段考詳解範圍：多項式的運算與應用（除法原理、餘式定理與因式定理）、一次二次三次函數的圖形、多項式不等式

基隆高中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

是非題 5 題（20 分）、單選題 4 題（28 分）、多選題 3 題（15 分）、選填題 3 題（24 分）、混合題 1 題組 2 小題（13 分：第 16 題 5 分、第 17 題 8 分）；題號與卷面相同。答案已與學校公布的答案逐題核對（第 15 題學校答案頁的印刷欄空白，該題答案為本站依題目計算）。

第壹部分：選擇（填）題（占 87 分）一、是非題（每題 4 分，共 20 分）說明：第 1 題至第 5 題，請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記「是」或「否」。各題答對者，得 4 分；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

f (x) = x^{2024} + 5 x^{103} + 6

除以

x + 1

的餘式為

6

。

若實數

k > 3

，則對所有的實數

x

，

3 x^{2} + 6 x + k > 0

恆成立。

x + 1

為

8 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 3

的因式。

若

f (x) = a x^{2} + b x + c

，

a \neq = 0

，滿足

f (1) = f (3)

，則對稱軸方程式為

x = 2

。

不等式

x^{2} - x + 1 > 0

無實數解。

二、單選題（每題 7 分，共 28 分）說明：第 6 題至第 9 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 7 分；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為

f (t) = - t^{2} + 8 t + 22

，其中

1 \leq t \leq 10

，則這段時間內該地區的最大溫差為下列何者？

(A) $9$
(B) $16$
(C) $20$
(D) $25$
(E) $36$

下列哪一個三次函數的圖形為

y = x^{3} + 2 x^{2}

之圖形向右平移

3

單位，再向上平移

4

單位而得？

(A) $y = (x - 3)^{3} + 2 (x - 3)^{2} + 4$
(B) $y = (x - 3)^{3} + 2 (x - 3)^{2} - 4$
(C) $y = (x + 3)^{3} + 2 (x + 3)^{2} + 4$
(D) $y = (x + 3)^{3} + 2 (x + 3)^{2} - 4$
(E) $y = (x + 4)^{3} + 2 (x + 4)^{2} + 3$

設多項式

f (x)

除以

x^{3} - 1

的餘式為

x^{2} + 1

，求

f (x)

除以

x^{2} + x + 1

的餘式為

a x + b

，試求

a + b =

？

(A) $2$
(B) $1$
(C) $0$
(D) $- 1$
(E) $- 2$

設

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 2 = a (x + 2)^{3} + b (x + 2)^{2} + c (x + 2) + d

，則下列選項哪些正確？

(A) $b = 3$
(B) $c = 5$
(C) $d = 2$
(D) $f (x)$ 除以 $(x + 2)^{2}$ 餘式為 $5 x - 6$
(E) $f (- 1.99) < - 5$

三、多選題（每題 5 分，共 15 分）說明：第 10 題至第 12 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

如圖為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，且圖形通過

(1, 0)

、

(- 3, 0)

、

(k, 0)

，選出正確的選項：

(A) $a > 0$
(B) 方程式 $f (x) = 0$ 的實根為 $x = - 3$ 或 $1$ 或 $4$
(C) $f (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 3)$
(D) $a + b + c + d = 0$
(E) $f (x) > 0$ 的解為 $- 3 < x < 1$ 或 $x > 3$

載入中...

已知二次函數

y = a x^{2} + b x + c

的圖形，如下圖，試判別下列各式，哪些選項是正確的？

(A) $a < 0$
(B) $b > 0$
(C) $c < 0$
(D) $b^{2} - 4 a c < 0$
(E) $4 a - 2 b + c > 0$

載入中...

設

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5

，下列關於函數

y = f (x)

的圖形之描述，試選出正確的選項。

(A) $y = f (x)$ 的圖形通過點 $(- 5, 0)$
(B) $y = f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸只有一個交點
(C) 點 $(1, - 3)$ 是 $y = f (x)$ 的圖形之對稱中心
(D) $y = f (x)$ 的圖形在對稱中心附近會近似於一直線 $y = x - 4$
(E) $y = 3 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ 的圖形可由 $y = f (x)$ 的圖形經適當平移得到

四、選填題（每題 8 分，共 24 分）說明：1. 第 13 至 15 題，將答案劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號。2. 每題完全答對給 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

設

f (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 15 x^{2} + 28 x + k

，若

f (- 13) = - 4

，則

k

之值為 ____。

11 + 14 - 13 + 1 + 15 - 13 + 2 + 28 - 26 + 2 + k - 26 k - 26 - 13

若將

y = 3 x^{2} - 12 x + 17

之函數圖形向右平移

h

單位，再向上平移

k

單位，會與

y = 3 (x - 5)^{2} + 9

圖形重合，則數對

(h, k) =

( ____ , ____ )。

試問不等式

(x^{2} + 3 x + 4) (x - 2) (3 x - 40) < 0

有 ____ 個整數解。

第貳部分、混合題或非選擇題（占 13 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在答題卷標示題號的作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

題組（第 16～17 題）（第 16～17 題）　網路、手機崛起，消費習慣隨之改變，買東西不再必須到現場，只要手指一滑，商品就會有人送到消費者手上。目前許多餐飲業者也推出外送服務，不僅提供消費者方便的服務，也提供員工增加收入的機會。假設員工每天平均可外送

10

單，而每一單外送津貼費扣除機車損耗費可得

60

元。若外送員每多接一單外送訂單，機車的損耗費用會多增加

1

元。例如，若外送員此日接了

12

單，即多接

2

單外送，則每單可得

60 - 2 = 58

（元）。假設外送員每天多接

x

單外送，則外送員當日可得

f (x)

元。

若外送員當月每天只接

10

單外送，則當月工作

22

天可多領到多少元？（單選）（5 分）

(A) $11000$
(B) $12760$
(C) $13200$
(D) $14000$
(E) $15200$

每天接多少單外送，可達當日收入最大值？（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2是

3是

4是

5否

第 6 題(E)

第 7 題(A)

第 8 題(D)

第 9 題(B)

第 10 題(A)(B)(D)

第 11 題(A)(E)

第 12 題(B)(C)(D)

第 13 題

22

第 14 題

(3, 4)

第 15 題

11

第 16 題(C)

第 17 題每天接

35

單

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5：餘式定理、因式定理、判別式、對稱軸

第 1 題否答案劃記「否」。由餘式定理，

f (x)

除以

x + 1

的餘式是

f (- 1)

。

2024

是偶數，

(- 1)^{2024} = 1

；

103

是奇數，

(- 1)^{103} = - 1

。所以

f (- 1) = 1 + 5 \times (- 1) + 6 = 2

，餘式是

2

，不是

6

。

常見的錯是只看常數項

6

；除以

x + 1

要代

x = - 1

，奇數次方會變號。

第 2 題是答案劃記「是」。

3 x^{2} + 6 x + k

的首項係數

3 > 0

，圖形開口向上；它對所有實數

x

都大於

0

的條件是判別式小於

0

：

6^{2} - 4 \times 3 \times k < 0

，即

36 - 12 k < 0

，

k > 3

。題目給

k > 3

，所以恆成立。

也可以配方：

3 x^{2} + 6 x + k = 3 (x + 1)^{2} + (k - 3)

，

k > 3

時最小值

k - 3 > 0

。

第 3 題是答案劃記「是」。由因式定理，

x + 1

是因式等於

x = - 1

代入得

0

：

8 (- 1)^{3} + 4 (- 1)^{2} - 7 (- 1) - 3 = - 8 + 4 + 7 - 3 = 0

，所以

x + 1

是因式。

第 4 題是答案劃記「是」。

a \neq = 0

，

y = f (x)

是拋物線，圖形對稱於對稱軸。

f (1) = f (3)

表示

(1, f (1))

與

(3, f (3))

兩點同高，它們對稱於對稱軸，所以對稱軸是

x = \frac{1 + 3}{2} = 2

。

代數驗證：

f (1) = f (3)

得

a + b + c = 9 a + 3 b + c

，

8 a + 2 b = 0

，

b = - 4 a

，對稱軸

x = - \frac{b}{2 a} = 2

。

第 5 題否答案劃記「否」。

x^{2} - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0

，對每一個實數

x

都成立，所以解是「所有實數」，不是無實數解。

判別式

(- 1)^{2} - 4 = - 3 < 0

且首項係數為正，表示二次式恆正。「恆正」對應「

> 0

的解是全體實數」；要「

< 0

」才是無實數解。

除以

x - a

的餘式就是

f (a)

；二次式恆正看「首項係數為正且判別式小於

0

」。

02單選 6～9：限定範圍的極值、平移、除法原理、連續綜合除法

第 6 題答案 (E)。配方：

f (t) = - (t^{2} - 8 t) + 22 = - (t - 4)^{2} + 38

。

t = 4

在

1 \leq t \leq 10

內，最高溫是

38

。最低溫發生在離

t = 4

最遠的端點：

t = 1

時

f (1) = - 1 + 8 + 22 = 29

，

t = 10

時

f (10) = - 100 + 80 + 22 = 2

，最低溫是

2

。最大溫差

38 - 2 = 36

。

開口向下的拋物線，最小值一定在端點，要兩端都算，比較後取小的；

t = 10

離頂點較遠，所以比較低。

第 7 題答案 (A)。圖形向右平移

3

單位：把

x

換成

x - 3

，得

y = (x - 3)^{3} + 2 (x - 3)^{2}

；再向上平移

4

單位：整個加

4

，得

y = (x - 3)^{3} + 2 (x - 3)^{2} + 4

。

向右移是

x

換成

x - 3

（不是

x + 3

），向上移是加在整個式子後面。

第 8 題答案 (D)。由除法原理，

f (x) = (x^{3} - 1) Q (x) + x^{2} + 1

。因為

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

，所以

f (x) = (x^{2} + x + 1) \cdot (x - 1) Q (x) + x^{2} + 1

，前一項是

x^{2} + x + 1

的倍式，餘式就是

x^{2} + 1

除以

x^{2} + x + 1

的餘式。

x^{2} + 1 = 1 \cdot (x^{2} + x + 1) + (- x)

，餘式為

- x

，所以

a = - 1

、

b = 0

，

a + b = - 1

。

第 9 題

答案 (B)。用連續綜合除法，把 $f (x)$ 一再除以 $x + 2$ （也就是代 $- 2$ ）： $1111 3 - 2 1 - 2 - 1 - 2 - 3 5 - 2 325 2 - 6 - 4 - 2$

依序得到的餘數是 $d = - 4$ 、 $c = 5$ 、 $b = - 3$ ，最後的商是 $a = 1$ ，即 $f (x) = (x + 2)^{3} - 3 (x + 2)^{2} + 5 (x + 2) - 4$ 。

(A) 錯誤。 $b = - 3$ 。

(B) 正確。 $c = 5$ 。

(D) 錯誤。 前兩項都是 $(x + 2)^{2}$ 的倍式，餘式是 $5 (x + 2) - 4 = 5 x + 6$ ，不是 $5 x - 6$ 。

(E) 錯誤。 $x = - 1.99$ 時 $x + 2 = 0.01$ ， $f (- 1.99) = 0.0 1^{3} - 3 \times 0.0 1^{2} + 5 \times 0.01 - 4 = 0.000001 - 0.0003 + 0.05 - 4 = - 3.950299$ ，大於 $- 5$ 。

(E) 也可以用局部近似：

x

在

- 2

附近時，

(x + 2)^{3}

、

(x + 2)^{2}

很小，

f (x) \approx 5 (x + 2) - 4

，代入得約

- 3.95

。這題放在單選題大題，題幹雖寫「哪些」，正確的只有 (B)。

把

f (x)

改寫成

x - a

的多項式，用連續綜合除法；餘數由下而上依序是常數項、一次項係數、二次項係數。

03多選 10～12：由圖形求三次函數、由圖形判斷係數、對稱中心

第 10 題

圖形通過 $(1, 0)$ 、 $(- 3, 0)$ 、 $(k, 0)$ ，所以可設 $f (x) = a (x + 3) (x - 1) (x - k)$ 。圖形也通過 $(- 1, 2)$ 與 $(2, - 1)$ ：

$f (- 1) = a \cdot 2 \cdot (- 2) \cdot (- 1 - k) = 4 a (1 + k) = 2$ ，

$f (2) = a \cdot 5 \cdot 1 \cdot (2 - k) = 5 a (2 - k) = - 1$ 。

兩式相除： $\frac{4 ( 1 + k )}{5 ( 2 - k )} = - 2$ ， $4 + 4 k = - 20 + 10 k$ ， $k = 4$ ；代回得 $4 a \times 5 = 2$ ， $a = \frac{1}{10}$ 。所以 $f (x) = \frac{1}{10} (x + 3) (x - 1) (x - 4)$ 。

(A) 正確。 $a = \frac{1}{10} > 0$ （圖形右端往上，也看得出 $a > 0$ ）。

(B) 正確。 $f (x) = 0$ 的實根是 $- 3$ 、 $1$ 、 $4$ 。

(D) 正確。 $a + b + c + d = f (1) = 0$ 。

(E) 錯誤。 $a > 0$ ，由圖形或正負號判斷， $f (x) > 0$ 的解是 $- 3 < x < 1$ 或 $x > 4$ ，不是 $x > 3$ 。

(- 1, 2)

、

(2, - 1)

題目沒有說它們是最高點或最低點，只當作圖形上的點來用；這題靠這兩點把

a

和

k

解出來。圖中

P

點的位置為示意。

第 11 題

由圖讀出：開口向下；頂點在 $y$ 軸左邊（介於 $- 1$ 與 $0$ 之間）；與 $y$ 軸交在原點上方；與 $x$ 軸有兩個交點，左邊的交點在 $- 3$ 與 $- 2$ 之間，右邊的交點在 $0$ 與 $1$ 之間。

(A) 正確。 開口向下， $a < 0$ 。

(B) 錯誤。 對稱軸 $x = - \frac{b}{2 a} < 0$ ，而 $a < 0$ ，所以 $- b < 0$ ， $b < 0$ 。

(D) 錯誤。 圖形與 $x$ 軸有兩個交點， $a x^{2} + b x + c = 0$ 有兩相異實根， $b^{2} - 4 a c > 0$ 。

(E) 正確。 $4 a - 2 b + c = f (- 2)$ 。 $x = - 2$ 在兩個 $x$ 截距之間，這一段圖形在 $x$ 軸上方，所以 $f (- 2) > 0$ 。

把係數組合看成某個

x

的函數值：

a + b + c = f (1)

、

a - b + c = f (- 1)

、

4 a - 2 b + c = f (- 2)

，再到圖上找那一點在

x

軸的上方還是下方。

第 12 題

先把 $f (x)$ 寫成以 $x - 1$ 為主的形式： $(x - 1)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ ， $f (x) - (x - 1)^{3} = x - 4 = (x - 1) - 3$ ，所以 $f (x) = (x - 1)^{3} + (x - 1) - 3$ 。

(A) 錯誤。 $f (- 5) = - 125 - 75 - 20 - 5 = - 225 \neq = 0$ 。

(B) 正確。 令 $u = x - 1$ ， $y = u^{3} + u - 3$ 。 $u$ 增加時 $u^{3}$ 與 $u$ 都增加，所以 $f (x)$ 是遞增的，圖形與 $x$ 軸只交一次。

(C) 正確。 $y = (x - 1)^{3} + (x - 1) - 3$ 是 $y = x^{3} + x$ 的圖形向右平移 $1$ 、向下平移 $3$ 而得； $y = x^{3} + x$ 的圖形對稱於原點，所以 $y = f (x)$ 的對稱中心是 $(1, - 3)$ 。驗算 $f (1) = 1 - 3 + 4 - 5 = - 3$ 。

(D) 正確。 在 $x = 1$ 附近， $(x - 1)^{3}$ 非常小， $f (x) \approx (x - 1) - 3 = x - 4$ ，圖形近似於直線 $y = x - 4$ 。

(E) 錯誤。 平移後的圖形是 $y = f (x - h) + k$ ， $x^{3}$ 的係數仍是 $1$ ；但 $3 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x = 3 (f (x) + 5)$ 的 $x^{3}$ 係數是 $3$ ，形狀被鉛直拉長了，不能只靠平移得到。

三次函數

y = a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

的對稱中心是

(h, k)

，在中心附近近似於直線

y = p (x - h) + k

；平移不會改變首項係數。

04選填 13～15：綜合除法、二次函數平移、高次不等式

第 13 題由餘式定理，

f (- 13)

就是

f (x)

除以

x + 13

的餘式。題目印的綜合除法：係數

1, 14, 15, 28, k

，用

- 13

去除，下排依序是

1

、

14 - 13 = 1

、

15 - 13 = 2

、

28 - 26 = 2

，最後一格是

k - 26

。所以

f (- 13) = k - 26 = - 4

，

k = 22

。

直接代入也可以驗算：

(- 13)^{4} + 14 (- 13)^{3} + 15 (- 13)^{2} + 28 (- 13) = 28561 - 30758 + 2535 - 364 = - 26

，再加

k

得

k - 26

。

第 14 題配方：

y = 3 x^{2} - 12 x + 17 = 3 (x^{2} - 4 x) + 17 = 3 (x - 2)^{2} + 5

，頂點

(2, 5)

。目標

y = 3 (x - 5)^{2} + 9

的頂點是

(5, 9)

，兩者開口大小相同（都是

3

）。頂點從

(2, 5)

移到

(5, 9)

，向右

3

、向上

4

，所以

(h, k) = (3, 4)

。

第 15 題

x^{2} + 3 x + 4 = (x + \frac{3}{2})^{2} + \frac{7}{4} > 0

恆成立，兩邊同除以這個正數，不等號方向不變，原不等式等價於

(x - 2) (3 x - 40) < 0

。兩根是

2

和

\frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3}

，解為

2 < x < \frac{40}{3}

。整數解是

3, 4, \dots, 13

，共

13 - 3 + 1 = 11

個。

端點

2

不算（不等式是嚴格的）；

\frac{40}{3}

大約是

13.3

，所以最大的整數解是

13

。

高次不等式先把恆正（或恆負）的二次因式拿掉，再看剩下的因式的正負。

05混合題 16～17：外送收入的二次函數

第 16 題答案 (C)。每天只接

10

單，就是沒有多接，每單可得

60

元，每天得

10 \times 60 = 600

元。工作

22

天共

600 \times 22 = 13200

元。

第 17 題

每天多接 $x$ 單時，共接 $10 + x$ 單，每單可得 $60 - x$ 元，所以 $f (x) = (10 + x) (60 - x) = - x^{2} + 50 x + 600$

配方： $f (x) = - (x^{2} - 50 x) + 600 = - (x - 25)^{2} + 625 + 600 = - (x - 25)^{2} + 1225$ 。

開口向下， $x = 25$ 時 $f (x)$ 有最大值 $1225$ 。所以每天接 $10 + 25 = 35$ 單外送，當日收入最大，為 $1225$ 元。

題目問的是「每天接多少單」，答案是

35

單，不是多接的

25

單。學校的評分：列式、展開、配方、結論各

2

分。

「多一單、每單少一元」這類題目，收入＝單數×每單收入，列成二次函數後配方求最大值。

同一次段考的其他學校

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常見問題

基隆高中 113 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 113 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

是非第 5 題恆正的不等式是全體實數都是解，不是無解；單選第 6 題最低溫要比較兩個端點；單選第 9 題要用連續綜合除法，注意 (x+2)² 的餘式是 5x+6；多選第 10 題要用圖上兩個點解出首項係數與第三個根；混合題第 17 題問的是總單數而不是多接的單數。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自基隆高中 113 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：多項式的運算與應用（除法原理、餘式定理與因式定理）、一次二次三次函數的圖形、多項式不等式

基隆高中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

f (x) = x^{2024} + 5 x^{103} + 6

除以

x + 1

的餘式為

6

。

若實數

k > 3

，則對所有的實數

x

，

3 x^{2} + 6 x + k > 0

恆成立。

x + 1

為

8 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 3

的因式。

若

f (x) = a x^{2} + b x + c

，

a \neq = 0

，滿足

f (1) = f (3)

，則對稱軸方程式為

x = 2

。

不等式

x^{2} - x + 1 > 0

無實數解。

設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為

f (t) = - t^{2} + 8 t + 22

，其中

1 \leq t \leq 10

，則這段時間內該地區的最大溫差為下列何者？

(A) $9$
(B) $16$
(C) $20$
(D) $25$
(E) $36$

下列哪一個三次函數的圖形為

y = x^{3} + 2 x^{2}

之圖形向右平移

3

單位，再向上平移

4

單位而得？

(A) $y = (x - 3)^{3} + 2 (x - 3)^{2} + 4$
(B) $y = (x - 3)^{3} + 2 (x - 3)^{2} - 4$
(C) $y = (x + 3)^{3} + 2 (x + 3)^{2} + 4$
(D) $y = (x + 3)^{3} + 2 (x + 3)^{2} - 4$
(E) $y = (x + 4)^{3} + 2 (x + 4)^{2} + 3$

設多項式

f (x)

除以

x^{3} - 1

的餘式為

x^{2} + 1

，求

f (x)

除以

x^{2} + x + 1

的餘式為

a x + b

，試求

a + b =

？

(A) $2$
(B) $1$
(C) $0$
(D) $- 1$
(E) $- 2$

設

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 2 = a (x + 2)^{3} + b (x + 2)^{2} + c (x + 2) + d

，則下列選項哪些正確？

(A) $b = 3$
(B) $c = 5$
(C) $d = 2$
(D) $f (x)$ 除以 $(x + 2)^{2}$ 餘式為 $5 x - 6$
(E) $f (- 1.99) < - 5$

如圖為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，且圖形通過

(1, 0)

、

(- 3, 0)

、

(k, 0)

，選出正確的選項：

(A) $a > 0$
(B) 方程式 $f (x) = 0$ 的實根為 $x = - 3$ 或 $1$ 或 $4$
(C) $f (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 3)$
(D) $a + b + c + d = 0$
(E) $f (x) > 0$ 的解為 $- 3 < x < 1$ 或 $x > 3$

載入中...

已知二次函數

y = a x^{2} + b x + c

的圖形，如下圖，試判別下列各式，哪些選項是正確的？

(A) $a < 0$
(B) $b > 0$
(C) $c < 0$
(D) $b^{2} - 4 a c < 0$
(E) $4 a - 2 b + c > 0$

載入中...

設

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5

，下列關於函數

y = f (x)

的圖形之描述，試選出正確的選項。

(A) $y = f (x)$ 的圖形通過點 $(- 5, 0)$
(B) $y = f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸只有一個交點
(C) 點 $(1, - 3)$ 是 $y = f (x)$ 的圖形之對稱中心
(D) $y = f (x)$ 的圖形在對稱中心附近會近似於一直線 $y = x - 4$
(E) $y = 3 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ 的圖形可由 $y = f (x)$ 的圖形經適當平移得到

設

f (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 15 x^{2} + 28 x + k

，若

f (- 13) = - 4

，則

k

之值為 ____。

11 + 14 - 13 + 1 + 15 - 13 + 2 + 28 - 26 + 2 + k - 26 k - 26 - 13

若將

y = 3 x^{2} - 12 x + 17

之函數圖形向右平移

h

單位，再向上平移

k

單位，會與

y = 3 (x - 5)^{2} + 9

圖形重合，則數對

(h, k) =

( ____ , ____ )。

試問不等式

(x^{2} + 3 x + 4) (x - 2) (3 x - 40) < 0

有 ____ 個整數解。

10

單，而每一單外送津貼費扣除機車損耗費可得

60

元。若外送員每多接一單外送訂單，機車的損耗費用會多增加

1

元。例如，若外送員此日接了

12

單，即多接

2

單外送，則每單可得

60 - 2 = 58

（元）。假設外送員每天多接

x

單外送，則外送員當日可得

f (x)

元。

若外送員當月每天只接

10

單外送，則當月工作

22

天可多領到多少元？（單選）（5 分）

(A) $11000$
(B) $12760$
(C) $13200$
(D) $14000$
(E) $15200$

每天接多少單外送，可達當日收入最大值？（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2是

3是

4是

5否

第 6 題(E)

第 7 題(A)

第 8 題(D)

第 9 題(B)

第 10 題(A)(B)(D)

第 11 題(A)(E)

第 12 題(B)(C)(D)

第 13 題

22

第 14 題

(3, 4)

第 15 題

11

第 16 題(C)

第 17 題每天接

35

單

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5：餘式定理、因式定理、判別式、對稱軸

第 1 題否答案劃記「否」。由餘式定理，

f (x)

除以

x + 1

的餘式是

f (- 1)

。

2024

是偶數，

(- 1)^{2024} = 1

；

103

是奇數，

(- 1)^{103} = - 1

。所以

f (- 1) = 1 + 5 \times (- 1) + 6 = 2

，餘式是

2

，不是

6

。

常見的錯是只看常數項

6

；除以

x + 1

要代

x = - 1

，奇數次方會變號。

第 2 題是答案劃記「是」。

3 x^{2} + 6 x + k

的首項係數

3 > 0

，圖形開口向上；它對所有實數

x

都大於

0

的條件是判別式小於

0

：

6^{2} - 4 \times 3 \times k < 0

，即

36 - 12 k < 0

，

k > 3

。題目給

k > 3

，所以恆成立。

也可以配方：

3 x^{2} + 6 x + k = 3 (x + 1)^{2} + (k - 3)

，

k > 3

時最小值

k - 3 > 0

。

第 3 題是答案劃記「是」。由因式定理，

x + 1

是因式等於

x = - 1

代入得

0

：

8 (- 1)^{3} + 4 (- 1)^{2} - 7 (- 1) - 3 = - 8 + 4 + 7 - 3 = 0

，所以

x + 1

是因式。

第 4 題是答案劃記「是」。

a \neq = 0

，

y = f (x)

是拋物線，圖形對稱於對稱軸。

f (1) = f (3)

表示

(1, f (1))

與

(3, f (3))

兩點同高，它們對稱於對稱軸，所以對稱軸是

x = \frac{1 + 3}{2} = 2

。

代數驗證：

f (1) = f (3)

得

a + b + c = 9 a + 3 b + c

，

8 a + 2 b = 0

，

b = - 4 a

，對稱軸

x = - \frac{b}{2 a} = 2

。

第 5 題否答案劃記「否」。

x^{2} - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0

，對每一個實數

x

都成立，所以解是「所有實數」，不是無實數解。

判別式

(- 1)^{2} - 4 = - 3 < 0

且首項係數為正，表示二次式恆正。「恆正」對應「

> 0

的解是全體實數」；要「

< 0

」才是無實數解。

除以

x - a

的餘式就是

f (a)

；二次式恆正看「首項係數為正且判別式小於

0

」。

02單選 6～9：限定範圍的極值、平移、除法原理、連續綜合除法

第 6 題答案 (E)。配方：

f (t) = - (t^{2} - 8 t) + 22 = - (t - 4)^{2} + 38

。

t = 4

在

1 \leq t \leq 10

內，最高溫是

38

。最低溫發生在離

t = 4

最遠的端點：

t = 1

時

f (1) = - 1 + 8 + 22 = 29

，

t = 10

時

f (10) = - 100 + 80 + 22 = 2

，最低溫是

2

。最大溫差

38 - 2 = 36

。

開口向下的拋物線，最小值一定在端點，要兩端都算，比較後取小的；

t = 10

離頂點較遠，所以比較低。

第 7 題答案 (A)。圖形向右平移

3

單位：把

x

換成

x - 3

，得

y = (x - 3)^{3} + 2 (x - 3)^{2}

；再向上平移

4

單位：整個加

4

，得

y = (x - 3)^{3} + 2 (x - 3)^{2} + 4

。

向右移是

x

換成

x - 3

（不是

x + 3

），向上移是加在整個式子後面。

第 8 題答案 (D)。由除法原理，

f (x) = (x^{3} - 1) Q (x) + x^{2} + 1

。因為

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

，所以

f (x) = (x^{2} + x + 1) \cdot (x - 1) Q (x) + x^{2} + 1

，前一項是

x^{2} + x + 1

的倍式，餘式就是

x^{2} + 1

除以

x^{2} + x + 1

的餘式。

x^{2} + 1 = 1 \cdot (x^{2} + x + 1) + (- x)

，餘式為

- x

，所以

a = - 1

、

b = 0

，

a + b = - 1

。

第 9 題

答案 (B)。用連續綜合除法，把 $f (x)$ 一再除以 $x + 2$ （也就是代 $- 2$ ）： $1111 3 - 2 1 - 2 - 1 - 2 - 3 5 - 2 325 2 - 6 - 4 - 2$

依序得到的餘數是 $d = - 4$ 、 $c = 5$ 、 $b = - 3$ ，最後的商是 $a = 1$ ，即 $f (x) = (x + 2)^{3} - 3 (x + 2)^{2} + 5 (x + 2) - 4$ 。

(A) 錯誤。 $b = - 3$ 。

(B) 正確。 $c = 5$ 。

(D) 錯誤。 前兩項都是 $(x + 2)^{2}$ 的倍式，餘式是 $5 (x + 2) - 4 = 5 x + 6$ ，不是 $5 x - 6$ 。

(E) 錯誤。 $x = - 1.99$ 時 $x + 2 = 0.01$ ， $f (- 1.99) = 0.0 1^{3} - 3 \times 0.0 1^{2} + 5 \times 0.01 - 4 = 0.000001 - 0.0003 + 0.05 - 4 = - 3.950299$ ，大於 $- 5$ 。

(E) 也可以用局部近似：

x

在

- 2

附近時，

(x + 2)^{3}

、

(x + 2)^{2}

很小，

f (x) \approx 5 (x + 2) - 4

，代入得約

- 3.95

。這題放在單選題大題，題幹雖寫「哪些」，正確的只有 (B)。

把

f (x)

改寫成

x - a

的多項式，用連續綜合除法；餘數由下而上依序是常數項、一次項係數、二次項係數。

03多選 10～12：由圖形求三次函數、由圖形判斷係數、對稱中心

第 10 題

圖形通過 $(1, 0)$ 、 $(- 3, 0)$ 、 $(k, 0)$ ，所以可設 $f (x) = a (x + 3) (x - 1) (x - k)$ 。圖形也通過 $(- 1, 2)$ 與 $(2, - 1)$ ：

$f (- 1) = a \cdot 2 \cdot (- 2) \cdot (- 1 - k) = 4 a (1 + k) = 2$ ，

$f (2) = a \cdot 5 \cdot 1 \cdot (2 - k) = 5 a (2 - k) = - 1$ 。

(A) 正確。 $a = \frac{1}{10} > 0$ （圖形右端往上，也看得出 $a > 0$ ）。

(B) 正確。 $f (x) = 0$ 的實根是 $- 3$ 、 $1$ 、 $4$ 。

(D) 正確。 $a + b + c + d = f (1) = 0$ 。

(E) 錯誤。 $a > 0$ ，由圖形或正負號判斷， $f (x) > 0$ 的解是 $- 3 < x < 1$ 或 $x > 4$ ，不是 $x > 3$ 。

(- 1, 2)

、

(2, - 1)

題目沒有說它們是最高點或最低點，只當作圖形上的點來用；這題靠這兩點把

a

和

k

解出來。圖中

P

點的位置為示意。

第 11 題

(A) 正確。 開口向下， $a < 0$ 。

(B) 錯誤。 對稱軸 $x = - \frac{b}{2 a} < 0$ ，而 $a < 0$ ，所以 $- b < 0$ ， $b < 0$ 。

(D) 錯誤。 圖形與 $x$ 軸有兩個交點， $a x^{2} + b x + c = 0$ 有兩相異實根， $b^{2} - 4 a c > 0$ 。

(E) 正確。 $4 a - 2 b + c = f (- 2)$ 。 $x = - 2$ 在兩個 $x$ 截距之間，這一段圖形在 $x$ 軸上方，所以 $f (- 2) > 0$ 。

把係數組合看成某個

x

的函數值：

a + b + c = f (1)

、

a - b + c = f (- 1)

、

4 a - 2 b + c = f (- 2)

，再到圖上找那一點在

x

軸的上方還是下方。

第 12 題

先把 $f (x)$ 寫成以 $x - 1$ 為主的形式： $(x - 1)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ ， $f (x) - (x - 1)^{3} = x - 4 = (x - 1) - 3$ ，所以 $f (x) = (x - 1)^{3} + (x - 1) - 3$ 。

(A) 錯誤。 $f (- 5) = - 125 - 75 - 20 - 5 = - 225 \neq = 0$ 。

(B) 正確。 令 $u = x - 1$ ， $y = u^{3} + u - 3$ 。 $u$ 增加時 $u^{3}$ 與 $u$ 都增加，所以 $f (x)$ 是遞增的，圖形與 $x$ 軸只交一次。

(D) 正確。 在 $x = 1$ 附近， $(x - 1)^{3}$ 非常小， $f (x) \approx (x - 1) - 3 = x - 4$ ，圖形近似於直線 $y = x - 4$ 。

三次函數

y = a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

的對稱中心是

(h, k)

，在中心附近近似於直線

y = p (x - h) + k

；平移不會改變首項係數。

04選填 13～15：綜合除法、二次函數平移、高次不等式

第 13 題由餘式定理，

f (- 13)

就是

f (x)

除以

x + 13

的餘式。題目印的綜合除法：係數

1, 14, 15, 28, k

，用

- 13

去除，下排依序是

1

、

14 - 13 = 1

、

15 - 13 = 2

、

28 - 26 = 2

，最後一格是

k - 26

。所以

f (- 13) = k - 26 = - 4

，

k = 22

。

直接代入也可以驗算：

(- 13)^{4} + 14 (- 13)^{3} + 15 (- 13)^{2} + 28 (- 13) = 28561 - 30758 + 2535 - 364 = - 26

，再加

k

得

k - 26

。

第 14 題配方：

y = 3 x^{2} - 12 x + 17 = 3 (x^{2} - 4 x) + 17 = 3 (x - 2)^{2} + 5

，頂點

(2, 5)

。目標

y = 3 (x - 5)^{2} + 9

的頂點是

(5, 9)

，兩者開口大小相同（都是

3

）。頂點從

(2, 5)

移到

(5, 9)

，向右

3

、向上

4

，所以

(h, k) = (3, 4)

。

第 15 題

x^{2} + 3 x + 4 = (x + \frac{3}{2})^{2} + \frac{7}{4} > 0

恆成立，兩邊同除以這個正數，不等號方向不變，原不等式等價於

(x - 2) (3 x - 40) < 0

。兩根是

2

和

\frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3}

，解為

2 < x < \frac{40}{3}

。整數解是

3, 4, \dots, 13

，共

13 - 3 + 1 = 11

個。

端點

2

不算（不等式是嚴格的）；

\frac{40}{3}

大約是

13.3

，所以最大的整數解是

13

。

高次不等式先把恆正（或恆負）的二次因式拿掉，再看剩下的因式的正負。

05混合題 16～17：外送收入的二次函數

第 16 題答案 (C)。每天只接

10

單，就是沒有多接，每單可得

60

元，每天得

10 \times 60 = 600

元。工作

22

天共

600 \times 22 = 13200

元。

第 17 題

每天多接 $x$ 單時，共接 $10 + x$ 單，每單可得 $60 - x$ 元，所以 $f (x) = (10 + x) (60 - x) = - x^{2} + 50 x + 600$

配方： $f (x) = - (x^{2} - 50 x) + 600 = - (x - 25)^{2} + 625 + 600 = - (x - 25)^{2} + 1225$ 。

開口向下， $x = 25$ 時 $f (x)$ 有最大值 $1225$ 。所以每天接 $10 + 25 = 35$ 單外送，當日收入最大，為 $1225$ 元。

題目問的是「每天接多少單」，答案是

35

單，不是多接的

25

單。學校的評分：列式、展開、配方、結論各

2

分。

「多一單、每單少一元」這類題目，收入＝單數×每單收入，列成二次函數後配方求最大值。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

基隆高中 113 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 113 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 113 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 113 上高一第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01是非 1～5：餘式定理、因式定理、判別式、對稱軸

02單選 6～9：限定範圍的極值、平移、除法原理、連續綜合除法

03多選 10～12：由圖形求三次函數、由圖形判斷係數、對稱中心

04選填 13～15：綜合除法、二次函數平移、高次不等式

05混合題 16～17：外送收入的二次函數

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常見問題

基隆高中 113 上 高一第二次段考數學的答案在哪裡？

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03多選 10～12：由圖形求三次函數、由圖形判斷係數、對稱中心

04選填 13～15：綜合除法、二次函數平移、高次不等式

05混合題 16～17：外送收入的二次函數

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基隆高中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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