段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）、指數函數

武陵高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

本份考題可使用計算機。基本題 7 格（每格 4 分，共 28 分）、填充題 6 格（每格 6 分，共 36 分）、多選題 2 題（16 分，每題 8 分，錯一個選項扣 3 分，扣完為止）、手寫題 2 題共 5 小題（20 分）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算，與原卷所附答案卷上的答案逐題相同

一、基本題（每格 4 分，共 28 分）〔原卷第 1～4 題，答案格 (A)～(G)，即本頁第 1～7 題〕

基本題第 1 題（第 1～2 題）　請將下列角度進行度與弧度的互化

(a)

7 2^{\circ} =

____ 弳（以

π

表達）

(b)

- \frac{5}{36} π =

____ 度

基本題第 2 題（第 3～4 題）　（編按：原卷基本題第 2 題分 (1)、(2) 兩小題，第 (2) 小題沿用第 (1) 小題的

△ A B C

。）

(1) 如右圖，

△ A B C

為直角三角形，

\overline{A B} = 4

，

\overline{B C} = 1

，則

θ =

____ 度。（請四捨五入至小數點下第三位）

載入中...

(2) 如右圖，以 (1) 中的

△ A B C

的

\overline{A B}

為斜邊作一個直角三角形

△ A B D

，使

∠ B A D = 3 0^{\circ}

。若

\overline{C F}

和

\overline{A D}

垂直，則

\overline{C F} =

____。（請四捨五入至小數點下第二位）

載入中...

坐標平面上一點

P (tan 3, cos 6)

落在第 ____ 象限。

基本題第 4 題（第 6～7 題）　試解下列方程式：

(a)

0 \leq x < 2 π

，

sin x = - \frac{3}{2}

，則

x =

____。

(b)

3^{2 x + 2} - 28 \times 3^{x} + 3 = 0

，則實數

x =

____。

二、填充題（每格 6 分，共 36 分）〔原卷另編第 1～5 題，答案格 (H)～(M)，即本頁第 8～13 題〕

方程式

sin (x + \frac{π}{2}) = 2^{x}

在

- 2 π \leq x \leq 2 π

的範圍內，有 ____ 個實數解。

已知實數

a

滿足

3^{a} - 3^{- a} = 4

，試求

2 7^{a} - 2 7^{- a} =

____。

設

x

為實數，則

(\frac{1}{4})^{- \frac{1}{2} x^{2} + x}

有最 __甲__（填大或小）值，且此極值是 __乙__。則（甲，乙）

=

____。

將函數

y = 2 sin (3 x - \frac{π}{4}) - 4

往左平移

a

個單位（

0 < a < \frac{π}{3}

）後，剛好對稱於

y

軸。則

a =

____。

填充題第 5 題（第 12～13 題）　將六個半徑為

10

公分的圓形罐頭排列如圖（左），並用繩子將其捆一圈。（編按：原卷兩圖左右並排；本頁第 12 題的圖即圖（左）、第 13 題的圖即圖（右）。）

若不計打結處的繩長，則繩長需 ____ 公分。

載入中...

圖（右）的著色區域面積為 ____ 平方公分。

載入中...

多選題（16 分，每題 8 分，錯一個選項扣 3 分，扣完為止）〔原卷另編第 1～2 題，即本頁第 14～15 題〕

如右圖，函數

y = a sin (b x - c) + d

的圖形如右，其中

a, b > 0

，

0 \leq c < 2 π

，

A

、

B

兩點分別為波峰跟波谷，

C

點在

x

軸上。則下列選項哪些正確？

(A) $a = 2$
(B) $b = 3$
(C) $c = \frac{π}{6}$
(D) $d = 2$
(E) $C$ 點的 $x$ 坐標為 $\frac{8 π}{9}$

載入中...

若將一杯飲料從冰箱裡拿出來到室溫為

T

的房間，其溫度變化可用以下的公式表示：

f (t) = T + (f (0) - T) \times 1 0^{- k t}

，其中

f (t)

為飲料在拿出來後

t

分鐘後的溫度，

k

為一個常數。現在室溫

T = 30

度

C

，有杯飲料剛從冰箱拿出來時，溫度為

5

度

C

，則

(A) 此杯飲料的溫度與時間的關係可表達成 $f (t) = 30 - 25 \times 1 0^{- k t}$
(B) 若 $10$ 分鐘後， $f (10) = 15$ ，則 $1 0^{- 10 k} = 0.6$
(C) 承 (B)，再十分鐘後，飲料的溫度為 $25$ 度 $C$
(D) 承 (B) 之數據，飲料從拿出來後開始算起， $50$ 分鐘後的溫度已大於 $29$ 度 $C$ 。
(E) 依此公式計算，飲料的溫度永遠到達不了 $30$ 度 $C$ 。

手寫題（20 分）〔原卷另編第 1～2 題，即本頁第 16～20 題；各小題配分標於題末〕

(1) 作圖：

y = 2 sin (2 x)

（5 分）

(2) 求：方程式

2 sin (2 x) = \frac{x}{π}

有幾個實數解？（5 分）

手寫題第 2 題（第 18～20 題）　依照下列步驟求解方程式

(4^{x + \frac{1}{2}} + 4^{- x + \frac{1}{2}}) - 3 (2^{x} - 2^{- x}) - 4 = 0

(1) 令

u = 2^{x} - 2^{- x}

，經代換後，寫出

u

所滿足的方程式。（4 分）

(2) 求解

u

的值。（3 分）

(3) 求解

x

的值。（3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

\frac{2}{5} π

第 2 題

- 25

第 3 題

14.036

第 4 題

2.87

第 5 題二

第 6 題

\frac{4}{3} π

或

\frac{5}{3} π

第 7 題

1

或

- 2

第 8 題

3

第 9 題

76

第 10 題（小，

\frac{1}{2}

）

第 11 題

\frac{π}{4}

第 12 題

80 + 203 + 20 π

第 13 題

3003 - 100 π

第 14 題(A)(B)

第 15 題(A)(B)(E)

第 16 題圖形見詳解（振幅

2

、週期

π

的正弦曲線，通過原點）

第 17 題

7

個

第 18 題

2 u^{2} - 3 u = 0

第 19 題

u = 0

或

\frac{3}{2}

第 20 題

x = 0

或

1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01基本題第 1 題（答案格 A、B）：度與弧度互換

第 1 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

7 2^{\circ} = 72 \times \frac{π}{180} = \frac{2}{5} π

弳。

第 2 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

- \frac{5}{36} π = - \frac{5}{36} \times 18 0^{\circ} = - 2 5^{\circ}

。

負號要留著：負角表示順時針方向旋轉。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳。

02基本題第 2 題（答案格 C、D）：直角三角形與計算機

第 3 題由圖，直角在

B

，

θ = ∠ A

的對邊是

\overline{B C} = 1

、鄰邊是

\overline{A B} = 4

，所以

tan θ = \frac{1}{4} = 0.25

。用計算機（角度設定在「度」）按

tan^{- 1} 0.25

，得

θ \approx 14.036 2^{\circ}

，四捨五入至小數點下第三位為

14.03 6^{\circ}

。

計算機要先確認是角度制；若在弧度制會得到

0.245

，那是弧度。

第 4 題

△ A B D

中直角在

D

，

\overline{A B} = 4

、

∠ B A D = 3 0^{\circ}

，所以

\overline{B D} = 4 sin 3 0^{\circ} = 2

，而且

\overline{B D}

、

\overline{C F}

都垂直

\overline{A D}

，兩者平行。過

B

作水平線交

\overline{C F}

於

G

，則

\overline{GF} = \overline{B D} = 2

。由圖，

C

在

\overline{A B}

的上方（與

D

不同側）。接著看

\overline{B C}

的方向：

\overline{A B}

與水平方向夾

3 0^{\circ}

，而

\overline{B C} ⊥ \overline{A B}

，所以

\overline{B C}

與鉛直方向也夾

3 0^{\circ}

，即

∠ B C G = 3 0^{\circ}

。在直角三角形

B C G

中，

\overline{C G} = \overline{B C} cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。因此

\overline{C F} = \overline{C G} + \overline{GF} = 2 + \frac{3}{2} \approx 2.866

，四捨五入至小數點下第二位為

2.87

。

也可以直接按計算機：

\overline{A C} = 4^{2} + 1^{2} = 17

，

∠ C A F = 3 0^{\circ} + θ \approx 44.03 6^{\circ}

，

\overline{C F} = 17 sin 44.03 6^{\circ} \approx 2.866

，結果相同。

斜放的線段要求鉛直高度時，先找出它與鉛直方向（或水平方向）的夾角。

03基本題第 3 題（答案格 E）：弧度角的位置

第 5 題這裡的

3

、

6

都是弧度。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 3 < π \approx 3.14

，

3

弧度是第二象限角，正切值為負，

tan 3 < 0

。

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 6 < 2 π \approx 6.28

，

6

弧度是第四象限角，餘弦值為正，

cos 6 > 0

。

P

的

x

坐標為負、

y

坐標為正，落在第二象限。

用計算機（弧度制）可得

tan 3 \approx - 0.143

、

cos 6 \approx 0.960

。

04基本題第 4 題（答案格 F、G）：解方程式

第 6 題

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，所以參考角是

\frac{π}{3}

。正弦值為負的角在第三、四象限：

x = π + \frac{π}{3} = \frac{4}{3} π

或

x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5}{3} π

，兩個都在

0 \leq x < 2 π

內。

兩個解都要寫。

第 7 題

3^{2 x + 2} = 3^{2} \times (3^{x})^{2} = 9 (3^{x})^{2}

。令

t = 3^{x}

（

t > 0

），方程式變成

9 t^{2} - 28 t + 3 = 0

，即

(9 t - 1) (t - 3) = 0

，

t = \frac{1}{9}

或

t = 3

，兩個都是正數。

3^{x} = \frac{1}{9} = 3^{- 2}

得

x = - 2

；

3^{x} = 3

得

x = 1

。

代回檢查：

x = 1

時

3^{4} - 28 \times 3 + 3 = 81 - 84 + 3 = 0

；

x = - 2

時

3^{- 2} - 28 \times 3^{- 2} + 3 = \frac{1}{9} - \frac{28}{9} + \frac{27}{9} = 0

。兩個解都要寫。

指數方程式先用指數律拆開，把

3^{x}

換成

t

，變成二次方程式；記得

t > 0

。

05填充題第 1 題（答案格 H）：兩個圖形的交點個數

第 8 題實數解的個數就是

y = sin (x + \frac{π}{2})

與

y = 2^{x}

兩個圖形在

- 2 π \leq x \leq 2 π

內的交點個數。

y = sin (x + \frac{π}{2})

是把

y = sin x

的圖形往左平移

\frac{π}{2}

：最高點在

x = - 2 π

、

0

、

2 π

（值為

1

），與

x

軸交於

x = \pm \frac{π}{2}

、

\pm \frac{3 π}{2}

，最低點在

x = \pm π

。

y = 2^{x}

恆為正、一路上升，並通過

(0, 1)

。①

x = 0

：兩邊都是

1

，是一個解。②

x > 0

：

2^{x} > 1

，而正弦值最多是

1

，沒有解。③

x < 0

：

0 < 2^{x} < 1

，只可能在正弦曲線位於

x

軸上方的兩段相交。在

- \frac{π}{2} < x < 0

這一段，靠近

0

時正弦曲線在最高點附近很平、幾乎還是

1

，而

2^{x}

已經降到

1

以下，所以曲線在上（例如用計算機取

x = - 0.5

：

sin (- 0.5 + \frac{π}{2}) \approx 0.878

，

2^{- 0.5} \approx 0.707

）；到

x = - \frac{π}{2}

時正弦值降到

0

，

2^{x}

仍為正，變成曲線在下，中間交

1

點。在

- 2 π \leq x < - \frac{3 π}{2}

這一段，

x = - 2 π

時正弦值是

1

、

2^{- 2 π} \approx 0.013

，曲線在上；

x = - \frac{3 π}{2}

時正弦值是

0

，曲線在下，中間交

1

點。合計

3

個實數解。

載入中...

用計算機可以確認三個解大約是

x \approx - 4.75

、

- 1.08

、

0

。

一邊是正弦、一邊是指數的方程式解不出來，改成畫兩個圖形數交點。

06填充題第 2、3 題（答案格 I、J）：指數的運算與極值

第 9 題令

t = 3^{a}

，則

3^{- a} = \frac{1}{t}

，已知

t - \frac{1}{t} = 4

，所求是

2 7^{a} - 2 7^{- a} = t^{3} - \frac{1}{t ^{3}}

。先平方：

(t - \frac{1}{t})^{2} = t^{2} - 2 + \frac{1}{t ^{2}} = 16

，所以

t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = 18

。再用立方差公式：

t^{3} - \frac{1}{t ^{3}} = (t - \frac{1}{t}) (t^{2} + 1 + \frac{1}{t ^{2}}) = 4 \times (18 + 1) = 76

。

立方差公式

A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

，這裡

A B = t \cdot \frac{1}{t} = 1

。

第 10 題

\frac{1}{4} = 2^{- 2}

，所以

(\frac{1}{4})^{- \frac{1}{2} x^{2} + x} = 2^{- 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + x)} = 2^{x^{2} - 2 x}

。指數配方：

x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1 \geq - 1

，

x = 1

時等號成立，而且

x

離

1

越遠指數越大、沒有上限。底數

2 > 1

，指數越大函數值越大，所以原式有最小值

2^{- 1} = \frac{1}{2}

，沒有最大值。（甲，乙）

=

（小，

\frac{1}{2}

）。

不化成底數

2

也可以：

- \frac{1}{2} x^{2} + x

的最大值是

\frac{1}{2}

，底數

\frac{1}{4} < 1

時指數越大值越小，所以得到的是最小值

(\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

。底數小於

1

時大小會反過來。

07填充題第 4 題（答案格 K）：平移後對稱於 y 軸

第 11 題往左平移

a

個單位是把

x

換成

x + a

：

y = 2 sin (3 (x + a) - \frac{π}{4}) - 4 = 2 sin (3 x + 3 a - \frac{π}{4}) - 4

。正弦型圖形的對稱軸是通過最高點或最低點的鉛直線，所以「對稱於

y

軸」表示

x = 0

時恰在最高點或最低點，即

sin (3 a - \frac{π}{4}) = \pm 1

。由

0 < a < \frac{π}{3}

得

- \frac{π}{4} < 3 a - \frac{π}{4} < \frac{3 π}{4}

，這個範圍內只有

3 a - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

，所以

3 a = \frac{3 π}{4}

，

a = \frac{π}{4}

。

平移是對

x

本身做的，

a

要跟著乘以

3

；寫成

3 x + a - \frac{π}{4}

會算出

a = \frac{3 π}{4}

，超出題目的範圍。

08填充題第 5 題（答案格 L、M）：捆罐頭的繩長與著色面積

第 12 題相切的兩圓圓心相距

20

。由圖，中間那個圓與另外五個圓都相切，五個圓心在中間圓心的正上方、右上、右下、左下、左上，相鄰兩個方向夾

6 0^{\circ}

（缺正下方那一個）。繩子由五段直線與五段圓弧組成。直線部分：每段直線是相鄰兩個外圍圓的外公切線段，與兩圓心的連線平行且等長。上方四段對應的圓心距都是

20

；底下那一段對應左下、右下兩個圓心，這兩個圓心與中間圓心圍成兩腰

20

、頂角

12 0^{\circ}

的等腰三角形，底邊長

2 \times 20 \times cos 3 0^{\circ} = 203

。直線共

4 \times 20 + 203 = 80 + 203

。圓弧部分：繩子繞一圈，方向一共轉了

36 0^{\circ}

，而方向只在貼著圓的地方改變，所以五段圓弧的圓心角合計

2 π

（由上方起依序是

6 0^{\circ}

、

6 0^{\circ}

、

9 0^{\circ}

、

9 0^{\circ}

、

6 0^{\circ}

），弧長合計

10 \times 2 π = 20 π

。繩長

= 80 + 203 + 20 π

公分（約

177.5

公分）。

底下那一段不是

20

：左下與右下兩個罐頭沒有相切，中間隔著空隙。

第 13 題設左下、右下兩圓的圓心為

P

、

Q

，中間的圓心為

O

，底下的繩子與這兩圓分別切於

S

、

T

。著色區域是五邊形

P O QT S

扣掉落在裡面的三個扇形。五邊形：

△ P O Q

的底

\overline{P Q} = 203

，高是

O

到

\overline{P Q}

的距離

20 sin 3 0^{\circ} = 10

，面積

\frac{1}{2} \times 203 \times 10 = 1003

；長方形

P QT S

的長

203

、寬是半徑

10

，面積

2003

。合計

3003

。扇形：在

P

處，

\overline{P S}

朝正下方、

\overline{P O}

朝右上與水平夾

3 0^{\circ}

，夾角

9 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

；

Q

處同樣是

12 0^{\circ}

；

O

處

∠ P O Q = 12 0^{\circ}

。三個扇形的圓心角合計

36 0^{\circ}

，面積合計是一個整圓

π \times 1 0^{2} = 100 π

。著色區域面積

= 3003 - 100 π

平方公分（約

205.5

平方公分）。

三個扇形的圓心角都用弧度寫是

\frac{2 π}{3}

，面積各為

\frac{1}{2} \times 1 0^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{100 π}{3}

，三個合計

100 π

。

圓與直線圍成的區域：連圓心與切點得到多邊形，再扣掉各個扇形。

09多選題第 1、2 題：由圖形決定正弦函數、指數模型

第 14 題答案 (A)(B)。波峰的

y

坐標是

1

、波谷是

- 3

，所以振幅

a = \frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2

，中線

d = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1

。相鄰的波峰與波谷相隔半個週期：

\frac{2 π}{3} - \frac{π}{3} = \frac{π}{3}

，週期是

\frac{2 π}{3}

，由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

得

b = 3

。在波峰

x = \frac{π}{3}

處正弦值為

1

：

3 \times \frac{π}{3} - c = \frac{π}{2} + 2 k π

，

c = \frac{π}{2} - 2 k π

，配合

0 \leq c < 2 π

得

c = \frac{π}{2}

。函數是

y = 2 sin (3 x - \frac{π}{2}) - 1

。(A) 對。(B) 對。(C) 錯：

c = \frac{π}{2}

。(D) 錯：

d = - 1

。(E) 錯：

A

的下一個波峰在

x = \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} = π

，由圖

C

在這個波峰的右邊、曲線下降的地方。

y = 0

即

sin (3 x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{2}

；

x = π

時角度

3 x - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{2}

，往右正弦值第一次降到

\frac{1}{2}

是角度

\frac{5 π}{2} + \frac{π}{3} = \frac{17 π}{6}

，此時

3 x = \frac{17 π}{6} + \frac{π}{2} = \frac{10 π}{3}

，

x = \frac{10 π}{9}

。

\frac{8 π}{9}

是波峰

x = π

左邊、曲線上升時與

x

軸的交點（角度

\frac{13 π}{6}

）；兩個交點對稱於

x = π

，要看圖上

C

在波峰的哪一邊。

第 15 題答案 (A)(B)(E)。(A) 對：代入

T = 30

、

f (0) = 5

，

f (t) = 30 + (5 - 30) \times 1 0^{- k t} = 30 - 25 \times 1 0^{- k t}

。(B) 對：

f (10) = 30 - 25 \times 1 0^{- 10 k} = 15

，

25 \times 1 0^{- 10 k} = 15

，

1 0^{- 10 k} = 0.6

。(C) 錯：再十分鐘是

t = 20

，

1 0^{- 20 k} = (1 0^{- 10 k})^{2} = 0.36

，

f (20) = 30 - 25 \times 0.36 = 21

度。(D) 錯：

1 0^{- 50 k} = (1 0^{- 10 k})^{5} = 0. 6^{5} = 0.07776

，

f (50) = 30 - 25 \times 0.07776 = 28.056

度，還不到

29

度。(E) 對：

1 0^{- k t}

是

10

的次方，永遠是正數，所以

f (t) = 30 - 25 \times 1 0^{- k t}

永遠小於

30

。

10

度」而選它：指數模型是與室溫的差距每十分鐘變成

0.6

倍（

25 \to 15 \to 9

），不是每次升一樣多。

y = a sin (b x - c) + d

：

a

是波峰與波谷高度差的一半，

d

是兩者的平均，週期

\frac{2 π}{b}

由相鄰波峰波谷的距離（半個週期）決定。

10手寫題第 1 題：畫 y＝2 sin 2x 並數交點

第 16 題

y = 2 sin 2 x

是把

y = sin x

的圖形水平方向縮為

\frac{1}{2}

倍、鉛直方向伸長為

2

倍：週期

\frac{2 π}{2} = π

，振幅

2

，最大值

2

、最小值

- 2

。一個週期（

0 \leq x \leq π

）的五個關鍵點是

(0, 0)

、

(\frac{π}{4}, 2)

、

(\frac{π}{2}, 0)

、

(\frac{3 π}{4}, - 2)

、

(π, 0)

，用平滑曲線連起來，再每隔

π

重複一次，往左右延伸。

載入中...

作圖要標出振幅（

2

與

- 2

）、與

x

軸的交點（

\frac{π}{2}

的整數倍）以及最高點、最低點的位置；圖上畫的是

- 2 π

到

2 π

四個週期。

第 17 題實數解的個數是

y = 2 sin 2 x

與直線

y = \frac{x}{π}

的交點個數。

- 2 \leq 2 sin 2 x \leq 2

，所以交點只會在

- 2 \leq \frac{x}{π} \leq 2

，即

- 2 π \leq x \leq 2 π

內。①

x = 0

是一個解。②

x > 0

：直線的值為正，只需看曲線在

x

軸上方的兩段。在

0 < x < \frac{π}{2}

，曲線的最高點

(\frac{π}{4}, 2)

遠高於直線（此時直線才

\frac{1}{4}

），而

x = \frac{π}{2}

時曲線回到

0

、直線是

\frac{1}{2}

，曲線由直線上方降到下方，交

1

點。在

π < x < \frac{3 π}{2}

，直線的值從

1

升到

1.5

；曲線從

0

升到最高點

(\frac{5 π}{4}, 2)

（此時直線是

1.25

，曲線在上）再降回

0

，所以上升時交

1

點、下降時交

1

點，共

2

點。

x = 2 π

時曲線是

0

、直線是

2

，不相交；再往右直線超過

2

，沒有交點。

x > 0

共

3

個解。③兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個解。合計

1 + 3 + 3 = 7

個實數解。

載入中...

直線在

x = 2 π

才到

2

，而曲線的最高點在

\frac{π}{4}

、

\frac{5 π}{4}

，不在

2 π

，所以

x = 2 π

不是交點。原點只算一次。

先用正弦值的範圍把

x

框住，再一個波峰一個波峰比較曲線與直線的高低。

11手寫題第 2 題：換元解指數方程式

第 18 題

4^{x + \frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} \times 4^{x} = 2 \times 4^{x}

，

4^{- x + \frac{1}{2}} = 2 \times 4^{- x}

，所以括號內是

2 (4^{x} + 4^{- x})

。把

u = 2^{x} - 2^{- x}

平方：

u^{2} = (2^{x})^{2} - 2 \times 2^{x} \times 2^{- x} + (2^{- x})^{2} = 4^{x} - 2 + 4^{- x}

，所以

4^{x} + 4^{- x} = u^{2} + 2

。代入原方程式：

2 (u^{2} + 2) - 3 u - 4 = 0

，整理得

2 u^{2} - 3 u = 0

。

2^{x} \times 2^{- x} = 2^{0} = 1

，平方展開的中間項是

- 2

，所以是

u^{2} + 2

而不是

u^{2} - 2

。

第 19 題

2 u^{2} - 3 u = u (2 u - 3) = 0

，所以

u = 0

或

u = \frac{3}{2}

。

不要兩邊同除以

u

，會漏掉

u = 0

。

第 20 題①

u = 0

：

2^{x} = 2^{- x}

，指數相等，

x = - x

，

x = 0

。②

u = \frac{3}{2}

：令

t = 2^{x}

（

t > 0

），

t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}

，兩邊同乘

2 t

得

2 t^{2} - 3 t - 2 = 0

，

(2 t + 1) (t - 2) = 0

，

t = 2

或

t = - \frac{1}{2}

（負數不合），所以

2^{x} = 2

，

x = 1

。故

x = 0

或

x = 1

。

代回原方程式檢查：

x = 0

時

(2 + 2) - 0 - 4 = 0

；

x = 1

時

(8 + \frac{1}{2}) - 3 \times \frac{3}{2} - 4 = 0

。

看到

2^{x} - 2^{- x}

與

4^{x} + 4^{- x}

同時出現，把前者平方就能得到後者。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

武陵高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要看出 BC 與鉛直方向夾 30 度，把 CF 拆成兩段高度；第 8 題要畫出兩個圖形，原點那個交點別漏掉；第 13 題要連三個圓心與兩個切點，用五邊形減掉三個扇形；第 14 題的 C 點在波峰右側、曲線下降的地方，不是上升的那個交點；第 17 題右邊第二個波峰與直線有兩個交點。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

武陵高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01基本題第 1 題（答案格 A、B）：度與弧度互換

02基本題第 2 題（答案格 C、D）：直角三角形與計算機

03基本題第 3 題（答案格 E）：弧度角的位置

04基本題第 4 題（答案格 F、G）：解方程式

05填充題第 1 題（答案格 H）：兩個圖形的交點個數

06填充題第 2、3 題（答案格 I、J）：指數的運算與極值

07填充題第 4 題（答案格 K）：平移後對稱於 y 軸

08填充題第 5 題（答案格 L、M）：捆罐頭的繩長與著色面積

09多選題第 1、2 題：由圖形決定正弦函數、指數模型

10手寫題第 1 題：畫 y＝2 sin 2x 並數交點

11手寫題第 2 題：換元解指數方程式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

武陵高中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

武陵高中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

武陵高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

武陵高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

武陵高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？