基隆高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)。逐項用 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$：

$$f^{\prime }(x)=-11x^{10}-12x^5,f^{\prime \prime }(x)=-110x^9-60x^4$$

代入 $x=1$：$f^{\prime \prime }(1)=-110-60=-170$。

答案 (D)。乘積的微分：$(gh{)}^{\prime }=g^{\prime }h+g{h}^{\prime }$。令 $g(x)=3x-2$、$h(x)=x^2+1$，則 $g^{\prime }(x)=3$、$h^{\prime }(x)=2x$，

$$f^{\prime }(x)=3(x^2+1)+(3x-2)\cdot 2x$$

代入 $x=2$：$f^{\prime }(2)=3\times 5+4\times 4=15+16=31$。

答案 (D)。閉區間上的最大值，要比較區間內的極值點與兩個端點的函數值。

$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$，$f^{\prime }(x)=0$ 時 $x=0$ 或 $x=2$。在 $0<x<2$ 時 $f^{\prime }(x)>0$（遞增），在 $2<x<3$ 時 $f^{\prime }(x)<0$（遞減）。

比較：$f(0)=1$，$f(2)=-8+12+1=5$，$f(3)=-27+27+1=1$。所以最大值是 $5$。

答案 (B)。由圖形看出：$x=-3$ 是低谷、$x=-1$ 是高峰、$x=2$ 又是低谷。所以函數在 $(-\infty ,-3]$ 遞減、在 $[-3,-1]$ 遞增、在 $[-1,2]$ 遞減、在 $[2,\infty )$ 遞增。

(A) $(-\infty ,-3]$ 是遞減區間。(B) $[-2,-1]$ 包含在遞增區間 $[-3,-1]$ 內，函數在這裡遞增。(C) $[-1,2]$ 是遞減區間。(D) $[-3,0]$ 包含了 $[-1,0]$ 這段下降的部分，在整個區間上不是遞增。

答案 (B)。三次函數圖形的對稱中心就是反曲點，也就是二階導數由正變負或由負變正的點。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9,f^{\prime \prime }(x)=6x-6$$

$f^{\prime \prime }(x)=0$ 時 $x=1$；$x<1$ 時 $f^{\prime \prime }(x)<0$，$x>1$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$，凹凸性在這裡改變。函數值 $f(1)=1-3-9+1=-10$，所以反曲點是 $(1,-10)$。

答案 (C)。生產銷售第 $301$ 部增加的利潤是 $f(301)-f(300)$，題目說用 $f^{\prime }(300)$ 估算。

$$f^{\prime }(x)=0.0003(x-300{)}^2+0.06$$

所以 $f^{\prime }(300)=0+0.06=0.06$（萬元）。$1$ 萬元是 $10000$ 元，$0.06$ 萬元是 $600$ 元。

答案 (C)。導函數的正負對應原函數的遞增遞減。由 $y=f(x)$ 的圖形：

$x<0$ 時圖形下降，$f^{\prime }(x)<0$；$0<x<3$ 時圖形上升，$f^{\prime }(x)>0$；$x>3$ 時圖形下降，$f^{\prime }(x)<0$。在 $x=0$（低谷）與 $x=3$（高峰）切線水平，$f^{\prime }(0)=f^{\prime }(3)=0$。

所以 $f^{\prime }(x)$ 的圖形與 $x$ 軸交於 $(0,0)$、$(3,0)$，兩交點之間在 $x$ 軸上方、兩側在下方，是開口向下的拋物線，即 (C)。

答案 (C)。先確認 $A$ 在圖形上：$f(1)=1-4+3=0$。切線斜率是 $f^{\prime }(1)$：

$$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2,f^{\prime }(1)=4-12=-8$$

過 $(1,0)$、斜率 $-8$ 的直線是 $y-0=-8(x-1)$，即 $y=-8x+8$。

答案 (A)(B)。由 $f^{\prime }(x)=(x-1)(x-5)$ 的正負：$x<1$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$f$ 遞增；$1<x<5$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，$f$ 遞減；$x>5$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$f$ 遞增。

(A) 正確。 $2$、$3$ 都在遞減區間 $[1,5]$ 內，$2<3$，所以 $f(2)>f(3)$。

(B) 正確。 $3$、$4$ 都在遞減區間 $[1,5]$ 內，所以 $f(3)>f(4)$。

(C) 錯誤。 $-1$、$0$ 都在遞增區間 $(-\infty ,1]$ 內，所以 $f(-1)<f(0)$。

(D) 錯誤。 $6$、$7$ 都在遞增區間 $[5,\infty )$ 內，所以 $f(6)<f(7)$。

(E) 錯誤。 $9$、$10$ 都在遞增區間 $[5,\infty )$ 內，所以 $f(9)<f(10)$。

答案 (A)(D)(E)。$f^{\prime }(x)=2x+3$。把每條直線寫成 $y=mx+k$ 的形式，切點的斜率要等於 $m$，所以切點的橫坐標滿足 $2x+3=m$；再檢查這個切點是否在直線上。

(A) 正確。 $y=x-6$，$m=1$，切點橫坐標 $x=-1$，$f(-1)=1-3-5=-7$；直線在 $x=-1$ 的值是 $-1-6=-7$，相同，所以相切。

(B) 錯誤。 $y=x+8$，$m=1$，切點也只能是 $(-1,-7)$；直線在 $x=-1$ 的值是 $7$，不通過切點，不相切。

(C) 錯誤。 $y=-5x+21$，$m=-5$，切點橫坐標 $x=-4$，$f(-4)=16-12-5=-1$；直線在 $x=-4$ 的值是 $20+21=41$，不相切。

(D) 正確。 $y=-5x-21$，$m=-5$，切點 $(-4,-1)$；直線在 $x=-4$ 的值是 $20-21=-1$，相切。

(E) 正確。 $y=9x-14$，$m=9$，切點橫坐標 $x=3$，$f(3)=9+9-5=13$；直線在 $x=3$ 的值是 $27-14=13$，相切。

$f^{\prime }(1)$ 存在，$f$ 在 $x=1$ 一定連續，而且左右兩側算出來的導數要相等。

連續：$x$ 從右邊趨近 $1$ 時 $ax+b$ 趨近 $a+b$，要等於 $f(1)=1^2=1$，所以 $a+b=1$。

導數：左側 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x+1)=2$；右側用 $b=1-a$，

$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{ax+b-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{a(x-1)}{x-1}=a$$

兩側相等，$a=2$，$b=1-2=-1$。所以 $(a,b)=(2,-1)$。

$f^{\prime }(x)=3x^2-18x+24=3(x^2-6x+8)=3(x-2)(x-4)$。

$x<2$ 時 $f^{\prime }(x)>0$（遞增），$2<x<4$ 時 $f^{\prime }(x)<0$（遞減），$x>4$ 時 $f^{\prime }(x)>0$（遞增）。所以 $x=2$ 時由增轉減，有極大值；$x=4$ 時由減轉增，有極小值。$(\alpha ,\beta )=(2,4)$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+c$，$f^{\prime \prime }(x)=6x+2b$。

反曲點的橫坐標是 $0$：$f^{\prime \prime }(0)=2b=0$，得 $b=0$。反曲點 $(0,-1)$ 在圖形上：$f(0)=d=-1$。

$x=3$ 時有極小值，所以 $f^{\prime }(3)=0$：$27+6b+c=27+c=0$，得 $c=-27$。

檢查：$f^{\prime }(x)=3x^2-27=3(x+3)(x-3)$，$x$ 經過 $3$ 時 $f^{\prime }(x)$ 由負變正，確實是極小值。所以 $(b,c,d)=(0,-27,-1)$。

梯形對稱於 $y$ 軸。設 $C(t,9-t^2)$，則 $D(-t,9-t^2)$，其中 $0<t<3$。上底長 $2t$，下底長 $6$，高 $9-t^2$，面積

$$S(t)=\frac{(6+2t)(9-t^2)}{2}=(3+t)(9-t^2)=-t^3-3t^2+9t+27$$

$S^{\prime }(t)=-3t^2-6t+9=-3(t+3)(t-1)$。在 $0<t<1$ 時 $S^{\prime }(t)>0$（遞增），在 $1<t<3$ 時 $S^{\prime }(t)<0$（遞減），所以 $t=1$ 時面積最大：$S(1)=4\times 8=32$。

曲線在橫坐標為 $x$ 的點的切線斜率是

$$y^{\prime }=-3x^2+12x=-3(x^2-4x)=-3(x-2{)}^2+12$$

這是開口向下的二次函數，在 $x=2$ 時最大，最大值是 $12$。所以所有切線中斜率最大值為 $12$。