段考詳解範圍：指數函數、對數與對數律、對數函數（含複利與 pH 值的應用）

基隆高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

第壹部分選擇（填）題占 88 分：是非題 6 題（每題 3 分，共 18 分）、單選題 5 題（每題 3 分，共 15 分）、多選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、填充題 7 題共 8 格（每格 5 分，共 40 分）；第貳部分混合題 1 題組占 12 分（第 22 題 3 分、第 23 題 9 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

第壹部分、選擇（填）題（占 88 分）　一、是非題（共 18 分）說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記「是」或「否」。第 01 題至第 06 題，每題 3 分。

若

a > 0

，則指數函數

y = f (x) = a^{x}

與任一水平線必會交於一點。

若

a > 0

，則指數函數

y = f (x) = a^{x}

之圖形，以

x

軸為漸近線。

若

0 < a < 1

，則指數函數

y = f (x) = a^{x}

的圖形凹口向下。

在坐標平面上，對數函數

y = lo g x

的圖形必定凹口向上。

在坐標平面上，若

a > 0

，

a \neq = 1

，則函數

y = lo g_{a} x

圖形必定通過點

(1, 0)

。

在坐標平面上，函數

y = lo g x

與

y = 1 0^{x}

的圖形對稱於直線

x - y = 0

。

二、單選題（共 15 分）說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記答案，本題之答案完全答對才給分。第 07 題至第 11 題，每題 3 分。

試問下列哪一個選項的值最小？

(A) $(0.3)^{- 2}$
(B) $(0.3)^{- 1}$
(C) $(0.3)^{0}$
(D) $(0.3)^{3}$

欲使

lo g_{x - 2} (- x^{2} + 5 x - 4)

有意義的條件為何？

(A) $2 < x < 4$ ， $x \neq = 3$
(B) $2 \leq x \leq 4$ ， $x \neq = 3$
(C) $2 < x \leq 4$ ， $x \neq = 3$
(D) $x$ 可為任意實數

若

x > y > 0

，則下列何者正確？

(A) $lo g (x + y) = lo g x + lo g y$
(B) $lo g (x + y) = lo g x \cdot lo g y$
(C) $lo g x + lo g y = lo g x \cdot lo g y$
(D) $lo g x + lo g y = lo g x y$

右圖為

A

：

y = a^{x}

，

B

：

y = b^{x}

，

C

：

y = c^{x}

，

D

：

y = d^{x}

，下列關於

a

、

b

、

c

、

d

的大小排序何者正確？

(A) $a > b > c > d$
(B) $d > c > b > a$
(C) $c > d > a > b$
(D) $b > a > d > c$

載入中...

如右圖所示，則

a

、

b

與

4

三者的大小排序何者正確？

(A) $a > b > 4$
(B) $b > 4 > a$
(C) $b > a > 4$
(D) $4 > a > b$

載入中...

三、多選題（共 15 分）每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，各題之選項獨立判定。所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。第 12 題至第 14 題，每題 5 分。

下列哪些選項無意義？

(A) $(- 4)^{\frac{1}{2}}$
(B) $(- 4)^{- 3}$
(C) $lo g_{1} 1$
(D) $lo g_{(- 2)} 4$
(E) $lo g_{2} 1$

下列有

5

組函數，哪些選項中之函數圖形，對稱於

y

軸？

(A) $y = ∣ x ∣$
(B) $y = (\frac{1}{5})^{x}$ 與 $y = - (5)^{x}$ 之圖形
(C) 若 $x > 0$ ， $y = lo g_{2} x$ 與 $y = - lo g_{2} x$ 之圖形
(D) $y = (\frac{1}{5})^{2 x}$ 與 $y = (5)^{2 x}$ 之圖形
(E) 若 $x > 0$ 、且 $x \neq = 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 與 $y = lo g_{x} 2$ 之圖形

設

f (x) = (1 + 0.01)^{x}

之圖形為 S、與

g (x) = (1 - 0.01)^{x}

的圖形為 T，則

(A) S 恆在 T 的上方
(B) $f (x)$ 的值有可能超過 $10000$
(C) $g (x)$ 的值不可能超過 $10000$
(D) S、T 兩圖形恰交於一點
(E) $f (x)$ 和 $g (x)$ 有相同的漸近線

四、填充題（共 40 分）說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記答案，每題之答案完全答對才給分。第 15 題至第 21 題，共 8 格，每格 5 分。

若

y = - 4^{x} + 2 \cdot 2^{x} + 1

，則當

x =

____ 時，則

y

之最大值為 ____。

若

(0.25)^{2 x + 3} = (0.5)^{- x^{2} + 8 x + 2}

，則

x =

____。

試計算

(lo g_{3} 5 + lo g_{9} 5) (lo g_{5} 3 + lo g_{25} 9)

之值為 ____。

試計算

lo g (lo g 1010)

之值為 ____。

試計算

5^{l o g_{5} 3}

之值為 ____。

設

x = lo g_{2} 7 - 43

，則

(2)^{3 x} + (2)^{- 3 x}

之值為 ____。（提示：

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)

）

小華的孩子今年

2

歲，為預籌孩子將來讀大學的教育基金，於是小華將手頭上的

50

萬元存入銀行，年利率

5%

，每年複利計息一次。則至少需經過 ____ 年，本利和始達

100

萬元。（答案請四捨五入到整數位，已知

lo g 1.05 = 0.0212

、

lo g 2 = 0.3010

）

第貳部分、混合題（占 12 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在答題卷標示題號的作答區內作答。選擇題使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題請由左而右橫式書寫，第 23 題作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

第 22～23 題為題組（第 22～23 題）　高一化學課學習過，若水溶液中氫離子濃度為

[H^{+}]

（莫耳/升），則該水溶液的 pH 值定義為

pH = - lo g [H^{+}]

。現化學實驗室裡有 A、B 兩種酸性溶液，已知溶液 A 之 pH 值

= 3.8

，溶液 B 之 pH 值

= 5.8

。

下列關於上述兩種酸性溶液之氫離子濃度值，何者最高？（單選）（3 分）

(A) 溶液 A
(B) 溶液 B
(C) 一樣高
(D) 無法比較

今將

1

升溶液 A 與

10

升溶液 B 混合成

11

升的溶液，則此混合溶液的 pH 值為何？（9 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2是

3否

4否

5是

6是

第 7 題(D)

第 8 題(A)

第 9 題(D)

第 10 題(C)

第 11 題(B)

第 12 題(A)(C)(D)

第 13 題(A)(D)

第 14 題(B)(D)(E)

第 15 題

x = 0

時，最大值為

2

第 16 題

2

第 17 題

3

第 18 題

- 1

第 19 題

9

第 20 題

52

第 21 題

15

第 22 題(A)

第 23 題

4.8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～6 題：指數函數與對數函數圖形的基本性質

第 1 題否否。

a^{x}

的值恆為正，圖形整個在

x

軸的上方。水平線

y = k

若

k \leq 0

（例如

y = - 1

，或

x

軸本身），與圖形一個交點也沒有，所以「任一水平線」不成立。

只有在

x

軸上方的水平線（

k > 0

），才會與

y = a^{x}

（

a \neq = 1

）的圖形恰交於一點。

第 2 題是是。

a > 1

時，

x

愈往負的方向，

a^{x}

愈接近

0

；

0 < a < 1

時，

x

愈大，

a^{x}

愈接近

0

。兩種情形圖形都愈來愈貼近

x

軸但不會碰到，所以

x

軸是漸近線。

題幹只寫

a > 0

。課本定義指數函數時底數要

a > 0

且

a \neq = 1

，題目既然稱它為指數函數，就是不含

a = 1

；若

a = 1

，

y = 1

是一條水平線，沒有漸近線可言。學校公布的答案也是「是」。

第 3 題否否。指數函數的圖形不論底數大於

1

或介於

0

與

1

之間，都是凹口向上。以

x = 0

、

x = 2

兩點為例：兩點連線的中點高度是

\frac{1 + a ^{2}}{2}

，圖形在

x = 1

的高度是

a

，而

\frac{1 + a ^{2}}{2} - a = \frac{( 1 - a ) ^{2}}{2} > 0

，線段在圖形的上方，所以是凹口向上。

0 < a < 1

改變的是遞增或遞減（圖形由左到右下降），不是凹口的方向。

第 4 題否否。

y = lo g x

的圖形凹口向下：

x

愈大，圖形上升得愈慢。以

x = 1

、

x = 100

兩點

(1, 0)

、

(100, 2)

為例：連線的中點是

(50.5, 1)

，而

lo g 50.5 > lo g 10 = 1

，圖形在線段的上方，所以是凹口向下。

y = 1 0^{x}

凹口向上，把它對直線

y = x

鏡射得到

y = lo g x

，凹口方向也跟著反過來。

第 5 題是是。只要

a > 0

且

a \neq = 1

，都有

a^{0} = 1

，也就是

lo g_{a} 1 = 0

，所以

y = lo g_{a} x

的圖形一定通過

(1, 0)

。

第 6 題是是。

y = lo g x

就是

x = 1 0^{y}

。若點

(p, q)

在

y = 1 0^{x}

的圖形上，則

q = 1 0^{p}

，也就是

p = lo g q

，點

(q, p)

在

y = lo g x

的圖形上；反過來也一樣。

(p, q)

與

(q, p)

對稱於直線

y = x

，而

x - y = 0

就是

y = x

。

指數函數

y = a^{x}

：恆正、過

(0, 1)

、以

x

軸為漸近線、凹口向上。對數函數

y = lo g_{a} x

：過

(1, 0)

、以

y

軸為漸近線，與

y = a^{x}

的圖形對稱於直線

y = x

。

02單選第 7～9 題：指數比大小、對數有意義的條件、對數律

第 7 題答案 (D)。底數

0.3

介於

0

與

1

之間，指數愈大值愈小。四個指數是

- 2

、

- 1

、

0

、

3

，最大的是

3

，所以

(0.3)^{3} = 0.027

最小。

四個值依序是

\frac{100}{9}

、

\frac{10}{3}

、

1

、

0.027

。

第 8 題答案 (A)。對數要有意義，底數要大於

0

且不等於

1

，真數要大於

0

。底數：

x - 2 > 0

且

x - 2 \neq = 1

，即

x > 2

且

x \neq = 3

。真數：

- x^{2} + 5 x - 4 > 0

，兩邊乘以

- 1

得

x^{2} - 5 x + 4 < 0

，

(x - 1) (x - 4) < 0

，即

1 < x < 4

。兩個條件同時成立：

2 < x < 4

且

x \neq = 3

。

x = 2

時底數是

0

，

x = 4

時真數是

0

，兩個端點都不能取，所以 (B)(C) 不對。

第 9 題答案 (D)。對數律：

x > 0

、

y > 0

時

lo g x + lo g y = lo g x y

，(D) 正確。其餘三個用

x = 100

、

y = 10

檢查：

lo g x + lo g y = 3

，

lo g x \cdot lo g y = 2

，

lo g (x + y) = lo g 110

介於

2

與

3

之間（因為

100 < 110 < 1000

），三個數兩兩不相等，所以 (A)(B)(C) 都不成立。

相加的對數變成「真數相乘」，不是真數相加，也不是對數相乘。

03單選第 10、11 題：由圖形比較底數的大小

第 10 題答案 (C)。

x = 1

時

y = a^{1} = a

，所以在鉛直線

x = 1

上，各圖形的高度就是它的底數。四條圖形都通過

(0, 1)

。在

y

軸右邊：

C

、

D

由左到右上升，高度都超過

1

，而且

C

升得比較快、在

D

的上方，所以

c > d > 1

；

A

、

B

由左到右下降，高度都低於

1

，而

A

降得比較慢、在

B

的上方，所以

1 > a > b

。合起來

c > d > a > b

。

在

y

軸左邊

B

比

A

高，那是因為

x = - 1

時高度是底數的倒數，

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，同樣得到

a > b

。

第 11 題答案 (B)。先看

a

：

y = (\frac{1}{a})^{x}

在

x = - 1

的高度是

(\frac{1}{a})^{- 1} = a

。圖上的點

(- 1, 4)

在這條曲線的上方，表示曲線在

x = - 1

的高度比

4

小，所以

a < 4

。再看

b

：

y = lo g_{\frac{1}{b}} x

的圖形由左到右下降，所以底數

0 < \frac{1}{b} < 1

，即

b > 1

，而且

lo g_{\frac{1}{b}} x = - lo g_{b} x

。圖上的點

(4, - 1)

在這條曲線的下方，表示曲線在

x = 4

的高度比

- 1

大：

- lo g_{b} 4 > - 1

，即

lo g_{b} 4 < 1 = lo g_{b} b

。

b > 1

時

lo g_{b} x

遞增，所以

4 < b

。合起來

b > 4 > a

。

對照另外兩條曲線：

y = 4^{x}

通過

(1, 4)

，把它對

y

軸鏡射得到

y = (\frac{1}{4})^{x}

，會通過

(- 1, 4)

；

y = lo g_{4} x

通過

(4, 1)

，把它對

x

軸鏡射得到

y = lo g_{\frac{1}{4}} x

，會通過

(4, - 1)

。圖上這兩個點都不在灰色曲線上，就是在告訴我們

a \neq = 4

、

b \neq = 4

，再由點在曲線的哪一側決定大小。

比較底數最快的方法是代一個好算的

x

：指數函數代

x = 1

或

x = - 1

，高度就是底數或底數的倒數。

04多選第 12～14 題：有意義的條件、圖形的對稱、兩個指數函數的比較

第 12 題答案 (A)(C)(D)。(A)

(- 4)^{\frac{1}{2}}

是

- 4

的平方根，負數在實數中沒有平方根；指數是分數時底數要是正數，無意義。(B)

(- 4)^{- 3} = \frac{1}{( - 4 ) ^{3}} = - \frac{1}{64}

，指數是整數時底數可以是負數，有意義。(C) 對數的底數不可以是

1

（

1

的任何次方都是

1

，指數無法確定），無意義。(D) 對數的底數要是正數，

- 2

不行，無意義。(E)

lo g_{2} 1 = 0

，有意義。

(D) 雖然

(- 2)^{2} = 4

，但對數規定底數大於

0

且不等於

1

，所以仍然沒有定義。

第 13 題答案 (A)(D)。把圖形對

y

軸鏡射，就是把

x

換成

- x

。(A)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，

y = ∣ x ∣

的圖形自己就對稱於

y

軸，正確。(B)

y = (\frac{1}{5})^{x} = 5^{- x}

，對

y

軸鏡射得到的是

y = 5^{x}

，不是

y = - 5^{x}

；這兩個圖形一個在

x

軸上方、一個在下方，不對稱於

y

軸，錯誤。(C) 兩個圖形都只在

y

軸右邊（

x > 0

），鏡射到

y

軸左邊不會重合；它們是對稱於

x

軸，錯誤。(D)

y = (\frac{1}{5})^{2 x} = 5^{- 2 x}

，把

y = 5^{2 x}

的

x

換成

- x

就是它，兩圖形對稱於

y

軸，正確。(E) 兩個圖形同樣都只在

y

軸右邊，不可能對稱於

y

軸，錯誤。

(B) 的兩個圖形是對稱於原點（

x

、

y

都變號）。(E) 的

lo g_{x} 2 = \frac{1}{lo g _{2} x}

，兩個函數值互為倒數，沒有鏡射的關係。

第 14 題答案 (B)(D)(E)。

f (x) = 1.0 1^{x}

底數大於

1

，遞增；

g (x) = 0.9 9^{x}

底數小於

1

，遞減。(A)

x = 0

時兩者都是

1

；

x < 0

時

f (x) < 1 < g (x)

，T 反而在 S 的上方，錯誤。(B)

x

愈大

1.0 1^{x}

愈大，可以超過任何正數，當然可以超過

10000

，正確。(C)

x

往負的方向取，

0.9 9^{x} = (\frac{100}{99})^{- x}

也可以超過任何正數，錯誤。(D)

x = 0

時兩圖形交於

(0, 1)

；

x > 0

時

f (x) > 1 > g (x)

，

x < 0

時

f (x) < 1 < g (x)

，沒有別的交點，正確。(E) 兩個圖形都以

x

軸為漸近線（S 在左邊貼近、T 在右邊貼近），是同一條直線，正確。

1.0 1^{x}

要超過

10000

，

x

大約要九百多；不必真的算出來，知道它遞增而且沒有上限就夠了。(C) 也一樣，

x

取到大約負九百多，

0.9 9^{x}

就超過

10000

。

05填充第 15、16 題：配方求最大值、指數方程式

第 15 題令

t = 2^{x}

，則

t > 0

，而且

4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}

。

y = - t^{2} + 2 t + 1 = - (t - 1)^{2} + 2

。

t = 1

時

y

有最大值

2

；

t = 1

在

t > 0

的範圍內，可以取到。

2^{x} = 1

得

x = 0

。答：

x = 0

時，最大值為

2

。

- 4^{x}

是

- (4^{x})

，不是

(- 4)^{x}

。換成

t

之後要記得檢查頂點的

t

值是不是正的。

第 16 題化成同底數：

0.25 = (0.5)^{2}

，所以

(0.25)^{2 x + 3} = (0.5)^{2 (2 x + 3)} = (0.5)^{4 x + 6}

。底數相同（且不是

1

），指數相等：

4 x + 6 = - x^{2} + 8 x + 2

，移項得

x^{2} - 4 x + 4 = 0

，

(x - 2)^{2} = 0

，

x = 2

。

驗算：

x = 2

時左邊是

(0.25)^{7} = (0.5)^{14}

，右邊的指數是

- 4 + 16 + 2 = 14

，相等。

06填充第 17～20 題：換底公式、對數的計算、雙重根號

第 17 題用換底公式把底數統一。

lo g_{9} 5 = \frac{lo g _{3} 5}{lo g _{3} 9} = \frac{1}{2} lo g_{3} 5

，所以第一個括號是

\frac{3}{2} lo g_{3} 5

。

lo g_{25} 9 = \frac{lo g _{5} 9}{lo g _{5} 25} = \frac{2 lo g _{5} 3}{2} = lo g_{5} 3

，所以第二個括號是

2 lo g_{5} 3

。相乘：

\frac{3}{2} lo g_{3} 5 \times 2 lo g_{5} 3 = 3 \times (lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 3) = 3 \times 1 = 3

。

lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 3 = \frac{lo g 5}{lo g 3} \times \frac{lo g 3}{lo g 5} = 1

，底數與真數對調的兩個對數互為倒數。

第 18 題由裡面往外算。

1010 = 1 0^{\frac{1}{10}}

，所以

lo g 1010 = \frac{1}{10}

。再取一次對數：

lo g \frac{1}{10} = lo g 1 0^{- 1} = - 1

。

根號左上角的小字是

10

，表示開

10

次方根。

第 19 題先把底數

5

換成

5

：

lo g_{5} 3 = \frac{lo g _{5} 3}{lo g _{5} 5} = \frac{lo g _{5} 3}{\frac{1}{2}} = 2 lo g_{5} 3 = lo g_{5} 9

。所以

5^{l o g_{5} 3} = 5^{l o g_{5} 9} = 9

。

也可以把

5

寫成

(5)^{2}

：

5^{l o g_{5} 3} = ((5)^{l o g_{5} 3})^{2} = 3^{2} = 9

。

第 20 題由對數的定義，

2^{x} = 7 - 43

。

7 - 43 = 4 - 43 + 3 = (2 - 3)^{2}

，而

2 - 3 > 0

，所以

2^{x} = 2 - 3

。

2^{- x} = \frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = 2 + 3

。令

a = 2^{x}

、

b = 2^{- x}

，則

a + b = 4

，

ab = 1

。用提示的公式：

2^{3 x} + 2^{- 3 x} = a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 64 - 3 \times 1 \times 4 = 52

。

ab = 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2^{0} = 1

不必算根號就知道。雙重根號要找兩個數相加是

7

、相乘是

12

（因為

43 = 212

），就是

4

和

3

。

底數不一樣的對數先用換底公式統一；看到

a^{l o g_{a} M}

就等於

M

。

07填充第 21 題：複利與對數

第 21 題每年複利一次，

n

年後的本利和是

50 \times (1.05)^{n}

萬元。要達到

100

萬元：

50 \times (1.05)^{n} \geq 100

，即

(1.05)^{n} \geq 2

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.05 \geq lo g 2

，

0.0212 n \geq 0.3010

，

n \geq \frac{0.3010}{0.0212} \approx 14.2

。

n

是整數，所以至少需經過

15

年。

卷面括號寫「答案請四捨五入到整數位」，

14.2

四捨五入是

14

；但第

14

年時

0.0212 \times 14 = 0.2968 < 0.3010

，本利和還不到

100

萬元，第

15

年時

0.0212 \times 15 = 0.3180 > 0.3010

才超過。題目問的是「至少需經過幾年始達」，要取

15

，學校公布的答案也是

15

。題目裡孩子今年

2

歲這個條件用不到。

08混合題第 22、23 題：pH 值與氫離子濃度

第 22 題答案 (A)。由

pH = - lo g [H^{+}]

得

[H^{+}] = 1 0^{- pH}

。溶液 A：

[H^{+}] = 1 0^{- 3.8}

；溶液 B：

[H^{+}] = 1 0^{- 5.8}

。底數

10 > 1

，指數大的值大，

- 3.8 > - 5.8

，所以溶液 A 的氫離子濃度比較高。

pH 值愈小，氫離子濃度愈高。兩者的 pH 值差

2

，濃度相差

1 0^{2} = 100

倍。

第 23 題溶液 A 的氫離子濃度是

1 0^{- 3.8}

（莫耳/升），

1

升中有

1 0^{- 3.8}

莫耳的氫離子。溶液 B 的氫離子濃度是

1 0^{- 5.8}

，

10

升中有

10 \times 1 0^{- 5.8} = 1 0^{- 4.8}

莫耳。混合後共

11

升，氫離子濃度

[H^{+}] = \frac{1 0 ^{- 3.8} + 1 0 ^{- 4.8}}{11}

。把

1 0^{- 3.8}

寫成

10 \times 1 0^{- 4.8}

：分子

= 10 \times 1 0^{- 4.8} + 1 0^{- 4.8} = 11 \times 1 0^{- 4.8}

，所以

[H^{+}] = \frac{11 \times 1 0 ^{- 4.8}}{11} = 1 0^{- 4.8}

。混合溶液的

pH = - lo g 1 0^{- 4.8} = 4.8

。

不可以把兩個 pH 值直接照體積平均（那樣會得到約

5.6

）：要平均的是氫離子的量，不是它的對數。學校的給分方式是：寫出兩溶液的氫離子濃度

1

分、列出混合後的濃度式

3

分、化簡成

1 0^{- 4.8}

4

分、求出 pH 值

1

分。

對數刻度的量（pH 值、地震規模、分貝）要先換回原來的量才能相加或平均。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

基隆高中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案，是非題 6 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題的水平線可以在橫軸下方，那時一個交點也沒有；第 8 題底數與真數的條件要同時成立，還要扣掉底數等於一的情形；第 11 題要看圖上的點落在曲線的上方還是下方，再換成不等式；第 20 題先把雙重根號化開，再用題目給的立方和提示；第 21 題算出約十四點二年，問的是至少幾年才達到，要取十五；第 23 題混合後的濃度是總量除以總體積，不能把兩個酸鹼值直接平均。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數函數、對數與對數律、對數函數（含複利與 pH 值的應用）

基隆高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

若

a > 0

，則指數函數

y = f (x) = a^{x}

與任一水平線必會交於一點。

若

a > 0

，則指數函數

y = f (x) = a^{x}

之圖形，以

x

軸為漸近線。

若

0 < a < 1

，則指數函數

y = f (x) = a^{x}

的圖形凹口向下。

在坐標平面上，對數函數

y = lo g x

的圖形必定凹口向上。

在坐標平面上，若

a > 0

，

a \neq = 1

，則函數

y = lo g_{a} x

圖形必定通過點

(1, 0)

。

在坐標平面上，函數

y = lo g x

與

y = 1 0^{x}

的圖形對稱於直線

x - y = 0

。

二、單選題（共 15 分）說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記答案，本題之答案完全答對才給分。第 07 題至第 11 題，每題 3 分。

試問下列哪一個選項的值最小？

(A) $(0.3)^{- 2}$
(B) $(0.3)^{- 1}$
(C) $(0.3)^{0}$
(D) $(0.3)^{3}$

欲使

lo g_{x - 2} (- x^{2} + 5 x - 4)

有意義的條件為何？

(A) $2 < x < 4$ ， $x \neq = 3$
(B) $2 \leq x \leq 4$ ， $x \neq = 3$
(C) $2 < x \leq 4$ ， $x \neq = 3$
(D) $x$ 可為任意實數

若

x > y > 0

，則下列何者正確？

(A) $lo g (x + y) = lo g x + lo g y$
(B) $lo g (x + y) = lo g x \cdot lo g y$
(C) $lo g x + lo g y = lo g x \cdot lo g y$
(D) $lo g x + lo g y = lo g x y$

右圖為

A

：

y = a^{x}

，

B

：

y = b^{x}

，

C

：

y = c^{x}

，

D

：

y = d^{x}

，下列關於

a

、

b

、

c

、

d

的大小排序何者正確？

(A) $a > b > c > d$
(B) $d > c > b > a$
(C) $c > d > a > b$
(D) $b > a > d > c$

載入中...

如右圖所示，則

a

、

b

與

4

三者的大小排序何者正確？

(A) $a > b > 4$
(B) $b > 4 > a$
(C) $b > a > 4$
(D) $4 > a > b$

載入中...

下列哪些選項無意義？

(A) $(- 4)^{\frac{1}{2}}$
(B) $(- 4)^{- 3}$
(C) $lo g_{1} 1$
(D) $lo g_{(- 2)} 4$
(E) $lo g_{2} 1$

下列有

5

組函數，哪些選項中之函數圖形，對稱於

y

軸？

(A) $y = ∣ x ∣$
(B) $y = (\frac{1}{5})^{x}$ 與 $y = - (5)^{x}$ 之圖形
(C) 若 $x > 0$ ， $y = lo g_{2} x$ 與 $y = - lo g_{2} x$ 之圖形
(D) $y = (\frac{1}{5})^{2 x}$ 與 $y = (5)^{2 x}$ 之圖形
(E) 若 $x > 0$ 、且 $x \neq = 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 與 $y = lo g_{x} 2$ 之圖形

設

f (x) = (1 + 0.01)^{x}

之圖形為 S、與

g (x) = (1 - 0.01)^{x}

的圖形為 T，則

(A) S 恆在 T 的上方
(B) $f (x)$ 的值有可能超過 $10000$
(C) $g (x)$ 的值不可能超過 $10000$
(D) S、T 兩圖形恰交於一點
(E) $f (x)$ 和 $g (x)$ 有相同的漸近線

四、填充題（共 40 分）說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記答案，每題之答案完全答對才給分。第 15 題至第 21 題，共 8 格，每格 5 分。

若

y = - 4^{x} + 2 \cdot 2^{x} + 1

，則當

x =

____ 時，則

y

之最大值為 ____。

若

(0.25)^{2 x + 3} = (0.5)^{- x^{2} + 8 x + 2}

，則

x =

____。

試計算

(lo g_{3} 5 + lo g_{9} 5) (lo g_{5} 3 + lo g_{25} 9)

之值為 ____。

試計算

lo g (lo g 1010)

之值為 ____。

試計算

5^{l o g_{5} 3}

之值為 ____。

設

x = lo g_{2} 7 - 43

，則

(2)^{3 x} + (2)^{- 3 x}

之值為 ____。（提示：

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)

）

小華的孩子今年

2

歲，為預籌孩子將來讀大學的教育基金，於是小華將手頭上的

50

萬元存入銀行，年利率

5%

，每年複利計息一次。則至少需經過 ____ 年，本利和始達

100

萬元。（答案請四捨五入到整數位，已知

lo g 1.05 = 0.0212

、

lo g 2 = 0.3010

）

第 22～23 題為題組（第 22～23 題）　高一化學課學習過，若水溶液中氫離子濃度為

[H^{+}]

（莫耳/升），則該水溶液的 pH 值定義為

pH = - lo g [H^{+}]

。現化學實驗室裡有 A、B 兩種酸性溶液，已知溶液 A 之 pH 值

= 3.8

，溶液 B 之 pH 值

= 5.8

。

下列關於上述兩種酸性溶液之氫離子濃度值，何者最高？（單選）（3 分）

(A) 溶液 A
(B) 溶液 B
(C) 一樣高
(D) 無法比較

今將

1

升溶液 A 與

10

升溶液 B 混合成

11

升的溶液，則此混合溶液的 pH 值為何？（9 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2是

3否

4否

5是

6是

第 7 題(D)

第 8 題(A)

第 9 題(D)

第 10 題(C)

第 11 題(B)

第 12 題(A)(C)(D)

第 13 題(A)(D)

第 14 題(B)(D)(E)

第 15 題

x = 0

時，最大值為

2

第 16 題

2

第 17 題

3

第 18 題

- 1

第 19 題

9

第 20 題

52

第 21 題

15

第 22 題(A)

第 23 題

4.8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～6 題：指數函數與對數函數圖形的基本性質

第 1 題否否。

a^{x}

的值恆為正，圖形整個在

x

軸的上方。水平線

y = k

若

k \leq 0

（例如

y = - 1

，或

x

軸本身），與圖形一個交點也沒有，所以「任一水平線」不成立。

只有在

x

軸上方的水平線（

k > 0

），才會與

y = a^{x}

（

a \neq = 1

）的圖形恰交於一點。

第 2 題是是。

a > 1

時，

x

愈往負的方向，

a^{x}

愈接近

0

；

0 < a < 1

時，

x

愈大，

a^{x}

愈接近

0

。兩種情形圖形都愈來愈貼近

x

軸但不會碰到，所以

x

軸是漸近線。

題幹只寫

a > 0

。課本定義指數函數時底數要

a > 0

且

a \neq = 1

，題目既然稱它為指數函數，就是不含

a = 1

；若

a = 1

，

y = 1

是一條水平線，沒有漸近線可言。學校公布的答案也是「是」。

第 3 題否否。指數函數的圖形不論底數大於

1

或介於

0

與

1

之間，都是凹口向上。以

x = 0

、

x = 2

兩點為例：兩點連線的中點高度是

\frac{1 + a ^{2}}{2}

，圖形在

x = 1

的高度是

a

，而

\frac{1 + a ^{2}}{2} - a = \frac{( 1 - a ) ^{2}}{2} > 0

，線段在圖形的上方，所以是凹口向上。

0 < a < 1

改變的是遞增或遞減（圖形由左到右下降），不是凹口的方向。

第 4 題否否。

y = lo g x

的圖形凹口向下：

x

愈大，圖形上升得愈慢。以

x = 1

、

x = 100

兩點

(1, 0)

、

(100, 2)

為例：連線的中點是

(50.5, 1)

，而

lo g 50.5 > lo g 10 = 1

，圖形在線段的上方，所以是凹口向下。

y = 1 0^{x}

凹口向上，把它對直線

y = x

鏡射得到

y = lo g x

，凹口方向也跟著反過來。

第 5 題是是。只要

a > 0

且

a \neq = 1

，都有

a^{0} = 1

，也就是

lo g_{a} 1 = 0

，所以

y = lo g_{a} x

的圖形一定通過

(1, 0)

。

第 6 題是是。

y = lo g x

就是

x = 1 0^{y}

。若點

(p, q)

在

y = 1 0^{x}

的圖形上，則

q = 1 0^{p}

，也就是

p = lo g q

，點

(q, p)

在

y = lo g x

的圖形上；反過來也一樣。

(p, q)

與

(q, p)

對稱於直線

y = x

，而

x - y = 0

就是

y = x

。

指數函數

y = a^{x}

：恆正、過

(0, 1)

、以

x

軸為漸近線、凹口向上。對數函數

y = lo g_{a} x

：過

(1, 0)

、以

y

軸為漸近線，與

y = a^{x}

的圖形對稱於直線

y = x

。

02單選第 7～9 題：指數比大小、對數有意義的條件、對數律

第 7 題答案 (D)。底數

0.3

介於

0

與

1

之間，指數愈大值愈小。四個指數是

- 2

、

- 1

、

0

、

3

，最大的是

3

，所以

(0.3)^{3} = 0.027

最小。

四個值依序是

\frac{100}{9}

、

\frac{10}{3}

、

1

、

0.027

。

第 8 題答案 (A)。對數要有意義，底數要大於

0

且不等於

1

，真數要大於

0

。底數：

x - 2 > 0

且

x - 2 \neq = 1

，即

x > 2

且

x \neq = 3

。真數：

- x^{2} + 5 x - 4 > 0

，兩邊乘以

- 1

得

x^{2} - 5 x + 4 < 0

，

(x - 1) (x - 4) < 0

，即

1 < x < 4

。兩個條件同時成立：

2 < x < 4

且

x \neq = 3

。

x = 2

時底數是

0

，

x = 4

時真數是

0

，兩個端點都不能取，所以 (B)(C) 不對。

第 9 題答案 (D)。對數律：

x > 0

、

y > 0

時

lo g x + lo g y = lo g x y

，(D) 正確。其餘三個用

x = 100

、

y = 10

檢查：

lo g x + lo g y = 3

，

lo g x \cdot lo g y = 2

，

lo g (x + y) = lo g 110

介於

2

與

3

之間（因為

100 < 110 < 1000

），三個數兩兩不相等，所以 (A)(B)(C) 都不成立。

相加的對數變成「真數相乘」，不是真數相加，也不是對數相乘。

03單選第 10、11 題：由圖形比較底數的大小

第 10 題答案 (C)。

x = 1

時

y = a^{1} = a

，所以在鉛直線

x = 1

上，各圖形的高度就是它的底數。四條圖形都通過

(0, 1)

。在

y

軸右邊：

C

、

D

由左到右上升，高度都超過

1

，而且

C

升得比較快、在

D

的上方，所以

c > d > 1

；

A

、

B

由左到右下降，高度都低於

1

，而

A

降得比較慢、在

B

的上方，所以

1 > a > b

。合起來

c > d > a > b

。

在

y

軸左邊

B

比

A

高，那是因為

x = - 1

時高度是底數的倒數，

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，同樣得到

a > b

。

第 11 題答案 (B)。先看

a

：

y = (\frac{1}{a})^{x}

在

x = - 1

的高度是

(\frac{1}{a})^{- 1} = a

。圖上的點

(- 1, 4)

在這條曲線的上方，表示曲線在

x = - 1

的高度比

4

小，所以

a < 4

。再看

b

：

y = lo g_{\frac{1}{b}} x

的圖形由左到右下降，所以底數

0 < \frac{1}{b} < 1

，即

b > 1

，而且

lo g_{\frac{1}{b}} x = - lo g_{b} x

。圖上的點

(4, - 1)

在這條曲線的下方，表示曲線在

x = 4

的高度比

- 1

大：

- lo g_{b} 4 > - 1

，即

lo g_{b} 4 < 1 = lo g_{b} b

。

b > 1

時

lo g_{b} x

遞增，所以

4 < b

。合起來

b > 4 > a

。

對照另外兩條曲線：

y = 4^{x}

通過

(1, 4)

，把它對

y

軸鏡射得到

y = (\frac{1}{4})^{x}

，會通過

(- 1, 4)

；

y = lo g_{4} x

通過

(4, 1)

，把它對

x

軸鏡射得到

y = lo g_{\frac{1}{4}} x

，會通過

(4, - 1)

。圖上這兩個點都不在灰色曲線上，就是在告訴我們

a \neq = 4

、

b \neq = 4

，再由點在曲線的哪一側決定大小。

比較底數最快的方法是代一個好算的

x

：指數函數代

x = 1

或

x = - 1

，高度就是底數或底數的倒數。

04多選第 12～14 題：有意義的條件、圖形的對稱、兩個指數函數的比較

第 12 題答案 (A)(C)(D)。(A)

(- 4)^{\frac{1}{2}}

是

- 4

的平方根，負數在實數中沒有平方根；指數是分數時底數要是正數，無意義。(B)

(- 4)^{- 3} = \frac{1}{( - 4 ) ^{3}} = - \frac{1}{64}

，指數是整數時底數可以是負數，有意義。(C) 對數的底數不可以是

1

（

1

的任何次方都是

1

，指數無法確定），無意義。(D) 對數的底數要是正數，

- 2

不行，無意義。(E)

lo g_{2} 1 = 0

，有意義。

(D) 雖然

(- 2)^{2} = 4

，但對數規定底數大於

0

且不等於

1

，所以仍然沒有定義。

第 13 題答案 (A)(D)。把圖形對

y

軸鏡射，就是把

x

換成

- x

。(A)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，

y = ∣ x ∣

的圖形自己就對稱於

y

軸，正確。(B)

y = (\frac{1}{5})^{x} = 5^{- x}

，對

y

軸鏡射得到的是

y = 5^{x}

，不是

y = - 5^{x}

；這兩個圖形一個在

x

軸上方、一個在下方，不對稱於

y

軸，錯誤。(C) 兩個圖形都只在

y

軸右邊（

x > 0

），鏡射到

y

軸左邊不會重合；它們是對稱於

x

軸，錯誤。(D)

y = (\frac{1}{5})^{2 x} = 5^{- 2 x}

，把

y = 5^{2 x}

的

x

換成

- x

就是它，兩圖形對稱於

y

軸，正確。(E) 兩個圖形同樣都只在

y

軸右邊，不可能對稱於

y

軸，錯誤。

(B) 的兩個圖形是對稱於原點（

x

、

y

都變號）。(E) 的

lo g_{x} 2 = \frac{1}{lo g _{2} x}

，兩個函數值互為倒數，沒有鏡射的關係。

第 14 題答案 (B)(D)(E)。

f (x) = 1.0 1^{x}

底數大於

1

，遞增；

g (x) = 0.9 9^{x}

底數小於

1

，遞減。(A)

x = 0

時兩者都是

1

；

x < 0

時

f (x) < 1 < g (x)

，T 反而在 S 的上方，錯誤。(B)

x

愈大

1.0 1^{x}

愈大，可以超過任何正數，當然可以超過

10000

，正確。(C)

x

往負的方向取，

0.9 9^{x} = (\frac{100}{99})^{- x}

也可以超過任何正數，錯誤。(D)

x = 0

時兩圖形交於

(0, 1)

；

x > 0

時

f (x) > 1 > g (x)

，

x < 0

時

f (x) < 1 < g (x)

，沒有別的交點，正確。(E) 兩個圖形都以

x

軸為漸近線（S 在左邊貼近、T 在右邊貼近），是同一條直線，正確。

1.0 1^{x}

要超過

10000

，

x

大約要九百多；不必真的算出來，知道它遞增而且沒有上限就夠了。(C) 也一樣，

x

取到大約負九百多，

0.9 9^{x}

就超過

10000

。

05填充第 15、16 題：配方求最大值、指數方程式

第 15 題令

t = 2^{x}

，則

t > 0

，而且

4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}

。

y = - t^{2} + 2 t + 1 = - (t - 1)^{2} + 2

。

t = 1

時

y

有最大值

2

；

t = 1

在

t > 0

的範圍內，可以取到。

2^{x} = 1

得

x = 0

。答：

x = 0

時，最大值為

2

。

- 4^{x}

是

- (4^{x})

，不是

(- 4)^{x}

。換成

t

之後要記得檢查頂點的

t

值是不是正的。

第 16 題化成同底數：

0.25 = (0.5)^{2}

，所以

(0.25)^{2 x + 3} = (0.5)^{2 (2 x + 3)} = (0.5)^{4 x + 6}

。底數相同（且不是

1

），指數相等：

4 x + 6 = - x^{2} + 8 x + 2

，移項得

x^{2} - 4 x + 4 = 0

，

(x - 2)^{2} = 0

，

x = 2

。

驗算：

x = 2

時左邊是

(0.25)^{7} = (0.5)^{14}

，右邊的指數是

- 4 + 16 + 2 = 14

，相等。

06填充第 17～20 題：換底公式、對數的計算、雙重根號

第 17 題用換底公式把底數統一。

lo g_{9} 5 = \frac{lo g _{3} 5}{lo g _{3} 9} = \frac{1}{2} lo g_{3} 5

，所以第一個括號是

\frac{3}{2} lo g_{3} 5

。

lo g_{25} 9 = \frac{lo g _{5} 9}{lo g _{5} 25} = \frac{2 lo g _{5} 3}{2} = lo g_{5} 3

，所以第二個括號是

2 lo g_{5} 3

。相乘：

\frac{3}{2} lo g_{3} 5 \times 2 lo g_{5} 3 = 3 \times (lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 3) = 3 \times 1 = 3

。

lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 3 = \frac{lo g 5}{lo g 3} \times \frac{lo g 3}{lo g 5} = 1

，底數與真數對調的兩個對數互為倒數。

第 18 題由裡面往外算。

1010 = 1 0^{\frac{1}{10}}

，所以

lo g 1010 = \frac{1}{10}

。再取一次對數：

lo g \frac{1}{10} = lo g 1 0^{- 1} = - 1

。

根號左上角的小字是

10

，表示開

10

次方根。

第 19 題先把底數

5

換成

5

：

lo g_{5} 3 = \frac{lo g _{5} 3}{lo g _{5} 5} = \frac{lo g _{5} 3}{\frac{1}{2}} = 2 lo g_{5} 3 = lo g_{5} 9

。所以

5^{l o g_{5} 3} = 5^{l o g_{5} 9} = 9

。

也可以把

5

寫成

(5)^{2}

：

5^{l o g_{5} 3} = ((5)^{l o g_{5} 3})^{2} = 3^{2} = 9

。

第 20 題由對數的定義，

2^{x} = 7 - 43

。

7 - 43 = 4 - 43 + 3 = (2 - 3)^{2}

，而

2 - 3 > 0

，所以

2^{x} = 2 - 3

。

2^{- x} = \frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = 2 + 3

。令

a = 2^{x}

、

b = 2^{- x}

，則

a + b = 4

，

ab = 1

。用提示的公式：

2^{3 x} + 2^{- 3 x} = a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 64 - 3 \times 1 \times 4 = 52

。

ab = 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2^{0} = 1

不必算根號就知道。雙重根號要找兩個數相加是

7

、相乘是

12

（因為

43 = 212

），就是

4

和

3

。

底數不一樣的對數先用換底公式統一；看到

a^{l o g_{a} M}

就等於

M

。

07填充第 21 題：複利與對數

第 21 題每年複利一次，

n

年後的本利和是

50 \times (1.05)^{n}

萬元。要達到

100

萬元：

50 \times (1.05)^{n} \geq 100

，即

(1.05)^{n} \geq 2

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.05 \geq lo g 2

，

0.0212 n \geq 0.3010

，

n \geq \frac{0.3010}{0.0212} \approx 14.2

。

n

是整數，所以至少需經過

15

年。

卷面括號寫「答案請四捨五入到整數位」，

14.2

四捨五入是

14

；但第

14

年時

0.0212 \times 14 = 0.2968 < 0.3010

，本利和還不到

100

萬元，第

15

年時

0.0212 \times 15 = 0.3180 > 0.3010

才超過。題目問的是「至少需經過幾年始達」，要取

15

，學校公布的答案也是

15

。題目裡孩子今年

2

歲這個條件用不到。

08混合題第 22、23 題：pH 值與氫離子濃度

第 22 題答案 (A)。由

pH = - lo g [H^{+}]

得

[H^{+}] = 1 0^{- pH}

。溶液 A：

[H^{+}] = 1 0^{- 3.8}

；溶液 B：

[H^{+}] = 1 0^{- 5.8}

。底數

10 > 1

，指數大的值大，

- 3.8 > - 5.8

，所以溶液 A 的氫離子濃度比較高。

pH 值愈小，氫離子濃度愈高。兩者的 pH 值差

2

，濃度相差

1 0^{2} = 100

倍。

第 23 題溶液 A 的氫離子濃度是

1 0^{- 3.8}

（莫耳/升），

1

升中有

1 0^{- 3.8}

莫耳的氫離子。溶液 B 的氫離子濃度是

1 0^{- 5.8}

，

10

升中有

10 \times 1 0^{- 5.8} = 1 0^{- 4.8}

莫耳。混合後共

11

升，氫離子濃度

[H^{+}] = \frac{1 0 ^{- 3.8} + 1 0 ^{- 4.8}}{11}

。把

1 0^{- 3.8}

寫成

10 \times 1 0^{- 4.8}

：分子

= 10 \times 1 0^{- 4.8} + 1 0^{- 4.8} = 11 \times 1 0^{- 4.8}

，所以

[H^{+}] = \frac{11 \times 1 0 ^{- 4.8}}{11} = 1 0^{- 4.8}

。混合溶液的

pH = - lo g 1 0^{- 4.8} = 4.8

。

不可以把兩個 pH 值直接照體積平均（那樣會得到約

5.6

）：要平均的是氫離子的量，不是它的對數。學校的給分方式是：寫出兩溶液的氫離子濃度

1

分、列出混合後的濃度式

3

分、化簡成

1 0^{- 4.8}

4

分、求出 pH 值

1

分。

對數刻度的量（pH 值、地震規模、分貝）要先換回原來的量才能相加或平均。

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02單選第 7～9 題：指數比大小、對數有意義的條件、對數律

03單選第 10、11 題：由圖形比較底數的大小

04多選第 12～14 題：有意義的條件、圖形的對稱、兩個指數函數的比較

05填充第 15、16 題：配方求最大值、指數方程式

06填充第 17～20 題：換底公式、對數的計算、雙重根號

07填充第 21 題：複利與對數

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