基隆高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答 ○。$f$ 在 $x=a$ 可微分，表示 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$ 存在。於是

$$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)-f(a))=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)=f^{\prime }(a)\cdot 0=0$$

即 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$，$f$ 在 $x=a$ 連續。

答 ×。「極大值」只是在那一點附近最大，不同位置的極大值與極小值不一定誰大。

反例：$f(x)=3x^5-25x^3+60x$，$f^{\prime }(x)=15x^4-75x^2+60=15(x^2-1)(x^2-4)$。$f^{\prime }(x)$ 的正負依序是：$x<-2$ 正、$-2<x<-1$ 負、$-1<x<1$ 正、$1<x<2$ 負、$x>2$ 正。所以 $x=-2$ 有極大值 $f(-2)=-16$，$x=2$ 有極小值 $f(2)=16$，這個極大值比極小值小。

答案 (A)(B)(C)(D)(E)。$f(1)=1-2+3=2$，$f^{\prime }(x)=3x^2-2$，$f^{\prime }(1)=1$。

(A) 正確。 $f(1)=2$，點 $(1,2)$ 在圖形上。

(B) 正確。 這個極限就是 $f^{\prime }(1)$ 的定義，值為 $1$。也可以直接算：$f(x)-f(1)=x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)$，約去 $x-1$ 後代 $x=1$ 得 $1+1-1=1$。

(C) 正確。 $f^{\prime }(1)=3-2=1$。

(D) 正確。 以 $(1,f(1))$ 為切點的切線斜率就是 $f^{\prime }(1)=1$。

(E) 正確。 切線方程式 $y-2=1\cdot (x-1)$，即 $y=x+1$。

答案 (A)(D)(E)。$f^{\prime }(x)=12x^2-24x-36=12(x^2-2x-3)=12(x+1)(x-3)$。

$x<-1$ 或 $x>3$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$f$ 遞增；$-1<x<3$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，$f$ 遞減。

(A) 正確。 $(-\infty ,-1)$ 上 $f^{\prime }(x)>0$。

(B) 錯誤。 $(-1,0)$ 落在 $-1<x<3$ 內，遞減。

(C) 錯誤。 $(0,3)$ 也落在 $-1<x<3$ 內，遞減。

(D) 正確。 $(3,5)$ 上 $f^{\prime }(x)>0$。

(E) 正確。 $(5,\infty )$ 上 $f^{\prime }(x)>0$。

答案 (C)(E)。$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$。由圖可以讀出：左端往上、右端往下；極小值點在 $y$ 軸左邊、極大值點在 $y$ 軸右邊；反曲點 $P$ 在 $y$ 軸左邊；圖形與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方。

(A) 錯誤。 $x$ 很大時圖形往下，最高次項 $a{x}^3$ 決定走向，所以 $a<0$。

(B) 錯誤。 反曲點的 $x$ 坐標是 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 的根 $-\frac{b}{3a}$，在 $y$ 軸左邊，所以 $-\frac{b}{3a}<0$，即 $\frac{b}{a}>0$，$b$ 與 $a$ 同號，$b<0$。

(C) 正確。 $c=f^{\prime }(0)$；$x=0$ 在極小值點與極大值點之間，圖形在那裡往上爬，$f^{\prime }(0)>0$，即 $c>0$。

(D) 錯誤。 $d=f(0)$，圖形與 $y$ 軸的交點在 $x$ 軸下方，$d<0$。

(E) 正確。 圖形有極大值與極小值，$f^{\prime }(x)=0$ 有兩個相異實根，判別式 $(2b{)}^2-4\cdot 3a\cdot c=4(b^2-3ac)>0$。

令 $u(x)=x^3-2x+5$，$v(x)=x^2+x-1$，則 $u(1)=4$，$u^{\prime }(x)=3x^2-2$，$u^{\prime }(1)=1$；$v(1)=1$，$v^{\prime }(x)=2x+1$，$v^{\prime }(1)=3$。

由乘法的微分公式，$h^{\prime }(1)=u^{\prime }(1)v(1)+u(1)v^{\prime }(1)=1\cdot 1+4\cdot 3=13$。

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-24=3(x+2)(x-4)$。$x<-2$ 時 $f^{\prime }>0$、$-2<x<4$ 時 $f^{\prime }<0$、$x>4$ 時 $f^{\prime }>0$，所以 $x=-2$ 有極大值、$x=4$ 有極小值。

$M=f(-2)=-8-12+48+5=33$，$m=f(4)=64-48-96+5=-75$，$(M,m)=(33,-75)$。

兩圖形交點的 $x$ 坐標滿足 $x^3+x=4x+k$，即 $x^3-3x=k$。三個相異交點，等於直線 $y=k$ 與 $y=g(x)=x^3-3x$ 的圖形有三個交點。

$g^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$，$g$ 在 $x=-1$ 有極大值 $g(-1)=2$，在 $x=1$ 有極小值 $g(1)=-2$。水平線 $y=k$ 要夾在極小值與極大值之間才會交三點，所以 $-2<k<2$。

可微分必連續。在 $x=7$ 連續：$\underset{x\to 7^{-}}{\lim }(ax+b)=7a+b$ 要等於 $f(7)=49$，得 $7a+b=49$。

右導數：$\underset{x\to 7^{+}}{\lim }\frac{x^2-49}{x-7}=\underset{x\to 7^{+}}{\lim }(x+7)=14$。左導數：在 $7a+b=49$ 之下，$\frac{(ax+b)-49}{x-7}=\frac{a(x-7)}{x-7}=a$，左導數為 $a$。可微分要左右導數相等，$a=14$，$b=49-98=-49$。

所以 $(a,b)=(14,-49)$。

$f(1)=f^{\prime }(1)=0$ 表示 $x=1$ 是 $f(x)=0$ 的重根，$(x-1{)}^2$ 整除 $f(x)$；同理 $(x-2{)}^2$ 整除 $f(x)$。$f(x)$ 是四次式，所以 $f(x)=k(x-1{)}^2(x-2{)}^2$，$k\ne 0$。

$f^{\prime }(x)=k\left[2(x-1)(x-2{)}^2+2(x-1{)}^2(x-2)\right]$，$f^{\prime }(0)=k\left[2(-1)(4)+2(1)(-2)\right]=-12k=12$，$k=-1$。

$f(0)=-1\cdot (-1{)}^2\cdot (-2{)}^2=-4$。

$h^{\prime }(t)=-\frac{3}{100}{t}^2+\frac{9}{10}t-6=-\frac{3}{100}\left(t^2-30t+200\right)=-\frac{3}{100}(t-10)(t-20)$。

$0<t<10$ 時 $h^{\prime }(t)<0$，遞減；$10<t<20$ 時 $h^{\prime }(t)>0$，遞增；$20<t<25$ 時 $h^{\prime }(t)<0$，遞減。所以最低點只可能在 $t=10$（極小）或右端點 $t=25$。

$h(10)=-10+45-60+30=5$，$h(25)=-156.25+281.25-150+30=5$。

兩者都是 $5$，所以最低高度為 $5$ 公尺。

令 $g(x)=x^3+x-1$，$g(1)=1$，$g^{\prime }(x)=3x^2+1$，$g^{\prime }(1)=4$。由連鎖律，$f^{\prime }(x)=3(g(x){)}^2{g}^{\prime }(x)$，

$f^{\prime }(1)=3\cdot 1^2\cdot 4=12$。

由除法的微分公式，

$$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x^2+x+1)-(x^2-1)(2x+1)}{(x^2+x+1{)}^2}$$

代入 $x=0$：分子 $0-(-1)(1)=1$，分母 $1$，所以 $f^{\prime }(0)=1$。

設 $P(a,a^3-a)$。$f^{\prime }(x)=3x^2-1$，切線斜率 $f^{\prime }(a)=3a^2-1=2$，$a^2=1$，$a=1$ 或 $a=-1$。

$a=1$：$P(1,0)$，切線 $y-0=2(x-1)$，即 $y=2x-2$。

$a=-1$：$P(-1,0)$，切線 $y-0=2(x+1)$，即 $y=2x+2$。

所以切線方程式為 $y=2x-2$ 或 $y=2x+2$。

$CD$ 是上底，與 $AB$ 平行，$C$、$D$ 在拋物線上且對稱於 $y$ 軸。設 $C(t,4-t^2)$，$D(-t,4-t^2)$，$0<t<2$。上底長 $2t$，下底長 $4$，高 $4-t^2$，面積

$$S(t)=\frac{1}{2}(2t+4)(4-t^2)=(t+2)(4-t^2)=-t^3-2t^2+4t+8$$

$S^{\prime }(t)=-3t^2-4t+4=-(3t-2)(t+2)$。在 $0<t<2$ 中，$0<t<\frac{2}{3}$ 時 $S^{\prime }(t)>0$，遞增；$\frac{2}{3}<t<2$ 時 $S^{\prime }(t)<0$，遞減。所以 $t=\frac{2}{3}$ 時面積最大：

$$S\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}+2\right)\left(4-\frac{4}{9}\right)=\frac{8}{3}\cdot \frac{32}{9}=\frac{256}{27}$$