基隆高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

錯誤。先化成銳角：$\sin 146^{\circ }=\sin (180^{\circ }-34^{\circ })=\sin 34^{\circ }$；$\sin 219^{\circ }=\sin (180^{\circ }+39^{\circ })=-\sin 39^{\circ }$；$\sin 292^{\circ }=\sin (360^{\circ }-68^{\circ })=-\sin 68^{\circ }$；$\sin 365^{\circ }=\sin (360^{\circ }+5^{\circ })=\sin 5^{\circ }$。

銳角愈大正弦愈大，所以 $\sin 5^{\circ }<\sin 34^{\circ }<\sin 73^{\circ }$，且 $-\sin 68^{\circ }<-\sin 39^{\circ }<0$。五個數由小到大是 $$\sin 292^{\circ }<\sin 219^{\circ }<\sin 365^{\circ }<\sin 146^{\circ }<\sin 73^{\circ }$$

中位數是第 $3$ 個，即 $\sin 365^{\circ }$，不是 $\sin 146^{\circ }$。

錯誤。由圖，$\theta$ 是從 $C$ 點往右的水平線，逆時針轉到 $\overrightarrow{CA}$ 的角（在 $C$ 的外角）。設 $\alpha =\angle ACB$，則 $\theta =180^{\circ }-\alpha$。由畢氏定理 $\overline{AC}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。

$2\theta =360^{\circ }-2\alpha$，所以 $\sin 2\theta =\sin (360^{\circ }-2\alpha )=-\sin 2\alpha$。

求 $\sin 2\alpha$：把 $A$ 對直線 $BC$ 作對稱點 $A^{\prime }$，則 $\overline{C{A}^{\prime }}=\overline{CA}=10$，$\overline{A{A}^{\prime }}=12$，且 $\angle AC{A}^{\prime }=2\alpha$。$△AC{A}^{\prime }$ 的面積可以用兩種方法算： $$\frac{1}{2}\times \overline{A{A}^{\prime }}\times \overline{BC}=\frac{1}{2}\times 12\times 8=48,\frac{1}{2}\times 10\times 10\times \sin 2\alpha =50\sin 2\alpha$$

得 $\sin 2\alpha =\frac{48}{50}=\frac{24}{25}$，所以 $\sin 2\theta =-\frac{24}{25}\ne \frac{24}{25}$。

把 $f(x)$ 看成兩個向量的內積：$f(x)=(3,4)\cdot (\sin x,\cos x)$。$(\sin x,\cos x)$ 的長度是 $\sqrt{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}=1$，$(3,4)$ 的長度是 $5$。設兩向量的夾角為 $\phi$，則 $f(x)=5\times 1\times \cos \phi$，所以 $-5\le f(x)\le 5$。

當 $(\sin x,\cos x)=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$（與 $(3,4)$ 同方向）時 $f(x)=5$；當 $(\sin x,\cos x)=\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$ 時 $f(x)=-5$。這樣的 $x$ 都存在，且在每個長度 $2\pi$ 的區間裡各只出現一次。

(A) 正確。 $\sin x$、$\cos x$ 都以 $2\pi$ 為週期，所以 $f(x+2\pi )=f(x)$。若有更小的正週期 $p<2\pi$，最大值 $5$ 在一個長度 $2\pi$ 的區間裡會出現兩次，與上面「只出現一次」矛盾，所以週期是 $2\pi$。

(B) 正確。 最大值 $5$、最小值 $-5$，振幅 $=\frac{5-(-5)}{2}=5$。

(C) 錯誤。 $f(0)=3\sin 0+4\cos 0=4$，與 $y$ 軸交於 $(0,4)$，不是 $(0,-1)$。

(D) 正確。 令 $3\sin x+4\cos x=0$。若 $\cos x=0$，則 $\sin x=\pm 1$，$f(x)=\pm 3\ne 0$，所以 $\cos x\ne 0$，兩邊除以 $\cos x$ 得 $\tan x=-\frac{4}{3}$。這個方程式在每個長度 $\pi$ 的區間都有一個解，所以與 $x$ 軸有無限多個交點。

(E) 錯誤。 若對稱於 $x=\frac{\pi }{2}$，則 $f(0)$ 應等於 $f(\pi )$。但 $f(0)=4$，$f(\pi )=3\sin \pi +4\cos \pi =-4$，不相等。

答案 (A)(B)(D)。

${\log }_{2x-5}(7-x)$ 有意義，要同時滿足：底數 $2x-5>0$ 且 $2x-5\ne 1$；真數 $7-x>0$。解得 $x>\frac{5}{2}$，$x\ne 3$，$x<7$。

(A) 錯誤。 $x=-2$ 時底數 $=-9<0$。

(B) 錯誤。 $x=3$ 時底數 $=1$，不可以當底數。

(C) 正確。 $x=5$ 時為 ${\log }_{5}2$，有意義。

(D) 正確。 $x=6$ 時為 ${\log }_{7}1$，有意義（值為 $0$）。

(E) 錯誤。 $x=8$ 時真數 $=-1<0$。

答案 (C)(D)。

$\sin (90^{\circ }-\theta )=\cos \theta$，所以 $\sin 80^{\circ }=\cos 10^{\circ }$，$\sin 70^{\circ }=\cos 20^{\circ }$，$\sin 60^{\circ }=\cos 30^{\circ }$，$\sin 50^{\circ }=\cos 40^{\circ }$。兩兩配對： $$({\sin }^{2}10^{\circ }+{\cos }^{2}10^{\circ })+({\sin }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}20^{\circ })+({\sin }^{2}30^{\circ }+{\cos }^{2}30^{\circ })+({\sin }^{2}40^{\circ }+{\cos }^{2}40^{\circ })$$

每一組都是 $1$，共 $4$。

$\cos 70^{\circ }=\sin (90^{\circ }-70^{\circ })=\sin 20^{\circ }$。令 $c=\sin 20^{\circ }>0$，拋物線為 $y=c{x}^2+cx+\frac{1}{8}=c{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{8}-\frac{c}{4}$。

頂點是 $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{8}-\frac{c}{4}\right)$。銳角愈大正弦愈大，$c=\sin 20^{\circ }<\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$，所以 $\frac{c}{4}<\frac{1}{8}$，頂點的 $y$ 坐標 $\frac{1}{8}-\frac{c}{4}>0$。

頂點 $x$ 坐標為負、$y$ 坐標為正，落在第二象限。

success 的七個字母是 s、s、s、u、c、c、e。先不管順序限制，有相同物的排列數是 $\frac{7!}{3!2!}=\frac{5040}{12}=420$。

u 與 e 是兩個不同的字母，在每一種排法中不是 u 在前就是 e 在前；把每一種排法的 u、e 位置互換，就得到另一種排法，所以兩種情形一樣多。u 在 e 前面的排法有 $\frac{420}{2}=210$ 種。

把八隊分成 $A$、$B$ 兩組各四隊，選出 $A$ 組的四隊就決定了分組，共 $C_4^8=70$ 種，每種同樣可能。

不產生死亡之組，就是古巴、美國分在不同組：古巴在 $A$ 組、美國在 $B$ 組時，$A$ 組另外三隊從其餘六隊選，有 $C_3^6=20$ 種；反過來也是 $20$ 種，共 $40$ 種。

機率 $=\frac{40}{70}=\frac{4}{7}$，所以 $(a,b)=(4,7)$。

$9^y=3^{2y}$。$3^x>0$，$3^{2y}>0$，由算幾不等式： $$3^x+3^{2y}\ge 2\sqrt{3^x\cdot 3^{2y}}=2\sqrt{3^{x+2y}}=2\sqrt{3^6}=2\times 27=54$$

等號成立時 $3^x=3^{2y}$，即 $x=2y$，配合 $x+2y=6$ 得 $x=3$，$y=\frac{3}{2}$，都是正數，等號取得到。最小值為 $54$。

令 $t=\log 5$，則 $\log 2=1-t$，$a={\log }_{2}5=\frac{\log 5}{\log 2}=\frac{t}{1-t}$，$b=\log 50=\log 5+\log 10=t+1$。

指數的分子：$2a+b+1=\frac{2t}{1-t}+t+2=\frac{2t+(t+2)(1-t)}{1-t}=\frac{2+t-t^2}{1-t}=\frac{(2-t)(1+t)}{1-t}$。

分母：$ab=\frac{t(1+t)}{1-t}$。

相除得 $\frac{2a+b+1}{ab}=\frac{2-t}{t}=\frac{2-\log 5}{\log 5}=\frac{\log 100-\log 5}{\log 5}=\frac{\log 20}{\log 5}={\log }_{5}20$。

所以 $5^{\frac{2a+b+1}{ab}}=5^{{\log }_{5}20}=20$。

$\vec{a}\cdot \vec{b}=2x-y=10$，所以 $y=2x-10$。代入： $$4x^2+y^2=4x^2+(2x-10{)}^2=8x^2-40x+100=8{\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+50$$

$x=\frac{5}{2}$、$y=-5$ 時有最小值 $50$。

$1\le x\le 5$，$-3\le y\le \frac{1}{2}$ 時，$\overrightarrow{OP}=x\vec{u}+y\vec{v}$ 的終點 $P$ 形成一個平行四邊形，兩鄰邊是 $(5-1)\vec{u}=4\vec{u}$ 與 $\left(\frac{1}{2}-(-3)\right)\vec{v}=\frac{7}{2}\vec{v}$。

$\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 所張平行四邊形的面積是二階行列式的絕對值：$\left|\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|\right|=|4-6|=2$。

所以 $\Omega$ 的面積 $=4\times \frac{7}{2}\times 2=28$（平方單位）。