段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期），並用到高一的三角比與正弦、餘弦定理

北一女中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 11 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 11 題，照原卷順序

多重選擇題 2 題（每題 10 分，每個選項 2 分，共 20 分）、填充題第 3 題到第 9 題共 9 格（第 3 題到第 5 題每格 5 分，其餘每格 6 分，共 50 分）、題組第 10、11 題（共 30 分，各小題配分印在題末），合計 100 分。卷面註明本試卷可以自行判斷採用計算器為計算工具。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部相同；第 11 題 (1) 的作圖學校答案寫「略」，本頁的圖為本站繪製。

一、多重選擇題（每題 10 分，每個選項 2 分，共 20 分，整題未作答者，該題不予計分。）

下列敘述何者正確？

(1) $cos (π - θ) = cos θ$
(2) $sin (2 π - θ) = sin θ$
(3) $tan (\frac{3 π}{2} - θ) = \frac{1}{tan θ}$
(4) $cos \frac{π}{5} + cos \frac{2 π}{5} + cos \frac{3 π}{5} + cos \frac{4 π}{5} = 0$
(5) $sin \frac{2 π}{5} + sin \frac{4 π}{5} + sin \frac{6 π}{5} + sin \frac{8 π}{5} = 0$

設函數

f (x) = sin x

，則下列敘述何者正確？

(1) $y = f (x)$ 的圖形對稱於點 $(π, 0)$
(2) $y = f (x)$ 的圖形對稱於 $x = \frac{3 π}{2}$
(3) $y = f (x)$ 圖形的振幅與 $y = cos x$ 的圖形一樣
(4) $y = f (x)$ 圖形與 $g (x) = cos (x + \frac{π}{2})$ 的圖形重疊
(5) $y = f (x)$ 圖形的週期和 $h (x) = tan (\frac{x}{2})$ 一樣

二、填充題（第 3 題到第 5 題每格 5 分，其餘每格 6 分，共 50 分）

sin \frac{7 π}{12} + cos \frac{3 π}{2} + tan \frac{5 π}{4} =

____。（請寫出精確值）

(1) 若

\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2}

，將

cos θ

、

sin θ

、

tan θ

由大到小排序。　(2)

a = cos 1

、

b = cos 2

、

c = cos 3

、

d = cos 4

、

e = cos 5

、

f = cos 6

，請將

a

、

b

、

c

、

d

、

e

、

f

由大到小排序。

已知

cos \frac{11 π}{15} = k

，則

tan \frac{56 π}{15} =

____。（用

k

表示）

甲家的電視為

90

公分寬，在決定擺放沙發的位置時，甲想要讓沙發和電視的中間都對齊、沙發和電視牆平行，且坐在沙發的正中間看向電視左右兩端的水平視角範圍為

40

度。則甲的沙發應該放在電視牆前面約 ____ 公分的距離。（請四捨五入求至小數點後第一位）

已知一扇形的周長為

18

公分，所圍的面積為

18

平方公分，則此扇形由兩半徑所夾的角度為 ____ 弳。（有兩解）

(1) 下圖為甲畫的暴走兔，假如頭部的基底是一個半徑為

5

的圓，且嘴巴由一長邊和一短邊所構成，若將嘴巴長邊和短邊形成的三角形第三邊連線長度為

5

，則底圓中被嘴巴部分截掉的圓弧長度為 ____。（請寫出精確值）　(2) 承上題，若嘴巴長邊和短邊長度分別為

7

和

3

，則嘴巴張開的角度約為 ____ 度。（四捨五入求至整數位）

載入中...

如下圖所示，

D

、

E

在

\overline{A B}

邊上，且

\overline{C D} = \overline{C E}

。已知

\overline{A C} = 8

、

\overline{B C} = 12

、

\overline{A D} = 5

、

\overline{B E} = 10

，則

\frac{sin ∠ A C D}{sin ∠ B C E} =

____。（建議最後再寫）

載入中...

三、題組（共 30 分）

下圖為

y = a sin (b x + c) + d

的部分圖形，則　(1) 週期為 ____，振幅為 ____。（4 分）　(2) 其中

a

、

b

皆為正數、

0 \leq c < 2 π

，請寫出數對

(a, b, c, d)

。（8 分）

載入中...

(1) 請繪製

y = sin (2 x - \frac{5 π}{3}) + 1

的圖形。（需一個完整的週期且標記清楚三個平均值和波峰波谷的點坐標，5 分）　(2)

y = sin (2 x - \frac{5 π}{3}) + 1

相當於

y = sin x

上下對稱

x

軸伸縮成

a

倍、左右對稱

y

軸伸縮成

b

倍後，再向右平移

c

單位、向上平移

d

單位，其中

a

、

b

皆為正數、

0 \leq c < π

，請寫出數對

(a, b, c, d)

。（8 分）　(3) 方程式

sin (2 x - \frac{5 π}{3}) + 1 = \frac{1}{3} x

共有 ____ 個實根。（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)(5)

第 2 題(1)(2)(3)(5)

第 3 題

\frac{4 + 6 + 2}{4}

第 4 題(1)

tan θ > sin θ > cos θ

；(2)

f > a > e > b > d > c

第 5 題

\frac{1 - k ^{2}}{k}

第 6 題

123.6

第 7 題

4

或

1

第 8 題(1)

\frac{5 π}{3}

；(2)

38

第 9 題

\frac{3}{4}

第 10 題(1) 週期

4 π

，振幅

3

；(2)

(3, \frac{1}{2}, \frac{π}{6}, - 1)

第 11 題(1) 圖形見詳解（一個週期的五個點坐標列在詳解）；(2)

(1, \frac{1}{2}, \frac{5 π}{6}, 1)

；(3)

3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1、2 題）：角度之間的關係、正弦函數圖形的性質

第 1 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：

π - θ

與

θ

的終邊對稱於

y

軸，單位圓上兩點的

x

坐標差一個負號，所以

cos (π - θ) = - cos θ

；例如

θ = 0

時左邊是

cos π = - 1

，右邊是

1

。(2) 錯：

2 π - θ

與

- θ

是同界角，它和

θ

的終邊對稱於

x

軸，

y

坐標差一個負號，所以

sin (2 π - θ) = - sin θ

；例如

θ = \frac{π}{2}

時左邊是

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，右邊是

1

。(3) 對：

\frac{3 π}{2} - θ = π + (\frac{π}{2} - θ)

。一個角多轉半圈，終邊上的點變成對原點對稱的點，

x

、

y

坐標同時變號，比值

\frac{y}{x}

不變，所以

tan (\frac{3 π}{2} - θ) = tan (\frac{π}{2} - θ)

。再由餘角關係

sin (\frac{π}{2} - θ) = cos θ

、

cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ

，得

tan (\frac{π}{2} - θ) = \frac{c o s θ}{s i n θ} = \frac{1}{t a n θ}

。(4) 對：由 (1) 的關係，

cos \frac{4 π}{5} = cos (π - \frac{π}{5}) = - cos \frac{π}{5}

，

cos \frac{3 π}{5} = cos (π - \frac{2 π}{5}) = - cos \frac{2 π}{5}

，四項兩兩相消，和為

0

。(5) 對：由 (2) 的關係，

sin \frac{8 π}{5} = sin (2 π - \frac{2 π}{5}) = - sin \frac{2 π}{5}

，

sin \frac{6 π}{5} = sin (2 π - \frac{4 π}{5}) = - sin \frac{4 π}{5}

，四項兩兩相消，和為

0

。

(3) 的等式在兩邊都有意義的

θ

才談（

tan θ

要存在而且不是

0

）。

第 2 題答案 (1)(2)(3)(5)。(1) 對：

sin (π + t) = - sin t

，

sin (π - t) = sin t

，所以

sin (π + t) = - sin (π - t)

：在

x = π

左右等距的兩點，高度剛好相反，圖形對稱於點

(π, 0)

。(2) 對：

x = \frac{3 π}{2}

時

sin x = - 1

，是圖形的最低點；正弦函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。(3) 對：

sin x

與

cos x

的最大值都是

1

、最小值都是

- 1

，振幅都是

1

。(4) 錯：代

x = \frac{π}{2}

，

f (\frac{π}{2}) = 1

，但

g (\frac{π}{2}) = cos π = - 1

，兩個圖形不重疊。(5) 對：

f (x) = sin x

的週期是

2 π

。正切值是終邊上的點的

\frac{y}{x}

，角度每多

π

（半圈）就重複一次，所以

tan \frac{x}{2}

在

\frac{x}{2}

多

π

、也就是

x

多

2 π

時重複，

h (x)

的週期也是

2 π

。

(4) 的

g (x)

其實是把

y = cos x

的圖形向左平移

\frac{π}{2}

，得到的是

y = sin x

上下顛倒的圖形。

02填充題（第 3～5 題）：弧度角的三角函數值、比大小、用餘弦表示正切

第 3 題

cos \frac{3 π}{2} = 0

；

\frac{5 π}{4}

在第三象限，參考角

\frac{π}{4}

，正切為正，

tan \frac{5 π}{4} = 1

。

\frac{7 π}{12} = 10 5^{\circ}

在第二象限，參考角

7 5^{\circ}

，正弦為正，

sin \frac{7 π}{12} = sin 7 5^{\circ}

。求

sin 7 5^{\circ}

：取直角三角形

A B C

，

∠ C = 9 0^{\circ}

、

∠ B = 3 0^{\circ}

，

\overline{A C} = 1

、

\overline{B C} = 3

、

\overline{A B} = 2

。把

\overline{C B}

延長到

D

使

\overline{B D} = \overline{A B} = 2

，三角形

A B D

是等腰三角形，兩個底角的和等於外角

3 0^{\circ}

，所以

∠ D = 1 5^{\circ}

，直角三角形

A C D

中

∠ C A D = 7 5^{\circ}

。

\overline{C D} = 2 + 3

，

\overline{A D}^{2} = 1 + (2 + 3)^{2} = 8 + 43 = (6 + 2)^{2}

，

\overline{A D} = 6 + 2

。所以

sin 7 5^{\circ} = \frac{C D}{A D} = \frac{2 + 3}{6 + 2} = \frac{( 2 + 3 ) ( 6 - 2 )}{4} = \frac{6 + 2}{4}

。原式

= \frac{6 + 2}{4} + 0 + 1 = \frac{4 + 6 + 2}{4}

。

用計算器檢查：

sin 10 5^{\circ} \approx 0.9659

，

\frac{6 + 2}{4} \approx \frac{2.4495 + 1.4142}{4} \approx 0.9659

。題目要精確值，不能只寫

1.9659

。

第 4 題(1)

θ

在

4 5^{\circ}

與

9 0^{\circ}

之間，是第一象限角，

0 < cos θ < 1

。單位圓上的點

(cos θ, sin θ)

在直線

y = x

的上方，所以

sin θ > cos θ

。又

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

，分母是小於

1

的正數，所以

tan θ > sin θ

。由大到小：

tan θ > sin θ > cos θ

。(2) 餘弦值是單位圓上的點的

x

坐標，角的終邊離

x

軸正向越近（離

0

或

2 π

越近），餘弦值越大。

2 π \approx 6.28

，六個角離

0

或

2 π

的距離：

1

是

1

；

2

是

2

；

3

是

3

；

4

是

6.28 - 4 = 2.28

；

5

是

6.28 - 5 = 1.28

；

6

是

6.28 - 6 = 0.28

。距離由小到大是

6, 1, 5, 2, 4, 3

，所以

f > a > e > b > d > c

。

(2) 用到

cos (2 π - t) = cos t

，以及

t

從

0

增加到

π

時

cos t

一路變小。用計算器（弧度模式）檢查：

cos 6 \approx 0.96

、

cos 1 \approx 0.54

、

cos 5 \approx 0.28

、

cos 2 \approx - 0.42

、

cos 4 \approx - 0.65

、

cos 3 \approx - 0.99

。

第 5 題

\frac{56 π}{15} = 3 π + \frac{11 π}{15}

。正切值每隔

π

重複一次，所以

tan \frac{56 π}{15} = tan \frac{11 π}{15}

。

\frac{11 π}{15} = 13 2^{\circ}

是第二象限角，正弦為正，由

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

得

sin \frac{11 π}{15} = 1 - k^{2}

。所以

tan \frac{56 π}{15} = \frac{sin \frac{11 π}{15}}{cos \frac{11 π}{15}} = \frac{1 - k ^{2}}{k}

。

k = cos 13 2^{\circ}

本身是負數，所以

\frac{1 - k ^{2}}{k}

已經是負的，和第二象限角的正切為負相符，根號前面不必再加負號。

03填充題（第 6～9 題）：視角與距離、扇形、弧長與夾角、正弦定理

第 6 題從上方往下看：眼睛在電視的正前方，眼睛與電視左右兩端連成等腰三角形，底邊是電視的寬

90

公分，頂角是

4 0^{\circ}

，所求的距離是底邊上的高。高把頂角平分成兩個

2 0^{\circ}

、把底邊平分成兩段

45

公分，在直角三角形中

tan 2 0^{\circ} = \frac{45}{距離}

。所以距離

= \frac{45}{tan 2 0 ^{\circ}} \approx \frac{45}{0.36397} \approx 123.64

，四捨五入到小數點後第一位是

123.6

公分。

計算器要在「度」的模式下按

tan 20

。視角

4 0^{\circ}

是左右兩端合起來的角，直角三角形裡用的是一半。

第 7 題設半徑

r

公分、圓心角

θ

弳。周長是兩條半徑加弧長：

2 r + r θ = 18

；面積：

\frac{1}{2} r^{2} θ = 18

。由第一式

r θ = 18 - 2 r

，代入第二式

\frac{1}{2} r \cdot (18 - 2 r) = 18

，整理得

r^{2} - 9 r + 18 = 0

，

(r - 3) (r - 6) = 0

，

r = 3

或

r = 6

。

r = 3

時

θ = \frac{18 - 6}{3} = 4

；

r = 6

時

θ = \frac{18 - 12}{6} = 1

。兩個角都小於

2 π

，都可以構成扇形，所以角度為

4

弳或

1

弳。

代回檢查：

r = 3, θ = 4

時周長

6 + 12 = 18

、面積

\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18

；

r = 6, θ = 1

時周長

12 + 6 = 18

、面積

\frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 1 = 18

。

第 8 題(1) 嘴巴兩邊的端點都在圓上，第三邊是圓的一條弦，長

5

。把弦的兩端與圓心相連，三邊都是

5

，是正三角形，這條弦所對的圓心角是

\frac{π}{3}

。被截掉的圓弧長

= 5 \times \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}

。(2) 嘴巴的三角形三邊長是

7

、

3

、

5

，張開的角

θ

是長邊

7

與短邊

3

的夾角，對邊是

5

。由餘弦定理

cos θ = \frac{7 ^{2} + 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \times 7 \times 3} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14} \approx 0.7857

，用計算器得

θ \approx 38. 2^{\circ}

，四捨五入到整數位是

38

度。

(1) 弧長公式裡的角要用弧度：

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

。(2) 嘴巴兩邊的交點不是圓心（兩邊長是

7

和

3

，不是半徑

5

），所以不能直接用 (1) 的

6 0^{\circ}

。

第 9 題在三角形

A C D

用正弦定理：

\frac{A D}{s i n ∠ A C D} = \frac{A C}{s i n ∠ A D C}

，所以

sin ∠ A C D = \frac{5}{8} sin ∠ A D C

。在三角形

B C E

用正弦定理：

\frac{B E}{s i n ∠ B C E} = \frac{B C}{s i n ∠ B E C}

，所以

sin ∠ B C E = \frac{10}{12} sin ∠ B E C

。因為

\overline{C D} = \overline{C E}

，三角形

C D E

的兩個底角相等：

∠ C D E = ∠ C E D

。

∠ A D C

與

∠ C D E

互補，

∠ B E C

與

∠ C E D

互補，而互補的兩個角正弦值相等，所以

sin ∠ A D C = sin ∠ C D E = sin ∠ C E D = sin ∠ B E C

。兩式相除：

\frac{s i n ∠ A C D}{s i n ∠ B C E} = \frac{5}{8} \div \frac{10}{12} = \frac{5}{8} \times \frac{12}{10} = \frac{3}{4}

。

不必求出

\overline{C D}

或任何一個角；兩個三角形各用一次正弦定理，中間那個正弦值會消掉。

題目給的是邊長與角的關係時，先畫出三角形，看是直角三角形（用三角比）、已知三邊（用餘弦定理），還是邊與對角成對出現（用正弦定理）。

04題組（第 10、11 題）：由圖形決定係數、作圖、伸縮平移與實根個數

第 10 題(1) 由圖讀出最高點

(\frac{2 π}{3}, 2)

與相鄰的最低點

(\frac{8 π}{3}, - 4)

。最高點到相鄰最低點是半個週期：

\frac{8 π}{3} - \frac{2 π}{3} = 2 π

，所以週期是

4 π

。振幅

= \frac{2 - ( - 4 )}{2} = 3

。(2)

a > 0

，所以

a = 3

；中線

d = \frac{2 + ( - 4 )}{2} = - 1

；

b > 0

，週期

\frac{2 π}{b} = 4 π

，

b = \frac{1}{2}

。

x = \frac{2 π}{3}

是最高點，角度要是

\frac{π}{2}

的同界角：

\frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3} + c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{π}{6} + 2 k π

。在

0 \leq c < 2 π

內只有

c = \frac{π}{6}

。所以

(a, b, c, d) = (3, \frac{1}{2}, \frac{π}{6}, - 1)

。

用圖上另一個點檢查：

x = 0

時

y = 3 sin \frac{π}{6} - 1 = \frac{1}{2}

，圖形與

y

軸的交點確實在

0

與

1

的正中間。

第 11 題(1) 振幅

1

、中線（平均值）

y = 1

、週期

\frac{2 π}{2} = π

。令角度

2 x - \frac{5 π}{3}

依序等於

0

、

\frac{π}{2}

、

π

、

\frac{3 π}{2}

、

2 π

，解出

x = \frac{5 π}{6}

、

\frac{13 π}{12}

、

\frac{4 π}{3}

、

\frac{19 π}{12}

、

\frac{11 π}{6}

，對應的

y

是

1

、

2

、

1

、

0

、

1

。所以一個完整週期的五個點是：平均值的點

(\frac{5 π}{6}, 1)

、

(\frac{4 π}{3}, 1)

、

(\frac{11 π}{6}, 1)

，波峰

(\frac{13 π}{12}, 2)

，波谷

(\frac{19 π}{12}, 0)

；用平滑的曲線連起來，如附圖。(2)

y = sin x

上下伸縮

a

倍得

y = a sin x

；左右伸縮

b

倍是把

x

換成

\frac{x}{b}

，得

y = a sin \frac{x}{b}

；向右平移

c

是把

x

換成

x - c

，再向上平移

d

，得

y = a sin \frac{x - c}{b} + d

。和

y = sin (2 x - \frac{5 π}{3}) + 1 = sin (2 (x - \frac{5 π}{6})) + 1

比較：

a = 1

，

\frac{1}{b} = 2

即

b = \frac{1}{2}

，

c = \frac{5 π}{6}

（在

0 \leq c < π

內），

d = 1

。所以

(a, b, c, d) = (1, \frac{1}{2}, \frac{5 π}{6}, 1)

。(3) 看曲線

y = sin (2 x - \frac{5 π}{3}) + 1

與直線

y = \frac{1}{3} x

的交點個數。曲線的高度介於

0

與

2

，所以交點只會在

0 \leq \frac{1}{3} x \leq 2

，也就是

0 \leq x \leq 6

。曲線的波峰（高度

2

）在

x = \frac{π}{12} \approx 0.26

、

\frac{13 π}{12} \approx 3.40

、

\frac{25 π}{12} \approx 6.54

，波谷（高度

0

）在

x = \frac{7 π}{12} \approx 1.83

、

\frac{19 π}{12} \approx 4.97

。直線在這些位置的高度依序約是

0.09

、

1.13

、

2.18

與

0.61

、

1.66

。一段一段比：

x = 0

時曲線高

1 + \frac{3}{2} \approx 1.87

，在直線上方，到第一個波峰之前曲線都比

1.87

高、直線不到

0.1

，沒有交點；從第一個波峰到第一個波谷

x \approx 1.83

，曲線一路下降、直線一路上升，到波谷時曲線（

0

）在直線（

0.61

）下方，所以恰交

1

點；到波峰

x \approx 3.40

時曲線（

2

）又在直線（

1.13

）上方，中間有交點；這一段曲線從

0

升到

2

、升了

2

，直線只從

0.61

升到

1.13

，曲線超過直線以後，一直到波峰都高出直線（波峰處還高出約

0.87

），所以只交

1

點；從這個波峰到第二個波谷

x \approx 4.97

，曲線一路下降、直線一路上升，到波谷時曲線（

0

）在直線（

1.66

）下方，恰交

1

點。之後曲線往上升，到

x = 6

時高度約

1.46

，還低於直線在

x \approx 4.97

時就有的高度

1.66

，所以

4.97 \leq x \leq 6

之間曲線一直在直線下方，沒有交點；

x > 6

時直線高於

2

，

x < 0

時直線低於

0

，也都沒有交點。共

3

個實根。

載入中...

(1) 畫別的週期也可以，例如

- \frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

：五個點是

(- \frac{π}{6}, 1)

、

(\frac{π}{12}, 2)

、

(\frac{π}{3}, 1)

、

(\frac{7 π}{12}, 0)

、

(\frac{5 π}{6}, 1)

。(2) 平移是對

x

本身做的，要先把

2

提出來寫成

2 (x - \frac{5 π}{6})

，向右平移的量是

\frac{5 π}{6}

，不是

\frac{5 π}{3}

。(3) 三個實根大約在

x \approx 1.34

、

2.54

、

4.02

。

正弦型函數先抓四個量：振幅、中線、週期、最高點（或起點）的位置；數實根個數時，先用函數值的範圍把

x

的範圍縮小，再比較每個波峰、波谷與直線的高低。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

北一女中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 11 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題的七十五度正弦值不能用和角公式，要用三十、六十、九十度的三角形延長一邊作出十五度來求；第 5 題要先把角度減去圓周率的整數倍，再注意餘弦是負的、正弦是正的，根號前面不必再加負號；第 9 題用兩次正弦定理，關鍵是等腰三角形兩個底角的補角正弦值相等；第 11 題第 3 小題要先由左邊的值介於零與二之間把範圍縮到零到六，再一段一段比曲線與直線的高低。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期），並用到高一的三角比與正弦、餘弦定理

北一女中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 11 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 11 題，照原卷順序

一、多重選擇題（每題 10 分，每個選項 2 分，共 20 分，整題未作答者，該題不予計分。）

下列敘述何者正確？

(1) $cos (π - θ) = cos θ$
(2) $sin (2 π - θ) = sin θ$
(3) $tan (\frac{3 π}{2} - θ) = \frac{1}{tan θ}$
(4) $cos \frac{π}{5} + cos \frac{2 π}{5} + cos \frac{3 π}{5} + cos \frac{4 π}{5} = 0$
(5) $sin \frac{2 π}{5} + sin \frac{4 π}{5} + sin \frac{6 π}{5} + sin \frac{8 π}{5} = 0$

設函數

f (x) = sin x

，則下列敘述何者正確？

(1) $y = f (x)$ 的圖形對稱於點 $(π, 0)$
(2) $y = f (x)$ 的圖形對稱於 $x = \frac{3 π}{2}$
(3) $y = f (x)$ 圖形的振幅與 $y = cos x$ 的圖形一樣
(4) $y = f (x)$ 圖形與 $g (x) = cos (x + \frac{π}{2})$ 的圖形重疊
(5) $y = f (x)$ 圖形的週期和 $h (x) = tan (\frac{x}{2})$ 一樣

二、填充題（第 3 題到第 5 題每格 5 分，其餘每格 6 分，共 50 分）

sin \frac{7 π}{12} + cos \frac{3 π}{2} + tan \frac{5 π}{4} =

____。（請寫出精確值）

(1) 若

\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2}

，將

cos θ

、

sin θ

、

tan θ

由大到小排序。　(2)

a = cos 1

、

b = cos 2

、

c = cos 3

、

d = cos 4

、

e = cos 5

、

f = cos 6

，請將

a

、

b

、

c

、

d

、

e

、

f

由大到小排序。

已知

cos \frac{11 π}{15} = k

，則

tan \frac{56 π}{15} =

____。（用

k

表示）

甲家的電視為

90

公分寬，在決定擺放沙發的位置時，甲想要讓沙發和電視的中間都對齊、沙發和電視牆平行，且坐在沙發的正中間看向電視左右兩端的水平視角範圍為

40

度。則甲的沙發應該放在電視牆前面約 ____ 公分的距離。（請四捨五入求至小數點後第一位）

已知一扇形的周長為

18

公分，所圍的面積為

18

平方公分，則此扇形由兩半徑所夾的角度為 ____ 弳。（有兩解）

(1) 下圖為甲畫的暴走兔，假如頭部的基底是一個半徑為

5

的圓，且嘴巴由一長邊和一短邊所構成，若將嘴巴長邊和短邊形成的三角形第三邊連線長度為

5

，則底圓中被嘴巴部分截掉的圓弧長度為 ____。（請寫出精確值）　(2) 承上題，若嘴巴長邊和短邊長度分別為

7

和

3

，則嘴巴張開的角度約為 ____ 度。（四捨五入求至整數位）

載入中...

如下圖所示，

D

、

E

在

\overline{A B}

邊上，且

\overline{C D} = \overline{C E}

。已知

\overline{A C} = 8

、

\overline{B C} = 12

、

\overline{A D} = 5

、

\overline{B E} = 10

，則

\frac{sin ∠ A C D}{sin ∠ B C E} =

____。（建議最後再寫）

載入中...

三、題組（共 30 分）

下圖為

y = a sin (b x + c) + d

的部分圖形，則　(1) 週期為 ____，振幅為 ____。（4 分）　(2) 其中

a

、

b

皆為正數、

0 \leq c < 2 π

，請寫出數對

(a, b, c, d)

。（8 分）

載入中...

(1) 請繪製

y = sin (2 x - \frac{5 π}{3}) + 1

的圖形。（需一個完整的週期且標記清楚三個平均值和波峰波谷的點坐標，5 分）　(2)

y = sin (2 x - \frac{5 π}{3}) + 1

相當於

y = sin x

上下對稱

x

軸伸縮成

a

倍、左右對稱

y

軸伸縮成

b

倍後，再向右平移

c

單位、向上平移

d

單位，其中

a

、

b

皆為正數、

0 \leq c < π

，請寫出數對

(a, b, c, d)

。（8 分）　(3) 方程式

sin (2 x - \frac{5 π}{3}) + 1 = \frac{1}{3} x

共有 ____ 個實根。（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)(5)

第 2 題(1)(2)(3)(5)

第 3 題

\frac{4 + 6 + 2}{4}

第 4 題(1)

tan θ > sin θ > cos θ

；(2)

f > a > e > b > d > c

第 5 題

\frac{1 - k ^{2}}{k}

第 6 題

123.6

第 7 題

4

或

1

第 8 題(1)

\frac{5 π}{3}

；(2)

38

第 9 題

\frac{3}{4}

第 10 題(1) 週期

4 π

，振幅

3

；(2)

(3, \frac{1}{2}, \frac{π}{6}, - 1)

第 11 題(1) 圖形見詳解（一個週期的五個點坐標列在詳解）；(2)

(1, \frac{1}{2}, \frac{5 π}{6}, 1)

；(3)

3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1、2 題）：角度之間的關係、正弦函數圖形的性質

第 1 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：

π - θ

與

θ

的終邊對稱於

y

軸，單位圓上兩點的

x

坐標差一個負號，所以

cos (π - θ) = - cos θ

；例如

θ = 0

時左邊是

cos π = - 1

，右邊是

1

。(2) 錯：

2 π - θ

與

- θ

是同界角，它和

θ

的終邊對稱於

x

軸，

y

坐標差一個負號，所以

sin (2 π - θ) = - sin θ

；例如

θ = \frac{π}{2}

時左邊是

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，右邊是

1

。(3) 對：

\frac{3 π}{2} - θ = π + (\frac{π}{2} - θ)

。一個角多轉半圈，終邊上的點變成對原點對稱的點，

x

、

y

坐標同時變號，比值

\frac{y}{x}

不變，所以

tan (\frac{3 π}{2} - θ) = tan (\frac{π}{2} - θ)

。再由餘角關係

sin (\frac{π}{2} - θ) = cos θ

、

cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ

，得

tan (\frac{π}{2} - θ) = \frac{c o s θ}{s i n θ} = \frac{1}{t a n θ}

。(4) 對：由 (1) 的關係，

cos \frac{4 π}{5} = cos (π - \frac{π}{5}) = - cos \frac{π}{5}

，

cos \frac{3 π}{5} = cos (π - \frac{2 π}{5}) = - cos \frac{2 π}{5}

，四項兩兩相消，和為

0

。(5) 對：由 (2) 的關係，

sin \frac{8 π}{5} = sin (2 π - \frac{2 π}{5}) = - sin \frac{2 π}{5}

，

sin \frac{6 π}{5} = sin (2 π - \frac{4 π}{5}) = - sin \frac{4 π}{5}

，四項兩兩相消，和為

0

。

(3) 的等式在兩邊都有意義的

θ

才談（

tan θ

要存在而且不是

0

）。

第 2 題答案 (1)(2)(3)(5)。(1) 對：

sin (π + t) = - sin t

，

sin (π - t) = sin t

，所以

sin (π + t) = - sin (π - t)

：在

x = π

左右等距的兩點，高度剛好相反，圖形對稱於點

(π, 0)

。(2) 對：

x = \frac{3 π}{2}

時

sin x = - 1

，是圖形的最低點；正弦函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。(3) 對：

sin x

與

cos x

的最大值都是

1

、最小值都是

- 1

，振幅都是

1

。(4) 錯：代

x = \frac{π}{2}

，

f (\frac{π}{2}) = 1

，但

g (\frac{π}{2}) = cos π = - 1

，兩個圖形不重疊。(5) 對：

f (x) = sin x

的週期是

2 π

。正切值是終邊上的點的

\frac{y}{x}

，角度每多

π

（半圈）就重複一次，所以

tan \frac{x}{2}

在

\frac{x}{2}

多

π

、也就是

x

多

2 π

時重複，

h (x)

的週期也是

2 π

。

(4) 的

g (x)

其實是把

y = cos x

的圖形向左平移

\frac{π}{2}

，得到的是

y = sin x

上下顛倒的圖形。

02填充題（第 3～5 題）：弧度角的三角函數值、比大小、用餘弦表示正切

第 3 題

cos \frac{3 π}{2} = 0

；

\frac{5 π}{4}

在第三象限，參考角

\frac{π}{4}

，正切為正，

tan \frac{5 π}{4} = 1

。

\frac{7 π}{12} = 10 5^{\circ}

在第二象限，參考角

7 5^{\circ}

，正弦為正，

sin \frac{7 π}{12} = sin 7 5^{\circ}

。求

sin 7 5^{\circ}

：取直角三角形

A B C

，

∠ C = 9 0^{\circ}

、

∠ B = 3 0^{\circ}

，

\overline{A C} = 1

、

\overline{B C} = 3

、

\overline{A B} = 2

。把

\overline{C B}

延長到

D

使

\overline{B D} = \overline{A B} = 2

，三角形

A B D

是等腰三角形，兩個底角的和等於外角

3 0^{\circ}

，所以

∠ D = 1 5^{\circ}

，直角三角形

A C D

中

∠ C A D = 7 5^{\circ}

。

\overline{C D} = 2 + 3

，

\overline{A D}^{2} = 1 + (2 + 3)^{2} = 8 + 43 = (6 + 2)^{2}

，

\overline{A D} = 6 + 2

。所以

sin 7 5^{\circ} = \frac{C D}{A D} = \frac{2 + 3}{6 + 2} = \frac{( 2 + 3 ) ( 6 - 2 )}{4} = \frac{6 + 2}{4}

。原式

= \frac{6 + 2}{4} + 0 + 1 = \frac{4 + 6 + 2}{4}

。

用計算器檢查：

sin 10 5^{\circ} \approx 0.9659

，

\frac{6 + 2}{4} \approx \frac{2.4495 + 1.4142}{4} \approx 0.9659

。題目要精確值，不能只寫

1.9659

。

第 4 題(1)

θ

在

4 5^{\circ}

與

9 0^{\circ}

之間，是第一象限角，

0 < cos θ < 1

。單位圓上的點

(cos θ, sin θ)

在直線

y = x

的上方，所以

sin θ > cos θ

。又

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

，分母是小於

1

的正數，所以

tan θ > sin θ

。由大到小：

tan θ > sin θ > cos θ

。(2) 餘弦值是單位圓上的點的

x

坐標，角的終邊離

x

軸正向越近（離

0

或

2 π

越近），餘弦值越大。

2 π \approx 6.28

，六個角離

0

或

2 π

的距離：

1

是

1

；

2

是

2

；

3

是

3

；

4

是

6.28 - 4 = 2.28

；

5

是

6.28 - 5 = 1.28

；

6

是

6.28 - 6 = 0.28

。距離由小到大是

6, 1, 5, 2, 4, 3

，所以

f > a > e > b > d > c

。

(2) 用到

cos (2 π - t) = cos t

，以及

t

從

0

增加到

π

時

cos t

一路變小。用計算器（弧度模式）檢查：

cos 6 \approx 0.96

、

cos 1 \approx 0.54

、

cos 5 \approx 0.28

、

cos 2 \approx - 0.42

、

cos 4 \approx - 0.65

、

cos 3 \approx - 0.99

。

第 5 題

\frac{56 π}{15} = 3 π + \frac{11 π}{15}

。正切值每隔

π

重複一次，所以

tan \frac{56 π}{15} = tan \frac{11 π}{15}

。

\frac{11 π}{15} = 13 2^{\circ}

是第二象限角，正弦為正，由

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

得

sin \frac{11 π}{15} = 1 - k^{2}

。所以

tan \frac{56 π}{15} = \frac{sin \frac{11 π}{15}}{cos \frac{11 π}{15}} = \frac{1 - k ^{2}}{k}

。

k = cos 13 2^{\circ}

本身是負數，所以

\frac{1 - k ^{2}}{k}

已經是負的，和第二象限角的正切為負相符，根號前面不必再加負號。

03填充題（第 6～9 題）：視角與距離、扇形、弧長與夾角、正弦定理

第 6 題從上方往下看：眼睛在電視的正前方，眼睛與電視左右兩端連成等腰三角形，底邊是電視的寬

90

公分，頂角是

4 0^{\circ}

，所求的距離是底邊上的高。高把頂角平分成兩個

2 0^{\circ}

、把底邊平分成兩段

45

公分，在直角三角形中

tan 2 0^{\circ} = \frac{45}{距離}

。所以距離

= \frac{45}{tan 2 0 ^{\circ}} \approx \frac{45}{0.36397} \approx 123.64

，四捨五入到小數點後第一位是

123.6

公分。

計算器要在「度」的模式下按

tan 20

。視角

4 0^{\circ}

是左右兩端合起來的角，直角三角形裡用的是一半。

第 7 題設半徑

r

公分、圓心角

θ

弳。周長是兩條半徑加弧長：

2 r + r θ = 18

；面積：

\frac{1}{2} r^{2} θ = 18

。由第一式

r θ = 18 - 2 r

，代入第二式

\frac{1}{2} r \cdot (18 - 2 r) = 18

，整理得

r^{2} - 9 r + 18 = 0

，

(r - 3) (r - 6) = 0

，

r = 3

或

r = 6

。

r = 3

時

θ = \frac{18 - 6}{3} = 4

；

r = 6

時

θ = \frac{18 - 12}{6} = 1

。兩個角都小於

2 π

，都可以構成扇形，所以角度為

4

弳或

1

弳。

代回檢查：

r = 3, θ = 4

時周長

6 + 12 = 18

、面積

\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18

；

r = 6, θ = 1

時周長

12 + 6 = 18

、面積

\frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 1 = 18

。

第 8 題(1) 嘴巴兩邊的端點都在圓上，第三邊是圓的一條弦，長

5

。把弦的兩端與圓心相連，三邊都是

5

，是正三角形，這條弦所對的圓心角是

\frac{π}{3}

。被截掉的圓弧長

= 5 \times \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}

。(2) 嘴巴的三角形三邊長是

7

、

3

、

5

，張開的角

θ

是長邊

7

與短邊

3

的夾角，對邊是

5

。由餘弦定理

cos θ = \frac{7 ^{2} + 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \times 7 \times 3} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14} \approx 0.7857

，用計算器得

θ \approx 38. 2^{\circ}

，四捨五入到整數位是

38

度。

(1) 弧長公式裡的角要用弧度：

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

。(2) 嘴巴兩邊的交點不是圓心（兩邊長是

7

和

3

，不是半徑

5

），所以不能直接用 (1) 的

6 0^{\circ}

。

第 9 題在三角形

A C D

用正弦定理：

\frac{A D}{s i n ∠ A C D} = \frac{A C}{s i n ∠ A D C}

，所以

sin ∠ A C D = \frac{5}{8} sin ∠ A D C

。在三角形

B C E

用正弦定理：

\frac{B E}{s i n ∠ B C E} = \frac{B C}{s i n ∠ B E C}

，所以

sin ∠ B C E = \frac{10}{12} sin ∠ B E C

。因為

\overline{C D} = \overline{C E}

，三角形

C D E

的兩個底角相等：

∠ C D E = ∠ C E D

。

∠ A D C

與

∠ C D E

互補，

∠ B E C

與

∠ C E D

互補，而互補的兩個角正弦值相等，所以

sin ∠ A D C = sin ∠ C D E = sin ∠ C E D = sin ∠ B E C

。兩式相除：

\frac{s i n ∠ A C D}{s i n ∠ B C E} = \frac{5}{8} \div \frac{10}{12} = \frac{5}{8} \times \frac{12}{10} = \frac{3}{4}

。

不必求出

\overline{C D}

或任何一個角；兩個三角形各用一次正弦定理，中間那個正弦值會消掉。

題目給的是邊長與角的關係時，先畫出三角形，看是直角三角形（用三角比）、已知三邊（用餘弦定理），還是邊與對角成對出現（用正弦定理）。

04題組（第 10、11 題）：由圖形決定係數、作圖、伸縮平移與實根個數

第 10 題(1) 由圖讀出最高點

(\frac{2 π}{3}, 2)

與相鄰的最低點

(\frac{8 π}{3}, - 4)

。最高點到相鄰最低點是半個週期：

\frac{8 π}{3} - \frac{2 π}{3} = 2 π

，所以週期是

4 π

。振幅

= \frac{2 - ( - 4 )}{2} = 3

。(2)

a > 0

，所以

a = 3

；中線

d = \frac{2 + ( - 4 )}{2} = - 1

；

b > 0

，週期

\frac{2 π}{b} = 4 π

，

b = \frac{1}{2}

。

x = \frac{2 π}{3}

是最高點，角度要是

\frac{π}{2}

的同界角：

\frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3} + c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{π}{6} + 2 k π

。在

0 \leq c < 2 π

內只有

c = \frac{π}{6}

。所以

(a, b, c, d) = (3, \frac{1}{2}, \frac{π}{6}, - 1)

。

用圖上另一個點檢查：

x = 0

時

y = 3 sin \frac{π}{6} - 1 = \frac{1}{2}

，圖形與

y

軸的交點確實在

0

與

1

的正中間。

第 11 題(1) 振幅

1

、中線（平均值）

y = 1

、週期

\frac{2 π}{2} = π

。令角度

2 x - \frac{5 π}{3}

依序等於

0

、

\frac{π}{2}

、

π

、

\frac{3 π}{2}

、

2 π

，解出

x = \frac{5 π}{6}

、

\frac{13 π}{12}

、

\frac{4 π}{3}

、

\frac{19 π}{12}

、

\frac{11 π}{6}

，對應的

y

是

1

、

2

、

1

、

0

、

1

。所以一個完整週期的五個點是：平均值的點

(\frac{5 π}{6}, 1)

、

(\frac{4 π}{3}, 1)

、

(\frac{11 π}{6}, 1)

，波峰

(\frac{13 π}{12}, 2)

，波谷

(\frac{19 π}{12}, 0)

；用平滑的曲線連起來，如附圖。(2)

y = sin x

上下伸縮

a

倍得

y = a sin x

；左右伸縮

b

倍是把

x

換成

\frac{x}{b}

，得

y = a sin \frac{x}{b}

；向右平移

c

是把

x

換成

x - c

，再向上平移

d

，得

y = a sin \frac{x - c}{b} + d

。和

y = sin (2 x - \frac{5 π}{3}) + 1 = sin (2 (x - \frac{5 π}{6})) + 1

比較：

a = 1

，

\frac{1}{b} = 2

即

b = \frac{1}{2}

，

c = \frac{5 π}{6}

（在

0 \leq c < π

內），

d = 1

。所以

(a, b, c, d) = (1, \frac{1}{2}, \frac{5 π}{6}, 1)

。(3) 看曲線

y = sin (2 x - \frac{5 π}{3}) + 1

與直線

y = \frac{1}{3} x

的交點個數。曲線的高度介於

0

與

2

，所以交點只會在

0 \leq \frac{1}{3} x \leq 2

，也就是

0 \leq x \leq 6

。曲線的波峰（高度

2

）在

x = \frac{π}{12} \approx 0.26

、

\frac{13 π}{12} \approx 3.40

、

\frac{25 π}{12} \approx 6.54

，波谷（高度

0

）在

x = \frac{7 π}{12} \approx 1.83

、

\frac{19 π}{12} \approx 4.97

。直線在這些位置的高度依序約是

0.09

、

1.13

、

2.18

與

0.61

、

1.66

。一段一段比：

x = 0

時曲線高

1 + \frac{3}{2} \approx 1.87

，在直線上方，到第一個波峰之前曲線都比

1.87

高、直線不到

0.1

，沒有交點；從第一個波峰到第一個波谷

x \approx 1.83

，曲線一路下降、直線一路上升，到波谷時曲線（

0

）在直線（

0.61

）下方，所以恰交

1

點；到波峰

x \approx 3.40

時曲線（

2

）又在直線（

1.13

）上方，中間有交點；這一段曲線從

0

升到

2

、升了

2

，直線只從

0.61

升到

1.13

，曲線超過直線以後，一直到波峰都高出直線（波峰處還高出約

0.87

），所以只交

1

點；從這個波峰到第二個波谷

x \approx 4.97

，曲線一路下降、直線一路上升，到波谷時曲線（

0

）在直線（

1.66

）下方，恰交

1

點。之後曲線往上升，到

x = 6

時高度約

1.46

，還低於直線在

x \approx 4.97

時就有的高度

1.66

，所以

4.97 \leq x \leq 6

之間曲線一直在直線下方，沒有交點；

x > 6

時直線高於

2

，

x < 0

時直線低於

0

，也都沒有交點。共

3

個實根。

載入中...

(1) 畫別的週期也可以，例如

- \frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

：五個點是

(- \frac{π}{6}, 1)

、

(\frac{π}{12}, 2)

、

(\frac{π}{3}, 1)

、

(\frac{7 π}{12}, 0)

、

(\frac{5 π}{6}, 1)

。(2) 平移是對

x

本身做的，要先把

2

提出來寫成

2 (x - \frac{5 π}{6})

，向右平移的量是

\frac{5 π}{6}

，不是

\frac{5 π}{3}

。(3) 三個實根大約在

x \approx 1.34

、

2.54

、

4.02

。

正弦型函數先抓四個量：振幅、中線、週期、最高點（或起點）的位置；數實根個數時，先用函數值的範圍把

x

的範圍縮小，再比較每個波峰、波谷與直線的高低。

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02填充題（第 3～5 題）：弧度角的三角函數值、比大小、用餘弦表示正切

03填充題（第 6～9 題）：視角與距離、扇形、弧長與夾角、正弦定理

04題組（第 10、11 題）：由圖形決定係數、作圖、伸縮平移與實根個數

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北一女中 112 上
高二第一次段考
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