段考詳解範圍：三角函數（弧度量與扇形、三角函數的圖形與週期、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

彰化高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、多選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、填充題 13 題（依答對題數給分，全對 65 分），合計 100 分。

一、單選題（占 25 分）　說明：第 1 題至第 5 題，每題 5 分。

若

\frac{1}{sin 7 0 ^{\circ}} - \frac{3}{cos 7 0 ^{\circ}} =

？

(1) $4$
(2) $- 4$
(3) $sin 13 0^{\circ}$
(4) $- sin 13 0^{\circ}$
(5) $- 2$

下列選項中的值何者最接近

1

？

(1) $sin 1 0^{\circ} + cos 1 0^{\circ}$
(2) $sin 2 0^{\circ} + cos 2 0^{\circ}$
(3) $sin 3 0^{\circ} + cos 3 0^{\circ}$
(4) $sin 4 0^{\circ} + cos 4 0^{\circ}$
(5) $sin 8 5^{\circ} + cos 8 5^{\circ}$

方程式

1 - π sin (π x) = x

共有幾個實數解？

(1) $3$
(2) $5$
(3) $7$
(4) $11$
(5) $9$

若

a = 1 - 2 sin^{2} 1

，

b = sin 2

，

c = cos 3

，

d = \frac{1 + cos 2}{2}

，

e = \frac{sin 2}{1 + cos 2}

，求這五個數的中位數是？

(1) $a$
(2) $b$
(3) $c$
(4) $d$
(5) $e$

若

\frac{π}{3} \leq x \leq π

，

f (x) = cos 2 x + 4 cos x

，則

f (x)

最大值為何？

(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{3}{2}$
(3) $- \frac{1}{2}$
(4) $3$
(5) $- 1$

二、多選題（占 10 分）　說明：第 6 題至第 7 題，每題 5 分。（5－3－1－0）

下列哪些函數的最小正週期為

π

(1) $sin 2 x$
(2) $tan x$
(3) $sin 2 x + cos 2 x$
(4) $sin ∣ x ∣$
(5) $∣ sin x ∣$

關於函數

y = sin (x + \frac{π}{6}) + cos x + 1

的敘述，下列選項哪些正確？

(1) 將 $y = 3 cos x$ 移動，可以與之重疊
(2) 振幅為 $2$
(3) 週期為 $π$
(4) 當 $\frac{π}{4} \leq x \leq π$ 時，函數 $y$ 最大值為 $3 + 1$
(5) $x = \frac{π}{6}$ 為對稱軸

三、填充題（占 65 分）　說明：第 8 題至第 20 題。答對 1～13 題依序得 6、12、18、24、29、34、39、44、49、53、57、61、65 分。

已知扇形的半徑為

4

公分，周長為

20

公分，試求此扇形的面積 ____。

已知

α

，

β

均為銳角，

sin α = \frac{3}{5}

，

cos β = \frac{5}{13}

，試求

sin (α + β) =

____。

試求兩直線

L_{1}

：

2 x - y - 6 = 0

與

L_{2}

：

3 x - y + 5 = 0

夾角的正弦值

=

____。

將

y = sin x

以

y

軸為基準，左右（水平）伸縮為

a

倍，再向左平移

b

，其中

a > 0

，

0 < b < 2 π

，得

y = sin (2 x + \frac{π}{3})

，則

a + b =

____。

將函數

y = 3 sin x - cos x

疊合成正弦曲線的形式，即

r sin (x + θ)

，其中

r > 0

，

- π < θ < π

，則

θ =

____。

已知

tan A = 2

，

tan B = 3

，求

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A - B )}

的值為 ____。

試求

cos (\frac{π}{33}) cos (\frac{2 π}{33}) cos (\frac{4 π}{33}) cos (\frac{8 π}{33}) cos (\frac{16 π}{33}) =

____。

海水受到月球引力的影響會發生漲落的潮汐現象，下表是某港口在一天內海水漲落的記錄表（時間

t

的單位是小時，水深

y

的單位是公尺）：

t y 0534 6 - 3 9 - 2 125154 18 - 3 21 - 2 245

經過長期的觀測得知，水深

y

與時間

t

可以用函數

f (t) = a sin b t + c cos b t + d

來描述，根據上述資料，求出正數

a

，

b

，

c

，

d

的值，則

a + c + d =

____。

設

\frac{3 π}{2} \leq θ \leq \frac{5 π}{2}

，若

(1 + 1 + sin θ)^{2} + (1 + 1 - sin θ)^{2}

最大值為

M

，最小值為

m

，求

M - m =

____。

如圖，

\overline{A B} = 3

，

\overline{B C} = 4

，圓

A

為圓心

A

半徑

3

，圓

C

為圓心

C

半徑

4

，分別在圓

A

上取一點

D

，圓

C

上取一點

E

使得

∠ D B E

為

\frac{2 π}{3}

，求

\overline{B D} + \overline{B E}

為最大值時，

\overline{B D} =

____。

載入中...

如圖，每個小三角形皆為正三角形，若直線

A B

與直線

C D

夾角為

θ

，則

∣ tan θ ∣ =

____。

載入中...

設銳角三角形

A B C

的內切圓半徑為

1

。已知內切圓圓心

O

，

\overline{O B} = 10

，

\overline{O C} = 5

，則

\overline{O A} =

____。

若

y = sin ∣ x ∣

與

y = \frac{a}{π ^{2}} x^{2} - 1

交於

A

、

B

兩點，且

\overline{A B} = \frac{π}{3}

，則

a =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(5)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(2)

第 6 題(1)(2)(3)(5)

第 7 題(1)(5)

第 8 題

24

平方公分

第 9 題

\frac{63}{65}

第 10 題

\frac{2}{10}

第 11 題

\frac{1}{2} + \frac{π}{6}

第 12 題

- \frac{π}{6}

第 13 題

\frac{5}{7}

第 14 題

\frac{1}{32}

第 15 題

8

第 16 題

4 - 22

第 17 題

\frac{30 37}{37}

第 18 題

\frac{9 3}{17}

第 19 題

2

第 20 題

54

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：把正弦與餘弦合成一個

第 1 題答案 (2)。通分：原式

= \frac{cos 7 0 ^{\circ} - 3 sin 7 0 ^{\circ}}{sin 7 0 ^{\circ} cos 7 0 ^{\circ}}

。分子提出

2

：

2 (\frac{1}{2} cos 7 0^{\circ} - \frac{3}{2} sin 7 0^{\circ}) = 2 (sin 3 0^{\circ} cos 7 0^{\circ} - cos 3 0^{\circ} sin 7 0^{\circ}) = 2 sin (3 0^{\circ} - 7 0^{\circ}) = - 2 sin 4 0^{\circ}

。分母用倍角公式：

sin 7 0^{\circ} cos 7 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 14 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 4 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{- 2 sin 4 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 4 0 ^{\circ}} = - 4

。

估計正負可先檢查：

\frac{1}{sin 7 0 ^{\circ}} \approx 1.06

，

\frac{3}{cos 7 0 ^{\circ}} \approx 5.06

，相減約

- 4

。

第 2 題答案 (5)。疊合：

sin θ + cos θ = 2 sin (θ + 4 5^{\circ})

。五個選項依序是

2 sin 5 5^{\circ}

、

2 sin 6 5^{\circ}

、

2 sin 7 5^{\circ}

、

2 sin 8 5^{\circ}

、

2 sin 13 0^{\circ} = 2 sin 5 0^{\circ}

。這些角都在

4 5^{\circ}

與

9 0^{\circ}

之間，正弦值都比

sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

大，所以五個值都大於

1

；其中

sin 5 0^{\circ}

最小，

2 sin 5 0^{\circ} \approx 1.08

最接近

1

。

θ

愈靠近

0^{\circ}

或

9 0^{\circ}

，

sin θ + cos θ

愈接近

1

；

8 5^{\circ}

離

9 0^{\circ}

只差

5^{\circ}

，比

1 0^{\circ}

離

0^{\circ}

更近。

同一個角的正弦與餘弦相加減，先提出係數疊合成一個三角函數再處理。

02單選第 3 題：把方程式看成兩個圖形的交點

第 3 題答案 (3)。移項得

sin (π x) = \frac{1 - x}{π}

，實數解的個數就是

y = sin (π x)

（週期

2

）與直線

y = \frac{1 - x}{π}

的交點個數。

x = 1

時兩邊都是

0

，是一個解。令

u = x - 1

，

sin (π x) = sin (π u + π) = - sin (π u)

，方程式變成

sin (π u) = \frac{u}{π}

；兩邊都是奇函數，

u

是解則

- u

也是解，所以只要數

u > 0

的解。正弦值不超過

1

，所以

\frac{u}{π} \leq 1

，即

0 < u \leq π \approx 3.14

。在

0 < u < 1

：

sin (π u)

從

0

升到

1

再降回

0

，直線由

0

慢慢升到

\frac{1}{π} \approx 0.32

；

u \leq \frac{1}{2}

時曲線在連接原點與山頂

(\frac{1}{2}, 1)

的線段上方，

sin (π u) \geq 2 u > \frac{u}{π}

，沒有交點，

\frac{1}{2} < u < 1

時正弦由

1

降到

0

而直線上升，恰有

1

個交點。在

1 \leq u \leq 2

：

sin (π u) \leq 0

而直線為正，沒有交點。在

2 < u < 3

：正弦又是一個由

0

到

1

再回

0

的山峰，直線的高度在

\frac{2}{π} \approx 0.64

到

\frac{3}{π} \approx 0.95

之間，山頂

u = 2.5

處直線高

\frac{2.5}{π} \approx 0.80 < 1

，所以上坡、下坡各交

1

點，共

2

個。在

3 \leq u \leq π

：

sin (π u) \leq 0

，沒有交點。

u > 0

共

3

個解，

u < 0

也

3

個，加上

u = 0

，共

7

個。

流傳版本的參考答案寫 (5)（

9

個），但依題幹所印的方程式重算為

7

個（數值求根得

x \approx - 1.68

、

- 1.25

、

0.09

、

1

、

1.91

、

3.25

、

3.68

），本站答案寫 (3)。

03單選第 4、5 題：倍角與半角公式

第 4 題答案 (4)。先化簡：

a = 1 - 2 sin^{2} 1 = cos 2

；

d = \frac{1 + cos 2}{2} = cos^{2} 1 = cos 1

（

1

弧度是銳角，餘弦為正）；

e = \frac{2 sin 1 cos 1}{2 cos ^{2} 1} = tan 1

。

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，所以

2

弧度約

114. 6^{\circ}

，

3

弧度約

171. 9^{\circ}

。逐一估計：

c = cos 171. 9^{\circ}

接近

- 1

；

a = cos 114. 6^{\circ}

介於

cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

與

0

之間；

d = cos 57. 3^{\circ}

介於

\frac{1}{2}

與

\frac{2}{2}

之間；

b = sin 114. 6^{\circ} = sin 65. 4^{\circ}

介於

\frac{3}{2}

與

1

之間；

e = tan 57. 3^{\circ} > tan 4 5^{\circ} = 1

。由小到大是

c < a < d < b < e

，中位數是

d

。

這裡的

1

、

2

、

3

沒有寫度的記號，是弧度。計算機的值：

c \approx - 0.99

，

a \approx - 0.42

，

d \approx 0.54

，

b \approx 0.91

，

e \approx 1.56

。

第 5 題答案 (2)。

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1

，令

t = cos x

，則

f = 2 t^{2} + 4 t - 1 = 2 (t + 1)^{2} - 3

。

\frac{π}{3} \leq x \leq π

時

- 1 \leq t \leq \frac{1}{2}

。拋物線開口向上、頂點在

t = - 1

，在

- 1 \leq t \leq \frac{1}{2}

上

t

愈大值愈大，最大值在

t = \frac{1}{2}

（

x = \frac{π}{3}

）：

2 \times \frac{9}{4} - 3 = \frac{3}{2}

。

t

的範圍要跟著

x

的範圍縮小；若誤用

- 1 \leq t \leq 1

會得到

5

，不在選項裡。最小值在

t = - 1

，為

- 3

。

04多選第 6、7 題：週期與疊合後的圖形

第 6 題答案 (1)(2)(3)(5)。(1) 對：

y = sin 2 x

是

y = sin x

水平伸縮

\frac{1}{2}

倍，週期

\frac{2 π}{2} = π

。(2) 對：

y = tan x

的週期是

π

。(3) 對：

sin 2 x + cos 2 x = 2 sin (2 x + \frac{π}{4})

，週期

π

。(4) 錯：令

g (x) = sin ∣ x ∣

，

g (\frac{π}{2}) = 1

而

g (\frac{3 π}{2}) = - 1

，

π

不是它的週期。(5) 對：

∣ sin (x + π) ∣ = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣

，

π

是週期；而函數值為

0

的位置只有

x = k π

（

k

為整數），每隔

π

才出現一次，不會有更小的週期。

sin ∣ x ∣

不是週期函數：

x \geq 0

時它就是

sin x

，若有週期只能是

2 π

的整數倍；但

g (- \frac{π}{2}) = 1

，

g (- \frac{π}{2} + 2 k π) = sin (- \frac{π}{2}) = - 1

（

k

為正整數），不相等。

∣ sin x ∣

是把

x

軸下方的圖形翻上來，週期減半。

第 7 題答案 (1)(5)。先用和角公式展開：

sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x

，所以

y = \frac{3}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x + 1

。疊合：

\frac{3}{4} + \frac{9}{4} = 3

，

y = 3 (cos x \cdot \frac{3}{2} + sin x \cdot \frac{1}{2}) + 1 = 3 cos (x - \frac{π}{6}) + 1

。(1) 對：把

y = 3 cos x

向右平移

\frac{π}{6}

、再向上平移

1

就重疊。(2) 錯：振幅是

3

。(3) 錯：週期是

2 π

。(4) 錯：

\frac{π}{4} \leq x \leq π

時

\frac{π}{12} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6}

，餘弦在這段遞減，最大值在

x = \frac{π}{4}

，為

3 cos \frac{π}{12} + 1 = \frac{3 2 + 6}{4} + 1 \approx 2.67

，比

3 + 1 \approx 2.73

小。(5) 對：

x = \frac{π}{6}

時

cos 0 = 1

，是圖形的最高點，過最高點的鉛直線是對稱軸。

3 + 1

是整個函數的最大值，發生在

x = \frac{π}{6}

，但

\frac{π}{6} < \frac{π}{4}

不在 (4) 給的範圍內。

cos \frac{π}{12} = cos (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{6 + 2}{4}

。

疊合成

r cos (x - φ) + k

之後，振幅、週期、平移量、最高點與對稱軸都可以直接讀出來；求限制範圍內的極值要先換成括號內角度的範圍。

05填充第 8～10 題：扇形、和角公式、直線夾角

第 8 題周長

=

兩條半徑

+

弧長，所以弧長

= 20 - 2 \times 4 = 12

（公分）。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 4 \times 12 = 24

（平方公分）。

圓心角是

\frac{12}{4} = 3

弧度；用

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 16 \times 3 = 24

結果相同。

第 9 題

α

、

β

是銳角，

cos α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}

，

sin β = 1 - \frac{25}{169} = \frac{12}{13}

。

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} + \frac{4}{5} \times \frac{12}{13} = \frac{15 + 48}{65} = \frac{63}{65}

。

第 10 題

L_{1}

的斜率是

2

，

L_{2}

的斜率是

3

。設兩直線的斜角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，

tan θ_{1} = 2

，

tan θ_{2} = 3

。由正切的差角公式，

tan (θ_{2} - θ_{1}) = \frac{3 - 2}{1 + 3 \times 2} = \frac{1}{7}

。正切為正，

θ_{2} - θ_{1}

是銳角，就是兩直線的一個夾角；對邊

1

、鄰邊

7

的直角三角形斜邊是

50 = 52

，所以正弦值

= \frac{1}{5 2} = \frac{2}{10}

。

兩直線的另一個夾角與它互補，正弦值相同，所以答案只有一個。

06填充第 11、12 題：伸縮平移、疊合

第 11 題以

y

軸為基準水平伸縮為

a

倍，是把

x

換成

\frac{x}{a}

：

y = sin \frac{x}{a}

。再向左平移

b

，是把

x

換成

x + b

：

y = sin \frac{x + b}{a}

。與

y = sin (2 x + \frac{π}{3}) = sin 2 (x + \frac{π}{6})

比較：

\frac{1}{a} = 2

，

a = \frac{1}{2}

；

b = \frac{π}{6}

。所以

a + b = \frac{1}{2} + \frac{π}{6}

。

平移量要先把

x

的係數提出來再讀：是

\frac{π}{6}

不是

\frac{π}{3}

。另外，

y = sin 2 x

的週期是

π

，向左平移

\frac{π}{6} + π = \frac{7 π}{6}

也得到同一個圖形，而

\frac{7 π}{6}

也在題幹給的

0 < b < 2 π

之內，此時

a + b = \frac{1}{2} + \frac{7 π}{6}

；流傳版本的參考答案只寫

\frac{1}{2} + \frac{π}{6}

（取最小的平移量），本站答案照此寫。

第 12 題

r = (3)^{2} + (- 1)^{2} = 2

。

y = 2 (sin x \cdot \frac{3}{2} - cos x \cdot \frac{1}{2}) = 2 (sin x cos \frac{π}{6} - cos x sin \frac{π}{6}) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

。所以

θ = - \frac{π}{6}

。

檢查：

x = 0

時原式

= - 1

，

2 sin (- \frac{π}{6}) = - 1

。在

- π < θ < π

內滿足

cos θ = \frac{3}{2}

、

sin θ = - \frac{1}{2}

的角只有這一個。

07填充第 13、14 題：和差角公式的變形

第 13 題

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A - B )} = \frac{sin A cos B + cos A sin B}{cos A cos B + sin A sin B}

。分子、分母同除以

cos A cos B

：

= \frac{tan A + tan B}{1 + tan A tan B} = \frac{2 + 3}{1 + 6} = \frac{5}{7}

。

tan A

、

tan B

有定義，所以

cos A cos B \neq = 0

，可以同除。這個式子不是

tan (A + B)

，分母的正負號不同。

第 14 題角度一個是前一個的兩倍。令

P

為所求，乘上

sin \frac{π}{33}

後連續用

sin α cos α = \frac{1}{2} sin 2 α

：

sin \frac{π}{33} \cdot P = \frac{1}{2} sin \frac{2 π}{33} cos \frac{2 π}{33} cos \frac{4 π}{33} cos \frac{8 π}{33} cos \frac{16 π}{33} = \frac{1}{4} sin \frac{4 π}{33} cos \frac{4 π}{33} cos \frac{8 π}{33} cos \frac{16 π}{33} = \dots = \frac{1}{32} sin \frac{32 π}{33}

。而

sin \frac{32 π}{33} = sin (π - \frac{π}{33}) = sin \frac{π}{33}

，所以

P = \frac{1}{32}

。

五個角都是銳角（

\frac{16 π}{33} < \frac{π}{2}

），餘弦都為正，答案為正。

連乘的餘弦若角度成兩倍關係，乘上最小角的正弦，用倍角公式一路收成一個正弦。

08填充第 15、16 題：潮汐函數、根式的範圍

第 15 題表中的水深每

12

小時重複一次，取週期

12

：

\frac{2 π}{b} = 12

，

b = \frac{π}{6}

。代入各時刻：

f (0) = c + d = 5

；

f (6) = a sin π + c cos π + d = - c + d = - 3

；兩式解得

d = 1

，

c = 4

。

f (3) = a sin \frac{π}{2} + c cos \frac{π}{2} + d = a + d = 4

，得

a = 3

。檢查

f (9) = - a + d = - 2

，與表相符。所以

a + c + d = 3 + 4 + 1 = 8

。

a = 3

、

b = \frac{π}{6}

、

c = 4

、

d = 1

都是正數，符合題意。

d

是最高與最低水位的平均位置；函數可疊合成

5 sin (\frac{π}{6} t + φ) + 1

，但表上的四個值不是它的最高、最低點，所以直接代點比較快。

第 16 題令

s = sin θ

。展開：

(1 + 1 + s)^{2} + (1 + 1 - s)^{2} = 1 + 2 1 + s + (1 + s) + 1 + 2 1 - s + (1 - s) = 4 + 2 (1 + s + 1 - s)

。令

k = 1 + s + 1 - s \geq 0

，

k^{2} = 2 + 2 1 - s^{2} = 2 + 2 cos^{2} θ = 2 + 2∣ cos θ ∣

。在

\frac{3 π}{2} \leq θ \leq \frac{5 π}{2}

內

0 \leq cos θ \leq 1

，所以

2 \leq k^{2} \leq 4

，

2 \leq k \leq 2

。最大值

M = 4 + 2 \times 2 = 8

（

θ = 2 π

），最小值

m = 4 + 22

（

θ = \frac{3 π}{2}

或

\frac{5 π}{2}

）。

M - m = 4 - 22

。

s

的一次項會消掉，剩下兩個根式的和；平方後根號裡出現

1 - sin^{2} θ = cos^{2} θ

，開根號要寫成

∣ cos θ ∣

，再由

θ

的範圍定正負。

09填充第 17 題：弦長寫成餘弦，再疊合

第 17 題

\overline{A B} = 3

、

\overline{B C} = 4

恰為兩圓半徑，

B

在兩圓上，圖中兩圓外切於

B

，

A

、

B

、

C

共線。設

∠ A B D = α

。

△ A B D

中

\overline{A B} = \overline{A D} = 3

，是等腰三角形，底邊

\overline{B D} = 2 \times 3 cos α = 6 cos α

。同理設

∠ C B E = β

，

\overline{B E} = 8 cos β

。如圖

D

、

E

在直線

A C

同側，

α + \frac{2 π}{3} + β = π

，

β = \frac{π}{3} - α

（

0 \leq α \leq \frac{π}{3}

）。

\overline{B D} + \overline{B E} = 6 cos α + 8 cos (\frac{π}{3} - α) = 6 cos α + 4 cos α + 43 sin α = 10 cos α + 43 sin α

。疊合：

1 0^{2} + (43)^{2} = 148 = 237

，原式

= 237 cos (α - φ)

，其中

cos φ = \frac{10}{2 37} = \frac{5}{37}

，

sin φ = \frac{2 3}{37}

。

tan φ = \frac{2 3}{5} < 3

，所以

0 < φ < \frac{π}{3}

，

α = φ

取得到，此時和最大（

237

）。這時

\overline{B D} = 6 cos φ = \frac{30}{37} = \frac{30 37}{37}

。

此時

\overline{B E} = 237 - \frac{30}{37} = \frac{44 37}{37}

。若

D

、

E

分在直線

A C

的兩側，

\overline{B D} + \overline{B E}

最大只有

11

，比

237 \approx 12.17

小，所以最大值發生在圖中的同側情形。

過圓上一點的弦長

= 2 \times

半徑

\times cos

（弦與過該點的半徑的夾角）；兩段弦的和寫成同一個角的正弦、餘弦後用疊合求最大值。

10填充第 18～20 題：格點上的夾角、內切圓、偶函數的交點

第 18 題設小正三角形邊長為

2

，以

A

為原點、最下面那一列為

x

軸。每往上一列，高度增加

3

、往右錯開

1

。由圖讀出：

A (0, 0)

，

C (2, 23)

，

B (8, 23)

，

D (7, 3)

。直線

A B

的斜率

m_{1} = \frac{2 3}{8} = \frac{3}{4}

；直線

C D

的斜率

m_{2} = \frac{3 - 2 3}{7 - 2} = - \frac{3}{5}

。由正切的差角公式，

∣ tan θ ∣ = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{20}} = \frac{\frac{9 3}{20}}{\frac{17}{20}} = \frac{9 3}{17}

。

兩個互補的夾角正切只差正負號，取絕對值後答案唯一。圖中上、中、下三列的左端依序往右錯開半個邊長，讀坐標時要算進去。

第 19 題內心

O

到三邊的距離都是

1

，且

\overline{O A}

、

\overline{O B}

、

\overline{O C}

分別平分三個內角。由

O

向邊作垂線得直角三角形：

sin \frac{B}{2} = \frac{1}{10}

，

cos \frac{B}{2} = \frac{3}{10}

；

sin \frac{C}{2} = \frac{1}{5}

，

cos \frac{C}{2} = \frac{2}{5}

。因為

\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 9 0^{\circ}

，

sin \frac{A}{2} = cos (\frac{B}{2} + \frac{C}{2}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{5} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{5} = \frac{5}{50} = \frac{1}{2}

。所以

\overline{O A} = \frac{1}{sin \frac{A}{2}} = 2

。

由

sin \frac{A}{2} = \frac{1}{2}

得

\frac{A}{2} = 4 5^{\circ}

，即

∠ A = 9 0^{\circ}

；流傳版本題幹寫「銳角三角形」，但依所給的

\overline{O B}

、

\overline{O C}

算出來的是直角三角形，

\overline{O A} = 2

這個答案不受影響。

第 20 題

sin ∣ x ∣

與

\frac{a}{π ^{2}} x^{2} - 1

把

x

換成

- x

都不變，兩個圖形都對稱於

y

軸，所以交點也對稱於

y

軸。只有兩個交點

A

、

B

，它們互相對稱、

y

坐標相同，

\overline{A B}

是水平線段，長

\frac{π}{3}

，所以

x

坐標是

\pm \frac{π}{6}

。代

x = \frac{π}{6}

：

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} = \frac{a}{π ^{2}} \cdot \frac{π ^{2}}{36} - 1

，

\frac{a}{36} = \frac{3}{2}

，

a = 54

。

檢查確實只有兩個交點：

a = 54

時拋物線由

(0, - 1)

往兩側上升，

x > 0

時只在

x = \frac{π}{6}

穿過

y = sin x

一次；之後拋物線上升得很快，到

x = \frac{π}{2}

已高

\frac{54}{4} - 1 = 12.5

，遠超過正弦的最大值

1

，不會再相交。

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彰化高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要把方程式改成正弦曲線與直線的交點來數，直線只在一小段範圍內碰得到曲線；第 4 題的 1、2、3 是弧度，要先化簡再換成度估計大小；第 7 題的最大值要看角度有沒有落在指定範圍內；第 11 題的平移量要先把係數提出來再讀；第 17 題要把兩段弦長寫成同一個角的餘弦再疊合；第 19 題用內心到頂點的距離求半角。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自彰化高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

彰化高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03單選第 4、5 題：倍角與半角公式

04多選第 6、7 題：週期與疊合後的圖形

05填充第 8～10 題：扇形、和角公式、直線夾角

06填充第 11、12 題：伸縮平移、疊合

07填充第 13、14 題：和差角公式的變形

08填充第 15、16 題：潮汐函數、根式的範圍

09填充第 17 題：弦長寫成餘弦，再疊合

10填充第 18～20 題：格點上的夾角、內切圓、偶函數的交點

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高二第一次段考
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