段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、圖形的平移與伸縮）

屏東高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

是非題 4 題（每題 5 分）、單選題 4 題（每題 5 分）、多選題 2 題（每題 5 分）、選填題 10 題（依答對題數給分，共 50 分），合計 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、是非題：每題 5 分，下列敘述正確的請選「1」，錯誤的請選「2」。

半徑為

2

，圓心角為

3 0^{\circ}

的扇形之弧長為

60

。

函數

y = 2 sin 3 x

，週期為

\frac{2 π}{3}

。

將函數

y = sin 2 x

的圖形往上平移

2

單位，可得函數

y = sin 2 x + 2

的圖形。

將函數

y = sin x

的圖形往右平移

1

單位，可得函數

y = sin (x + 1)

的圖形。

二、單選題：每題 5 分

下列哪一個選項跟

x

軸有交點？

(1) $y = sin x + \frac{1}{3}$
(2) $y = sin x + 3$
(3) $y = sin x - 1.5$
(4) $y = sin x - π$
(5) $y = sin x - 2$

下列何者的圖形可由

y = sin x

的圖形水平縮為

0.5

倍，再鉛直放大

3

倍後得到？

(1) $y = 2 sin 3 x$
(2) $y = 3 sin 2 x$
(3) $y = 2 sin \frac{x}{3}$
(4) $y = 3 sin \frac{x}{2}$
(5) $y = sin \frac{3 x}{2}$

sin π + cos \frac{π}{2} + tan 2 π =

？

(1) $- 2$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $2$

設

a = sin 1

，

b = sin 2

，

c = sin 3

，則

a

、

b

、

c

的大小關係為下列哪一個選項？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $c > a > b$
(5) $c > b > a$

三、多選題：每題 5 分，全對得 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分。

下列哪些為負數？

(1) $sin 1$
(2) $cos 2$
(3) $tan 3$
(4) $sin 4$
(5) $cos 5$

試問

y = sin (x + \frac{2 π}{5})

的圖形可由

y = sin x

的圖形如何平移得到？

(1) 往左平移 $\frac{2 π}{5}$ 單位
(2) 往右平移 $\frac{2 π}{5}$ 單位
(3) 往左平移 $\frac{8 π}{5}$ 單位
(4) 往右平移 $\frac{8 π}{5}$ 單位
(5) 往左平移 $\frac{12 π}{5}$ 單位

四、選填題：（答對題數與總得分的關係如下，共 50 分）答對 1 題得 8 分、2 題 16 分、3 題 23 分、4 題 30 分、5 題 35 分、6 題 40 分、7 題 43 分、8 題 46 分、9 題 48 分、10 題 50 分（原卷題號 A～J，本頁編為第 11～20 題）

2 π

弳等於 ____ 度。（卷面答案格 3 格）

求

sin π + cos \frac{2 π}{3} + tan (- \frac{π}{4})

的值為 ____。（答案請化為最簡分數）（卷面答案格為分數：分子 2 格、分母 1 格）

附圖是函數

y = f (x) = a sin k x + b

在某一個週期內的圖形，求

a + b + k =

____。（卷面答案格 1 格）

載入中...

如附圖，矩形

A B C D

中，

\overline{A B} = 26

，

\overline{B C} = 62

，以

\overline{A B}

、

\overline{A D}

為直徑作半圓交於

P

，則鋪色區域面積為 ____。（卷面答案格的形式為

◯ π - ◯ ◯

，共 3 格）

載入中...

一扇形的弧長為

6

，面積也為

6

，求此扇形的弧度為 ____ 弳。（卷面答案格 1 格）

在

0 \leq x \leq 2 π

範圍內，方程式

sin x = - \frac{1}{2}

有兩解

α

和

β

，求

α + β =

____

π

。（卷面答案格 1 格）

設

0 \leq θ < 2 π

，且

sin θ > \frac{1}{2}

，則

θ

的範圍為

α < θ < β

，求

β - α =

____

π

。（答案請化為最簡分數）（卷面答案格為分數：分子 1 格、分母 1 格）

第 18～19 題為題組（原卷選填 H、I）（第 18～19 題）　某交流電的電流強度

I

（安培）與時間

t

（秒）可用函數

I = 100 sin (100 π t + \frac{5 π}{6}) + 23

表示。

求最大電流為 ____ 安培。（卷面答案格 3 格）

承上題（原卷選填 H），求電流的週期為 ____ 毫秒。（

1

秒

= 1000

毫秒）（卷面答案格 2 格）

遊樂區中有一圓形摩天輪逆時針方向運轉一圈需時

15

分鐘。當摩天輪開始運轉時，小明恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，小明離地的高度可表為

y = a sin (b x - \frac{π}{2}) + c

公尺，其中

a > 0

。已知小明離地距離最高為

42

公尺，最低為

2

公尺，求數對

(a, c) =

____。（卷面答案格為

(◯ ◯, ◯ ◯)

，共 4 格）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 5 題(1)

第 6 題(2)

第 7 題(3)

第 8 題(3)

第 9 題(2)(3)(4)

第 10 題(1)(4)(5)

第 11 題

360

第 12 題

- \frac{3}{2}

第 13 題

6

第 14 題

5 π - 63

第 15 題

3

第 16 題

3

（即

α + β = 3 π

）

第 17 題

\frac{2}{3}

（即

β - α = \frac{2}{3} π

）

第 18 題

123

第 19 題

20

第 20 題

(20, 22)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～4 題：弧長、週期與圖形的平移

第 1 題2選「2」。弧長公式

s = r θ

的圓心角

θ

要用弧度。

3 0^{\circ} = 30 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{6}

，所以弧長

= 2 \times \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，約

1.05

，不是

60

。

60

是把

2 \times 30

直接相乘的結果，角度沒有換成弧度。整個圓的周長才

4 π \approx 12.6

，弧長不可能是

60

。

第 2 題1選「1」。

y = a sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

。這裡

k = 3

，週期

= \frac{2 π}{3}

。

前面的係數

2

只影響振幅，不影響週期。

第 3 題1選「1」。圖形往上平移

2

單位，就是每一點的

y

坐標都加

2

，函數變成

y = sin 2 x + 2

。

第 4 題2選「2」。往右平移

1

單位是把

x

換成

x - 1

，得到

y = sin (x - 1)

。

y = sin (x + 1)

是往左平移

1

單位的結果。

檢查：

y = sin x

通過原點；往右平移

1

單位後應通過

(1, 0)

，而

sin (1 + 1) = sin 2 \neq = 0

，

sin (1 - 1) = 0

才對。

上下平移直接在函數值加減；左右平移是改

x

：往右

h

單位把

x

換成

x - h

，往左

h

單位把

x

換成

x + h

。

02單選第 5～8 題：圖形的平移伸縮、三角函數值與比大小

第 5 題答案 (1)。

- 1 \leq sin x \leq 1

。

y = sin x + d

的值在

d - 1

與

d + 1

之間，圖形跟

x

軸有交點就是

y

能等於

0

，也就是

- 1 \leq d \leq 1

。(1)

d = \frac{1}{3}

，可以。(2)

d = 3

，

y

最小是

2

。(3)

d = - 1.5

，

y

最大是

- 0.5

。(4)

d = - π \approx - 3.14

，

y

最大約

- 2.14

。(5)

d = - 2 \approx - 1.41

，

y

最大約

- 0.41

。後四個都碰不到

x

軸。

也可以看成解

sin x = - d

：只有

- d

落在

- 1

到

1

之間才有解。

第 6 題答案 (2)。水平縮為

0.5

倍是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

（週期由

2 π

變成

π

）。再鉛直放大

3

倍是把函數值乘以

3

，得

y = 3 sin 2 x

。

水平縮成一半，

x

的係數是變成

2

倍而不是

\frac{1}{2}

倍：圖形變窄，週期變短。

第 7 題答案 (3)。

sin π = 0

，

cos \frac{π}{2} = 0

；

2 π

與

0

是同界角，

tan 2 π = tan 0 = 0

。原式

= 0 + 0 + 0 = 0

。

第 8 題答案 (3)。卷面的

1

、

2

、

3

沒有度的符號，都是弧度。利用

sin θ = sin (π - θ)

把三個角都換到

0

與

\frac{π}{2}

之間：

b = sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

c = sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。在

0

到

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間，角越大正弦值越大，而

1.14 > 1 > 0.14

，所以

b > a > c

。

數值約為

a \approx 0.841

、

b \approx 0.909

、

c \approx 0.141

。

3

弧度很接近

π

，正弦值接近

0

。

弧度角比大小：先用

π \approx 3.14

把角換到同一段遞增的區間，再比角的大小。

03多選第 9、10 題：弧度角的正負、平移與週期

第 9 題答案 (2)(3)(4)。五個角都沒有度的符號，都是弧度。用

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

判斷象限。(1)

1

在

0

與

1.57

之間，是第一象限角，

sin 1 > 0

。(2)

2

在

1.57

與

3.14

之間，是第二象限角，

cos 2 < 0

。(3)

3

也在

1.57

與

3.14

之間，是第二象限角，

tan 3 < 0

。(4)

4

在

3.14

與

4.71

之間，是第三象限角，

sin 4 < 0

。(5)

5

在

4.71

與

6.28

之間，是第四象限角，

cos 5 > 0

。

若誤當成

1^{\circ}

～

5^{\circ}

，五個值都是正的，就選不出任何選項。

第 10 題答案 (1)(4)(5)。(1) 對：往左平移

\frac{2 π}{5}

是把

x

換成

x + \frac{2 π}{5}

，正是

y = sin (x + \frac{2 π}{5})

。又

y = sin x

的週期是

2 π

，平移量相差

2 π

的整數倍時得到同一個圖形。(5) 對：往左

\frac{12 π}{5} = \frac{2 π}{5} + 2 π

，比 (1) 多移一個週期，圖形相同。(4) 對：往右

\frac{8 π}{5}

得

y = sin (x - \frac{8 π}{5})

，而

- \frac{8 π}{5} = \frac{2 π}{5} - 2 π

，與往左

\frac{2 π}{5}

相差一個週期，圖形相同。(2) 錯：往右

\frac{2 π}{5}

得

y = sin (x - \frac{2 π}{5})

，它在

x = 0

的值是

sin (- \frac{2 π}{5}) < 0

，而題目的函數在

x = 0

的值是

sin \frac{2 π}{5} > 0

，不是同一個圖形。(3) 錯：往左

\frac{8 π}{5}

得

y = sin (x + \frac{8 π}{5})

，

\frac{8 π}{5} = - \frac{2 π}{5} + 2 π

，與 (2) 是同一個圖形。

往左

h

與往右

2 π - h

得到同一個正弦圖形，所以這題的正確平移方式不只一種。

正弦圖形左右平移時，平移量相差一個週期

2 π

的結果相同。

04選填 A～C（第 11～13 題）：度與弧度、特殊角、由圖形決定係數

第 11 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

2 π

弳

= 2 \times 18 0^{\circ} = 36 0^{\circ}

。答案格三格依序填

3

、

6

、

0

。

第 12 題

sin π = 0

。

\frac{2 π}{3}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{3}

，餘弦為負，

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

。

- \frac{π}{4}

是第四象限角，參考角

\frac{π}{4}

，正切為負，

tan (- \frac{π}{4}) = - 1

。原式

= 0 - \frac{1}{2} - 1 = - \frac{3}{2}

。

卷面的分子有兩格，是負號與

3

各佔一格，分母一格填

2

。

第 13 題由圖，最大值是

3

、最小值是

- 1

。中間的水平線在

y = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，所以

b = 1

；振幅是

\frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。圖形從

x = 0

到

x = \frac{2 π}{3}

剛好一個週期，週期

\frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{3}

，得

k = 3

。圖形從

(0, 1)

出發先上升，在

x = \frac{π}{6}

到最高點，與

y = sin 3 x

的走勢相同，所以

a = 2

。

f (x) = 2 sin 3 x + 1

，

a + b + k = 2 + 1 + 3 = 6

。

檢查：

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} + 1 = 3

，

f (\frac{π}{2}) = 2 sin \frac{3 π}{2} + 1 = - 1

，與圖相符。這裡取

k > 0

；若取

a = - 2

、

k = - 3

是同一個函數，但

a + b + k = - 4

填不進只有一格的答案格。

y = a sin k x + b

：

b

是最大值與最小值的平均，振幅是兩者差的一半，週期是

\frac{2 π}{∣ k ∣}

。

05選填 D、E（第 14、15 題）：兩個弓形的面積、扇形的圓心角

第 14 題矩形的對邊相等，

\overline{A D} = \overline{B C} = 62

。

P

在以

\overline{A B}

為直徑的半圓上，所以

∠ A P B = 9 0^{\circ}

；

P

也在以

\overline{A D}

為直徑的半圓上，所以

∠ A P D = 9 0^{\circ}

。兩個直角合起來是平角，因此

P

在對角線

\overline{B D}

上。直角三角形

A B D

中，

tan ∠ A B D = \frac{6 2}{2 6} = 3

，所以

∠ A B D = 6 0^{\circ}

、

∠ A D B = 3 0^{\circ}

。鋪色區域被弦

\overline{A P}

分成兩個弓形。第一個弓形在以

\overline{A B}

中點

M

為圓心、半徑

6

的圓上：圓心角

∠ A M P = 2∠ A B P = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

，面積

=

扇形

-

三角形

= \frac{1}{2} (6)^{2} \cdot \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} (6)^{2} sin 12 0^{\circ} = 2 π - \frac{3 3}{2}

。第二個弓形在以

\overline{A D}

中點

N

為圓心、半徑

32

的圓上：圓心角

∠ A N P = 2∠ A D P = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

，面積

= \frac{1}{2} (32)^{2} \cdot \frac{π}{3} - \frac{1}{2} (32)^{2} sin 6 0^{\circ} = 3 π - \frac{9 3}{2}

。兩者相加：

(2 π - \frac{3 3}{2}) + (3 π - \frac{9 3}{2}) = 5 π - 63

。

用到兩件國中學過的事：半圓所對的圓周角是直角；同一段弧所對的圓心角是圓周角的

2

倍。答案約為

5.32

，比矩形面積

243 \approx 41.6

小很多，與圖相符。

第 15 題設半徑

r

、圓心角

θ

（弳）。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，所以

6 = \frac{1}{2} \times r \times 6

，得

r = 2

。再由弧長

r θ = 6

，得

θ = 3

（弳）。

3

弳約

17 2^{\circ}

，小於一整圈，是合理的扇形。

兩個圓弧圍成的區域，沿公共弦切開就是兩個弓形；弓形面積

=

扇形面積

-

三角形面積。

06選填 F、G（第 16、17 題）：正弦的方程式與不等式

第 16 題

sin x = - \frac{1}{2}

，正弦為負，

x

是第三或第四象限角，參考角是

\frac{π}{6}

。在

0 \leq x \leq 2 π

內，

x = π + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6}

或

x = 2 π - \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}

。

α + β = \frac{7 π}{6} + \frac{11 π}{6} = \frac{18 π}{6} = 3 π

，答案格填

3

。

也可以用圖形的對稱：

y = sin x

在

π

到

2 π

這一段對稱於直線

x = \frac{3 π}{2}

，兩個解的平均是

\frac{3 π}{2}

，和就是

3 π

。

第 17 題先解

sin θ = \frac{1}{2}

：在

0 \leq θ < 2 π

內，

θ = \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6}

。由

y = sin θ

的圖形，圖形高於水平線

y = \frac{1}{2}

的部分是

\frac{π}{6} < θ < \frac{5 π}{6}

（

π

到

2 π

之間正弦值不是正的，不合）。所以

α = \frac{π}{6}

、

β = \frac{5 π}{6}

，

β - α = \frac{4 π}{6} = \frac{2}{3} π

。答案格分子填

2

、分母填

3

。

題目問的是範圍的寬度

β - α

，不是端點本身。

正弦的方程式先找參考角、再看象限；不等式先解等號，再看圖形在水平線上方或下方的區段。

07選填 H～J（第 18～20 題）：交流電的最大值與週期、摩天輪的高度

第 18 題正弦值最大是

1

，所以

100 sin (100 π t + \frac{5 π}{6})

最大是

100

，

I

的最大值

= 100 + 23 = 123

（安培）。

括號裡的

\frac{5 π}{6}

只讓圖形左右平移，不改變最大值。

第 19 題

t

的係數是

100 π

，週期

= \frac{2 π}{100 π} = \frac{1}{50}

秒。

1

秒

= 1000

毫秒，所以週期

= \frac{1000}{50} = 20

毫秒。

加上常數

23

與括號內的

\frac{5 π}{6}

是上下、左右平移，都不改變週期。

第 20 題正弦值在

- 1

與

1

之間，而

a > 0

，所以

y

的最大值是

a + c

、最小值是

- a + c

。由題意

a + c = 42

、

- a + c = 2

。兩式相加得

2 c = 44

，

c = 22

；兩式相減得

2 a = 40

，

a = 20

。所以

(a, c) = (20, 22)

。

c = 22

是輪軸離地的高度，

a = 20

是摩天輪的半徑。檢查起點：

x = 0

時

y = 20 sin (- \frac{π}{2}) + 22 = 2

，正是離地最近的位置。這一題沒有問

b

；一圈

15

分鐘表示週期是

15

。

y = a sin (\dots) + c

（

a > 0

）的最大值是

c + a

、最小值是

c - a

；週期只由自變數的係數決定。

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屏東高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案，是非題 4 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題與第 10 題都是左右平移，括號裡加一個正數是往左不是往右，第 10 題還要想到平移量相差一整個週期時圖形相同；第 8、9 題的角沒有度的符號，要當弧度來判斷象限；第 14 題要先看出兩個半圓的交點落在矩形的對角線上，再拆成兩個弓形；第 17 題求的是範圍的寬度，不是端點。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自屏東高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、圖形的平移與伸縮）

屏東高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、是非題：每題 5 分，下列敘述正確的請選「1」，錯誤的請選「2」。

半徑為

2

，圓心角為

3 0^{\circ}

的扇形之弧長為

60

。

函數

y = 2 sin 3 x

，週期為

\frac{2 π}{3}

。

將函數

y = sin 2 x

的圖形往上平移

2

單位，可得函數

y = sin 2 x + 2

的圖形。

將函數

y = sin x

的圖形往右平移

1

單位，可得函數

y = sin (x + 1)

的圖形。

二、單選題：每題 5 分

下列哪一個選項跟

x

軸有交點？

(1) $y = sin x + \frac{1}{3}$
(2) $y = sin x + 3$
(3) $y = sin x - 1.5$
(4) $y = sin x - π$
(5) $y = sin x - 2$

下列何者的圖形可由

y = sin x

的圖形水平縮為

0.5

倍，再鉛直放大

3

倍後得到？

(1) $y = 2 sin 3 x$
(2) $y = 3 sin 2 x$
(3) $y = 2 sin \frac{x}{3}$
(4) $y = 3 sin \frac{x}{2}$
(5) $y = sin \frac{3 x}{2}$

sin π + cos \frac{π}{2} + tan 2 π =

？

(1) $- 2$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $2$

設

a = sin 1

，

b = sin 2

，

c = sin 3

，則

a

、

b

、

c

的大小關係為下列哪一個選項？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $c > a > b$
(5) $c > b > a$

三、多選題：每題 5 分，全對得 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分。

下列哪些為負數？

(1) $sin 1$
(2) $cos 2$
(3) $tan 3$
(4) $sin 4$
(5) $cos 5$

試問

y = sin (x + \frac{2 π}{5})

的圖形可由

y = sin x

的圖形如何平移得到？

(1) 往左平移 $\frac{2 π}{5}$ 單位
(2) 往右平移 $\frac{2 π}{5}$ 單位
(3) 往左平移 $\frac{8 π}{5}$ 單位
(4) 往右平移 $\frac{8 π}{5}$ 單位
(5) 往左平移 $\frac{12 π}{5}$ 單位

2 π

弳等於 ____ 度。（卷面答案格 3 格）

求

sin π + cos \frac{2 π}{3} + tan (- \frac{π}{4})

的值為 ____。（答案請化為最簡分數）（卷面答案格為分數：分子 2 格、分母 1 格）

附圖是函數

y = f (x) = a sin k x + b

在某一個週期內的圖形，求

a + b + k =

____。（卷面答案格 1 格）

載入中...

如附圖，矩形

A B C D

中，

\overline{A B} = 26

，

\overline{B C} = 62

，以

\overline{A B}

、

\overline{A D}

為直徑作半圓交於

P

，則鋪色區域面積為 ____。（卷面答案格的形式為

◯ π - ◯ ◯

，共 3 格）

載入中...

一扇形的弧長為

6

，面積也為

6

，求此扇形的弧度為 ____ 弳。（卷面答案格 1 格）

在

0 \leq x \leq 2 π

範圍內，方程式

sin x = - \frac{1}{2}

有兩解

α

和

β

，求

α + β =

____

π

。（卷面答案格 1 格）

設

0 \leq θ < 2 π

，且

sin θ > \frac{1}{2}

，則

θ

的範圍為

α < θ < β

，求

β - α =

____

π

。（答案請化為最簡分數）（卷面答案格為分數：分子 1 格、分母 1 格）

第 18～19 題為題組（原卷選填 H、I）（第 18～19 題）　某交流電的電流強度

I

（安培）與時間

t

（秒）可用函數

I = 100 sin (100 π t + \frac{5 π}{6}) + 23

表示。

求最大電流為 ____ 安培。（卷面答案格 3 格）

承上題（原卷選填 H），求電流的週期為 ____ 毫秒。（

1

秒

= 1000

毫秒）（卷面答案格 2 格）

遊樂區中有一圓形摩天輪逆時針方向運轉一圈需時

15

分鐘。當摩天輪開始運轉時，小明恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，小明離地的高度可表為

y = a sin (b x - \frac{π}{2}) + c

公尺，其中

a > 0

。已知小明離地距離最高為

42

公尺，最低為

2

公尺，求數對

(a, c) =

____。（卷面答案格為

(◯ ◯, ◯ ◯)

，共 4 格）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 5 題(1)

第 6 題(2)

第 7 題(3)

第 8 題(3)

第 9 題(2)(3)(4)

第 10 題(1)(4)(5)

第 11 題

360

第 12 題

- \frac{3}{2}

第 13 題

6

第 14 題

5 π - 63

第 15 題

3

第 16 題

3

（即

α + β = 3 π

）

第 17 題

\frac{2}{3}

（即

β - α = \frac{2}{3} π

）

第 18 題

123

第 19 題

20

第 20 題

(20, 22)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～4 題：弧長、週期與圖形的平移

第 1 題2選「2」。弧長公式

s = r θ

的圓心角

θ

要用弧度。

3 0^{\circ} = 30 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{6}

，所以弧長

= 2 \times \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，約

1.05

，不是

60

。

60

是把

2 \times 30

直接相乘的結果，角度沒有換成弧度。整個圓的周長才

4 π \approx 12.6

，弧長不可能是

60

。

第 2 題1選「1」。

y = a sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

。這裡

k = 3

，週期

= \frac{2 π}{3}

。

前面的係數

2

只影響振幅，不影響週期。

第 3 題1選「1」。圖形往上平移

2

單位，就是每一點的

y

坐標都加

2

，函數變成

y = sin 2 x + 2

。

第 4 題2選「2」。往右平移

1

單位是把

x

換成

x - 1

，得到

y = sin (x - 1)

。

y = sin (x + 1)

是往左平移

1

單位的結果。

檢查：

y = sin x

通過原點；往右平移

1

單位後應通過

(1, 0)

，而

sin (1 + 1) = sin 2 \neq = 0

，

sin (1 - 1) = 0

才對。

上下平移直接在函數值加減；左右平移是改

x

：往右

h

單位把

x

換成

x - h

，往左

h

單位把

x

換成

x + h

。

02單選第 5～8 題：圖形的平移伸縮、三角函數值與比大小

第 5 題答案 (1)。

- 1 \leq sin x \leq 1

。

y = sin x + d

的值在

d - 1

與

d + 1

之間，圖形跟

x

軸有交點就是

y

能等於

0

，也就是

- 1 \leq d \leq 1

。(1)

d = \frac{1}{3}

，可以。(2)

d = 3

，

y

最小是

2

。(3)

d = - 1.5

，

y

最大是

- 0.5

。(4)

d = - π \approx - 3.14

，

y

最大約

- 2.14

。(5)

d = - 2 \approx - 1.41

，

y

最大約

- 0.41

。後四個都碰不到

x

軸。

也可以看成解

sin x = - d

：只有

- d

落在

- 1

到

1

之間才有解。

第 6 題答案 (2)。水平縮為

0.5

倍是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

（週期由

2 π

變成

π

）。再鉛直放大

3

倍是把函數值乘以

3

，得

y = 3 sin 2 x

。

水平縮成一半，

x

的係數是變成

2

倍而不是

\frac{1}{2}

倍：圖形變窄，週期變短。

第 7 題答案 (3)。

sin π = 0

，

cos \frac{π}{2} = 0

；

2 π

與

0

是同界角，

tan 2 π = tan 0 = 0

。原式

= 0 + 0 + 0 = 0

。

第 8 題答案 (3)。卷面的

1

、

2

、

3

沒有度的符號，都是弧度。利用

sin θ = sin (π - θ)

把三個角都換到

0

與

\frac{π}{2}

之間：

b = sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

c = sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。在

0

到

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間，角越大正弦值越大，而

1.14 > 1 > 0.14

，所以

b > a > c

。

數值約為

a \approx 0.841

、

b \approx 0.909

、

c \approx 0.141

。

3

弧度很接近

π

，正弦值接近

0

。

弧度角比大小：先用

π \approx 3.14

把角換到同一段遞增的區間，再比角的大小。

03多選第 9、10 題：弧度角的正負、平移與週期

第 9 題答案 (2)(3)(4)。五個角都沒有度的符號，都是弧度。用

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

判斷象限。(1)

1

在

0

與

1.57

之間，是第一象限角，

sin 1 > 0

。(2)

2

在

1.57

與

3.14

之間，是第二象限角，

cos 2 < 0

。(3)

3

也在

1.57

與

3.14

之間，是第二象限角，

tan 3 < 0

。(4)

4

在

3.14

與

4.71

之間，是第三象限角，

sin 4 < 0

。(5)

5

在

4.71

與

6.28

之間，是第四象限角，

cos 5 > 0

。

若誤當成

1^{\circ}

～

5^{\circ}

，五個值都是正的，就選不出任何選項。

第 10 題答案 (1)(4)(5)。(1) 對：往左平移

\frac{2 π}{5}

是把

x

換成

x + \frac{2 π}{5}

，正是

y = sin (x + \frac{2 π}{5})

。又

y = sin x

的週期是

2 π

，平移量相差

2 π

的整數倍時得到同一個圖形。(5) 對：往左

\frac{12 π}{5} = \frac{2 π}{5} + 2 π

，比 (1) 多移一個週期，圖形相同。(4) 對：往右

\frac{8 π}{5}

得

y = sin (x - \frac{8 π}{5})

，而

- \frac{8 π}{5} = \frac{2 π}{5} - 2 π

，與往左

\frac{2 π}{5}

相差一個週期，圖形相同。(2) 錯：往右

\frac{2 π}{5}

得

y = sin (x - \frac{2 π}{5})

，它在

x = 0

的值是

sin (- \frac{2 π}{5}) < 0

，而題目的函數在

x = 0

的值是

sin \frac{2 π}{5} > 0

，不是同一個圖形。(3) 錯：往左

\frac{8 π}{5}

得

y = sin (x + \frac{8 π}{5})

，

\frac{8 π}{5} = - \frac{2 π}{5} + 2 π

，與 (2) 是同一個圖形。

往左

h

與往右

2 π - h

得到同一個正弦圖形，所以這題的正確平移方式不只一種。

正弦圖形左右平移時，平移量相差一個週期

2 π

的結果相同。

04選填 A～C（第 11～13 題）：度與弧度、特殊角、由圖形決定係數

第 11 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

2 π

弳

= 2 \times 18 0^{\circ} = 36 0^{\circ}

。答案格三格依序填

3

、

6

、

0

。

第 12 題

sin π = 0

。

\frac{2 π}{3}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{3}

，餘弦為負，

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

。

- \frac{π}{4}

是第四象限角，參考角

\frac{π}{4}

，正切為負，

tan (- \frac{π}{4}) = - 1

。原式

= 0 - \frac{1}{2} - 1 = - \frac{3}{2}

。

卷面的分子有兩格，是負號與

3

各佔一格，分母一格填

2

。

第 13 題由圖，最大值是

3

、最小值是

- 1

。中間的水平線在

y = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，所以

b = 1

；振幅是

\frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。圖形從

x = 0

到

x = \frac{2 π}{3}

剛好一個週期，週期

\frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{3}

，得

k = 3

。圖形從

(0, 1)

出發先上升，在

x = \frac{π}{6}

到最高點，與

y = sin 3 x

的走勢相同，所以

a = 2

。

f (x) = 2 sin 3 x + 1

，

a + b + k = 2 + 1 + 3 = 6

。

檢查：

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} + 1 = 3

，

f (\frac{π}{2}) = 2 sin \frac{3 π}{2} + 1 = - 1

，與圖相符。這裡取

k > 0

；若取

a = - 2

、

k = - 3

是同一個函數，但

a + b + k = - 4

填不進只有一格的答案格。

y = a sin k x + b

：

b

是最大值與最小值的平均，振幅是兩者差的一半，週期是

\frac{2 π}{∣ k ∣}

。

05選填 D、E（第 14、15 題）：兩個弓形的面積、扇形的圓心角

第 14 題矩形的對邊相等，

\overline{A D} = \overline{B C} = 62

。

P

在以

\overline{A B}

為直徑的半圓上，所以

∠ A P B = 9 0^{\circ}

；

P

也在以

\overline{A D}

為直徑的半圓上，所以

∠ A P D = 9 0^{\circ}

。兩個直角合起來是平角，因此

P

在對角線

\overline{B D}

上。直角三角形

A B D

中，

tan ∠ A B D = \frac{6 2}{2 6} = 3

，所以

∠ A B D = 6 0^{\circ}

、

∠ A D B = 3 0^{\circ}

。鋪色區域被弦

\overline{A P}

分成兩個弓形。第一個弓形在以

\overline{A B}

中點

M

為圓心、半徑

6

的圓上：圓心角

∠ A M P = 2∠ A B P = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

，面積

=

扇形

-

三角形

= \frac{1}{2} (6)^{2} \cdot \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} (6)^{2} sin 12 0^{\circ} = 2 π - \frac{3 3}{2}

。第二個弓形在以

\overline{A D}

中點

N

為圓心、半徑

32

的圓上：圓心角

∠ A N P = 2∠ A D P = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

，面積

= \frac{1}{2} (32)^{2} \cdot \frac{π}{3} - \frac{1}{2} (32)^{2} sin 6 0^{\circ} = 3 π - \frac{9 3}{2}

。兩者相加：

(2 π - \frac{3 3}{2}) + (3 π - \frac{9 3}{2}) = 5 π - 63

。

用到兩件國中學過的事：半圓所對的圓周角是直角；同一段弧所對的圓心角是圓周角的

2

倍。答案約為

5.32

，比矩形面積

243 \approx 41.6

小很多，與圖相符。

第 15 題設半徑

r

、圓心角

θ

（弳）。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，所以

6 = \frac{1}{2} \times r \times 6

，得

r = 2

。再由弧長

r θ = 6

，得

θ = 3

（弳）。

3

弳約

17 2^{\circ}

，小於一整圈，是合理的扇形。

兩個圓弧圍成的區域，沿公共弦切開就是兩個弓形；弓形面積

=

扇形面積

-

三角形面積。

06選填 F、G（第 16、17 題）：正弦的方程式與不等式

第 16 題

sin x = - \frac{1}{2}

，正弦為負，

x

是第三或第四象限角，參考角是

\frac{π}{6}

。在

0 \leq x \leq 2 π

內，

x = π + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6}

或

x = 2 π - \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}

。

α + β = \frac{7 π}{6} + \frac{11 π}{6} = \frac{18 π}{6} = 3 π

，答案格填

3

。

也可以用圖形的對稱：

y = sin x

在

π

到

2 π

這一段對稱於直線

x = \frac{3 π}{2}

，兩個解的平均是

\frac{3 π}{2}

，和就是

3 π

。

第 17 題先解

sin θ = \frac{1}{2}

：在

0 \leq θ < 2 π

內，

θ = \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6}

。由

y = sin θ

的圖形，圖形高於水平線

y = \frac{1}{2}

的部分是

\frac{π}{6} < θ < \frac{5 π}{6}

（

π

到

2 π

之間正弦值不是正的，不合）。所以

α = \frac{π}{6}

、

β = \frac{5 π}{6}

，

β - α = \frac{4 π}{6} = \frac{2}{3} π

。答案格分子填

2

、分母填

3

。

題目問的是範圍的寬度

β - α

，不是端點本身。

正弦的方程式先找參考角、再看象限；不等式先解等號，再看圖形在水平線上方或下方的區段。

07選填 H～J（第 18～20 題）：交流電的最大值與週期、摩天輪的高度

第 18 題正弦值最大是

1

，所以

100 sin (100 π t + \frac{5 π}{6})

最大是

100

，

I

的最大值

= 100 + 23 = 123

（安培）。

括號裡的

\frac{5 π}{6}

只讓圖形左右平移，不改變最大值。

第 19 題

t

的係數是

100 π

，週期

= \frac{2 π}{100 π} = \frac{1}{50}

秒。

1

秒

= 1000

毫秒，所以週期

= \frac{1000}{50} = 20

毫秒。

加上常數

23

與括號內的

\frac{5 π}{6}

是上下、左右平移，都不改變週期。

第 20 題正弦值在

- 1

與

1

之間，而

a > 0

，所以

y

的最大值是

a + c

、最小值是

- a + c

。由題意

a + c = 42

、

- a + c = 2

。兩式相加得

2 c = 44

，

c = 22

；兩式相減得

2 a = 40

，

a = 20

。所以

(a, c) = (20, 22)

。

c = 22

是輪軸離地的高度，

a = 20

是摩天輪的半徑。檢查起點：

x = 0

時

y = 20 sin (- \frac{π}{2}) + 22 = 2

，正是離地最近的位置。這一題沒有問

b

；一圈

15

分鐘表示週期是

15

。

y = a sin (\dots) + c

（

a > 0

）的最大值是

c + a

、最小值是

c - a

；週期只由自變數的係數決定。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

屏東高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案，是非題 4 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

屏東高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01是非第 1～4 題：弧長、週期與圖形的平移

02單選第 5～8 題：圖形的平移伸縮、三角函數值與比大小

03多選第 9、10 題：弧度角的正負、平移與週期

04選填 A～C（第 11～13 題）：度與弧度、特殊角、由圖形決定係數

05選填 D、E（第 14、15 題）：兩個弓形的面積、扇形的圓心角

06選填 F、G（第 16、17 題）：正弦的方程式與不等式

07選填 H～J（第 18～20 題）：交流電的最大值與週期、摩天輪的高度

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屏東高中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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03多選第 9、10 題：弧度角的正負、平移與週期

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05選填 D、E（第 14、15 題）：兩個弓形的面積、扇形的圓心角

06選填 F、G（第 16、17 題）：正弦的方程式與不等式

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屏東高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

屏東高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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屏東高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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