段考詳解範圍：指數與對數函數（指數、指數函數、對數與對數律、對數函數）

基隆高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 基隆高中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 基隆高中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題底數小於 1 的兩條曲線，越陡的底數越小，容易把大小看反；第 5 題要逐項判斷交點個數，選項 (D) 要看出它等價於 2 的 x 次方等於 x 而沒有解；第 10 題底數小於 1 時不等號要反向，兩端哪一端可以取等號容易弄錯；第 13 題化簡後的範圍要再和定義域取交集；第 15 題公式算出的游速是每秒公尺，要先換成每小時公里再對表。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、多選題 1 題（10 分）、填充題 8 題（第 6 題 5 格每格 4 分，其餘 7 題 8 格每格 5 分，共 60 分）、混合題 1 題 2 小題（每小題 5 分，共 10 分），合計 100 分。原卷混合題第 14 題的 (1)(2) 本頁編為第 14、15 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：（每題 5 分、共 20 分）

下列對數恆等式中，錯誤的是哪一個選項？其中

a

、

b

皆為正數。

(A) $lo g ab = (lo g a) + (lo g b)$
(B) $(lo g a)^{2} = 2 lo g a$
(C) $lo g \frac{b}{a} = (lo g b) - (lo g a)$
(D) $- lo g a = lo g \frac{1}{a}$
(E) $\frac{l o g b}{l o g a} = lo g_{a} b$

下列選項中哪一個數最大？

(A) $2^{\frac{1}{2}}$
(B) $2^{- 3}$
(C) $2^{4}$
(D) $2^{10}$
(E) $2^{- 3}$

附圖

A

，

B

，

C

，

D

分別為指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

，

y = d^{x}

的部分圖形，則

a

，

b

，

c

，

d

的大小關係為？

(A) $a > b > c > d$
(B) $c > d > b > a$
(C) $d > c > a > b$
(D) $c > d > a > b$
(E) $d > c > b > a$

載入中...

已知實數

a

，

b

滿足

\frac{1}{2} < a < 1

及

1 < b < 2

。試問下列哪個選項的值最小？

(A) $0$
(B) $lo g a$
(C) $lo g (a^{2})$
(D) $lo g b$
(E) $\frac{1}{l o g b}$

二、多重選擇題：（錯一個選項給 7 分，錯二個選項給 3 分，錯三個選項不給分。每題 10 分、共 10 分）

下列哪一個函數的圖形與

x + y = 0

恰有一交點？

(A) $y = 2^{x}$
(B) $y = 2^{- ∣ x ∣}$
(C) $y = lo g_{2} x$
(D) $y = - lo g_{2} x$
(E) $y = ∣ lo g_{2} x ∣$

三、填充題：（第 6 題每格 4 分，其餘每格 5 分，共 60 分）

求下列的值：（每格 4 分） (1)

lo g_{2} 1 =

____，(2)

lo g_{2} 4 =

____，(3)

lo g_{4} 8 =

____，(4)

- lo g_{2} (lo g_{3} 3) =

____，(5)

9^{l o g_{9} 209} =

____。

不等式

(\frac{1}{2})^{x^{2} - 3 x - 1} > 0.125

之解為 ____。

求下列對數值： (1)

lo g_{2} 6 + lo g_{2} 12 - lo g_{2} 18 =

____。 (2)

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 6 \cdot lo g_{6} 7 \cdot lo g_{7} 8 =

____。

設

a

，

b

，

c

為自然數，若

a lo g_{60} 2 + b lo g_{60} 3 + c lo g_{60} 5 = 2

，試求

a + b + c =

____。

滿足

- 1 \leq lo g_{\frac{1}{4}} (lo g_{2} x) < 0

之整數

x

共有幾個 ____。

將

f (x) = lo g_{2} x

的圖形，向右平移

3

單位，再向下平移

4

單位，得

g (x) = lo g_{2} (a x + b)

的圖形，求數對

(a, b) =

____。

設

f (x) = 2^{x + 2} - 4^{x} + 1

，

- 1 \leq x \leq 2

，則

f (x)

的(1)最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

滿足不等式

lo g (x - 1) - 2 lo g (x - 3) > 1

的實數

x

之範圍為 ____。

四、混合題：（每題 5 分, 共 10 分）

第 14、15 題為題組（混合題，原卷第 14 題）（第 14～15 題）　魚類在水中的游速遠遠超過人類所及。假設某種魚類的游速可用函數

v = \frac{5}{3} lo g_{2} \frac{x}{100}

（

m/s

）表示，其中

x

表示耗氧量的單位數。（原卷附一張魚類的圖片，與解題無關）

(1) 該魚類靜止時的耗氧量的單位數是多少？（單選）

(A) $30$
(B) $50$
(C) $90$
(D) $100$
(E) $110$

(2) 若某種魚類受到威脅時，耗氧量會衝到

12800

單位數，由附表中各種魚類的極速來看，此種魚類最有可能是哪一種？（計算題，請寫計算過程）

種類 游速 (km/hr) 虎鯨 30 飛魚 35 骨魚 40 鰹魚 43 巨頭鯨 47 黃鰭金槍魚 52 梭魚 58

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(C)

第 5 題(A)(B)(C)

第 6 題(1)

0

；(2)

2

；(3)

\frac{3}{2}

；(4)

1

；(5)

209

第 7 題

- 1 < x < 4

第 8 題(1)

2

；(2)

3

第 9 題

8

第 10 題

14

第 11 題

(\frac{1}{16}, - \frac{3}{16})

第 12 題

(5, 1)

第 13 題

3 < x < \frac{7}{2}

第 14 題(D)

第 15 題鰹魚（游速

42

km/hr）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：對數律、同底比大小、看圖判斷底數、對數比大小

第 1 題答案 (B)。(A) 是對數律

lo g ab = lo g a + lo g b

，正確。(B)

(lo g a)^{2}

是

lo g a

自乘，

2 lo g a = lo g a^{2}

是

a^{2}

的對數，兩者一般不相等；例如

a = 100

時

(lo g a)^{2} = 4

，

2 lo g a = 4

恰好相等，但

a = 10

時

(lo g a)^{2} = 1

，

2 lo g a = 2

，不相等，所以 (B) 不是恆等式。(C) 是商的對數律，正確。(D)

lo g \frac{1}{a} = lo g a^{- 1} = - lo g a

，正確。(E) 是換底公式

lo g_{a} b = \frac{l o g b}{l o g a}

，正確。

(E) 要

a \neq = 1

才有意義；題目只說

a

、

b

為正數，但本題要找的是「錯誤的恆等式」，(B) 對大多數的

a

都不成立，是唯一的答案。

第 2 題答案 (C)。五個數的底數都是

2

，

y = 2^{x}

是遞增函數，所以指數最大的數最大。五個指數分別是

\frac{1}{2}

、

- 3

、

4

、

10

、

- 3

。因為

3^{2} < 10 < 4^{2}

，所以

3 < 10 < 4

，指數最大的是

4

，最大的數是

2^{4}

。

第 3 題答案 (D)。

A

、

B

由左上往右下，是遞減函數，所以

0 < a < 1

、

0 < b < 1

；

C

、

D

由左下往右上，是遞增函數，所以

c > 1

、

d > 1

。在

y

軸右邊取

x = 1

：

C

比

D

高（

C

比較靠近

y

軸、比較陡），也就是

c^{1} > d^{1}

，所以

c > d

。在

y

軸左邊取

x = - 1

：

B

比

A

高（

B

比較靠近

y

軸、比較陡），也就是

b^{- 1} > a^{- 1}

，即

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，所以

b < a

。合起來

c > d > 1 > a > b

。

底數小於

1

的那兩條要看

y

軸左邊：越陡的那條，底數越小（越接近

0

）。選項 (B) 把

a

、

b

的大小寫反了。

第 4 題答案 (C)。

\frac{1}{2} < a < 1

，

y = lo g x

遞增，所以

lo g \frac{1}{2} < lo g a < 0

，即

- lo g 2 < lo g a < 0

，約

- 0.301 < lo g a < 0

。

lo g (a^{2}) = 2 lo g a

介於

- 2 lo g 2

與

0

之間，約

- 0.602 < lo g (a^{2}) < 0

，而且因為

lo g a < 0

，

2 lo g a < lo g a

。

1 < b < 2

，所以

0 < lo g b < lo g 2

，

lo g b

與

\frac{1}{l o g b}

都是正數。五個數中只有 (B)、(C) 是負數，又

lo g (a^{2}) < lo g a

，所以最小的是

lo g (a^{2})

。

02多選第 5 題：圖形與直線 y＝－x 的交點個數

第 5 題

$x + y = 0$ 就是直線 $y = - x$ 。逐項看 $y = - x$ 與各圖形的交點。

(A) 正確。 $x \geq 0$ 時 $- x \leq 0 < 2^{x}$ ，沒有交點。 $x < 0$ 時， $y = 2^{x}$ 遞增、 $y = - x$ 遞減，最多相交一次；又 $x = - 1$ 時 $2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1$ ， $x = 0$ 時 $2^{0} = 1 > 0$ ，兩圖形在 $- 1 < x < 0$ 之間交叉一次。恰有一個交點。

(B) 正確。 $x \geq 0$ 時 $- x \leq 0 < 2^{- ∣ x ∣}$ ，沒有交點。 $x < 0$ 時 $- ∣ x ∣ = x$ ， $2^{- ∣ x ∣} = 2^{x}$ ，與 (A) 在 $x < 0$ 的部分完全相同，恰有一個交點。

(C) 正確。 $y = lo g_{2} x$ 遞增， $y = - x$ 遞減，最多相交一次； $x = \frac{1}{2}$ 時 $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1 < - \frac{1}{2}$ ， $x = 1$ 時 $lo g_{2} 1 = 0 > - 1$ ，在 $\frac{1}{2} < x < 1$ 之間交叉一次。恰有一個交點。

(D) 錯誤。 $- lo g_{2} x = - x$ 即 $lo g_{2} x = x$ ，也就是 $2^{x} = x$ 。 $x \leq 0$ 時 $2^{x} > 0 \geq x$ ； $0 < x \leq 1$ 時 $2^{x} > 1 \geq x$ ； $x > 1$ 時，設 $n < x \leq n + 1$ （ $n$ 為正整數），則 $2^{x} > 2^{n} \geq n + 1 \geq x$ （ $2^{n} \geq n + 1$ 可由 $2^{1} = 2$ 起每次乘 $2$ 看出）。所以 $2^{x} > x$ 恆成立，沒有交點。

(E) 錯誤。 $y = ∣ lo g_{2} x ∣ \geq 0$ ，而定義域 $x > 0$ 上 $- x < 0$ ，沒有交點。

答案 (A)(B)(C)。

(D) 也可以這樣看：

y = - lo g_{2} x

與

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

相同，和

y = - x

有交點等價於

y = lo g_{2} x

和

y = x

有交點；而

y = 2^{x}

的圖形整個在

y = x

上方，它對

y = x

的對稱圖形

y = lo g_{2} x

就整個在

y = x

下方。

03填充第 6～9 題：對數的基本值、指數不等式、對數律、質因數分解

第 6 題

(1) $2^{0} = 1$ ，所以 $lo g_{2} 1 = 0$ 。

(2) $2^{2} = 4$ ，所以 $lo g_{2} 4 = 2$ 。

(3) $lo g_{4} 8 = \frac{l o g _{2} 8}{l o g _{2} 4} = \frac{3}{2}$ 。

(4) $lo g_{3} 3 = lo g_{3} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ ，所以 $- lo g_{2} \frac{1}{2} = - (- 1) = 1$ 。

(5) 由對數的定義， $a^{l o g_{a} x} = x$ ，所以 $9^{l o g_{9} 209} = 209$ 。

第 7 題

0.125 = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

。不等式化為

(\frac{1}{2})^{x^{2} - 3 x - 1} > (\frac{1}{2})^{3}

。底數

\frac{1}{2} < 1

，

y = (\frac{1}{2})^{x}

遞減，所以指數的大小關係要反向：

x^{2} - 3 x - 1 < 3

，即

x^{2} - 3 x - 4 < 0

，

(x - 4) (x + 1) < 0

，得

- 1 < x < 4

。

底數小於

1

時拿掉底數，不等號要反向。

第 8 題

(1) $lo g_{2} 6 + lo g_{2} 12 - lo g_{2} 18 = lo g_{2} \frac{6 \times 12}{18} = lo g_{2} 4 = 2$ 。

(2) 每一項用換底公式寫成常用對數： $\frac{l o g 3}{l o g 2} \cdot \frac{l o g 4}{l o g 3} \cdot \frac{l o g 5}{l o g 4} \cdot \frac{l o g 6}{l o g 5} \cdot \frac{l o g 7}{l o g 6} \cdot \frac{l o g 8}{l o g 7}$ ，前後相消，剩下 $\frac{l o g 8}{l o g 2} = lo g_{2} 8 = 3$ 。

第 9 題由對數律，

a lo g_{60} 2 + b lo g_{60} 3 + c lo g_{60} 5 = lo g_{60} (2^{a} 3^{b} 5^{c}) = 2

，所以

2^{a} 3^{b} 5^{c} = 6 0^{2} = 3600 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

。

a

、

b

、

c

是自然數，由質因數分解的唯一性，

a = 4

、

b = 2

、

c = 2

，

a + b + c = 8

。

04填充第 10～13 題：對數不等式、平移、換元求極值、定義域

第 10 題外層對數的真數要為正：

lo g_{2} x > 0

，即

x > 1

。把

- 1

與

0

寫成以

\frac{1}{4}

為底的對數：

- 1 = lo g_{\frac{1}{4}} 4

，

0 = lo g_{\frac{1}{4}} 1

。不等式化為

lo g_{\frac{1}{4}} 4 \leq lo g_{\frac{1}{4}} (lo g_{2} x) < lo g_{\frac{1}{4}} 1

。底數

\frac{1}{4} < 1

，

y = lo g_{\frac{1}{4}} x

遞減，所以真數的大小關係反向：

1 < lo g_{2} x \leq 4

，即

2 < x \leq 16

。整數

x = 3, 4, \dots, 16

，共

14

個。

注意兩端：

lo g_{\frac{1}{4}} (lo g_{2} x) < 0

對應

lo g_{2} x > 1

（

x = 2

不行）；

\geq - 1

對應

lo g_{2} x \leq 4

（

x = 16

可以）。

第 11 題向右平移

3

單位，把

x

換成

x - 3

：

y = lo g_{2} (x - 3)

；再向下平移

4

單位，函數值減

4

：

y = lo g_{2} (x - 3) - 4

。又

4 = lo g_{2} 16

，所以

g (x) = lo g_{2} (x - 3) - lo g_{2} 16 = lo g_{2} \frac{x - 3}{16} = lo g_{2} (\frac{1}{16} x - \frac{3}{16})

。比較得

a = \frac{1}{16}

，

b = - \frac{3}{16}

，

(a, b) = (\frac{1}{16}, - \frac{3}{16})

。

第 12 題令

t = 2^{x}

，

- 1 \leq x \leq 2

時

\frac{1}{2} \leq t \leq 4

。

2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x} = 4 t

，

4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}

，所以

f (x) = - t^{2} + 4 t + 1 = - (t - 2)^{2} + 5

。在

\frac{1}{2} \leq t \leq 4

上，

t = 2

（

x = 1

）時最大，

M = 5

；離

t = 2

最遠的是

t = 4

（

x = 2

），此時最小，

m = - 4 + 5 = 1

。所以

(M, m) = (5, 1)

。

另一端

t = \frac{1}{2}

時

f = - \frac{9}{4} + 5 = \frac{11}{4}

，比

1

大，不是最小值。

第 13 題先看定義域：

x - 1 > 0

且

x - 3 > 0

，所以

x > 3

。由對數律，

lo g (x - 1) - 2 lo g (x - 3) = lo g \frac{x - 1}{( x - 3 ) ^{2}}

，不等式化為

lo g \frac{x - 1}{( x - 3 ) ^{2}} > lo g 10

。

y = lo g x

遞增，所以

\frac{x - 1}{( x - 3 ) ^{2}} > 10

；

(x - 3)^{2} > 0

，兩邊乘以它得

x - 1 > 10 (x^{2} - 6 x + 9)

，即

10 x^{2} - 61 x + 91 < 0

，

(2 x - 7) (5 x - 13) < 0

，

\frac{13}{5} < x < \frac{7}{2}

。與

x > 3

取交集，得

3 < x < \frac{7}{2}

。

\frac{13}{5} < x \leq 3

這一段雖然滿足化簡後的二次不等式，但原式的

lo g (x - 3)

沒有意義，要去掉。

05混合題第 14、15 題（原卷第 14 題 (1)(2)）：魚類游速與耗氧量

第 14 題答案 (D)。靜止時游速

v = 0

：

\frac{5}{3} lo g_{2} \frac{x}{100} = 0

，所以

lo g_{2} \frac{x}{100} = 0

，

\frac{x}{100} = 2^{0} = 1

，

x = 100

。

第 15 題耗氧量

x = 12800

代入：

\frac{x}{100} = 128 = 2^{7}

，

v = \frac{5}{3} lo g_{2} 2^{7} = \frac{5}{3} \times 7 = \frac{35}{3}

（m/s）。換成 km/hr：

1

m/s

= \frac{3600}{1000}

km/hr

= 3.6

km/hr，所以

v = \frac{35}{3} \times 3.6 = 42

（km/hr）。表中游速最接近

42

km/hr 的是鰹魚（

43

km/hr），所以此種魚類最有可能是鰹魚。

表中的游速單位是 km/hr，公式算出的是 m/s，要先換算再比較；直接拿

\frac{35}{3} \approx 11.7

去對表就會選錯。

套用對數模型時，先把數字整理成底數的次方（

128 = 2^{7}

），對數就能直接拿下來；最後記得核對單位。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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題目取自基隆高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數、指數函數、對數與對數律、對數函數）

基隆高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

一、單選題：（每題 5 分、共 20 分）

下列對數恆等式中，錯誤的是哪一個選項？其中

a

、

b

皆為正數。

(A) $lo g ab = (lo g a) + (lo g b)$
(B) $(lo g a)^{2} = 2 lo g a$
(C) $lo g \frac{b}{a} = (lo g b) - (lo g a)$
(D) $- lo g a = lo g \frac{1}{a}$
(E) $\frac{l o g b}{l o g a} = lo g_{a} b$

下列選項中哪一個數最大？

(A) $2^{\frac{1}{2}}$
(B) $2^{- 3}$
(C) $2^{4}$
(D) $2^{10}$
(E) $2^{- 3}$

附圖

A

，

B

，

C

，

D

分別為指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

，

y = d^{x}

的部分圖形，則

a

，

b

，

c

，

d

的大小關係為？

(A) $a > b > c > d$
(B) $c > d > b > a$
(C) $d > c > a > b$
(D) $c > d > a > b$
(E) $d > c > b > a$

載入中...

已知實數

a

，

b

滿足

\frac{1}{2} < a < 1

及

1 < b < 2

。試問下列哪個選項的值最小？

(A) $0$
(B) $lo g a$
(C) $lo g (a^{2})$
(D) $lo g b$
(E) $\frac{1}{l o g b}$

二、多重選擇題：（錯一個選項給 7 分，錯二個選項給 3 分，錯三個選項不給分。每題 10 分、共 10 分）

下列哪一個函數的圖形與

x + y = 0

恰有一交點？

(A) $y = 2^{x}$
(B) $y = 2^{- ∣ x ∣}$
(C) $y = lo g_{2} x$
(D) $y = - lo g_{2} x$
(E) $y = ∣ lo g_{2} x ∣$

三、填充題：（第 6 題每格 4 分，其餘每格 5 分，共 60 分）

求下列的值：（每格 4 分） (1)

lo g_{2} 1 =

____，(2)

lo g_{2} 4 =

____，(3)

lo g_{4} 8 =

____，(4)

- lo g_{2} (lo g_{3} 3) =

____，(5)

9^{l o g_{9} 209} =

____。

不等式

(\frac{1}{2})^{x^{2} - 3 x - 1} > 0.125

之解為 ____。

求下列對數值： (1)

lo g_{2} 6 + lo g_{2} 12 - lo g_{2} 18 =

____。 (2)

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 6 \cdot lo g_{6} 7 \cdot lo g_{7} 8 =

____。

設

a

，

b

，

c

為自然數，若

a lo g_{60} 2 + b lo g_{60} 3 + c lo g_{60} 5 = 2

，試求

a + b + c =

____。

滿足

- 1 \leq lo g_{\frac{1}{4}} (lo g_{2} x) < 0

之整數

x

共有幾個 ____。

將

f (x) = lo g_{2} x

的圖形，向右平移

3

單位，再向下平移

4

單位，得

g (x) = lo g_{2} (a x + b)

的圖形，求數對

(a, b) =

____。

設

f (x) = 2^{x + 2} - 4^{x} + 1

，

- 1 \leq x \leq 2

，則

f (x)

的(1)最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

滿足不等式

lo g (x - 1) - 2 lo g (x - 3) > 1

的實數

x

之範圍為 ____。

四、混合題：（每題 5 分, 共 10 分）

第 14、15 題為題組（混合題，原卷第 14 題）（第 14～15 題）　魚類在水中的游速遠遠超過人類所及。假設某種魚類的游速可用函數

v = \frac{5}{3} lo g_{2} \frac{x}{100}

（

m/s

）表示，其中

x

表示耗氧量的單位數。（原卷附一張魚類的圖片，與解題無關）

(1) 該魚類靜止時的耗氧量的單位數是多少？（單選）

(A) $30$
(B) $50$
(C) $90$
(D) $100$
(E) $110$

(2) 若某種魚類受到威脅時，耗氧量會衝到

12800

單位數，由附表中各種魚類的極速來看，此種魚類最有可能是哪一種？（計算題，請寫計算過程）

種類 游速 (km/hr) 虎鯨 30 飛魚 35 骨魚 40 鰹魚 43 巨頭鯨 47 黃鰭金槍魚 52 梭魚 58

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(C)

第 5 題(A)(B)(C)

第 6 題(1)

0

；(2)

2

；(3)

\frac{3}{2}

；(4)

1

；(5)

209

第 7 題

- 1 < x < 4

第 8 題(1)

2

；(2)

3

第 9 題

8

第 10 題

14

第 11 題

(\frac{1}{16}, - \frac{3}{16})

第 12 題

(5, 1)

第 13 題

3 < x < \frac{7}{2}

第 14 題(D)

第 15 題鰹魚（游速

42

km/hr）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：對數律、同底比大小、看圖判斷底數、對數比大小

第 1 題答案 (B)。(A) 是對數律

lo g ab = lo g a + lo g b

，正確。(B)

(lo g a)^{2}

是

lo g a

自乘，

2 lo g a = lo g a^{2}

是

a^{2}

的對數，兩者一般不相等；例如

a = 100

時

(lo g a)^{2} = 4

，

2 lo g a = 4

恰好相等，但

a = 10

時

(lo g a)^{2} = 1

，

2 lo g a = 2

，不相等，所以 (B) 不是恆等式。(C) 是商的對數律，正確。(D)

lo g \frac{1}{a} = lo g a^{- 1} = - lo g a

，正確。(E) 是換底公式

lo g_{a} b = \frac{l o g b}{l o g a}

，正確。

(E) 要

a \neq = 1

才有意義；題目只說

a

、

b

為正數，但本題要找的是「錯誤的恆等式」，(B) 對大多數的

a

都不成立，是唯一的答案。

第 2 題答案 (C)。五個數的底數都是

2

，

y = 2^{x}

是遞增函數，所以指數最大的數最大。五個指數分別是

\frac{1}{2}

、

- 3

、

4

、

10

、

- 3

。因為

3^{2} < 10 < 4^{2}

，所以

3 < 10 < 4

，指數最大的是

4

，最大的數是

2^{4}

。

第 3 題答案 (D)。

A

、

B

由左上往右下，是遞減函數，所以

0 < a < 1

、

0 < b < 1

；

C

、

D

由左下往右上，是遞增函數，所以

c > 1

、

d > 1

。在

y

軸右邊取

x = 1

：

C

比

D

高（

C

比較靠近

y

軸、比較陡），也就是

c^{1} > d^{1}

，所以

c > d

。在

y

軸左邊取

x = - 1

：

B

比

A

高（

B

比較靠近

y

軸、比較陡），也就是

b^{- 1} > a^{- 1}

，即

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，所以

b < a

。合起來

c > d > 1 > a > b

。

底數小於

1

的那兩條要看

y

軸左邊：越陡的那條，底數越小（越接近

0

）。選項 (B) 把

a

、

b

的大小寫反了。

第 4 題答案 (C)。

\frac{1}{2} < a < 1

，

y = lo g x

遞增，所以

lo g \frac{1}{2} < lo g a < 0

，即

- lo g 2 < lo g a < 0

，約

- 0.301 < lo g a < 0

。

lo g (a^{2}) = 2 lo g a

介於

- 2 lo g 2

與

0

之間，約

- 0.602 < lo g (a^{2}) < 0

，而且因為

lo g a < 0

，

2 lo g a < lo g a

。

1 < b < 2

，所以

0 < lo g b < lo g 2

，

lo g b

與

\frac{1}{l o g b}

都是正數。五個數中只有 (B)、(C) 是負數，又

lo g (a^{2}) < lo g a

，所以最小的是

lo g (a^{2})

。

02多選第 5 題：圖形與直線 y＝－x 的交點個數

第 5 題

$x + y = 0$ 就是直線 $y = - x$ 。逐項看 $y = - x$ 與各圖形的交點。

(E) 錯誤。 $y = ∣ lo g_{2} x ∣ \geq 0$ ，而定義域 $x > 0$ 上 $- x < 0$ ，沒有交點。

答案 (A)(B)(C)。

(D) 也可以這樣看：

y = - lo g_{2} x

與

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

相同，和

y = - x

有交點等價於

y = lo g_{2} x

和

y = x

有交點；而

y = 2^{x}

的圖形整個在

y = x

上方，它對

y = x

的對稱圖形

y = lo g_{2} x

就整個在

y = x

下方。

03填充第 6～9 題：對數的基本值、指數不等式、對數律、質因數分解

第 6 題

(1) $2^{0} = 1$ ，所以 $lo g_{2} 1 = 0$ 。

(2) $2^{2} = 4$ ，所以 $lo g_{2} 4 = 2$ 。

(3) $lo g_{4} 8 = \frac{l o g _{2} 8}{l o g _{2} 4} = \frac{3}{2}$ 。

(4) $lo g_{3} 3 = lo g_{3} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ ，所以 $- lo g_{2} \frac{1}{2} = - (- 1) = 1$ 。

(5) 由對數的定義， $a^{l o g_{a} x} = x$ ，所以 $9^{l o g_{9} 209} = 209$ 。

第 7 題

0.125 = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

。不等式化為

(\frac{1}{2})^{x^{2} - 3 x - 1} > (\frac{1}{2})^{3}

。底數

\frac{1}{2} < 1

，

y = (\frac{1}{2})^{x}

遞減，所以指數的大小關係要反向：

x^{2} - 3 x - 1 < 3

，即

x^{2} - 3 x - 4 < 0

，

(x - 4) (x + 1) < 0

，得

- 1 < x < 4

。

底數小於

1

時拿掉底數，不等號要反向。

第 8 題

(1) $lo g_{2} 6 + lo g_{2} 12 - lo g_{2} 18 = lo g_{2} \frac{6 \times 12}{18} = lo g_{2} 4 = 2$ 。

第 9 題由對數律，

a lo g_{60} 2 + b lo g_{60} 3 + c lo g_{60} 5 = lo g_{60} (2^{a} 3^{b} 5^{c}) = 2

，所以

2^{a} 3^{b} 5^{c} = 6 0^{2} = 3600 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

。

a

、

b

、

c

是自然數，由質因數分解的唯一性，

a = 4

、

b = 2

、

c = 2

，

a + b + c = 8

。

04填充第 10～13 題：對數不等式、平移、換元求極值、定義域

第 10 題外層對數的真數要為正：

lo g_{2} x > 0

，即

x > 1

。把

- 1

與

0

寫成以

\frac{1}{4}

為底的對數：

- 1 = lo g_{\frac{1}{4}} 4

，

0 = lo g_{\frac{1}{4}} 1

。不等式化為

lo g_{\frac{1}{4}} 4 \leq lo g_{\frac{1}{4}} (lo g_{2} x) < lo g_{\frac{1}{4}} 1

。底數

\frac{1}{4} < 1

，

y = lo g_{\frac{1}{4}} x

遞減，所以真數的大小關係反向：

1 < lo g_{2} x \leq 4

，即

2 < x \leq 16

。整數

x = 3, 4, \dots, 16

，共

14

個。

注意兩端：

lo g_{\frac{1}{4}} (lo g_{2} x) < 0

對應

lo g_{2} x > 1

（

x = 2

不行）；

\geq - 1

對應

lo g_{2} x \leq 4

（

x = 16

可以）。

第 11 題向右平移

3

單位，把

x

換成

x - 3

：

y = lo g_{2} (x - 3)

；再向下平移

4

單位，函數值減

4

：

y = lo g_{2} (x - 3) - 4

。又

4 = lo g_{2} 16

，所以

g (x) = lo g_{2} (x - 3) - lo g_{2} 16 = lo g_{2} \frac{x - 3}{16} = lo g_{2} (\frac{1}{16} x - \frac{3}{16})

。比較得

a = \frac{1}{16}

，

b = - \frac{3}{16}

，

(a, b) = (\frac{1}{16}, - \frac{3}{16})

。

第 12 題令

t = 2^{x}

，

- 1 \leq x \leq 2

時

\frac{1}{2} \leq t \leq 4

。

2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x} = 4 t

，

4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}

，所以

f (x) = - t^{2} + 4 t + 1 = - (t - 2)^{2} + 5

。在

\frac{1}{2} \leq t \leq 4

上，

t = 2

（

x = 1

）時最大，

M = 5

；離

t = 2

最遠的是

t = 4

（

x = 2

），此時最小，

m = - 4 + 5 = 1

。所以

(M, m) = (5, 1)

。

另一端

t = \frac{1}{2}

時

f = - \frac{9}{4} + 5 = \frac{11}{4}

，比

1

大，不是最小值。

第 13 題先看定義域：

x - 1 > 0

且

x - 3 > 0

，所以

x > 3

。由對數律，

lo g (x - 1) - 2 lo g (x - 3) = lo g \frac{x - 1}{( x - 3 ) ^{2}}

，不等式化為

lo g \frac{x - 1}{( x - 3 ) ^{2}} > lo g 10

。

y = lo g x

遞增，所以

\frac{x - 1}{( x - 3 ) ^{2}} > 10

；

(x - 3)^{2} > 0

，兩邊乘以它得

x - 1 > 10 (x^{2} - 6 x + 9)

，即

10 x^{2} - 61 x + 91 < 0

，

(2 x - 7) (5 x - 13) < 0

，

\frac{13}{5} < x < \frac{7}{2}

。與

x > 3

取交集，得

3 < x < \frac{7}{2}

。

\frac{13}{5} < x \leq 3

這一段雖然滿足化簡後的二次不等式，但原式的

lo g (x - 3)

沒有意義，要去掉。

05混合題第 14、15 題（原卷第 14 題 (1)(2)）：魚類游速與耗氧量

第 14 題答案 (D)。靜止時游速

v = 0

：

\frac{5}{3} lo g_{2} \frac{x}{100} = 0

，所以

lo g_{2} \frac{x}{100} = 0

，

\frac{x}{100} = 2^{0} = 1

，

x = 100

。

第 15 題耗氧量

x = 12800

代入：

\frac{x}{100} = 128 = 2^{7}

，

v = \frac{5}{3} lo g_{2} 2^{7} = \frac{5}{3} \times 7 = \frac{35}{3}

（m/s）。換成 km/hr：

1

m/s

= \frac{3600}{1000}

km/hr

= 3.6

km/hr，所以

v = \frac{35}{3} \times 3.6 = 42

（km/hr）。表中游速最接近

42

km/hr 的是鰹魚（

43

km/hr），所以此種魚類最有可能是鰹魚。

表中的游速單位是 km/hr，公式算出的是 m/s，要先換算再比較；直接拿

\frac{35}{3} \approx 11.7

去對表就會選錯。

套用對數模型時，先把數字整理成底數的次方（

128 = 2^{7}

），對數就能直接拿下來；最後記得核對單位。

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