段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

平鎮高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 9 題（每題 5 分，共 45 分）、多選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、選填題 8 題（每題 5 分，共 40 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、單選題｜每題 5 分，共 45 分。（第 1 題至第 9 題）

函數

y = 1 - 3 cos [5 (x + 7)]

的最大值為

(1) $3$
(2) $4$
(3) $5$
(4) $6$
(5) $7$

將函數

y = sin x

的圖形由

y

軸左右往中央壓縮為

\frac{1}{2}

倍，再向左平移

\frac{π}{6}

個單位，所得新圖形的函數為何？

(1) $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$
(2) $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$
(3) $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$
(4) $y = sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$
(5) $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$

下列哪一個數值最接近

2

？

(1) $3 cos 4 4^{\circ} + sin 4 4^{\circ}$
(2) $3 cos 5 4^{\circ} + sin 5 4^{\circ}$
(3) $3 cos 6 4^{\circ} + sin 6 4^{\circ}$
(4) $3 cos 7 4^{\circ} + sin 7 4^{\circ}$
(5) $3 cos 8 4^{\circ} + sin 8 4^{\circ}$

已知

tan α = \frac{1}{3}

，

tan (α + β) = \frac{1}{2}

，則

tan β =

(1) $- 2$
(2) $- \frac{1}{4}$
(3) $\frac{1}{7}$
(4) $\frac{1}{4}$
(5) $3$

已知

cos θ

為方程式

5 x^{2} + 7 x - 6 = 0

的一根，則

cos 2 θ

等於

(1) $- \frac{13}{25}$
(2) $- \frac{7}{25}$
(3) $\frac{1}{25}$
(4) $\frac{6}{25}$
(5) $- \frac{9}{25}$

- 4

弧度為第幾象限角？

(1) 一
(2) 二
(3) 三
(4) 四
(5) 剛好在軸上的角

設

16 5^{\circ} \leq x \leq 30 0^{\circ}

，則函數

y = sin (x + 4 5^{\circ})

的最小值為

(1) $- 1$
(2) $- \frac{3}{2}$
(3) $- \frac{1}{2}$
(4) $- \frac{2}{2}$

下列哪一個函數的週期為

π

？

(1) $y = \frac{1}{3} cos x$
(2) $y = sin (x + π)$
(3) $y = cos ∣ x ∣$
(4) $y = cos \frac{x}{3}$
(5) $y = sin 2 x$

請問

cos x = \frac{2 x}{3 π}

的方程式有幾個實根？

(1) $6$ 個
(2) $5$ 個
(3) $4$ 個
(4) $3$ 個
(5) $2$ 個

二、多選題｜每題 5 分（全對 5，錯一 3，錯二 1，其餘 0），共 15 分。（第 10 題至第 12 題）

設

f (x) = 2 sin x cos x - (sin x + cos x)

，

t = sin x + cos x

，下列敘述何者正確？

(1) $t = 2 sin (x + \frac{π}{4})$
(2) $f (x) = t^{2} - t - 1$
(3) $f (x)$ 有最小值 $- \frac{5}{4}$
(4) $sin x + cos x = - 2$ 時， $f (x)$ 有最小值
(5) $f (x)$ 有最大值 $1 + 2$

關於函數

f (x) = \frac{1}{2} (3 sin x + 3 cos x)

的圖形，下列敘述哪些是正確的？

(1) 週期是 $π$
(2) 振幅是 $\frac{3}{2}$
(3) $y = f (x)$ 的圖形與 $y$ 軸的交點為 $(0, \frac{3}{2})$
(4) $y = f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸有無限多個交點
(5) $y = f (x)$ 的圖形對稱於原點

已知

27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

且

cos θ = \frac{3}{4}

，下列選項何者正確？

(1) $sin θ = - \frac{7}{4}$
(2) $tan θ = - \frac{7}{3}$
(3) $tan 2 θ = - 37$
(4) $sin 2 θ = \frac{3 7}{8}$
(5) $sin \frac{θ}{2} = \frac{14}{4}$

三、選填題｜每題 5 分，共 40 分。（原卷題號 A～H，本頁編為第 13～20 題）

如附圖，扇形的圓心角

\frac{π}{3}

，圓

O

的半徑

1

公分且與扇形相切，則灰色部分的面積為 ____

π

平方公分。

載入中...

時鐘在

5

點

30

分時，時針與分針所夾的較小的夾角為 ____

π

（弧度）。

有一個輪子，半徑

45

公分，讓它在地上滾動

180

公分的長度，試問輪子繞軸轉動了多少 ____ 度。（度以下四捨五入）

sin θ = - \frac{3}{5}

，且

tan θ > 0

，則

sin 2 θ =

____。

若

sin x = 3 cos x

，則

cos 2 x =

____。

若

α + β = 13 5^{\circ}

，則

(1 - tan α) (1 - tan β) + 5 =

____。

\frac{51 π}{6}

弧度

=

____ 度。（請化為度）

假設小華某段時間的血壓變化可用函數

f (t) = 24 sin (120 π t) + 90

來模擬，其中

f (t)

為血壓（單位：毫米汞柱），

t

為時間（單位：分鐘）。若

f (t)

的最大值稱為收縮壓，而兩個收縮壓的時間間隔為

1

次心跳的時間，則小華的心跳速率為每分鐘 ____ 次。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(4)

第 4 題(3)

第 5 題(2)

第 6 題(2)

第 7 題(1)

第 8 題(5)

第 9 題(4)

第 10 題(1)(2)(3)(5)

第 11 題(3)(4)

第 12 題(1)(2)(3)

第 13 題

\frac{1}{2}

第 14 題

\frac{1}{12}

第 15 題

229

第 16 題

\frac{24}{25}

第 17 題

- \frac{4}{5}

第 18 題

7

第 19 題

1530

第 20 題

60

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～5 題）：極值、圖形變換、疊合、正切差角、二倍角

第 1 題答案 (2)。不論括號裡的角是多少，

- 1 \leq cos [5 (x + 7)] \leq 1

。

y = 1 - 3 cos [5 (x + 7)]

在餘弦值為

- 1

時最大，最大值

= 1 - 3 \times (- 1) = 4

。

餘弦前面是負號，所以要讓餘弦取最小值

- 1

，

y

才會最大；最小值則是

1 - 3 = - 2

。

第 2 題答案 (3)。水平方向壓縮為

\frac{1}{2}

倍，把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

。再向左平移

\frac{π}{6}

，把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

y = sin 2 (x + \frac{π}{6}) = sin (2 x + \frac{π}{3})

。

先伸縮再平移時，平移是把「

x

」換成

x + \frac{π}{6}

，括號外的

2

要乘進去，所以是

\frac{π}{3}

不是

\frac{π}{6}

。

第 3 題答案 (4)。疊合：

3 cos x + sin x = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + 6 0^{\circ})

。五個選項依序是

2 sin 10 4^{\circ}

、

2 sin 11 4^{\circ}

、

2 sin 12 4^{\circ}

、

2 sin 13 4^{\circ}

、

2 sin 14 4^{\circ}

，也就是

2 sin 7 6^{\circ}

、

2 sin 6 6^{\circ}

、

2 sin 5 6^{\circ}

、

2 sin 4 6^{\circ}

、

2 sin 3 6^{\circ}

。而

2 = 2 sin 4 5^{\circ}

，銳角的正弦隨角度遞增，角度最接近

4 5^{\circ}

的是

4 6^{\circ}

，選 (4)。

數值：

2 sin 4 6^{\circ} \approx 1.439

，

2 \approx 1.414

，相差約

0.025

；次接近的

2 sin 3 6^{\circ} \approx 1.176

已經差了

0.24

。

第 4 題答案 (3)。

β = (α + β) - α

，用正切的差角公式：

tan β = \frac{tan ( α + β ) - tan α}{1 + tan ( α + β ) tan α} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{1}{7}

。

也可以設

tan β = k

，由

\frac{\frac{1}{3} + k}{1 - \frac{1}{3} k} = \frac{1}{2}

解出

k = \frac{1}{7}

，結果相同。

第 5 題答案 (2)。

5 x^{2} + 7 x - 6 = (5 x - 3) (x + 2) = 0

，

x = \frac{3}{5}

或

x = - 2

。餘弦值介於

- 1

與

1

之間，

- 2

不合，所以

cos θ = \frac{3}{5}

。由二倍角公式

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 2 \times \frac{9}{25} - 1 = - \frac{7}{25}

。

兩個根要先用

- 1 \leq cos θ \leq 1

篩掉一個。

02單選題（第 6～9 題）：弧度與象限、範圍內的極值、週期、數交點

第 6 題答案 (2)。

π \approx 3.14

，

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

- \frac{3 π}{2} < - 4 < - π

。加上一圈

2 π

：

- 4 + 2 π \approx 2.28

，介於

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

π \approx 3.14

之間，是第二象限角。

換成度來看：

- 4

弧度約

- 229. 2^{\circ}

，同界角是

130. 8^{\circ}

。負角是順時針轉，從

- 18 0^{\circ}

再轉約

4 9^{\circ}

會進到第二象限，不是第三象限。

第 7 題答案 (1)。

16 5^{\circ} \leq x \leq 30 0^{\circ}

時，

21 0^{\circ} \leq x + 4 5^{\circ} \leq 34 5^{\circ}

。這段角度包含

27 0^{\circ}

，而

sin 27 0^{\circ} = - 1

是正弦的最小值，所以當

x + 4 5^{\circ} = 27 0^{\circ}

，即

x = 22 5^{\circ}

時，

y

有最小值

- 1

。

要先把

x

的範圍換成整個角

x + 4 5^{\circ}

的範圍，再看這段裡有沒有包含

27 0^{\circ}

。兩個端點的值是

sin 21 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

、

sin 34 5^{\circ} \approx - 0.26

，都不是最小。原卷這一題只印四個選項。

第 8 題答案 (5)。(1)

y = \frac{1}{3} cos x

：前面的係數只改變振幅，週期仍是

2 π

。(2)

y = sin (x + π)

：左右平移不改變週期，

2 π

。(3)

cos ∣ x ∣

：因為

cos (- x) = cos x

，所以

cos ∣ x ∣ = cos x

，週期

2 π

。(4)

y = cos \frac{x}{3}

：週期

= \frac{2 π}{1/3} = 6 π

。(5)

y = sin 2 x

：週期

= \frac{2 π}{2} = π

。

(3) 是

x

加絕對值，不是整個函數加絕對值；

y = ∣ cos x ∣

的週期才是

π

。

第 9 題答案 (4)。數

y = cos x

與直線

y = \frac{2 x}{3 π}

的交點。餘弦值介於

- 1

與

1

之間，所以只需看

- \frac{3 π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

（直線在

x = \pm \frac{3 π}{2}

時高度是

\pm 1

）。

x > 0

：在

0 < x < \frac{π}{2}

，餘弦從

1

降到

0

、直線從

0

升到

\frac{1}{3}

，交

1

點；在

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

，餘弦

\leq 0

而直線為正，沒有交點。

x < 0

：在

- \frac{π}{2} \leq x < 0

，餘弦

\geq 0

而直線為負，沒有交點；在

- \frac{3 π}{2} \leq x < - \frac{π}{2}

，三個位置的（餘弦，直線）依序是

x = - \frac{3 π}{2}

：

(0, - 1)

，

x = - π

：

(- 1, - \frac{2}{3})

，

x = - \frac{π}{2}

：

(0, - \frac{1}{3})

，餘弦先在直線上方、再到下方、再回到上方，交

2

點。合計

1 + 2 = 3

個實根。

兩個端點都不是根：

x = \frac{3 π}{2}

時直線高度

1

、餘弦值

0

；

x = - \frac{3 π}{2}

時直線高度

- 1

、餘弦值

0

。三個根約在

x \approx - 3.78

、

- 2.01

、

1.29

。

03多選題（第 10～12 題）：換成 t 的二次函數、疊合後的性質、倍角與半角

第 10 題答案 (1)(2)(3)(5)。(1) 對：

sin x + cos x = 2 (\frac{2}{2} sin x + \frac{2}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，所以

- 2 \leq t \leq 2

。(2) 對：

t^{2} = sin^{2} x + 2 sin x cos x + cos^{2} x = 1 + 2 sin x cos x

，所以

2 sin x cos x = t^{2} - 1

，

f (x) = t^{2} - 1 - t = t^{2} - t - 1

。(3) 對：配方

t^{2} - t - 1 = (t - \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

，

t = \frac{1}{2}

在

- 2

與

2

之間，取得到，最小值

- \frac{5}{4}

。(4) 錯：最小值發生在

t = \frac{1}{2}

；

t = - 2

離對稱軸

t = \frac{1}{2}

最遠，那裡是最大值。(5) 對：

t = - 2

時

f = 2 + 2 - 1 = 1 + 2

；另一端

t = 2

時

f = 2 - 2 - 1 = 1 - 2

，比較小，所以最大值是

1 + 2

。

換成

t

之後要記得

t

有範圍

- 2 \leq t \leq 2

；開口向上的拋物線在這段範圍內，最小值看頂點，最大值看離對稱軸較遠的端點。

第 11 題答案 (3)(4)。疊合：

3 sin x + 3 cos x = 23 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 23 sin (x + \frac{π}{3})

，所以

f (x) = 3 sin (x + \frac{π}{3})

。(1) 錯：週期是

2 π

。(2) 錯：振幅是

3

。(3) 對：

f (0) = \frac{1}{2} (0 + 3) = \frac{3}{2}

。(4) 對：

sin (x + \frac{π}{3}) = 0

的解是

x = - \frac{π}{3} + nπ

（

n

為整數），有無限多個。(5) 錯：對稱於原點的圖形若通過

y

軸，必須通過原點，但

f (0) = \frac{3}{2} \neq = 0

。

振幅是

\frac{1}{2} (3)^{2} + 3^{2} = \frac{1}{2} 12 = 3

；(2) 的

\frac{3}{2}

是只把

3

乘上

\frac{1}{2}

。

第 12 題答案 (1)(2)(3)。

θ

在第四象限，正弦為負：

sin θ = - 1 - \frac{9}{16} = - \frac{7}{4}

，(1) 對。

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = - \frac{7}{3}

，(2) 對。(3)

tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} = \frac{- \frac{2 7}{3}}{1 - \frac{7}{9}} = - \frac{2 7}{3} \times \frac{9}{2} = - 37

，對。(4)

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times (- \frac{7}{4}) \times \frac{3}{4} = - \frac{3 7}{8}

，是負的，錯。(5)

13 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 18 0^{\circ}

，在第二象限，正弦為正；

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1}{8}

，

sin \frac{θ}{2} = \frac{2}{4}

，錯。

(5) 的

\frac{14}{4}

來自

\frac{1 + cos θ}{2} = \frac{7}{8}

，那是

cos^{2} \frac{θ}{2}

；實際上

cos \frac{θ}{2} = - \frac{14}{4}

（第二象限餘弦為負）。

04選填 A～D（第 13～16 題）：扇形與內切圓、時鐘、滾動、二倍角

第 13 題設扇形的頂點為

P

、半徑為

r

。圓

O

與扇形的兩條半徑都相切，所以

O

在圓心角的平分線上，

\overline{P O}

與每條半徑夾

\frac{π}{6}

。從

O

向一條半徑作垂線，垂線長就是圓的半徑

1

，在這個直角三角形中

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{P O}

，所以

\overline{P O} = 2

。圓又與弧相切（內切），切點在

\overline{P O}

的延長線上，所以

r = \overline{P O} + 1 = 3

。扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

，圓面積

= π

，灰色部分

= \frac{3 π}{2} - π = \frac{π}{2}

平方公分。原卷的

π

印在空格外，所以空格填

\frac{1}{2}

，完整的值是

\frac{π}{2}

平方公分。

扇形的半徑不是直接給的，要靠「圓心到半徑的距離等於

1

」與「圓和弧內切」兩個條件求出來。

第 14 題從

12

點方向順時針量：分針每分鐘走

6^{\circ}

，

30

分時在

18 0^{\circ}

；時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

5

點

30

分時在

15 0^{\circ} + 1 5^{\circ} = 16 5^{\circ}

。夾角

18 0^{\circ} - 16 5^{\circ} = 1 5^{\circ} = 15 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{12}

弧度。原卷的

π

印在空格外，所以空格填

\frac{1}{12}

，完整的值是

\frac{π}{12}

弧度。

時針不是停在

5

的位置，

30

分鐘內它又往前走了

1 5^{\circ}

。

第 15 題滾動不滑動時，輪子轉過的弧長等於前進的距離，所以轉角

= \frac{180}{45} = 4

弧度。換成度：

4 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = \frac{72 0 ^{\circ}}{π} \approx 229.1 8^{\circ}

，四捨五入為

229

度。

π

取

3.14

算得

229.3

，取

3.1416

算得

229.18

，四捨五入都是

229

。

第 16 題

sin θ < 0

且

tan θ > 0

，

θ

在第三象限，餘弦為負：

cos θ = - 1 - \frac{9}{25} = - \frac{4}{5}

。

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times (- \frac{3}{5}) \times (- \frac{4}{5}) = \frac{24}{25}

。

tan θ > 0

是用來決定象限的；如果

θ

在第四象限，答案會變成

- \frac{24}{25}

。

05選填 E～H（第 17～20 題）：由正切求二倍角、正切和角的變形、弧度化度、週期

第 17 題把

sin x = 3 cos x

代入

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

：

9 cos^{2} x + cos^{2} x = 1

，

cos^{2} x = \frac{1}{10}

。

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1 = \frac{2}{10} - 1 = - \frac{4}{5}

。

只需要

cos^{2} x

，不必判斷

x

在哪個象限。也可以用

tan x = 3

，

cos 2 x = \frac{1 - tan ^{2} x}{1 + tan ^{2} x} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = - \frac{4}{5}

。

第 18 題

tan (α + β) = tan 13 5^{\circ} = - 1

，即

\frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β} = - 1

，所以

tan α + tan β = tan α tan β - 1

。展開

(1 - tan α) (1 - tan β) = 1 - (tan α + tan β) + tan α tan β = 1 - (tan α tan β - 1) + tan α tan β = 2

。所求

= 2 + 5 = 7

。

可以代一組角檢查：

α = 0^{\circ}

、

β = 13 5^{\circ}

時，

(1 - 0) (1 - (- 1)) + 5 = 7

。

第 19 題

π

弧度

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{51 π}{6}

弧度

= \frac{51}{6} \times 18 0^{\circ} = 51 \times 3 0^{\circ} = 153 0^{\circ}

。

第 20 題

f (t) = 24 sin (120 π t) + 90

的週期是

\frac{2 π}{120 π} = \frac{1}{60}

分鐘。最大值（收縮壓，

24 + 90 = 114

）每隔一個週期出現一次，所以一次心跳的時間是

\frac{1}{60}

分鐘，每分鐘心跳

1 \div \frac{1}{60} = 60

次。

題目問的是次數（頻率），是週期的倒數；

t

的單位是分鐘，所以算出來直接是每分鐘的次數。

看到「角度有範圍」或「換成

t

」的題目，先把範圍換成整個角（或

t

）的範圍，再在那個範圍裡找極值與解。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 10 題要把函數換成 t 的二次函數，t 有範圍，最小值在頂點、最大值在離對稱軸較遠的端點；單選第 2 題先壓縮再平移，括號外的 2 要乘進平移量；單選第 9 題數交點時負的那一側有兩個、正的那一側只有一個；多選第 12 題第四象限的正弦是負的，半角落在第二象限；選填 E（本頁第 17 題）只需要餘弦的平方。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1～5 題）：極值、圖形變換、疊合、正切差角、二倍角

02單選題（第 6～9 題）：弧度與象限、範圍內的極值、週期、數交點

03多選題（第 10～12 題）：換成 t 的二次函數、疊合後的性質、倍角與半角

04選填 A～D（第 13～16 題）：扇形與內切圓、時鐘、滾動、二倍角

05選填 E～H（第 17～20 題）：由正切求二倍角、正切和角的變形、弧度化度、週期

同一次段考的其他學校

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常見問題

平鎮高中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

平鎮高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？