段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）、指數函數

高雄三民高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

全卷 20 題：第 1～17 題為填充題、第 18～20 題為多選題。來源是翻拍的試題頁，卷頭沒有入鏡，學校、學年、次別與科目依來源檔名；原卷未印配分與大題名稱，題型名稱為本站所加。第 4 題卷面有一處條件被遮住，本頁依附圖補上並在題目旁註明。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

二、填充題

已知一扇形半徑為

9

公分，圓心角為圓周的三分之二，試求此扇形的弧長 ____。

如下圖，

\overline{A B} = 10

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為

A B ⌢

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____。

載入中...

直圓錐展開後，側面為一扇形；設直圓錐底圓的半徑為

5

單位，側面扇形的半徑為

8

單位，試求扇形的面積。

載入中...

設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如下圖所示：圖中，圓弧

QR T

是一個以

O

點為圓心、

\overline{QT}

為直徑的半圓，

\overline{QT} = 43

。圓弧

QS T

的圓心在

P

點（卷面此處有一小段被遮住，

P

的位置少了條件；本頁依附圖的比例取

\overline{P Q} = \overline{P T} = 4

）。圓弧

QR T

與圓弧

QS T

所圍出的灰色區域

QR T S Q

即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為

aπ + b

，其中

π

為圓周率，

a

為有理數，

b

為整數，則

a =

____。

載入中...

已知標準位置角

θ

滿足

\frac{55 π}{12} < θ < \frac{59 π}{12}

，則

θ

角位於第 ____ 象限。

令

a = 1. 8^{10} - 1. 8^{9}

，

b = 1. 8^{11} - 1. 8^{10}

，

c = \frac{1. 8 ^{11} - 1. 8 ^{9}}{2}

。請由大到小排序 ____。

如下圖，設一扇形的圓心角為

\frac{π}{3}

，若此扇形的半徑為

R_{1}

，內切圓的半徑為

R_{2}

，則

R_{1} : R_{2}

的比值為 ____。

載入中...

假設小華某段時間的血壓變化可用函數

f (t) = 24 sin (160 π t) + 90

來模擬，其中

f (t)

為血壓（單位：毫米汞柱），

t

為時間（單位：分鐘）。若

f (t)

的最大值稱為收縮壓，而兩個收縮壓的時間間隔為

1

次心跳的時間，則小華的心跳速率為每分鐘 ____ 次。

設

- π \leq x \leq π

，試求

y = 3 sin (2 x + \frac{π}{3})

的圖形與

x

軸有 ____ 個交點。

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin x \leq - \frac{1}{2}

，則

x

的範圍為 ____。

將函數

y = sin x

的圖形水平伸縮為

2

倍，再向左平移

\frac{π}{2}

單位，然後鉛直伸縮為

4

倍，再向上平移

3

單位，可得圖形

Γ

，則

Γ

所表示的函數是 ____。

已知函數

y = 4 sin (3 x + \frac{π}{6}) + 3

的最大值

M

及最小值

m

，求

M + m =

____。

某動物園貓熊館打造一個圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，在摩天輪的圓仔恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，圓仔離地的高度

y

（單位：公尺）可表為

y = 5 sin (\frac{2 π}{13} x - \frac{π}{2}) + 5

，試問摩天輪轉一圈需 ____ 分鐘。

設

a = (0.5)^{0.5}

，

b = 2^{- 3}

，

c = (\frac{1}{4})^{- 2}

，則三數的大小順序為 ____。

不等式

4^{x} - 3 \times 2^{x} - 4 < 0

的解為 ____。

已知

2^{a} + 2^{- a} = 4

，則

8^{a} + 8^{- a} =

____。

對任意實數

x

而言，

2^{- x^{2} + 2 x + 4}

的最大值為何？

多選題

關於函數

h (x) = (\frac{1}{2})^{x}

的圖形，下列哪些選項正確？

(A) $h (x)$ 通過點 $(1, 0)$
(B) $h (x)$ 通過點 $(0, 1)$
(C) 函數圖形和直線 $x = 3$ 的交點在第一象限
(D) 函數圖形和直線 $x = - 3$ 沒有交點
(E) 函數圖形和直線 $y = 0.5$ 的交點在第一象限

關於三角函數的值，下列敘述哪些正確？

(A) $sin 1^{\circ} > sin 2^{\circ} > sin 3^{\circ}$
(B) $cos 1^{\circ} > cos 2^{\circ} > cos 3^{\circ}$
(C) $sin 1 > sin 2 > sin 3$
(D) $cos 1 > cos 2 > cos 3$
(E) $tan 1 > tan 2 > tan 3$

下列哪些選項的函數週期為

2 π

？

(A) $y = sin x$
(B) $y = sin x + 1$
(C) $y = 2 sin x$
(D) $y = sin 2 x$
(E) $y = sin (x + 1)$

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

12 π

公分

第 2 題

\frac{25}{2} π - 25

第 3 題

40 π

第 4 題

\frac{2}{3}

（卷面少了決定 P 點位置的條件，這是依附圖取 PQ、PT 都等於 4 算出的答案；條件不同，答案就不同，見詳解）

第 5 題二

第 6 題

b > c > a

第 7 題

3

第 8 題

80

第 9 題

4

第 10 題

\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

第 11 題

y = 4 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) + 3

第 12 題

6

第 13 題

13

第 14 題

c > a > b

第 15 題

x < 2

第 16 題

52

第 17 題

32

第 18 題(B)(C)(E)

第 19 題(B)(D)

第 20 題(A)(B)(C)(E)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：弧長、扇形與弓形的面積

第 1 題圓心角是一整圈的三分之二，也就是

θ = 2 π \times \frac{2}{3} = \frac{4 π}{3}

。弧長

s = r θ = 9 \times \frac{4 π}{3} = 12 π

公分。

弧長公式

s = r θ

的

θ

要用弧度。也可以直接算整個圓周

18 π

的三分之二。

第 2 題設

\overline{A B}

的中點為

O

，半圓的半徑是

5

。

C

是半圓弧的中點，所以

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

且

\overline{O C} = \overline{O B} = 5

，三角形

O B C

是等腰直角三角形，

∠ A B C = \frac{π}{4}

。灰色部分有兩塊。右邊那一塊是弦

\overline{B C}

與半圓弧圍成的弓形：四分之一圓

O B C

減去三角形

O B C

，面積是

\frac{1}{4} \times 25 π - \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = \frac{25 π}{4} - \frac{25}{2}

。左邊那一塊是扇形

B A D

扣掉半圓落在

\overline{B C}

左側的部分。扇形

B A D

的半徑是

10

、圓心角是

\frac{π}{4}

，面積為

\frac{1}{2} \times 1 0^{2} \times \frac{π}{4} = \frac{25 π}{2}

。半圓在

\overline{B C}

左側的部分是四分之一圓

O A C

加上三角形

O B C

，面積為

\frac{25 π}{4} + \frac{25}{2}

。所以左邊那一塊是

\frac{25 π}{2} - \frac{25 π}{4} - \frac{25}{2} = \frac{25 π}{4} - \frac{25}{2}

。兩塊相加：

\frac{25 π}{2} - 25

。

兩塊灰色的面積剛好相等。近似值約為

14.27

。

第 3 題側面扇形的弧長等於底圓的圓周長：

2 π \times 5 = 10 π

。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 8 \times 10 π = 40 π

。

也可以先求圓心角

θ = \frac{10 π}{8} = \frac{5 π}{4}

，再用

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{5 π}{4} = 40 π

。

第 4 題卷面在「圓弧

QS T

的圓心在

P

點」之後有一小段被遮住，少了決定

P

點位置的條件。以下依附圖的比例取

\overline{P Q} = \overline{P T} = 4

來算。

O

是

\overline{QT}

的中點，

\overline{O Q} = 23

，且

\overline{P O} ⊥ \overline{QT}

。直角三角形

P O Q

中，

\overline{P O} = 4^{2} - (23)^{2} = 2

，

sin ∠ QP O = \frac{2 3}{4} = \frac{3}{2}

，所以

∠ QP O = \frac{π}{3}

，

∠ QP T = \frac{2 π}{3}

。扇形

P QT

（弧為

QS T

）的面積：

\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{16 π}{3}

三角形

P QT

的面積：

\frac{1}{2} \times 43 \times 2 = 43

兩者相減，弦

\overline{QT}

與圓弧

QS T

圍成的弓形面積是

\frac{16 π}{3} - 43

這麼大。半圓

QR T

的面積是

\frac{1}{2} \times π \times (23)^{2} = 6 π

。灰色區域

=

半圓

-

弓形

= 6 π - \frac{16 π}{3} + 43 = \frac{2}{3} π + 48

，所以

a = \frac{2}{3}

（

b = 48

）。

本題附圖是本站依卷面的圖重畫的示意圖，

P

的位置照上面補的條件畫。只憑卷面留下的文字，

P

可以在直線

O P

上移動，面積不固定：例如

\overline{P Q} = \overline{P T} = 26

時

∠ QP T = \frac{π}{2}

，灰色面積是

6 π - 6 π + 12 = 144

，這時

a = 0

。所以一定要有

P

的條件才能作答。另外，如果各長度都是本題的一半（

\overline{QT} = 23

、

\overline{P Q} = \overline{P T} = 2

），面積是

\frac{π}{6} + 3

，那時

a = \frac{1}{6}

；本卷的

\overline{QT}

是

43

，圖形放大

2

倍、面積變

4

倍，所以是

\frac{2}{3}

。

弓形面積等於扇形減三角形；看到兩段圓弧圍成的區域，先分別找出兩個圓心與圓心角。

02第 5～7 題：同界角、提公因數比大小、扇形的內切圓

第 5 題把範圍減去兩圈

4 π = \frac{48 π}{12}

，得到同界角的範圍

\frac{7 π}{12} < θ - 4 π < \frac{11 π}{12}

。

\frac{π}{2} = \frac{6 π}{12}

、

π = \frac{12 π}{12}

，所以這個同界角介於

\frac{π}{2}

與

π

之間，

θ

位於第二象限。

換成度數也可以：

\frac{55 π}{12} = 82 5^{\circ}

、

\frac{59 π}{12} = 88 5^{\circ}

，各減

72 0^{\circ}

得

10 5^{\circ}

到

16 5^{\circ}

。

第 6 題三個數都提出

1. 8^{9}

：

a = 1. 8^{9} (1.8 - 1) = 0.8 \times 1. 8^{9}

。

b = 1. 8^{10} (1.8 - 1) = 0.8 \times 1.8 \times 1. 8^{9} = 1.44 \times 1. 8^{9}

。

c = \frac{1. 8 ^{9} ( 1. 8 ^{2} - 1 )}{2} = \frac{2.24}{2} \times 1. 8^{9} = 1.12 \times 1. 8^{9}

。

1.44 > 1.12 > 0.8

，所以

b > c > a

。

a + b = 1. 8^{11} - 1. 8^{9}

，所以

c

恰好是

a

、

b

的平均，一定夾在兩者中間；只要比

a

與

b

就夠了。

第 7 題設扇形的圓心為

O

，內切圓的圓心為

I

。內切圓與兩條半徑都相切，所以

I

在圓心角的角平分線上，

\overline{O I}

與半徑的夾角是

\frac{π}{6}

。從

I

向一條半徑作垂線，垂線長就是

R_{2}

，因此

sin \frac{π}{6} = \frac{R _{2}}{O I}

，得

\overline{O I} = 2 R_{2}

。內切圓又與扇形的弧相切，切點在

\overline{O I}

的延長線上，所以

R_{1} = \overline{O I} + R_{2} = 3 R_{2}

。

R_{1} : R_{2} = 3 : 1

，比值為

3

。

關鍵是兩個相切條件：與半徑相切給出

\overline{O I} = 2 R_{2}

，與弧相切給出

\overline{O I} + R_{2} = R_{1}

。

03第 8～13 題：正弦函數的圖形、週期與應用

第 8 題兩次最大值之間隔了一個週期。

f (t) = 24 sin (160 π t) + 90

的週期是

\frac{2 π}{160 π} = \frac{1}{80}

分鐘，也就是每

\frac{1}{80}

分鐘心跳一次，所以每分鐘心跳

80

次。

y = a sin (b x + c) + d

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

，與

a

、

c

、

d

無關。

第 9 題與

x

軸相交就是

sin (2 x + \frac{π}{3}) = 0

，即

2 x + \frac{π}{3} = k π

（

k

為整數）。

- π \leq x \leq π

時，

2 x + \frac{π}{3}

的範圍是

- \frac{5 π}{3}

到

\frac{7 π}{3}

，其中

π

的整數倍有

- π

、

0

、

π

、

2 π

四個。對應的

x

依序是

- \frac{2 π}{3}

、

- \frac{π}{6}

、

\frac{π}{3}

、

\frac{5 π}{6}

，共

4

個交點。

週期是

π

，範圍的長度

2 π

是兩個週期，每個週期與

x

軸交兩次；兩個端點

x = \pm π

的函數值是

\frac{3 3}{2}

，不在

x

軸上，所以正好

4

個。

第 10 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = - \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{7 π}{6}

與

x = \frac{11 π}{6}

（參考角

\frac{π}{6}

，落在第三、四象限）。看

y = sin x

的圖形：在這兩個點之間，圖形在直線

y = - \frac{1}{2}

的下方（中間經過最低點

x = \frac{3 π}{2}

）；其餘地方都在上方。所以

\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

。

不等式含等號，兩個端點都要算進去。

第 11 題一步一步做：水平伸縮為

2

倍：把

x

換成

\frac{x}{2}

，得

y = sin \frac{x}{2}

。向左平移

\frac{π}{2}

：把

x

換成

x + \frac{π}{2}

，得

y = sin \frac{1}{2} (x + \frac{π}{2}) = sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})

。鉛直伸縮為

4

倍：

y = 4 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})

。向上平移

3

：

y = 4 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) + 3

。

先伸縮再平移時，平移是把「整個

x

」換成

x + \frac{π}{2}

，所以括號裡加的是

\frac{π}{4}

，不是

\frac{π}{2}

。

第 12 題

x

是任意實數時，

sin (3 x + \frac{π}{6})

的值在

- 1

到

1

之間，而且兩端都取得到。所以

M = 4 \times 1 + 3 = 7

，

m = 4 \times (- 1) + 3 = - 1

，

M + m = 6

。

y = a sin (b x + c) + d

的最大值與最小值之和永遠是

2 d

。

第 13 題摩天輪轉一圈，高度的變化剛好重複一次，所以轉一圈的時間就是函數的週期：

\frac{2 π}{\frac{2 π}{13}} = 13

分鐘。

檢查：

x = 0

時

y = 5 sin (- \frac{π}{2}) + 5 = 0

，是最低點，與題目說的出發位置相符。

y = a sin (b x + c) + d

：

a

管高低的幅度，

b

管週期，

c

管左右平移，

d

管上下平移。

04第 14～17 題：指數的運算與指數函數

第 14 題都化成以

2

為底：

a = (2^{- 1})^{0.5} = 2^{- 0.5}

，

b = 2^{- 3}

，

c = (2^{- 2})^{- 2} = 2^{4}

。底數

2

大於

1

，指數越大值越大。

4 > - 0.5 > - 3

，所以

c > a > b

。

三個數的值是

c = 16

、

a = \frac{1}{2} \approx 0.707

、

b = \frac{1}{8}

。

第 15 題令

t = 2^{x}

（

t > 0

），則

4^{x} = t^{2}

，不等式變成

t^{2} - 3 t - 4 < 0

，即

(t - 4) (t + 1) < 0

。因為

t > 0

，

t + 1

一定是正的，所以只需要

t - 4 < 0

，也就是

2^{x} < 4 = 2^{2}

。底數

2

大於

1

，得

x < 2

。

二次不等式的解是

- 1 < t < 4

，但

2^{x} > - 1

對所有實數都成立，不會多出限制。

第 16 題令

u = 2^{a}

、

v = 2^{- a}

，則

u + v = 4

、

uv = 1

，所求是

u^{3} + v^{3}

。

(u + v)^{3} = u^{3} + v^{3} + 3 uv (u + v)

，所以

u^{3} + v^{3} = 4^{3} - 3 \times 1 \times 4 = 52

。

8^{a} = (2^{a})^{3}

。也可以用

u^{3} + v^{3} = (u + v) (u^{2} - uv + v^{2})

，其中

u^{2} + v^{2} = 16 - 2 = 14

，得

4 \times 13 = 52

。

第 17 題底數

2

大於

1

，指數越大值越大，所以先求指數的最大值。

- x^{2} + 2 x + 4 = - (x - 1)^{2} + 5

，在

x = 1

時有最大值

5

。所求最大值為

2^{5} = 32

。

卷面句首多印了一個「下」字，不影響題意。

05第 18～20 題（多選）：指數函數的圖形、三角函數值比大小、週期

第 18 題答案 (B)(C)(E)。 (A) 錯誤。

h (1) = \frac{1}{2}

，不是

0

；指數函數的值永遠是正的，圖形不會碰到

x

軸。 (B) 正確。

h (0) = (\frac{1}{2})^{0} = 1

。 (C) 正確。

h (3) = \frac{1}{8}

，交點

(3, \frac{1}{8})

的兩個坐標都是正的，在第一象限。 (D) 錯誤。

h (- 3) = (\frac{1}{2})^{- 3} = 8

，交點是

(- 3, 8)

。指數函數的定義域是全體實數，任何鉛直線都與圖形交於一點。 (E) 正確。

(\frac{1}{2})^{x} = 0.5

得

x = 1

，交點

(1, 0.5)

在第一象限。

第 19 題答案 (B)(D)。 (A) 錯誤。

1^{\circ}

、

2^{\circ}

、

3^{\circ}

都是銳角，銳角越大正弦值越大，應是

sin 1^{\circ} < sin 2^{\circ} < sin 3^{\circ}

。 (B) 正確。 銳角越大餘弦值越小，所以

cos 1^{\circ} > cos 2^{\circ} > cos 3^{\circ}

。 (C)(D)(E) 的

1

、

2

、

3

是弧度。

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

，所以

1

弧度在第一象限，

2

、

3

弧度在第二象限，參考角分別是

π - 2 \approx 1.14

與

π - 3 \approx 0.14

。 (C) 錯誤。

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，而

1 < 1.14 < \frac{π}{2}

，所以

sin 2 > sin 1

。 (D) 正確。

cos 1 > 0

；

cos 2 = - cos 1.14

、

cos 3 = - cos 0.14

都是負的。銳角越小餘弦值越大，

cos 0.14 > cos 1.14

，加上負號後

cos 3 < cos 2

。所以

cos 1 > cos 2 > cos 3

。 (E) 錯誤。

tan 1 > 0

；

tan 2 = - tan 1.14

、

tan 3 = - tan 0.14

都是負的，且

tan 1.14 > tan 0.14

，所以

tan 2 < tan 3

。

近似值：

sin 1 \approx 0.84

、

sin 2 \approx 0.91

、

sin 3 \approx 0.14

；

cos 1 \approx 0.54

、

cos 2 \approx - 0.42

、

cos 3 \approx - 0.99

；

tan 1 \approx 1.56

、

tan 2 \approx - 2.19

、

tan 3 \approx - 0.14

。沒有度的記號就是弧度。

第 20 題答案 (A)(B)(C)(E)。

y = a sin (b x + c) + d

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

，只看

x

的係數。 (A) 正確。

y = sin x

的週期是

2 π

。 (B) 正確。 上下平移不改變週期，仍是

2 π

。 (C) 正確。 鉛直伸縮不改變週期，仍是

2 π

。 (D) 錯誤。

x

的係數是

2

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。 (E) 正確。 左右平移不改變週期，仍是

2 π

。

比較弧度角的三角函數值，先用

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

判斷象限，再化成參考角。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

高雄三民高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄三民高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題的灰色部分有兩塊，要分別用扇形、四分之一圓與三角形去加減；第 4 題要先找出圓弧 QST 的圓心角，再用扇形減三角形求弓形；第 11 題先伸縮再平移，括號裡加的是四分之 π 而不是二分之 π；第 19 題沒有度的記號就是弧度，2 與 3 弧度都在第二象限。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自高雄三民高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）、指數函數

高雄三民高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

二、填充題

已知一扇形半徑為

9

公分，圓心角為圓周的三分之二，試求此扇形的弧長 ____。

如下圖，

\overline{A B} = 10

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為

A B ⌢

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____。

載入中...

直圓錐展開後，側面為一扇形；設直圓錐底圓的半徑為

5

單位，側面扇形的半徑為

8

單位，試求扇形的面積。

載入中...

設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如下圖所示：圖中，圓弧

QR T

是一個以

O

點為圓心、

\overline{QT}

為直徑的半圓，

\overline{QT} = 43

。圓弧

QS T

的圓心在

P

點（卷面此處有一小段被遮住，

P

的位置少了條件；本頁依附圖的比例取

\overline{P Q} = \overline{P T} = 4

）。圓弧

QR T

與圓弧

QS T

所圍出的灰色區域

QR T S Q

即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為

aπ + b

，其中

π

為圓周率，

a

為有理數，

b

為整數，則

a =

____。

載入中...

已知標準位置角

θ

滿足

\frac{55 π}{12} < θ < \frac{59 π}{12}

，則

θ

角位於第 ____ 象限。

令

a = 1. 8^{10} - 1. 8^{9}

，

b = 1. 8^{11} - 1. 8^{10}

，

c = \frac{1. 8 ^{11} - 1. 8 ^{9}}{2}

。請由大到小排序 ____。

如下圖，設一扇形的圓心角為

\frac{π}{3}

，若此扇形的半徑為

R_{1}

，內切圓的半徑為

R_{2}

，則

R_{1} : R_{2}

的比值為 ____。

載入中...

假設小華某段時間的血壓變化可用函數

f (t) = 24 sin (160 π t) + 90

來模擬，其中

f (t)

為血壓（單位：毫米汞柱），

t

為時間（單位：分鐘）。若

f (t)

的最大值稱為收縮壓，而兩個收縮壓的時間間隔為

1

次心跳的時間，則小華的心跳速率為每分鐘 ____ 次。

設

- π \leq x \leq π

，試求

y = 3 sin (2 x + \frac{π}{3})

的圖形與

x

軸有 ____ 個交點。

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin x \leq - \frac{1}{2}

，則

x

的範圍為 ____。

將函數

y = sin x

的圖形水平伸縮為

2

倍，再向左平移

\frac{π}{2}

單位，然後鉛直伸縮為

4

倍，再向上平移

3

單位，可得圖形

Γ

，則

Γ

所表示的函數是 ____。

已知函數

y = 4 sin (3 x + \frac{π}{6}) + 3

的最大值

M

及最小值

m

，求

M + m =

____。

某動物園貓熊館打造一個圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，在摩天輪的圓仔恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，圓仔離地的高度

y

（單位：公尺）可表為

y = 5 sin (\frac{2 π}{13} x - \frac{π}{2}) + 5

，試問摩天輪轉一圈需 ____ 分鐘。

設

a = (0.5)^{0.5}

，

b = 2^{- 3}

，

c = (\frac{1}{4})^{- 2}

，則三數的大小順序為 ____。

不等式

4^{x} - 3 \times 2^{x} - 4 < 0

的解為 ____。

已知

2^{a} + 2^{- a} = 4

，則

8^{a} + 8^{- a} =

____。

對任意實數

x

而言，

2^{- x^{2} + 2 x + 4}

的最大值為何？

多選題

關於函數

h (x) = (\frac{1}{2})^{x}

的圖形，下列哪些選項正確？

(A) $h (x)$ 通過點 $(1, 0)$
(B) $h (x)$ 通過點 $(0, 1)$
(C) 函數圖形和直線 $x = 3$ 的交點在第一象限
(D) 函數圖形和直線 $x = - 3$ 沒有交點
(E) 函數圖形和直線 $y = 0.5$ 的交點在第一象限

關於三角函數的值，下列敘述哪些正確？

(A) $sin 1^{\circ} > sin 2^{\circ} > sin 3^{\circ}$
(B) $cos 1^{\circ} > cos 2^{\circ} > cos 3^{\circ}$
(C) $sin 1 > sin 2 > sin 3$
(D) $cos 1 > cos 2 > cos 3$
(E) $tan 1 > tan 2 > tan 3$

下列哪些選項的函數週期為

2 π

？

(A) $y = sin x$
(B) $y = sin x + 1$
(C) $y = 2 sin x$
(D) $y = sin 2 x$
(E) $y = sin (x + 1)$

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

12 π

公分

第 2 題

\frac{25}{2} π - 25

第 3 題

40 π

第 4 題

\frac{2}{3}

（卷面少了決定 P 點位置的條件，這是依附圖取 PQ、PT 都等於 4 算出的答案；條件不同，答案就不同，見詳解）

第 5 題二

第 6 題

b > c > a

第 7 題

3

第 8 題

80

第 9 題

4

第 10 題

\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

第 11 題

y = 4 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) + 3

第 12 題

6

第 13 題

13

第 14 題

c > a > b

第 15 題

x < 2

第 16 題

52

第 17 題

32

第 18 題(B)(C)(E)

第 19 題(B)(D)

第 20 題(A)(B)(C)(E)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：弧長、扇形與弓形的面積

第 1 題圓心角是一整圈的三分之二，也就是

θ = 2 π \times \frac{2}{3} = \frac{4 π}{3}

。弧長

s = r θ = 9 \times \frac{4 π}{3} = 12 π

公分。

弧長公式

s = r θ

的

θ

要用弧度。也可以直接算整個圓周

18 π

的三分之二。

第 2 題設

\overline{A B}

的中點為

O

，半圓的半徑是

5

。

C

是半圓弧的中點，所以

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

且

\overline{O C} = \overline{O B} = 5

，三角形

O B C

是等腰直角三角形，

∠ A B C = \frac{π}{4}

。灰色部分有兩塊。右邊那一塊是弦

\overline{B C}

與半圓弧圍成的弓形：四分之一圓

O B C

減去三角形

O B C

，面積是

\frac{1}{4} \times 25 π - \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = \frac{25 π}{4} - \frac{25}{2}

。左邊那一塊是扇形

B A D

扣掉半圓落在

\overline{B C}

左側的部分。扇形

B A D

的半徑是

10

、圓心角是

\frac{π}{4}

，面積為

\frac{1}{2} \times 1 0^{2} \times \frac{π}{4} = \frac{25 π}{2}

。半圓在

\overline{B C}

左側的部分是四分之一圓

O A C

加上三角形

O B C

，面積為

\frac{25 π}{4} + \frac{25}{2}

。所以左邊那一塊是

\frac{25 π}{2} - \frac{25 π}{4} - \frac{25}{2} = \frac{25 π}{4} - \frac{25}{2}

。兩塊相加：

\frac{25 π}{2} - 25

。

兩塊灰色的面積剛好相等。近似值約為

14.27

。

第 3 題側面扇形的弧長等於底圓的圓周長：

2 π \times 5 = 10 π

。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 8 \times 10 π = 40 π

。

也可以先求圓心角

θ = \frac{10 π}{8} = \frac{5 π}{4}

，再用

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{5 π}{4} = 40 π

。

第 4 題卷面在「圓弧

QS T

的圓心在

P

點」之後有一小段被遮住，少了決定

P

點位置的條件。以下依附圖的比例取

\overline{P Q} = \overline{P T} = 4

來算。

O

是

\overline{QT}

的中點，

\overline{O Q} = 23

，且

\overline{P O} ⊥ \overline{QT}

。直角三角形

P O Q

中，

\overline{P O} = 4^{2} - (23)^{2} = 2

，

sin ∠ QP O = \frac{2 3}{4} = \frac{3}{2}

，所以

∠ QP O = \frac{π}{3}

，

∠ QP T = \frac{2 π}{3}

。扇形

P QT

（弧為

QS T

）的面積：

\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{16 π}{3}

三角形

P QT

的面積：

\frac{1}{2} \times 43 \times 2 = 43

兩者相減，弦

\overline{QT}

與圓弧

QS T

圍成的弓形面積是

\frac{16 π}{3} - 43

這麼大。半圓

QR T

的面積是

\frac{1}{2} \times π \times (23)^{2} = 6 π

。灰色區域

=

半圓

-

弓形

= 6 π - \frac{16 π}{3} + 43 = \frac{2}{3} π + 48

，所以

a = \frac{2}{3}

（

b = 48

）。

本題附圖是本站依卷面的圖重畫的示意圖，

P

的位置照上面補的條件畫。只憑卷面留下的文字，

P

可以在直線

O P

上移動，面積不固定：例如

\overline{P Q} = \overline{P T} = 26

時

∠ QP T = \frac{π}{2}

，灰色面積是

6 π - 6 π + 12 = 144

，這時

a = 0

。所以一定要有

P

的條件才能作答。另外，如果各長度都是本題的一半（

\overline{QT} = 23

、

\overline{P Q} = \overline{P T} = 2

），面積是

\frac{π}{6} + 3

，那時

a = \frac{1}{6}

；本卷的

\overline{QT}

是

43

，圖形放大

2

倍、面積變

4

倍，所以是

\frac{2}{3}

。

弓形面積等於扇形減三角形；看到兩段圓弧圍成的區域，先分別找出兩個圓心與圓心角。

02第 5～7 題：同界角、提公因數比大小、扇形的內切圓

第 5 題把範圍減去兩圈

4 π = \frac{48 π}{12}

，得到同界角的範圍

\frac{7 π}{12} < θ - 4 π < \frac{11 π}{12}

。

\frac{π}{2} = \frac{6 π}{12}

、

π = \frac{12 π}{12}

，所以這個同界角介於

\frac{π}{2}

與

π

之間，

θ

位於第二象限。

換成度數也可以：

\frac{55 π}{12} = 82 5^{\circ}

、

\frac{59 π}{12} = 88 5^{\circ}

，各減

72 0^{\circ}

得

10 5^{\circ}

到

16 5^{\circ}

。

第 6 題三個數都提出

1. 8^{9}

：

a = 1. 8^{9} (1.8 - 1) = 0.8 \times 1. 8^{9}

。

b = 1. 8^{10} (1.8 - 1) = 0.8 \times 1.8 \times 1. 8^{9} = 1.44 \times 1. 8^{9}

。

c = \frac{1. 8 ^{9} ( 1. 8 ^{2} - 1 )}{2} = \frac{2.24}{2} \times 1. 8^{9} = 1.12 \times 1. 8^{9}

。

1.44 > 1.12 > 0.8

，所以

b > c > a

。

a + b = 1. 8^{11} - 1. 8^{9}

，所以

c

恰好是

a

、

b

的平均，一定夾在兩者中間；只要比

a

與

b

就夠了。

第 7 題設扇形的圓心為

O

，內切圓的圓心為

I

。內切圓與兩條半徑都相切，所以

I

在圓心角的角平分線上，

\overline{O I}

與半徑的夾角是

\frac{π}{6}

。從

I

向一條半徑作垂線，垂線長就是

R_{2}

，因此

sin \frac{π}{6} = \frac{R _{2}}{O I}

，得

\overline{O I} = 2 R_{2}

。內切圓又與扇形的弧相切，切點在

\overline{O I}

的延長線上，所以

R_{1} = \overline{O I} + R_{2} = 3 R_{2}

。

R_{1} : R_{2} = 3 : 1

，比值為

3

。

關鍵是兩個相切條件：與半徑相切給出

\overline{O I} = 2 R_{2}

，與弧相切給出

\overline{O I} + R_{2} = R_{1}

。

03第 8～13 題：正弦函數的圖形、週期與應用

第 8 題兩次最大值之間隔了一個週期。

f (t) = 24 sin (160 π t) + 90

的週期是

\frac{2 π}{160 π} = \frac{1}{80}

分鐘，也就是每

\frac{1}{80}

分鐘心跳一次，所以每分鐘心跳

80

次。

y = a sin (b x + c) + d

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

，與

a

、

c

、

d

無關。

第 9 題與

x

軸相交就是

sin (2 x + \frac{π}{3}) = 0

，即

2 x + \frac{π}{3} = k π

（

k

為整數）。

- π \leq x \leq π

時，

2 x + \frac{π}{3}

的範圍是

- \frac{5 π}{3}

到

\frac{7 π}{3}

，其中

π

的整數倍有

- π

、

0

、

π

、

2 π

四個。對應的

x

依序是

- \frac{2 π}{3}

、

- \frac{π}{6}

、

\frac{π}{3}

、

\frac{5 π}{6}

，共

4

個交點。

週期是

π

，範圍的長度

2 π

是兩個週期，每個週期與

x

軸交兩次；兩個端點

x = \pm π

的函數值是

\frac{3 3}{2}

，不在

x

軸上，所以正好

4

個。

第 10 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = - \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{7 π}{6}

與

x = \frac{11 π}{6}

（參考角

\frac{π}{6}

，落在第三、四象限）。看

y = sin x

的圖形：在這兩個點之間，圖形在直線

y = - \frac{1}{2}

的下方（中間經過最低點

x = \frac{3 π}{2}

）；其餘地方都在上方。所以

\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

。

不等式含等號，兩個端點都要算進去。

第 11 題一步一步做：水平伸縮為

2

倍：把

x

換成

\frac{x}{2}

，得

y = sin \frac{x}{2}

。向左平移

\frac{π}{2}

：把

x

換成

x + \frac{π}{2}

，得

y = sin \frac{1}{2} (x + \frac{π}{2}) = sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})

。鉛直伸縮為

4

倍：

y = 4 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})

。向上平移

3

：

y = 4 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) + 3

。

先伸縮再平移時，平移是把「整個

x

」換成

x + \frac{π}{2}

，所以括號裡加的是

\frac{π}{4}

，不是

\frac{π}{2}

。

第 12 題

x

是任意實數時，

sin (3 x + \frac{π}{6})

的值在

- 1

到

1

之間，而且兩端都取得到。所以

M = 4 \times 1 + 3 = 7

，

m = 4 \times (- 1) + 3 = - 1

，

M + m = 6

。

y = a sin (b x + c) + d

的最大值與最小值之和永遠是

2 d

。

第 13 題摩天輪轉一圈，高度的變化剛好重複一次，所以轉一圈的時間就是函數的週期：

\frac{2 π}{\frac{2 π}{13}} = 13

分鐘。

檢查：

x = 0

時

y = 5 sin (- \frac{π}{2}) + 5 = 0

，是最低點，與題目說的出發位置相符。

y = a sin (b x + c) + d

：

a

管高低的幅度，

b

管週期，

c

管左右平移，

d

管上下平移。

04第 14～17 題：指數的運算與指數函數

第 14 題都化成以

2

為底：

a = (2^{- 1})^{0.5} = 2^{- 0.5}

，

b = 2^{- 3}

，

c = (2^{- 2})^{- 2} = 2^{4}

。底數

2

大於

1

，指數越大值越大。

4 > - 0.5 > - 3

，所以

c > a > b

。

三個數的值是

c = 16

、

a = \frac{1}{2} \approx 0.707

、

b = \frac{1}{8}

。

第 15 題令

t = 2^{x}

（

t > 0

），則

4^{x} = t^{2}

，不等式變成

t^{2} - 3 t - 4 < 0

，即

(t - 4) (t + 1) < 0

。因為

t > 0

，

t + 1

一定是正的，所以只需要

t - 4 < 0

，也就是

2^{x} < 4 = 2^{2}

。底數

2

大於

1

，得

x < 2

。

二次不等式的解是

- 1 < t < 4

，但

2^{x} > - 1

對所有實數都成立，不會多出限制。

第 16 題令

u = 2^{a}

、

v = 2^{- a}

，則

u + v = 4

、

uv = 1

，所求是

u^{3} + v^{3}

。

(u + v)^{3} = u^{3} + v^{3} + 3 uv (u + v)

，所以

u^{3} + v^{3} = 4^{3} - 3 \times 1 \times 4 = 52

。

8^{a} = (2^{a})^{3}

。也可以用

u^{3} + v^{3} = (u + v) (u^{2} - uv + v^{2})

，其中

u^{2} + v^{2} = 16 - 2 = 14

，得

4 \times 13 = 52

。

第 17 題底數

2

大於

1

，指數越大值越大，所以先求指數的最大值。

- x^{2} + 2 x + 4 = - (x - 1)^{2} + 5

，在

x = 1

時有最大值

5

。所求最大值為

2^{5} = 32

。

卷面句首多印了一個「下」字，不影響題意。

05第 18～20 題（多選）：指數函數的圖形、三角函數值比大小、週期

第 18 題答案 (B)(C)(E)。 (A) 錯誤。

h (1) = \frac{1}{2}

，不是

0

；指數函數的值永遠是正的，圖形不會碰到

x

軸。 (B) 正確。

h (0) = (\frac{1}{2})^{0} = 1

。 (C) 正確。

h (3) = \frac{1}{8}

，交點

(3, \frac{1}{8})

的兩個坐標都是正的，在第一象限。 (D) 錯誤。

h (- 3) = (\frac{1}{2})^{- 3} = 8

，交點是

(- 3, 8)

。指數函數的定義域是全體實數，任何鉛直線都與圖形交於一點。 (E) 正確。

(\frac{1}{2})^{x} = 0.5

得

x = 1

，交點

(1, 0.5)

在第一象限。

第 19 題答案 (B)(D)。 (A) 錯誤。

1^{\circ}

、

2^{\circ}

、

3^{\circ}

都是銳角，銳角越大正弦值越大，應是

sin 1^{\circ} < sin 2^{\circ} < sin 3^{\circ}

。 (B) 正確。 銳角越大餘弦值越小，所以

cos 1^{\circ} > cos 2^{\circ} > cos 3^{\circ}

。 (C)(D)(E) 的

1

、

2

、

3

是弧度。

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

，所以

1

弧度在第一象限，

2

、

3

弧度在第二象限，參考角分別是

π - 2 \approx 1.14

與

π - 3 \approx 0.14

。 (C) 錯誤。

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，而

1 < 1.14 < \frac{π}{2}

，所以

sin 2 > sin 1

。 (D) 正確。

cos 1 > 0

；

cos 2 = - cos 1.14

、

cos 3 = - cos 0.14

都是負的。銳角越小餘弦值越大，

cos 0.14 > cos 1.14

，加上負號後

cos 3 < cos 2

。所以

cos 1 > cos 2 > cos 3

。 (E) 錯誤。

tan 1 > 0

；

tan 2 = - tan 1.14

、

tan 3 = - tan 0.14

都是負的，且

tan 1.14 > tan 0.14

，所以

tan 2 < tan 3

。

近似值：

sin 1 \approx 0.84

、

sin 2 \approx 0.91

、

sin 3 \approx 0.14

；

cos 1 \approx 0.54

、

cos 2 \approx - 0.42

、

cos 3 \approx - 0.99

；

tan 1 \approx 1.56

、

tan 2 \approx - 2.19

、

tan 3 \approx - 0.14

。沒有度的記號就是弧度。

第 20 題答案 (A)(B)(C)(E)。

y = a sin (b x + c) + d

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

，只看

x

的係數。 (A) 正確。

y = sin x

的週期是

2 π

。 (B) 正確。 上下平移不改變週期，仍是

2 π

。 (C) 正確。 鉛直伸縮不改變週期，仍是

2 π

。 (D) 錯誤。

x

的係數是

2

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。 (E) 正確。 左右平移不改變週期，仍是

2 π

。

比較弧度角的三角函數值，先用

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

判斷象限，再化成參考角。

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04第 14～17 題：指數的運算與指數函數

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