段考詳解範圍：對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用

基隆高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

是非題 5 題（每題 4 分，共 20 分）、單選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、多選題 2 題（每題 8 分，共 16 分；答錯一個選項得 5 分，答錯兩個選項得 2 分，答錯多於 2 個選項或未作答得 0 分）、填充與素養題 7 題（第 13～17 題填充與第 19 題計算各 6 分，第 18 題單選 3 分，共 39 分）。題號照原卷 1～19。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、是非題（每題 4 分，共 20 分。）對的選「是」，錯的選「否」

2^{l o g_{3} 2} = 2

。

lo g_{3} 4 \times lo g_{4} 5 \times lo g_{5} 6 = 2

。

直線

y = 2024

與

y = lo g x

的圖形沒有交點。

lo g 2 \times lo g 27 = lo g 3 \times lo g 8

。

方程式

lo g x - x + 2 = 0

有兩個實數解。

二、單選題（每題 5 分，共 25 分。）

審計工作者使用班佛法則來查帳，班佛法則是：「銀行存款的最高位數字是

a

者的比例約

lo g (1 + \frac{1}{a})

」。根據班佛法則，銀行存款的最高位數字是

2

、

3

或

4

者的比例最接近下列何者？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(A) $10%$
(B) $20%$
(C) $30%$
(D) $40%$
(E) $50%$

當溶液的氫離子濃度為

r

莫耳／升時，此溶液的 pH 值為

- lo g r

。若一液體的氫離子濃度是

5 \times 1 0^{- 5}

莫耳／升，則其 pH 值最接近下列哪個值？（已知

lo g 5 \approx 0.6990

）

(A) $5.5$
(B) $5$
(C) $4.5$
(D) $- 4.5$
(E) $- 5.5$

滿足

lo g_{3} (2 x - 7) \leq 2

的整數

x

有幾個？

(A) $4$ 個
(B) $5$ 個
(C) $6$ 個
(D) $7$ 個
(E) 無限多個

根據基隆高中數學科教學研究會研究指出，學生學習數 B 的能力每經過一天認真的練習數學，數學能力可變為原本的

1.03

倍，請問至少需要幾天認真的數學練習，學生學習數 B 的能力會變成原本的兩倍。（提示：

lo g 1.03 \approx 0.0128

，

lo g 2 \approx 0.3010

；或使用七二法則）

(A) $24$ 天
(B) $30$ 天
(C) $36$ 天
(D) $42$ 天
(E) $48$ 天

若對數

lo g_{(4 x - 3)} (7 - x)

是有意義的，則所有滿足條件的整數

x

，其和為多少

(A) $16$
(B) $17$
(C) $18$
(D) $19$
(E) $20$

三、多選題（每題 8 分，共 16 分。）

下列哪些選項是正確的？

(A) 滿足 $7^{x} = 3$ 的實數 $x$ 可表為 $x = lo g_{3} 7$
(B) $lo g_{10} \frac{2}{3} = lo g_{10} 2 - lo g_{10} 3$
(C) $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$
(D) $lo g_{2} 3^{2} = (lo g_{2} 3)^{2}$
(E) $lo g_{18} 23 \times lo g_{9} 8 = lo g_{18} 8 \times lo g_{9} 23$

紅神話悟能遊戲中，將主角的攻擊力（

y

）與其生命值（

x

）設定成函數關係，其關係如下：

y = a lo g_{3} (x + b)

，其中

a

，

b \neq = 0

，其函數圖形如附圖（圖形通過原點

(0, 0)

與點

(2, 4)

），關於此遊戲的敘述，下列何者為真？

(A) $a > 0$
(B) $b > 0$
(C) $ab < 0$
(D) 當攻擊力要超過 $20$ 時，生命值至少要為 $245$
(E) 當生命值為 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 時，其攻擊力分別為 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ，則 $y_{1} < y_{2}$

載入中...

四、填充與素養題（第 18 題單選題 3 分，其餘每題 6 分，共 39 分。）

設

a = lo g 3

，

b = lo g 5

，試以

a

、

b

表示

lo g 60 =

____。

化簡

lo g 0.001 + lo g_{2} 32 + lo g_{3} 1 + (lo g_{7} 8) \times (lo g_{4} 343) =

____。

設

- 4 \leq x \leq 10

，

y = lo g (x^{2} - 12 x + 61)

，

y

有最小值

m

，最大值

M

，則

M \div m =

____。

下圖為

y = lo g_{4} x

的圖形。設

P

、

Q

分別為直線

x = 8

，

y = \frac{1}{2}

與

y = lo g_{4} x

的交點，

R

為點

(8, \frac{1}{2})

，則

△ P QR

的面積為 ____。

載入中...

方程式

lo g (x + 1) + lo g (2 x - 1) = 1 + lo g (x - 1)

的解為 ____。

素養題組（第 18～19 題）　一樣本金兩樣情！尚澤與定先聊天時發現：同樣是人生的第一桶金—

100

萬元存款，由於時代的推移，利率大幅下修，存款結果大不相同！定先說：「在我年輕的時候，通常存款

100

萬元，兩年後的本利和就有

120

萬元了。」尚澤說：「唉！高利率的時代過去了！現在這個年代，一年的利率大約只有

1%

而已……」請回答下列各題：

請利用下表，四捨五入估算定先那個年代的存款年利率到小數點第一位。（存款每年複利一次）單選題

n (0.8)^{\frac{1}{n}} (0.9)^{\frac{1}{n}} (1.1)^{\frac{1}{n}} (1.2)^{\frac{1}{n}} 2 0.8944 0.9487 1.0488 1.0954 3 0.9283 0.9655 1.0323 1.0627 4 0.9457 0.9740 1.0241 1.0466 5 0.9564 0.9791 1.0192 1.0371 6 0.9635 0.9826 1.0160 1.0309

(A) $9.5%$
(B) $9.6%$
(C) $9.7%$
(D) $9.8%$
(E) $9.9%$

若現行年利率為

1%

，每年複利一次，存款

100

萬元，試估算需要多少年，本利和才達到

120

萬元？計算題（需列出計算過程）（無條件進位取至整數位，已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 1.01 \approx 0.0043

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2否

3否

4是

5是

第 6 題(D)

第 7 題(C)

第 8 題(B)

第 9 題(A)

第 10 題(E)

第 11 題(B)(C)(E)

第 12 題(A)(B)(E)

第 13 題

a - b + 2

第 14 題

4

第 15 題

\frac{3}{2}

第 16 題

3

第 17 題

x = \frac{3}{2}

或

x = 3

第 18 題(A)

第 19 題

19

年

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：對數的基本性質、換底、對數函數的圖形

第 1 題否否。對數的基本性質是

a^{l o g_{a} b} = b

，底數要和對數的底相同。這題是

2

的

lo g_{3} 2

次方，底數是

2

、對數的底是

3

，不能套。若

2^{l o g_{3} 2} = 2 = 2^{1}

，就要

lo g_{3} 2 = 1

，即

3^{1} = 2

，不成立。事實上

2 < 3

，所以

lo g_{3} 2 < lo g_{3} 3 = 1

，

2^{l o g_{3} 2} < 2^{1} = 2

。

3^{l o g_{3} 2} = 2

才是對的；用常用對數估計，

lo g_{3} 2 \approx 0.63

，

2^{l o g_{3} 2} \approx 1.55

。

第 2 題否否。換成常用對數：原式

= \frac{lo g 4}{lo g 3} \times \frac{lo g 5}{lo g 4} \times \frac{lo g 6}{lo g 5} = \frac{lo g 6}{lo g 3} = lo g_{3} 6

。若

lo g_{3} 6 = 2

，就要

3^{2} = 6

，不成立。實際上

3 < 6 < 9

，所以

1 < lo g_{3} 6 < 2

。

第 3 題否否。

y = lo g x

的值域是全體實數，而且由左到右一路上升，所以任何一條水平線都與它恰交於一點。

lo g x = 2024

的解是

x = 1 0^{2024}

，交點是

(1 0^{2024}, 2024)

。

第 4 題是是。

lo g 27 = lo g 3^{3} = 3 lo g 3

，

lo g 8 = lo g 2^{3} = 3 lo g 2

。左式

= lo g 2 \times 3 lo g 3 = 3 lo g 2 lo g 3

，右式

= lo g 3 \times 3 lo g 2 = 3 lo g 2 lo g 3

，兩邊相等。

第 5 題是是。方程式就是

lo g x = x - 2

，解的個數等於

y = lo g x

與直線

y = x - 2

的交點個數。逐點比較兩邊：

x = 0.01

時

lo g x = - 2

，

x - 2 = - 1.99

，對數比較小；

x = 1

時

lo g x = 0

，

x - 2 = - 1

，對數比較大；

x = 10

時

lo g x = 1

，

x - 2 = 8

，對數又比較小。所以在

0.01

與

1

之間、

1

與

10

之間各交一次。

y = lo g x

的圖形凹口向下，一條直線與它最多只交兩點，所以恰有兩個實數解。

靠近原點的那個交點在

0.01

與

0.1

之間（

x = 0.1

時

lo g x = - 1

已大於

x - 2 = - 1.9

），只看

x > 1

的部分會漏掉它。另一個交點在

2

與

3

之間。

a^{l o g_{a} b} = b

只在底數相同時成立；判斷方程式有幾個解，畫兩個圖形數交點最快。

02單選第 6～10 題：班佛法則、pH 值、對數不等式、倍增天數、底數與真數的限制

第 6 題答案 (D)。最高位數字是

2

、

3

、

4

的比例相加：

lo g \frac{3}{2} + lo g \frac{4}{3} + lo g \frac{5}{4} = lo g (\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4}) = lo g \frac{5}{2}

。而

lo g \frac{5}{2} = lo g 5 - lo g 2 = (1 - lo g 2) - lo g 2 = 1 - 2 lo g 2 \approx 1 - 0.6020 = 0.398

，約

40%

。

1 + \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a}

，三個分數連乘時中間的

3

、

4

都約掉，只剩

\frac{5}{2}

。

第 7 題答案 (C)。pH

= - lo g (5 \times 1 0^{- 5}) = - (lo g 5 + lo g 1 0^{- 5}) = - (0.6990 - 5) = 4.301

。最接近

4.5

。

4.301

與

4.5

差約

0.2

，與

5

差約

0.7

。氫離子濃度小於

1

，pH 值是正的，(D)(E) 先排除。

第 8 題答案 (B)。真數要為正：

2 x - 7 > 0

，

x > \frac{7}{2}

。又

2 = lo g_{3} 9

，底數

3 > 1

，

lo g_{3} (2 x - 7) \leq lo g_{3} 9

等價於

2 x - 7 \leq 9

，

x \leq 8

。所以

\frac{7}{2} < x \leq 8

，整數

x = 4, 5, 6, 7, 8

，共

5

個。

只解

2 x - 7 \leq 9

而忘了真數為正，會以為有無限多個。

第 9 題答案 (A)。設

n

天後變成兩倍：

1.0 3^{n} \geq 2

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.03 \geq lo g 2

，

n \geq \frac{0.3010}{0.0128} \approx 23.5

，所以至少

24

天。

七二法則：每期成長

3%

，約

72 \div 3 = 24

期翻倍，結果相同。檢查：

1.0 3^{23} \approx 1.97 < 2

，

1.0 3^{24} \approx 2.03 \geq 2

。

第 10 題答案 (E)。底數要大於

0

且不等於

1

：

4 x - 3 > 0

得

x > \frac{3}{4}

，

4 x - 3 \neq = 1

得

x \neq = 1

。真數要大於

0

：

7 - x > 0

得

x < 7

。所以

\frac{3}{4} < x < 7

且

x \neq = 1

，整數

x = 2, 3, 4, 5, 6

，和為

20

。

漏掉「底數不等於

1

」會把

x = 1

也算進去，得到

21

，選項裡沒有。

03多選第 11、12 題：對數律與換底、由圖形決定對數函數

第 11 題

答案 (B)(C)(E)。

(A) 錯誤。由對數的定義， $7^{x} = 3$ 等價於 $x = lo g_{7} 3$ ，不是 $lo g_{3} 7$ 。

(B) 正確。對數律： $lo g_{10} \frac{2}{3} = lo g_{10} 2 - lo g_{10} 3$ 。

(D) 錯誤。左式 $= 2 lo g_{2} 3$ 。若等於 $(lo g_{2} 3)^{2}$ ，則 $lo g_{2} 3 = 0$ 或 $lo g_{2} 3 = 2$ ，但 $2 < 3 < 4$ ， $1 < lo g_{2} 3 < 2$ ，兩者都不成立。

(E) 正確。換成常用對數：左式 $= \frac{lo g 23}{lo g 18} \times \frac{lo g 8}{lo g 9}$ ，右式 $= \frac{lo g 8}{lo g 18} \times \frac{lo g 23}{lo g 9}$ ，分子都是 $lo g 23 \times lo g 8$ ，分母都是 $lo g 18 \times lo g 9$ ，兩邊相等。

(D) 的值：

lo g_{2} 3 \approx 1.585

，左式約

3.17

，右式約

2.51

。

第 12 題

答案 (A)(B)(E)。圖形通過 $(0, 0)$ ： $a lo g_{3} b = 0$ ，因為 $a \neq = 0$ ，所以 $lo g_{3} b = 0$ ， $b = 1$ 。圖形通過 $(2, 4)$ ： $a lo g_{3} (2 + 1) = a lo g_{3} 3 = a = 4$ 。所以函數是 $y = 4 lo g_{3} (x + 1)$ 。

(A) 正確。 $a = 4 > 0$ 。

(B) 正確。 $b = 1 > 0$ 。

(D) 錯誤。 $4 lo g_{3} (x + 1) > 20$ ， $lo g_{3} (x + 1) > 5$ ，底數 $3 > 1$ ，所以 $x + 1 > 3^{5} = 243$ ， $x > 242$ 。生命值超過 $242$ 就可以（例如 $243$ ），不必到 $245$ 。

(E) 正確。底數 $3 > 1$ ， $lo g_{3} (x + 1)$ 隨 $x$ 增加而增加，再乘上正數 $4$ 仍是遞增，所以 $x_{1} < x_{2}$ 時 $y_{1} < y_{2}$ 。圖形由左到右上升也看得出來。

檢查 (D)：

x = 243

時

y = 4 lo g_{3} 244

，而

244 > 243 = 3^{5}

，所以

y > 20

。

對數函數的圖形過某點，就把那點代進去；先用過

(0, 0)

這種特殊點定出平移量，再用另一點定係數。

04填充第 13～17 題：常用對數的表示、綜合化簡、極值、面積、對數方程式

第 13 題

60 = 3 \times 20 = 3 \times 2 \times 10

，所以

lo g 60 = lo g 3 + lo g 2 + 1

。又

lo g 2 = lo g \frac{10}{5} = 1 - lo g 5 = 1 - b

。代入得

lo g 60 = a + (1 - b) + 1 = a - b + 2

。

用

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 5 \approx 0.6990

檢查：

a - b + 2 \approx 1.7781

，而

lo g 60 \approx 1.7782

。

第 14 題

逐項計算： $lo g 0.001 = lo g 1 0^{- 3} = - 3$ ； $lo g_{2} 32 = lo g_{2} 2^{\frac{5}{2}} = \frac{5}{2}$ ； $lo g_{3} 1 = 0$ （任何底數的 $lo g 1$ 都是 $0$ ）； $(lo g_{7} 8) \times (lo g_{4} 343) = \frac{lo g 2 ^{3}}{lo g 7} \times \frac{lo g 7 ^{3}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{3 lo g 2}{lo g 7} \times \frac{3 lo g 7}{2 lo g 2} = \frac{9}{2}$ 。

合計 $- 3 + \frac{5}{2} + 0 + \frac{9}{2} = 4$ 。

第 15 題真數配方：

x^{2} - 12 x + 61 = (x - 6)^{2} + 25

。在

- 4 \leq x \leq 10

中，

x = 6

時真數最小為

25

；離

6

最遠的是

x = - 4

，此時真數最大為

(- 10)^{2} + 25 = 125

。底數

10 > 1

，真數越大對數越大，所以

m = lo g 25 = 2 lo g 5

，

M = lo g 125 = 3 lo g 5

。

M \div m = \frac{3 lo g 5}{2 lo g 5} = \frac{3}{2}

。

x = 10

時真數是

16 + 25 = 41

，比

x = - 4

的

125

小；端點要兩個都比較。

第 16 題

P

在

x = 8

上：

y = lo g_{4} 8 = \frac{lo g 2 ^{3}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{3}{2}

，

P (8, \frac{3}{2})

。

Q

在

y = \frac{1}{2}

上：

lo g_{4} x = \frac{1}{2}

，

x = 4^{\frac{1}{2}} = 2

，

Q (2, \frac{1}{2})

。

R (8, \frac{1}{2})

與

Q

同高、與

P

同在

x = 8

上，所以

∠ R

是直角，

\overline{QR} = 8 - 2 = 6

，

\overline{P R} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1

。面積

= \frac{1}{2} \times 6 \times 1 = 3

。

第 17 題

先看真數： $x + 1 > 0$ 、 $2 x - 1 > 0$ 、 $x - 1 > 0$ ，合起來要 $x > 1$ 。

$1 = lo g 10$ ，原式化成 $lo g ((x + 1) (2 x - 1)) = lo g (10 (x - 1))$ ，所以 $(x + 1) (2 x - 1) = 10 (x - 1)$ ，即 $2 x^{2} + x - 1 = 10 x - 10$ ， $2 x^{2} - 9 x + 9 = 0$ ， $(2 x - 3) (x - 3) = 0$ ， $x = \frac{3}{2}$ 或 $x = 3$ 。

兩個都大於 $1$ ，都合。答： $x = \frac{3}{2}$ 或 $x = 3$ 。

代回檢查：

x = \frac{3}{2}

時左邊真數相乘

\frac{5}{2} \times 2 = 5

，右邊

10 \times \frac{1}{2} = 5

；

x = 3

時

4 \times 5 = 20

，

10 \times 2 = 20

。

解對數方程式先寫出真數的範圍，最後拿解去對；求對數的極值就是求真數的極值（底數大於

1

時）。

05素養題組第 18、19 題：查表求利率、取對數估計年數

第 18 題答案 (A)。設年利率為

r

，每年複利一次，兩年後本利和

100 (1 + r)^{2} = 120

，

(1 + r)^{2} = 1.2

，

1 + r = (1.2)^{\frac{1}{2}}

。查表

n = 2

那一欄，

(1.2)^{\frac{1}{2}} \approx 1.0954

，所以

r \approx 0.0954 = 9.54%

，四捨五入到小數點第一位是

9.5%

。

表裡

n = 2

是開平方。

1.095 4^{2} \approx 1.1999

，與

1.2

相符。

第 19 題

設 $n$ 年後本利和達到 $120$ 萬元： $100 \times (1.01)^{n} \geq 120$ ，即 $(1.01)^{n} \geq 1.2$ 。兩邊取常用對數： $n lo g 1.01 \geq lo g 1.2$ 。

$lo g 1.2 = lo g \frac{12}{10} = lo g (2^{2} \times 3) - 1 = 2 lo g 2 + lo g 3 - 1 \approx 0.6020 + 0.4771 - 1 = 0.0791$ 。

所以 $n \geq \frac{0.0791}{0.0043} \approx 18.4$ ，無條件進位取整數，需要 $19$ 年。

用比較精確的值檢查：

1.0 1^{18} \approx 1.196 < 1.2

，

1.0 1^{19} \approx 1.208 > 1.2

，確實要

19

年。

複利問題列出

(1 + r)^{n}

的式子後，求利率就開

n

次方（查表），求年數就取對數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

基隆高中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要分清楚底數是二不是三，不能直接套對數的基本性質；第 5 題要畫出兩個圖形，靠近原點的那個交點最容易漏掉；第 12 題要用圖上的兩點定出係數，生命值的不等式要記得減一；第 17 題兩個根都要代回真數檢查，兩個都合；第 19 題算出的年數不是整數，要無條件進位。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用

基隆高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、是非題（每題 4 分，共 20 分。）對的選「是」，錯的選「否」

2^{l o g_{3} 2} = 2

。

lo g_{3} 4 \times lo g_{4} 5 \times lo g_{5} 6 = 2

。

直線

y = 2024

與

y = lo g x

的圖形沒有交點。

lo g 2 \times lo g 27 = lo g 3 \times lo g 8

。

方程式

lo g x - x + 2 = 0

有兩個實數解。

二、單選題（每題 5 分，共 25 分。）

審計工作者使用班佛法則來查帳，班佛法則是：「銀行存款的最高位數字是

a

者的比例約

lo g (1 + \frac{1}{a})

」。根據班佛法則，銀行存款的最高位數字是

2

、

3

或

4

者的比例最接近下列何者？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(A) $10%$
(B) $20%$
(C) $30%$
(D) $40%$
(E) $50%$

當溶液的氫離子濃度為

r

莫耳／升時，此溶液的 pH 值為

- lo g r

。若一液體的氫離子濃度是

5 \times 1 0^{- 5}

莫耳／升，則其 pH 值最接近下列哪個值？（已知

lo g 5 \approx 0.6990

）

(A) $5.5$
(B) $5$
(C) $4.5$
(D) $- 4.5$
(E) $- 5.5$

滿足

lo g_{3} (2 x - 7) \leq 2

的整數

x

有幾個？

(A) $4$ 個
(B) $5$ 個
(C) $6$ 個
(D) $7$ 個
(E) 無限多個

根據基隆高中數學科教學研究會研究指出，學生學習數 B 的能力每經過一天認真的練習數學，數學能力可變為原本的

1.03

倍，請問至少需要幾天認真的數學練習，學生學習數 B 的能力會變成原本的兩倍。（提示：

lo g 1.03 \approx 0.0128

，

lo g 2 \approx 0.3010

；或使用七二法則）

(A) $24$ 天
(B) $30$ 天
(C) $36$ 天
(D) $42$ 天
(E) $48$ 天

若對數

lo g_{(4 x - 3)} (7 - x)

是有意義的，則所有滿足條件的整數

x

，其和為多少

(A) $16$
(B) $17$
(C) $18$
(D) $19$
(E) $20$

三、多選題（每題 8 分，共 16 分。）

下列哪些選項是正確的？

(A) 滿足 $7^{x} = 3$ 的實數 $x$ 可表為 $x = lo g_{3} 7$
(B) $lo g_{10} \frac{2}{3} = lo g_{10} 2 - lo g_{10} 3$
(C) $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$
(D) $lo g_{2} 3^{2} = (lo g_{2} 3)^{2}$
(E) $lo g_{18} 23 \times lo g_{9} 8 = lo g_{18} 8 \times lo g_{9} 23$

紅神話悟能遊戲中，將主角的攻擊力（

y

）與其生命值（

x

）設定成函數關係，其關係如下：

y = a lo g_{3} (x + b)

，其中

a

，

b \neq = 0

，其函數圖形如附圖（圖形通過原點

(0, 0)

與點

(2, 4)

），關於此遊戲的敘述，下列何者為真？

(A) $a > 0$
(B) $b > 0$
(C) $ab < 0$
(D) 當攻擊力要超過 $20$ 時，生命值至少要為 $245$
(E) 當生命值為 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 時，其攻擊力分別為 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ，則 $y_{1} < y_{2}$

載入中...

四、填充與素養題（第 18 題單選題 3 分，其餘每題 6 分，共 39 分。）

設

a = lo g 3

，

b = lo g 5

，試以

a

、

b

表示

lo g 60 =

____。

化簡

lo g 0.001 + lo g_{2} 32 + lo g_{3} 1 + (lo g_{7} 8) \times (lo g_{4} 343) =

____。

設

- 4 \leq x \leq 10

，

y = lo g (x^{2} - 12 x + 61)

，

y

有最小值

m

，最大值

M

，則

M \div m =

____。

下圖為

y = lo g_{4} x

的圖形。設

P

、

Q

分別為直線

x = 8

，

y = \frac{1}{2}

與

y = lo g_{4} x

的交點，

R

為點

(8, \frac{1}{2})

，則

△ P QR

的面積為 ____。

載入中...

方程式

lo g (x + 1) + lo g (2 x - 1) = 1 + lo g (x - 1)

的解為 ____。

素養題組（第 18～19 題）　一樣本金兩樣情！尚澤與定先聊天時發現：同樣是人生的第一桶金—

100

萬元存款，由於時代的推移，利率大幅下修，存款結果大不相同！定先說：「在我年輕的時候，通常存款

100

萬元，兩年後的本利和就有

120

萬元了。」尚澤說：「唉！高利率的時代過去了！現在這個年代，一年的利率大約只有

1%

而已……」請回答下列各題：

請利用下表，四捨五入估算定先那個年代的存款年利率到小數點第一位。（存款每年複利一次）單選題

n (0.8)^{\frac{1}{n}} (0.9)^{\frac{1}{n}} (1.1)^{\frac{1}{n}} (1.2)^{\frac{1}{n}} 2 0.8944 0.9487 1.0488 1.0954 3 0.9283 0.9655 1.0323 1.0627 4 0.9457 0.9740 1.0241 1.0466 5 0.9564 0.9791 1.0192 1.0371 6 0.9635 0.9826 1.0160 1.0309

(A) $9.5%$
(B) $9.6%$
(C) $9.7%$
(D) $9.8%$
(E) $9.9%$

若現行年利率為

1%

，每年複利一次，存款

100

萬元，試估算需要多少年，本利和才達到

120

萬元？計算題（需列出計算過程）（無條件進位取至整數位，已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 1.01 \approx 0.0043

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2否

3否

4是

5是

第 6 題(D)

第 7 題(C)

第 8 題(B)

第 9 題(A)

第 10 題(E)

第 11 題(B)(C)(E)

第 12 題(A)(B)(E)

第 13 題

a - b + 2

第 14 題

4

第 15 題

\frac{3}{2}

第 16 題

3

第 17 題

x = \frac{3}{2}

或

x = 3

第 18 題(A)

第 19 題

19

年

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：對數的基本性質、換底、對數函數的圖形

第 1 題否否。對數的基本性質是

a^{l o g_{a} b} = b

，底數要和對數的底相同。這題是

2

的

lo g_{3} 2

次方，底數是

2

、對數的底是

3

，不能套。若

2^{l o g_{3} 2} = 2 = 2^{1}

，就要

lo g_{3} 2 = 1

，即

3^{1} = 2

，不成立。事實上

2 < 3

，所以

lo g_{3} 2 < lo g_{3} 3 = 1

，

2^{l o g_{3} 2} < 2^{1} = 2

。

3^{l o g_{3} 2} = 2

才是對的；用常用對數估計，

lo g_{3} 2 \approx 0.63

，

2^{l o g_{3} 2} \approx 1.55

。

第 2 題否否。換成常用對數：原式

= \frac{lo g 4}{lo g 3} \times \frac{lo g 5}{lo g 4} \times \frac{lo g 6}{lo g 5} = \frac{lo g 6}{lo g 3} = lo g_{3} 6

。若

lo g_{3} 6 = 2

，就要

3^{2} = 6

，不成立。實際上

3 < 6 < 9

，所以

1 < lo g_{3} 6 < 2

。

第 3 題否否。

y = lo g x

的值域是全體實數，而且由左到右一路上升，所以任何一條水平線都與它恰交於一點。

lo g x = 2024

的解是

x = 1 0^{2024}

，交點是

(1 0^{2024}, 2024)

。

第 4 題是是。

lo g 27 = lo g 3^{3} = 3 lo g 3

，

lo g 8 = lo g 2^{3} = 3 lo g 2

。左式

= lo g 2 \times 3 lo g 3 = 3 lo g 2 lo g 3

，右式

= lo g 3 \times 3 lo g 2 = 3 lo g 2 lo g 3

，兩邊相等。

第 5 題是是。方程式就是

lo g x = x - 2

，解的個數等於

y = lo g x

與直線

y = x - 2

的交點個數。逐點比較兩邊：

x = 0.01

時

lo g x = - 2

，

x - 2 = - 1.99

，對數比較小；

x = 1

時

lo g x = 0

，

x - 2 = - 1

，對數比較大；

x = 10

時

lo g x = 1

，

x - 2 = 8

，對數又比較小。所以在

0.01

與

1

之間、

1

與

10

之間各交一次。

y = lo g x

的圖形凹口向下，一條直線與它最多只交兩點，所以恰有兩個實數解。

靠近原點的那個交點在

0.01

與

0.1

之間（

x = 0.1

時

lo g x = - 1

已大於

x - 2 = - 1.9

），只看

x > 1

的部分會漏掉它。另一個交點在

2

與

3

之間。

a^{l o g_{a} b} = b

只在底數相同時成立；判斷方程式有幾個解，畫兩個圖形數交點最快。

02單選第 6～10 題：班佛法則、pH 值、對數不等式、倍增天數、底數與真數的限制

第 6 題答案 (D)。最高位數字是

2

、

3

、

4

的比例相加：

lo g \frac{3}{2} + lo g \frac{4}{3} + lo g \frac{5}{4} = lo g (\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4}) = lo g \frac{5}{2}

。而

lo g \frac{5}{2} = lo g 5 - lo g 2 = (1 - lo g 2) - lo g 2 = 1 - 2 lo g 2 \approx 1 - 0.6020 = 0.398

，約

40%

。

1 + \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a}

，三個分數連乘時中間的

3

、

4

都約掉，只剩

\frac{5}{2}

。

第 7 題答案 (C)。pH

= - lo g (5 \times 1 0^{- 5}) = - (lo g 5 + lo g 1 0^{- 5}) = - (0.6990 - 5) = 4.301

。最接近

4.5

。

4.301

與

4.5

差約

0.2

，與

5

差約

0.7

。氫離子濃度小於

1

，pH 值是正的，(D)(E) 先排除。

第 8 題答案 (B)。真數要為正：

2 x - 7 > 0

，

x > \frac{7}{2}

。又

2 = lo g_{3} 9

，底數

3 > 1

，

lo g_{3} (2 x - 7) \leq lo g_{3} 9

等價於

2 x - 7 \leq 9

，

x \leq 8

。所以

\frac{7}{2} < x \leq 8

，整數

x = 4, 5, 6, 7, 8

，共

5

個。

只解

2 x - 7 \leq 9

而忘了真數為正，會以為有無限多個。

第 9 題答案 (A)。設

n

天後變成兩倍：

1.0 3^{n} \geq 2

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.03 \geq lo g 2

，

n \geq \frac{0.3010}{0.0128} \approx 23.5

，所以至少

24

天。

七二法則：每期成長

3%

，約

72 \div 3 = 24

期翻倍，結果相同。檢查：

1.0 3^{23} \approx 1.97 < 2

，

1.0 3^{24} \approx 2.03 \geq 2

。

第 10 題答案 (E)。底數要大於

0

且不等於

1

：

4 x - 3 > 0

得

x > \frac{3}{4}

，

4 x - 3 \neq = 1

得

x \neq = 1

。真數要大於

0

：

7 - x > 0

得

x < 7

。所以

\frac{3}{4} < x < 7

且

x \neq = 1

，整數

x = 2, 3, 4, 5, 6

，和為

20

。

漏掉「底數不等於

1

」會把

x = 1

也算進去，得到

21

，選項裡沒有。

03多選第 11、12 題：對數律與換底、由圖形決定對數函數

第 11 題

答案 (B)(C)(E)。

(A) 錯誤。由對數的定義， $7^{x} = 3$ 等價於 $x = lo g_{7} 3$ ，不是 $lo g_{3} 7$ 。

(B) 正確。對數律： $lo g_{10} \frac{2}{3} = lo g_{10} 2 - lo g_{10} 3$ 。

(D) 錯誤。左式 $= 2 lo g_{2} 3$ 。若等於 $(lo g_{2} 3)^{2}$ ，則 $lo g_{2} 3 = 0$ 或 $lo g_{2} 3 = 2$ ，但 $2 < 3 < 4$ ， $1 < lo g_{2} 3 < 2$ ，兩者都不成立。

(D) 的值：

lo g_{2} 3 \approx 1.585

，左式約

3.17

，右式約

2.51

。

第 12 題

(A) 正確。 $a = 4 > 0$ 。

(B) 正確。 $b = 1 > 0$ 。

檢查 (D)：

x = 243

時

y = 4 lo g_{3} 244

，而

244 > 243 = 3^{5}

，所以

y > 20

。

對數函數的圖形過某點，就把那點代進去；先用過

(0, 0)

這種特殊點定出平移量，再用另一點定係數。

04填充第 13～17 題：常用對數的表示、綜合化簡、極值、面積、對數方程式

第 13 題

60 = 3 \times 20 = 3 \times 2 \times 10

，所以

lo g 60 = lo g 3 + lo g 2 + 1

。又

lo g 2 = lo g \frac{10}{5} = 1 - lo g 5 = 1 - b

。代入得

lo g 60 = a + (1 - b) + 1 = a - b + 2

。

用

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 5 \approx 0.6990

檢查：

a - b + 2 \approx 1.7781

，而

lo g 60 \approx 1.7782

。

第 14 題

合計 $- 3 + \frac{5}{2} + 0 + \frac{9}{2} = 4$ 。

第 15 題真數配方：

x^{2} - 12 x + 61 = (x - 6)^{2} + 25

。在

- 4 \leq x \leq 10

中，

x = 6

時真數最小為

25

；離

6

最遠的是

x = - 4

，此時真數最大為

(- 10)^{2} + 25 = 125

。底數

10 > 1

，真數越大對數越大，所以

m = lo g 25 = 2 lo g 5

，

M = lo g 125 = 3 lo g 5

。

M \div m = \frac{3 lo g 5}{2 lo g 5} = \frac{3}{2}

。

x = 10

時真數是

16 + 25 = 41

，比

x = - 4

的

125

小；端點要兩個都比較。

第 16 題

P

在

x = 8

上：

y = lo g_{4} 8 = \frac{lo g 2 ^{3}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{3}{2}

，

P (8, \frac{3}{2})

。

Q

在

y = \frac{1}{2}

上：

lo g_{4} x = \frac{1}{2}

，

x = 4^{\frac{1}{2}} = 2

，

Q (2, \frac{1}{2})

。

R (8, \frac{1}{2})

與

Q

同高、與

P

同在

x = 8

上，所以

∠ R

是直角，

\overline{QR} = 8 - 2 = 6

，

\overline{P R} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1

。面積

= \frac{1}{2} \times 6 \times 1 = 3

。

第 17 題

先看真數： $x + 1 > 0$ 、 $2 x - 1 > 0$ 、 $x - 1 > 0$ ，合起來要 $x > 1$ 。

兩個都大於 $1$ ，都合。答： $x = \frac{3}{2}$ 或 $x = 3$ 。

代回檢查：

x = \frac{3}{2}

時左邊真數相乘

\frac{5}{2} \times 2 = 5

，右邊

10 \times \frac{1}{2} = 5

；

x = 3

時

4 \times 5 = 20

，

10 \times 2 = 20

。

解對數方程式先寫出真數的範圍，最後拿解去對；求對數的極值就是求真數的極值（底數大於

1

時）。

05素養題組第 18、19 題：查表求利率、取對數估計年數

第 18 題答案 (A)。設年利率為

r

，每年複利一次，兩年後本利和

100 (1 + r)^{2} = 120

，

(1 + r)^{2} = 1.2

，

1 + r = (1.2)^{\frac{1}{2}}

。查表

n = 2

那一欄，

(1.2)^{\frac{1}{2}} \approx 1.0954

，所以

r \approx 0.0954 = 9.54%

，四捨五入到小數點第一位是

9.5%

。

表裡

n = 2

是開平方。

1.095 4^{2} \approx 1.1999

，與

1.2

相符。

第 19 題

設 $n$ 年後本利和達到 $120$ 萬元： $100 \times (1.01)^{n} \geq 120$ ，即 $(1.01)^{n} \geq 1.2$ 。兩邊取常用對數： $n lo g 1.01 \geq lo g 1.2$ 。

$lo g 1.2 = lo g \frac{12}{10} = lo g (2^{2} \times 3) - 1 = 2 lo g 2 + lo g 3 - 1 \approx 0.6020 + 0.4771 - 1 = 0.0791$ 。

所以 $n \geq \frac{0.0791}{0.0043} \approx 18.4$ ，無條件進位取整數，需要 $19$ 年。

用比較精確的值檢查：

1.0 1^{18} \approx 1.196 < 1.2

，

1.0 1^{19} \approx 1.208 > 1.2

，確實要

19

年。

複利問題列出

(1 + r)^{n}

的式子後，求利率就開

n

次方（查表），求年數就取對數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

基隆高中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自基隆高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 113 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01是非第 1～5 題：對數的基本性質、換底、對數函數的圖形

02單選第 6～10 題：班佛法則、pH 值、對數不等式、倍增天數、底數與真數的限制

03多選第 11、12 題：對數律與換底、由圖形決定對數函數

04填充第 13～17 題：常用對數的表示、綜合化簡、極值、面積、對數方程式

05素養題組第 18、19 題：查表求利率、取對數估計年數

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常見問題

基隆高中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

基隆高中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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基隆高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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高二第二次段考
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