段考詳解範圍：離散型隨機變數（期望值與變異數、二項分布、幾何分布、假設檢定）、平面向量、空間向量、空間中的平面與直線（卷面未印範圍，依題目內容整理）

北一女中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

多重選擇題 3 題（每題 10 分，共 30 分；每個選項獨立計分，判斷正確者得 2 分，判斷錯誤者得 0 分，整題未答者不計分）、填充題 12 題共 14 格（共 80 分，第 1、3 題各有 (1)(2) 兩格，第 10 題的兩個空格算一格）。填充題依答對格數給分：答對 1 格 10 分、2 格 20 分、3 格 28 分、4 格 36 分、5 格 44 分、6 格 50 分、7 格 56 分、8 格 62 分、9 格 66 分、10 格 70 分、11 格 74 分、12 格 76 分、13 格 78 分、14 格 80 分。全卷合計 110 分，得分超過 100 分者，以 100 分計之。本站題號 1～3 為多重選擇題 1～3、4～15 為填充題 1～12。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題：每題 10 分，共 30 分。每個選項獨立計分，判斷正確者得 2 分，判斷錯誤者得 0 分。整題未答者，不計分。

設

X

為一隨機變數，且

X

的期望值

E (X) = 3

，變異數

Var (X) = 16

，請選出正確的選項。

(A) $X$ 的標準差為 $4$
(B) $E (2 X + 3) = 9$
(C) $Var (2 X + 3) = 64$
(D) $E (X^{2}) = 25$
(E) $- 3 X + 7$ 的標準差為 $12$

有

A

，

B

兩個箱子，其中

A

箱有

6

顆白球與

4

顆紅球，

B

箱有

8

顆白球與

2

顆藍球。現有三種抽獎方式（各箱中每顆球被抽取的機率相同）：(一) 先在

A

箱中抽取一球，若抽中紅球則停止，若抽到白球則再從

B

箱中抽取一球；(二) 先在

B

箱中抽取一球，若抽中藍球則停止，若抽到白球則再從

A

箱中抽取一球；(三) 同時分別在

A

，

B

箱中各抽取一球。給獎方式為：在紅、藍這兩種色球當中，若只抽到紅球得

100

元獎金；若只抽到藍球得

100

元獎金；若紅、藍兩種色球都抽到，則仍只得

200

元獎金；若都沒抽到，則無獎金。將上列 (一)(二)(三) 這三種抽獎方式所得獎金的期望值分別記為

E_{1}

、

E_{2}

、

E_{3}

，請選出正確的選項。

(A) $E_{1} = 52$
(B) $E_{1} = 62$
(C) $E_{2} = 52$
(D) $E_{2} = 62$
(E) $E_{3} = 60$

如下圖所示，正立方體

A B C D - E F G H

的稜長等於

2

（即

\overline{A B} = 2

），

K

為正方形

A B C D

的中心，

M

、

N

分別為線段

B F

、

E F

的中點。請選出正確的選項。

(A) $K M = \frac{1}{2} A B - \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} A E$
(B) $K M \cdot A B = 2$
(C) $\overline{K M} = 3$
(D) $△ K M N$ 為一直角三角形
(E) $△ K M N$ 之面積為 $\frac{6}{2}$

載入中...

二、填充題：14 格 80 分。答案若為分數，請務必以最簡分數填寫之。得分依下表給分。

袋中有

2

藍球、

2

黑球，小綠綠自袋中取球，每次取出一球。假設每個球被取出的機率相同，試問： (1) 取出不放回，取到黑球立即停止，則取出球數的期望值為 ____ 個。 (2) 取出後放回，直到第

4

次才取到黑球的機率為 ____。

連續投擲一枚不公正的硬幣，直到出現正面才停止，令隨機變數

X

的取值為直到出現正面時投擲的總次數，已知

P (X \geq 3) = \frac{4}{9}

，則此硬幣出現正面的機率為 ____。

小綠綠宣稱她在三分線投籃的命中率至少

80%

，為了檢定其宣稱，她邀請小駱到籃球場看她表演，在三分線投

10

球並以顯著水準

α = 0.05

檢定。假設隨機變數

X

的取值為小綠綠在三分線投籃

10

次進球的總次數，則 (1)

X

的拒絕域為

X < a

，其中

a =

____；(2) 小綠綠至少要投進 ____ 球，才不能拒絕她的宣稱。（請參考以下

X \sim B (10, 0.8)

的機率分布表）

X = k P (X = k) P (X \leq k) 0 0.00000010 0.00000010 1 0.00000410 0.00000420 2 0.00007373 0.00007793 3 0.00078643 0.00086436 4 0.00550502 0.00636938 5 0.02642412 0.03279350

X = k P (X = k) P (X \leq k) 6 0.08808038 0.12087388 7 0.20132659 0.32220047 8 0.30198989 0.62419036 9 0.26843546 0.89262582 10 0.10737418 1

某隨機變數

X

的機率分布表如下，

a

，

b

皆為整數。已知期望值

E (X) = 3

，變異數

Var (X) = 2

，則數對

(a, b) =

____。

x p (x) a \frac{1}{4} b \frac{1}{2} 5 \frac{1}{4}

有一硬幣其出現正面的機率為

p

，若擲此硬幣

n

次的正面次數期望值為

60

次，標準差為

26

，則數對

(n, p) =

____。

設

A (- 2, 2)

，

B (4, 8)

為坐標平面上兩點，且點

C

在二次函數

y = \frac{1}{2} x^{2}

的圖形上變動時，則內積

A B \cdot A C

的最小值

=

____。

在坐標平面上，

△ A B C

內有一點

P

滿足

A P = (\frac{5}{2}, \frac{10}{3})

及

A P = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{3} A C

。若

A

，

P

連線交

\overline{B C}

於

M

，則

A M

的坐標為 ____。

設

O

、

A

、

B

為坐標平面上不共線三點，其中向量

O A

垂直

O B

。若

C

、

D

兩點在直線

A B

上，滿足

O C = \frac{2}{5} O A + \frac{3}{5} O B

、

2 \overline{A D} = 7 \overline{B D}

，且

O C

垂直

O D

，則

(\frac{O A}{O B})^{2} =

____。

設

O (0, 0, 0)

為坐標空間中某長方體的一個頂點，且知

A (1, 2, 2)

，

B (- 2, - 1, 2)

，

C (6, - 6, 3)

為此長方體中與

O

相鄰的三頂點。若平面

E : 2 x + b y + cz = d

將此長方體截成兩部分，其中包含頂點

O

的那一部分是個正立方體，則

(b, c, d) =

____。

H : 3 x + 2 y + z = 7

為坐標空間中一平面，

L

為平面

H

上的一直線。已知點

P (1, 1, 2)

為

L

上距離原點

O

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 2 題(A)(C)(E)

第 3 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 4 題(1)

\frac{5}{3}

　(2)

\frac{1}{16}

第 5 題

\frac{1}{3}

第 6 題(1)

6

　(2)

6

第 7 題

(1, 3)

第 8 題

(100, \frac{3}{5})

第 9 題

- 3

第 10 題

(3, 4)

第 11 題

\frac{21}{4}

第 12 題

(- 2, 1, 9)

第 13 題

(3, - 5, 1)

（兩空依序為

- 5

、

1

）

第 14 題

x - 6 y + 4 z = 0

第 15 題

22

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1～3 題）：期望值與變異數、抽獎的期望值、正立方體中的向量

第 1 題

答案 (A)(B)(C)(D)(E)。設 $Y = a X + b$ ，則 $E (Y) = a E (X) + b$ 、 $Var (Y) = a^{2} Var (X)$ 、 $Y$ 的標準差 $= ∣ a ∣ \times (X$ 的標準差 $)$ 。

(A) 正確。 標準差 $= 16 = 4$ 。

(B) 正確。 $E (2 X + 3) = 2 \times 3 + 3 = 9$ 。

(D) 正確。 $Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ ，所以 $E (X^{2}) = 16 + 3^{2} = 25$ 。

(E) 正確。 標準差 $= ∣ - 3∣ \times 4 = 12$ 。

係數是負數時，標準差要乘絕對值

∣ - 3∣ = 3

，不是乘

- 3

。

第 2 題

答案 (A)(C)(E)。從 $A$ 箱抽到紅球的機率 $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ ，從 $B$ 箱抽到藍球的機率 $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ 。

方式 (一)：抽到紅球（機率 $\frac{2}{5}$ ）就停止，得 $100$ 元；抽到白球（機率 $\frac{3}{5}$ ）再從 $B$ 箱抽，抽到藍球（機率 $\frac{1}{5}$ ）得 $100$ 元，否則 $0$ 元。這個方式不可能紅、藍都抽到。 $E_{1} = 100 \times \frac{2}{5} + 100 \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} = 40 + 12 = 52$

方式 (二)：先抽 $B$ 箱，抽到藍球得 $100$ 元；抽到白球（機率 $\frac{4}{5}$ ）再從 $A$ 箱抽，抽到紅球得 $100$ 元。 $E_{2} = 100 \times \frac{1}{5} + 100 \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{5} = 20 + 32 = 52$

方式 (三)：兩箱各抽一球，互不影響。紅、藍都抽到的機率 $\frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{25}$ ，得 $200$ 元；只抽到紅球的機率 $\frac{2}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{25}$ ，只抽到藍球的機率 $\frac{3}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{25}$ ，各得 $100$ 元。 $E_{3} = 200 \times \frac{2}{25} + 100 \times \frac{8}{25} + 100 \times \frac{3}{25} = 16 + 32 + 12 = 60$

(A) 正確。 $E_{1} = 52$ 。

(B) 錯誤。 $E_{1} = 52 \neq = 62$ 。

(D) 錯誤。 $E_{2} = 52 \neq = 62$ 。

(E) 正確。 $E_{3} = 60$ 。

(一)(二) 抽到第一種色球就停止，所以最多只拿

100

元；只有 (三) 有機會拿到

200

元。

第 3 題

答案 (A)(B)(C)(D)(E)。由圖， $E$ 在 $A$ 正下方、 $F$ 在 $B$ 正下方。令 $u = A B$ 、 $v = A D$ 、 $w = A E$ ，三者兩兩垂直、長度都是 $2$ 。以 $A$ 為起點： $A K = \frac{1}{2} (u + v)$ （ $K$ 是 $\overline{B D}$ 的中點）， $A M = u + \frac{1}{2} w$ ， $A N = \frac{1}{2} (A E + A F) = \frac{1}{2} u + w$ 。

(A) 正確。 $K M = A M - A K = \frac{1}{2} u - \frac{1}{2} v + \frac{1}{2} w$ 。

(B) 正確。 $K M \cdot A B = \frac{1}{2} ∣ u ∣^{2} - \frac{1}{2} v \cdot u + \frac{1}{2} w \cdot u = \frac{1}{2} \times 4 = 2$ 。

(D) 正確。 $K N = A N - A K = - \frac{1}{2} v + w$ ， $\overline{K N}^{2} = 1 + 4 = 5$ ； $M N = A N - A M = - \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} w$ ， $\overline{M N}^{2} = 1 + 1 = 2$ 。因為 $\overline{K M}^{2} + \overline{M N}^{2} = 3 + 2 = 5 = \overline{K N}^{2}$ ， $∠ K M N = 9 0^{\circ}$ 。

(E) 正確。 面積 $= \frac{1}{2} \times \overline{K M} \times \overline{M N} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = \frac{6}{2}$ 。

也可以直接檢查

M K \cdot M N = (- \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v - \frac{1}{2} w) \cdot (- \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} w) = 1 - 1 = 0

。

正立方體的題目，選一個頂點與三條兩兩垂直的稜當基底，每個點都寫成這三個向量的組合，長度與內積就都能直接算。

02填充題第 1～5 題（第 4～8 題）：取球、幾何分布、假設檢定、分布表、二項分布

第 4 題

(1) 令 $X$ 為取出的球數。第一顆就是黑球： $P (X = 1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ；先藍後黑： $P (X = 2) = \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ ；兩顆藍球都先取出，第三顆一定是黑球： $P (X = 3) = \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{6}$ 。 $E (X) = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{3}$

(2) 取出後放回，每次取到黑球的機率都是 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 。第 $4$ 次才取到黑球，表示前 $3$ 次都是藍球、第 $4$ 次是黑球，機率 $(\frac{1}{2})^{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$ 。

三個機率相加

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1

，可以用來檢查分布表有沒有漏。

第 5 題設正面機率為

p

。

X \geq 3

表示前兩次都是反面，所以

P (X \geq 3) = (1 - p)^{2} = \frac{4}{9}

。因為

0 < 1 - p < 1

，得

1 - p = \frac{2}{3}

，

p = \frac{1}{3}

。

第 6 題

以小綠綠宣稱的界線 $p = 0.8$ 檢定， $X \sim B (10, 0.8)$ 。她宣稱命中率「至少」 $80%$ ，進球數太少才會懷疑她，所以拒絕域在左尾： $X < a$ ，其中 $a$ 取使 $P (X < a) \leq 0.05$ 的最大整數。

查表： $P (X \leq 5) = 0.03279350 \leq 0.05$ ，而 $P (X \leq 6) = 0.12087388 > 0.05$ 。所以拒絕域是 $X \leq 5$ ，也就是 $X < 6$ ，(1) $a = 6$ 。

(2) 進球數 $X \geq 6$ 時不落在拒絕域，不能拒絕她的宣稱，所以至少要投進 $6$ 球。

拒絕域要讓「宣稱成立卻被拒絕」的機率不超過

α = 0.05

；若把

X = 6

也放進去，這個機率變成

0.1209

，超過顯著水準。

第 7 題

期望值： $E (X) = \frac{1}{4} a + \frac{1}{2} b + \frac{5}{4} = 3$ ，得 $a + 2 b = 7$ 。

變異數： $E (X^{2}) = Var (X) + [E (X)]^{2} = 2 + 9 = 11$ ，所以 $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{2} b^{2} + \frac{25}{4} = 11$ ，得 $a^{2} + 2 b^{2} = 19$ 。

把 $a = 7 - 2 b$ 代入： $(7 - 2 b)^{2} + 2 b^{2} = 19$ ， $6 b^{2} - 28 b + 30 = 0$ ， $3 b^{2} - 14 b + 15 = 0$ ， $(b - 3) (3 b - 5) = 0$ ， $b = 3$ 或 $\frac{5}{3}$ 。 $b$ 是整數，所以 $b = 3$ 、 $a = 7 - 6 = 1$ ， $(a, b) = (1, 3)$ 。

檢查：

E (X) = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = 3

，

E (X^{2}) = \frac{1}{4} + \frac{9}{2} + \frac{25}{4} = 11

，

Var (X) = 11 - 9 = 2

。

第 8 題正面次數

X \sim B (n, p)

，

E (X) = n p = 60

，

Var (X) = n p (1 - p) = (26)^{2} = 24

。兩式相除得

1 - p = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}

，

p = \frac{3}{5}

，

n = \frac{60}{p} = 100

。

(n, p) = (100, \frac{3}{5})

。

題目給的是標準差，要先平方成變異數

24

再列式。

期望值與變異數題先寫出

E (X)

與

E (X^{2})

兩個方程式；二項分布記住

n p

與

n p (1 - p)

；左尾檢定的拒絕域取累積機率不超過顯著水準的最大範圍。

03填充題第 6～8 題（第 9～11 題）：平面向量

第 9 題設

C (t, \frac{1}{2} t^{2})

。

A B = (6, 6)

，

A C = (t + 2, \frac{1}{2} t^{2} - 2)

。

A B \cdot A C = 6 (t + 2) + 6 (\frac{1}{2} t^{2} - 2) = 3 t^{2} + 6 t = 3 (t + 1)^{2} - 3

所以

t = - 1

，即

C (- 1, \frac{1}{2})

時，內積有最小值

- 3

。

第 10 題

M

在直線

A P

上，設

A M = k A P = \frac{k}{2} A B + \frac{k}{3} A C

。

M

又在

\overline{B C}

上，所以兩個係數的和為

1

：

\frac{k}{2} + \frac{k}{3} = 1

，

k = \frac{6}{5}

。

A M = \frac{6}{5} A P = \frac{6}{5} (\frac{5}{2}, \frac{10}{3}) = (3, 4)

A M = \frac{3}{5} A B + \frac{2}{5} A C

，係數都是正的，

M

確實落在線段

\overline{B C}

上。

第 11 題

令 $a = O A$ 、 $b = O B$ ， $a \cdot b = 0$ ， $∣ a ∣ = \overline{O A}$ 、 $b = \overline{O B}$ 。

$D$ 在直線 $A B$ 上且 $\overline{A D} : \overline{B D} = 7 : 2$ ，有兩種位置。

內分（ $D$ 在 $A$ 、 $B$ 之間）： $O D = \frac{2 a + 7 b}{9}$ ，這時 $O C \cdot O D = \frac{1}{45} (2 a + 3 b) \cdot (2 a + 7 b) = \frac{1}{45} (4 ∣ a ∣^{2} + 21 b^{2}) > 0$ ，不可能垂直。

外分（ $\overline{A D} > \overline{B D}$ ，所以 $D$ 在 $B$ 的外側）： $B$ 把 $\overline{A D}$ 分成 $5 : 2$ ， $b = \frac{2 a + 5 O D}{7}$ ，得 $O D = \frac{7 b - 2 a}{5}$ 。 $O C \cdot O D = \frac{1}{25} (2 a + 3 b) \cdot (- 2 a + 7 b) = \frac{1}{25} (- 4 ∣ a ∣^{2} + 21 b^{2}) = 0$ 所以 $(\frac{O A}{O B})^{2} = \frac{∣ a ∣ ^{2}}{∣ b ∣ ^{2}} = \frac{21}{4}$ 。

題目寫「直線

A B

」又只給長度比，兩種分點都要考慮；內分點那一種不合。

動點在曲線上就設參數、把內積寫成一元函數；點在直線

B C

上看係數和為

1

；只給長度比的分點要同時考慮內分與外分。

04填充題第 9～12 題（第 12～15 題）：空間中的平面、直線與四面體

第 12 題

$\overline{O A} = 1 + 4 + 4 = 3$ ， $\overline{O B} = 4 + 1 + 4 = 3$ ， $\overline{O C} = 36 + 36 + 9 = 9$ ；又 $O A \cdot O B = - 2 - 2 + 4 = 0$ 、 $O A \cdot O C = 6 - 12 + 6 = 0$ 、 $O B \cdot O C = - 12 + 6 + 6 = 0$ ，三稜兩兩垂直。

含 $O$ 的部分是正立方體，邊長只能是 $3$ ：以 $\overline{O A}$ 、 $\overline{O B}$ 為兩稜，第三稜在 $\overline{O C}$ 上取長度 $3$ ，終點 $P$ 滿足 $O P = \frac{1}{3} O C = (2, - 2, 1)$ 。截面就是這個正立方體與 $O$ 相對的那一面：過 $P$ 且垂直 $\overline{O C}$ 的平面，法向量可取 $(2, - 2, 1)$ 。 $E : 2 (x - 2) - 2 (y + 2) + 1 (z - 1) = 0 \Rightarrow 2 x - 2 y + z = 9$ 所以 $(b, c, d) = (- 2, 1, 9)$ 。

這個平面與長方體的四條平行於

\overline{O C}

的稜都交在離底面

3

的位置，正好切出邊長

3

的正立方體。

第 13 題

$P$ 是 $L$ 上離 $O$ 最近的點，所以 $O P = (1, 1, 2)$ 與 $L$ 垂直。 $L$ 又在平面 $H$ 上，所以 $L$ 的方向也與 $H$ 的法向量 $(3, 2, 1)$ 垂直。（ $P$ 在 $H$ 上： $3 + 2 + 2 = 7$ 。）

同時垂直 $(3, 2, 1)$ 與 $(1, 1, 2)$ 的方向，取外積： $(3, 2, 1) \times (1, 1, 2) = (2 \times 2 - 1 \times 1, 1 \times 1 - 3 \times 2, 3 \times 1 - 2 \times 1) = (3, - 5, 1)$ 第一個分量恰為 $3$ ，所以方向向量為 $(3, - 5, 1)$ 。

檢查：

(3, - 5, 1) \cdot (3, 2, 1) = 9 - 10 + 1 = 0

，

(3, - 5, 1) \cdot (1, 1, 2) = 3 - 5 + 2 = 0

。

第 14 題

$L_{1}$ 過原點 $(0, 0, 0)$ 、方向向量 $(2, - 3, - 5)$ ； $L_{2}$ 過 $(1, 1, 1)$ 、方向向量 $(0, 2, 3)$ 。

$L_{1}$ 落在 $E$ 上，所以 $E$ 過原點，法向量與 $(2, - 3, - 5)$ 垂直； $L_{2}$ 與 $E$ 不相交，表示 $L_{2}$ 與 $E$ 平行，法向量也與 $(0, 2, 3)$ 垂直。取外積： $(2, - 3, - 5) \times (0, 2, 3) = ((- 3) \times 3 - (- 5) \times 2, (- 5) \times 0 - 2 \times 3, 2 \times 2 - (- 3) \times 0) = (1, - 6, 4)$ $E : x - 6 y + 4 z = 0$ 。

檢查 $L_{2}$ 不在 $E$ 上： $(1, 1, 1)$ 代入得 $1 - 6 + 4 = - 1 \neq = 0$ ，所以 $L_{2}$ 與 $E$ 確實不相交。

若

L_{2}

上的點也滿足平面方程式，

L_{2}

會整條落在

E

上而不是「不相交」，所以最後一定要代點檢查。

第 15 題

先求 $\overline{B C}$ ： $\overline{B C}^{2} = 24 + 24 - 2 \times 24 \times \frac{1}{3} = 32$ ， $\overline{B C} = 42$ 。在 $△ B C D$ 中， $\overline{B D}^{2} + \overline{C D}^{2} = 16 + 16 = 32 = \overline{B C}^{2}$ ，所以 $∠ B D C = 9 0^{\circ}$ ，面積 $= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ 。

$\overline{A B} = \overline{A C} = \overline{A D}$ ，所以 $A$ 在平面 $B C D$ 上的投影點到 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 等距，是 $△ B C D$ 的外心；直角三角形的外心是斜邊 $\overline{B C}$ 的中點，外接圓半徑 $22$ 。 $A$ 到平面 $B C D$ 的距離 $= 24 - 8 = 4$ 。

四面體體積 $V = \frac{1}{3} \times 8 \times 4 = \frac{32}{3}$ 。

$△ A B C$ 的面積： $sin ∠ B A C = 1 - \frac{1}{9} = \frac{2 2}{3}$ ，面積 $= \frac{1}{2} \times 24 \times \frac{2 2}{3} = 82$ 。

設 $D$ 到平面 $A B C$ 的距離為 $h$ ，則 $\frac{1}{3} \times 82 \times h = \frac{32}{3}$ ， $h = \frac{4}{2} = 22$ 。

同一個四面體的體積換一個面當底再算一次，就能得到另一個頂點到對面的距離。

平面的法向量用「同時垂直兩個方向」的外積求；四面體中某點到某面的距離，常先用另一組底與高求體積再反算。

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同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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北一女中 112 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題前兩種抽獎方式抽到色球就停止，不會同時抽到紅藍兩球；第 6 題拒絕域要取累積機率不超過 0.05 的最大範圍；第 11 題 D 在直線 AB 上要考慮內分與外分，內分不合；第 12 題要先看出三稜兩兩垂直、正立方體的稜長只能是 3；第 15 題要先由 BD、CD、BC 看出直角，再換底求體積。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自北一女中 112 學年度上學期高三第二次段考數學甲（文組），由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 112 上高三第二次段考數學試題、答案與詳解

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01多重選擇題（第 1～3 題）：期望值與變異數、抽獎的期望值、正立方體中的向量

02填充題第 1～5 題（第 4～8 題）：取球、幾何分布、假設檢定、分布表、二項分布

03填充題第 6～8 題（第 9～11 題）：平面向量

04填充題第 9～12 題（第 12～15 題）：空間中的平面、直線與四面體

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北一女中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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