段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

平鎮高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先估出圓周率的平方約 9.87，再換成同界角判斷落在哪一段；第 4 題要把正弦值介於兩個數之間的範圍分成三段來找；第 17 題把餘弦平方換成正弦後是開口向下的二次函數，最小值出現在端點；第 19 題要用圖形的對稱軸與週期把三個解寫成同一個角。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

第一部分選擇題 20 分（單選題 2 題 10 分、多選題 2 題 10 分）、第二部分選填題 16 題 80 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題一致。

第一部分：選擇題（佔 20 分）　壹、單選題（佔 10 分）：第 1 至 2 題，每題選出最適當的一個選項，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

下列哪一個選項的正弦值與

sin \frac{π}{6}

相等？

(1) $sin \frac{π}{3}$
(2) $sin \frac{2 π}{3}$
(3) $sin \frac{π}{4}$
(4) $sin \frac{3 π}{4}$
(5) $sin \frac{5 π}{6}$

設

a = cos (π^{2})

，則下列敘述何者正確？

(1) $\frac{1}{2} < a \leq 1$
(2) $0 < a \leq \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(4) $- 1 < a \leq - \frac{1}{2}$
(5) $a = - 1$

貳、多選題（佔 10 分）：第 3 至 4 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 5 分，只錯一個選項可得 3 分，錯兩個選項可得 1 分，不作答或錯三個以上選項不給分。

關於正弦函數

y = sin x

及其圖形的描述，下列敘述何者正確？

(1) 任何一條水平線與 $y = sin x$ 的圖形都恰交於一點
(2) 不論實數 $x$ 的值為何， $sin x$ 都有意義
(3) $y = sin x$ 的圖形對稱於 $x = π$
(4) $y = sin x$ 的圖形對稱於點 $(π, 0)$
(5) $y = sin (x - π)$ 的圖形與 $y = sin x$ 的圖形會完全重疊在一起

設

0 \leq x < 2 π

，則滿足不等式

- \frac{1}{2} < sin x < \frac{3}{2}

之

x

的範圍可為下列何者？

(1) $0 \leq x < \frac{π}{3}$
(2) $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$
(3) $\frac{2 π}{3} < x < \frac{7 π}{6}$
(4) $\frac{7 π}{6} < x < \frac{4 π}{3}$
(5) $\frac{11 π}{6} < x < 2 π$

第二部分：選填題（佔 80 分）：第 A 至 P 題，每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。（原卷題號 A～P，本頁編為第 5～20 題）

試問

(\frac{4 π}{3} - \frac{4 π}{5})

弳為多少度？ ____

^{\circ}

。

設

θ

是

20

弳的同界角，且

0 \leq θ < 2 π

，試問

θ

為多少弳？ ____

-

____

π

。

已知扇形的弧長為

4

單位，面積為

3

平方單位，則此扇形的中心角為多少弳？ ____。（以最簡分數作答）

sin \frac{π}{3} \times cos \frac{5 π}{4} \times tan \frac{11 π}{6} = \frac{____}{____}

。（以最簡分數作答）

已知

tan θ = - \frac{12}{5}

，且

\frac{π}{2} < θ < π

，試求

sin (\frac{3 π}{2} + θ) =

____。（以最簡分數作答）

已知函數

y = a sin (x + \frac{π}{2}) + b

，其中

a > 0

，若函數的最大值為

\frac{3}{2}

，最小值為

- \frac{1}{2}

，則數對

(a, b) =

____。（以最簡分數作答）

函數

y = sin (x + \frac{7 π}{6})

的圖形往左平移幾個單位可以得到函數

y = sin x

的圖形。 ____

π

。（以最簡分數作答）

函數

y = 3 sin x

與函數

y = x + 1

的圖形有幾個交點。 ____。

一條長為

8

的繩子，所能圍出的扇形面積最大是多少？ ____。

有一個時鐘的時針長度為

5

公分，分針長度為

8

公分。假設時針針尖每分鐘所移動的弧長都相等，試求早上

8

點到早上

8

點

30

分鐘時針針尖所移動的弧長 ____

π

。（以最簡分數作答）

試問點

P (sin (- 4), tan (- 7))

在第幾象限？ ____。

勒洛三角形是一種特殊的圖形，在這個曲線上每一點到最遠一點的距離都相等，效果與圓形車輪一樣亦可以運載物體。這個圖形其實與圓有密切關係，這個三角形可以由三個等圓來形成，如附圖，每一個圓的半徑都相等，而且任一個圓心都在其他兩個圓的圓周上。若已知正

△ A B C

的邊長為

6

，則繪製出來的勒洛三角形面積為 ____

π -

____

____

。

載入中...

求函數

f (x) = cos^{2} x + 2 sin x + 2

的最小值。 ____。

有一圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，小龍恰坐在離地面最近的位置上，

x

分鐘後，小龍離地的高度

y

公尺，可表為

y = f (x) = 60 sin (k x - \frac{π}{2}) + 75

。已知摩天輪轉一圈需要

25

分鐘，求

k

的近似值。 ____。（

π = 3.14

，四捨五入到小數點後第二位）

已知

0 \leq x \leq 2.5 π

，如果

sin x = k

有三組解，由小到大依序是

α

、

β

、

γ

且

α + β + γ = \frac{13}{4} π

，則數對

(α, k) = (____π, \frac{____}{____})

。（以最簡分數作答）

健身房中有一種體能訓練叫作戰繩運動，用於增加核心穩定和提升運動爆發力，必須利用核心肌群去穩定身體甩動繩子，讓繩子呈現波的狀態，如附圖所示，利用波的形狀去評估訓練者的練習狀況。若將此波形標示於坐標平面上，且此波形的函數為

y = f (x) = a sin (b x) + c

，其中

a

、

b

、

c

皆為正數，則數對

a + b + c =

____

+

____

π

。（以最簡分數作答）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(2)(4)

第 4 題(1)(3)(5)

第 5 題

96

第 6 題

20

、

6

（即

20 - 6 π

）

第 7 題

\frac{8}{3}

第 8 題

2

、

4

（即

\frac{2}{4}

）

第 9 題

\frac{5}{13}

第 10 題

(1, \frac{1}{2})

第 11 題

\frac{5}{6}

第 12 題

3

第 13 題

4

第 14 題

\frac{5}{12}

第 15 題

4

（第四象限）

第 16 題

18

、

18

、

3

（即

18 π - 183

）

第 17 題

0

第 18 題

0.25

第 19 題

\frac{1}{4}

、

2

、

2

（即

(\frac{1}{4} π, \frac{2}{2})

）

第 20 題

\frac{6}{5}

、

1

（即

\frac{6}{5} + π

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：弧度角的三角函數值

第 1 題答案 (5)。

\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}

是第二象限角，參考角是

\frac{π}{6}

，第二象限的正弦值為正，所以

sin \frac{5 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。其餘四個選項的值依序是

\frac{3}{2}

、

\frac{3}{2}

、

\frac{2}{2}

、

\frac{2}{2}

，都不是

\frac{1}{2}

。

兩個角相加等於

π

時正弦值相等。

第 2 題答案 (4)。

π^{2} \approx 3.1 4^{2} \approx 9.87

，這是

9.87

弧度。減去一圈

2 π \approx 6.28

得同界角約

3.59

。

π \approx 3.14

、

\frac{4 π}{3} \approx 4.19

，所以

π < 3.59 < \frac{4 π}{3}

，是第三象限角。角從

π

增加到

\frac{4 π}{3}

時，餘弦值從

- 1

一路增加到

- \frac{1}{2}

，所以

- 1 < a < - \frac{1}{2}

，落在選項 (4) 的範圍。

實際值約

- 0.903

。

π^{2}

不是

π

的整數倍，所以

a

不會剛好等於

- 1

。

弧度角先用

π \approx 3.14

換成

0

到

2 π

之間的同界角，找出它夾在哪兩個特殊角之間。

02多選第 3、4 題：正弦函數圖形的性質、正弦值的範圍

第 3 題答案 (2)(4)。(1) 錯：水平線

y = 2

與圖形沒有交點，水平線

y = 0

與圖形有無限多個交點。(2) 對：任何實數

x

都可以當作一個弧度角，

sin x

都有定義。(3) 錯：圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，而

x = π

時

sin π = 0

，不是最大值也不是最小值；例如

sin \frac{π}{2} = 1

，但

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，兩點與

x = π

等距卻不等高。(4) 對：

(π, 0)

是圖形與

x

軸的交點，從這一點往右走

t

與往左走

t

，函數值

sin (π + t) = - sin t

與

sin (π - t) = sin t

恰好差一個負號，所以圖形對稱於這一點。(5) 錯：

y = sin (x - π)

是把

y = sin x

的圖形向右平移

π

，只移了半個週期；例如

x = \frac{π}{2}

時

sin (- \frac{π}{2}) = - 1

，而

sin \frac{π}{2} = 1

，兩個圖形不重疊。

要平移整個週期

2 π

（或它的整數倍）才會與原圖形完全重疊。原卷選項 (5) 印刷的部分只到「的圖形」，句尾「會完全重疊在一起」是卷面上補寫的字，本頁照補寫後的句子作答。

第 4 題答案 (1)(3)(5)。在

0 \leq x < 2 π

畫出

y = sin x

的圖形，看哪些部分夾在水平線

y = - \frac{1}{2}

與

y = \frac{3}{2}

之間。

sin x = \frac{3}{2}

的解是

x = \frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3}

；

sin x = - \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

。圖形從

x = 0

（值為

0

）上升，到

\frac{π}{3}

碰到上面那條線；

\frac{π}{3}

到

\frac{2 π}{3}

之間超出上線；

\frac{2 π}{3}

之後下降，到

\frac{7 π}{6}

碰到下面那條線；

\frac{7 π}{6}

到

\frac{11 π}{6}

之間低於下線；

\frac{11 π}{6}

之後回到兩線之間。所以解的範圍是

0 \leq x < \frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3} < x < \frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6} < x < 2 π

三段，即 (1)(3)(5)。(2)：區間

\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}

整段落在第一段

0 \leq x < \frac{π}{3}

裡面，區間內的

x

都滿足不等式，但它只是第一段的一部分；學校公布的答案不含 (2)。(4) 錯：這一段的正弦值都小於

- \frac{1}{2}

。

這一題的題意有兩種讀法。若把「範圍可為」讀成「這個範圍裡的

x

都滿足不等式」，選項 (2) 也成立；學校公布的答案 (1)(3)(5) 是把解寫成三段、只取完整的段。本頁照學校公布的答案。選了 (2) 的同學，對不等式的判斷本身沒有錯。

正弦值的不等式用圖形解：先求出與水平線的交點，再一段一段看圖形在線的上方還是下方。

03選填 A～C（第 5～7 題）：度與弧度、同界角、扇形

第 5 題

\frac{4 π}{3} - \frac{4 π}{5} = \frac{20 π - 12 π}{15} = \frac{8 π}{15}

。

π

弧度

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{8 π}{15} = \frac{8}{15} \times 18 0^{\circ} = 9 6^{\circ}

。

也可以分開換：

\frac{4 π}{3} = 24 0^{\circ}

，

\frac{4 π}{5} = 14 4^{\circ}

，相減得

9 6^{\circ}

。

第 6 題同界角相差

2 π

的整數倍。

2 π \approx 6.28

，

6 π \approx 18.85

，

8 π \approx 25.13

，所以

6 π \leq 20 < 8 π

。減去三圈：

θ = 20 - 6 π \approx 1.15

，在

0

與

2 π

之間。兩格依序填

20

、

6

。

第 7 題設半徑

r

、圓心角

θ

。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，所以

3 = \frac{1}{2} \times r \times 4

，

r = \frac{3}{2}

。再由弧長

s = r θ

：

4 = \frac{3}{2} θ

，

θ = \frac{8}{3}

（弧度）。

\frac{8}{3} \approx 2.67

弧度，小於

2 π

，是合理的圓心角。

04選填 D、E（第 8、9 題）：特殊角與廣義角的三角函數值

第 8 題

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

。

\frac{5 π}{4}

是第三象限角，參考角

\frac{π}{4}

，餘弦為負，

cos \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2}

。

\frac{11 π}{6}

是第四象限角，參考角

\frac{π}{6}

，正切為負，

tan \frac{11 π}{6} = - \frac{3}{3}

。原式

= \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{2}) \times (- \frac{3}{3}) = \frac{3 2}{12} = \frac{2}{4}

。根號內填

2

，分母填

4

。

兩個負號相乘為正；

3 \times 3 = 3

要記得與分母約分。

第 9 題

θ

是第二象限角，

tan θ = \frac{y}{x} = - \frac{12}{5}

，在終邊上取點

(- 5, 12)

，到原點的距離

r = 5^{2} + 1 2^{2} = 13

，所以

cos θ = - \frac{5}{13}

、

sin θ = \frac{12}{13}

。

\frac{3 π}{2} + θ

是把

θ

的終邊再逆時針轉

27 0^{\circ}

（等於順時針轉

9 0^{\circ}

），點

(x, y)

會轉到

(y, - x)

，所以

(- 5, 12)

轉到

(12, 5)

，

sin (\frac{3 π}{2} + θ) = \frac{5}{13}

。

寫成公式就是

sin (\frac{3 π}{2} + θ) = - cos θ

。

θ

在第二象限時

\frac{3 π}{2} + θ

在

2 π

與

\frac{5 π}{2}

之間，與第一象限角同界，正弦值為正，符號相符。

先由象限決定正負號，再用參考角求值；只知道一個三角函數值時，在終邊上取一個點來算。

05選填 F～H（第 10～12 題）：最大最小值、圖形平移、交點個數

第 10 題

- 1 \leq sin (x + \frac{π}{2}) \leq 1

，且

a > 0

，所以最大值是

a + b

、最小值是

- a + b

。由

a + b = \frac{3}{2}

、

- a + b = - \frac{1}{2}

，兩式相加得

2 b = 1

，

b = \frac{1}{2}

；相減得

2 a = 2

，

a = 1

。

(a, b) = (1, \frac{1}{2})

。

第 11 題把圖形往左平移

h

個單位，是把

x

換成

x + h

，得到

y = sin (x + h + \frac{7 π}{6})

。要與

y = sin x

的圖形相同，

h + \frac{7 π}{6}

必須是週期

2 π

的整數倍；

h > 0

時最小的是

h + \frac{7 π}{6} = 2 π

，

h = \frac{5 π}{6}

，格內填

\frac{5}{6}

。

若改成往右平移，只要移

\frac{7 π}{6}

；題目指定往左，所以要補到一整個週期。答案格只有一位數的分子與分母，取最小的正數

\frac{5}{6} π

。

第 12 題

- 3 \leq 3 sin x \leq 3

，所以交點只可能出現在

- 3 \leq x + 1 \leq 3

，即

- 4 \leq x \leq 2

。在這個範圍比較兩個圖形的高低：

x = - 4

時曲線約

2.27

、直線

- 3

，曲線在上；

x = - π

時曲線

0

、直線約

- 2.14

，曲線在上；

x = - \frac{π}{2}

時曲線

- 3

、直線約

- 0.57

，曲線在下；

x = 0

時曲線

0

、直線

1

，曲線在下；

x = \frac{π}{2}

時曲線

3

、直線約

2.57

，曲線在上；

x = 2

時曲線約

2.73

、直線

3

，曲線在下。高低換了三次，分別在

- π

與

- \frac{π}{2}

之間、

0

與

\frac{π}{2}

之間、

\frac{π}{2}

與

2

之間，由圖形可看出每一處恰交一點，共

3

個交點。

- \frac{π}{2}

到

0

之間曲線一直在

x

軸下方且低於直線（例如

x = - 1

時曲線約

- 2.52

、直線

0

），這一段沒有交點。

y = a sin (\dots) + b

的最大值是

∣ a ∣ + b

、最小值是

- ∣ a ∣ + b

；數交點時先用正弦值的範圍把

x

框住，再畫圖。

06選填 I～K（第 13～15 題）：扇形最大面積、時針的弧長、象限判斷

第 13 題設扇形半徑

r

、弧長

s

，繩子圍成扇形的周長：

2 r + s = 8

，

s = 8 - 2 r

（

0 < r < 4

）。面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (8 - 2 r) = 4 r - r^{2} = - (r - 2)^{2} + 4

。

r = 2

時面積最大，最大值為

4

。

此時弧長

s = 4

，圓心角

θ = \frac{s}{r} = 2

弧度。周長要算兩條半徑加一段弧。

第 14 題時針

12

小時轉一圈

2 π

，每小時轉

\frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

，

30

分鐘是半小時，轉

\frac{π}{12}

。時針針尖走的弧長

=

半徑

\times

圓心角

= 5 \times \frac{π}{12} = \frac{5}{12} π

（公分），格內填

\frac{5}{12}

。

題目問的是時針，半徑用

5

；分針的長度

8

用不到。

第 15 題

- 4 + 2 π \approx 2.28

，在

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

π \approx 3.14

之間，所以

- 4

弧度是第二象限角，

sin (- 4) > 0

。

- 7 + 4 π \approx 5.57

，在

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

與

2 π \approx 6.28

之間，所以

- 7

弧度是第四象限角，

tan (- 7) < 0

。點

P

的

x

坐標為正、

y

坐標為負，在第四象限，格內填

4

。

數值約為

P (0.757, - 0.871)

。負角先加上

2 π

的整數倍換成

0

到

2 π

之間的同界角再判斷。

07選填 L（第 16 題）：勒洛三角形的面積

第 16 題三個圓的圓心是

A

、

B

、

C

，半徑都等於正三角形的邊長

6

。勒洛三角形的三段邊界分別是以

A

為圓心的弧

B C

、以

B

為圓心的弧

C A

、以

C

為圓心的弧

A B

，每段弧所對的圓心角都是正三角形的內角

\frac{π}{3}

。扇形

A - B C

的面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{π}{3} = 6 π

。三個這樣的扇形合起來蓋住整個勒洛三角形，但中間的正

△ A B C

被算了三次，要扣掉兩次。正三角形面積

= \frac{3}{4} \times 6^{2} = 93

。所求面積

= 3 \times 6 π - 2 \times 93 = 18 π - 183

。三格依序填

18

、

18

、

3

。

也可以看成「正三角形加三個弓形」：每個弓形面積是

6 π - 93

，總面積

= 93 + 3 (6 π - 93) = 18 π - 183

，結果相同。原卷另附一張騎車的圖片作情境，本頁不重畫。

由圓弧圍成的圖形，先找出每段弧的圓心、半徑與圓心角，再拆成扇形與三角形。

08選填 M、N（第 17、18 題）：化成二次函數求極值、由週期求係數

第 17 題用

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

把式子全部換成

sin x

：

f (x) = 1 - sin^{2} x + 2 sin x + 2 = - sin^{2} x + 2 sin x + 3

。令

t = sin x

，

- 1 \leq t \leq 1

，

f = - t^{2} + 2 t + 3 = - (t - 1)^{2} + 4

。這是開口向下的拋物線，頂點在

t = 1

；在

- 1 \leq t \leq 1

的範圍內，離頂點最遠的

t = - 1

有最小值

- (- 2)^{2} + 4 = 0

。

t = 1

時得到的

4

是最大值。最小值出現在

sin x = - 1

，例如

x = \frac{3 π}{2}

，此時

cos^{2} x = 0

，

f = 0 - 2 + 2 = 0

。

第 18 題摩天輪轉一圈回到原來的高度，所以函數的週期是

25

分鐘。

y = 60 sin (k x - \frac{π}{2}) + 75

的週期是

\frac{2 π}{k}

（由題意

k > 0

：開始運轉後高度要先上升），所以

\frac{2 π}{k} = 25

，

k = \frac{2 π}{25} \approx \frac{2 \times 3.14}{25} = \frac{6.28}{25} = 0.2512

，四捨五入到小數點後第二位是

0.25

。

x = 0

時

y = 60 sin (- \frac{π}{2}) + 75 = 15

，正是最低點，與題意相符。

同時有

sin x

與

cos^{2} x

時，換成只有

sin x

的二次函數，記得

sin x

只能在

- 1

與

1

之間。

09選填 O、P（第 19、20 題）：用對稱與週期解方程式、由圖形決定函數

第 19 題在

0 \leq x \leq \frac{5 π}{2}

畫

y = sin x

與水平線

y = k

。

k < 0

時只在

π

與

2 π

之間交兩點；

k = 1

時只有

\frac{π}{2}

、

\frac{5 π}{2}

兩個解；

k = 0

時三個解

0

、

π

、

2 π

的和是

3 π

，不合。所以

0 < k < 1

：前兩個解

α

、

β

在

0

與

π

之間，對稱於

x = \frac{π}{2}

，

α + β = π

；第三個解在

2 π

與

\frac{5 π}{2}

之間，比

α

多一個週期，

γ = α + 2 π

。於是

α + β + γ = π + α + 2 π = 3 π + α = \frac{13}{4} π

，

α = \frac{π}{4}

，

k = sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

。

π

前面的格填

\frac{1}{4}

，根號內填

2

，分母填

2

。

檢查：三個解是

\frac{π}{4}

、

\frac{3 π}{4}

、

\frac{9 π}{4}

，和為

\frac{13 π}{4}

；下一個解

\frac{11 π}{4}

已超過

\frac{5 π}{2}

，所以恰好三個。

第 20 題由圖，最大值

1.2

、最小值

0.2

。

a > 0

時最大值

a + c = 1.2

、最小值

- a + c = 0.2

，解得

c = 0.7

、

a = 0.5

。相鄰兩個最高點在

x = 0.5

與

x = 2.5

，週期是

2

；

b > 0

，所以

\frac{2 π}{b} = 2

，

b = π

。

a + b + c = 0.5 + π + 0.7 = 1.2 + π = \frac{6}{5} + π

。兩格依序填

\frac{6}{5}

、

1

。

檢查：

x = 0

時

y = c = 0.7

，

x = 0.5

時

y = 0.5 sin \frac{π}{2} + 0.7 = 1.2

，與圖相符。原卷題幹印作「數對

a + b + c

」，所求是三個數的和。

y = a sin b x + c

：

c

是最大值與最小值的平均，

a

是兩者差的一半，

b

由週期

\frac{2 π}{b}

決定。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先估出圓周率的平方約 9.87，再換成同界角判斷落在哪一段；第 4 題要把正弦值介於兩個數之間的範圍分成三段來找；第 17 題把餘弦平方換成正弦後是開口向下的二次函數，最小值出現在端點；第 19 題要用圖形的對稱軸與週期把三個解寫成同一個角。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

平鎮高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

第一部分選擇題 20 分（單選題 2 題 10 分、多選題 2 題 10 分）、第二部分選填題 16 題 80 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題一致。

第一部分：選擇題（佔 20 分）　壹、單選題（佔 10 分）：第 1 至 2 題，每題選出最適當的一個選項，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

下列哪一個選項的正弦值與

sin \frac{π}{6}

相等？

(1) $sin \frac{π}{3}$
(2) $sin \frac{2 π}{3}$
(3) $sin \frac{π}{4}$
(4) $sin \frac{3 π}{4}$
(5) $sin \frac{5 π}{6}$

設

a = cos (π^{2})

，則下列敘述何者正確？

(1) $\frac{1}{2} < a \leq 1$
(2) $0 < a \leq \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(4) $- 1 < a \leq - \frac{1}{2}$
(5) $a = - 1$

關於正弦函數

y = sin x

及其圖形的描述，下列敘述何者正確？

(1) 任何一條水平線與 $y = sin x$ 的圖形都恰交於一點
(2) 不論實數 $x$ 的值為何， $sin x$ 都有意義
(3) $y = sin x$ 的圖形對稱於 $x = π$
(4) $y = sin x$ 的圖形對稱於點 $(π, 0)$
(5) $y = sin (x - π)$ 的圖形與 $y = sin x$ 的圖形會完全重疊在一起

設

0 \leq x < 2 π

，則滿足不等式

- \frac{1}{2} < sin x < \frac{3}{2}

之

x

的範圍可為下列何者？

(1) $0 \leq x < \frac{π}{3}$
(2) $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$
(3) $\frac{2 π}{3} < x < \frac{7 π}{6}$
(4) $\frac{7 π}{6} < x < \frac{4 π}{3}$
(5) $\frac{11 π}{6} < x < 2 π$

第二部分：選填題（佔 80 分）：第 A 至 P 題，每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。（原卷題號 A～P，本頁編為第 5～20 題）

試問

(\frac{4 π}{3} - \frac{4 π}{5})

弳為多少度？ ____

^{\circ}

。

設

θ

是

20

弳的同界角，且

0 \leq θ < 2 π

，試問

θ

為多少弳？ ____

-

____

π

。

已知扇形的弧長為

4

單位，面積為

3

平方單位，則此扇形的中心角為多少弳？ ____。（以最簡分數作答）

sin \frac{π}{3} \times cos \frac{5 π}{4} \times tan \frac{11 π}{6} = \frac{____}{____}

。（以最簡分數作答）

已知

tan θ = - \frac{12}{5}

，且

\frac{π}{2} < θ < π

，試求

sin (\frac{3 π}{2} + θ) =

____。（以最簡分數作答）

已知函數

y = a sin (x + \frac{π}{2}) + b

，其中

a > 0

，若函數的最大值為

\frac{3}{2}

，最小值為

- \frac{1}{2}

，則數對

(a, b) =

____。（以最簡分數作答）

函數

y = sin (x + \frac{7 π}{6})

的圖形往左平移幾個單位可以得到函數

y = sin x

的圖形。 ____

π

。（以最簡分數作答）

函數

y = 3 sin x

與函數

y = x + 1

的圖形有幾個交點。 ____。

一條長為

8

的繩子，所能圍出的扇形面積最大是多少？ ____。

有一個時鐘的時針長度為

5

公分，分針長度為

8

公分。假設時針針尖每分鐘所移動的弧長都相等，試求早上

8

點到早上

8

點

30

分鐘時針針尖所移動的弧長 ____

π

。（以最簡分數作答）

試問點

P (sin (- 4), tan (- 7))

在第幾象限？ ____。

△ A B C

的邊長為

6

，則繪製出來的勒洛三角形面積為 ____

π -

____

____

。

載入中...

求函數

f (x) = cos^{2} x + 2 sin x + 2

的最小值。 ____。

有一圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，小龍恰坐在離地面最近的位置上，

x

分鐘後，小龍離地的高度

y

公尺，可表為

y = f (x) = 60 sin (k x - \frac{π}{2}) + 75

。已知摩天輪轉一圈需要

25

分鐘，求

k

的近似值。 ____。（

π = 3.14

，四捨五入到小數點後第二位）

已知

0 \leq x \leq 2.5 π

，如果

sin x = k

有三組解，由小到大依序是

α

、

β

、

γ

且

α + β + γ = \frac{13}{4} π

，則數對

(α, k) = (____π, \frac{____}{____})

。（以最簡分數作答）

y = f (x) = a sin (b x) + c

，其中

a

、

b

、

c

皆為正數，則數對

a + b + c =

____

+

____

π

。（以最簡分數作答）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(2)(4)

第 4 題(1)(3)(5)

第 5 題

96

第 6 題

20

、

6

（即

20 - 6 π

）

第 7 題

\frac{8}{3}

第 8 題

2

、

4

（即

\frac{2}{4}

）

第 9 題

\frac{5}{13}

第 10 題

(1, \frac{1}{2})

第 11 題

\frac{5}{6}

第 12 題

3

第 13 題

4

第 14 題

\frac{5}{12}

第 15 題

4

（第四象限）

第 16 題

18

、

18

、

3

（即

18 π - 183

）

第 17 題

0

第 18 題

0.25

第 19 題

\frac{1}{4}

、

2

、

2

（即

(\frac{1}{4} π, \frac{2}{2})

）

第 20 題

\frac{6}{5}

、

1

（即

\frac{6}{5} + π

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：弧度角的三角函數值

第 1 題答案 (5)。

\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}

是第二象限角，參考角是

\frac{π}{6}

，第二象限的正弦值為正，所以

sin \frac{5 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。其餘四個選項的值依序是

\frac{3}{2}

、

\frac{3}{2}

、

\frac{2}{2}

、

\frac{2}{2}

，都不是

\frac{1}{2}

。

兩個角相加等於

π

時正弦值相等。

第 2 題答案 (4)。

π^{2} \approx 3.1 4^{2} \approx 9.87

，這是

9.87

弧度。減去一圈

2 π \approx 6.28

得同界角約

3.59

。

π \approx 3.14

、

\frac{4 π}{3} \approx 4.19

，所以

π < 3.59 < \frac{4 π}{3}

，是第三象限角。角從

π

增加到

\frac{4 π}{3}

時，餘弦值從

- 1

一路增加到

- \frac{1}{2}

，所以

- 1 < a < - \frac{1}{2}

，落在選項 (4) 的範圍。

實際值約

- 0.903

。

π^{2}

不是

π

的整數倍，所以

a

不會剛好等於

- 1

。

弧度角先用

π \approx 3.14

換成

0

到

2 π

之間的同界角，找出它夾在哪兩個特殊角之間。

02多選第 3、4 題：正弦函數圖形的性質、正弦值的範圍

第 3 題答案 (2)(4)。(1) 錯：水平線

y = 2

與圖形沒有交點，水平線

y = 0

與圖形有無限多個交點。(2) 對：任何實數

x

都可以當作一個弧度角，

sin x

都有定義。(3) 錯：圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，而

x = π

時

sin π = 0

，不是最大值也不是最小值；例如

sin \frac{π}{2} = 1

，但

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，兩點與

x = π

等距卻不等高。(4) 對：

(π, 0)

是圖形與

x

軸的交點，從這一點往右走

t

與往左走

t

，函數值

sin (π + t) = - sin t

與

sin (π - t) = sin t

恰好差一個負號，所以圖形對稱於這一點。(5) 錯：

y = sin (x - π)

是把

y = sin x

的圖形向右平移

π

，只移了半個週期；例如

x = \frac{π}{2}

時

sin (- \frac{π}{2}) = - 1

，而

sin \frac{π}{2} = 1

，兩個圖形不重疊。

要平移整個週期

2 π

第 4 題答案 (1)(3)(5)。在

0 \leq x < 2 π

畫出

y = sin x

的圖形，看哪些部分夾在水平線

y = - \frac{1}{2}

與

y = \frac{3}{2}

之間。

sin x = \frac{3}{2}

的解是

x = \frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3}

；

sin x = - \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

。圖形從

x = 0

（值為

0

）上升，到

\frac{π}{3}

碰到上面那條線；

\frac{π}{3}

到

\frac{2 π}{3}

之間超出上線；

\frac{2 π}{3}

之後下降，到

\frac{7 π}{6}

碰到下面那條線；

\frac{7 π}{6}

到

\frac{11 π}{6}

之間低於下線；

\frac{11 π}{6}

之後回到兩線之間。所以解的範圍是

0 \leq x < \frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3} < x < \frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6} < x < 2 π

三段，即 (1)(3)(5)。(2)：區間

\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}

整段落在第一段

0 \leq x < \frac{π}{3}

裡面，區間內的

x

都滿足不等式，但它只是第一段的一部分；學校公布的答案不含 (2)。(4) 錯：這一段的正弦值都小於

- \frac{1}{2}

。

這一題的題意有兩種讀法。若把「範圍可為」讀成「這個範圍裡的

x

正弦值的不等式用圖形解：先求出與水平線的交點，再一段一段看圖形在線的上方還是下方。

03選填 A～C（第 5～7 題）：度與弧度、同界角、扇形

第 5 題

\frac{4 π}{3} - \frac{4 π}{5} = \frac{20 π - 12 π}{15} = \frac{8 π}{15}

。

π

弧度

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{8 π}{15} = \frac{8}{15} \times 18 0^{\circ} = 9 6^{\circ}

。

也可以分開換：

\frac{4 π}{3} = 24 0^{\circ}

，

\frac{4 π}{5} = 14 4^{\circ}

，相減得

9 6^{\circ}

。

第 6 題同界角相差

2 π

的整數倍。

2 π \approx 6.28

，

6 π \approx 18.85

，

8 π \approx 25.13

，所以

6 π \leq 20 < 8 π

。減去三圈：

θ = 20 - 6 π \approx 1.15

，在

0

與

2 π

之間。兩格依序填

20

、

6

。

第 7 題設半徑

r

、圓心角

θ

。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，所以

3 = \frac{1}{2} \times r \times 4

，

r = \frac{3}{2}

。再由弧長

s = r θ

：

4 = \frac{3}{2} θ

，

θ = \frac{8}{3}

（弧度）。

\frac{8}{3} \approx 2.67

弧度，小於

2 π

，是合理的圓心角。

04選填 D、E（第 8、9 題）：特殊角與廣義角的三角函數值

第 8 題

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

。

\frac{5 π}{4}

是第三象限角，參考角

\frac{π}{4}

，餘弦為負，

cos \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2}

。

\frac{11 π}{6}

是第四象限角，參考角

\frac{π}{6}

，正切為負，

tan \frac{11 π}{6} = - \frac{3}{3}

。原式

= \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{2}) \times (- \frac{3}{3}) = \frac{3 2}{12} = \frac{2}{4}

。根號內填

2

，分母填

4

。

兩個負號相乘為正；

3 \times 3 = 3

要記得與分母約分。

第 9 題

θ

是第二象限角，

tan θ = \frac{y}{x} = - \frac{12}{5}

，在終邊上取點

(- 5, 12)

，到原點的距離

r = 5^{2} + 1 2^{2} = 13

，所以

cos θ = - \frac{5}{13}

、

sin θ = \frac{12}{13}

。

\frac{3 π}{2} + θ

是把

θ

的終邊再逆時針轉

27 0^{\circ}

（等於順時針轉

9 0^{\circ}

），點

(x, y)

會轉到

(y, - x)

，所以

(- 5, 12)

轉到

(12, 5)

，

sin (\frac{3 π}{2} + θ) = \frac{5}{13}

。

寫成公式就是

sin (\frac{3 π}{2} + θ) = - cos θ

。

θ

在第二象限時

\frac{3 π}{2} + θ

在

2 π

與

\frac{5 π}{2}

之間，與第一象限角同界，正弦值為正，符號相符。

先由象限決定正負號，再用參考角求值；只知道一個三角函數值時，在終邊上取一個點來算。

05選填 F～H（第 10～12 題）：最大最小值、圖形平移、交點個數

第 10 題

- 1 \leq sin (x + \frac{π}{2}) \leq 1

，且

a > 0

，所以最大值是

a + b

、最小值是

- a + b

。由

a + b = \frac{3}{2}

、

- a + b = - \frac{1}{2}

，兩式相加得

2 b = 1

，

b = \frac{1}{2}

；相減得

2 a = 2

，

a = 1

。

(a, b) = (1, \frac{1}{2})

。

第 11 題把圖形往左平移

h

個單位，是把

x

換成

x + h

，得到

y = sin (x + h + \frac{7 π}{6})

。要與

y = sin x

的圖形相同，

h + \frac{7 π}{6}

必須是週期

2 π

的整數倍；

h > 0

時最小的是

h + \frac{7 π}{6} = 2 π

，

h = \frac{5 π}{6}

，格內填

\frac{5}{6}

。

若改成往右平移，只要移

\frac{7 π}{6}

；題目指定往左，所以要補到一整個週期。答案格只有一位數的分子與分母，取最小的正數

\frac{5}{6} π

。

第 12 題

- 3 \leq 3 sin x \leq 3

，所以交點只可能出現在

- 3 \leq x + 1 \leq 3

，即

- 4 \leq x \leq 2

。在這個範圍比較兩個圖形的高低：

x = - 4

時曲線約

2.27

、直線

- 3

，曲線在上；

x = - π

時曲線

0

、直線約

- 2.14

，曲線在上；

x = - \frac{π}{2}

時曲線

- 3

、直線約

- 0.57

，曲線在下；

x = 0

時曲線

0

、直線

1

，曲線在下；

x = \frac{π}{2}

時曲線

3

、直線約

2.57

，曲線在上；

x = 2

時曲線約

2.73

、直線

3

，曲線在下。高低換了三次，分別在

- π

與

- \frac{π}{2}

之間、

0

與

\frac{π}{2}

之間、

\frac{π}{2}

與

2

之間，由圖形可看出每一處恰交一點，共

3

個交點。

- \frac{π}{2}

到

0

之間曲線一直在

x

軸下方且低於直線（例如

x = - 1

時曲線約

- 2.52

、直線

0

），這一段沒有交點。

y = a sin (\dots) + b

的最大值是

∣ a ∣ + b

、最小值是

- ∣ a ∣ + b

；數交點時先用正弦值的範圍把

x

框住，再畫圖。

06選填 I～K（第 13～15 題）：扇形最大面積、時針的弧長、象限判斷

第 13 題設扇形半徑

r

、弧長

s

，繩子圍成扇形的周長：

2 r + s = 8

，

s = 8 - 2 r

（

0 < r < 4

）。面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (8 - 2 r) = 4 r - r^{2} = - (r - 2)^{2} + 4

。

r = 2

時面積最大，最大值為

4

。

此時弧長

s = 4

，圓心角

θ = \frac{s}{r} = 2

弧度。周長要算兩條半徑加一段弧。

第 14 題時針

12

小時轉一圈

2 π

，每小時轉

\frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

，

30

分鐘是半小時，轉

\frac{π}{12}

。時針針尖走的弧長

=

半徑

\times

圓心角

= 5 \times \frac{π}{12} = \frac{5}{12} π

（公分），格內填

\frac{5}{12}

。

題目問的是時針，半徑用

5

；分針的長度

8

用不到。

第 15 題

- 4 + 2 π \approx 2.28

，在

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

π \approx 3.14

之間，所以

- 4

弧度是第二象限角，

sin (- 4) > 0

。

- 7 + 4 π \approx 5.57

，在

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

與

2 π \approx 6.28

之間，所以

- 7

弧度是第四象限角，

tan (- 7) < 0

。點

P

的

x

坐標為正、

y

坐標為負，在第四象限，格內填

4

。

數值約為

P (0.757, - 0.871)

。負角先加上

2 π

的整數倍換成

0

到

2 π

之間的同界角再判斷。

07選填 L（第 16 題）：勒洛三角形的面積

第 16 題三個圓的圓心是

A

、

B

、

C

，半徑都等於正三角形的邊長

6

。勒洛三角形的三段邊界分別是以

A

為圓心的弧

B C

、以

B

為圓心的弧

C A

、以

C

為圓心的弧

A B

，每段弧所對的圓心角都是正三角形的內角

\frac{π}{3}

。扇形

A - B C

的面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{π}{3} = 6 π

。三個這樣的扇形合起來蓋住整個勒洛三角形，但中間的正

△ A B C

被算了三次，要扣掉兩次。正三角形面積

= \frac{3}{4} \times 6^{2} = 93

。所求面積

= 3 \times 6 π - 2 \times 93 = 18 π - 183

。三格依序填

18

、

18

、

3

。

也可以看成「正三角形加三個弓形」：每個弓形面積是

6 π - 93

，總面積

= 93 + 3 (6 π - 93) = 18 π - 183

，結果相同。原卷另附一張騎車的圖片作情境，本頁不重畫。

由圓弧圍成的圖形，先找出每段弧的圓心、半徑與圓心角，再拆成扇形與三角形。

08選填 M、N（第 17、18 題）：化成二次函數求極值、由週期求係數

第 17 題用

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

把式子全部換成

sin x

：

f (x) = 1 - sin^{2} x + 2 sin x + 2 = - sin^{2} x + 2 sin x + 3

。令

t = sin x

，

- 1 \leq t \leq 1

，

f = - t^{2} + 2 t + 3 = - (t - 1)^{2} + 4

。這是開口向下的拋物線，頂點在

t = 1

；在

- 1 \leq t \leq 1

的範圍內，離頂點最遠的

t = - 1

有最小值

- (- 2)^{2} + 4 = 0

。

t = 1

時得到的

4

是最大值。最小值出現在

sin x = - 1

，例如

x = \frac{3 π}{2}

，此時

cos^{2} x = 0

，

f = 0 - 2 + 2 = 0

。

第 18 題摩天輪轉一圈回到原來的高度，所以函數的週期是

25

分鐘。

y = 60 sin (k x - \frac{π}{2}) + 75

的週期是

\frac{2 π}{k}

（由題意

k > 0

：開始運轉後高度要先上升），所以

\frac{2 π}{k} = 25

，

k = \frac{2 π}{25} \approx \frac{2 \times 3.14}{25} = \frac{6.28}{25} = 0.2512

，四捨五入到小數點後第二位是

0.25

。

x = 0

時

y = 60 sin (- \frac{π}{2}) + 75 = 15

，正是最低點，與題意相符。

同時有

sin x

與

cos^{2} x

時，換成只有

sin x

的二次函數，記得

sin x

只能在

- 1

與

1

之間。

09選填 O、P（第 19、20 題）：用對稱與週期解方程式、由圖形決定函數

第 19 題在

0 \leq x \leq \frac{5 π}{2}

畫

y = sin x

與水平線

y = k

。

k < 0

時只在

π

與

2 π

之間交兩點；

k = 1

時只有

\frac{π}{2}

、

\frac{5 π}{2}

兩個解；

k = 0

時三個解

0

、

π

、

2 π

的和是

3 π

，不合。所以

0 < k < 1

：前兩個解

α

、

β

在

0

與

π

之間，對稱於

x = \frac{π}{2}

，

α + β = π

；第三個解在

2 π

與

\frac{5 π}{2}

之間，比

α

多一個週期，

γ = α + 2 π

。於是

α + β + γ = π + α + 2 π = 3 π + α = \frac{13}{4} π

，

α = \frac{π}{4}

，

k = sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

。

π

前面的格填

\frac{1}{4}

，根號內填

2

，分母填

2

。

檢查：三個解是

\frac{π}{4}

、

\frac{3 π}{4}

、

\frac{9 π}{4}

，和為

\frac{13 π}{4}

；下一個解

\frac{11 π}{4}

已超過

\frac{5 π}{2}

，所以恰好三個。

第 20 題由圖，最大值

1.2

、最小值

0.2

。

a > 0

時最大值

a + c = 1.2

、最小值

- a + c = 0.2

，解得

c = 0.7

、

a = 0.5

。相鄰兩個最高點在

x = 0.5

與

x = 2.5

，週期是

2

；

b > 0

，所以

\frac{2 π}{b} = 2

，

b = π

。

a + b + c = 0.5 + π + 0.7 = 1.2 + π = \frac{6}{5} + π

。兩格依序填

\frac{6}{5}

、

1

。

檢查：

x = 0

時

y = c = 0.7

，

x = 0.5

時

y = 0.5 sin \frac{π}{2} + 0.7 = 1.2

，與圖相符。原卷題幹印作「數對

a + b + c

」，所求是三個數的和。

y = a sin b x + c

：

c

是最大值與最小值的平均，

a

是兩者差的一半，

b

由週期

\frac{2 π}{b}

決定。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選第 1、2 題：弧度角的三角函數值

02多選第 3、4 題：正弦函數圖形的性質、正弦值的範圍

03選填 A～C（第 5～7 題）：度與弧度、同界角、扇形

04選填 D、E（第 8、9 題）：特殊角與廣義角的三角函數值

05選填 F～H（第 10～12 題）：最大最小值、圖形平移、交點個數

06選填 I～K（第 13～15 題）：扇形最大面積、時針的弧長、象限判斷

07選填 L（第 16 題）：勒洛三角形的面積

08選填 M、N（第 17、18 題）：化成二次函數求極值、由週期求係數

09選填 O、P（第 19、20 題）：用對稱與週期解方程式、由圖形決定函數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

平鎮高中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選第 1、2 題：弧度角的三角函數值

02多選第 3、4 題：正弦函數圖形的性質、正弦值的範圍

03選填 A～C（第 5～7 題）：度與弧度、同界角、扇形

04選填 D、E（第 8、9 題）：特殊角與廣義角的三角函數值

05選填 F～H（第 10～12 題）：最大最小值、圖形平移、交點個數

06選填 I～K（第 13～15 題）：扇形最大面積、時針的弧長、象限判斷

07選填 L（第 16 題）：勒洛三角形的面積

08選填 M、N（第 17、18 題）：化成二次函數求極值、由週期求係數

09選填 O、P（第 19、20 題）：用對稱與週期解方程式、由圖形決定函數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

平鎮高中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

平鎮高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

平鎮高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？