御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：多項式函數的微分與導函數的應用（選修數學乙上：導數與導函數、切線、遞增遞減與凹凸性、極值與最佳化）

北一女中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單一選擇題 2 題（12 分）、多重選擇題 3 題（30 分）、填充題 8 題（48 分）、混合題 3 小題（18 分），各大題配分合計 108 分。卷面第 14 題的 14-1、14-2、14-3 即本頁第 14、15、16 題，其餘題號與卷面相同。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題（每題 6 分，共 12 分）
1
下圖是 y=f(x)、y=f′(x)、y=f′′(x) 的部分圖形，請選出正確的對應。
  1. (1) 甲是 f(x)、乙是 f′(x)、丙 f′′(x)
  2. (2) 甲是 f′′(x)、乙是 f(x)、丙 f′(x)
  3. (3) 甲是 f′(x)、乙是 f(x)、丙 f′′(x)
  4. (4) 甲是 f′′(x)、乙是 f′(x)、丙 f(x)
  5. (5) 甲是 f′(x)、乙是 f′′(x)、丙 f(x)
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2
已知 y=f(x) 的圖形如下的折線，則 x→2lim​x−2f(x)−4​ 的值為下列哪一個選項？
  1. (1) −3
  2. (2) −1
  3. (3) 0
  4. (4) 4
  5. (5) 不存在
載入中...
二、多重選擇題（每個選項 2 分，共 30 分，整題未作答不計分。）
3
已知 f(x)=−(x−3)2+1，則下列那些選項是正確的？
  1. (1) y=f(x) 有一個極小值
  2. (2) y=f(x) 有一個反曲點
  3. (3) x<3 時，y=f(x) 圖形遞增
  4. (4) f′′(x)<0 恆成立
  5. (5) y=f(x) 在 x=3 的切線斜率為 h→0lim​hf(3+h)−f(3)​
4
已知 f(x) 為多項式函數，請選出敘述正確的選項。
  1. (1) 若 f(x) 在 x=a 處連續，則 f(x) 在 x=a 處可微分。
  2. (2) f(x) 在每一個點的導數都存在。
  3. (3) 若 f′(a)=0，則 P(a,f(a)) 為 y=f(x) 的極值點。
  4. (4) 若 f(x)>0，則 f′(x)>0。
  5. (5) 若 f′′(x)>0，則 f(x)>0。
5
已知 f(x) 為三次多項式函數，對於 y=f(x) 圖形，請選出正確的選項。
  1. (1) 至少會有一個極值點。
  2. (2) 至少存在一個實數 k 使得 f(k)=0。
  3. (3) 至少會有一條水平切線。
  4. (4) 若 P(a,f(a)) 為反曲點，則 f(a)=f(−a)。
  5. (5) 若 y=f(x) 在 P(a,f(a)) 的切線斜率最小，則 P 一定是反曲點。
三、填充題（每題 6 分，共 48 分）
6
已知 f(x)=x3+4x，求 f′(x)= ____。
7
已知 f(x)=−(x−1)2+3(x−1)+5，求 f′′(1) 的值 ____。
8
已知 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)，求 f′(1) 的值 ____。
9
試求函數 f(x)=−x4+4x3+3 的最大值為 ____。
10
已知某藥物服用 1 小時後，藥量與體溫變化的關係可寫成 T(x)=−3x3​+23​x2，其中 x 是吸收藥的劑量(毫克)，T 是體溫變化(∘C)，則當吸收 ____ (毫克)藥量時，體溫變化 T 最大。
11
設生產 x 件產品的成本函數為 C(x)=0.0001x3−0.03x2+50x+550 (元)，試利用邊際成本的概念估算，生產第 ____ 件產品時，所增加的成本最小。
12
若函數 f(x)={−x2+3x+a,mx−2,​當 x<1 時當 x≥1 時​，且 f′(1) 存在，則在 x=1 處的切線方程式為 ____。
13
已知三次函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=1 處有極小值為 0，且反曲點為 (0,4)，則數對 (a,b,c,d)= ____。
四、混合題（每題 6 分，共 18 分）
混合題第 14 題（本頁第 14～16 題）（第 14～16 題）　已知函數 f(x)=−2x3+3x2+12x−10，試回答下列問題：
14
14-1. 若 f(x)=a(x−h)3+b(x−h)+k，則下列何者為 h 的值？
  1. (1) −1
  2. (2) 0
  3. (3) 21​
  4. (4) 1
  5. (5) 2
15
14-2. 若點 A 為 y=f(x) 圖形上極大值的點，則 A 點的坐標為 ____。
16
14-3. 承上題，過切點 A 的切線為 L，求直線 L 與 y=f(x) 圖形的交點。(請寫出詳細過程)
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)
第 2 題(5)
第 3 題(3)(4)(5)
第 4 題(1)(2)
第 5 題(2)(5)
第 6 題3x2+4
第 7 題−2
第 8 題2
第 9 題30
第 10 題3
第 11 題100
第 12 題y=x−2
第 13 題(2,0,−6,4)
第 14 題(3)
第 15 題(2,10)
第 16 題(2,10) 與 (−25​,10)
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單一選擇題（第 1、2 題）：辨認 f、f'、f''，折線轉折點的導數

第 1 題答案 (4)。先找有兩個轉彎（一高一低）的曲線：丙先升、再降、再升。乙與 x 軸的兩個交點，正好在丙的最高點與最低點的正下方或正上方；而且丙上升的地方乙在 x 軸上方、丙下降的地方乙在 x 軸下方。所以乙是丙的導函數：丙是 f(x)、乙是 f′(x)。再看甲：甲與 x 軸的交點正對著乙的最低點，乙下降的地方甲是負的、乙上升的地方甲是正的，所以甲是乙的導函數，甲是 f′′(x)。
判斷原則：f 的極值點對應 f′ 的零點，f 的反曲點（也就是 f′ 的最低點）對應 f′′ 的零點。甲是一條直線，也只能當三次函數的二階導函數。
第 2 題答案 (5)。f(2)=4，所求就是 f′(2)。x 從左邊接近 2 時，點在線段 CB 上，x−2f(x)−4​ 就是 CB 的斜率 2−14−7​=−3；x 從右邊接近 2 時，點在線段 BA 上，比值是 BA 的斜率 5−21−4​=−1。左極限 −3 與右極限 −1 不相等，所以極限不存在。
選項 (1)、(2) 分別只看了左邊或右邊。折線在轉折點有尖角，那一點的導數不存在。
x−af(x)−f(a)​ 是割線斜率；左右兩邊的斜率趨近同一個數，導數才存在。

02多重選擇題（第 3～5 題）：二次函數、多項式函數、三次函數的性質

第 3 題答案 (3)(4)(5)。f(x)=−(x−3)2+1=−x2+6x−8，f′(x)=−2x+6=−2(x−3)，f′′(x)=−2。(1) 錯：x<3 時 f′(x)>0，x>3 時 f′(x)<0，x=3 是極大，f(3)=1 是極大值，圖形是開口向下的拋物線，沒有極小值。(2) 錯：f′′(x)=−2 恆為負，凹口一直向下，沒有凹凸改變的點，沒有反曲點。(3) 對：x<3 時 f′(x)=−2(x−3)>0，圖形遞增。(4) 對：f′′(x)=−2<0 對每個 x 都成立。(5) 對：在 x=3 的切線斜率就是導數 f′(3)，依定義等於 h→0lim​hf(3+h)−f(3)​（算出來是 0，切線是水平線 y=1）。
二次函數最多只有一個極值，沒有反曲點；反曲點要從三次函數起才會出現。
第 4 題答案 (1)(2)。(1) 對：多項式函數在每一點都可微分，所以不管前提如何，結論「在 x=a 處可微分」一定成立。(2) 對：同上，f′(x) 也是多項式，每一點都有值。(3) 錯：取 f(x)=x3，f′(0)=0，但 f′(x)=3x2≥0，x=0 左右兩側都遞增，(0,0) 不是極值點。(4) 錯：取 f(x)=x2+1，f(−1)=2>0，但 f′(−1)=−2<0。(5) 錯：取 f(x)=x2−1，f′′(0)=2>0，但 f(0)=−1<0。
f′(a)=0 只是極值的必要條件；還要看 f′ 在 a 的左右兩側有沒有變號。函數值的正負、導數的正負、二階導數的正負是三件互不相干的事。
第 5 題答案 (2)(5)。設 f(x)=ax3+bx2+cx+d，a=0。(1) 錯：f(x)=x3 的 f′(x)=3x2≥0，處處遞增，沒有極值點。(2) 對：a>0 時，x 很大時 f(x) 為正、x 很小（負很多）時 f(x) 為負；a<0 時正好相反。多項式函數連續，由勘根定理，中間一定有一個 k 使 f(k)=0。(3) 錯：f(x)=x3+x 的 f′(x)=3x2+1≥1，沒有斜率為 0 的切線。(4) 錯：f(x)=(x−1)3 的反曲點是 (1,0)，但 f(1)=0、f(−1)=−8，不相等。(5) 對：切線斜率 f′(x)=3ax2+2bx+c 是二次函數。若 a<0，斜率沒有最小值，題目的情形不會發生；若 a>0，斜率在頂點 x=−3ab​ 最小，而 f′′(x)=6ax+2b 在這裡由負變正，所以這一點正是反曲點。
三次函數的反曲點是圖形的對稱中心，橫坐標是 −3ab​，不一定在 y 軸上，所以 (4) 不一定成立（反曲點在 x=0 時才一定相等）。
要否定一個「一定成立」的敘述，舉一個最簡單的反例就夠：x3、x3+x、x2±1 是最常用的幾個。

03填充題（第 6～9 題）：導函數、二階導數、導數值、最大值

第 6 題逐項微分：(x3)′=3x2，(4x)′=4，所以 f′(x)=3x2+4。
第 7 題把 x−1 看成一個整體微分：f′(x)=−2(x−1)+3，再微分一次 f′′(x)=−2，所以 f′′(1)=−2。
也可以先展開：f(x)=−x2+5x+1，f′′(x)=−2，結果相同。二次函數的二階導數是常數，與 x 無關。
第 8 題展開 f(x)=x3−6x2+11x−6，f′(x)=3x2−12x+11，f′(1)=3−12+11=2。
另法：f(x)=(x−1)g(x)，其中 g(x)=(x−2)(x−3)，則 f′(x)=g(x)+(x−1)g′(x)，代 x=1 得 f′(1)=g(1)=(−1)(−2)=2。
第 9 題f′(x)=−4x3+12x2=−4x2(x−3)。x2≥0，所以 x<3 時 f′(x)≥0（只在 x=0 等於 0），f 遞增；x>3 時 f′(x)<0，f 遞減。所以 f 在 x=3 有最大值 f(3)=−81+108+3=30。
x=0 時 f′(0)=0，但左右兩側 f′ 都是正的，不是極值。四次項係數為負，x 往兩邊走時 f(x) 都變得很小，所以唯一的極大值就是最大值。
求最大值先列 f′(x) 的正負表；導數為 0 但不變號的點不是極值。

04填充題（第 10～13 題）：應用問題、邊際成本、分段函數的切線、求三次函數

第 10 題劑量 x>0。T′(x)=−x2+3x=−x(x−3)。0<x<3 時 T′(x)>0，T 遞增；x>3 時 T′(x)<0，T 遞減。所以 x=3 時 T 最大，吸收 3 毫克。
此時 T(3)=−9+227​=4.5，體溫變化最大為 4.5 度。
第 11 題邊際成本 C′(x)=0.0003x2−0.06x+50，它估算生產第 x 件產品所增加的成本。配方：C′(x)=0.0003(x2−200x)+50=0.0003(x−100)2−3+50=0.0003(x−100)2+47。所以 x=100 時邊際成本最小，生產第 100 件產品時所增加的成本最小。
邊際成本是二次函數，最小值發生在頂點，不必再微分；頂點也就是成本函數圖形的反曲點。用實際差額驗證：第 100 件增加 C(100)−C(99)=47.0001 元，第 101 件增加 C(101)−C(100)=47.0001 元，兩者並列所有相鄰差額中最小（第 99 件與第 102 件都是 47.0007 元）；題目要求用邊際成本估算，C′(x) 在 x=100 最小，所以答 100。
第 12 題f′(1) 存在，f 在 x=1 一定連續：左極限 −1+3+a=a+2 要等於 f(1)=m−2，得 a+2=m−2。再看兩側斜率：左側 (−x2+3x+a)′=−2x+3，在 x=1 是 1；右側 (mx−2)′=m。兩側相等，m=1，於是 a=−3。切點 (1,f(1))=(1,−1)，斜率 f′(1)=1，切線為 y+1=1⋅(x−1)，即 y=x−2。
可微分一定連續，所以要列「接得起來」與「斜率相同」兩個條件。x≥1 那段本身就是一條直線 y=x−2，切線就是它自己。
第 13 題f′(x)=3ax2+2bx+c，f′′(x)=6ax+2b。反曲點 (0,4)：f′′(0)=2b=0 得 b=0，f(0)=d=4。x=1 有極小值 0：f′(1)=3a+c=0，f(1)=a+c+4=0。兩式相減得 2a−4=0，a=2，c=−6。檢查：f′′(1)=12>0，f′(x)=6x2−6=6(x−1)(x+1) 在 x=1 由負變正，確實是極小。所以 (a,b,c,d)=(2,0,−6,4)。
學校答案卷這一格寫成 2x3−6x+4（即 f(x) 本身），與這裡的數對是同一組係數。反曲點是對稱中心，另一個極值點在 x=−1，極大值 f(−1)=8，與極小值 0 的平均正好是反曲點的縱坐標 4。
「在 x=a 有極值 k」給兩條方程式：f′(a)=0 與 f(a)=k；「反曲點 (p,q)」也給兩條：f′′(p)=0 與 f(p)=q。

05混合題（第 14～16 題，卷面 14-1～14-3）：對稱中心、極大點、切線與圖形的交點

第 14 題答案 (3)。f(x)=a(x−h)3+b(x−h)+k 的二階導數 f′′(x)=6a(x−h)，只在 x=h 為 0 且變號，所以 (h,k) 是反曲點。對 f(x)=−2x3+3x2+12x−10，f′′(x)=−12x+6，令其為 0 得 x=21​，故 h=21​。
也可以比較係數：展開 a(x−h)3 得 ax3−3ahx2+⋯，比較 x3 項 a=−2，比較 x2 項 −3ah=3，得 h=21​。
第 15 題f′(x)=−6x2+6x+12=−6(x2−x−2)=−6(x−2)(x+1)。−1<x<2 時 f′(x)>0，x>2 時 f′(x)<0，所以 x=2 有極大值 f(2)=−16+12+24−10=10，A(2,10)。
x=−1 是極小，f(−1)=2+3−12−10=−17。極大、極小兩點的中點 (21​,−27​) 就是上一題的反曲點。
第 16 題A(2,10) 是極大點，f′(2)=0，切線 L 是水平線 y=10。與 y=f(x) 聯立：−2x3+3x2+12x−10=10，即 2x3−3x2−12x+20=0。L 在 x=2 與圖形相切，x=2 是二重根，左式有因式 (x−2)2=x2−4x+4，用除法得 2x3−3x2−12x+20=(x−2)2(2x+5)。所以 x=2 或 x=−25​，兩個交點都在 y=10 上：交點為 (2,10) 與 (−25​,10)。
檢查：f(−25​)=−2×(−8125​)+3×425​−30−10=4125​+475​−40=10。三次方程式三根之和為 23​，2+2+(−25​)=23​，也相符。
切線與三次函數圖形聯立時，切點的橫坐標一定是二重根，先把 (x−a)2 除掉，剩下的一次式就是另一個交點。

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單選第 1 題要用極值點對應導函數的零點、反曲點對應二階導函數的零點來辨認三條曲線；單選第 2 題折線在轉折點左右斜率不同，極限不存在；多選第 5 題選項五要分首項係數正負兩種情形討論，切線斜率最小的點就是反曲點；填充第 12 題分段函數可微分要同時列出連續與左右斜率相等兩個條件。詳解逐題寫在本頁。

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