段考詳解範圍：指數與對數、對數律與換底公式、指數函數與對數函數的圖形、指數與對數的應用

北一女中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 北一女中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 北一女中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要想清楚底數小於一時交點個數一定是奇數，所以不可能恰兩個；第 5 題選項三要比較兩個底數都小於一的對數，底數越接近一，絕對值越大；第 8 題底數除了大於零，還不能等於一；第 12 題方案 B 是每半年複利一次，十年共複利二十次。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 6 分，共 18 分）、多重選擇題 3 題（每題 10 分，每個選項 2 分，共 30 分）、填充題第 7 題到第 12 題（每題 6 分，共 36 分）、混合題或計算題第 13 題到第 15 題題組（第 13、14 題各 5 分，第 15 題 6 分，共 16 分），合計 100 分。卷面註明本試卷可以自行判斷採用計算器為計算工具，並限定可用的機型。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題 6 分，共 18 分。）

已知

π

為圓周率。下列哪一個式子所得的值最大？

(1) $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} 8$
(2) $9^{l o g_{9} 4}$
(3) $3 + lo g_{3} π$
(4) $lo g_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{π})^{4}$
(5) $lo g_{2} (41 + 5) + lo g_{2} (41 - 5)$

已知

a

、

b

為實數，且滿足

5^{a} = 7^{b}

，試選出正確的選項。

(1) $\frac{b}{a} < - 1$
(2) $- 1 < \frac{b}{a} < 0$
(3) $0 < \frac{b}{a} < 1$
(4) $1 < \frac{b}{a} < 2$
(5) $\frac{b}{a} > 2$

函數

y = a lo g (x + b)

的函數圖形如下，試問下列何者正確？

(1) $a > 0$ 且 $- 2 < b < - 1$
(2) $a < 0$ 且 $b < 0$
(3) $a < 0$ 且 $0 < b < 1$
(4) $a < 0$ 且 $1 < b < 2$
(5) $a < 0$ 且 $b > 2$

載入中...

二、多重選擇題（每題 10 分，每個選項 2 分，共 30 分，未作答不計分。）

下列敘述何者正確？

(1) $y = a^{x}$ 的函數圖形和 $y = lo g_{a} x$ 的函數圖形互相對稱於直線 $y = x$
(2) $y = a^{x}$ 的函數圖形和 $y = lo g_{a} x$ 的函數圖形有可能在 $a > 1$ 時沒有交點
(3) $y = a^{x}$ 的函數圖形和 $y = lo g_{a} x$ 的函數圖形有可能在 $a > 1$ 時恰一個交點
(4) $y = a^{x}$ 的函數圖形和 $y = lo g_{a} x$ 的函數圖形有可能在 $0 < a < 1$ 時恰兩個交點
(5) $y = a^{x}$ 的函數圖形和 $y = lo g_{a} x$ 的函數圖形有可能在 $0 < a < 1$ 時恰三個交點

設

\frac{1}{3} < b < 1 < a < 2

。試選出下列正確的選項。

(1) $2^{5} > a^{5}$
(2) $b^{- 5} > (\frac{1}{3})^{- 5}$
(3) $lo g_{\frac{1}{3}} 5 > lo g_{b} 5$
(4) $lo g_{2} 5 > lo g_{a} 5$
(5) $(\frac{1}{3})^{5} > lo g_{\frac{1}{3}} 5$

已知正實數

a

、

b

恆滿足

b = a^{2}

，

P (lo g a, lo g b)

為坐標平面上的點。試選出下列正確的選項。

(1) $P$ 點有可能是 $(0, 0)$
(2) $P$ 點有可能是 $(10, 210)$
(3) $P$ 點有可能在第四象限
(4) 所有可能的 $P$ 點形成一直線
(5) $P$ 點的 $x$ 坐標、 $y$ 坐標有可能同時為正整數

三、填充題（每題 6 分，共 36 分）

試計算

lo g_{2} (1 + 3) - lo g_{2} 8 + 48 =

____。

若

lo g_{(x - 1)} (4 - x)

有意義，則實數

x

的範圍為 ____。

若

a = lo g 63

、

b = lo g 21

，則

lo g 7 =

____。（利用

a

、

b

表示）

若

e

為尤拉常數，且

a = \frac{2 ^{e} + 2 ^{3 e}}{2}

、

b = 2^{2 e}

，則

a

____

b

。（填入

>

、

<

或

=

）若

c = \frac{l o g _{2} 10 + l o g _{2} 20}{2}

、

d = lo g_{2} 15

，則

c

____

d

。（填入

>

、

<

或

=

）

若將

y = lo g_{2} x

的函數圖形，經過向 ____（上、下、左、右選擇填一個）平移 ____ 單位，會得到

y = lo g_{2} (4 x)

的函數圖形。

小綠在

17

歲生日當天將

100

萬存入銀行，銀行提供兩種利率方案：方案 A：一次存入本金，利息按年單利計算，年利率

2.5%

。方案 B：一次存入本金，利息每半年複利計算一次，半年利率

1.2%

。若小綠預計在

27

歲生日隔天將這筆儲蓄提領出來，則 (1) 採用方案 A 領出的金額為 ____ 元。（四捨五入取到整數位數） (2) 採用方案 B 領出的金額為 ____ 元。（四捨五入取到整數位數）

四、混合題或計算題（共 16 分）

題組第 13～15 題（第 13～15 題）　在生物界中，若某個生物種群在一個有限的環境裡繁衍，種群數量初期近似指數增長，但隨著種群在該環境裡的密度增高，對有限資源的種內競爭也會增加，導致種群增長率不斷下降，種群數量漸漸達到該環境所能容納的最大值，稱為「種群承載力」，而這種增長動態稱為「邏輯斯諦增長(Logistic Growth)」，其增長曲線如圖所示。當種群數量達到「種群承載力」的一半時，增長率達到最高峰，之後增長率就會不斷下滑，科學家把曲線上的這個點稱為「轉折點」。已知 A 菌在生態實驗池裡的邏輯斯諦函數為

y = f (x) = L \cdot \frac{1}{1 + e ^{3 - 0.2 x}}

其中，常數 L 為種群承載力（單位：億隻），

e

為尤拉常數，

y

為放入 A 菌

x

小時後該菌的種群數量。試回答下列問題：

圖中「轉折點」的

x

坐標應為 ____。（填充題，5 分）

載入中...

若最初放入的 A 菌數量為

L \cdot r %

（單位：億隻），試利用計算機計算出 r 的整數部分數值。（填充題，5 分）

試利用計算機找出哪個整數

x

會使 A 菌數量最接近種群承載力的

9

成。（計算題，需寫出完整過程依照內容斟酌給扣分，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)

第 3 題(4)

第 4 題(1)(2)(3)(5)

第 5 題(1)(3)(5)

第 6 題(1)(2)(4)(5)

第 7 題

- \frac{1}{2}

第 8 題

1 < x < 4

且

x \neq = 2

第 9 題

2 b - a

第 10 題

a > b

；

c < d

第 11 題向上平移

2

單位

第 12 題(1)

1250000

；(2)

1269434

第 13 題

15

第 14 題

4

第 15 題

x = 26

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：對數比大小、取對數求比值、由圖形判斷係數

第 1 題

答案 (4)。逐一化簡：

(1) 換底公式： $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} 8 = \frac{l o g 3}{l o g 2} \cdot \frac{l o g 5}{l o g 3} \cdot \frac{l o g 8}{l o g 5} = \frac{l o g 8}{l o g 2} = 3$ 。

(2) $9^{l o g_{9} 4} = 4$ 。

(3) $3 + lo g_{3} π$ 。因為 $π > 3$ ， $lo g_{3} π > 1$ ，所以這個值大於 $4$ 。

(4) $lo g_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{π})^{4} = lo g_{\frac{1}{3}} π^{- 4} = \frac{- 4 l o g π}{- l o g 3} = 4 lo g_{3} π$ 。

(5) 對數律： $lo g_{2} [(41 + 5) (41 - 5)] = lo g_{2} (41 - 25) = lo g_{2} 16 = 4$ 。

最後比 (3) 與 (4)： $4 lo g_{3} π - (3 + lo g_{3} π) = 3 (lo g_{3} π - 1) > 0$ ，所以 (4) 最大。

用計算機：

lo g_{3} π \approx 1.042

，(3) 約

4.042

，(4) 約

4.168

。

第 2 題

答案 (3)。題目要討論 $\frac{b}{a}$ ，所以 $a \neq = 0$ 。兩邊取常用對數：

$a lo g 5 = b lo g 7 ⟹ \frac{b}{a} = \frac{lo g 5}{lo g 7}$

因為 $1 < 5 < 7$ ，所以 $0 < lo g 5 < lo g 7$ ，得 $0 < \frac{b}{a} < 1$ 。

用計算機：

\frac{l o g 5}{l o g 7} \approx 0.827

。也可以這樣想：

5^{a} = 7^{b}

且

a \neq = 0

時，

a

、

b

同號，而底數較大的

7

只要較小的指數就能得到同一個值，所以

∣ b ∣ < ∣ a ∣

。

第 3 題

答案 (4)。

先看 $a$ 的正負：圖形由左上往右下，函數遞減。 $y = lo g (x + b)$ 是把 $y = lo g x$ 左右平移，仍然遞增；乘上 $a$ 之後變成遞減，所以 $a < 0$ 。

再看 $b$ ：圖形與 $x$ 軸的交點滿足 $a lo g (x + b) = 0$ ，即 $x + b = 1$ ， $x = 1 - b$ 。由圖，這個交點在 $- 1$ 與 $0$ 之間：

$- 1 < 1 - b < 0 ⟹ 1 < b < 2$

所以選 (4)。

也可以看漸近線：定義域是

x > - b

，圖形在左邊往上衝的位置大約在

x = - 1.5

，所以

- b

介於

- 2

與

- 1

之間，同樣得

1 < b < 2

。

02多重選擇題（第 4～6 題）：指數與對數圖形的交點、大小比較、對數坐標點

第 4 題

答案 (1)(2)(3)(5)。這裡 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ 。

(1) 正確。 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ 。

先整理一個事實：若點 $(p, q)$ 同時在兩個圖形上，由對稱性，點 $(q, p)$ 也同時在兩個圖形上。

(2) 正確。 取 $a = 2$ 。 $a > 1$ 時兩個函數都遞增：若交點 $(p, q)$ 有 $p < q$ ，則 $q = 2^{p} < 2^{q} = p$ ，矛盾； $p > q$ 也一樣矛盾，所以交點一定在直線 $y = x$ 上，也就是 $2^{x} = x$ 的解。而 $2^{x} > x$ 對所有實數都成立（ $x \leq 0$ 時左邊正、右邊不正； $0 < x \leq 1$ 時 $2^{x} > 1 \geq x$ ； $x > 1$ 時取正整數 $n$ 使 $n \leq x < n + 1$ ，則 $2^{x} \geq 2^{n} \geq n + 1 > x$ ），所以沒有交點。

(3) 正確。 同 (2)， $a > 1$ 時交點就是 $a^{x} = x$ 的解。 $a = 2$ 時 $x = 2$ 、 $x = 4$ 都是解（ $2^{2} = 2$ 、 $2^{4} = 4$ ），有兩個交點； $a = 2$ 時沒有交點。 $a$ 從 $2$ 慢慢增大到 $2$ ，曲線 $y = a^{x}$ 在 $x > 0$ 的部分慢慢往上抬，與直線 $y = x$ 的兩個交點互相靠近，在恰好相切的那一刻合成一點，這時恰一個交點。這是從圖形連續變化看出來的，考試時這樣判斷就可以。

(4) 錯誤。 $0 < a < 1$ 時， $y = a^{x}$ 遞減、 $y = x$ 遞增，兩者在直線 $y = x$ 上恰交一點（ $x = 0$ 時 $a^{0} = 1 > 0$ ， $x = 1$ 時 $a^{1} < 1$ ，中間交一次）。不在直線 $y = x$ 上的交點，由上面的事實一定成對出現（ $(p, q)$ 與 $(q, p)$ ）。所以交點個數是 $1$ 加上一個偶數，一定是奇數，不可能恰兩個。

(5) 正確。 取 $a = \frac{1}{16}$ 。 $(\frac{1}{16})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}$ 、 $(\frac{1}{16})^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ ，所以點 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ 與 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ 都在 $y = (\frac{1}{16})^{x}$ 上；由對稱性它們也都在 $y = lo g_{\frac{1}{16}} x$ 上。再加上直線 $y = x$ 上的那一個交點，由圖形可看出只有這三個：兩條曲線都遞減，在直線 $y = x$ 上只交一點；不在 $y = x$ 上的交點以 $(p, q)$ 、 $(q, p)$ 成對出現，圖上只看得到這一對，所以恰有三個交點。

(3) 補充（不必會，需微分）：相切時

a = e^{\frac{1}{e}} \approx 1.4447

，切點是

(e, e)

；這個值要用到高三的微分才算得出來。 (5) 直線

y = x

上的交點約在

x \approx 0.364

。底數小於

1

且很小時才會出現三個交點；底數接近

1

時只有一個。

第 5 題

答案 (1)(3)(5)。

(1) 正確。 兩邊取常用對數比較： $5 lo g 2$ 與 $5 lo g a$ 。因為 $a < 2$ ， $lo g a < lo g 2$ ，所以 $5 lo g 2 > 5 lo g a$ ，即 $2^{5} > a^{5}$ 。

(2) 錯誤。 $b^{- 5} = (\frac{1}{b})^{5}$ ， $(\frac{1}{3})^{- 5} = 3^{5}$ 。由 $\frac{1}{3} < b < 1$ 得 $1 < \frac{1}{b} < 3$ ，同 (1) 的道理 $(\frac{1}{b})^{5} < 3^{5}$ ，所以 $b^{- 5} < (\frac{1}{3})^{- 5}$ 。

(3) 正確。 換底： $lo g_{\frac{1}{3}} 5 = \frac{l o g 5}{l o g \frac{1}{3}} = - \frac{l o g 5}{l o g 3}$ ， $lo g_{b} 5 = \frac{l o g 5}{l o g b} = - \frac{l o g 5}{- l o g b}$ 。由 $\frac{1}{3} < b < 1$ 得 $0 < - lo g b < lo g 3$ ，所以 $\frac{l o g 5}{- l o g b} > \frac{l o g 5}{l o g 3}$ ，加負號後不等號反向： $lo g_{b} 5 < lo g_{\frac{1}{3}} 5$ 。

(4) 錯誤。 $lo g_{2} 5 = \frac{l o g 5}{l o g 2}$ ， $lo g_{a} 5 = \frac{l o g 5}{l o g a}$ 。由 $1 < a < 2$ 得 $0 < lo g a < lo g 2$ ，分母越小值越大，所以 $lo g_{a} 5 > lo g_{2} 5$ 。

(5) 正確。 左邊 $(\frac{1}{3})^{5} > 0$ ；右邊底數 $\frac{1}{3} < 1$ 、真數 $5 > 1$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{3}} 5 < 0$ 。正數大於負數。

(3) 的直覺：底數小於

1

時，底數越接近

1

，同一個真數的對數絕對值越大。例如

b = \frac{1}{2}

時

lo g_{\frac{1}{2}} 5 \approx - 1.16

，而

lo g_{\frac{1}{3}} 5 \approx - 0.73

。

第 6 題

答案 (1)(2)(4)(5)。令 $t = lo g a$ ， $t$ 可以是任意實數（ $a = 1 0^{t}$ ）。由 $b = a^{2}$ ， $lo g b = 2 lo g a = 2 t$ ，所以 $P = (t, 2 t)$ 。

(1) 正確。 $a = 1$ 、 $b = 1$ 時 $P = (0, 0)$ 。

(2) 正確。 $t = 10$ ，即 $a = 1 0^{10}$ 、 $b = 1 0^{210}$ 時 $P = (10, 210)$ 。

(3) 錯誤。 第四象限要 $x > 0$ 、 $y < 0$ ，但 $y = 2 t$ 與 $x = t$ 同號，不可能。

(4) 正確。 所有的 $P$ 都在直線 $y = 2 x$ 上，而且 $t$ 可以是任意實數，所以 $P$ 點就是整條直線 $y = 2 x$ 。

(5) 正確。 $a = 10$ 、 $b = 100$ 時 $P = (1, 2)$ ，兩個坐標都是正整數。

比較對數大小時，先用換底公式把它們寫成同一個量的倍數或倒數，再注意底數小於 1 時正負與不等號的方向。

03填充題（第 7～10 題）：對數律、對數有意義的條件、比大小

第 7 題

先化簡雙重根號： $48 = 43$ ，

$8 + 43 = 6 + 2 + 212 = (6 + 2)^{2}$

所以 $8 + 48 = 6 + 2 = 2 (3 + 1)$ 。代入：

$lo g_{2} (1 + 3) - lo g_{2} [2 (1 + 3)] = lo g_{2} \frac{1 + 3}{2 ( 1 + 3 )} = lo g_{2} \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$

第 8 題

對數 $lo g_{(x - 1)} (4 - x)$ 有意義要同時滿足：

底數 $x - 1 > 0$ 且 $x - 1 \neq = 1$ ，即 $x > 1$ 且 $x \neq = 2$ ；

真數 $4 - x > 0$ ，即 $x < 4$ 。

所以 $1 < x < 4$ 且 $x \neq = 2$ 。

容易漏掉「底數不能等於

1

」，也就是

x \neq = 2

。

第 9 題

$63 = 3^{2} \times 7$ 、 $21 = 3 \times 7$ ，所以

$a = 2 lo g 3 + lo g 7, b = lo g 3 + lo g 7$

由第二式 $lo g 3 = b - lo g 7$ ，代入第一式： $a = 2 b - 2 lo g 7 + lo g 7 = 2 b - lo g 7$ ，所以 $lo g 7 = 2 b - a$ 。

代回檢查：

2 b - a = 2 lo g 21 - lo g 63 = lo g \frac{2 1 ^{2}}{63} = lo g \frac{441}{63} = lo g 7

。

第 10 題

第一格： $2^{e}$ 與 $2^{3 e}$ 都是正數，由算幾不等式

$a = \frac{2 ^{e} + 2 ^{3 e}}{2} \geq 2^{e} \cdot 2^{3 e} = 2^{4 e} = 2^{2 e} = b$

等號只在 $2^{e} = 2^{3 e}$ 時成立，但 $e \neq = 3 e$ ，所以等號不成立， $a > b$ 。

第二格：由對數律

$c = \frac{lo g _{2} ( 10 \times 20 )}{2} = \frac{1}{2} lo g_{2} 200 = lo g_{2} 200$

$200 < 225 = 15$ ，而 $y = lo g_{2} x$ 是遞增函數，所以 $c < d$ 。

用計算機：

c \approx 3.822

，

d \approx 3.907

。

04填充題（第 11、12 題）：對數圖形的平移、單利與複利

第 11 題由對數律，

lo g_{2} (4 x) = lo g_{2} 4 + lo g_{2} x = 2 + lo g_{2} x

。所以

y = lo g_{2} (4 x)

的圖形，就是把

y = lo g_{2} x

的每一點的

y

坐標加

2

，也就是向上平移

2

單位。

題目限定只能往一個方向平移；

lo g_{2} (4 x)

不是把

x

換成

x

加減一個數，所以不能用左右平移得到。

第 12 題

從 $17$ 歲生日到 $27$ 歲生日共 $10$ 年。 $27$ 歲生日隔天提領，多出的一天不滿一期（方案 A 一年、方案 B 半年），不另計利息，所以方案 A 算 $10$ 年、方案 B 算 $20$ 期。

(1) 單利：每年的利息都是本金的 $2.5%$ ， $10$ 年後領出

$1000000 \times (1 + 0.025 \times 10) = 1000000 \times 1.25 = 1250000 元$

(2) 每半年複利一次， $10$ 年共複利 $20$ 次，每次乘 $1.012$ ：

$1000000 \times 1.01 2^{20} \approx 1000000 \times 1.2694344 \approx 1269434 元$

1.01 2^{20}

可用計算機連乘求得，約為

1.26943436

；四捨五入到整數得

1269434

元。

單利是本金乘上利率再乘期數；複利是每期乘上同一個倍數，期數要依「多久複利一次」來數。

05題組（第 13～15 題）：邏輯斯諦增長

第 13 題

轉折點是數量達到承載力一半的點，也就是 $f (x) = \frac{1}{2} L$ ：

$L \cdot \frac{1}{1 + e ^{3 - 0.2 x}} = \frac{1}{2} L ⟹ 1 + e^{3 - 0.2 x} = 2 ⟹ e^{3 - 0.2 x} = 1 = e^{0}$

所以 $3 - 0.2 x = 0$ ， $x = 15$ 。

第 14 題

最初放入的數量就是 $x = 0$ 時的 $y$ ：

$f (0) = L \cdot \frac{1}{1 + e ^{3}}$

令它等於 $L \cdot r % = L \cdot \frac{r}{100}$ ，得 $r = \frac{100}{1 + e ^{3}}$ 。用計算機， $e^{3} \approx 20.0855$ ，所以

$r \approx \frac{100}{21.0855} \approx 4.74$

$r$ 的整數部分是 $4$ 。

第 15 題

先求數量恰好是承載力的 $9$ 成時的 $x$ ：

$L \cdot \frac{1}{1 + e ^{3 - 0.2 x}} = 0.9 L ⟹ 1 + e^{3 - 0.2 x} = \frac{10}{9} ⟹ e^{3 - 0.2 x} = \frac{1}{9} ⟹ e^{0.2 x - 3} = 9$

兩邊取常用對數： $(0.2 x - 3) lo g e = lo g 9$ ，

$0.2 x - 3 = \frac{lo g 9}{lo g e} \approx \frac{0.9542}{0.4343} \approx 2.1972 ⟹ x \approx \frac{5.1972}{0.2} \approx 25.99$

$f$ 隨 $x$ 增加而增加，所以最接近的整數只可能是 $25$ 或 $26$ 。用計算機比較：

$f (25) = \frac{L}{1 + e ^{- 2}} \approx 0.8808 L, f (26) = \frac{L}{1 + e ^{- 2.2}} \approx 0.9002 L$

$f (26)$ 與 $0.9 L$ 只差約 $0.0002 L$ ， $f (25)$ 差約 $0.0192 L$ ，所以 $x = 26$ 時 A 菌數量最接近種群承載力的 $9$ 成。

x

越大，

e^{3 - 0.2 x}

越小，

f (x)

越大，所以

f

是遞增函數；

x = 27

時

f (27) \approx 0.9168 L

，離

0.9 L

更遠。

模型題先把「達到幾成」寫成方程式，把指數部分單獨移到一邊，再取對數解出時間；問整數時把兩側的整數都代回去比較。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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常見問題

北一女中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要想清楚底數小於一時交點個數一定是奇數，所以不可能恰兩個；第 5 題選項三要比較兩個底數都小於一的對數，底數越接近一，絕對值越大；第 8 題底數除了大於零，還不能等於一；第 12 題方案 B 是每半年複利一次，十年共複利二十次。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 15 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1～3 題）：對數比大小、取對數求比值、由圖形判斷係數

02多重選擇題（第 4～6 題）：指數與對數圖形的交點、大小比較、對數坐標點

03填充題（第 7～10 題）：對數律、對數有意義的條件、比大小

04填充題（第 11、12 題）：對數圖形的平移、單利與複利

05題組（第 13～15 題）：邏輯斯諦增長

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

北一女中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

北一女中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

北一女中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

北一女中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

北一女中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？