段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

蘭陽女中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

是非題 5 題（每題 2 分，共 10 分）、單選題 5 題（每題 4 分，共 20 分）、多選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、選填題 11 題（每題 5 分，共 55 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、是非題：5 題，每題 2 分，共 10 分。※劃記說明：正確請劃 1、錯誤請劃 2。

y = sin 2 x

的週期為

4 π

。

y = 2 cos 3 x

的圖形對稱於直線

x = \frac{π}{6}

。

sin 2 > sin 1 > sin 3

。

y = sin x - cos x

，週期為

π

。

y = sin x

先左右伸縮

3

倍再上移

5

單位與先上移

5

單位再左右伸縮

3

倍，所得的圖形相同。

二、單選題：5 題，每題 4 分，共 20 分。

將一繩長為

100

公分的繩子一端固定在

A

點上，將此繩子一圈一圈依逆時針方向纏繞在如圖的圓形輪上（不計繩子的寬度），輪子的半徑是

4

公分，且繩子的另一端點為

B

，則

B

點落在哪個位置？

(1) 第一象限
(2) 第二象限
(3) 第三象限
(4) 第四象限
(5) $x$ 軸或 $y$ 軸上

載入中...

下列選項中，哪一個的值最小？

(1) $2 sin 2 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}$
(2) $cos 23 5^{\circ} - sin 23 5^{\circ}$
(3) $2 cos 24 0^{\circ} - 1$
(4) $2 sin 27 0^{\circ} - 1$
(5) $\frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}}$

0 \leq x < 2 π

，若

y = \frac{1}{3}

和

y = sin (x - \frac{π}{3})

的圖形交於兩點，則此兩點的

x

坐標之和為何？

(1) $\frac{5 π}{6}$
(2) $π$
(3) $\frac{2 π}{3}$
(4) $\frac{5 π}{3}$
(5) $\frac{11 π}{12}$

設

0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}

，

9 0^{\circ} < β < 18 0^{\circ}

，且

sin α = \frac{13}{14}

，

sin β = \frac{11}{14}

，則

β - α

為何？

(1) $\frac{π}{6}$
(2) $\frac{π}{3}$
(3) $\frac{π}{2}$
(4) $\frac{2 π}{3}$
(5) $\frac{5 π}{6}$

下列函數中，有幾個函數的週期等於

2 π

？　

f_{1} (x) = cos x

，

f_{2} (x) = cos 2 x + 1

，

f_{3} (x) = tan \frac{x}{2}

，

f_{4} (x) = sin x cos x

。

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $0$ 個

三、多選題：3 題，每題 5 分，共 15 分。錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，錯 2 個選項以上得 0 分。

若

27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

，且

tan θ = - \frac{3}{4}

，則下列哪些選項正確？

(1) $tan 2 θ = - \frac{7}{24}$
(2) $sin 2 θ = - \frac{24}{25}$
(3) $2 θ$ 為第四象限角
(4) $\frac{θ}{2}$ 為第二象限角
(5) $cos \frac{θ}{2} = \frac{- 1}{5}$

△ A B C

中，

cos A = - \frac{3}{5}

，

cos B = \frac{24}{25}

，且

\overline{A C} = 7

，下列敘述何者正確？

(1) $cos C = - \frac{4}{5}$
(2) $sin C = \frac{3}{5}$
(3) $tan \frac{C}{2} = \frac{1}{3}$
(4) $△ A B C$ 周長為 $37$
(5) $△ A B C$ 面積為 $42$

右圖可以是哪些函數的部分圖形？

(1) $y = sin (x - \frac{3}{4} π)$
(2) $y = sin (x + \frac{3}{4} π)$
(3) $y = sin (x + \frac{5}{4} π)$
(4) $y = cos (x - \frac{π}{8})$
(5) $y = cos (2 x - \frac{π}{8})$

載入中...

四、選填題：11 題，每題 5 分，共 55 分。※答案請化成最簡分數（需有理化分母）、最簡根式※

已知

f (x) = 3 sin x - 3 cos x

，若在

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

之範圍內，

f (x)

之最大值為

M

、最小值為

m

，則

M + m =

____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

，共兩格）

設

cos α = \frac{3}{5}

，

sin β = - \frac{15}{17}

，且

27 0^{\circ} < α < 36 0^{\circ}

，

18 0^{\circ} < β < 27 0^{\circ}

，試求

sin (α - β) + cos (α - β) =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯ ◯}{◯ ◯}

）

如右圖，坐標平面上有兩直線

L_{1}

及

L_{2}

，直線

L_{1}

通過點

(1, 0)

及點

(0, 3)

，直線

L_{2}

通過點

(- \frac{1}{2}, 0)

及點

(0, 1)

，若此兩直線夾角為

θ

，則

tan θ =

____。（原卷的答案格式為兩格

◯ ◯

）

載入中...

設

0 \leq x \leq 2 π

，則滿足不等式

- 1 \leq cos x \leq \frac{3}{2}

之

x

的範圍為 ____。（原卷的答案格式為

\frac{π}{◯} \leq x \leq \frac{◯ ◯ π}{◯}

）

如下圖，在長方形

A B C D

中，

\overline{A B} = 3

，

\overline{A D} = 6

，以

\overline{A D}

為半徑，

A

點為圓心畫弧交

\overline{B C}

於

E

，試求陰影部分的面積為 ____。（原卷的答案格式為

◯ ◯ - ◯ π

）

載入中...

如圖是三角函數

y = f (x) = a sin (b x + c π) + d

的圖形，其中

a

、

b

、

c

、

d

為常數，

a

、

b > 0

，

- 1 \leq c \leq 1

，且

f (x)

的最大值為

6

，最小值為

- 2

，則

a + b + c + d =

____。（圖中

A (\frac{3}{10} π, 6)

、

B (\frac{19}{30} π, - 2)

；原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯}

）

載入中...

將函數

f (x) = sin x - 2 cos x

化成

f (x) = a sin (x + θ)

的型式，其中

a > 0

，則

tan 2 θ =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯}

）

方程組

⎩ ⎨ ⎧ y = \frac{x}{4} y = cos π x

的實數解有 ____ 組。

\frac{1}{cos 8 0 ^{\circ}} - \frac{3}{sin 8 0 ^{\circ}}

的值為 ____。

將九個大小相同的正方形排成一個大的正方形，如右圖所示，則

tan ∠ A O B =

____。

載入中...

設計師以餘弦函數的圖形來設計雲霄飛車的軌道，下圖為軌道、護欄、地面的側拍示意圖。若此安全護欄上緣

B

點離橋梁最高點

A

的鉛直距離

\overline{A B}

為

8

公尺，而安全護欄高度

\overline{B C}

為

2

公尺。現在設計師在距離

\overline{A B}

左右兩邊各

4

公尺處的軌道上設置造型閃燈，發現閃燈離地面的高度為

7.5

公尺。試求軌道相鄰的兩個最高點連線

\overline{A D}

距離為 ____ 公尺。（原卷的答案格式為兩格

◯ ◯

）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 6 題(4)

第 7 題(4)

第 8 題(4)

第 9 題(2)

第 10 題(2)

第 11 題(2)(3)(4)

第 12 題(2)(3)(5)

第 13 題(1)(3)

第 14 題

- 3

第 15 題

\frac{113}{85}

第 16 題

\pm 1

第 17 題

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

第 18 題

18 - 3 π

第 19 題

\frac{43}{5}

第 20 題

\frac{4}{3}

第 21 題

9

第 22 題

4

第 23 題

5

第 24 題

24

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非題（第 1～5 題）：週期、對稱軸、弧度比大小、疊合、伸縮與平移

第 1 題2劃 2。

y = sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

。

k = 2

時週期為

\frac{2 π}{2} = π

，不是

4 π

。

x

的係數越大，圖形左右壓得越窄，週期越短。週期

4 π

的是

y = sin \frac{x}{2}

。

第 2 題2劃 2。正弦、餘弦型函數圖形的對稱軸，是通過最高點或最低點的鉛直線。

x = \frac{π}{6}

時

y = 2 cos \frac{π}{2} = 0

，既不是最大值

2

也不是最小值

- 2

，所以直線

x = \frac{π}{6}

不是對稱軸。

可以直接取兩點檢查：

x = \frac{π}{6} \pm \frac{π}{6}

，即

x = 0

與

x = \frac{π}{3}

，函數值分別是

2

與

2 cos π = - 2

，不相等。圖形是對稱於點

(\frac{π}{6}, 0)

。

第 3 題1劃 1。角的單位是弧度。

sin 2 = sin (π - 2)

、

sin 3 = sin (π - 3)

，其中

π - 2 \approx 1.14

、

π - 3 \approx 0.14

。三個角

0.14 < 1 < 1.14

都在

0

與

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間，正弦函數在這一段遞增，所以

sin (π - 3) < sin 1 < sin (π - 2)

，即

sin 3 < sin 1 < sin 2

。

數值：

sin 2 \approx 0.909

、

sin 1 \approx 0.841

、

sin 3 \approx 0.141

。

2

弧度與

3

弧度都在第二象限，要先用

sin (π - θ) = sin θ

換回第一象限的角再比較。

第 4 題2劃 2。疊合：

sin x - cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{4} - cos x sin \frac{π}{4}) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，

x

的係數是

1

，週期為

2 π

，不是

π

。

直接檢查：

x = 0

時

y = - 1

，

x = π

時

y = 0 - (- 1) = 1

，兩者不相等，所以

π

不是週期。

第 5 題1劃 1。左右伸縮

3

倍，是把式子裡的

x

換成

\frac{x}{3}

；上移

5

單位，是把整個式子加

5

。先伸縮再上移：

y = sin x \to y = sin \frac{x}{3} \to y = sin \frac{x}{3} + 5

。先上移再伸縮：

y = sin x \to y = sin x + 5 \to y = sin \frac{x}{3} + 5

。兩個結果相同。

左右伸縮只改變每個點的

x

坐標，上下平移只改變

y

坐標，互不影響，所以順序可以交換。如果是「左右伸縮」與「左右平移」，兩者都動到

x

坐標，順序就不能交換。

02單選題（第 6～10 題）：弧度與象限、比大小、解的和、差角求角、週期

第 6 題答案 (4)。繩子貼著圓周繞，繞過的弧長

100

、半徑

4

，轉過的圓心角

= \frac{100}{4} = 25

（弧度）。一圈是

2 π \approx 6.283

，三圈是

6 π \approx 18.85

，

25 - 18.85 \approx 6.15

。而

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 6.15 < 2 π \approx 6.28

，所以從

A

（

x

軸正向）逆時針轉

25

弧度後落在第四象限。

也可以用圈數想：圓周長

8 π \approx 25.13

公分，

100 \div 25.13 \approx 3.98

圈，差一點點就滿

4

圈，所以

B

在

A

的下方不遠處，是第四象限。

第 7 題答案 (4)。(1)

2 sin 2 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = sin 4 0^{\circ}

，是正數。(2)

cos 23 5^{\circ} = - cos 5 5^{\circ}

、

sin 23 5^{\circ} = - sin 5 5^{\circ}

，所以原式

= sin 5 5^{\circ} - cos 5 5^{\circ}

；

5 5^{\circ} > 4 5^{\circ}

時正弦比餘弦大，是正數。(3)

2 cos 24 0^{\circ} - 1 = 2 \times (- \frac{1}{2}) - 1 = - 2

。(4)

2 sin 27 0^{\circ} - 1 = 2 \times (- 1) - 1 = - 3

。(5) 由正切的二倍角公式，原式

= tan 5 0^{\circ}

，是正數。五個值中最小的是 (4) 的

- 3

。

數值依序約為

0.643

、

0.246

、

- 2

、

- 3

、

1.192

。(3)(4) 不是二倍角公式的形式（二倍角是

2 cos^{2} θ - 1

），直接代特殊角的值就好。卷面印的 (2) 就是

cos 23 5^{\circ} - sin 23 5^{\circ}

、(3) 是

2 cos 24 0^{\circ} - 1

、(4) 是

2 sin 27 0^{\circ} - 1

，都沒有平方，本頁照卷面作答。

第 8 題答案 (4)。令

u = x - \frac{π}{3}

，則

- \frac{π}{3} \leq u < \frac{5 π}{3}

，要解

sin u = \frac{1}{3}

。設銳角

α

滿足

sin α = \frac{1}{3}

，這個範圍內的解是

u = α

與

u = π - α

（兩者對稱於

u = \frac{π}{2}

），和為

π

。換回

x = u + \frac{π}{3}

，兩個

x

的和

= π + 2 \times \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}

。

不必求出

α

的值。下一個解

u = 2 π + α

已超過

\frac{5 π}{3}

，所以確實只有兩個交點，與題目所說相符。

第 9 題答案 (2)。

α

是銳角：

cos α = 1 - \frac{169}{196} = \frac{27}{14} = \frac{3 3}{14}

。

β

是鈍角，餘弦為負：

cos β = - 1 - \frac{121}{196} = - \frac{75}{14} = - \frac{5 3}{14}

。由差角公式

cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α = \frac{- 45}{196} + \frac{143}{196} = \frac{98}{196} = \frac{1}{2}

。由

α

、

β

的範圍知

0^{\circ} < β - α < 18 0^{\circ}

，這個範圍內餘弦值為

\frac{1}{2}

的角只有

6 0^{\circ}

，即

\frac{π}{3}

。

求角時用餘弦比較好：

0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間，一個餘弦值只對應一個角；如果用正弦，

sin (β - α) = \frac{3}{2}

會有

6 0^{\circ}

與

12 0^{\circ}

兩個可能，還要再判斷。

第 10 題答案 (2)。

f_{1} (x) = cos x

的週期是

2 π

。

f_{2} (x) = cos 2 x + 1

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

（加

1

只是上移）。

f_{3} (x) = tan \frac{x}{2}

：正切函數的週期是

π

，所以週期為

π \div \frac{1}{2} = 2 π

。

f_{4} (x) = sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，週期是

π

。週期等於

2 π

的有

f_{1}

、

f_{3}

，共

2

個。

y = tan k x

的週期是

\frac{π}{k}

，分子是

π

不是

2 π

。

f_{4}

要先用二倍角公式化成單一的正弦再看週期。

03多選題（第 11～13 題）：二倍角與半角、三角形的邊角、由圖形判斷式子

第 11 題答案 (2)(3)(4)。

θ

在第四象限，

tan θ = - \frac{3}{4}

，所以

sin θ = - \frac{3}{5}

、

cos θ = \frac{4}{5}

。(1) 錯：

tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} = \frac{- \frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = - \frac{3}{2} \times \frac{16}{7} = - \frac{24}{7}

。(2) 對：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times (- \frac{3}{5}) \times \frac{4}{5} = - \frac{24}{25}

。(3) 對：

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} > 0

，且

sin 2 θ < 0

，餘弦正、正弦負的是第四象限角。(4) 對：

27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

，所以

13 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 18 0^{\circ}

，是第二象限角。(5) 錯：

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{9}{10}

，

\frac{θ}{2}

在第二象限，餘弦為負，

cos \frac{θ}{2} = - \frac{3}{10}

。

(1) 的

- \frac{7}{24}

是把分子分母顛倒了。(5) 的

- \frac{1}{5}

不對；

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1}{10}

。(3) 也可以由

54 0^{\circ} < 2 θ < 72 0^{\circ}

配合

sin 2 θ < 0

、

cos 2 θ > 0

判斷。

第 12 題答案 (2)(3)(5)。

A

、

B

是三角形的內角，正弦為正：

sin A = \frac{4}{5}

、

sin B = \frac{7}{25}

。(1) 錯：

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - (- \frac{72}{125} - \frac{28}{125}) = \frac{4}{5}

。(2) 對：

sin C = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B = \frac{96}{125} - \frac{21}{125} = \frac{3}{5}

。(3) 對：

tan \frac{C}{2} = \frac{sin C}{1 + cos C} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{9}{5}} = \frac{1}{3}

。(4) 錯：

\overline{A C}

是

∠ B

的對邊。由正弦定理

\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B} = \frac{A B}{sin C} = \frac{7}{\frac{7}{25}} = 25

，得

\overline{B C} = 25 \times \frac{4}{5} = 20

、

\overline{A B} = 25 \times \frac{3}{5} = 15

，周長

= 20 + 7 + 15 = 42

。(5) 對：面積

= \frac{1}{2} \times \overline{A B} \times \overline{A C} \times sin A = \frac{1}{2} \times 15 \times 7 \times \frac{4}{5} = 42

。

cos A < 0

，

A

是鈍角，所以

C

一定是銳角，

cos C

不可能是負的，(1) 可以直接判斷。(3) 用的是半角的正切

tan \frac{C}{2} = \frac{sin C}{1 + cos C}

；也可以用

tan^{2} \frac{C}{2} = \frac{1 - cos C}{1 + cos C} = \frac{1}{9}

，

\frac{C}{2}

是銳角取正。周長與面積的數值恰好都是

42

。

第 13 題答案 (1)(3)。圖形從點

(\frac{3}{4} π, 0)

出發先往上，到點

(\frac{11}{4} π, 0)

剛好一個完整的波，所以週期是

\frac{11}{4} π - \frac{3}{4} π = 2 π

，高低在

1

與

- 1

之間，這是

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{3}{4} π

：

y = sin (x - \frac{3}{4} π)

。(1) 對：就是這個式子。(2) 錯：

x = \frac{3}{4} π

時

y = sin \frac{3 π}{2} = - 1

，不是

0

。(3) 對：

x + \frac{5}{4} π = (x - \frac{3}{4} π) + 2 π

，相差一個週期，與 (1) 是同一個函數。(4) 錯：

x = \frac{3}{4} π

時

y = cos \frac{5 π}{8}

，不是

0

。(5) 錯：週期是

π

，與圖形不合。

把

sin

改寫成

cos

：

sin (x - \frac{3}{4} π) = cos (x - \frac{3}{4} π - \frac{π}{2}) = cos (x - \frac{5}{4} π)

，(4) 的

\frac{π}{8}

對不上。

給了一個三角函數值與象限，先把同一個角的正弦、餘弦都寫出來（正負由象限決定），後面的二倍角、半角、和差角就只是代公式。

04選填題（第 14～17 題）：疊合求極值、差角公式、兩直線夾角、餘弦不等式

第 14 題

(3)^{2} + 3^{2} = 12 = 23

。疊合：

f (x) = 23 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 23 sin (x - \frac{π}{3})

。

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

時，

- \frac{5 π}{6} \leq x - \frac{π}{3} \leq \frac{π}{6}

。這一段裡正弦的最小值是

- 1

（角為

- \frac{π}{2}

時），最大值是

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

（右端點）。所以

M = 23 \times \frac{1}{2} = 3

，

m = - 23

，

M + m = - 3

。

兩格依序劃「

-

」與

3

。最大值不是

23

：整個角最大只到

\frac{π}{6}

，到不了

\frac{π}{2}

。左端點

x = - \frac{π}{2}

的函數值是

- 3

，也不是最小值；最小值發生在

x = - \frac{π}{6}

。卷面在「

M + m

」前面多印了「數對」兩字，所求是

M + m

的值。

第 15 題

α

在第四象限，正弦為負：

sin α = - \frac{4}{5}

。

β

在第三象限，餘弦為負：

cos β = - \frac{8}{17}

。

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β = (- \frac{4}{5}) (- \frac{8}{17}) - \frac{3}{5} (- \frac{15}{17}) = \frac{32 + 45}{85} = \frac{77}{85}

。

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = \frac{3}{5} (- \frac{8}{17}) + (- \frac{4}{5}) (- \frac{15}{17}) = \frac{- 24 + 60}{85} = \frac{36}{85}

。相加得

\frac{113}{85}

。

檢查：

7 7^{2} + 3 6^{2} = 5929 + 1296 = 7225 = 8 5^{2}

，兩個值的平方和是

1

。

8

15

17

與

3

4

5

都是常見的直角三角形邊長。

第 16 題

L_{1}

的斜率

= \frac{3 - 0}{0 - 1} = - 3

，

L_{2}

的斜率

= \frac{1 - 0}{0 - ( - \frac{1}{2} )} = 2

。設

L_{1}

、

L_{2}

的斜角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則

tan θ_{1} = - 3

、

tan θ_{2} = 2

。由正切的差角公式

tan (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{tan θ _{1} - tan θ _{2}}{1 + tan θ _{1} tan θ _{2}} = \frac{- 3 - 2}{1 + ( - 3 ) \times 2} = \frac{- 5}{- 5} = 1

，所以兩直線的一個夾角是

4 5^{\circ}

，另一個夾角是它的補角

13 5^{\circ}

，

tan 13 5^{\circ} = - 1

。因此

tan θ = \pm 1

。

兩條相交直線有兩個互補的夾角，題目沒有指定是哪一個，所以兩個值都要寫；兩格依序劃「

\pm

」與

1

。

第 17 題餘弦值一定不小於

- 1

，左邊的不等式恆成立，只要解

cos x \leq \frac{3}{2}

。在

0 \leq x \leq 2 π

內，

cos x = \frac{3}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

與

x = \frac{11 π}{6}

。餘弦的圖形從

x = 0

的

1

往下降，在

\frac{π}{6}

降到

\frac{3}{2}

，之後一直在這個高度以下，到

\frac{11 π}{6}

才回升到

\frac{3}{2}

。所以

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

。

格子依序填

6

、

1

、

1

、

6

。

0 \leq x < \frac{π}{6}

與

\frac{11 π}{6} < x \leq 2 π

這兩段的餘弦值比

\frac{3}{2}

大，要排除。

05選填題（第 18～21 題）：扇形面積、由圖形求係數、輔助角、數交點

第 18 題

\overline{A E}

是半徑，

\overline{A E} = \overline{A D} = 6

。直角三角形

A B E

中

\overline{A B} = 3

、

\overline{A E} = 6

，

cos ∠ B A E = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

，所以

∠ B A E = 6 0^{\circ}

，

∠ D A E = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

。扇形

A D E

的面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{π}{6} = 3 π

。圖中沒有塗色的部分正好是扇形

A D E

，所以陰影面積

=

長方形

-

扇形

= 3 \times 6 - 3 π = 18 - 3 π

。

陰影有兩塊：三角形

A B E

與弧外靠

C

的那一角，分開算比較麻煩，用整個長方形減去扇形最快。扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。數值約

8.58

。

第 19 題

a > 0

時最大值

a + d = 6

、最小值

- a + d = - 2

，解得

a = 4

、

d = 2

。

A

是最高點、

B

是它右邊相鄰的最低點，兩點的

x

坐標相差半個週期：

\frac{19}{30} π - \frac{3}{10} π = \frac{10}{30} π = \frac{π}{3}

，週期

= \frac{2 π}{3}

，所以

b = 2 π \div \frac{2 π}{3} = 3

。最高點處正弦值為

1

：

3 \times \frac{3}{10} π + c π = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{1}{2} - \frac{9}{10} + 2 k = - \frac{2}{5} + 2 k

。

- 1 \leq c \leq 1

只有

k = 0

，

c = - \frac{2}{5}

。

a + b + c + d = 4 + 3 - \frac{2}{5} + 2 = \frac{43}{5}

。

驗算最低點：

3 \times \frac{19}{30} π - \frac{2}{5} π = \frac{19}{10} π - \frac{4}{10} π = \frac{3 π}{2}

，正弦值為

- 1

，

f = - 4 + 2 = - 2

，與

B

相符。括號裡是

c π

，所以解出來的

c

不帶

π

。

第 20 題展開

a sin (x + θ) = a cos θ sin x + a sin θ cos x

，與

sin x - 2 cos x

比較係數：

a cos θ = 1

、

a sin θ = - 2

。兩式相除得

tan θ = - 2

。由正切的二倍角公式

tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} = \frac{- 4}{1 - 4} = \frac{4}{3}

。

不必求出

θ

本身。

a = 1^{2} + 2^{2} = 5

；條件

a > 0

是用來確定

cos θ > 0

、

sin θ < 0

，不過兩式相除後

tan θ

的值不受影響。

第 21 題實數解的組數就是直線

y = \frac{x}{4}

與曲線

y = cos π x

的交點個數。

y = cos π x

的週期是

\frac{2 π}{π} = 2

，值在

- 1

與

1

之間，所以只需看

- 4 \leq x \leq 4

。曲線在

x

為偶數時是最高點（高度

1

）、

x

為奇數時是最低點（高度

- 1

）。逐段比較曲線與直線的高低：

x = 0

時曲線

1

在直線

0

的上方；

x = 1

時曲線

- 1

在直線

\frac{1}{4}

的下方；

x = 2

時曲線

1

在直線

\frac{1}{2}

的上方；

x = 3

時曲線

- 1

在直線

\frac{3}{4}

的下方；

x = 4

時曲線與直線的高度都是

1

，

(4, 1)

是一個交點。上下每交換一次就有一個交點，所以

0 < x < 1

、

1 < x < 2

、

2 < x < 3

各

1

個；

3 < x < 4

之間，曲線在快到

x = 4

時已經回到直線上方（見下方說明），所以這一段裡還有

1

個交點；再加上

x = 4

。

x > 0

共

5

個。

x < 0

：

x = - 1

時曲線

- 1

在直線

- \frac{1}{4}

下方、

x = - 2

時曲線

1

在上方、

x = - 3

時曲線

- 1

在直線

- \frac{3}{4}

下方、

x = - 4

時曲線

1

在直線

- 1

上方，四段各

1

個，共

4

個。合計

5 + 4 = 9

組。

最容易漏的是

x = 4

附近的兩個交點。直線以固定的斜率

\frac{1}{4}

爬到

(4, 1)

，而曲線在最高點附近幾乎是平的，所以曲線會先從下方穿過直線、再在最高點

(4, 1)

與直線相遇。數值上：

x = 3.98

時

cos (3.98 π) = cos (0.02 π) \approx 0.998

，比直線的

0.995

高。這個交點約在

x \approx 3.949

。左邊的

x = - 4

則不是交點（曲線

1

、直線

- 1

）。

數交點時先用值域把

x

的範圍框住，再在曲線的每個最高點、最低點比較「誰在上面」；直線恰好通過最高點的地方要另外檢查附近還有沒有交點。

06選填題（第 22～24 題）：通分後疊合、正切的和角公式、軌道的週期

第 22 題通分：原式

= \frac{sin 8 0 ^{\circ} - 3 cos 8 0 ^{\circ}}{sin 8 0 ^{\circ} cos 8 0 ^{\circ}}

。分子

= 2 (\frac{1}{2} sin 8 0^{\circ} - \frac{3}{2} cos 8 0^{\circ}) = 2 (sin 8 0^{\circ} cos 6 0^{\circ} - cos 8 0^{\circ} sin 6 0^{\circ}) = 2 sin (8 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = 2 sin 2 0^{\circ}

。分母

= \frac{1}{2} sin 16 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 2 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{2 sin 2 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 2 0 ^{\circ}} = 4

。

sin 16 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = sin 2 0^{\circ}

，分子分母才能約掉。

第 23 題設小正方形邊長為

1

。

\overline{A O}

在大正方形的對角線

\overline{A C}

上，所以

∠ O A B = 4 5^{\circ}

，

tan ∠ O A B = 1

。另一條斜線從

B

連到上邊離

D

一格的格點，往左

2

格、往上

3

格，所以

tan ∠ O B A = \frac{3}{2}

。在

△ O A B

中

∠ A O B = 18 0^{\circ} - (∠ O A B + ∠ O B A)

。由正切的和角公式

tan (∠ O A B + ∠ O B A) = \frac{1 + \frac{3}{2}}{1 - 1 \times \frac{3}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{- \frac{1}{2}} = - 5

，所以

tan ∠ A O B = - tan (∠ O A B + ∠ O B A) = 5

。

也可以用坐標驗算：取

A (0, 0)

、

B (3, 0)

，兩斜線

y = x

與

y = - \frac{3}{2} (x - 3)

交於

O (\frac{9}{5}, \frac{9}{5})

。

∠ A O B

是銳角（約

78. 7^{\circ}

），正切為正。

第 24 題最高點

A

離地面

\overline{A B} + \overline{B C} = 8 + 2 = 10

公尺；由圖，軌道的最低點在地面上，高度

0

。所以振幅是

\frac{10 - 0}{2} = 5

，中心線高度是

5

。以

C

為原點、地面為

x

軸，最高點在

x = 0

，軌道的高度可寫成

h (x) = 5 cos k x + 5

（

k > 0

）。閃燈在

x = \pm 4

處高度

7.5

：

5 cos 4 k + 5 = 7.5

，

cos 4 k = \frac{1}{2}

。由圖，閃燈在最高點

A

旁邊、還沒降到中心線的地方，所以

4 k = \frac{π}{3}

，

k = \frac{π}{12}

。週期

= \frac{2 π}{k} = 24

。相鄰兩個最高點相距一個週期，

\overline{A D} = 24

公尺。

「軌道最低點貼著地面」是從附圖讀出來的，題幹文字沒有另外寫。

cos 4 k = \frac{1}{2}

還有

4 k = \frac{5 π}{3}

等其他解，那會讓軌道在

A

與閃燈之間先降到地面再爬上來，與圖不合。餘弦函數左右對稱，所以左右兩盞燈的高度相同。

由圖形或情境求

y = a cos k x + d

的係數：最高、最低的高度決定

a

與

d

，再代一個已知點求

k

，週期就是相鄰兩個最高點的距離。

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選填第 21 題數直線與餘弦曲線的交點，直線恰好通過 x 等於 4 的最高點，這附近有兩個交點，最容易少算；選填第 14 題疊合後要把 x 的範圍換成整個角的範圍，最大值在右端點而不是振幅；選填第 16 題兩直線有兩個互補的夾角，正切值正負都要寫；選填第 19 題要由最高點與相鄰最低點的 x 坐標差求半個週期，再代最高點求 c；多選第 11 題選項 (5) 要先判斷半角在第二象限，餘弦取負。詳解逐題寫在本頁。

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03多選題（第 11～13 題）：二倍角與半角、三角形的邊角、由圖形判斷式子

04選填題（第 14～17 題）：疊合求極值、差角公式、兩直線夾角、餘弦不等式

05選填題（第 18～21 題）：扇形面積、由圖形求係數、輔助角、數交點

06選填題（第 22～24 題）：通分後疊合、正切的和角公式、軌道的週期

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