段考詳解範圍：數與式（有理數與無理數、絕對值與數線上的分點、乘法公式與根式）、指數與算幾不等式、常用對數

基隆高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

是非題 8 題（20 分）、填充題 12 格（66 分）、混合題 1 題組 3 小題（14 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對

第壹部分、選擇（填）題（占 86 分）一、是非題（共 20 分）說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記「是」或「否」。第 01 題至第 08 題，每題 2.5 分。

若

a

與

b

皆為無理數，則

a + b

為無理數。

0. \overline{3} + 0. \overline{6} = 1

。

(0)^{0} = 1

。

設

a

，

b

為實數，若

(3 + 1) a + (2 - 3) b = 7 - 23

，則數對

(a, b)

為無限多解。

設

x = 0.0 \overline{23}

、

y = 0.0 \overline{232}

，則

x > y

。

19 - 248

的整數部分為

3

。

(\frac{- 8}{27})^{\frac{2}{3}}

未定義。

已知

(10)^{1.3617} \approx 23

，則

lo g 230 \approx 13.617

。

二、填充題（共 66 分）說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記答案，每題之答案完全答對才給分。第 09 題至第 20 題，共 12 格，每格 5.5 分。若答案為分數，請化簡至最簡分數，否則不予計分。

將

\frac{229}{990}

化為小數後，其小數點後第

2024

位的數字為 ____。

若

a

是小於

10

的正整數，且

\frac{293 + a}{140}

可以化為有限小數，則所有可能的

a

值之和為 ____。

求滿足不等式

3 \leq ∣2 x - 5∣ < 8

之整數解共有 ____ 個。

數線上有

A

、

B

兩點，坐標分別為

- 3

、

6

，在數線上有另一點

C

使得

\overline{A C} : \overline{B C} = 2 : 1

，若

C

在

\overline{A B}

外，則

C

點座標為 ____。

已知

x + \frac{1}{x} = 5

，求

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

之值為 ____。

(\frac{8}{27})^{\frac{- 2}{3}} =

____。（原卷的答案格是一個分數，分子、分母各一格）

若現今某放射性物質有

1024

公克。則此放射性物質經過了 ____ 個半衰期，它的質量會剩下

2

公克。

設

x

、

y

為實數，且

(1.69)^{x} = (1.3 \times 1 0^{5})^{y} = 10

，則

\frac{3}{x} - \frac{6}{y} =

____。

已知

lo g 3 = 0.4771

，則

3^{- 100}

化為小數後，小數點後第 ____ 位開始不為

0

。

已知

lo g a = - 1.321

，

lo g b = 2.821

，

lo g c = 1.5

，則

\frac{ab}{c} =

____。

已知芮氏地震規模（

M

）與地震釋放的能量（

E

）之間的關係為

lo g E = 4.8 + 1.5 M

，請以參考數值計算，若芮氏地震規模增加

1

，則地震釋放的能量為原先的 ____ 倍（四捨五入到整數位）？（參考數值：

10 \approx 3.16

）

化簡

\frac{1}{3.5 - 8.25} =

____。（原卷的答案格式：分母是

4

，分子是兩個根號相加，前一個根號內是兩位數，後一個根號內是一位數）

第貳部分、混合題（占 14 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在答題卷標示題號的作答區內作答。選擇題使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題請由左而右橫式書寫，第 22 題與作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

混合題題組（第 21～23 題）（第 21～23 題）　有一塊空地（如下圖，本示意圖僅供參考），希望能在上面興建一個直角三角形的埤塘，並沿著邊緣拓建三塊半圓形花圃，推廣作為在地觀光景點，目前規劃以

\overline{A B}

為直徑所圍成之半圓種植薰衣草，圍籬總長（僅圍

A B ⌢

，

\overline{A B}

不圍）為

25 π

公尺，則：

試求出

\overline{A B}

長度為 ____ 公尺？（3 分）

(A) $25$
(B) $50$
(C) $25 π$
(D) $50$

載入中...

試求此直角三角形的埤塘的最大面積為？平方公尺（請列出完整過程）（7 分）

當有最大面積時，此直角三角形埤塘之周長為 ____ 公尺？（4 分）

(A) $25 + 252$
(B) $50 + 252$
(C) $25 + 502$
(D) $50 + 502$

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 9 題

3

第 10 題

9

第 11 題

6

第 12 題

15

第 13 題

110

第 14 題

\frac{9}{4}

第 15 題

9

第 16 題

- 30

第 17 題

48

第 18 題

1

第 19 題

32

第 20 題

\frac{11 + 3}{4}

第 21 題(B)

第 22 題

625

平方公尺

第 23 題(D)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～8：有理數與無理數、循環小數、指數的定義、常用對數

第 1 題2答案劃記「否」。舉反例：

a = 2

、

b = - 2

都是無理數，但

a + b = 0

是有理數。

「有理數加無理數一定是無理數」才是對的；兩個無理數相加，無理的部分可能剛好消掉。

第 2 題1答案劃記「是」。

0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

，

0. \overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

，相加是

\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1

。

第 3 題2答案劃記「否」。零指數的定義是：

a \neq = 0

時

a^{0} = 1

。底數是

0

時

0^{0}

沒有定義，不能寫成

1

。

a^{0} = 1

是由

a^{n} \div a^{n}

來的，除數不能是

0

，所以底數要排除

0

。

第 4 題1答案劃記「是」。題目只說

a

、

b

是實數。這是一條兩個未知數的一次方程式：

a

隨便取一個實數，都可以解出

b = \frac{7 - 2 3 - ( 3 + 1 ) a}{2 - 3}

，它也是實數，所以數對

(a, b)

有無限多組。例如

a = 0

時

b = \frac{7 - 2 3}{2 - 3} = 8 + 33

。

如果題目改成「

a

、

b

為有理數」，把式子整理成

(a + 2 b) + (a - b) 3 = 7 - 23

，才可以比較兩邊得

a + 2 b = 7

、

a - b = - 2

，只有一組解

(a, b) = (1, 3)

。這一題考的就是有沒有看清楚「實數」兩個字。

第 5 題1答案劃記「是」。把小數寫開來比：

x = 0.0232323 \dots

，

y = 0.0232232232 \dots

。寫到小數點後第

5

位，

x

是

0.02323

、

y

是

0.02322

，前四位相同，第

5

位

x

是

3

、

y

是

2

，所以

x > y

。

循環節只蓋住橫線底下的數字：

x

是

23

重複，

y

是

232

重複，最前面的

0.0

不重複。化成分數是

x = \frac{23}{990}

、

y = \frac{232}{9990}

。

第 6 題2答案劃記「否」。找兩個數，和是

19

、積是

48

：

16

和

3

。所以

19 - 248 = 16 - 3 = 4 - 3

。因為

1 < 3 < 2

，所以

2 < 4 - 3 < 3

，整數部分是

2

，不是

3

。

3 \approx 1.732

，

4 - 3 \approx 2.268

。

第 7 題1答案劃記「是」。分數指數

a^{\frac{m}{n}}

的定義要求底數

a > 0

。這裡底數

\frac{- 8}{27}

是負數，所以

(\frac{- 8}{27})^{\frac{2}{3}}

沒有定義。

底數是負數時，同一個指數換一種寫法會算出不同結果，例如

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

，但

(- 8)^{\frac{1}{3}}

想成

- 2

，

((- 8)^{2})^{\frac{1}{6}}

卻是

2

。為了避免這種矛盾，課本規定分數指數的底數必須是正數。

第 8 題2答案劃記「否」。

230 = 23 \times 10 \approx 1 0^{1.3617} \times 1 0^{1} = 1 0^{2.3617}

，所以

lo g 230 \approx 2.3617

，不是

13.617

。

真數乘以

10

，對數值加

1

，不是把小數點往右移一位。

是非題先看清楚條件裡的字（實數或有理數、底數是不是正數、是不是

0

），判斷「不一定」只要舉一個反例。

02填充 9～13：循環小數、有限小數、絕對值不等式、分點、乘法公式

第 9 題直接除：

\frac{229}{990} = 0.2313131 \dots = 0.2 \overline{31}

。小數點後第

1

位是

2

（不循環），從第

2

位起是

3, 1, 3, 1, \dots

：第

2, 4, 6, \dots

（偶數）位是

3

，第

3, 5, 7, \dots

（奇數）位是

1

。

2024

是偶數，所以第

2024

位是

3

。

循環是從第

2

位才開始，要先扣掉第

1

位的

2

再數：第

2024

位是循環部分的第

2023

個數字，

2023

是奇數，對到循環節

31

的第一個數字

3

。

第 10 題

140 = 2^{2} \times 5 \times 7

。分數能化成有限小數，約分後分母只能有質因數

2

和

5

，所以分子

293 + a

必須是

7

的倍數，才能把分母的

7

約掉。

a

是

1

到

9

的整數，

293 + a

在

294

到

302

之間，其中

7

的倍數有

294 = 7 \times 42

和

301 = 7 \times 43

，所以

a = 1

或

a = 8

，和是

1 + 8 = 9

。

驗算：

\frac{294}{140} = 2.1

，

\frac{301}{140} = \frac{43}{20} = 2.15

，都是有限小數。

7

的倍數每隔

7

出現一次，

1

到

9

之間有兩個

a

符合，別只找到一個就停。

第 11 題

3 \leq ∣2 x - 5∣ < 8

分成兩種情形。①

3 \leq 2 x - 5 < 8

：

8 \leq 2 x < 13

，

4 \leq x < 6.5

，整數有

4, 5, 6

。②

- 8 < 2 x - 5 \leq - 3

：

- 3 < 2 x \leq 2

，

- 1.5 < x \leq 1

，整數有

- 1, 0, 1

。合計

6

個。

左邊是「

\leq

」、右邊是「

<

」，端點要分別檢查：

x = 4

時

∣2 x - 5∣ = 3

與

x = 1

時

∣2 x - 5∣ = 3

都算；

x = - 1

時

∣2 x - 5∣ = 7 < 8

也算。

第 12 題

\overline{A B} = 6 - (- 3) = 9

。

C

在線段

\overline{A B}

外，且

\overline{A C}

比

\overline{B C}

長，所以

C

離

B

比較近，在

B

的右邊。設

C

的坐標是

c

（

c > 6

），則

\overline{A C} = c + 3

，

\overline{B C} = c - 6

，由

c + 3 = 2 (c - 6)

得

c = 15

。驗算：

\overline{A C} = 18

，

\overline{B C} = 9

，

18 : 9 = 2 : 1

。

如果

C

在

A

的左邊，

\overline{A C}

會比

\overline{B C}

短，不可能是

2 : 1

。線段內另有一個分點

c = 3

，但題目指定在

\overline{A B}

外。

第 13 題用立方和的公式

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)

，取

p = x

、

q = \frac{1}{x}

，這時

pq = 1

：

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 5^{3} - 3 \times 5 = 125 - 15 = 110

。

循環小數問第幾位，先分清楚不循環的部分有幾位；有限小數的條件是「約分後」分母只含質因數

2

和

5

。

03填充 14～20：指數、半衰期、常用對數、雙重根號

第 14 題負指數先取倒數：

(\frac{8}{27})^{- \frac{2}{3}} = (\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}}

。

\frac{27}{8} = (\frac{3}{2})^{3}

，所以

((\frac{3}{2})^{3})^{\frac{2}{3}} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}

。

第 15 題每經過一個半衰期，質量變成一半。

1024 = 2^{10}

，

2 = 2^{1}

，從

2^{10}

到

2^{1}

要除以

2

共

10 - 1 = 9

次，所以是

9

個半衰期。

是剩下

2

公克，不是剩下

1

公克，所以是

9

次，不是

10

次。

第 16 題

(1.69)^{x} = 10

，兩邊同取

\frac{1}{x}

次方得

1.69 = 1 0^{\frac{1}{x}}

，所以

\frac{1}{x} = lo g 1.69

。同理

\frac{1}{y} = lo g (1.3 \times 1 0^{5})

。因為

1.69 = 1. 3^{2}

，設

lo g 1.3 = t

，則

1.69 = (1 0^{t})^{2} = 1 0^{2 t}

，

\frac{1}{x} = 2 t

；

1.3 \times 1 0^{5} = 1 0^{t} \times 1 0^{5} = 1 0^{t + 5}

，

\frac{1}{y} = t + 5

。所以

\frac{3}{x} - \frac{6}{y} = 3 (2 t) - 6 (t + 5) = 6 t - 6 t - 30 = - 30

。

lo g 1.3

的值不必知道，它會消掉。答案是負的，劃卡時第一格是負號。

第 17 題

3 = 1 0^{0.4771}

，所以

3^{- 100} = 1 0^{0.4771 \times (- 100)} = 1 0^{- 47.71}

。把指數拆成「整數＋

0

到

1

之間的小數」：

- 47.71 = - 48 + 0.29

，所以

3^{- 100} = 1 0^{0.29} \times 1 0^{- 48}

。

1 0^{0.29}

介於

1 0^{0} = 1

與

1 0^{1} = 10

之間，是一個一位數點多的數，乘以

1 0^{- 48}

之後，小數點後第

48

位開始不為

0

。

要拆成

- 48 + 0.29

，不能拆成

- 47 - 0.71

：小數的部分必須是正的，才能保證

1 0^{0.29}

在

1

與

10

之間。對照：

1 0^{- 2} = 0.01

是小數點後第

2

位開始不為

0

。

第 18 題

a = 1 0^{- 1.321}

，

b = 1 0^{2.821}

，

c = 1 0^{1.5}

，所以

\frac{ab}{c} = 1 0^{- 1.321 + 2.821 - 1.5} = 1 0^{0} = 1

。

第 19 題設原來的規模是

M

、能量是

E_{1}

，規模變成

M + 1

時能量是

E_{2}

。

E_{1} = 1 0^{4.8 + 1.5 M}

，

E_{2} = 1 0^{4.8 + 1.5 (M + 1)} = 1 0^{4.8 + 1.5 M} \times 1 0^{1.5}

，所以

\frac{E _{2}}{E _{1}} = 1 0^{1.5} = 10 \times 1 0^{0.5} = 1010 \approx 10 \times 3.16 = 31.6

，四捨五入到整數位是

32

倍。

lo g E

增加

1.5

，代表

E

變成

1 0^{1.5}

倍，不是增加

1.5

倍。

第 20 題先把小數化成分數：

3.5 = \frac{7}{2}

，

8.25 = \frac{33}{4}

，

8.25 = \frac{33}{2}

。所以

3.5 - 8.25 = \frac{7 - 33}{2} = \frac{14 - 2 33}{4}

。找兩個數，和是

14

、積是

33

：

11

和

3

，所以

14 - 233 = 11 - 3

，

3.5 - 8.25 = \frac{11 - 3}{2}

。取倒數再有理化：

\frac{2}{11 - 3} = \frac{2 ( 11 + 3 )}{11 - 3} = \frac{11 + 3}{4}

。

根號裡要先湊出「

2

」的形式才能找兩數，所以分子分母同乘

2

，把

7 - 33

變成

14 - 233

。大的數寫前面：

11 - 3

才是正的。

1 0^{x} = k

就是

x = lo g k

；遇到很大或很小的數，把它寫成

10

的次方，指數拆成整數加上

0

到

1

之間的小數。

04混合題 21～23：半圓弧長、算幾不等式求面積最大值

第 21 題答案 (B)。圍籬只圍半圓的弧。以

\overline{A B}

為直徑的圓，圓周長是

π \times \overline{A B}

，半圓的弧長是它的一半：

\frac{π \times A B}{2} = 25 π

，所以

\overline{A B} = 50

公尺。

(A)

25

是半徑；(C)

25 π

是弧長本身。

第 22 題由圖，直角在

C

，斜邊是

\overline{A B} = 50

。設

\overline{B C} = a

、

\overline{A C} = b

（

a > 0

，

b > 0

），埤塘面積是

\frac{1}{2} ab

。由畢氏定理，

a^{2} + b^{2} = 5 0^{2} = 2500

。對

a^{2}

、

b^{2}

兩個正數用算幾不等式：

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq a^{2} b^{2} = ab

，所以

ab \leq \frac{2500}{2} = 1250

，面積

\frac{1}{2} ab \leq 625

。等號在

a^{2} = b^{2}

，也就是

a = b

時成立，這時

2 a^{2} = 2500

，

a = b = 252

，確實做得到。所以最大面積是

625

平方公尺。

算幾不等式要用在

a^{2}

和

b^{2}

上，因為固定的是平方和

a^{2} + b^{2}

。寫出不等式之後要交代等號成立的條件，並確認那一組

a

、

b

存在，才能說最大值是

625

。

第 23 題答案 (D)。面積最大時

a = b = 252

，是等腰直角三角形。周長

= \overline{A B} + \overline{B C} + \overline{A C} = 50 + 252 + 252 = 50 + 502

公尺。

兩股各是

252

，加起來是

502

，再加斜邊

50

。

兩個正數的和固定時，積在兩數相等時最大；這裡固定的是

a^{2} + b^{2}

，所以相等的是

a^{2}

和

b^{2}

。

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基隆高中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

是非第 4 題條件寫的是實數不是有理數，所以有無限多組解；是非第 7 題分數指數的底數必須是正數；填充第 17 題要把指數拆成負四十八加零點二九，小數部分要是正的；填充第 20 題要先把小數化成分數，再把根號裡湊成可以找兩數的形式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自基隆高中 113 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（有理數與無理數、絕對值與數線上的分點、乘法公式與根式）、指數與算幾不等式、常用對數

基隆高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

是非題 8 題（20 分）、填充題 12 格（66 分）、混合題 1 題組 3 小題（14 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對

若

a

與

b

皆為無理數，則

a + b

為無理數。

0. \overline{3} + 0. \overline{6} = 1

。

(0)^{0} = 1

。

設

a

，

b

為實數，若

(3 + 1) a + (2 - 3) b = 7 - 23

，則數對

(a, b)

為無限多解。

設

x = 0.0 \overline{23}

、

y = 0.0 \overline{232}

，則

x > y

。

19 - 248

的整數部分為

3

。

(\frac{- 8}{27})^{\frac{2}{3}}

未定義。

已知

(10)^{1.3617} \approx 23

，則

lo g 230 \approx 13.617

。

將

\frac{229}{990}

化為小數後，其小數點後第

2024

位的數字為 ____。

若

a

是小於

10

的正整數，且

\frac{293 + a}{140}

可以化為有限小數，則所有可能的

a

值之和為 ____。

求滿足不等式

3 \leq ∣2 x - 5∣ < 8

之整數解共有 ____ 個。

數線上有

A

、

B

兩點，坐標分別為

- 3

、

6

，在數線上有另一點

C

使得

\overline{A C} : \overline{B C} = 2 : 1

，若

C

在

\overline{A B}

外，則

C

點座標為 ____。

已知

x + \frac{1}{x} = 5

，求

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

之值為 ____。

(\frac{8}{27})^{\frac{- 2}{3}} =

____。（原卷的答案格是一個分數，分子、分母各一格）

若現今某放射性物質有

1024

公克。則此放射性物質經過了 ____ 個半衰期，它的質量會剩下

2

公克。

設

x

、

y

為實數，且

(1.69)^{x} = (1.3 \times 1 0^{5})^{y} = 10

，則

\frac{3}{x} - \frac{6}{y} =

____。

已知

lo g 3 = 0.4771

，則

3^{- 100}

化為小數後，小數點後第 ____ 位開始不為

0

。

已知

lo g a = - 1.321

，

lo g b = 2.821

，

lo g c = 1.5

，則

\frac{ab}{c} =

____。

已知芮氏地震規模（

M

）與地震釋放的能量（

E

）之間的關係為

lo g E = 4.8 + 1.5 M

，請以參考數值計算，若芮氏地震規模增加

1

，則地震釋放的能量為原先的 ____ 倍（四捨五入到整數位）？（參考數值：

10 \approx 3.16

）

化簡

\frac{1}{3.5 - 8.25} =

____。（原卷的答案格式：分母是

4

，分子是兩個根號相加，前一個根號內是兩位數，後一個根號內是一位數）

\overline{A B}

為直徑所圍成之半圓種植薰衣草，圍籬總長（僅圍

A B ⌢

，

\overline{A B}

不圍）為

25 π

公尺，則：

試求出

\overline{A B}

長度為 ____ 公尺？（3 分）

(A) $25$
(B) $50$
(C) $25 π$
(D) $50$

載入中...

試求此直角三角形的埤塘的最大面積為？平方公尺（請列出完整過程）（7 分）

當有最大面積時，此直角三角形埤塘之周長為 ____ 公尺？（4 分）

(A) $25 + 252$
(B) $50 + 252$
(C) $25 + 502$
(D) $50 + 502$

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 9 題

3

第 10 題

9

第 11 題

6

第 12 題

15

第 13 題

110

第 14 題

\frac{9}{4}

第 15 題

9

第 16 題

- 30

第 17 題

48

第 18 題

1

第 19 題

32

第 20 題

\frac{11 + 3}{4}

第 21 題(B)

第 22 題

625

平方公尺

第 23 題(D)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～8：有理數與無理數、循環小數、指數的定義、常用對數

第 1 題2答案劃記「否」。舉反例：

a = 2

、

b = - 2

都是無理數，但

a + b = 0

是有理數。

「有理數加無理數一定是無理數」才是對的；兩個無理數相加，無理的部分可能剛好消掉。

第 2 題1答案劃記「是」。

0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

，

0. \overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

，相加是

\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1

。

第 3 題2答案劃記「否」。零指數的定義是：

a \neq = 0

時

a^{0} = 1

。底數是

0

時

0^{0}

沒有定義，不能寫成

1

。

a^{0} = 1

是由

a^{n} \div a^{n}

來的，除數不能是

0

，所以底數要排除

0

。

第 4 題1答案劃記「是」。題目只說

a

、

b

是實數。這是一條兩個未知數的一次方程式：

a

隨便取一個實數，都可以解出

b = \frac{7 - 2 3 - ( 3 + 1 ) a}{2 - 3}

，它也是實數，所以數對

(a, b)

有無限多組。例如

a = 0

時

b = \frac{7 - 2 3}{2 - 3} = 8 + 33

。

如果題目改成「

a

、

b

為有理數」，把式子整理成

(a + 2 b) + (a - b) 3 = 7 - 23

，才可以比較兩邊得

a + 2 b = 7

、

a - b = - 2

，只有一組解

(a, b) = (1, 3)

。這一題考的就是有沒有看清楚「實數」兩個字。

第 5 題1答案劃記「是」。把小數寫開來比：

x = 0.0232323 \dots

，

y = 0.0232232232 \dots

。寫到小數點後第

5

位，

x

是

0.02323

、

y

是

0.02322

，前四位相同，第

5

位

x

是

3

、

y

是

2

，所以

x > y

。

循環節只蓋住橫線底下的數字：

x

是

23

重複，

y

是

232

重複，最前面的

0.0

不重複。化成分數是

x = \frac{23}{990}

、

y = \frac{232}{9990}

。

第 6 題2答案劃記「否」。找兩個數，和是

19

、積是

48

：

16

和

3

。所以

19 - 248 = 16 - 3 = 4 - 3

。因為

1 < 3 < 2

，所以

2 < 4 - 3 < 3

，整數部分是

2

，不是

3

。

3 \approx 1.732

，

4 - 3 \approx 2.268

。

第 7 題1答案劃記「是」。分數指數

a^{\frac{m}{n}}

的定義要求底數

a > 0

。這裡底數

\frac{- 8}{27}

是負數，所以

(\frac{- 8}{27})^{\frac{2}{3}}

沒有定義。

底數是負數時，同一個指數換一種寫法會算出不同結果，例如

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

，但

(- 8)^{\frac{1}{3}}

想成

- 2

，

((- 8)^{2})^{\frac{1}{6}}

卻是

2

。為了避免這種矛盾，課本規定分數指數的底數必須是正數。

第 8 題2答案劃記「否」。

230 = 23 \times 10 \approx 1 0^{1.3617} \times 1 0^{1} = 1 0^{2.3617}

，所以

lo g 230 \approx 2.3617

，不是

13.617

。

真數乘以

10

，對數值加

1

，不是把小數點往右移一位。

是非題先看清楚條件裡的字（實數或有理數、底數是不是正數、是不是

0

），判斷「不一定」只要舉一個反例。

02填充 9～13：循環小數、有限小數、絕對值不等式、分點、乘法公式

第 9 題直接除：

\frac{229}{990} = 0.2313131 \dots = 0.2 \overline{31}

。小數點後第

1

位是

2

（不循環），從第

2

位起是

3, 1, 3, 1, \dots

：第

2, 4, 6, \dots

（偶數）位是

3

，第

3, 5, 7, \dots

（奇數）位是

1

。

2024

是偶數，所以第

2024

位是

3

。

循環是從第

2

位才開始，要先扣掉第

1

位的

2

再數：第

2024

位是循環部分的第

2023

個數字，

2023

是奇數，對到循環節

31

的第一個數字

3

。

第 10 題

140 = 2^{2} \times 5 \times 7

。分數能化成有限小數，約分後分母只能有質因數

2

和

5

，所以分子

293 + a

必須是

7

的倍數，才能把分母的

7

約掉。

a

是

1

到

9

的整數，

293 + a

在

294

到

302

之間，其中

7

的倍數有

294 = 7 \times 42

和

301 = 7 \times 43

，所以

a = 1

或

a = 8

，和是

1 + 8 = 9

。

驗算：

\frac{294}{140} = 2.1

，

\frac{301}{140} = \frac{43}{20} = 2.15

，都是有限小數。

7

的倍數每隔

7

出現一次，

1

到

9

之間有兩個

a

符合，別只找到一個就停。

第 11 題

3 \leq ∣2 x - 5∣ < 8

分成兩種情形。①

3 \leq 2 x - 5 < 8

：

8 \leq 2 x < 13

，

4 \leq x < 6.5

，整數有

4, 5, 6

。②

- 8 < 2 x - 5 \leq - 3

：

- 3 < 2 x \leq 2

，

- 1.5 < x \leq 1

，整數有

- 1, 0, 1

。合計

6

個。

左邊是「

\leq

」、右邊是「

<

」，端點要分別檢查：

x = 4

時

∣2 x - 5∣ = 3

與

x = 1

時

∣2 x - 5∣ = 3

都算；

x = - 1

時

∣2 x - 5∣ = 7 < 8

也算。

第 12 題

\overline{A B} = 6 - (- 3) = 9

。

C

在線段

\overline{A B}

外，且

\overline{A C}

比

\overline{B C}

長，所以

C

離

B

比較近，在

B

的右邊。設

C

的坐標是

c

（

c > 6

），則

\overline{A C} = c + 3

，

\overline{B C} = c - 6

，由

c + 3 = 2 (c - 6)

得

c = 15

。驗算：

\overline{A C} = 18

，

\overline{B C} = 9

，

18 : 9 = 2 : 1

。

如果

C

在

A

的左邊，

\overline{A C}

會比

\overline{B C}

短，不可能是

2 : 1

。線段內另有一個分點

c = 3

，但題目指定在

\overline{A B}

外。

第 13 題用立方和的公式

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)

，取

p = x

、

q = \frac{1}{x}

，這時

pq = 1

：

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 5^{3} - 3 \times 5 = 125 - 15 = 110

。

循環小數問第幾位，先分清楚不循環的部分有幾位；有限小數的條件是「約分後」分母只含質因數

2

和

5

。

03填充 14～20：指數、半衰期、常用對數、雙重根號

第 14 題負指數先取倒數：

(\frac{8}{27})^{- \frac{2}{3}} = (\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}}

。

\frac{27}{8} = (\frac{3}{2})^{3}

，所以

((\frac{3}{2})^{3})^{\frac{2}{3}} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}

。

第 15 題每經過一個半衰期，質量變成一半。

1024 = 2^{10}

，

2 = 2^{1}

，從

2^{10}

到

2^{1}

要除以

2

共

10 - 1 = 9

次，所以是

9

個半衰期。

是剩下

2

公克，不是剩下

1

公克，所以是

9

次，不是

10

次。

第 16 題

(1.69)^{x} = 10

，兩邊同取

\frac{1}{x}

次方得

1.69 = 1 0^{\frac{1}{x}}

，所以

\frac{1}{x} = lo g 1.69

。同理

\frac{1}{y} = lo g (1.3 \times 1 0^{5})

。因為

1.69 = 1. 3^{2}

，設

lo g 1.3 = t

，則

1.69 = (1 0^{t})^{2} = 1 0^{2 t}

，

\frac{1}{x} = 2 t

；

1.3 \times 1 0^{5} = 1 0^{t} \times 1 0^{5} = 1 0^{t + 5}

，

\frac{1}{y} = t + 5

。所以

\frac{3}{x} - \frac{6}{y} = 3 (2 t) - 6 (t + 5) = 6 t - 6 t - 30 = - 30

。

lo g 1.3

的值不必知道，它會消掉。答案是負的，劃卡時第一格是負號。

第 17 題

3 = 1 0^{0.4771}

，所以

3^{- 100} = 1 0^{0.4771 \times (- 100)} = 1 0^{- 47.71}

。把指數拆成「整數＋

0

到

1

之間的小數」：

- 47.71 = - 48 + 0.29

，所以

3^{- 100} = 1 0^{0.29} \times 1 0^{- 48}

。

1 0^{0.29}

介於

1 0^{0} = 1

與

1 0^{1} = 10

之間，是一個一位數點多的數，乘以

1 0^{- 48}

之後，小數點後第

48

位開始不為

0

。

要拆成

- 48 + 0.29

，不能拆成

- 47 - 0.71

：小數的部分必須是正的，才能保證

1 0^{0.29}

在

1

與

10

之間。對照：

1 0^{- 2} = 0.01

是小數點後第

2

位開始不為

0

。

第 18 題

a = 1 0^{- 1.321}

，

b = 1 0^{2.821}

，

c = 1 0^{1.5}

，所以

\frac{ab}{c} = 1 0^{- 1.321 + 2.821 - 1.5} = 1 0^{0} = 1

。

第 19 題設原來的規模是

M

、能量是

E_{1}

，規模變成

M + 1

時能量是

E_{2}

。

E_{1} = 1 0^{4.8 + 1.5 M}

，

E_{2} = 1 0^{4.8 + 1.5 (M + 1)} = 1 0^{4.8 + 1.5 M} \times 1 0^{1.5}

，所以

\frac{E _{2}}{E _{1}} = 1 0^{1.5} = 10 \times 1 0^{0.5} = 1010 \approx 10 \times 3.16 = 31.6

，四捨五入到整數位是

32

倍。

lo g E

增加

1.5

，代表

E

變成

1 0^{1.5}

倍，不是增加

1.5

倍。

第 20 題先把小數化成分數：

3.5 = \frac{7}{2}

，

8.25 = \frac{33}{4}

，

8.25 = \frac{33}{2}

。所以

3.5 - 8.25 = \frac{7 - 33}{2} = \frac{14 - 2 33}{4}

。找兩個數，和是

14

、積是

33

：

11

和

3

，所以

14 - 233 = 11 - 3

，

3.5 - 8.25 = \frac{11 - 3}{2}

。取倒數再有理化：

\frac{2}{11 - 3} = \frac{2 ( 11 + 3 )}{11 - 3} = \frac{11 + 3}{4}

。

根號裡要先湊出「

2

」的形式才能找兩數，所以分子分母同乘

2

，把

7 - 33

變成

14 - 233

。大的數寫前面：

11 - 3

才是正的。

1 0^{x} = k

就是

x = lo g k

；遇到很大或很小的數，把它寫成

10

的次方，指數拆成整數加上

0

到

1

之間的小數。

04混合題 21～23：半圓弧長、算幾不等式求面積最大值

第 21 題答案 (B)。圍籬只圍半圓的弧。以

\overline{A B}

為直徑的圓，圓周長是

π \times \overline{A B}

，半圓的弧長是它的一半：

\frac{π \times A B}{2} = 25 π

，所以

\overline{A B} = 50

公尺。

(A)

25

是半徑；(C)

25 π

是弧長本身。

第 22 題由圖，直角在

C

，斜邊是

\overline{A B} = 50

。設

\overline{B C} = a

、

\overline{A C} = b

（

a > 0

，

b > 0

），埤塘面積是

\frac{1}{2} ab

。由畢氏定理，

a^{2} + b^{2} = 5 0^{2} = 2500

。對

a^{2}

、

b^{2}

兩個正數用算幾不等式：

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq a^{2} b^{2} = ab

，所以

ab \leq \frac{2500}{2} = 1250

，面積

\frac{1}{2} ab \leq 625

。等號在

a^{2} = b^{2}

，也就是

a = b

時成立，這時

2 a^{2} = 2500

，

a = b = 252

，確實做得到。所以最大面積是

625

平方公尺。

算幾不等式要用在

a^{2}

和

b^{2}

上，因為固定的是平方和

a^{2} + b^{2}

。寫出不等式之後要交代等號成立的條件，並確認那一組

a

、

b

存在，才能說最大值是

625

。

第 23 題答案 (D)。面積最大時

a = b = 252

，是等腰直角三角形。周長

= \overline{A B} + \overline{B C} + \overline{A C} = 50 + 252 + 252 = 50 + 502

公尺。

兩股各是

252

，加起來是

502

，再加斜邊

50

。

兩個正數的和固定時，積在兩數相等時最大；這裡固定的是

a^{2} + b^{2}

，所以相等的是

a^{2}

和

b^{2}

。

同一次段考的其他學校

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題目取自基隆高中 113 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 113 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 23 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01是非 1～8：有理數與無理數、循環小數、指數的定義、常用對數

02填充 9～13：循環小數、有限小數、絕對值不等式、分點、乘法公式

03填充 14～20：指數、半衰期、常用對數、雙重根號

04混合題 21～23：半圓弧長、算幾不等式求面積最大值

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常見問題

基隆高中 113 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

基隆高中 113 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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03填充 14～20：指數、半衰期、常用對數、雙重根號

04混合題 21～23：半圓弧長、算幾不等式求面積最大值

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基隆高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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高一第一次段考
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