段考詳解範圍：第二章直線與圓

北一女中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 112 上 高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題選項 (3) 要用兩切線垂直時圓心與切點圍成正方形來判斷、選項 (5) 要把八個格子點都找出來比斜率；第 4 題選項 (5) 交點的象限要看 a 加 b 的正負，舉例就能推翻；第 7 題要想清楚四條線中哪幾組可能圍成三角形；第 13 題 (2) 不反彈的那一條也算一個解。詳解逐題寫在本頁。

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《直線與圓》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

單選題 2 題（12 分，每題 6 分）、多選題 2 題（20 分，每題 10 分，每個選項 2 分）、填充題 8 題（48 分，每題 6 分，需完全答對才給分）、計算題 2 題（20 分：第 13 題 (1) 4 分、(2) 6 分；第 14 題 (1) 4 分、(2) 6 分），合計 100 分；可使用指定機型的計算器。本頁題號與卷面相同。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（占 12 分，每題 6 分）說明：每題有5個選項，只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得6分；答錯或未作答者，該題以零分計算。

如下圖，請問灰色區域為下列哪一個不等式組之解？

(1) $⎩ ⎨ ⎧ x + y - 9 > 0 x - y + 3 > 0 (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} > 20$
(2) $⎩ ⎨ ⎧ x + y - 9 < 0 x - y + 3 < 0 (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} > 20$
(3) $⎩ ⎨ ⎧ x + y - 9 > 0 x - y + 3 > 0 (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} < 20$
(4) $⎩ ⎨ ⎧ x + y - 9 > 0 x - y + 3 < 0 (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} < 20$
(5) $⎩ ⎨ ⎧ x + y - 9 < 0 x - y + 3 < 0 (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} < 20$

載入中...

坐標平面上，三點

A (0, 0)

，

B (0, 2)

，

C (8, 0)

，若動點

P

滿足

\overline{P A} = \overline{P B}

且

\overline{P A} = \frac{1}{3} \overline{P C}

，則動點

P

所成的軌跡圖形為下列何者？

(1) $1$ 個點
(2) $2$ 個點
(3) 一直線
(4) 一圓
(5) 不存在。

二、多選題（占 20 分，每題 10 分，每個選項 2 分）說明：每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，每答對一個選項得2分；所有選項均未作答者，該題以零分計算。

坐標平面上，畫出圓

C : (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 5

，如下圖，關於圓

C

的敘述，下列何者正確？

(1) 圓心為 $(3, 4)$ ，半徑為 $5$
(2) 過圓上一點 $A (1, 3)$ 的切線方程式為 $y - 3 = - 2 (x - 1)$
(3) 過圓外一點 $B (5, 6)$ 的兩條切線互相垂直
(4) 圓上有 $8$ 個格子點
(5) 圓上的格子點中，任取 $2$ 點的斜率最小為 $- 2$ 。

載入中...

已知直線

L_{1} : a x + b y + c = 0

，直線

L_{2} : b x - a y + c = 0

，若

a c > 0

，

ab < 0

，則下列何者正確？

(1) 直線 $L_{1}$ 的 $x$ 截距等於直線 $L_{2}$ 的 $y$ 截距
(2) 直線 $L_{1}$ 的 $y$ 截距等於直線 $L_{2}$ 的 $x$ 截距。
(3) 直線 $L_{1}$ 不通過第四象限
(4) 直線 $L_{2}$ 不通過第三象限
(5) 兩直線 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 交點在第二象限

三、填充題（占 48 分，每題 6 分）說明：請將正確答案在答案卷之「填充題答案區」作答，答案需完全答對才給分。

已知

C : x^{2} + y^{2} + 2 k x - 6 y + k^{2} + k = 0

，若

C

在坐標平面上為一圓，則

k

的範圍為 ____。

若將圓

C : x^{2} + y^{2} = 4

向右平移

h

單位後，與直線

3 x + 4 y - 25 = 0

相切，則

h =

____。

若四條直線

L_{1} : x + y = 6

，

L_{2} : x + y = 10

，

L_{3} : 2 x - 3 y + 6 = 0

，

L_{4} : x - a y + a - 8 = 0

不能圍出三角形，則

a =

____。

坐標平面上，圓

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 5 = 0

與直線

x - y - 1 = 0

交於

A, B

兩點，若以

\overline{A B}

為一邊做一圓內接矩形

A B C D

，則此矩形的面積為 ____。

求與圓

C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0

相切且互相垂直的兩條切線交點，形成的軌跡方程式為 ____。（請以圓的標準式表示）

若圓

C

通過原點與兩坐標軸交於點

A (8, 0)

與

B (0, 12)

，則圓

C

上通過原點的切線方程式為 ____。（請以直線的一般式表示）

坐標平面上，若將圓

C : x^{2} + y^{2} = 1

對於直線

L : x + y - 5 = 0

對稱，則對稱圖形方程式為 ____。（請以圓的標準式表示）

已知

△ A B C

的三頂點為

A (2, 1)

、

B (9, 8)

與

C (5, 10)

，求

△ A B C

的外心坐標為 ____。

四、計算題（占 20 分）說明：計算題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

已知撞球桌內徑長約為

250

公分，寬約為

125

公分，若不考慮撞球的大小，則可將球視為一質點。將撞球桌放到坐標平面上，四個角分別為

A (0, 0)

，

B (125, 0)

，

C (125, 250)

，

D (0, 250)

，如下圖所示。試問： (1) 雲安想將位於

(50, 25)

的白球，不經過反彈，直接擊中位於

(100, 175)

的黑球，並將白球停在

(100, 175)

的位置，試求白球行經路線之直線方程式為何？（請以直線的一般式表示，4 分） (2) 聖皓想將位於

(50, 25)

的白球，最多經過一次反彈，將白球送到底袋

C (125, 250)

的位置，則聖皓出桿時直線的斜率為何？（3 個解，6 分）

載入中...

坐標平面上，聯立不等式

{- 2 \leq 3 x + 4 y \leq 18 - 14 \leq x - 2 y \leq 6

的圖形為一個平行四邊形，試問 (1) 請在坐標平面上，標出平行四邊形的四個頂點，並圖示聯立不等式的解。（4 分） (2) 平行四邊形面積為 ____。（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(2)(4)

第 4 題(2)(3)(4)

第 5 題

k < 9

第 6 題

5

或

\frac{35}{3}

第 7 題

- 1

或

\frac{3}{2}

第 8 題

16

第 9 題

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 32

第 10 題

2 x + 3 y = 0

第 11 題

(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 1

第 12 題

(5, 5)

第 13 題(1)

3 x - y - 125 = 0

　(2)

3

、

- \frac{9}{7}

、

- \frac{11}{3}

第 14 題(1) 頂點

(- 6, 4)

、

(2, - 2)

、

(6, 0)

、

(- 2, 6)

，圖見詳解　(2)

40

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：不等式組的區域、軌跡

第 1 題答案 (3)。圖上兩條虛線分別過

(1, 8)

、

(7, 2)

與

(1, 4)

、

(7, 10)

，就是

x + y - 9 = 0

與

x - y + 3 = 0

；虛線圓的圓心在

(5, 6)

、過

(1, 8)

，半徑平方是

4^{2} + 2^{2} = 20

。灰色區域裡有圓心

(5, 6)

這一點，拿它代入判斷：

5 + 6 - 9 = 2 > 0

，

5 - 6 + 3 = 2 > 0

，

(5 - 5)^{2} + (6 - 6)^{2} = 0 < 20

。所以灰色區域在

x + y - 9 > 0

、

x - y + 3 > 0

那一側，而且在圓內，是選項 (3)。邊界都畫成虛線，表示不含邊界，三個式子都用嚴格不等號。

判斷區域最快的方法是找一個明顯在區域內的點代入，看每個式子的正負。

第 2 題答案 (2)。設

P (x, y)

。由

\overline{P A} = \overline{P B}

，

P

在

\overline{A B}

的中垂線上，即

y = 1

。由

\overline{P A} = \frac{1}{3} \overline{P C}

，得

9 \overline{P A}^{2} = \overline{P C}^{2}

：

9 (x^{2} + y^{2}) = (x - 8)^{2} + y^{2}

整理得

8 x^{2} + 8 y^{2} + 16 x - 64 = 0

，即

(x + 1)^{2} + y^{2} = 9

，是圓心

(- 1, 0)

、半徑

3

的圓。直線

y = 1

到圓心的距離是

1 < 3

，所以直線與圓交於

2

點（代入得

x^{2} + 2 x - 7 = 0

，判別式

4 + 28 > 0

）。

P

必須同時在兩個圖形上，所以軌跡是

2

個點。

02多選 3、4：圓的切線與格子點、係數正負與直線位置

第 3 題

答案 (2)(4)。圓心 $O (3, 4)$ ，半徑 $5$ 。

(1) 錯誤。 半徑是 $5$ ，不是 $5$ 。

(2) 正確。 $(1 - 3)^{2} + (3 - 4)^{2} = 5$ ， $A$ 在圓上。半徑 $\overline{O A}$ 的斜率是 $\frac{4 - 3}{3 - 1} = \frac{1}{2}$ ，切線與半徑垂直，斜率是 $- 2$ ，所以切線為 $y - 3 = - 2 (x - 1)$ 。

(3) 錯誤。 若從圓外一點 $P$ 作的兩條切線互相垂直，則圓心、兩個切點與 $P$ 圍成邊長為半徑的正方形， $\overline{O P}$ 要等於 $5 \times 2 = 10$ 。但 $\overline{O B} = 2^{2} + 2^{2} = 8 \neq = 10$ ，所以兩條切線不垂直。

(4) 正確。 格子點要使 $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 5$ ，兩個整數的平方和是 $5$ 只有 $1 + 4$ ，所以 $x - 3 = \pm 1$ 、 $y - 4 = \pm 2$ 或 $x - 3 = \pm 2$ 、 $y - 4 = \pm 1$ ，共 $4 + 4 = 8$ 個： $(4, 6)$ 、 $(2, 6)$ 、 $(4, 2)$ 、 $(2, 2)$ 、 $(5, 5)$ 、 $(1, 5)$ 、 $(5, 3)$ 、 $(1, 3)$ 。

(5) 錯誤。 取 $(4, 6)$ 與 $(5, 3)$ ，斜率是 $\frac{3 - 6}{5 - 4} = - 3 < - 2$ ，所以最小的斜率不是 $- 2$ 。

(5) 把 8 個格子點兩兩算斜率，負的最陡的是

- 3

，例如

(4, 6)

、

(5, 3)

或

(1, 5)

、

(2, 2)

。

第 4 題

答案 (2)(3)(4)。由 $a c > 0$ 知 $a$ 、 $c$ 同號，由 $ab < 0$ 知 $a$ 、 $b$ 異號，所以 $b$ 、 $c$ 異號， $a, b, c$ 都不為 $0$ 。

$L_{1}$ 的 $x$ 截距 $- \frac{c}{a} < 0$ ， $y$ 截距 $- \frac{c}{b} > 0$ ，斜率 $- \frac{a}{b} > 0$ 。 $L_{2}$ 的 $x$ 截距 $- \frac{c}{b} > 0$ ， $y$ 截距 $\frac{c}{a} > 0$ ，斜率 $\frac{b}{a} < 0$ 。

(1) 錯誤。 $L_{1}$ 的 $x$ 截距是 $- \frac{c}{a}$ ， $L_{2}$ 的 $y$ 截距是 $\frac{c}{a}$ ，兩者相等要 $c = 0$ ，與 $a c > 0$ 矛盾。

(2) 正確。 兩者都是 $- \frac{c}{b}$ 。

(3) 正確。 $L_{1}$ 斜率為正、與 $x$ 軸交在負半軸、與 $y$ 軸交在正半軸，通過第一、二、三象限，不通過第四象限。

(4) 正確。 $L_{2}$ 斜率為負、兩個截距都是正的，通過第一、二、四象限，不通過第三象限。

(5) 錯誤。 舉例 $a = 1$ 、 $b = - 1$ 、 $c = 1$ （符合 $a c > 0$ 、 $ab < 0$ ）： $L_{1} : x - y + 1 = 0$ ， $L_{2} : - x - y + 1 = 0$ ，交點是 $(0, 1)$ ，在 $y$ 軸上，不在第二象限。

這種題先把每個截距、斜率的正負號定出來，再畫草圖判斷象限。(5) 交點坐標是

(\frac{- c ( a + b )}{a ^{2} + b ^{2}}, \frac{c ( a - b )}{a ^{2} + b ^{2}})

，

x

坐標的正負要看

a + b

，不能確定。

03填充 5～8：圓的條件、相切、三角形、弦長

第 5 題配方：

(x^{2} + 2 k x + k^{2}) + (y^{2} - 6 y + 9) = 9 - k

，即

(x + k)^{2} + (y - 3)^{2} = 9 - k

。要是一個圓，右邊必須是正數：

9 - k > 0

，所以

k < 9

。

右邊等於

0

時圖形只是一點，小於

0

時沒有圖形，都不是圓。

第 6 題向右平移

h

單位後，圓心是

(h, 0)

，半徑仍是

2

。相切表示圓心到直線的距離等於半徑：

\frac{∣3 h - 25∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 2

得

∣3 h - 25∣ = 10

，

3 h - 25 = 10

或

3 h - 25 = - 10

，所以

h = \frac{35}{3}

或

h = 5

。

第 7 題

$L_{1}$ 、 $L_{2}$ 的斜率都是 $- 1$ ，互相平行； $L_{3}$ 的斜率是 $\frac{2}{3}$ ，與它們各交一點。因為 $L_{1} ∥ L_{2}$ ，四條線裡能圍出的三角形只有「 $L_{1}$ 、 $L_{3}$ 、 $L_{4}$ 」與「 $L_{2}$ 、 $L_{3}$ 、 $L_{4}$ 」兩組，兩組都圍不出來才符合題意。

情形一： $L_{4} ∥ L_{1}$ 。 $L_{4}$ 的斜率是 $\frac{1}{a}$ （ $a \neq = 0$ ）， $\frac{1}{a} = - 1$ ， $a = - 1$ ，此時 $L_{4} : x + y - 9 = 0$ ，與 $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 都平行且不重合，兩組都圍不出三角形。

情形二： $L_{4} ∥ L_{3}$ 。 $\frac{1}{a} = \frac{2}{3}$ ， $a = \frac{3}{2}$ ，此時 $L_{4} : 2 x - 3 y - 13 = 0$ ，與 $L_{3}$ 平行且不重合，兩組都圍不出三角形。

情形三： $L_{4}$ 過 $L_{1}$ 與 $L_{3}$ 的交點（三線共點）。 $L_{4}$ 可寫成 $(x - 8) - a (y - 1) = 0$ ，一定過 $(8, 1)$ ； $L_{1}$ 、 $L_{3}$ 交於 $(\frac{12}{5}, \frac{18}{5})$ ， $L_{2}$ 、 $L_{3}$ 交於 $(\frac{24}{5}, \frac{26}{5})$ 。 $(8, 1)$ 與這兩點不共線，所以 $L_{4}$ 最多只能過其中一點，另一組仍圍得出三角形，不合。 $a = 0$ 時 $L_{4}$ 是 $x = 8$ ，兩組都圍得出三角形，也不合。

所以 $a = - 1$ 或 $\frac{3}{2}$ 。

三條直線不能圍成三角形有兩種原因：有兩條平行，或三線共點。這題

L_{1} ∥ L_{2}

已經有一對平行線，要讓兩組都失敗。

第 8 題圓：

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 10

，圓心

O (1, 2)

，半徑

10

。圓心到直線

x - y - 1 = 0

的距離

d = \frac{∣1 - 2 - 1∣}{2} = 2

，弦長

\overline{A B} = 2 10 - 2 = 42

圓內接矩形的對角線是直徑

210

，所以另一邊

\overline{B C} = 40 - 32 = 22

。面積

= 42 \times 22 = 16

。

另一邊也可以這樣看：

\overline{B C}

等於圓心到兩條對邊距離的和，

2 d = 22

。

04填充 9～12：垂直切線的軌跡、切線、對稱圓、外心

第 9 題配方：

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16

，圓心

O (3, - 2)

，半徑

4

。設兩條互相垂直的切線交於

P

，切點為

T_{1}

、

T_{2}

。

∠ O T_{1} P = ∠ O T_{2} P = ∠ T_{1} P T_{2} = 9 0^{\circ}

，且

\overline{O T_{1}} = \overline{O T_{2}} = 4

，所以

O T_{1} P T_{2}

是邊長

4

的正方形，

\overline{O P} = 42

。所以

P

的軌跡是以

O

為圓心、

42

為半徑的圓：

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 32

。

第 10 題圓過

O (0, 0)

、

A (8, 0)

、

B (0, 12)

，

∠ A O B = 9 0^{\circ}

，所以

\overline{A B}

是直徑，圓心是

\overline{A B}

的中點

(4, 6)

。原點的切線垂直於半徑，半徑的斜率是

\frac{6}{4} = \frac{3}{2}

，切線斜率為

- \frac{2}{3}

，切線

y = - \frac{2}{3} x

，一般式

2 x + 3 y = 0

。

第 11 題對稱後半徑不變，只要找圓心

(0, 0)

對

L

的對稱點

(p, q)

。兩點連線垂直於

L

（

L

斜率

- 1

），所以連線斜率為

1

，

q = p

；兩點的中點

(\frac{p}{2}, \frac{q}{2})

在

L

上：

\frac{p}{2} + \frac{q}{2} - 5 = 0

，

p + q = 10

。得

p = q = 5

，對稱圓為

(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 1

。

第 12 題設外心

P (x, y)

，

\overline{P A} = \overline{P B} = \overline{P C}

。由

\overline{P A}^{2} = \overline{P B}^{2}

：

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = (x - 9)^{2} + (y - 8)^{2}

，化簡得

x + y = 10

。由

\overline{P A}^{2} = \overline{P C}^{2}

：

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 10)^{2}

，化簡得

x + 3 y = 20

。聯立得

y = 5

、

x = 5

，外心是

(5, 5)

。

檢查：

\overline{P A}^{2} = 9 + 16 = 25

，

\overline{P B}^{2} = 16 + 9 = 25

，

\overline{P C}^{2} = 0 + 25 = 25

。

05計算 13、14：撞球路線、不等式組的平行四邊形

第 13 題

(1) 白球從 $(50, 25)$ 直線走到 $(100, 175)$ ，斜率 $\frac{175 - 25}{100 - 50} = 3$ ，直線為 $y - 25 = 3 (x - 50)$ ，一般式 $3 x - y - 125 = 0$ 。

(2) 分「不反彈」與「反彈一次」討論。反彈時入射角等於反射角，等於把目標對那一條邊作對稱點，再從白球直線瞄準對稱點。

不反彈：直接打向 $C (125, 250)$ ，斜率 $\frac{250 - 25}{125 - 50} = 3$ 。(2) 的附圖只有白球、沒有黑球，所以這條路線可以直接打進；這條線正好就是 (1) 的路線 $3 x - y - 125 = 0$ ，會經過 (1) 黑球的位置。

反彈一次： $C$ 在 $\overline{B C}$ 與 $\overline{C D}$ 上，只有碰左邊 $\overline{A D}$ （ $x = 0$ ）或下邊 $\overline{A B}$ （ $y = 0$ ）才有意義。・碰 $\overline{A D}$ ： $C$ 對 $x = 0$ 的對稱點是 $(- 125, 250)$ ，斜率 $\frac{250 - 25}{- 125 - 50} = - \frac{9}{7}$ 。這條線在 $x = 0$ 時 $y = 25 + \frac{9}{7} \times 50 = \frac{625}{7}$ ，介於 $0$ 與 $250$ 之間，確實打在左邊上。・碰 $\overline{A B}$ ： $C$ 對 $y = 0$ 的對稱點是 $(125, - 250)$ ，斜率 $\frac{- 250 - 25}{125 - 50} = - \frac{11}{3}$ 。這條線在 $y = 0$ 時 $x = 50 + \frac{3}{11} \times 25 = \frac{625}{11}$ ，介於 $0$ 與 $125$ 之間，確實打在下邊上。

所以斜率是 $3$ 、 $- \frac{9}{7}$ 、 $- \frac{11}{3}$ 。

(2) 的反射路徑都要檢查打到的點真的在那一條邊的範圍內。

第 14 題

(1) 四條邊界是 $3 x + 4 y = - 2$ 、 $3 x + 4 y = 18$ 、 $x - 2 y = - 14$ 、 $x - 2 y = 6$ ，兩兩聯立求頂點：・ $3 x + 4 y = - 2$ 、 $x - 2 y = - 14$ ： $(- 6, 4)$ ・ $3 x + 4 y = - 2$ 、 $x - 2 y = 6$ ： $(2, - 2)$ ・ $3 x + 4 y = 18$ 、 $x - 2 y = 6$ ： $(6, 0)$ ・ $3 x + 4 y = 18$ 、 $x - 2 y = - 14$ ： $(- 2, 6)$ 解的區域是以這四點為頂點的平行四邊形，包含邊界（不等式都有等號），如下圖。

(2) 以 $(- 6, 4)$ 、 $(2, - 2)$ 這一邊為底，長 $8^{2} + 6^{2} = 10$ ；高是兩平行線 $3 x + 4 y = - 2$ 與 $3 x + 4 y = 18$ 的距離 $\frac{∣18 - ( - 2 ) ∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 4$ 。面積 $= 10 \times 4 = 40$ 。

載入中...

檢查區域：原點

(0, 0)

代入得

0

介於

- 2

與

18

之間、

0

介於

- 14

與

6

之間，在區域內，確實落在平行四邊形裡。

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《直線與圓》單元冊 02・高一上

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常見問題

北一女中 112 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 112 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題選項 (3) 要用兩切線垂直時圓心與切點圍成正方形來判斷、選項 (5) 要把八個格子點都找出來比斜率；第 4 題選項 (5) 交點的象限要看 a 加 b 的正負，舉例就能推翻；第 7 題要想清楚四條線中哪幾組可能圍成三角形；第 13 題 (2) 不反彈的那一條也算一個解。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自北一女中 112 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：第二章直線與圓

北一女中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

一、單選題（占 12 分，每題 6 分）說明：每題有5個選項，只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得6分；答錯或未作答者，該題以零分計算。

如下圖，請問灰色區域為下列哪一個不等式組之解？

(1) $⎩ ⎨ ⎧ x + y - 9 > 0 x - y + 3 > 0 (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} > 20$
(2) $⎩ ⎨ ⎧ x + y - 9 < 0 x - y + 3 < 0 (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} > 20$
(3) $⎩ ⎨ ⎧ x + y - 9 > 0 x - y + 3 > 0 (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} < 20$
(4) $⎩ ⎨ ⎧ x + y - 9 > 0 x - y + 3 < 0 (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} < 20$
(5) $⎩ ⎨ ⎧ x + y - 9 < 0 x - y + 3 < 0 (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} < 20$

載入中...

坐標平面上，三點

A (0, 0)

，

B (0, 2)

，

C (8, 0)

，若動點

P

滿足

\overline{P A} = \overline{P B}

且

\overline{P A} = \frac{1}{3} \overline{P C}

，則動點

P

所成的軌跡圖形為下列何者？

(1) $1$ 個點
(2) $2$ 個點
(3) 一直線
(4) 一圓
(5) 不存在。

坐標平面上，畫出圓

C : (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 5

，如下圖，關於圓

C

的敘述，下列何者正確？

(1) 圓心為 $(3, 4)$ ，半徑為 $5$
(2) 過圓上一點 $A (1, 3)$ 的切線方程式為 $y - 3 = - 2 (x - 1)$
(3) 過圓外一點 $B (5, 6)$ 的兩條切線互相垂直
(4) 圓上有 $8$ 個格子點
(5) 圓上的格子點中，任取 $2$ 點的斜率最小為 $- 2$ 。

載入中...

已知直線

L_{1} : a x + b y + c = 0

，直線

L_{2} : b x - a y + c = 0

，若

a c > 0

，

ab < 0

，則下列何者正確？

(1) 直線 $L_{1}$ 的 $x$ 截距等於直線 $L_{2}$ 的 $y$ 截距
(2) 直線 $L_{1}$ 的 $y$ 截距等於直線 $L_{2}$ 的 $x$ 截距。
(3) 直線 $L_{1}$ 不通過第四象限
(4) 直線 $L_{2}$ 不通過第三象限
(5) 兩直線 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 交點在第二象限

三、填充題（占 48 分，每題 6 分）說明：請將正確答案在答案卷之「填充題答案區」作答，答案需完全答對才給分。

已知

C : x^{2} + y^{2} + 2 k x - 6 y + k^{2} + k = 0

，若

C

在坐標平面上為一圓，則

k

的範圍為 ____。

若將圓

C : x^{2} + y^{2} = 4

向右平移

h

單位後，與直線

3 x + 4 y - 25 = 0

相切，則

h =

____。

若四條直線

L_{1} : x + y = 6

，

L_{2} : x + y = 10

，

L_{3} : 2 x - 3 y + 6 = 0

，

L_{4} : x - a y + a - 8 = 0

不能圍出三角形，則

a =

____。

坐標平面上，圓

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 5 = 0

與直線

x - y - 1 = 0

交於

A, B

兩點，若以

\overline{A B}

為一邊做一圓內接矩形

A B C D

，則此矩形的面積為 ____。

求與圓

C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0

相切且互相垂直的兩條切線交點，形成的軌跡方程式為 ____。（請以圓的標準式表示）

若圓

C

通過原點與兩坐標軸交於點

A (8, 0)

與

B (0, 12)

，則圓

C

上通過原點的切線方程式為 ____。（請以直線的一般式表示）

坐標平面上，若將圓

C : x^{2} + y^{2} = 1

對於直線

L : x + y - 5 = 0

對稱，則對稱圖形方程式為 ____。（請以圓的標準式表示）

已知

△ A B C

的三頂點為

A (2, 1)

、

B (9, 8)

與

C (5, 10)

，求

△ A B C

的外心坐標為 ____。

四、計算題（占 20 分）說明：計算題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

已知撞球桌內徑長約為

250

公分，寬約為

125

公分，若不考慮撞球的大小，則可將球視為一質點。將撞球桌放到坐標平面上，四個角分別為

A (0, 0)

，

B (125, 0)

，

C (125, 250)

，

D (0, 250)

，如下圖所示。試問： (1) 雲安想將位於

(50, 25)

的白球，不經過反彈，直接擊中位於

(100, 175)

的黑球，並將白球停在

(100, 175)

的位置，試求白球行經路線之直線方程式為何？（請以直線的一般式表示，4 分） (2) 聖皓想將位於

(50, 25)

的白球，最多經過一次反彈，將白球送到底袋

C (125, 250)

的位置，則聖皓出桿時直線的斜率為何？（3 個解，6 分）

載入中...

坐標平面上，聯立不等式

{- 2 \leq 3 x + 4 y \leq 18 - 14 \leq x - 2 y \leq 6

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(2)(4)

第 4 題(2)(3)(4)

第 5 題

k < 9

第 6 題

5

或

\frac{35}{3}

第 7 題

- 1

或

\frac{3}{2}

第 8 題

16

第 9 題

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 32

第 10 題

2 x + 3 y = 0

第 11 題

(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 1

第 12 題

(5, 5)

第 13 題(1)

3 x - y - 125 = 0

　(2)

3

、

- \frac{9}{7}

、

- \frac{11}{3}

第 14 題(1) 頂點

(- 6, 4)

、

(2, - 2)

、

(6, 0)

、

(- 2, 6)

，圖見詳解　(2)

40

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：不等式組的區域、軌跡

第 1 題答案 (3)。圖上兩條虛線分別過

(1, 8)

、

(7, 2)

與

(1, 4)

、

(7, 10)

，就是

x + y - 9 = 0

與

x - y + 3 = 0

；虛線圓的圓心在

(5, 6)

、過

(1, 8)

，半徑平方是

4^{2} + 2^{2} = 20

。灰色區域裡有圓心

(5, 6)

這一點，拿它代入判斷：

5 + 6 - 9 = 2 > 0

，

5 - 6 + 3 = 2 > 0

，

(5 - 5)^{2} + (6 - 6)^{2} = 0 < 20

。所以灰色區域在

x + y - 9 > 0

、

x - y + 3 > 0

那一側，而且在圓內，是選項 (3)。邊界都畫成虛線，表示不含邊界，三個式子都用嚴格不等號。

判斷區域最快的方法是找一個明顯在區域內的點代入，看每個式子的正負。

第 2 題答案 (2)。設

P (x, y)

。由

\overline{P A} = \overline{P B}

，

P

在

\overline{A B}

的中垂線上，即

y = 1

。由

\overline{P A} = \frac{1}{3} \overline{P C}

，得

9 \overline{P A}^{2} = \overline{P C}^{2}

：

9 (x^{2} + y^{2}) = (x - 8)^{2} + y^{2}

整理得

8 x^{2} + 8 y^{2} + 16 x - 64 = 0

，即

(x + 1)^{2} + y^{2} = 9

，是圓心

(- 1, 0)

、半徑

3

的圓。直線

y = 1

到圓心的距離是

1 < 3

，所以直線與圓交於

2

點（代入得

x^{2} + 2 x - 7 = 0

，判別式

4 + 28 > 0

）。

P

必須同時在兩個圖形上，所以軌跡是

2

個點。

02多選 3、4：圓的切線與格子點、係數正負與直線位置

第 3 題

答案 (2)(4)。圓心 $O (3, 4)$ ，半徑 $5$ 。

(1) 錯誤。 半徑是 $5$ ，不是 $5$ 。

(5) 錯誤。 取 $(4, 6)$ 與 $(5, 3)$ ，斜率是 $\frac{3 - 6}{5 - 4} = - 3 < - 2$ ，所以最小的斜率不是 $- 2$ 。

(5) 把 8 個格子點兩兩算斜率，負的最陡的是

- 3

，例如

(4, 6)

、

(5, 3)

或

(1, 5)

、

(2, 2)

。

第 4 題

答案 (2)(3)(4)。由 $a c > 0$ 知 $a$ 、 $c$ 同號，由 $ab < 0$ 知 $a$ 、 $b$ 異號，所以 $b$ 、 $c$ 異號， $a, b, c$ 都不為 $0$ 。

(1) 錯誤。 $L_{1}$ 的 $x$ 截距是 $- \frac{c}{a}$ ， $L_{2}$ 的 $y$ 截距是 $\frac{c}{a}$ ，兩者相等要 $c = 0$ ，與 $a c > 0$ 矛盾。

(2) 正確。 兩者都是 $- \frac{c}{b}$ 。

(3) 正確。 $L_{1}$ 斜率為正、與 $x$ 軸交在負半軸、與 $y$ 軸交在正半軸，通過第一、二、三象限，不通過第四象限。

(4) 正確。 $L_{2}$ 斜率為負、兩個截距都是正的，通過第一、二、四象限，不通過第三象限。

這種題先把每個截距、斜率的正負號定出來，再畫草圖判斷象限。(5) 交點坐標是

(\frac{- c ( a + b )}{a ^{2} + b ^{2}}, \frac{c ( a - b )}{a ^{2} + b ^{2}})

，

x

坐標的正負要看

a + b

，不能確定。

03填充 5～8：圓的條件、相切、三角形、弦長

第 5 題配方：

(x^{2} + 2 k x + k^{2}) + (y^{2} - 6 y + 9) = 9 - k

，即

(x + k)^{2} + (y - 3)^{2} = 9 - k

。要是一個圓，右邊必須是正數：

9 - k > 0

，所以

k < 9

。

右邊等於

0

時圖形只是一點，小於

0

時沒有圖形，都不是圓。

第 6 題向右平移

h

單位後，圓心是

(h, 0)

，半徑仍是

2

。相切表示圓心到直線的距離等於半徑：

\frac{∣3 h - 25∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 2

得

∣3 h - 25∣ = 10

，

3 h - 25 = 10

或

3 h - 25 = - 10

，所以

h = \frac{35}{3}

或

h = 5

。

第 7 題

情形二： $L_{4} ∥ L_{3}$ 。 $\frac{1}{a} = \frac{2}{3}$ ， $a = \frac{3}{2}$ ，此時 $L_{4} : 2 x - 3 y - 13 = 0$ ，與 $L_{3}$ 平行且不重合，兩組都圍不出三角形。

所以 $a = - 1$ 或 $\frac{3}{2}$ 。

三條直線不能圍成三角形有兩種原因：有兩條平行，或三線共點。這題

L_{1} ∥ L_{2}

已經有一對平行線，要讓兩組都失敗。

第 8 題圓：

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 10

，圓心

O (1, 2)

，半徑

10

。圓心到直線

x - y - 1 = 0

的距離

d = \frac{∣1 - 2 - 1∣}{2} = 2

，弦長

\overline{A B} = 2 10 - 2 = 42

圓內接矩形的對角線是直徑

210

，所以另一邊

\overline{B C} = 40 - 32 = 22

。面積

= 42 \times 22 = 16

。

另一邊也可以這樣看：

\overline{B C}

等於圓心到兩條對邊距離的和，

2 d = 22

。

04填充 9～12：垂直切線的軌跡、切線、對稱圓、外心

第 9 題配方：

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16

，圓心

O (3, - 2)

，半徑

4

。設兩條互相垂直的切線交於

P

，切點為

T_{1}

、

T_{2}

。

∠ O T_{1} P = ∠ O T_{2} P = ∠ T_{1} P T_{2} = 9 0^{\circ}

，且

\overline{O T_{1}} = \overline{O T_{2}} = 4

，所以

O T_{1} P T_{2}

是邊長

4

的正方形，

\overline{O P} = 42

。所以

P

的軌跡是以

O

為圓心、

42

為半徑的圓：

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 32

。

第 10 題圓過

O (0, 0)

、

A (8, 0)

、

B (0, 12)

，

∠ A O B = 9 0^{\circ}

，所以

\overline{A B}

是直徑，圓心是

\overline{A B}

的中點

(4, 6)

。原點的切線垂直於半徑，半徑的斜率是

\frac{6}{4} = \frac{3}{2}

，切線斜率為

- \frac{2}{3}

，切線

y = - \frac{2}{3} x

，一般式

2 x + 3 y = 0

。

第 11 題對稱後半徑不變，只要找圓心

(0, 0)

對

L

的對稱點

(p, q)

。兩點連線垂直於

L

（

L

斜率

- 1

），所以連線斜率為

1

，

q = p

；兩點的中點

(\frac{p}{2}, \frac{q}{2})

在

L

上：

\frac{p}{2} + \frac{q}{2} - 5 = 0

，

p + q = 10

。得

p = q = 5

，對稱圓為

(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 1

。

第 12 題設外心

P (x, y)

，

\overline{P A} = \overline{P B} = \overline{P C}

。由

\overline{P A}^{2} = \overline{P B}^{2}

：

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = (x - 9)^{2} + (y - 8)^{2}

，化簡得

x + y = 10

。由

\overline{P A}^{2} = \overline{P C}^{2}

：

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 10)^{2}

，化簡得

x + 3 y = 20

。聯立得

y = 5

、

x = 5

，外心是

(5, 5)

。

檢查：

\overline{P A}^{2} = 9 + 16 = 25

，

\overline{P B}^{2} = 16 + 9 = 25

，

\overline{P C}^{2} = 0 + 25 = 25

。

05計算 13、14：撞球路線、不等式組的平行四邊形

第 13 題

(1) 白球從 $(50, 25)$ 直線走到 $(100, 175)$ ，斜率 $\frac{175 - 25}{100 - 50} = 3$ ，直線為 $y - 25 = 3 (x - 50)$ ，一般式 $3 x - y - 125 = 0$ 。

(2) 分「不反彈」與「反彈一次」討論。反彈時入射角等於反射角，等於把目標對那一條邊作對稱點，再從白球直線瞄準對稱點。

所以斜率是 $3$ 、 $- \frac{9}{7}$ 、 $- \frac{11}{3}$ 。

(2) 的反射路徑都要檢查打到的點真的在那一條邊的範圍內。

第 14 題

載入中...

檢查區域：原點

(0, 0)

代入得

0

介於

- 2

與

18

之間、

0

介於

- 14

與

6

之間，在區域內，確實落在平行四邊形裡。

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01單選 1、2：不等式組的區域、軌跡

02多選 3、4：圓的切線與格子點、係數正負與直線位置

03填充 5～8：圓的條件、相切、三角形、弦長

04填充 9～12：垂直切線的軌跡、切線、對稱圓、外心

05計算 13、14：撞球路線、不等式組的平行四邊形

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04填充 9～12：垂直切線的軌跡、切線、對稱圓、外心

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北一女中 112 上 高一第二次段考數學的答案在哪裡？

北一女中 112 上 高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

北一女中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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