基隆高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

學校公布的答案是 (A)，本站計算為 (E)。

先看連續：$g(1)=3-2=1$，左極限 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(2x^3-2x)=2-2=0$。左極限 $0$ 不等於 $g(1)=1$，所以 $g$ 在 $x=1$ 不連續。可微分的函數一定連續，因此 $g$ 在 $x=1$ 不可微分，導數不存在。

直接用定義也看得出來：右邊 $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{3x^2-2x-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(3x+1)=4$；左邊 $\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\frac{2x^3-2x-1}{x-1}$，$x\to 1^{-}$ 時分子趨近 $-1$、分母從負的一側趨近 $0$，整個式子無限制變大，左導數不存在。

答案 (A)(C)(D)。

(A) 正確。 $x$ 從左邊接近 $1$ 時，圖形沿著上升的曲線接近空心點 $(1,2)$，左極限是 $2$。

(B) 錯誤。 $x$ 從左右兩邊接近 $2$ 時，圖形都在水平線段 $y=1$ 上，左右極限都是 $1$，所以 $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=1$ 存在；$f(2)=2$ 是另外一個點，不影響極限。

(C) 正確。 左右兩段曲線都接近原點，左右極限都是 $0$。

(D) 正確。 在 $0<x<1$ 這一段，圖形往右上升，$x=\frac{1}{2}$ 處的切線斜率為正，$f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)>0$。

(E) 錯誤。 $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=1\ne f(2)=2$，$f$ 在 $x=2$ 不連續，所以不可微分，$f^{\prime }(2)$ 不存在，更不會等於 $0$。

答案 (B)(D)。$f^{\prime }(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)$，$f^{\prime \prime }(x)=6x+2$。

(A) 錯誤。 $-1<x<\frac{1}{3}$ 時 $3x-1<0$、$x+1>0$，$f^{\prime }(x)<0$，$f$ 在 $\left[-1,\frac{1}{3}\right]$ 遞減。

(B) 正確。 $x\ge 0$ 時 $f^{\prime \prime }(x)=6x+2>0$，圖形凹向上。

(C) 錯誤。 $f^{\prime }(1)=3+2-1=4$。

(D) 正確。 三次函數圖形的對稱中心就是反曲點；$f^{\prime \prime }(x)=0$ 得 $x=-\frac{1}{3}$，所以 $h=-\frac{1}{3}$。

(E) 錯誤。 $f(1)=1+1-1+3=4$，$f^{\prime }(1)=4$，一次近似是在 $x=1$ 的切線 $y=4+4(x-1)=4x$，不是 $y=4x-1$。

學校公布的答案是 (B)(C)(E)，本站計算為 (A)(B)(C)(E)。

可微分必連續，所以 $f$ 在 $x=3$ 連續：右段在 $x=3$ 的值 $9+3a+b$ 要等於左段的極限 $3b+2a$，得 $a+9=2b$。

再看 $x=3$ 的左右導數。右導數 $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{(x^2+ax+b)-(9+3a+b)}{x-3}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }(x+3+a)=6+a$；左段是直線，左導數是斜率 $b$。可微分要求兩者相等：$b=6+a$。

聯立 $a+9=2b$ 與 $b=a+6$：$a+9=2a+12$，$a=-3$，$b=3$。於是 $f(3)=9-9+3=3$，$f^{\prime }(3)=b=3$。

(A) 正確。 題目說 $f$ 可微分，可微分的函數一定連續；上面也驗證了兩段在 $x=3$ 都是 $3$。

(B) 正確。 $a=-3$。

(C) 正確。 $b=3$。

(D) 錯誤。 $f(3)=3$，不是 $-3$。

(E) 正確。 $f^{\prime }(3)=3$。

答案 (A)(C)(D)(E)。$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，由圖可以讀出：右端往下、左端往上；$\beta <0<\alpha$ 是兩個極值點；反曲點在 $y$ 軸左邊；圖形與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方。

(A) 正確。 $x$ 很大時圖形往下，最高次項 $a{x}^3$ 決定走向，所以 $a<0$。

(B) 錯誤。 反曲點的 $x$ 坐標是 $-\frac{b}{3a}$，在 $y$ 軸左邊，所以 $-\frac{b}{3a}<0$，即 $\frac{b}{a}>0$，$b$ 與 $a$ 同號，$b<0$。

(C) 正確。 $c=f^{\prime }(0)$；$x=0$ 在 $\beta$ 與 $\alpha$ 之間，圖形在那裡遞增，$f^{\prime }(0)>0$。（也可以看兩根的積：$\alpha \beta =\frac{c}{3a}<0$，而 $a<0$，所以 $c>0$。）

(D) 正確。 $d=f(0)$，圖形與 $y$ 軸的交點在 $x$ 軸下方，$d<0$。

(E) 正確。 $f^{\prime }(x)=0$ 有兩個相異實根 $\alpha$、$\beta$，判別式 $(2b{)}^2-4\cdot 3a\cdot c=4(b^2-3ac)>0$。

答案 (A)(D)(E)。$x=2$ 是 $f(x)$ 的根，寫成 $f(x)=(x-2{)}^{m}q(x)$，$q(2)\ne 0$。$x$ 在 $2$ 的左右兩側時 $q(x)$ 與 $q(2)$ 同號，若 $m$ 是奇數，$(x-2{)}^m$ 在兩側異號，$f(x)$ 會在 $x=2$ 的某一側取到負值，與「其餘函數值恆正」不合。所以 $x=2$ 是偶數重根，同理 $x=4$ 也是偶數重根。

(A) 正確。 $(x-2{)}^2(x-4{)}^2$ 整除 $f(x)$，次數至少 $4$。

(B) 錯誤。 奇數次多項式在 $x$ 很大與很小時一正一負，一定取到負值；所以次數是偶數，例如 $(x-2{)}^2(x-4{)}^2$ 是 $4$ 次。

(C) 錯誤。 反例：$f(x)=2(x-2{)}^2(x-4{)}^2$ 是整係數、只有 $x=2,4$ 為零、其餘為正，但 $f(1)=2\cdot 1\cdot 9=18$ 是偶數。

(D) 正確。 $f(x)=(x-2{)}^{2}h(x)$，$f^{\prime }(x)=2(x-2)h(x)+(x-2{)}^2{h}^{\prime }(x)$，$f^{\prime }(2)=0$。也可以這樣看：$f(2)=0$ 是 $f$ 的最小值，局部極小值處的導數為 $0$。

(E) 正確。 同 (D)，$x=4$ 是偶數重根，$f^{\prime }(4)=0$。

$f(3)=0$。由導數的定義，

$$f^{\prime }(3)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-4)(x-5)}{(x-1)(x-2)}=\frac{(-1)(-2)}{2\cdot 1}=1$$

分子的 $x-3$ 與分母的 $x-3$ 約掉之後，剩下的式子在 $x=3$ 連續，直接代入即可。

由導數的定義，

$$f^{\prime }(800)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1600+2h}-\sqrt{1600}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(1600+2h)-1600}{h\left(\sqrt{1600+2h}+40\right)}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{1600+2h}+40}=\frac{2}{80}=\frac{1}{40}$$

所以產量為 $800$ 單位時的邊際成本是 $\frac{1}{40}$ 元。

$f(x)$ 是三次式，$f^{\prime }(x)$ 是二次式，而 $1$、$3$ 是 $f^{\prime }(x)=0$ 的兩根，所以 $f^{\prime }(x)=k(x-1)(x-3)$。$f^{\prime }(-1)=k(-2)(-4)=8k=24$，$k=3$，$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$。

設 $f(x)=p{x}^3+q{x}^2+rx+s$，則 $f^{\prime }(x)=3p{x}^2+2qx+r$，比較係數得 $p=1$、$q=-6$、$r=9$。再由 $f(1)=1-6+9+s=2$，$s=-2$。所以 $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$。

由圖，上下兩條各寬 $x$ 的長條摺成盒子的前後兩面，所以盒底的一邊長 $24-2x$；左右方向依序是側面 $x$、盒底、側面 $x$、盒蓋，盒蓋與盒底一樣寬，設盒底另一邊長 $w$，則 $x+w+x+w=24$，$w=12-x$。高是 $x$，且 $0<x<12$。

容積 $V(x)=x(24-2x)(12-x)=2x^3-48x^2+288x$。

$V^{\prime }(x)=6x^2-96x+288=6(x-4)(x-12)$。$0<x<4$ 時 $V^{\prime }(x)>0$，$V$ 遞增；$4<x<12$ 時 $V^{\prime }(x)<0$，$V$ 遞減。所以 $x=4$ 時容積最大，最大容積 $V(4)=4\cdot 16\cdot 8=512$ 立方公分。