段考詳解範圍：三角函數（三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

基隆高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 基隆高中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 基隆高中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先由象限決定餘弦的正負，學校答案與依題幹條件計算的結果不同；第 4 題 2x 的範圍是兩圈，解要找四個；第 12 題要由第四象限決定 cos 取正的那一個；第 17 題要先看出 AB 與 CD 都等於 OC 的兩倍，再用疊合求最大值。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單一選擇題 6 題（每題 5 分，共 30 分）、填充題 10 題（每題 6 分，共 60 分）、計算題 1 題（共 10 分），合計 100 分；題號與原卷相同。答案已與學校公布的答案逐題核對，1 題不同：第 2 題學校答案印 (A)，本站依題幹條件計算為 (B)，詳解寫明兩者的差別。

一、單一選擇題 (每題 5 分，共 30 分。)

若

sin θ = \frac{- 4}{5}

，則

cos 2 θ =

？

(A) $\frac{- 3}{5}$
(B) $\frac{3}{5}$
(C) $\frac{- 7}{25}$
(D) $\frac{7}{25}$

若

9 0^{\circ} < α, β < 18 0^{\circ}

，且

sin α = \frac{4}{5}

，

cos β = - \frac{12}{13}

，則

sin (α + β) =

(A) $\frac{- 33}{65}$
(B) $\frac{- 63}{65}$
(C) $\frac{33}{65}$
(D) $\frac{- 4}{5}$

試問下列哪個選項中的值最小？

(A) $sin 1$
(B) $sin 2$
(C) $sin 3$
(D) $sin 4$

設

0 \leq x \leq 2 π

，試選出方程式

cos 2 x = \frac{1}{2}

的所有解之和為下列哪一個選項。

(A) $π$
(B) $2 π$
(C) $3 π$
(D) $4 π$

下列哪一個函數的週期為

π

？

(A) $y = sin x$
(B) $y = tan x$
(C) $y = 2 sin (\frac{1}{2} x) + 3$
(D) $y = 3 cos (π x) - 2$

若函數

y = a sin (ω x + ϕ)

的圖形如下，則此函數為何？

(A) $y = 2 sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{6})$
(B) $y = - 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$
(C) $y = - 2 sin (2 x + \frac{π}{3})$
(D) $y = - 2 sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$

載入中...

二、填充題 (每題 6 分，共 60 分。)

若

P (- 5, 12)

為標準位置角

θ

終邊上的一點，試求： (1)

sin θ =

____。 (2)

tan θ =

____。

試求出函數

y = 2 sin (3 x - \frac{π}{2}) - 1

的 (1) 最小值為 ____， (2) 週期為 ____。

在

- 2 π \leq x \leq 2 π

範圍內，試求方程式

cos x = - \frac{1}{2}

的實根有 ____ 個。

試求： (1)

cos 7 5^{\circ} =

____。 (2)

tan 1 5^{\circ} =

____。

設

α

為銳角，且

cos α = \frac{5}{7}

，則 (1)

sin 2 α =

____， (2)

cos \frac{α}{2} =

____。

設

27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

，若

sin θ + cos θ = \frac{1}{5}

，則 (1)

sin 2 θ =

____。 (2)

cos θ =

____。

將

y = 3 sin x + cos x

表示成

y = r cos (x - θ)

的形式，其中

r > 0

、

0 < θ < \frac{π}{2}

，則可得

y =

____。

設

0 \leq x \leq 2 π

，試求方程式

sin x + cos x = - 2

的解為 ____。

試求函數

f (x) = 3 sin^{2} x + 23 sin x cos x + cos^{2} x

的 (1) 最大值為 ____ 與 (2) 最小值為 ____。

設

0 \leq x \leq π

，則函數

y = 3 sin (x + \frac{π}{3}) - cos x

在 (1)

x =

____ 時， (2)

y

有最大值為 ____。

三、計算題 (共 10 分，請詳列計算過程否則不予計分。)

植物園中有一個半徑為

20

公尺的圓形池塘，園方打算在池塘中建造一座 F 型木橋，其中

O

為圓心，且

\overline{A B} = \overline{C D}

、

\overline{A B} ⊥ \overline{A E}

、

\overline{C D} ⊥ \overline{A E}

，如圖所示。園方為了使橋上能容納最多的遊客，希望木橋總長達最長。試求此木橋最長的總長度。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)（學校答案印 (A)，見詳解）

第 3 題(D)

第 4 題(D)

第 5 題(B)

第 6 題(B)

第 7 題(1)

\frac{12}{13}

；(2)

- \frac{12}{5}

第 8 題(1)

- 3

；(2)

\frac{2 π}{3}

第 9 題

4

第 10 題(1)

\frac{6 - 2}{4}

；(2)

2 - 3

第 11 題(1)

\frac{20 6}{49}

；(2)

\frac{42}{7}

第 12 題(1)

- \frac{24}{25}

；(2)

\frac{4}{5}

第 13 題

2 cos (x - \frac{π}{3})

第 14 題

x = \frac{5 π}{4}

第 15 題(1)

4

；(2)

0

第 16 題(1)

\frac{π}{3}

；(2)

1

第 17 題

405

公尺

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：二倍角、和角公式、弧度下的正弦值

第 1 題答案 (C)。由二倍角公式

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - 2 \cdot \frac{16}{25} = \frac{25 - 32}{25} = \frac{- 7}{25}

。

用

1 - 2 sin^{2} θ

這個形式，不必知道

θ

在哪個象限，也不必先求

cos θ

。

第 2 題

本站計算為 (B)，學校答案印 (A)。由題意 $α$ 、 $β$ 都在第二象限（ $9 0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 之間），第二象限的餘弦為負、正弦為正。

$cos α = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}$ ， $sin β = 1 - \frac{144}{169} = \frac{5}{13}$ 。

由和角公式

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = \frac{4}{5} \cdot (- \frac{12}{13}) + (- \frac{3}{5}) \cdot \frac{5}{13} = \frac{- 48 - 15}{65} = \frac{- 63}{65}$

所以是 (B)。

學校答案 (A) 的

\frac{- 33}{65}

，是把

cos α

取成

+ \frac{3}{5}

（也就是

α

為銳角）時得到的值：

\frac{4}{5} \cdot (- \frac{12}{13}) + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{- 33}{65}

；它也等於本題條件下的

sin (α - β)

。依卷面印的條件

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

，

cos α

必為負，答案是 (B)。

第 3 題答案 (D)。

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，所以

1

、

2

、

3

弧度分別約為

57. 3^{\circ}

、

114. 6^{\circ}

、

171. 9^{\circ}

，都在

0

到

π

之間，正弦值都是正的；

4

弧度約

229. 2^{\circ}

，介於

π

與

\frac{3 π}{2}

之間（第三象限），正弦值是負的。所以

sin 4

最小。

可以不換成度：

π \approx 3.14 < 4 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

4

弧度的終邊在第三象限。

02單選第 4～6 題：三角方程式、週期、由圖形決定函數

第 4 題答案 (D)。

0 \leq x \leq 2 π

時

0 \leq 2 x \leq 4 π

。在這個範圍內

cos 2 x = \frac{1}{2}

的解是

2 x = \frac{π}{3}

、

\frac{5 π}{3}

、

\frac{7 π}{3}

、

\frac{11 π}{3}

，所以

x = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

、

\frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

。四個解的和是

\frac{π + 5 π + 7 π + 11 π}{6} = \frac{24 π}{6} = 4 π

。

x

的範圍是一圈，

2 x

的範圍就是兩圈，解要找兩圈份。

第 5 題答案 (B)。(A)

y = sin x

的週期是

2 π

。(B)

y = tan x

的週期是

π

，符合。(C)

y = 2 sin (\frac{1}{2} x) + 3

的週期是

\frac{2 π}{\frac{1}{2}} = 4 π

（振幅與上下平移不影響週期）。(D)

y = 3 cos (π x) - 2

的週期是

\frac{2 π}{π} = 2

。

第 6 題

答案 (B)。由圖，最低點是 $(\frac{π}{6}, - 2)$ ，最高點是 $(\frac{2 π}{3}, 2)$ ，振幅為 $2$ 。相鄰最低點到最高點是半個週期： $\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ ，所以週期為 $π$ ， $x$ 的係數是 $\frac{2 π}{π} = 2$ 。這樣就排除 (A)(D)（週期都是 $4 π$ ）。

剩下 (B)(C) 都是 $y = - 2 sin (2 x + ϕ)$ 的形式，最低點在 $sin (2 x + ϕ) = 1$ 處。

(B)： $2 \cdot \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ ， $y = - 2$ ，最低點正是 $x = \frac{π}{6}$ ； $x = \frac{2 π}{3}$ 時 $2 x + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$ ， $y = 2$ ，也符合。

(C)： $x = \frac{π}{6}$ 時 $2 x + \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ ， $y = - 3 \neq = - 2$ ，不符。所以是 (B)。

再用一點檢查：(B) 在

x = 0

時

y = - 2 sin \frac{π}{6} = - 1 < 0

，圖形在

y

軸上的交點在原點下方，圖形與

x

軸的交點在

x = - \frac{π}{12}

，與圖相符。

03填充第 7～9 題：終邊上一點、最小值與週期、實根個數

第 7 題

r = \overline{O P} = (- 5)^{2} + 1 2^{2} = 13

。(1)

sin θ = \frac{y}{r} = \frac{12}{13}

。(2)

tan θ = \frac{y}{x} = \frac{12}{- 5} = - \frac{12}{5}

。

P

在第二象限，正弦為正、正切為負，與結果一致。

第 8 題(1)

- 1 \leq sin (3 x - \frac{π}{2}) \leq 1

，所以

y

的最小值是

2 \times (- 1) - 1 = - 3

。(2) 週期是

\frac{2 π}{3}

（

x

的係數是

3

；振幅、平移不影響週期）。

第 9 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

cos x = - \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{2 π}{3}

、

\frac{4 π}{3}

。

y = cos x

是偶函數，所以在

- 2 π \leq x \leq 0

內的解是

x = - \frac{2 π}{3}

、

- \frac{4 π}{3}

。端點

x = \pm 2 π

時

cos x = 1

，不是解。共

4

個實根。

也可以看圖：

y = cos x

在

[- 2 π, 2 π]

上是兩個完整週期，每個週期與水平線

y = - \frac{1}{2}

交

2

次。

04填充第 10～12 題：差角、倍角與半角、由和求二倍角

第 10 題

(1) $cos 7 5^{\circ} = cos (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} - sin 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4}$ 。

(2) $tan 1 5^{\circ} = tan (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{2} = \frac{4 - 2 3}{2} = 2 - 3$ 。

第 11 題

$α$ 為銳角， $sin α = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{7} = \frac{2 6}{7}$ 。

(1) $sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 \cdot \frac{2 6}{7} \cdot \frac{5}{7} = \frac{20 6}{49}$ 。

(2) $0^{\circ} < \frac{α}{2} < 4 5^{\circ}$ ， $cos \frac{α}{2} > 0$ 。由半角公式 $cos^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 + cos α}{2} = \frac{1 + \frac{5}{7}}{2} = \frac{6}{7}$ ，所以 $cos \frac{α}{2} = \frac{6}{7} = \frac{42}{7}$ 。

第 12 題

(1) 兩邊平方： $sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ = \frac{1}{25}$ ，即 $1 + sin 2 θ = \frac{1}{25}$ ，所以 $sin 2 θ = - \frac{24}{25}$ 。

(2) $sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ = - \frac{12}{25}$ ，又 $sin θ + cos θ = \frac{1}{5}$ ，所以 $sin θ$ 、 $cos θ$ 是 $t^{2} - \frac{1}{5} t - \frac{12}{25} = 0$ 的兩根，即 $25 t^{2} - 5 t - 12 = 0$ ， $(5 t - 4) (5 t + 3) = 0$ ， $t = \frac{4}{5}$ 或 $- \frac{3}{5}$ 。 $θ$ 在第四象限， $cos θ > 0$ 、 $sin θ < 0$ ，所以 $cos θ = \frac{4}{5}$ （ $sin θ = - \frac{3}{5}$ ）。

檢查：

- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{1}{5}

，符合題設。

05填充第 13～16 題：正餘弦的疊合

第 13 題

r cos (x - θ) = r cos θ cos x + r sin θ sin x

。與

3 sin x + cos x

比較係數：

r cos θ = 1

，

r sin θ = 3

。所以

r = 1^{2} + (3)^{2} = 2

，

cos θ = \frac{1}{2}

、

sin θ = \frac{3}{2}

，在

0 < θ < \frac{π}{2}

內

θ = \frac{π}{3}

。得

y = 2 cos (x - \frac{π}{3})

。

第 14 題

sin x + cos x = 2 (\frac{2}{2} sin x + \frac{2}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

。方程式化為

sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

。

0 \leq x \leq 2 π

時

\frac{π}{4} \leq x + \frac{π}{4} \leq \frac{9 π}{4}

，其中只有

x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}

使正弦為

- 1

，所以

x = \frac{5 π}{4}

。

sin x + cos x

的最小值就是

- 2

，所以只有一個解。

第 15 題

用倍角公式降次： $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ ， $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ ， $2 sin x cos x = sin 2 x$ 。

$f (x) = \frac{3 ( 1 - cos 2 x )}{2} + 3 sin 2 x + \frac{1 + cos 2 x}{2} = 2 + 3 sin 2 x - cos 2 x$

疊合： $3 sin 2 x - cos 2 x = 2 (\frac{3}{2} sin 2 x - \frac{1}{2} cos 2 x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ 。所以 $f (x) = 2 + 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ 。

(1) 正弦為 $1$ 時最大值 $4$ 。(2) 正弦為 $- 1$ 時最小值 $0$ 。

例如

x = \frac{π}{3}

時

f = 3 \cdot \frac{3}{4} + 23 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 4

；

x = - \frac{π}{6}

時

f = \frac{3}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = 0

，兩個值都取得到。

第 16 題

先用和角公式展開： $3 sin (x + \frac{π}{3}) = 3 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = \frac{3}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x$ 。

所以 $y = \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x = sin (x + \frac{π}{6})$ 。

$0 \leq x \leq π$ 時 $\frac{π}{6} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}$ ，這個範圍包含 $\frac{π}{2}$ ，所以 $x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ ，即 (1) $x = \frac{π}{3}$ 時，(2) $y$ 有最大值 $1$ 。

06計算第 17 題：F 型木橋的最長總長

第 17 題

由圖， $A$ 、 $B$ 、 $E$ 在圓周上， $C$ 在 $\overline{A E}$ 上，圓心 $O$ 在 $\overline{C D}$ 上。木橋總長是 $\overline{A B} + \overline{C D} + \overline{A E}$ 。

連 $\overline{O A}$ ，令 $∠ A O C = θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ）， $\overline{O A} = 20$ 。在直角三角形 $A O C$ 中， $\overline{A C} = 20 sin θ$ ， $\overline{O C} = 20 cos θ$ 。

因為 $\overline{O C} ⊥ \overline{A E}$ ，圓心到弦的垂足是弦的中點，所以 $\overline{A E} = 2 \overline{A C} = 40 sin θ$ 。

又 $\overline{A B} ⊥ \overline{A E}$ 、 $\overline{C D} ⊥ \overline{A E}$ ，所以 $\overline{A B} ∥ \overline{C D}$ ；弦 $\overline{A B}$ 的中點在過 $O$ 且垂直 $\overline{A B}$ 的直線上，這條直線與 $\overline{A E}$ 平行，所以 $A$ 到這條直線的距離等於 $\overline{O C}$ ， $\overline{A B} = 2 \overline{O C} = 40 cos θ$ 。再由 $\overline{C D} = \overline{A B}$ ， $\overline{C D} = 40 cos θ$ 。

總長 $L = 40 cos θ + 40 cos θ + 40 sin θ = 80 cos θ + 40 sin θ = 40 (2 cos θ + sin θ)$ 。

疊合： $2 cos θ + sin θ = 5 (\frac{2}{5} cos θ + \frac{1}{5} sin θ) = 5 sin (θ + α)$ ，其中 $sin α = \frac{2}{5}$ 、 $cos α = \frac{1}{5}$ （ $α$ 為銳角）。

所以 $L = 405 sin (θ + α) \leq 405$ ；當 $θ + α = \frac{π}{2}$ ，即 $θ = \frac{π}{2} - α$ （是銳角，取得到）時等號成立。木橋最長的總長度是 $405$ 公尺。

取最大值時

tan θ = \frac{cos α}{sin α} = \frac{1}{2}

，

\overline{O C} = 85 \approx 17.9

公尺，

\overline{A E} = 85 \approx 17.9

公尺，

\overline{A B} = \overline{C D} = 165 \approx 35.8

公尺；這時

\overline{O D} = \overline{C D} - \overline{O C} = 85 < 20

，

D

仍在池塘內。

405 \approx 89.4

公尺。

把長度都用同一個角

θ

表示，整理成

a cos θ + b sin θ

，疊合成

a^{2} + b^{2} sin (θ + α)

，最後確認讓正弦等於

1

的角落在允許的範圍內。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《三角函數》單元冊 08・高二上（數A）

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題目取自基隆高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選第 1～3 題：二倍角、和角公式、弧度下的正弦值

02單選第 4～6 題：三角方程式、週期、由圖形決定函數

03填充第 7～9 題：終邊上一點、最小值與週期、實根個數

04填充第 10～12 題：差角、倍角與半角、由和求二倍角

05填充第 13～16 題：正餘弦的疊合

06計算第 17 題：F 型木橋的最長總長

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