 x^{2} + x + 1

的圖形恆在

y = g (x) = 4 x + 3

圖形的上方。

二、多選題（每題 8 分，共 24 分。）說明：第 9 題至第 11 題為多選題，請將答案劃記在答案卡上。每題有 5 個選項，其中至少有一個或一個以上正確的選項。各題的選項獨立判定，所有選項均正確得 8 分；答錯一個選項得 5 分；答錯兩個選項得 3 分。答錯多於 2 個選項或未作答，該題以 0 分計算。

設二次函數

y = f (x) = a x^{2} + b x + c

的圖形如圖所示，則下列選項哪些為正數？

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $b^{2} - 4 a c$
(E) $a - b + c$

載入中...

如圖為函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，且圖形通過

(1, 0)

、

(2, 0)

、

(3, 0)

，試選出正確的選項：

(A) $a > 0$
(B) $f (x) = 0$ 的實根為 $x = 1$ 或 $2$ 或 $3$
(C) $a + b + c + d > 0$
(D) $f (x) > 0$ 的解為 $2 < x < 3$ 或 $x < 1$
(E) $f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$

載入中...

三次函數

y = f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - x + 3

，則下列選項哪些正確？

(A) $y = f (x)$ 圖形的對稱中心在 $(1, 6)$
(B) 可以找到實數 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = 2023$
(C) $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 附近的局部特徵近似於 $y = - 4 x + 6$
(D) $f (- 1.01) < 6$
(E) 若點 $(r, s)$ 在 $y = f (x)$ 圖形上，則點 $(- 2 - r, 12 - s)$ 也在 $y = f (x)$ 圖形上

三、填充題（每題 6 分，共 42 分。）說明：第 12 題至第 18 題為填充題，請將答案填寫在答案卡上相對應的位置。每格答案應化至最簡形式，完全答對得 6 分；答錯不倒扣。

試求

15 \times 7^{5} - 104 \times 7^{4} - 6 \times 7^{3} - 5 \times 7^{2} - 8 \times 7 + 3

的值為 ____。

設

f (x)

為一多項式，

f (x)

除以

x + 2

的餘式為

5

，

f (x)

以

x - 3

的餘式為

15

，則

f (x)

除以

(x + 2) (x - 3)

的餘式為 ____。

二次函數

y = f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1

(- 2 \leq x \leq 5)

，在此區間中

f (x)

的最大值為

M

、最小值為

m

，則

M + m =

____。

試求不等式

x^{2} (x + 5) (x + 1) (x - 4) (x - 7) \geq (2 x + 3) (x + 5) (x + 1) (x - 4) (x - 7)

，其解為何 ____。

已知不等式

a x^{2} + b x + c > 0

的解為

- 3 < x < \frac{1}{2}

，求不等式

c x^{2} + b x + a \geq 0

的解為 ____。

將

y = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + c

的圖形向右平移

1

單位，再向下平移

4

單位後的圖形與

y = d x^{3} - 4 x + 4

的圖形重合，其中

a

、

b

、

c

、

d

皆為實數，則數組

(a, b, c, d)

為 ____。

若

a

，

b

，

c

為三相異實數，

f (x)

除以

(x - b) (x - c)

；

(x - c) (x - a)

；

(x - a) (x - b)

的餘式分別為

9 x - 3

、

3 x + 3

、

6 x + 9

，則

f (x)

除以

(x - a) (x - b) (x - c)

的餘式為 ____。

四、混合題（每題 5 分，共 10 分。）說明：第 19 題至第 20 題為題組，限在答題卷標示題號的作答區內作答；選擇題使用 2B 鉛筆作答，更正時使用橡皮擦擦拭乾淨，勿使用修正液（帶）；計算題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

題組（第 19～20 題）（第 19～20 題）　隨著懶人經濟的興起，帶起外送服務的風潮，大家的外食習慣也有了很大的改變，不需到餐廳，只要手機一滑，就會有外送員將美食送到家。而外送員送愈多趟，雖能得到較多薪資，但外送員也需要承擔機車的損耗費。設外送員每日平均可外送

12

趟，此時每一趟的薪資扣除機車損耗費後，會有

60

元的收入。但比平均每多接一趟外送，機車每趟的損耗費用就會增加

2

元。例如說：外送員此日接了

15

趟外送，即比平均多

3

趟，則每趟的收入扣除機車耗損費用後，會變為

60 - 2 \times 3 = 54

（元），所以外送員此日的總收入即為

15 \times 54 = 810

元。根據上文，試回答下列問題：

外送員若今日共外送

22

趟，即比平均多送了

10

趟，則今日的總收入為 ____ 元。

設外送員當日比平均多接

x

趟外送，其中

x

為非負整數，則外送員的總收入為

f (x)

元，試選出正確的選項為 ____。（多選題）

(A) $f (x) = x (60 - 2 x)$
(B) $f (x) = - 2 x^{2} + 36 x + 720$
(C) 當 $x = 9$ 時， $f (x)$ 有最大值
(D) $f (11) > f (8)$
(E) 若外送員希望當日的收入不小於 $880$ 元，則滿足條件的 $x$ 恰有 $4$ 個

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：A＝正確、B＝錯誤（照原卷作答規定）

第 9 題(A)(B)(D)

第 10 題(B)(D)

第 11 題(B)(E)

第 12 題

45

第 13 題

2 x + 9

第 14 題

18

第 15 題

x \leq - 5

或

x = - 1

或

3 \leq x \leq 4

或

x \geq 7

第 16 題

x \leq - \frac{1}{3}

或

x \geq 2

第 17 題

(6, 2, 6, 2)

第 18 題

x^{2} + 4 x + 1

第 19 題

880

第 20 題(B)(C)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～8：次數、餘式定理、三次函數圖形、二次函數與不等式

第 1 題B答 B（錯誤）。兩個三次多項式相減，三次項可能消掉，也可能留下。例如

f (x) = 2 x^{3}

、

g (x) = x^{3}

，

f (x) - g (x) = x^{3}

仍是三次。所以「必小於三次」不成立。

只有在兩者的三次項係數相同時，相減後次數才會小於三次；相減後也可能是零多項式。

第 2 題A答 A（正確）。由餘式定理，除以

x + 1

的餘式是代

x = - 1

的值：

(- 1)^{100} - 5 \times (- 1) + 1 = 1 + 5 + 1 = 7

。

第 3 題B

答 B（錯誤）。先看形狀： $f (x) = - (x^{3} + 2 x) + 4$ 。 $y = x^{3}$ 與 $y = 2 x$ 都隨 $x$ 變大而變大，兩個遞增的式子相加仍然遞增，所以 $x^{3} + 2 x$ 一路遞增， $f (x)$ 一路遞減，圖形從左上一路往右下，不會像圖中那樣先降、再升、再降。

另外，圖中的曲線通過 $x$ 軸上的點 $(2, 0)$ ，但 $f (2) = - 8 - 4 + 4 = - 8 \neq = 0$ 。所以這不是 $y = - x^{3} - 2 x + 4$ 的圖形。

圖中的曲線和

y = - x^{3} + 2 x + 4

的圖形相符：

- 8 + 4 + 4 = 0

，通過

(2, 0)

；

x = 0

時

y = 4

。兩式只差在一次項的符號。

第 4 題B答 B（錯誤）。

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} \geq 0

，所以

(x - 2)^{2} \leq 0

只能是

(x - 2)^{2} = 0

，得

x = 2

。有一個實數解

x = 2

，不是無實數解。

第 5 題A答 A（正確）。配方：

x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3

，圖形是開口向上的拋物線，頂點為

(1, 3)

。

第 6 題A答 A（正確）。

(x + 2) (3 - x) > 0

兩邊同乘

- 1

，不等號反向：

(x + 2) (x - 3) < 0

。兩根是

- 2

與

3

，乘積小於

0

要夾在兩根之間，解為

- 2 < x < 3

。

第 7 題A答 A（正確）。配方：

f (x) = x^{2} + x = (x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}

，頂點

(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{4})

；

g (x) = x^{2} - 200 x + 4 = (x - 100)^{2} - 9996

，頂點

(100, - 9996)

。兩者的

x^{2}

係數都是

1

，開口方向與大小相同，把

y = f (x)

的圖形向右平移

100.5

單位、再向下平移

9995.75

單位，頂點就移到

(100, - 9996)

，兩圖形完全重合。

二次函數的圖形能否經平移重合，只看

x^{2}

的係數是否相同。

第 8 題B答 B（錯誤）。比較兩函數的差：

f (x) - g (x) = 2 x^{2} + x + 1 - (4 x + 3) = 2 x^{2} - 3 x - 2 = (2 x + 1) (x - 2)

。當

- \frac{1}{2} < x < 2

時這個差小於

0

，

y = f (x)

的圖形在

y = g (x)

的下方。例如

x = 0

時

f (0) = 1

、

g (0) = 3

。所以不是恆在上方。

也可以看判別式：

2 x^{2} - 3 x - 2

的判別式

9 + 16 = 25 > 0

，有兩個實根，不會恆正。

除以

x - a

的餘式就是

f (a)

；比較兩圖形的上下，看兩函數的差的正負。

02多選 9～11：由圖形判斷係數、三次函數的圖形與對稱中心

第 9 題

由圖讀出：開口向上；對稱軸（虛線）在 $y$ 軸左邊；與 $y$ 軸交在原點下方；與 $x$ 軸有兩個交點，右邊的交點是 $(1, 0)$ 。

(A) 正確。 開口向上， $a > 0$ 。

(B) 正確。 對稱軸 $x = - \frac{b}{2 a} < 0$ ，而 $a > 0$ ，所以 $b > 0$ 。

(D) 正確。 圖形與 $x$ 軸有兩個交點， $a x^{2} + b x + c = 0$ 有兩相異實根， $b^{2} - 4 a c > 0$ 。

(E) 錯誤。 $a - b + c = f (- 1)$ 。設對稱軸為 $x = h$ ， $h < 0$ ；兩個 $x$ 截距對稱於對稱軸，左邊的截距是 $2 h - 1 < - 1$ 。所以 $x = - 1$ 夾在兩截距之間，這一段圖形在 $x$ 軸下方， $f (- 1) < 0$ 。

把係數組合看成某個

x

的函數值：

a + b + c = f (1)

、

a - b + c = f (- 1)

，再判斷那一點在

x

軸的上方還是下方。

第 10 題

圖形通過 $(1, 0)$ 、 $(2, 0)$ 、 $(3, 0)$ ，三次方程式 $f (x) = 0$ 最多三個根，所以 $f (x) = a (x - 1) (x - 2) (x - 3)$ 。由圖， $x$ 很大時圖形往下，所以 $a < 0$ 。

(A) 錯誤。 $a < 0$ 。

(B) 正確。 $f (x) = 0$ 的實根為 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 。

(D) 正確。 $a < 0$ ， $f (x) > 0$ 等價於 $(x - 1) (x - 2) (x - 3) < 0$ 。用數線上的正負： $x > 3$ 為正、 $2 < x < 3$ 為負、 $1 < x < 2$ 為正、 $x < 1$ 為負，所以解為 $2 < x < 3$ 或 $x < 1$ （也和圖上在 $x$ 軸上方的部分一致）。

(E) 錯誤。 $(x - 1) (x - 2) (x - 3)$ 的首項係數是 $1 > 0$ ，但 $a < 0$ ，兩者不同。

第 11 題

先把 $f (x)$ 寫成以 $x + 1$ 為主的形式： $(x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ ， $f (x) - (x + 1)^{3} = - 4 x + 2 = - 4 (x + 1) + 6$ ，所以 $f (x) = (x + 1)^{3} - 4 (x + 1) + 6$

它是 $y = x^{3} - 4 x$ 的圖形向左平移 $1$ 、向上平移 $6$ 而得； $y = x^{3} - 4 x$ 的圖形對稱於原點，所以 $y = f (x)$ 的對稱中心是 $(- 1, 6)$ 。

(A) 錯誤。 對稱中心是 $(- 1, 6)$ ，不是 $(1, 6)$ 。

(B) 正確。 三次函數的圖形往右無限上升、往左無限下降，而且連成一條曲線，任何一條水平線 $y = k$ 都會和它相交，所以 $f (x) = 2023$ 有實數解。例如 $f (11) = 1686 < 2023$ 、 $f (12) = 2151 > 2023$ ， $x_{0}$ 介於 $11$ 與 $12$ 之間。

(C) 錯誤。 在 $x = - 1$ 附近， $(x + 1)^{3}$ 非常小， $f (x) \approx - 4 (x + 1) + 6 = - 4 x + 2$ ，近似的直線是 $y = - 4 x + 2$ ，不是 $y = - 4 x + 6$ 。

(D) 錯誤。 $x = - 1.01$ 時 $x + 1 = - 0.01$ ， $f (- 1.01) = (- 0.01)^{3} - 4 \times (- 0.01) + 6 = - 0.000001 + 0.04 + 6 = 6.039999$ ，大於 $6$ 。

(E) 正確。 點 $(r, s)$ 與點 $(- 2 - r, 12 - s)$ 的中點是 $(\frac{r + ( - 2 - r )}{2}, \frac{s + ( 12 - s )}{2}) = (- 1, 6)$ ，正是對稱中心。圖形對稱於 $(- 1, 6)$ ，所以 $(r, s)$ 在圖形上時，它的對稱點 $(- 2 - r, 12 - s)$ 也在圖形上。

(E) 也可以直接驗算：令

u = r + 1

，

s = u^{3} - 4 u + 6

；

- 2 - r + 1 = - u

，

f (- 2 - r) = - u^{3} + 4 u + 6 = 12 - s

。

三次函數

y = a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

的對稱中心是

(h, k)

，在中心附近近似於直線

y = p (x - h) + k

；圖形上的點對中心的對稱點也在圖形上。

03填充 12～18：綜合除法、除法原理、限定範圍的極值、高次不等式、平移

第 12 題

所求就是 $f (x) = 15 x^{5} - 104 x^{4} - 6 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 3$ 在 $x = 7$ 的值，也就是 $f (x)$ 除以 $x - 7$ 的餘式。用綜合除法： $1515 - 104 1051 - 6 71 - 5 72 - 8 146 342457$

所以所求的值為 $45$ 。

直接算

7^{5} = 16807

會很繁；綜合除法每一步只要乘

7

再相加，數字都很小。

第 13 題

由除法原理，除式 $(x + 2) (x - 3)$ 是二次式，餘式最多一次，設 $f (x) = (x + 2) (x - 3) Q (x) + p x + q$ 。由餘式定理：

$f (- 2) = - 2 p + q = 5$ ，

$f (3) = 3 p + q = 15$ 。

兩式相減得 $5 p = 10$ ， $p = 2$ ，代回得 $q = 9$ 。餘式為 $2 x + 9$ 。

第 14 題配方：

f (x) = 2 (x^{2} - 4 x) + 1 = 2 (x - 2)^{2} - 7

。頂點

x = 2

在

- 2 \leq x \leq 5

內，開口向上，所以最小值

m = f (2) = - 7

。最大值發生在離

x = 2

最遠的端點：

f (- 2) = 8 + 16 + 1 = 25

，

f (5) = 50 - 40 + 1 = 11

，所以

M = 25

。

M + m = 25 + (- 7) = 18

。

開口向上的拋物線，在區間內的最大值一定在端點，兩端都要算再比較。

第 15 題

移項後提出共同因式： $[x^{2} - (2 x + 3)] (x + 5) (x + 1) (x - 4) (x - 7) \geq 0$

$x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ ，所以不等式成為 $(x + 1)^{2} (x + 5) (x - 3) (x - 4) (x - 7) \geq 0$

$(x + 1)^{2} \geq 0$ ，等號只在 $x = - 1$ 成立，所以 $x = - 1$ 是解。

$x \neq = - 1$ 時 $(x + 1)^{2} > 0$ ，可以約去，剩下 $(x + 5) (x - 3) (x - 4) (x - 7) \geq 0$ 。四個根由小到大是 $- 5$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $7$ ，最右邊 $x > 7$ 為正，往左每過一個根變號一次： $x \geq 7$ 成立、 $4 < x < 7$ 不成立、 $3 \leq x \leq 4$ 成立、 $- 5 < x < 3$ 不成立、 $x \leq - 5$ 成立。

合併得解為 $x \leq - 5$ 或 $x = - 1$ 或 $3 \leq x \leq 4$ 或 $x \geq 7$ 。

常見的錯：把兩邊的

(x + 5) (x + 1) (x - 4) (x - 7)

直接約掉。這個式子可正可負也可能是

0

，不能直接相除；而且

x = - 1

這個孤立的解很容易漏掉。

第 16 題

$a x^{2} + b x + c > 0$ 的解是夾在兩根之間的 $- 3 < x < \frac{1}{2}$ ，所以拋物線開口向下， $a < 0$ ，而且 $a x^{2} + b x + c = a (x + 3) (x - \frac{1}{2}) = a (x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{3}{2})$

比較係數： $b = \frac{5}{2} a$ ， $c = - \frac{3}{2} a$ 。代入所求： $c x^{2} + b x + a = - \frac{3}{2} a x^{2} + \frac{5}{2} a x + a = - \frac{a}{2} (3 x^{2} - 5 x - 2)$

因為 $a < 0$ ， $- \frac{a}{2} > 0$ ，所以 $c x^{2} + b x + a \geq 0$ 等價於 $3 x^{2} - 5 x - 2 \geq 0$ ，即 $(3 x + 1) (x - 2) \geq 0$ ，解為 $x \leq - \frac{1}{3}$ 或 $x \geq 2$ 。

另一個看法：新不等式的係數是原來的倒過來，它的根是原來兩根的倒數

- \frac{1}{3}

與

2

；開口方向要由

c

的正負決定，這裡

c > 0

。

第 17 題

把 $y = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 的圖形向右平移 $1$ 單位、再向下平移 $4$ 單位，得 $y = 2 (x - 1)^{3} + a (x - 1)^{2} + b (x - 1) + c - 4$

展開： $2 (x - 1)^{3} = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 2$ ， $a (x - 1)^{2} = a x^{2} - 2 a x + a$ ， $b (x - 1) = b x - b$ 。整理成 $y = 2 x^{3} + (a - 6) x^{2} + (6 - 2 a + b) x + (- 2 + a - b + c - 4)$

要與 $y = d x^{3} - 4 x + 4$ 完全相同，各次係數相等：

三次項： $d = 2$ ；

二次項： $a - 6 = 0$ ， $a = 6$ ；

一次項： $6 - 12 + b = - 4$ ， $b = 2$ ；

常數項： $- 2 + 6 - 2 + c - 4 = 4$ ， $c = 6$ 。

所以 $(a, b, c, d) = (6, 2, 6, 2)$ 。

驗算：

y = 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x + 6

平移後

2 (x - 1)^{3} + 6 (x - 1)^{2} + 2 (x - 1) + 6 - 4 = 2 x^{3} - 4 x + 4

。

第 18 題

由除法原理與餘式定理，除以 $(x - b) (x - c)$ 的餘式為 $9 x - 3$ ，表示 $f (b) = 9 b - 3$ 、 $f (c) = 9 c - 3$ ；同理 $f (c) = 3 c + 3$ 、 $f (a) = 3 a + 3$ ； $f (a) = 6 a + 9$ 、 $f (b) = 6 b + 9$ 。

同一個 $f (c)$ ： $9 c - 3 = 3 c + 3$ ， $c = 1$ ；

同一個 $f (a)$ ： $3 a + 3 = 6 a + 9$ ， $a = - 2$ ；

同一個 $f (b)$ ： $9 b - 3 = 6 b + 9$ ， $b = 4$ 。

三數相異，符合題意。於是 $f (- 2) = - 3$ 、 $f (4) = 33$ 、 $f (1) = 6$ 。

除以三次式 $(x - a) (x - b) (x - c)$ 的餘式最多二次。 $f (x) = (x + 2) (x - 4) (x - 1) Q (x) + r (x)$ ，而 $f (x)$ 除以 $(x - 4) (x - 1)$ 的餘式是 $9 x - 3$ ，所以可設 $r (x) = k (x - 4) (x - 1) + 9 x - 3$ 。代 $x = - 2$ ： $r (- 2) = k \times (- 6) \times (- 3) - 18 - 3 = 18 k - 21 = f (- 2) = - 3$

得 $k = 1$ ， $r (x) = (x - 4) (x - 1) + 9 x - 3 = x^{2} + 4 x + 1$ 。

驗算：

r (1) = 6

、

r (4) = 33

、

r (- 2) = 4 - 8 + 1 = - 3

，三個值都對。

求除以多個一次因式乘積的餘式：先用餘式定理把函數值列出來，再設餘式（次數比除式少一），代值解出係數。

04混合題 19～20：外送收入的二次函數

第 19 題多送

10

趟，每趟的損耗費多

2 \times 10 = 20

元，每趟收入變為

60 - 20 = 40

元。共

22

趟，總收入

22 \times 40 = 880

元。

第 20 題

比平均多接 $x$ 趟，共接 $12 + x$ 趟，每趟收入 $60 - 2 x$ 元，所以 $f (x) = (12 + x) (60 - 2 x) = - 2 x^{2} + 36 x + 720$

配方： $f (x) = - 2 (x^{2} - 18 x) + 720 = - 2 (x - 9)^{2} + 162 + 720 = - 2 (x - 9)^{2} + 882$ 。

(A) 錯誤。 總趟數是 $12 + x$ ，不是 $x$ ； $x (60 - 2 x)$ 只算到多接的那幾趟。

(B) 正確。 展開即得 $- 2 x^{2} + 36 x + 720$ 。

(D) 錯誤。 $f (11) = - 2 \times 4 + 882 = 874$ ， $f (8) = - 2 \times 1 + 882 = 880$ ， $f (11) < f (8)$ 。

(E) 錯誤。 $f (x) \geq 880$ ： $- 2 (x - 9)^{2} + 882 \geq 880$ ， $(x - 9)^{2} \leq 1$ ， $8 \leq x \leq 10$ 。非負整數 $x$ 只有 $8$ 、 $9$ 、 $10$ 三個，不是 $4$ 個。

(D) 也可以用對稱軸看：

x = 11

離

x = 9

有

2

，

x = 8

離

x = 9

只有

1

，開口向下時離對稱軸越遠函數值越小。

「多一趟、每趟少兩元」這類題目，收入＝趟數×每趟收入，列成二次函數後配方，頂點就是最大值。

同一次段考的其他學校

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常見問題

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基隆高中 112 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

是非第 3 題要從式子判斷三次函數不會先升再降，或直接代點驗證；多選第 9 題的 a−b+c 要由對稱軸推出 −1 夾在兩截距之間；多選第 11 題要把式子改寫成以 x+1 為主找出對稱中心 (−1, 6)；填充第 15 題不能把共同因式直接約掉，還要記得 x=−1 這個孤立的解；填充第 18 題要先由三個餘式解出 a、b、c 再求二次餘式。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自基隆高中 112 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：多項式的運算與應用（除法原理、餘式定理）、一次二次三次函數的圖形、多項式不等式

基隆高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

設

f (x)

與

g (x)

皆為三次多項式，則

f (x) - g (x)

的次數必小於三次。

多項式

x^{100} - 5 x + 1

除以

x + 1

的餘式為

7

。

y = f (x) = - x^{3} - 2 x + 4

其圖形可大致描繪如下圖。

載入中...

已知

x^{2} - 4 x + 4 \leq 0

，則

x

無實數解。

y = f (x) = x^{2} - 2 x + 4

其圖形為一拋物線，頂點為

(1, 3)

。

不等式

(x + 2) (3 - x) > 0

的解為

- 2 < x < 3

。

y = f (x) = x^{2} + x

其圖形可由適當的平移與

y = g (x) = x^{2} - 200 x + 4

的圖形完全重合。

y = f (x) = 2 x^{2} + x + 1

的圖形恆在

y = g (x) = 4 x + 3

圖形的上方。

設二次函數

y = f (x) = a x^{2} + b x + c

的圖形如圖所示，則下列選項哪些為正數？

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $b^{2} - 4 a c$
(E) $a - b + c$

載入中...

如圖為函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，且圖形通過

(1, 0)

、

(2, 0)

、

(3, 0)

，試選出正確的選項：

(A) $a > 0$
(B) $f (x) = 0$ 的實根為 $x = 1$ 或 $2$ 或 $3$
(C) $a + b + c + d > 0$
(D) $f (x) > 0$ 的解為 $2 < x < 3$ 或 $x < 1$
(E) $f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$

載入中...

三次函數

y = f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - x + 3

，則下列選項哪些正確？

(A) $y = f (x)$ 圖形的對稱中心在 $(1, 6)$
(B) 可以找到實數 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = 2023$
(C) $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 附近的局部特徵近似於 $y = - 4 x + 6$
(D) $f (- 1.01) < 6$
(E) 若點 $(r, s)$ 在 $y = f (x)$ 圖形上，則點 $(- 2 - r, 12 - s)$ 也在 $y = f (x)$ 圖形上

試求

15 \times 7^{5} - 104 \times 7^{4} - 6 \times 7^{3} - 5 \times 7^{2} - 8 \times 7 + 3

的值為 ____。

設

f (x)

為一多項式，

f (x)

除以

x + 2

的餘式為

5

，

f (x)

以

x - 3

的餘式為

15

，則

f (x)

除以

(x + 2) (x - 3)

的餘式為 ____。

二次函數

y = f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1

(- 2 \leq x \leq 5)

，在此區間中

f (x)

的最大值為

M

、最小值為

m

，則

M + m =

____。

試求不等式

x^{2} (x + 5) (x + 1) (x - 4) (x - 7) \geq (2 x + 3) (x + 5) (x + 1) (x - 4) (x - 7)

，其解為何 ____。

已知不等式

a x^{2} + b x + c > 0

的解為

- 3 < x < \frac{1}{2}

，求不等式

c x^{2} + b x + a \geq 0

的解為 ____。

將

y = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + c

的圖形向右平移

1

單位，再向下平移

4

單位後的圖形與

y = d x^{3} - 4 x + 4

的圖形重合，其中

a

、

b

、

c

、

d

皆為實數，則數組

(a, b, c, d)

為 ____。

若

a

，

b

，

c

為三相異實數，

f (x)

除以

(x - b) (x - c)

；

(x - c) (x - a)

；

(x - a) (x - b)

的餘式分別為

9 x - 3

、

3 x + 3

、

6 x + 9

，則

f (x)

除以

(x - a) (x - b) (x - c)

的餘式為 ____。

12

趟，此時每一趟的薪資扣除機車損耗費後，會有

60

元的收入。但比平均每多接一趟外送，機車每趟的損耗費用就會增加

2

元。例如說：外送員此日接了

15

趟外送，即比平均多

3

趟，則每趟的收入扣除機車耗損費用後，會變為

60 - 2 \times 3 = 54

（元），所以外送員此日的總收入即為

15 \times 54 = 810

元。根據上文，試回答下列問題：

外送員若今日共外送

22

趟，即比平均多送了

10

趟，則今日的總收入為 ____ 元。

設外送員當日比平均多接

x

趟外送，其中

x

為非負整數，則外送員的總收入為

f (x)

元，試選出正確的選項為 ____。（多選題）

(A) $f (x) = x (60 - 2 x)$
(B) $f (x) = - 2 x^{2} + 36 x + 720$
(C) 當 $x = 9$ 時， $f (x)$ 有最大值
(D) $f (11) > f (8)$
(E) 若外送員希望當日的收入不小於 $880$ 元，則滿足條件的 $x$ 恰有 $4$ 個

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：A＝正確、B＝錯誤（照原卷作答規定）

第 9 題(A)(B)(D)

第 10 題(B)(D)

第 11 題(B)(E)

第 12 題

45

第 13 題

2 x + 9

第 14 題

18

第 15 題

x \leq - 5

或

x = - 1

或

3 \leq x \leq 4

或

x \geq 7

第 16 題

x \leq - \frac{1}{3}

或

x \geq 2

第 17 題

(6, 2, 6, 2)

第 18 題

x^{2} + 4 x + 1

第 19 題

880

第 20 題(B)(C)

03 · 勾錯題號

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01是非 1～8：次數、餘式定理、三次函數圖形、二次函數與不等式

第 1 題B答 B（錯誤）。兩個三次多項式相減，三次項可能消掉，也可能留下。例如

f (x) = 2 x^{3}

、

g (x) = x^{3}

，

f (x) - g (x) = x^{3}

仍是三次。所以「必小於三次」不成立。

只有在兩者的三次項係數相同時，相減後次數才會小於三次；相減後也可能是零多項式。

第 2 題A答 A（正確）。由餘式定理，除以

x + 1

的餘式是代

x = - 1

的值：

(- 1)^{100} - 5 \times (- 1) + 1 = 1 + 5 + 1 = 7

。

第 3 題B

另外，圖中的曲線通過 $x$ 軸上的點 $(2, 0)$ ，但 $f (2) = - 8 - 4 + 4 = - 8 \neq = 0$ 。所以這不是 $y = - x^{3} - 2 x + 4$ 的圖形。

圖中的曲線和

y = - x^{3} + 2 x + 4

的圖形相符：

- 8 + 4 + 4 = 0

，通過

(2, 0)

；

x = 0

時

y = 4

。兩式只差在一次項的符號。

第 4 題B答 B（錯誤）。

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} \geq 0

，所以

(x - 2)^{2} \leq 0

只能是

(x - 2)^{2} = 0

，得

x = 2

。有一個實數解

x = 2

，不是無實數解。

第 5 題A答 A（正確）。配方：

x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3

，圖形是開口向上的拋物線，頂點為

(1, 3)

。

第 6 題A答 A（正確）。

(x + 2) (3 - x) > 0

兩邊同乘

- 1

，不等號反向：

(x + 2) (x - 3) < 0

。兩根是

- 2

與

3

，乘積小於

0

要夾在兩根之間，解為

- 2 < x < 3

。

第 7 題A答 A（正確）。配方：

f (x) = x^{2} + x = (x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}

，頂點

(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{4})

；

g (x) = x^{2} - 200 x + 4 = (x - 100)^{2} - 9996

，頂點

(100, - 9996)

。兩者的

x^{2}

係數都是

1

，開口方向與大小相同，把

y = f (x)

的圖形向右平移

100.5

單位、再向下平移

9995.75

單位，頂點就移到

(100, - 9996)

，兩圖形完全重合。

二次函數的圖形能否經平移重合，只看

x^{2}

的係數是否相同。

第 8 題B答 B（錯誤）。比較兩函數的差：

f (x) - g (x) = 2 x^{2} + x + 1 - (4 x + 3) = 2 x^{2} - 3 x - 2 = (2 x + 1) (x - 2)

。當

- \frac{1}{2} < x < 2

時這個差小於

0

，

y = f (x)

的圖形在

y = g (x)

的下方。例如

x = 0

時

f (0) = 1

、

g (0) = 3

。所以不是恆在上方。

也可以看判別式：

2 x^{2} - 3 x - 2

的判別式

9 + 16 = 25 > 0

，有兩個實根，不會恆正。

除以

x - a

的餘式就是

f (a)

；比較兩圖形的上下，看兩函數的差的正負。

02多選 9～11：由圖形判斷係數、三次函數的圖形與對稱中心

第 9 題

由圖讀出：開口向上；對稱軸（虛線）在 $y$ 軸左邊；與 $y$ 軸交在原點下方；與 $x$ 軸有兩個交點，右邊的交點是 $(1, 0)$ 。

(A) 正確。 開口向上， $a > 0$ 。

(B) 正確。 對稱軸 $x = - \frac{b}{2 a} < 0$ ，而 $a > 0$ ，所以 $b > 0$ 。

(D) 正確。 圖形與 $x$ 軸有兩個交點， $a x^{2} + b x + c = 0$ 有兩相異實根， $b^{2} - 4 a c > 0$ 。

把係數組合看成某個

x

的函數值：

a + b + c = f (1)

、

a - b + c = f (- 1)

，再判斷那一點在

x

軸的上方還是下方。

第 10 題

圖形通過 $(1, 0)$ 、 $(2, 0)$ 、 $(3, 0)$ ，三次方程式 $f (x) = 0$ 最多三個根，所以 $f (x) = a (x - 1) (x - 2) (x - 3)$ 。由圖， $x$ 很大時圖形往下，所以 $a < 0$ 。

(A) 錯誤。 $a < 0$ 。

(B) 正確。 $f (x) = 0$ 的實根為 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 。

(E) 錯誤。 $(x - 1) (x - 2) (x - 3)$ 的首項係數是 $1 > 0$ ，但 $a < 0$ ，兩者不同。

第 11 題

先把 $f (x)$ 寫成以 $x + 1$ 為主的形式： $(x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ ， $f (x) - (x + 1)^{3} = - 4 x + 2 = - 4 (x + 1) + 6$ ，所以 $f (x) = (x + 1)^{3} - 4 (x + 1) + 6$

它是 $y = x^{3} - 4 x$ 的圖形向左平移 $1$ 、向上平移 $6$ 而得； $y = x^{3} - 4 x$ 的圖形對稱於原點，所以 $y = f (x)$ 的對稱中心是 $(- 1, 6)$ 。

(A) 錯誤。 對稱中心是 $(- 1, 6)$ ，不是 $(1, 6)$ 。

(C) 錯誤。 在 $x = - 1$ 附近， $(x + 1)^{3}$ 非常小， $f (x) \approx - 4 (x + 1) + 6 = - 4 x + 2$ ，近似的直線是 $y = - 4 x + 2$ ，不是 $y = - 4 x + 6$ 。

(D) 錯誤。 $x = - 1.01$ 時 $x + 1 = - 0.01$ ， $f (- 1.01) = (- 0.01)^{3} - 4 \times (- 0.01) + 6 = - 0.000001 + 0.04 + 6 = 6.039999$ ，大於 $6$ 。

(E) 也可以直接驗算：令

u = r + 1

，

s = u^{3} - 4 u + 6

；

- 2 - r + 1 = - u

，

f (- 2 - r) = - u^{3} + 4 u + 6 = 12 - s

。

三次函數

y = a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

的對稱中心是

(h, k)

，在中心附近近似於直線

y = p (x - h) + k

；圖形上的點對中心的對稱點也在圖形上。

03填充 12～18：綜合除法、除法原理、限定範圍的極值、高次不等式、平移

第 12 題

所以所求的值為 $45$ 。

直接算

7^{5} = 16807

會很繁；綜合除法每一步只要乘

7

再相加，數字都很小。

第 13 題

由除法原理，除式 $(x + 2) (x - 3)$ 是二次式，餘式最多一次，設 $f (x) = (x + 2) (x - 3) Q (x) + p x + q$ 。由餘式定理：

$f (- 2) = - 2 p + q = 5$ ，

$f (3) = 3 p + q = 15$ 。

兩式相減得 $5 p = 10$ ， $p = 2$ ，代回得 $q = 9$ 。餘式為 $2 x + 9$ 。

第 14 題配方：

f (x) = 2 (x^{2} - 4 x) + 1 = 2 (x - 2)^{2} - 7

。頂點

x = 2

在

- 2 \leq x \leq 5

內，開口向上，所以最小值

m = f (2) = - 7

。最大值發生在離

x = 2

最遠的端點：

f (- 2) = 8 + 16 + 1 = 25

，

f (5) = 50 - 40 + 1 = 11

，所以

M = 25

。

M + m = 25 + (- 7) = 18

。

開口向上的拋物線，在區間內的最大值一定在端點，兩端都要算再比較。

第 15 題

移項後提出共同因式： $[x^{2} - (2 x + 3)] (x + 5) (x + 1) (x - 4) (x - 7) \geq 0$

$x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ ，所以不等式成為 $(x + 1)^{2} (x + 5) (x - 3) (x - 4) (x - 7) \geq 0$

$(x + 1)^{2} \geq 0$ ，等號只在 $x = - 1$ 成立，所以 $x = - 1$ 是解。

合併得解為 $x \leq - 5$ 或 $x = - 1$ 或 $3 \leq x \leq 4$ 或 $x \geq 7$ 。

常見的錯：把兩邊的

(x + 5) (x + 1) (x - 4) (x - 7)

直接約掉。這個式子可正可負也可能是

0

，不能直接相除；而且

x = - 1

這個孤立的解很容易漏掉。

第 16 題

比較係數： $b = \frac{5}{2} a$ ， $c = - \frac{3}{2} a$ 。代入所求： $c x^{2} + b x + a = - \frac{3}{2} a x^{2} + \frac{5}{2} a x + a = - \frac{a}{2} (3 x^{2} - 5 x - 2)$

因為 $a < 0$ ， $- \frac{a}{2} > 0$ ，所以 $c x^{2} + b x + a \geq 0$ 等價於 $3 x^{2} - 5 x - 2 \geq 0$ ，即 $(3 x + 1) (x - 2) \geq 0$ ，解為 $x \leq - \frac{1}{3}$ 或 $x \geq 2$ 。

另一個看法：新不等式的係數是原來的倒過來，它的根是原來兩根的倒數

- \frac{1}{3}

與

2

；開口方向要由

c

的正負決定，這裡

c > 0

。

第 17 題

把 $y = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 的圖形向右平移 $1$ 單位、再向下平移 $4$ 單位，得 $y = 2 (x - 1)^{3} + a (x - 1)^{2} + b (x - 1) + c - 4$

要與 $y = d x^{3} - 4 x + 4$ 完全相同，各次係數相等：

三次項： $d = 2$ ；

二次項： $a - 6 = 0$ ， $a = 6$ ；

一次項： $6 - 12 + b = - 4$ ， $b = 2$ ；

常數項： $- 2 + 6 - 2 + c - 4 = 4$ ， $c = 6$ 。

所以 $(a, b, c, d) = (6, 2, 6, 2)$ 。

驗算：

y = 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x + 6

平移後

2 (x - 1)^{3} + 6 (x - 1)^{2} + 2 (x - 1) + 6 - 4 = 2 x^{3} - 4 x + 4

。

第 18 題

同一個 $f (c)$ ： $9 c - 3 = 3 c + 3$ ， $c = 1$ ；

同一個 $f (a)$ ： $3 a + 3 = 6 a + 9$ ， $a = - 2$ ；

同一個 $f (b)$ ： $9 b - 3 = 6 b + 9$ ， $b = 4$ 。

三數相異，符合題意。於是 $f (- 2) = - 3$ 、 $f (4) = 33$ 、 $f (1) = 6$ 。

得 $k = 1$ ， $r (x) = (x - 4) (x - 1) + 9 x - 3 = x^{2} + 4 x + 1$ 。

驗算：

r (1) = 6

、

r (4) = 33

、

r (- 2) = 4 - 8 + 1 = - 3

，三個值都對。

求除以多個一次因式乘積的餘式：先用餘式定理把函數值列出來，再設餘式（次數比除式少一），代值解出係數。

04混合題 19～20：外送收入的二次函數

第 19 題多送

10

趟，每趟的損耗費多

2 \times 10 = 20

元，每趟收入變為

60 - 20 = 40

元。共

22

趟，總收入

22 \times 40 = 880

元。

第 20 題

比平均多接 $x$ 趟，共接 $12 + x$ 趟，每趟收入 $60 - 2 x$ 元，所以 $f (x) = (12 + x) (60 - 2 x) = - 2 x^{2} + 36 x + 720$

配方： $f (x) = - 2 (x^{2} - 18 x) + 720 = - 2 (x - 9)^{2} + 162 + 720 = - 2 (x - 9)^{2} + 882$ 。

(A) 錯誤。 總趟數是 $12 + x$ ，不是 $x$ ； $x (60 - 2 x)$ 只算到多接的那幾趟。

(B) 正確。 展開即得 $- 2 x^{2} + 36 x + 720$ 。

(D) 錯誤。 $f (11) = - 2 \times 4 + 882 = 874$ ， $f (8) = - 2 \times 1 + 882 = 880$ ， $f (11) < f (8)$ 。

(E) 錯誤。 $f (x) \geq 880$ ： $- 2 (x - 9)^{2} + 882 \geq 880$ ， $(x - 9)^{2} \leq 1$ ， $8 \leq x \leq 10$ 。非負整數 $x$ 只有 $8$ 、 $9$ 、 $10$ 三個，不是 $4$ 個。

(D) 也可以用對稱軸看：

x = 11

離

x = 9

有

2

，

x = 8

離

x = 9

只有

1

，開口向下時離對稱軸越遠函數值越小。

「多一趟、每趟少兩元」這類題目，收入＝趟數×每趟收入，列成二次函數後配方，頂點就是最大值。

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02多選 9～11：由圖形判斷係數、三次函數的圖形與對稱中心

03填充 12～18：綜合除法、除法原理、限定範圍的極值、高次不等式、平移

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