段考詳解範圍：三角函數（弧度量與扇形、三角函數的圖形與週期、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

臺南一中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

第壹部分：多選題 2 題（每題 6 分）、填充題 13 題（每題 6 分），共 90 分；第貳部分：混合題 1 題組 2 小題（4 分、6 分），共 10 分

第壹部分：選擇（填）題（占 90 分）　一、多選題（占 12 分）　說明：第 1 題至第 2 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

選出正確者：

(1) $tan \frac{π}{3} > \frac{π}{3}$
(2) $sin 2 > sin 2^{\circ}$
(3) $cos 2 > cos 2^{\circ}$
(4) $sin 3^{\circ} > sin 2^{\circ} + sin 1^{\circ}$
(5) $sin 6 + cos 6 > 0$

選出最小正週期為

π

的函數：

(1) $y = sin \frac{x}{2}$
(2) $y = sin (2 x + π)$
(3) $y = 2 sin x + π$
(4) $y = sin^{2} x - cos^{2} x$
(5) $y = ∣ sin x - cos x ∣$

二、填充題（占 78 分）　說明：第 3 題至第 15 題，每題 6 分。

一扇形的周長為

10 cm

，面積為

6 cm^{2}

，中心角為

θ

弳且

θ < 2

，求

θ =

____。

求

cos \frac{π}{8} =

____。

已知

k

為整數且

0 \leq k \leq 11

，則滿足

sin (k \cdot \frac{π}{11}) > \frac{3}{2}

的

k

有 ____ 個。

已知兩直線

y = 3 x

與

y = - 4 x

的銳夾角為

θ

，求

tan θ =

____。

0 \leq θ < 2 π

，求方程式

tan 2 θ = - tan θ

所有解之和 ____。

已知

0^{\circ} \leq θ < 36 0^{\circ}

且

- 3 sin 7 0^{\circ} + cos 7 0^{\circ} = 2 sin θ

，求滿足條件的

θ

之最大角度 ____。

已知

(cos 1) (cos 2) (cos 4) = k \cdot \frac{sin 8}{sin 1}

，求常數

k =

____。

將

y = 2 cos x

的圖形沿水平方向伸縮

a

倍（

a > 0

），再往右平移最小正單位

b

可得

y = 2 cos (\frac{x}{4} - π)

的圖形，求

b =

____。

遊樂區有一圓形摩天輪，中心軸高

30

公尺，直徑

50

公尺，逆時針方向運轉一圈需時

20

分鐘，當摩天輪開始運轉時，小美恰坐在離地面最高的位置上，

x

分鐘後，小美離地的高度可表為

y = a sin (b x + c) + d

，其中

a > 0

，

b > 0

，

0 \leq c < 2 π

，求序對

(a, b, c, d) =

____。

如圖，

△ A B C

中，

\overline{A B} = 3

，

\overline{B C} = 4

，

\overline{A C} = 5

，以

\overline{A C}

為一邊往外作一正三角形

P A C

，求

\overline{P B}^{2} =

____。

載入中...

已知

f (x) = 3 sin (\frac{x}{a} + b)

圖形距離原點最近的兩條對稱軸依序為

x = - 1

與

x = 4

，且

a > 0

，

∣ b ∣ < \frac{π}{2}

，求序對

(a, b) =

____。

△ A B C

中，

2∠ A = 3∠ B

且

\overline{B C} = 16

，

\overline{A C} = 12

，求

cos ∠ B =

____。

方程式

nπ cos x = ∣ x ∣

有

366

個實數解，求正整數

n =

____。

第貳部分：混合題（占 10 分）　說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

16－17 題組（第 16～17 題）　如圖，已知扇形

O A B

半徑

1

，中心角

∠ A O B = 9 0^{\circ}

，

P

為劣弧

A B

上的動點，過

P

作

\overline{P H} ⊥ \overline{O A}

於

H

，再作

\overline{H K} ⊥ \overline{O P}

於

K

，設

∠ P O A = θ

將

\overline{P K} + 2 \overline{K H}

表成

a sin 2 θ + b cos 2 θ + c

（

a

、

b

、

c

為常數）？（非選擇題，4 分）

載入中...

求

\overline{P K} + 2 \overline{K H}

的最大值及此時的

tan θ =

？（非選擇題，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(5)

第 2 題(2)(4)(5)

第 3 題

\frac{4}{3}

第 4 題

\frac{2 + 2}{2}

第 5 題

4

第 6 題

\frac{7}{11}

第 7 題

5 π

第 8 題

32 0^{\circ}

第 9 題

\frac{1}{8}

第 10 題

4 π

第 11 題

(25, \frac{π}{10}, \frac{π}{2}, 30)

第 12 題

25 + 123

第 13 題

(\frac{5}{π}, - \frac{3 π}{10})

第 14 題

\frac{4 13 - 1}{18}

第 15 題

182

或

183

第 16 題

sin 2 θ - \frac{1}{2} cos 2 θ + \frac{1}{2}

第 17 題最大值

\frac{1 + 5}{2}

；此時

tan θ = \frac{1 + 5}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1、2 題）：弧度與度分清楚、先化簡再看週期

第 1 題答案 (1)(2)(5)。沒有寫「

^{\circ}

」的角是弧度，

1

弧度約

57. 3^{\circ}

。(1) 對：

tan \frac{π}{3} = 3 \approx 1.732

，

\frac{π}{3} \approx 1.047

。(2) 對：

2

弧度約

114. 6^{\circ}

，

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 65. 4^{\circ} \approx 0.91

，而

sin 2^{\circ} \approx 0.035

。(3) 錯：

\frac{π}{2} < 2 < π

，

2

弧度在第二象限，

cos 2 < 0

；

cos 2^{\circ} > 0

。(4) 錯：

sin 3^{\circ} = sin (2^{\circ} + 1^{\circ}) = sin 2^{\circ} cos 1^{\circ} + cos 2^{\circ} sin 1^{\circ}

，其中

cos 1^{\circ}

、

cos 2^{\circ}

都小於

1

，所以

sin 3^{\circ} < sin 2^{\circ} + sin 1^{\circ}

。(5) 對：疊合得

sin 6 + cos 6 = 2 sin (6 + \frac{π}{4})

，而

6 + \frac{π}{4} \approx 6.785

介於

2 π \approx 6.283

與

3 π \approx 9.425

之間，正弦值為正。

(5) 也可以看象限：

\frac{7 π}{4} \approx 5.498 < 6 < 2 π

，

6

弧度在第四象限而且比

\frac{7 π}{4}

更靠近

x

軸正向，所以

cos 6

是正的而且比

∣ sin 6∣

大。用計算機核對：

sin 6 \approx - 0.279

，

cos 6 \approx 0.960

。

第 2 題答案 (2)(4)(5)。

y = sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

；平移與鉛直伸縮不改變週期。(1) 錯：週期

\frac{2 π}{1/2} = 4 π

。(2) 對：週期

\frac{2 π}{2} = π

。(3) 錯：

y = 2 sin x + π

只是把

y = sin x

鉛直伸縮

2

倍再向上平移

π

，週期仍是

2 π

。(4) 對：

sin^{2} x - cos^{2} x = - cos 2 x

，週期

π

。(5) 對：疊合得

sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，加絕對值後把

x

軸下方的部分翻上來，週期由

2 π

變成

π

。

(5) 確認沒有更小的週期：函數值為

0

只發生在

x = \frac{π}{4} + mπ

（

m

為整數），相鄰兩個相距

π

，所以週期不會比

π

小。(3) 的「

+ π

」加在函數外面，是上下平移，和 (2) 加在角裡面不同。

角沒有寫度的符號就是弧度，先換算成大約幾度、落在哪個象限再比大小；求週期先把式子化成單一個三角函數。

02填充題（第 3～5 題）：扇形、半角公式、正弦不等式

第 3 題設半徑為

r

，弧長為

r θ

。周長

2 r + r θ = 10

，所以

r θ = 10 - 2 r

。面積

\frac{1}{2} r \cdot r θ = \frac{1}{2} r (10 - 2 r) = 6

，整理得

r^{2} - 5 r + 6 = 0

，

r = 2

或

r = 3

。

r = 2

時

θ = \frac{10 - 4}{2} = 3

，不合

θ < 2

；

r = 3

時

θ = \frac{10 - 6}{3} = \frac{4}{3}

。所以

θ = \frac{4}{3}

。

扇形面積用

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，可以少解一次

θ

。兩組解的半徑與弧長剛好對調（

2

、

6

與

3

、

4

），題目用

θ < 2

挑出其中一組。

第 4 題由餘弦的二倍角公式

cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1

，取

α = \frac{π}{8}

：

cos^{2} \frac{π}{8} = \frac{1 + cos \frac{π}{4}}{2} = \frac{1 + \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 + 2}{4}

。

\frac{π}{8}

是銳角，餘弦為正，所以

cos \frac{π}{8} = \frac{2 + 2}{2}

。

約

0.924

，介於

cos \frac{π}{6} \approx 0.866

與

1

之間，合理。

第 5 題

0 \leq k \leq 11

時角

\frac{k π}{11}

在

0

到

π

之間。在這個範圍內

sin x > \frac{3}{2}

的解是

\frac{π}{3} < x < \frac{2 π}{3}

。所以

\frac{π}{3} < \frac{k π}{11} < \frac{2 π}{3}

，即

\frac{11}{3} < k < \frac{22}{3}

，約為

3.67 < k < 7.33

。整數

k = 4, 5, 6, 7

，共

4

個。

是嚴格大於，但

\frac{11}{3}

、

\frac{22}{3}

都不是整數，端點不影響個數。

03填充題（第 6～9 題）：正切的差角與二倍角、疊合、連乘餘弦

第 6 題設兩直線的斜角分別為

α

、

β

，則

tan α = 3

，

tan β = - 4

，兩直線的一個夾角是

β - α

。由正切的差角公式，

tan (β - α) = \frac{tan β - tan α}{1 + tan β tan α} = \frac{- 4 - 3}{1 + ( - 4 ) \times 3} = \frac{- 7}{- 11} = \frac{7}{11}

。這個值為正，所以

β - α

就是銳夾角，

tan θ = \frac{7}{11}

。

如果算出來是負的，表示算到的是鈍夾角，銳夾角的正切取它的絕對值。

第 7 題令

t = tan θ

，由正切的二倍角公式

tan 2 θ = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}

，方程式成為

\frac{2 t}{1 - t ^{2}} = - t

。

t = 0

是解；

t \neq = 0

時兩邊同除以

t

得

2 = - (1 - t^{2})

，

t^{2} = 3

，

t = \pm 3

（都滿足

t^{2} \neq = 1

）。在

0 \leq θ < 2 π

內：

tan θ = 0

得

θ = 0

、

π

；

tan θ = 3

得

θ = \frac{π}{3}

、

\frac{4 π}{3}

；

tan θ = - 3

得

θ = \frac{2 π}{3}

、

\frac{5 π}{3}

。所有解之和

= 0 + \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} + π + \frac{4 π}{3} + \frac{5 π}{3} = 5 π

。

θ = \frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

時

tan θ

沒有定義，不是解；六個解恰好是

\frac{mπ}{3}

（

m = 0, 1, \dots, 5

）。範圍含

θ = 0

，但它對總和沒有影響。

第 8 題左邊提出

2

疊合：

- 3 sin 7 0^{\circ} + cos 7 0^{\circ} = 2 (cos 7 0^{\circ} \cdot \frac{1}{2} - sin 7 0^{\circ} \cdot \frac{3}{2}) = 2 (cos 7 0^{\circ} cos 6 0^{\circ} - sin 7 0^{\circ} sin 6 0^{\circ}) = 2 cos 13 0^{\circ}

。所以

sin θ = cos 13 0^{\circ} = - cos 5 0^{\circ} = - sin 4 0^{\circ}

。正弦值為負，

θ

在第三或第四象限：

θ = 18 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 22 0^{\circ}

或

θ = 36 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 32 0^{\circ}

。最大的是

32 0^{\circ}

。

用計算機核對：左邊

\approx - 1.732 \times 0.9397 + 0.3420 \approx - 1.286

，

2 sin 32 0^{\circ} \approx - 1.286

。

第 9 題這裡的

1

、

2

、

4

、

8

都是弧度。角一個是前一個的兩倍，乘上

sin 1

後連續用

sin α cos α = \frac{1}{2} sin 2 α

：

sin 1 cos 1 cos 2 cos 4 = \frac{1}{2} sin 2 cos 2 cos 4 = \frac{1}{4} sin 4 cos 4 = \frac{1}{8} sin 8

。兩邊同除以

sin 1

（

sin 1 \neq = 0

）得

cos 1 cos 2 cos 4 = \frac{1}{8} \cdot \frac{sin 8}{sin 1}

，所以

k = \frac{1}{8}

。

用計算機核對：

cos 1 cos 2 cos 4 \approx 0.5403 \times (- 0.4161) \times (- 0.6536) \approx 0.1470

；

\frac{1}{8} \cdot \frac{sin 8}{sin 1} \approx \frac{1}{8} \cdot \frac{0.9894}{0.8415} \approx 0.1470

。

看到一串成兩倍的角相乘，補一個最小角的正弦，用二倍角公式一路收起來。

04填充題（第 10～12 題）：伸縮與平移、摩天輪、和角公式配餘弦定理

第 10 題沿水平方向伸縮

a

倍是把

x

換成

\frac{x}{a}

：

y = 2 cos \frac{x}{a}

。再向右平移

b

是把

x

換成

x - b

：

y = 2 cos \frac{x - b}{a} = 2 cos (\frac{x}{a} - \frac{b}{a})

。要與

y = 2 cos (\frac{x}{4} - π)

是同一個圖形，

x

的係數要相同，

a = 4

；而且

\frac{b}{4}

與

π

只能差

2 π

的整數倍：

\frac{b}{4} = π + 2 mπ

，

b = 4 π + 8 mπ

（

m

為整數）。最小的正數是

m = 0

時的

b = 4 π

。

平移量是

4 π

不是

π

：

\frac{x}{4} - π = \frac{x - 4 π}{4}

，要把

x

的係數提出來才看得到真正的平移量。伸縮後的週期是

8 π

，所以其他可能的平移量與

4 π

差

8 π

的整數倍。

第 11 題半徑

25

公尺，中心高

30

公尺，所以高度在

30 - 25 = 5

與

30 + 25 = 55

之間變動：振幅

a = 25

，中心線

d = 30

。轉一圈

20

分鐘，週期

\frac{2 π}{b} = 20

，

b = \frac{π}{10}

。

x = 0

時在最高點：

25 sin c + 30 = 55

，

sin c = 1

，在

0 \leq c < 2 π

內

c = \frac{π}{2}

。所以

(a, b, c, d) = (25, \frac{π}{10}, \frac{π}{2}, 30)

。

高度只和轉了多少角度有關，順時針或逆時針轉，高度函數都一樣。檢查：

x = 10

（轉半圈）時

y = 25 sin \frac{3 π}{2} + 30 = 5

，在最低點。

第 12 題

3^{2} + 4^{2} = 5^{2}

，所以

∠ B = 9 0^{\circ}

，

cos A = \frac{A B}{A C} = \frac{3}{5}

，

sin A = \frac{4}{5}

。正三角形

P A C

作在外側，

\overline{A P} = \overline{A C} = 5

，

∠ B A P = ∠ A + 6 0^{\circ}

。由和角公式

cos (A + 6 0^{\circ}) = cos A cos 6 0^{\circ} - sin A sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} - \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 - 4 3}{10}

。在

△ A B P

用餘弦定理：

\overline{P B}^{2} = 3^{2} + 5^{2} - 2 \times 3 \times 5 \times \frac{3 - 4 3}{10} = 34 - 3 (3 - 43) = 25 + 123

。

改從

C

看也一樣：

∠ B C P = ∠ C + 6 0^{\circ}

，

cos (C + 6 0^{\circ}) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 - 3 3}{10}

，

\overline{P B}^{2} = 16 + 25 - 40 \times \frac{4 - 3 3}{10} = 25 + 123

。約

45.78

，

\overline{P B} \approx 6.77

。

05填充題（第 13～15 題）：對稱軸、正弦定理配倍角、用圖形數解的個數

第 13 題正弦函數圖形的對稱軸通過最高點或最低點，相鄰兩條對稱軸相距半個週期。

x = - 1

與

x = 4

相鄰，所以半個週期是

5

，週期是

10

。

f (x)

的週期是

\frac{2 π}{1/ a} = 2 π a

，由

2 π a = 10

得

a = \frac{5}{π}

，

f (x) = 3 sin (\frac{π x}{5} + b)

。對稱軸上的正弦值是

\pm 1

：

x = - 1

代入，

- \frac{π}{5} + b = \frac{π}{2} + mπ

（

m

為整數），

b = \frac{7 π}{10} + mπ

。滿足

∣ b ∣ < \frac{π}{2}

的只有

m = - 1

時的

b = - \frac{3 π}{10}

。所以

(a, b) = (\frac{5}{π}, - \frac{3 π}{10})

。

檢查：

x = 4

時

\frac{4 π}{5} - \frac{3 π}{10} = \frac{π}{2}

，是最高點；

x = - 1

時

- \frac{π}{5} - \frac{3 π}{10} = - \frac{π}{2}

，是最低點。所有對稱軸是

x = - 1 + 5 m

，離原點最近的兩條確實是

x = - 1

與

x = 4

。

第 14 題設

∠ B = 2 t

，則

∠ A = 3 t

。由正弦定理

\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B}

，

\frac{16}{sin 3 t} = \frac{12}{sin 2 t}

，即

4 sin 2 t = 3 sin 3 t

。用和角公式展開

sin 3 t = sin (2 t + t) = sin 2 t cos t + cos 2 t sin t = 2 sin t cos^{2} t + (2 cos^{2} t - 1) sin t = sin t (4 cos^{2} t - 1)

。代入並用

sin 2 t = 2 sin t cos t

：

8 sin t cos t = 3 sin t (4 cos^{2} t - 1)

。

sin t \neq = 0

，約去後得

12 cos^{2} t - 8 cos t - 3 = 0

，

cos t = \frac{8 \pm 208}{24} = \frac{2 \pm 13}{6}

。

t

是銳角，取

cos t = \frac{2 + 13}{6}

。所以

cos B = cos 2 t = 2 cos^{2} t - 1 = 2 \cdot \frac{17 + 4 13}{36} - 1 = \frac{4 13 - 1}{18}

。

約

0.746

：

∠ B \approx 41. 8^{\circ}

，

∠ A \approx 62. 7^{\circ}

，

∠ C \approx 75. 5^{\circ}

，大邊

\overline{B C} = 16

對大角

A

，合理。也可以由

12 cos^{2} t = 8 cos t + 3

直接代換：

cos 2 t = \frac{8 cos t + 3}{6} - 1 = \frac{8 cos t - 3}{6}

。

第 15 題方程式兩邊都是偶函數，而

x = 0

時左邊是

nπ

、右邊是

0

，不是解；所以正、負解各一半，正解要有

183

個。

x > 0

時方程式是

cos x = \frac{x}{nπ}

，看

y = cos x

與直線

y = \frac{x}{nπ}

的交點。直線由原點往右上升，在

x = nπ

時高度到

1

，之後超過

1

不會再有交點；交點只可能出現在

cos x > 0

的區段。第一段

0 < x < \frac{π}{2}

：餘弦由

1

降到

0

，直線由

0

上升，恰

1

個交點。之後每一段

2 mπ - \frac{π}{2} < x < 2 mπ + \frac{π}{2}

（

m = 1, 2, \dots

）是一個拱形，頂點在

x = 2 mπ

、高度

1

，直線在那裡的高度是

\frac{2 m}{n}

。當

2 m < n

時直線從拱形頂點下方穿過，有

2

個交點；當

2 m = n

時直線恰好通過頂點

(nπ, 1)

，直線是斜的而拱形在頂點是平的，所以頂點左邊還有

1

個交點，連頂點共

2

個；當

2 m > n

時整個拱形都在

x > nπ

，沒有交點。若

n

是偶數，

m = 1, 2, \dots, \frac{n}{2}

各

2

個，正解共

1 + n

個；若

n

是奇數，

m = 1, 2, \dots, \frac{n - 1}{2}

各

2

個，正解共

1 + (n - 1) = n

個。令正解個數為

183

：偶數時

n = 182

，奇數時

n = 183

。所以

n = 182

或

183

。

兩個答案都要寫。

n = 182

時最後一個交點就是拱形頂點

(182 π, 1)

，別漏算；

n = 183

時直線在

x = 183 π

才到

1

，但那裡

cos x = - 1

，不是交點。

數解的個數時，先用奇偶性把範圍減半，再一個週期一個週期數；最後一個週期的邊界情形要單獨檢查。

06混合題（第 16、17 題）：線段長化成二倍角，再疊合求最大值

第 16 題

\overline{O P} = 1

，直角三角形

O H P

中

∠ P O H = θ

，所以

\overline{O H} = cos θ

，

\overline{P H} = sin θ

，且

∠ O P H = 9 0^{\circ} - θ

。

\overline{H K} ⊥ \overline{O P}

，直角三角形

P K H

中

∠ K P H = 9 0^{\circ} - θ

，斜邊

\overline{P H} = sin θ

，所以

\overline{P K} = \overline{P H} cos (9 0^{\circ} - θ) = sin^{2} θ

，

\overline{K H} = \overline{P H} sin (9 0^{\circ} - θ) = sin θ cos θ

。於是

\overline{P K} + 2 \overline{K H} = sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ

。用二倍角公式

sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}

、

2 sin θ cos θ = sin 2 θ

，得

\overline{P K} + 2 \overline{K H} = sin 2 θ - \frac{1}{2} cos 2 θ + \frac{1}{2}

，即

a = 1

，

b = - \frac{1}{2}

，

c = \frac{1}{2}

。

\overline{K H}

也可以用面積算：直角三角形

O H P

的面積

= \frac{1}{2} cos θ sin θ = \frac{1}{2} \times \overline{O P} \times \overline{K H}

，得

\overline{K H} = sin θ cos θ

。

第 17 題由第 16 題，

\overline{P K} + 2 \overline{K H} = sin 2 θ - \frac{1}{2} cos 2 θ + \frac{1}{2}

。疊合：

1^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{5}{2}

，取銳角

φ

使

cos φ = \frac{2}{5}

、

sin φ = \frac{1}{5}

，則

sin 2 θ - \frac{1}{2} cos 2 θ = \frac{5}{2} (sin 2 θ cos φ - cos 2 θ sin φ) = \frac{5}{2} sin (2 θ - φ)

。

P

在弧上，

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

，

2 θ - φ

的範圍是

- φ

到

π - φ

，其中包含

\frac{π}{2}

，所以

sin (2 θ - φ)

取得到

1

，最大值為

\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 5}{2}

。此時

2 θ = \frac{π}{2} + φ

，

sin 2 θ = cos φ = \frac{2}{5}

，

cos 2 θ = - sin φ = - \frac{1}{5}

。由

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{2 sin θ cos θ}{2 cos ^{2} θ} = \frac{sin 2 θ}{1 + cos 2 θ}

，得

tan θ = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2}{5 - 1} = \frac{1 + 5}{2}

。

最大值與此時的

tan θ

恰好是同一個數

\frac{1 + 5}{2} \approx 1.618

，題目問的是兩個量，兩個都要寫；流傳版本的參考答案只列一個式子。也可以由

tan 2 θ = \frac{sin 2 θ}{cos 2 θ} = - 2

用正切的二倍角公式解

\frac{2 t}{1 - t ^{2}} = - 2

，得

t^{2} - t - 1 = 0

，

θ

是銳角取正根。此時

θ \approx 58. 3^{\circ}

。

式子裡有

sin^{2} θ

與

sin θ cos θ

時，先用二倍角公式降成

sin 2 θ

、

cos 2 θ

的一次式，再疊合求極值；求極值時要確認角的範圍內取得到。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

臺南一中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南一中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要分清楚沒有寫度的符號的角是弧度，先換成大約幾度再判斷象限；第 10 題先伸縮再平移，平移量要把自變數的係數提出來才看得到；第 14 題要把三倍角用和角公式拆開，再配合正弦定理解出半角的餘弦；第 15 題用圖形數交點，所求的正整數是奇數或偶數時最後一個拱形的情形不同，所以有兩個答案；第 17 題疊合後還要確認角的範圍內取得到最大值，再用二倍角的正弦與餘弦求正切。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自臺南一中 113 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺南一中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

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01多選題（第 1、2 題）：弧度與度分清楚、先化簡再看週期

02填充題（第 3～5 題）：扇形、半角公式、正弦不等式

03填充題（第 6～9 題）：正切的差角與二倍角、疊合、連乘餘弦

04填充題（第 10～12 題）：伸縮與平移、摩天輪、和角公式配餘弦定理

05填充題（第 13～15 題）：對稱軸、正弦定理配倍角、用圖形數解的個數

06混合題（第 16、17 題）：線段長化成二倍角，再疊合求最大值

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常見問題

臺南一中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

臺南一中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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臺南一中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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