段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍半角公式、正餘弦的疊合）

武陵高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多重選擇題 1 題（10 分；錯一個選項得 6 分，錯兩個得 2 分，錯三個以上或未作答得 0 分）、填充題 I 共 8 題 9 格（每格 7 分，共 63 分）、填充題 II 共 3 題（每格 3 分，共 9 分）、混合題 2 題 5 小題（共 18 分：第 1 題三小題 4＋3＋3 分，第 2 題兩小題 4＋4 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、多重選擇題：共 10 分（錯一個選項得 6 分，兩個得 2 分，三個以上或未作答得 0 分）（原卷第 1 題，本頁第 1 題）

下列哪些選項中的數值為正實數？

(A) $sin 2$
(B) $cos 3$
(C) $tan 4$
(D) $sin 5 + cos 5$
(E) $1 + tan 6$

二、填充題 I：每格 7 分，共 63 分（原卷第 1～8 題，本頁接續編為第 2～9 題；原卷第 6 題即本頁第 7 題，有兩格）

如圖，

\overline{A B}

為圓的直徑，並作扇形

A C D

使得

B C ⌢ = B D ⌢

，若

\overline{A B} = 8

且

∠ C A D = 6 0^{\circ}

，試問圖中斜線區域的面積為 ____。

載入中...

已知直線

L

過點

(- 1, - 4)

，且

L

與直線

4 x - y = 0

有一個夾角為

4 5^{\circ}

，則直線

L

方程式為 ____。（請將直線方程式化簡為一般式

a x + b y + c = 0

的形式）

方程式

sin 4 x - x^{2} + 1 = 0

有 ____ 個實根。

化簡

(tan 7 9^{\circ} - 1) (tan 5 6^{\circ} - 1) =

____。

設

a = tan 1

，

b = tan 2

，

c = tan 3

，

d = tan 4

，

e = tan 5

，求此五數的大小關係為 ____。

設

0^{\circ} \leq θ < 36 0^{\circ}

且

sin θ + cos θ = \frac{1}{5}

，試求：(1)

sin 2 θ =

____　(2)

sin \frac{θ}{2} =

____。

下圖為函數

y = a cos (b x - θ) + k

的部分圖形，其中

a

、

b

均為正數且

0 \leq θ < 2 π

，試求數列

(a, b, θ, k) =

____。

載入中...

設

0 \leq x < 2 π

，不等式

cos x \leq \frac{1}{2}

的解為 ____。

三、填充題 II：每格 3 分，共 9 分（原卷第 1～3 題，本頁接續編為第 10～12 題）

如圖，在半徑為

1

，圓心角

\frac{π}{2}

弳的扇形

O A B

中，求其內接矩形的最大面積為 ____。

載入中...

如圖，有一個半徑

123

mm 的圓形硬幣靜止於坡腳處，其邊緣上的

A

、

B

兩點分別接觸到傾斜

6 0^{\circ}

的坡面與地平線上的地面，若此硬幣沿著坡面向上直線滾動

383 π

mm，試求此時硬幣邊緣上的

A

點距離地平線

L

的垂直高度為 ____ mm。

載入中...

設

0^{\circ} \leq θ \leq 11 5^{\circ}

，若

(3 sin θ + 4 cos θ) cos 2 0^{\circ} + (3 cos θ - 4 sin θ) sin 2 0^{\circ}

有最大值為

M

，最小值為

m

，試求數對

(M, m) =

____。

四、混合題：共 18 分（需寫出清楚計算過程，違者不予計分）（原卷第 1 題的 (1)～(3) 為本頁第 13～15 題，第 2 題的 (1)(2) 為本頁第 16～17 題）

混合題第 1 題（本頁第 13～15 題）（第 13～15 題）　設

x

為任意實數，

f (x) = 4 sin 2 x + 3 cos 2 x - 2 sin x - 4 cos x

，試問：

設

t = sin x + 2 cos x

，則

t

的範圍為何？（4 分）

以

t

表示

f (x)

。（3 分）

試求

f (x)

的最大值與最小值。（3 分）

說明如何將

y = sin x

的圖形透過伸縮、平移的方式得到

y = 2 sin (x + \frac{π}{4})

的圖形，請描述清楚伸縮、平移的方向及量值。（4 分）

利用

y = sin x

的部分圖形描繪

y = 2 sin (x + \frac{π}{4})

的部分函數圖形。（4 分）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)(E)

第 2 題

\frac{8 π}{3} - 43

第 3 題

5 x + 3 y + 17 = 0

或

3 x - 5 y - 17 = 0

第 4 題

4

第 5 題

2

第 6 題

a > d > c > b > e

第 7 題(1)

- \frac{24}{25}

　(2)

\frac{2 5}{5}

或

\frac{10}{10}

第 8 題

(3, \frac{π}{2}, π, - 1)

第 9 題

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

第 10 題

2 - 1

第 11 題

18 + 123 + 57 π

第 12 題

(5, - \frac{2}{2})

第 13 題

- 5 \leq t \leq 5

第 14 題

f (x) = 2 t^{2} - 2 t - 5

第 15 題最大值

5 + 25

，最小值

- \frac{11}{2}

第 16 題以

x

軸為基準，鉛直伸縮為

2

倍；再向左平移

\frac{π}{4}

單位（兩個步驟的先後可以對調）

第 17 題如詳解附圖：最高點

(\frac{π}{4}, 2)

、最低點

(\frac{5 π}{4}, - 2)

，與

x

軸交於

x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}

等處，週期

2 π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1：用弧度所在的象限判斷正負

第 1 題答案 (A)(C)(E)。先記

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

\frac{7 π}{4} \approx 5.50

、

2 π \approx 6.28

。(A) 對：

2

在

\frac{π}{2}

與

π

之間，是第二象限角，

sin 2 > 0

。(B) 錯：

3

也是第二象限角，

cos 3 < 0

。(C) 對：

4

在

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角，

tan 4 > 0

。(D) 錯：疊合得

sin 5 + cos 5 = 2 sin (5 + \frac{π}{4})

，而

5 + \frac{π}{4} \approx 5.79

在

π

與

2 π

之間，正弦值為負。(E) 對：

6

在

\frac{7 π}{4}

與

2 π

之間，

tan \frac{7 π}{4} = - 1

、

tan 2 π = 0

，正切在這一段遞增，所以

- 1 < tan 6 < 0

，

1 + tan 6 > 0

。

這裡的

2, 3, 4, 5, 6

都是弧度，不是度。(D) 的

sin 5 < 0

、

cos 5 > 0

一負一正，要比大小才知道和的正負，用疊合最快。

02填充 I 第 1～4 題（本頁 2～5）：扇形面積、夾角 45° 的直線、實根個數、正切和角

第 2 題扇形

A C D

的圓心是

A

，

B

在它的弧上，所以扇形半徑

\overline{A C} = \overline{A B} = 8

；弧

B C

與弧

B D

等長，故

\overline{A B}

平分

∠ C A D

，

∠ B A C = 3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

。設圓心為

O

（

\overline{A B}

中點，半徑

4

），

\overline{A C}

與圓的另一個交點為

E

。斜線區域

=

扇形

A B C

-

（圓在

∠ B A C

內的部分）。扇形

A B C

面積

= \frac{1}{2} \cdot 8^{2} \cdot \frac{π}{6} = \frac{16 π}{3}

。圓周角

∠ B A E = 3 0^{\circ}

，所對圓心角

∠ B O E = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

，所以圓在

∠ B A C

內的部分

= △ A O E +

扇形

O B E = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 sin 12 0^{\circ} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} \cdot \frac{π}{3} = 43 + \frac{8 π}{3}

。斜線面積

= \frac{16 π}{3} - \frac{8 π}{3} - 43 = \frac{8 π}{3} - 43

。

扇形的半徑是

8

（

\overline{A B}

的長），圓的半徑是

4

，兩個不要混用。

第 3 題直線

4 x - y = 0

的斜率為

4

。設

L

的斜率為

m

，兩直線夾角

4 5^{\circ}

，由正切的差角公式

\frac{m - 4}{1 + 4 m} = tan 4 5^{\circ} = 1

。

m - 4 = 1 + 4 m

得

m = - \frac{5}{3}

；

m - 4 = - (1 + 4 m)

得

m = \frac{3}{5}

。（鉛直線與斜率

4

的直線夾角不是

4 5^{\circ}

，不必另外考慮。）過

(- 1, - 4)

：

y + 4 = - \frac{5}{3} (x + 1)

即

5 x + 3 y + 17 = 0

；

y + 4 = \frac{3}{5} (x + 1)

即

3 x - 5 y - 17 = 0

。

夾角

4 5^{\circ}

的直線有兩條（兩條互相垂直：

- \frac{5}{3} \times \frac{3}{5} = - 1

），兩個都要寫。

第 4 題改寫成

sin 4 x = x^{2} - 1

，數

y = sin 4 x

（週期

\frac{π}{2}

）與拋物線

y = x^{2} - 1

的交點。

- 1 \leq sin 4 x \leq 1

，所以只需看

x^{2} - 1 \leq 1

，即

∣ x ∣ \leq 2 \approx 1.41

。令

h (x) = sin 4 x - (x^{2} - 1)

，在幾個容易算的點看正負：

h (- 2) = sin (- 42) - 1 < 0

；

h (- \frac{3 π}{8}) = 1 - 0.39 > 0

；

h (- \frac{π}{4}) = 0 + 0.38 > 0

；

h (- \frac{π}{8}) = - 1 + 0.85 < 0

；

h (0) = 1 > 0

；

h (\frac{π}{4}) = 0.38 > 0

；

h (\frac{3 π}{8}) = - 1 - 0.39 < 0

。正負號變了

4

次，分別在

(- 2, - \frac{3 π}{8})

、

(- \frac{π}{4}, - \frac{π}{8})

、

(- \frac{π}{8}, 0)

、

(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{8})

各有一個交點。其餘區段沒有交點：

- \frac{3 π}{8} \leq x \leq - 1

時

sin 4 x \geq sin (- 4) \approx 0.76

，比

x^{2} - 1 \leq 0.39

大；

- 1 < x \leq - \frac{π}{4}

時

sin 4 x \geq 0 > x^{2} - 1

；

0 \leq x \leq \frac{π}{4}

時

sin 4 x \geq 0 > x^{2} - 1

；

\frac{3 π}{8} < x \leq 2

時

sin 4 x < 0 < x^{2} - 1

。共

4

個實根（約為

- 1.34, - 0.62, - 0.29, 0.85

）。

畫圖時把

y = sin 4 x

的最高點、最低點（

x = \pm \frac{π}{8}, \pm \frac{3 π}{8}

）與拋物線的高度逐一比較，最容易漏的是

x = - \frac{π}{8}

附近：拋物線在那裡是

- 0.85

，比

- 1

高，所以左右各交一次。

第 5 題

7 9^{\circ} + 5 6^{\circ} = 13 5^{\circ}

，

tan 13 5^{\circ} = - 1

。由和角公式

\frac{tan 7 9 ^{\circ} + tan 5 6 ^{\circ}}{1 - tan 7 9 ^{\circ} tan 5 6 ^{\circ}} = - 1

，得

tan 7 9^{\circ} + tan 5 6^{\circ} = tan 7 9^{\circ} tan 5 6^{\circ} - 1

。展開原式：

tan 7 9^{\circ} tan 5 6^{\circ} - (tan 7 9^{\circ} + tan 5 6^{\circ}) + 1 = tan 7 9^{\circ} tan 5 6^{\circ} - tan 7 9^{\circ} tan 5 6^{\circ} + 1 + 1 = 2

。

03填充 I 第 5～8 題（本頁 6～9）：正切比大小、倍角與半角、由圖形求係數、餘弦不等式

第 6 題正切的週期是

π

，把五個角都移到

- \frac{π}{2}

與

\frac{π}{2}

之間（

π \approx 3.14

）：

tan 2 = tan (2 - π) \approx tan (- 1.14)

，

tan 3 = tan (3 - π) \approx tan (- 0.14)

，

tan 4 = tan (4 - π) \approx tan 0.86

，

tan 5 = tan (5 - 2 π) \approx tan (- 1.28)

，

tan 1

不動。正切在

- \frac{π}{2}

與

\frac{π}{2}

之間遞增，而

- 1.28 < - 1.14 < - 0.14 < 0.86 < 1

，所以

e < b < c < d < a

，即

a > d > c > b > e

。

不同週期裡的角不能直接比大小，要先移到同一個遞增的區間。

第 7 題(1) 兩邊平方：

1 + 2 sin θ cos θ = \frac{1}{25}

，所以

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = - \frac{24}{25}

。(2)

sin θ

與

cos θ

的和為

\frac{1}{5}

、積為

- \frac{12}{25}

，是

25 u^{2} - 5 u - 12 = 0

即

(5 u - 4) (5 u + 3) = 0

的兩根，所以

(sin θ, cos θ) = (\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})

或

(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})

，在

0^{\circ} \leq θ < 36 0^{\circ}

內兩種都有對應的角（分別在第二、第四象限）。因為

0^{\circ} \leq \frac{θ}{2} < 18 0^{\circ}

，

sin \frac{θ}{2} \geq 0

，由半角公式

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2}

：

cos θ = - \frac{3}{5}

時得

\frac{4}{5} = \frac{2 5}{5}

；

cos θ = \frac{4}{5}

時得

\frac{1}{10} = \frac{10}{10}

。

題目沒有限制

θ

的象限，兩種情形都成立，(2) 有兩個答案。學校答案卷寫成

\frac{2}{5}

或

\frac{1}{10}

，與本頁有理化後的寫法相同。

第 8 題圖上相鄰的最高點

(2, 2)

與最低點

(4, - 4)

：振幅

a = \frac{2 - ( - 4 )}{2} = 3

，中線

k = \frac{2 + ( - 4 )}{2} = - 1

。最高點到相鄰最低點是半個週期，所以週期

= 2 \times (4 - 2) = 4

，

b = \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}

。

x = 2

時在最高點，

cos (\frac{π}{2} \cdot 2 - θ) = cos (π - θ) = 1

，

π - θ = 2 nπ

（

n

為整數），配合

0 \leq θ < 2 π

得

θ = π

。故

(a, b, θ, k) = (3, \frac{π}{2}, π, - 1)

。檢查：

x = 0

時

y = 3 cos (- π) - 1 = - 4

，圖形在

y

軸上是最低點，與圖相符。

第 9 題在

0 \leq x < 2 π

內，

cos x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{3}

與

x = \frac{5 π}{3}

。由

y = cos x

的圖形，兩個解之間的圖形在直線

y = \frac{1}{2}

的下方，所以解為

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

。

原卷此題印作「設

0 \leq θ < 2 π

」，範圍的字母與不等式裡的未知數

x

不一致；學校答案卷以

x

作答，本頁題幹寫成

0 \leq x < 2 π

。

由圖形求係數：振幅與中線看最高、最低點的

y

坐標，週期看相鄰最高點與最低點的

x

坐標差的兩倍，最後代一個點定出平移量。

04填充 II 第 1～3 題（本頁 10～12）：內接矩形、滾動的硬幣、疊合求極值

第 10 題如圖，矩形有兩個頂點在弧上、另外兩個頂點各在一條半徑上，圖形對稱於扇形的角平分線。設弧上的一個頂點為

P

，

\overline{O P}

與角平分線的夾角為

φ

（

0 < φ < \frac{π}{4}

）。

P

到角平分線的距離是

sin φ

，所以矩形的寬為

2 sin φ

；弧上那一邊到

O

的距離是

cos φ

。半徑與角平分線夾

\frac{π}{4}

，半徑上的頂點到角平分線的距離也是

sin φ

，所以靠近

O

的那一邊到

O

的距離是

sin φ

。矩形的高為

cos φ - sin φ

，面積

= 2 sin φ (cos φ - sin φ) = sin 2 φ - (1 - cos 2 φ) = sin 2 φ + cos 2 φ - 1 = 2 sin (2 φ + \frac{π}{4}) - 1

。當

2 φ + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

，即

φ = \frac{π}{8}

時，面積最大，為

2 - 1

。

本題的矩形是附圖的擺法（兩個頂點在弧上）。若把矩形的兩邊貼在兩條半徑上，那是另一種擺法，不是本題所問。

第 11 題硬幣與地面相切，所以圓心一開始的高度是半徑

123

。滾動時圓心沿著與坡面平行的方向移動

383 π

，高度增加

383 π \cdot sin 6 0^{\circ} = 57 π

。滾動不滑動時，轉過的角等於滾動距離除以半徑：

\frac{38 3 π}{12 3} = \frac{19 π}{6} = 2 π + \frac{7 π}{6}

，即轉一圈後再順時針轉

21 0^{\circ}

。一開始

A

是硬幣與坡面的切點，由圓心看

A

的方向垂直於坡面、指向右下，方向角為

6 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = - 3 0^{\circ}

；順時針轉

21 0^{\circ}

後方向角為

- 24 0^{\circ}

，與

12 0^{\circ}

同方向。所以

A

比圓心高

123 sin 12 0^{\circ} = 18

。

A

的高度

= 123 + 57 π + 18 = 18 + 123 + 57 π

（mm）。

三段相加：圓心原來的高度、圓心上升的高度、

A

相對於圓心的高度。沿坡面向上滾時硬幣是順時針轉（如圖上的箭頭），方向角要用減的。

第 12 題展開後依

3

與

4

整理：原式

= 3 (sin θ cos 2 0^{\circ} + cos θ sin 2 0^{\circ}) + 4 (cos θ cos 2 0^{\circ} - sin θ sin 2 0^{\circ}) = 3 sin (θ + 2 0^{\circ}) + 4 cos (θ + 2 0^{\circ})

。疊合：

= 5 sin (θ + 2 0^{\circ} + α)

，其中

cos α = \frac{3}{5}

、

sin α = \frac{4}{5}

，

α

為銳角且

4 5^{\circ} < α < 6 0^{\circ}

（因為

\frac{2}{2} < \frac{4}{5} < \frac{3}{2}

）。

0^{\circ} \leq θ \leq 11 5^{\circ}

時，角

u = θ + 2 0^{\circ} + α

從

α + 2 0^{\circ}

（在

6 5^{\circ}

與

8 0^{\circ}

之間）變到

α + 13 5^{\circ}

（在

18 0^{\circ}

與

19 5^{\circ}

之間）。這個範圍包含

9 0^{\circ}

，所以

M = 5

。過了

9 0^{\circ}

之後正弦遞減到右端點，且右端點的值為負、左端點的值為正，所以最小值在

u = α + 13 5^{\circ}

：

m = 5 sin (α + 13 5^{\circ}) = 5 (\frac{4}{5} \cdot (- \frac{2}{2}) + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{2}) = - \frac{2}{2}

。故

(M, m) = (5, - \frac{2}{2})

。

最小值不是

- 5

：角的範圍到不了

27 0^{\circ}

，要代端點

θ = 11 5^{\circ}

。這時

θ + 2 0^{\circ} = 13 5^{\circ}

，直接算

3 sin 13 5^{\circ} + 4 cos 13 5^{\circ} = \frac{3 2}{2} - 22 = - \frac{2}{2}

也可以。

05混合題第 1 題（本頁 13～15）：換元成二次函數求極值

第 13 題疊合：

t = sin x + 2 cos x = 1^{2} + 2^{2} sin (x + β) = 5 sin (x + β)

，其中

cos β = \frac{1}{5}

、

sin β = \frac{2}{5}

。

x

為任意實數，

sin (x + β)

可取

- 1

到

1

之間的所有值，所以

- 5 \leq t \leq 5

。

第 14 題

t^{2} = sin^{2} x + 4 sin x cos x + 4 cos^{2} x

。用

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

、

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

、

2 sin x cos x = sin 2 x

：

t^{2} = \frac{1 - cos 2 x}{2} + 2 sin 2 x + 2 (1 + cos 2 x) = 2 sin 2 x + \frac{3}{2} cos 2 x + \frac{5}{2}

。兩邊乘以

2

：

4 sin 2 x + 3 cos 2 x = 2 t^{2} - 5

。又

- 2 sin x - 4 cos x = - 2 t

，所以

f (x) = 2 t^{2} - 2 t - 5

。

第 15 題

f = 2 t^{2} - 2 t - 5 = 2 (t - \frac{1}{2})^{2} - \frac{11}{2}

，其中

- 5 \leq t \leq 5

。

t = \frac{1}{2}

在範圍內，最小值為

- \frac{11}{2}

。圖形開口向上，最大值在離

t = \frac{1}{2}

較遠的端點

t = - 5

：

2 \cdot 5 + 25 - 5 = 5 + 25

。故最大值

5 + 25

，最小值

- \frac{11}{2}

。

另一個端點

t = 5

的值是

5 - 25

，比較小，不是最大值。

式子裡同時有

sin x

、

cos x

的一次式與

sin 2 x

、

cos 2 x

時，令一次式為

t

、平方後把二倍角的部分換掉，再注意

t

的範圍。

06混合題第 2 題（本頁 16～17）：伸縮、平移與作圖

第 16 題第一步：以

x

軸為基準，把

y = sin x

的圖形鉛直伸縮為原來的

2

倍（每一點的

y

坐標乘以

2

），得

y = 2 sin x

。第二步：把圖形向左平移

\frac{π}{4}

單位（把

x

換成

x + \frac{π}{4}

），得

y = 2 sin (x + \frac{π}{4})

。這兩個步驟一個只動

y

坐標、一個只動

x

坐標，先後對調結果相同。

x + \frac{π}{4}

是向左移，不是向右；伸縮要說明基準線（

x

軸）、方向（鉛直）與倍數（

2

倍）。

第 17 題把

y = sin x

上的每一點

(p, q)

移到

(p - \frac{π}{4}, 2 q)

。方格每格的邊長是

\frac{π}{4}

，所以每個點往左一格、高度變兩倍：與

x

軸的交點由

x = - 2 π, - π, 0, π, 2 π

移到

x = - \frac{9 π}{4}, - \frac{5 π}{4}, - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}

；最高點由

(\frac{π}{2}, 1)

、

(- \frac{3 π}{2}, 1)

移到

(\frac{π}{4}, 2)

、

(- \frac{7 π}{4}, 2)

；最低點由

(\frac{3 π}{2}, - 1)

、

(- \frac{π}{2}, - 1)

移到

(\frac{5 π}{4}, - 2)

、

(- \frac{3 π}{4}, - 2)

。圖形與

y

軸交於

(0, 2)

。把這些點用平滑曲線連起來，如附圖的實線。

載入中...

y

軸上的刻度是整數

1, 2, 3

，方格的邊長是

\frac{π}{4} \approx 0.79

，兩者不同；最高點的高度

2

要對

y

軸的第二個刻度，不是第二條格線。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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武陵高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題選項 (D) 要用疊合判斷正負，選項 (E) 要知道 tan 6 介於 -1 與 0 之間；第 4 題要把 sin 4x 的每個最高點、最低點與拋物線比高度才數得出 4 個實根；第 7 題沒有限制象限，sin(θ/2) 有兩個答案；第 11 題要把滾動距離換成轉過的角，再加上圓心的高度。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

武陵高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多選 1：用弧度所在的象限判斷正負

02填充 I 第 1～4 題（本頁 2～5）：扇形面積、夾角 45° 的直線、實根個數、正切和角

03填充 I 第 5～8 題（本頁 6～9）：正切比大小、倍角與半角、由圖形求係數、餘弦不等式

04填充 II 第 1～3 題（本頁 10～12）：內接矩形、滾動的硬幣、疊合求極值

05混合題第 1 題（本頁 13～15）：換元成二次函數求極值

06混合題第 2 題（本頁 16～17）：伸縮、平移與作圖

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武陵高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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