段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

屏東高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 4 題（每格 4 分，共 16 分）、多選題 7 題（每格 6 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，其餘 0 分，共 42 分）、填充題 7 題（每題 6 分，共 42 分）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、單選題（每格 4 分，共 16 分）

設

a = cos 11

，

b = cos 12

，

c = cos 13

，下列哪一個選項正確？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $a < b < c$
(4) $b > a > c$
(5) $c < a < b$

sin 1 9^{\circ} cos 7 9^{\circ} - sin 7 1^{\circ} cos 1 1^{\circ} =

？

(1) $- \frac{1}{2}$
(2) $- \frac{3}{2}$
(3) $\frac{3}{2}$
(4) $\frac{1}{2}$
(5) $\frac{2}{2}$

設

α

為第二象限角，

β

為第四象限角，

sin α = \frac{2}{7}

，

sin β = - \frac{1}{9}

，求

sin (α - β) =

？

(1) $\frac{5 5}{63}$
(2) $- \frac{5 5}{63}$
(3) $- \frac{13 5}{63}$
(4) $\frac{13 5}{63}$
(5) $\frac{2 5}{63}$

已知

α

，

β

，

γ

均為銳角，且

tan α = 1

，

tan β = 2

，

tan γ = 3

，則

α + β + γ =

？

(1) $9 0^{\circ}$
(2) $12 0^{\circ}$
(3) $15 0^{\circ}$
(4) $18 0^{\circ}$
(5) $21 0^{\circ}$

二、多選題（每格 6 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，其餘 0 分，共 42 分）

考慮函數

f (x) = 4 sin 2 x

，試問下列哪些選項正確？

(1) $- 4 \leq f (x) \leq 4$
(2) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 時有最大值
(3) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 時有最小值
(4) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x + π = 0$
(5) $f (4) > 0$

右圖與哪一個選項的函數圖形相符？

(1) $y = 2 sin \frac{x}{3}$
(2) $y = - 2 sin 3 x$
(3) $y = 2 sin (x - \frac{π}{3})$
(4) $y = 2 sin (3 x + 2 π)$
(5) $y = 2 cos (3 x + \frac{π}{2})$

載入中...

有一圓形的摩天輪，中心軸高

20

公尺，直徑

36

公尺，逆時針方向運轉一圈，需時

15

分鐘。當摩天輪開始運轉時，小明恰坐在離地面最近的位置上，

x

分鐘後，小明離地面高度為

y = a sin (b x + c) + d

，

a > 0

，

b > 0

，

0 < c < 2 π

，下列哪些選項正確？

(1) $a + d = 38$
(2) $a = 36$
(3) $b = \frac{2 π}{15}$
(4) $c = \frac{3 π}{2}$
(5) $d = 20$

設

0 \leq x < 2 π

，下列選項哪些正確？

(1) $sin x + cos x = 2 cos (x + \frac{π}{4})$
(2) $sin x \cdot cos x$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$
(3) $- 2 \leq sin x + cos x \leq 2$
(4) $3 sin x - 4 cos x$ 的最大值是 $5$
(5) 當 $sin x + cos x$ 為最大值時，此時 $x = \frac{π}{2}$

如圖，

△ A B C

與

△ E C D

為直角三角形，且

B

，

C

，

D

三點共線，若

\overline{A B} = 1

，

\overline{B C} = 2

，

\overline{C D} = 2

，

\overline{D E} = 3

，

∠ A C B = α

，

∠ E C D = β

，試求下列各值？

(1) $tan α = \frac{1}{2}$ ， $tan β = \frac{3}{2}$
(2) $tan (α + β) = 8$
(3) $tan ∠ A C E = 8$
(4) $sin ∠ A C E = \frac{1}{8}$
(5) $△ A C E$ 的面積 $= 4$

載入中...

若

18 0^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

，且

cos θ = - \frac{1}{3}

，下列何者正確？

(1) $sin \frac{θ}{2} = \frac{6}{3}$
(2) $cos \frac{θ}{2} = \frac{3}{3}$
(3) $sin 2 θ = \frac{4 2}{9}$
(4) $cos 2 θ = \frac{7}{9}$
(5) $cos 3 θ = \frac{23}{27}$

對於函數

y = f (x) = \frac{1}{2} (sin x + cos x)

的圖形，下列敘述哪些是正確的？

(1) $y = f (x)$ 的週期為 $π$
(2) $y = f (x)$ 的振幅為 $2$
(3) $y = f (x)$ 的圖形與 $y$ 軸的交點為 $(0, \frac{1}{2})$
(4) $y = f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸有無限多個交點
(5) $y = f (x)$ 的圖形對稱於原點

填充題：（每題 6 分，共 42 分）注意：試題答案請化為最簡分數（原卷題號 A～G，本頁接續編為第 12～18 題）

早上

8

點

50

分時，鐘面之時針、分針所夾的銳角為

\frac{◯}{◯ ◯} π

。

圓心角為

6 0^{\circ}

的扇形與其內切圓的面積比值是

\frac{◯}{◯}

。

載入中...

請問方程式

cos x = \frac{2 x}{3 π}

有

◯

個實根？

如圖，在

△ A B C

中，

∠ A B C = 9 0^{\circ}

，

\overline{A B} = 4

，

\overline{B C} = 3

，若以

\overline{A C}

為軸將

△ A B C

翻轉得共平面的

△ A B^{'} C

，則

B

點到

\overline{A B^{'}}

的距離為

\frac{◯ ◯}{◯ ◯}

。

載入中...

在三角形

A B C

中，

cos B = \frac{4}{5}

，

cos C = \frac{1}{5}

，且

\overline{B C} = 22

，則三角形

A B C

的外接圓半徑為

◯ ◯

。

若

18 0^{\circ} < α < 27 0^{\circ}

，

0^{\circ} < β < 9 0^{\circ}

，且

cos (α + β) = \frac{4}{5}

，

sin (α - β) = \frac{3}{5}

，則

cos 2 α = \frac{◯ ◯}{◯ ◯}

。

若

f (x) = 2 cos (\frac{π}{3} - x) - 2 cos x - 3

的最大值為

M

，則

M = ◯ ◯

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(1)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(5)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(1)(3)(4)(5)

第 8 題(2)(3)(4)

第 9 題(1)(2)(5)

第 10 題(1)(3)(5)

第 11 題(3)(4)

第 12 題

\frac{7}{36} π

第 13 題

\frac{3}{2}

第 14 題

3

第 15 題

\frac{96}{25}

第 16 題

55

第 17 題

\frac{- 7}{25}

第 18 題

- 1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：弧度下比大小、和角公式的三種用法

第 1 題答案 (3)。

11

、

12

、

13

沒有度的記號，都是弧度。

4 π \approx 12.566

，三個數與

4 π

的差分別是

11 - 4 π \approx - 1.566

、

12 - 4 π \approx - 0.566

、

13 - 4 π \approx 0.434

。餘弦的週期是

2 π

，且

cos (- t) = cos t

，所以

a = cos 1.566

、

b = cos 0.566

、

c = cos 0.434

（近似值）。餘弦在

0

到

π

之間遞減，而

0.434 < 0.566 < 1.566

，所以

c > b > a

，即

a < b < c

。

1.566

比

\frac{π}{2} \approx 1.571

略小，所以

a

是很接近

0

的正數。若把

11

、

12

、

13

當成度，會得到相反的順序。

第 2 題答案 (2)。用餘角關係把角度換成

1 9^{\circ}

與

1 1^{\circ}

：

cos 7 9^{\circ} = sin 1 1^{\circ}

，

sin 7 1^{\circ} = cos 1 9^{\circ}

。原式

= sin 1 9^{\circ} sin 1 1^{\circ} - cos 1 9^{\circ} cos 1 1^{\circ} = - (cos 1 9^{\circ} cos 1 1^{\circ} - sin 1 9^{\circ} sin 1 1^{\circ}) = - cos (1 9^{\circ} + 1 1^{\circ}) = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}

。

第 3 題答案 (1)。

α

在第二象限，餘弦為負：

cos α = - 1 - \frac{4}{49} = - \frac{3 5}{7}

。

β

在第四象限，餘弦為正：

cos β = 1 - \frac{1}{81} = \frac{4 5}{9}

。

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β = \frac{2}{7} \times \frac{4 5}{9} - (- \frac{3 5}{7}) \times (- \frac{1}{9}) = \frac{8 5}{63} - \frac{3 5}{63} = \frac{5 5}{63}

。

第二項是「負負得正」之後再被前面的減號減掉；正負號弄反會得到

\frac{11 5}{63}

，不在選項裡。

第 4 題答案 (4)。

tan α = 1

且

α

是銳角，所以

α = 4 5^{\circ}

。

tan (β + γ) = \frac{tan β + tan γ}{1 - tan β tan γ} = \frac{2 + 3}{1 - 6} = - 1

。

β

、

γ

都是銳角，

0^{\circ} < β + γ < 18 0^{\circ}

，在這個範圍內正切等於

- 1

的角只有

13 5^{\circ}

。所以

α + β + γ = 4 5^{\circ} + 13 5^{\circ} = 18 0^{\circ}

。

只知道正切值還不夠，要先確定角的範圍才能定出角度。

02多選 5～7：正弦函數的性質、看圖選函數、摩天輪

第 5 題答案 (1)(5)。(1) 對：

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

，乘以

4

得

- 4 \leq f (x) \leq 4

。(2) 錯：

f (\frac{π}{6}) = 4 sin \frac{π}{3} = 23

，不是最大值

4

。(3) 錯：

f (\frac{π}{2}) = 4 sin π = 0

，不是最小值

- 4

。(4) 錯：正弦型圖形的鉛直對稱軸一定通過最高點或最低點，而

f (- π) = 4 sin (- 2 π) = 0

，直線

x = - π

通過的是圖形與

x

軸的交點。(5) 對：

f (4) = 4 sin 8

，

2 π \approx 6.28 < 8 < 3 π \approx 9.42

，

8

弧度的角與

8 - 2 π \approx 1.72

同界，在第二象限，正弦為正。

最大值出現在

2 x = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{4}

；最小值出現在

x = \frac{3 π}{4}

（各再加上

π

的整數倍）。

第 6 題答案 (2)(5)。從圖讀出：最高

2

、最低

- 2

，振幅是

2

；圖形通過原點，相鄰兩個由上往下穿過

x

軸的點是

0

與

\frac{2 π}{3}

，週期是

\frac{2 π}{3}

，所以

x

的係數是

3

；過原點之後圖形往下，在

x = \frac{π}{6}

到最低點

- 2

。合起來是

y = - 2 sin 3 x

。(1) 錯：週期是

6 π

。(2) 對。(3) 錯：週期是

2 π

，且不通過原點。(4) 錯：

2 sin (3 x + 2 π) = 2 sin 3 x

，過原點之後是往上的，與圖上下相反。(5) 對：

2 cos (3 x + \frac{π}{2}) = 2 (cos 3 x cos \frac{π}{2} - sin 3 x sin \frac{π}{2}) = - 2 sin 3 x

。

題幹寫「哪一個選項」，但這題列在多選題，而且 (2) 與 (5) 是同一個函數的兩種寫法，兩個都要選。

第 7 題答案 (1)(3)(4)(5)。高度以中心軸的高度為中心上下擺動，所以

d = 20

；擺動的幅度是半徑，

a = \frac{36}{2} = 18

。轉一圈

15

分鐘，週期

\frac{2 π}{b} = 15

，

b = \frac{2 π}{15}

。

x = 0

時小明在最低點，高度

20 - 18 = 2

：

18 sin c + 20 = 2

，

sin c = - 1

，在

0 < c < 2 π

內

c = \frac{3 π}{2}

。所以

y = 18 sin (\frac{2 π}{15} x + \frac{3 π}{2}) + 20

。(1) 對：

a + d = 38

（就是最高點的高度）。(2) 錯：

a = 18

，

36

是直徑。(3)(4)(5) 對。

振幅是半徑不是直徑。高度只看上下位置，所以順時針或逆時針轉，這個式子都一樣。

03多選 8～9：疊合與極值、正切和角與補角

第 8 題答案 (2)(3)(4)。(1) 錯：

2 cos (x + \frac{π}{4}) = 2 (\frac{2}{2} cos x - \frac{2}{2} sin x) = cos x - sin x

，與

sin x + cos x

不同（例如

x = \frac{π}{2}

時左邊是

1

、右邊是

- 1

）。(2) 對：

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，

x = \frac{π}{4}

時

sin 2 x = 1

，最大值

\frac{1}{2}

。(3) 對：

sin x + cos x = 2 (\frac{2}{2} sin x + \frac{2}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，值在

- 2

與

2

之間。(4) 對：

3 sin x - 4 cos x = 5 (\frac{3}{5} sin x - \frac{4}{5} cos x) = 5 sin (x - φ)

，其中

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

；

x

走完

0

到

2 π

一整個週期，最大值是

5

。(5) 錯：由 (3)，最大值出現在

x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{4}

；

x = \frac{π}{2}

時值只有

1

。

(1) 若改成

2 cos (x - \frac{π}{4})

就對了。

第 9 題答案 (1)(2)(5)。(1) 對：直角在

B

與

D

，

tan α = \frac{A B}{B C} = \frac{1}{2}

，

tan β = \frac{D E}{C D} = \frac{3}{2}

。(2) 對：

tan (α + β) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2} \times \frac{3}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8

。(3) 錯：

B

、

C

、

D

共線，

∠ A C E = 18 0^{\circ} - (α + β)

，

tan ∠ A C E = - tan (α + β) = - 8

。(4) 錯：

sin ∠ A C E = sin (α + β)

；

α + β

介於

0^{\circ}

與

18 0^{\circ}

之間且正切為

8

，是銳角，對邊

8

、鄰邊

1

、斜邊

65

，所以

sin ∠ A C E = \frac{8}{65}

。(5) 對：

\overline{A C} = 1^{2} + 2^{2} = 5

，

\overline{C E} = 2^{2} + 3^{2} = 13

，面積

= \frac{1}{2} \times 5 \times 13 \times \frac{8}{65} = 4

。

(5) 也可以用梯形

A B D E

減去兩個直角三角形：

\frac{( 1 + 3 ) \times 4}{2} - \frac{1 \times 2}{2} - \frac{2 \times 3}{2} = 8 - 1 - 3 = 4

。

04多選 10～11：半角與倍角、疊合後的圖形性質

第 10 題答案 (1)(3)(5)。

θ

在第三象限，

sin θ = - 1 - \frac{1}{9} = - \frac{2 2}{3}

。又

9 0^{\circ} < \frac{θ}{2} < 13 5^{\circ}

，

\frac{θ}{2}

在第二象限，正弦為正、餘弦為負。(1) 對：

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{2}{3}

，

sin \frac{θ}{2} = \frac{2}{3} = \frac{6}{3}

。(2) 錯：

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{3}

，但餘弦為負，

cos \frac{θ}{2} = - \frac{3}{3}

。(3) 對：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times (- \frac{2 2}{3}) \times (- \frac{1}{3}) = \frac{4 2}{9}

。(4) 錯：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{2}{9} - 1 = - \frac{7}{9}

。(5) 對：

cos 3 θ = cos (2 θ + θ) = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = (- \frac{7}{9}) (- \frac{1}{3}) - \frac{4 2}{9} \times (- \frac{2 2}{3}) = \frac{7}{27} + \frac{16}{27} = \frac{23}{27}

。

半角的正負號看

\frac{θ}{2}

在哪個象限，不是看

θ

。

第 11 題答案 (3)(4)。疊合：

f (x) = \frac{1}{2} \times 2 sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} sin (x + \frac{π}{4})

。(1) 錯：

x

的係數是

1

，週期是

2 π

。(2) 錯：振幅是

\frac{2}{2}

。(3) 對：

f (0) = \frac{1}{2} (0 + 1) = \frac{1}{2}

。(4) 對：

sin (x + \frac{π}{4}) = 0

的解是

x = - \frac{π}{4} + k π

（

k

為整數），有無限多個。(5) 錯：

f (0) = \frac{1}{2} \neq = 0

，圖形不通過原點，不可能對稱於原點。

(2) 的

2

是

sin x + cos x

的振幅，前面還要乘上

\frac{1}{2}

。

05填充 A～C（第 12～14 題）：鐘面夾角、扇形的內切圓、用圖形數實根

第 12 題以

12

點方向為起點順時針量。分針每分鐘走

6^{\circ}

，

50

分時在

30 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

8

點

50

分時在

8 \times 3 0^{\circ} + 50 \times 0. 5^{\circ} = 26 5^{\circ}

。夾角

= 30 0^{\circ} - 26 5^{\circ} = 3 5^{\circ}

，是銳角。化成弧度：

35 \times \frac{π}{180} = \frac{7}{36} π

。

時針不是停在

8

上，

50

分鐘裡它又往前走了

2 5^{\circ}

。

第 13 題設扇形的半徑為

R

、頂點（圓心）為

O

，內切圓的半徑為

r

、圓心為

I

。

I

在

6 0^{\circ}

角的角平分線上，

I

到扇形一條半徑的距離是

r

，那條半徑與

\overline{O I}

夾

3 0^{\circ}

，所以

\overline{O I} = \frac{r}{sin 3 0 ^{\circ}} = 2 r

。內切圓又與弧相切，切點在

\overline{O I}

的延長線上：

\overline{O I} + r = R

，即

3 r = R

。扇形面積

= \frac{1}{2} R^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{π R ^{2}}{6} = \frac{9 π r ^{2}}{6} = \frac{3 π r ^{2}}{2}

，內切圓面積

= π r^{2}

，比值

= \frac{3}{2}

。

比值是「扇形比內切圓」，扇形比較大，所以答案大於

1

。

第 14 題把實根看成

y = cos x

與直線

y = \frac{2 x}{3 π}

的交點。

- 1 \leq cos x \leq 1

，交點只可能在

- 1 \leq \frac{2 x}{3 π} \leq 1

，即

- \frac{3 π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

。

x > 0

：在

0

到

\frac{π}{2}

，

cos x

由

1

降到

0

，直線由

0

升到

\frac{1}{3}

，恰交

1

點；在

\frac{π}{2}

到

\frac{3 π}{2}

，

cos x \leq 0

而直線為正，沒有交點。

x < 0

：在

- \frac{π}{2}

到

0

，

cos x \geq 0

而直線為負，沒有交點；在

x = - \frac{π}{2}

，

cos x = 0

高於直線的

- \frac{1}{3}

；在

x = - π

，

cos x = - 1

低於直線的

- \frac{2}{3}

；在

x = - \frac{3 π}{2}

，

cos x = 0

高於直線的

- 1

。高低在

- \frac{3 π}{2}

到

- π

之間換了一次，在

- π

到

- \frac{π}{2}

之間又換了一次，畫出圖形可看出這兩段各恰交

1

點。共

3

個實根。

直線通過

(\frac{3 π}{2}, 1)

與

(- \frac{3 π}{2}, - 1)

，畫圖時用這兩點定出直線最方便。

06填充 D～E（第 15～16 題）：翻轉後的距離、外接圓半徑

第 15 題直角三角形

A B C

中

\overline{A C} = 4^{2} + 3^{2} = 5

，

sin ∠ B A C = \frac{3}{5}

，

cos ∠ B A C = \frac{4}{5}

。以

\overline{A C}

為軸翻轉，

∠ B^{'} A C = ∠ B A C

，所以

∠ B A B^{'} = 2∠ B A C

。

B

到直線

A B^{'}

的距離

= \overline{A B} sin ∠ B A B^{'} = 4 sin (2∠ B A C) = 4 \times 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{96}{25}

。

cos ∠ B A B^{'} = 2 \times \frac{16}{25} - 1 = \frac{7}{25} > 0

，

∠ B A B^{'}

是銳角，垂足落在

\overline{A B^{'}}

上（距

A

為

4 \times \frac{7}{25} = \frac{28}{25}

，小於

4

），所以到線段的距離就是到直線的距離。

第 16 題

B

、

C

是三角形的內角，正弦為正：

sin B = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}

，

sin C = 1 - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}

。

sin A = sin (18 0^{\circ} - B - C) = sin (B + C) = sin B cos C + cos B sin C = \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} + \frac{4}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{11}{5 5}

。

\overline{B C}

是

∠ A

的對邊，由正弦定理

\frac{B C}{sin A} = 2 R

：

2 R = 22 \times \frac{5 5}{11} = 105

，

R = 55

。

外接圓半徑要用「邊與它的對角」；已知的邊是

\overline{B C}

，所以要先求

sin A

。

07填充 F～G（第 17～18 題）：拆角求二倍角、展開後疊合

第 17 題

2 α = (α + β) + (α - β)

。先定範圍：

18 0^{\circ} < α + β < 36 0^{\circ}

，而

cos (α + β) = \frac{4}{5} > 0

，所以

α + β

在第四象限，

sin (α + β) = - \frac{3}{5}

。

9 0^{\circ} < α - β < 27 0^{\circ}

，而

sin (α - β) = \frac{3}{5} > 0

，所以

α - β

在第二象限，

cos (α - β) = - \frac{4}{5}

。

cos 2 α = cos (α + β) cos (α - β) - sin (α + β) sin (α - β) = \frac{4}{5} \times (- \frac{4}{5}) - (- \frac{3}{5}) \times \frac{3}{5} = - \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = - \frac{7}{25}

。答案格填

\frac{- 7}{25}

（負號佔一格）。

照這組條件，

sin 2 β = sin ((α + β) - (α - β)) = (- \frac{3}{5}) (- \frac{4}{5}) - \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = 0

，會推得

β

恰為

9 0^{\circ}

，並不在題幹所寫的

0^{\circ} < β < 9 0^{\circ}

之內，是原卷條件的瑕疵；不過

α + β

、

α - β

所在的象限各只有一種可能，所求的

cos 2 α

仍是

- \frac{7}{25}

，答案格的格數也吻合。

第 18 題展開：

2 cos (\frac{π}{3} - x) = 2 (cos \frac{π}{3} cos x + sin \frac{π}{3} sin x) = cos x + 3 sin x

。所以

f (x) = 3 sin x - cos x - 3 = 2 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) - 3 = 2 sin (x - \frac{π}{6}) - 3

。

x

沒有限制，

sin (x - \frac{π}{6})

的最大值是

1

，所以

M = 2 - 3 = - 1

（例如

x = \frac{2 π}{3}

時取到）。

兩個餘弦的角不同，不能直接合併；要先把

cos (\frac{π}{3} - x)

展開，同類項合併後再疊合。

求值題先由角的範圍定出象限與正負號，再代公式；看到

a sin x + b cos x

先疊合成單一正弦，週期、振幅、極值一次看清楚。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

屏東高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題的 11、12、13 是弧度，要先減掉四個圓周率再比；多選第 6 題有兩個選項是同一個函數的不同寫法；多選第 9 題要注意所求的角是兩角和的補角，正切差一個負號；填充 C（本頁第 14 題）要畫圖並比較幾個關鍵位置的高低才能數出三個實根；填充 F（第 17 題）要先由範圍定出兩個角各在哪個象限。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

屏東高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：弧度下比大小、和角公式的三種用法

02多選 5～7：正弦函數的性質、看圖選函數、摩天輪

03多選 8～9：疊合與極值、正切和角與補角

04多選 10～11：半角與倍角、疊合後的圖形性質

05填充 A～C（第 12～14 題）：鐘面夾角、扇形的內切圓、用圖形數實根

06填充 D～E（第 15～16 題）：翻轉後的距離、外接圓半徑

07填充 F～G（第 17～18 題）：拆角求二倍角、展開後疊合

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

屏東高中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

屏東高中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

屏東高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

屏東高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

屏東高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？