段考詳解範圍：弧度量與三角函數的圖形（弧度與度的互換、扇形的周長與面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的振幅與週期、圖形的伸縮與平移）

瑞祥高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 31 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 31 題，照原卷順序

多選題 2 題（14 分）、填充題A 15 格（30 分）、填充題B 14 格（56 分），合計 100 分。本頁一格一題：第 3～17 題依序為原卷填充題A 第 1～12 題的各格，第 18～31 題依序為原卷填充題B 第 1～12 題的各格。第 14、15、26 題各有一個分數原卷讀不清，本站的讀法與其他讀法的答案寫在各題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題：（每題 7 分，共 14 分，錯一個選項得 5 分兩個得 3 分，其他不給分）

已知函數

f (x) = 3 sin 3 (x + \frac{π}{18}) + 1

，則下列選項哪些正確？

(A) $f (0) = \frac{5}{2}$
(B) $f (x)$ 的週期為 $6 π$
(C) $f (x)$ 的振幅為 $3$
(D) $y = f (x)$ 的圖形對稱於 $x = \frac{π}{6}$
(E) $f (x) = 3 sin (3 x + \frac{5 π}{6}) + 1$

設

a = sin 1

，

b = cos 2

，

c = sin 3

，

d = cos 4

，

e = sin 5

，則下列大小關係何者正確？

(A) $e > c > a$
(B) $b > d$
(C) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(D) $b \times d > 0$
(E) $a > c > b > d > e$

二、填充題A：（每格 2 分，共 30 分）

tan \frac{1}{3} π =

____

sin \frac{π}{6} =

____

cos π =

____

tan \frac{5}{3} π =

____

sin (- \frac{49}{6} π) =

____

已知一圓的半徑為

r

，則圓心角

θ

所對應的扇形周長為 (1) ____。

已知一圓的半徑為

r

，則圓心角

θ

所對應的扇形面積為 (2) ____。

1^{\circ} =

____ 弳

1

弳

=

____ 度

函數

y = sin x

的振幅為 (1) ____。

函數

y = sin x

的週期為 (2) ____。

將函數

y = sin x

的圖形鉛直伸縮為原來的

4

倍，再水平伸縮為原來的

\frac{1}{3}

倍後，得到的新函數為 (1) ____。（原卷掃描檔上這個分數的分母模糊，本站讀作

\frac{1}{3}

。）

將函數

y = sin x

的圖形鉛直伸縮為原來的

4

倍，再水平伸縮為原來的

\frac{1}{3}

倍後，新函數的週期為 (2) ____。（原卷掃描檔上這個分數的分母模糊，本站讀作

\frac{1}{3}

。）

將函數

y = sin x

的圖形向左平移

\frac{π}{4}

單位，再向下移

3

單位後，得到的新函數為 ____。

已知

a = sin π

，

b = sin π^{\circ}

，試比較

a

、

b

大小為 ____。

三、填充題B：（每格 4 分，共 56 分）

已知

sin θ = \frac{5}{13}

，且

\frac{π}{2} < θ < π

，試求 (1)

cos (π - θ) =

____。

已知

sin θ = \frac{5}{13}

，且

\frac{π}{2} < θ < π

，試求 (2)

sin (\frac{3 π}{2} - θ) =

____。

圖為函數

y = a sin (x + b) + c

的部分圖形且

a > 0

，

- π \leq b < π

，求

a + b + c

之值為 ____。

載入中...

已知一正十八邊形內接於半徑為

10

的圓，若其邊長為

20 sin θ

，則

θ =

____。

若

999

弳的最小正同界角為

a

，又其最大負同界角為

b

，則

a - b =

____。

設

- 2 π \leq x \leq 2 π

，若

sin x \leq \frac{1}{2}

，則

x

的解為 ____。

已知

P (sin 2, cos 2)

，則

P

點位在第 (1) ____ 象限。

已知

P (sin 2, cos 2)

，且若

P

的極坐標為

[r, θ]

，若

0 \leq θ < 2 π

，試求

θ =

(2) ____。

將函數

y = sin x

的圖形向左平移

\frac{π}{4}

，再水平伸縮

3

倍，所得之圖形，與水平伸縮

3

倍，再向左平移

θ

後的圖形相同，若

0 < θ \leq π

，則

θ

為 ____。（原卷掃描檔上平移量的分母模糊，本站讀作

\frac{π}{4}

。）

設

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

，若

f (x) = sin^{2} x - 2 cos x + 2

，則當

x = a

時，有最大值

b

，當

x = c

時，有最小值

d

，試求

(b, d) =

____。

如圖，以

O

為圓心，作二個弧，半徑各為

4

公分、

3

公分，正方形

O A B C

的邊長為

23

公分，求鋪底部分的面積為 ____。

載入中...

試求方程式

tan x = - cos x

，在

- 2 π \leq x \leq 2 π

的範圍內共有 ____ 個實根。

考慮函數

f (x) = sin x + ∣ sin x ∣

，若

f (x)

的週期為

a

，最大值為

b

，最小值為

c

，試求

(a, b, c) =

____。

設

a > 0

，令

A (a)

表示

x

軸、

y

軸、直線

x = a

與函數

y = f (x) = 3 + 2 sin x

的圖形所圍成的面積，試求

A (2 π) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)

第 2 題(B)(C)(D)(E)

第 3 題

3

第 4 題

\frac{1}{2}

第 5 題

- 1

第 6 題

- 3

第 7 題

- \frac{1}{2}

第 8 題

r θ + 2 r

第 9 題

\frac{1}{2} r^{2} θ

第 10 題

\frac{π}{180}

第 11 題

\frac{180}{π}

第 12 題

1

第 13 題

2 π

第 14 題

y = 4 sin 3 x

（水平伸縮讀作

\frac{1}{3}

倍；若原卷是

\frac{1}{2}

倍則為

y = 4 sin 2 x

）

第 15 題

\frac{2 π}{3}

（水平伸縮讀作

\frac{1}{3}

倍；若原卷是

\frac{1}{2}

倍則為

π

）

第 16 題

y = sin (x + \frac{π}{4}) - 3

第 17 題

a < b

第 18 題

\frac{12}{13}

第 19 題

\frac{12}{13}

第 20 題

3 - \frac{π}{2}

第 21 題

\frac{π}{18}

（取銳角）

第 22 題

2 π

第 23 題

- 2 π \leq x \leq - \frac{11 π}{6}

或

- \frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 π

第 24 題四

第 25 題

\frac{5 π}{2} - 2

第 26 題

\frac{3 π}{4}

（平移量讀作

\frac{π}{4}

；若原卷是

\frac{π}{3}

則為

π

，是

\frac{π}{6}

則為

\frac{π}{2}

）

第 27 題

(4, \frac{7}{4})

第 28 題

43 - \frac{11 π}{12}

第 29 題

4

第 30 題

(2 π, 2, 0)

第 31 題

6 π

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～2：正弦函數的性質、弧度角比大小

第 1 題答案 (A)(C)。先把括號乘開：

3 (x + \frac{π}{18}) = 3 x + \frac{π}{6}

，所以

f (x) = 3 sin (3 x + \frac{π}{6}) + 1

。 (A) 正確。

f (0) = 3 sin \frac{π}{6} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}

。 (B) 錯誤。

x

的係數是

3

，週期是

\frac{2 π}{3}

，不是

6 π

。 (C) 正確。

sin

前面的係數是

3

，最大值

4

、最小值

- 2

，振幅是

\frac{4 - ( - 2 )}{2} = 3

。 (D) 錯誤。 正弦曲線的對稱軸通過最高點或最低點。

x = \frac{π}{6}

時

3 x + \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

，

f (\frac{π}{6}) = \frac{3 3}{2} + 1

，既不是

4

也不是

- 2

，所以這條直線不是對稱軸。 (E) 錯誤。 取

x = \frac{π}{9}

：

f (\frac{π}{9}) = 3 sin \frac{π}{2} + 1 = 4

，但選項的式子得

3 sin \frac{7 π}{6} + 1 = - \frac{1}{2}

，兩者不相等。

(E) 的式子在

x = 0

時也得

\frac{5}{2}

，只代一個點看不出差別；

\frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

的正弦值相同，但加上

3 x

之後就不同了。對稱軸在

3 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，也就是

x = \frac{π}{9}

這一類位置。

第 2 題答案 (B)(C)(D)(E)。用

π \approx 3.14

判斷各角的位置：

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

。

a = sin 1

：

\frac{π}{4} \approx 0.785 < 1 < \frac{π}{3} \approx 1.047

，所以

\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}

。

b = cos 2

：

\frac{π}{2} < 2 < \frac{2 π}{3} \approx 2.09

，所以

- \frac{1}{2} < b < 0

。

c = sin 3

：

\frac{5 π}{6} \approx 2.62 < 3 < π

，所以

0 < c < \frac{1}{2}

。

d = cos 4

：

\frac{5 π}{4} \approx 3.93 < 4 < \frac{4 π}{3} \approx 4.19

，所以

- \frac{2}{2} < d < - \frac{1}{2}

。

e = sin 5

：

\frac{3 π}{2} < 5 < \frac{5 π}{3} \approx 5.24

，所以

- 1 < e < - \frac{3}{2}

。合起來

a > c > 0 > b > - \frac{1}{2} > d > - \frac{2}{2} > - \frac{3}{2} > e

。 (A) 錯誤。

e

是負的、

a

是正的。 (B) 正確。

b > - \frac{1}{2} > d

。 (C) 正確。 見

a

的範圍。 (D) 正確。

b

、

d

都是負的，相乘為正。 (E) 正確。 就是上面排出的順序。

數值約為

a \approx 0.84

、

c \approx 0.14

、

b \approx - 0.42

、

d \approx - 0.65

、

e \approx - 0.96

。沒有度的記號就是弧度，

1

弳約

57. 3^{\circ}

。

係數寫在括號外面的正弦函數先乘開再看週期與平移；弧度角比大小時，先用特殊角把每個角夾住。

02填充A 1～8（第 3～11 題）：特殊角、扇形公式、度與弧度

第 3 題

\frac{1}{3} π = 6 0^{\circ}

，

tan 6 0^{\circ} = 3

。

第 4 題

\frac{π}{6} = 3 0^{\circ}

，

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。

第 5 題

π = 18 0^{\circ}

，終邊在

x

軸的負向，單位圓上的點是

(- 1, 0)

，所以

cos π = - 1

。

第 6 題

\frac{5}{3} π = 30 0^{\circ}

，在第四象限，參考角

6 0^{\circ}

。第四象限的正切為負，所以

tan \frac{5}{3} π = - tan 6 0^{\circ} = - 3

。

第 7 題

- \frac{49}{6} π = - 8 π - \frac{π}{6}

，減去

4

圈後與

- \frac{π}{6}

是同界角。

- \frac{π}{6}

在第四象限，正弦為負，所以答案是

- sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}

。

49 = 48 + 1

，

\frac{48}{6} π = 8 π

正好是整數圈。

第 8 題圓心角

θ

以弳為單位時，弧長是

r θ

。扇形的周長是弧長加上兩條半徑：

r θ + 2 r

。

周長不是只有弧長，兩條半徑也要算。

第 9 題扇形佔整個圓的

\frac{θ}{2 π}

，面積是

π r^{2} \times \frac{θ}{2 π} = \frac{1}{2} r^{2} θ

（

θ

以弳為單位）。

第 10 題

18 0^{\circ} = π

弳，兩邊同除以

180

：

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳。

第 11 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，兩邊同除以

π

：

1

弳

= \frac{180}{π}

度。

約

57. 3^{\circ}

。

弧度角先換成熟悉的度數或減去整數圈，再看象限決定正負。

03填充A 9～12（第 12～17 題）：振幅、週期、伸縮與平移

第 12 題

y = sin x

的最大值是

1

、最小值是

- 1

，振幅是

\frac{1 - ( - 1 )}{2} = 1

。

第 13 題

x

每增加

2 π

（轉一圈），

sin x

的值重複一次，而且沒有更小的正數有這個性質，所以週期是

2 π

。

第 14 題鉛直伸縮為原來的

4

倍：每個點的

y

坐標乘以

4

，得

y = 4 sin x

。水平伸縮為原來的

\frac{1}{3}

倍：每個點的

x

坐標變成

\frac{1}{3}

，式子裡的

x

要換成

3 x

，得

y = 4 sin 3 x

。

水平方向壓成

\frac{1}{3}

，

x

的係數是乘以

3

，不是乘以

\frac{1}{3}

。手上的卷若印的是

\frac{1}{2}

倍，同樣的做法得

y = 4 sin 2 x

。

第 15 題

y = 4 sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

。也可以直接想：原來的週期

2 π

在水平方向壓成

\frac{1}{3}

，就是

\frac{2 π}{3}

；鉛直伸縮不影響週期。

手上的卷若印的是

\frac{1}{2}

倍，新函數是

y = 4 sin 2 x

，週期是

2 π \times \frac{1}{2} = π

。

第 16 題向左平移

\frac{π}{4}

：把

x

換成

x + \frac{π}{4}

，得

y = sin (x + \frac{π}{4})

。再向下移

3

：整個式子減

3

，得

y = sin (x + \frac{π}{4}) - 3

。

向左是加、向右是減；向下是在式子外面減。

第 17 題

a = sin π

沒有度的記號，是

π

弳（

18 0^{\circ}

），

a = 0

。

b = sin π^{\circ}

是

π

度，約

3.1 4^{\circ}

，是很小的銳角，正弦值為正。所以

a < b

。

b \approx 0.055

。

水平方向的變化（伸縮、左右平移）改的是

x

，而且方向與直覺相反；鉛直方向的變化改的是整個式子。

04填充B 1～4（第 18～22 題）：角的化簡、讀圖、正多邊形、同界角

第 18 題

θ

在第二象限，餘弦為負：

cos θ = - 1 - (\frac{5}{13})^{2} = - \frac{12}{13}

。

π - θ

與

θ

的終邊對稱於

y

軸，

x

坐標變號，所以

cos (π - θ) = - cos θ = \frac{12}{13}

。

檢查：

π - θ

是銳角，餘弦應該是正的。

第 19 題

\frac{3 π}{2} - θ = π + (\frac{π}{2} - θ)

。角度加

π

是轉半圈，正弦變號：

sin (\frac{3 π}{2} - θ) = - sin (\frac{π}{2} - θ) = - cos θ

由上一題

cos θ = - \frac{12}{13}

，所以答案是

\frac{12}{13}

。

檢查：

\frac{π}{2} < θ < π

時

\frac{π}{2} < \frac{3 π}{2} - θ < π

，是第二象限角，正弦應該是正的。這一格與上一格的值相同，都是

- cos θ

。

第 20 題由圖，最大值

3

、最小值

- 1

。振幅

a = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

，中間的高度

c = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

。最高點在

x = π

，此時

sin (π + b) = 1

，所以

π + b = \frac{π}{2}

（或再加減整數圈），

b = - \frac{π}{2}

，在

- π \leq b < π

之內，其他的值都超出範圍。所以

y = 2 sin (x - \frac{π}{2}) + 1

，

a + b + c = 2 - \frac{π}{2} + 1 = 3 - \frac{π}{2}

。

檢查：

x = \frac{π}{2}

代入得

2 sin 0 + 1 = 1

，與圖上曲線在

x = \frac{π}{2}

的高度相符；

x = 0

代入得

- 1

，是最低點。

第 21 題正十八邊形把圓心周圍分成

18

等分，每一邊所對的圓心角是

\frac{2 π}{18} = \frac{π}{9}

。圓心與一邊的兩端點連成等腰三角形（兩腰是半徑

10

），從圓心作這一邊的垂線，把頂角平分成

\frac{π}{18}

，邊也被平分。半邊長

= 10 sin \frac{π}{18}

，所以邊長

= 20 sin \frac{π}{18}

，

θ = \frac{π}{18}

。

\frac{π}{18} = 1 0^{\circ}

。題目沒有限定

θ

的範圍，這裡取銳角。

第 22 題同界角之間相差

2 π

的整數倍。把

999

一直減

2 π

，最後一個正的就是

a

；再減一次

2 π

就變成負的，而且是負的同界角裡最大的，就是

b

。所以

b = a - 2 π

，

a - b = 2 π

。

這一題不必真的算出

a

。若要算：

999 \div 2 π \approx 158.996

，

a = 999 - 316 π \approx 6.257

，

b = 999 - 318 π \approx - 0.026

。

化簡角度時先想終邊轉到哪裡，再用象限檢查正負；最小正同界角與最大負同界角一定剛好差一圈。

05填充B 5～8（第 23～27 題）：正弦不等式、象限、平移次序、最大最小值

第 23 題先看

0 \leq x \leq 2 π

這一個週期。

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

；由

y = sin x

的圖形，曲線只有在這兩個角之間高過

\frac{1}{2}

。所以這一段的解是

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 π

。再看

- 2 π \leq x \leq 0

：把上面的解整個減

2 π

，得

- 2 π \leq x \leq - \frac{11 π}{6}

或

- \frac{7 π}{6} \leq x \leq 0

。兩段在

x = 0

接起來，合併成三段：

- 2 π \leq x \leq - \frac{11 π}{6} 或 - \frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{π}{6} 或 \frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 π

檢查：

x = - \frac{3 π}{2}

時

sin x = 1

，不合，它確實不在解裡；

x = - \frac{π}{2}

時

sin x = - 1

，合，它在中間那一段。

第 24 題

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2 < π \approx 3.14

，

2

弳是第二象限角，所以

sin 2 > 0

、

cos 2 < 0

。

P

的

x

坐標為正、

y

坐標為負，在第四象限。

注意

P

的坐標是先

sin

後

cos

，與單位圓上的點

(cos 2, sin 2)

順序相反。

第 25 題

r = sin^{2} 2 + cos^{2} 2 = 1

，所以

P = (cos θ, sin θ)

，要找

θ

使

cos θ = sin 2

且

sin θ = cos 2

。由餘角關係，

sin 2 = cos (\frac{π}{2} - 2)

、

cos 2 = sin (\frac{π}{2} - 2)

，所以

θ

與

\frac{π}{2} - 2

是同界角。

\frac{π}{2} - 2 \approx - 0.43

是負的，加一圈：

θ = \frac{π}{2} - 2 + 2 π = \frac{5 π}{2} - 2

。

\frac{5 π}{2} - 2 \approx 5.85

，介於

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間，是第四象限角，與上一格相符。

第 26 題第一種做法：向左平移

\frac{π}{4}

得

y = sin (x + \frac{π}{4})

；再水平伸縮

3

倍，把

x

換成

\frac{x}{3}

，得

y = sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{4})

。第二種做法：先水平伸縮

3

倍得

y = sin \frac{x}{3}

；再向左平移

θ

，把

x

換成

x + θ

，得

y = sin \frac{x + θ}{3} = sin (\frac{x}{3} + \frac{θ}{3})

。兩個圖形相同，所以

\frac{θ}{3}

與

\frac{π}{4}

相同或相差

2 π

的整數倍：

θ = \frac{3 π}{4}

、

\frac{3 π}{4} \pm 6 π

、……。在

0 < θ \leq π

之內只有

θ = \frac{3 π}{4}

。

先平移再拉寬，平移的距離也跟著被拉成

3

倍，所以改成先拉寬時要平移

3 \times \frac{π}{4}

。一般地，

θ

等於原來平移量的

3

倍，手上的卷若印的是別的平移量，照這個關係換算。

第 27 題用

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

全部換成餘弦，令

t = cos x

：

f (x) = 1 - t^{2} - 2 t + 2 = - (t + 1)^{2} + 4

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

時，

cos x

從

\frac{1}{2}

一路降到

x = π

的

- 1

，再回升到

- \frac{3}{2}

，所以

- 1 \leq t \leq \frac{1}{2}

。

t = - 1

（

x = π

）時有最大值

b = 4

。離

t = - 1

越遠值越小，

t = \frac{1}{2}

（

x = \frac{π}{3}

）時有最小值

d = - \frac{9}{4} + 4 = \frac{7}{4}

。答

(b, d) = (4, \frac{7}{4})

。

範圍跨過

x = π

，

cos x

的最小值是

- 1

，不是端點

\frac{7 π}{6}

的值。此時

a = π

、

c = \frac{π}{3}

。

正弦不等式先在一個週期內用圖形解，再平移到其他週期；有範圍限制的最大最小值，先確定代換後的範圍。

06填充B 9～12（第 28～31 題）：扇形面積、實根個數、絕對值、曲線下的面積

第 28 題把

O

放在原點，

A

在右、

C

在上。鋪底部分是「正方形裡與

O

的距離不超過

4

的部分」挖掉「半徑

3

的四分之一圓」（

3 < 23 \approx 3.46

，這個四分之一圓整個在正方形內）。半徑

4

的弧與

\overline{A B}

交於

D

：

\overline{O A} = 23

、

\overline{O D} = 4

，所以

\overline{A D} = 16 - 12 = 2

，

∠ A O D = \frac{π}{6}

。同理弧與

\overline{B C}

交於

E

，

\overline{C E} = 2

，

∠ C O E = \frac{π}{6}

。於是

∠ D O E = \frac{π}{2} - \frac{π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{π}{6}

。正方形裡距離

O

不超過

4

的部分

= △ O A D + △ O C E +

扇形

O D E

：

\frac{1}{2} \times 23 \times 2 \times 2 + \frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{π}{6} = 43 + \frac{4 π}{3}

半徑

3

的四分之一圓面積是

\frac{1}{4} \times 9 π = \frac{9 π}{4}

。鋪底面積

= 43 + \frac{4 π}{3} - \frac{9 π}{4} = 43 - \frac{11 π}{12}

（平方公分）。

約

4.05

平方公分。半徑

4

比邊長

23

大，所以外面那個弧在正方形裡不是完整的四分之一圓，要切成兩個直角三角形與一個扇形。

D

、

E

是為了說明而取的名字，原圖沒有標。

第 29 題

tan x = \frac{sin x}{cos x}

（

cos x \neq = 0

），原式化為

sin x = - cos^{2} x = - (1 - sin^{2} x)

，也就是

sin^{2} x - sin x - 1 = 0

解得

sin x = \frac{1 \pm 5}{2}

。

\frac{1 + 5}{2} > 1

不合，所以

sin x = \frac{1 - 5}{2} \approx - 0.618

，此時

cos x \neq = 0

，沒有問題。由

y = sin x

的圖形，水平線

y = - 0.618

介於

- 1

與

0

之間，在每個週期與曲線交於

2

點。

- 2 π \leq x \leq 2 π

是兩個週期，端點的正弦值是

0

，不是交點，所以共有

4

個實根。

四個根約為

x \approx - 2.48

、

- 0.67

、

3.81

、

5.62

。也可以畫

y = tan x

與

y = - cos x

的圖形數交點，結果相同。

第 30 題分兩種情形。

sin x \geq 0

時

f (x) = 2 sin x

；

sin x < 0

時

f (x) = sin x - sin x = 0

。圖形是：

0 \leq x \leq π

這半個週期是

y = 2 sin x

的拱形，

π \leq x \leq 2 π

這半個週期貼在

x

軸上，之後每

2 π

重複一次。所以週期

a = 2 π

，最大值

b = 2

（

sin x = 1

時），最小值

c = 0

。答

(a, b, c) = (2 π, 2, 0)

。

週期不是

π

：

f (\frac{π}{2}) = 2

，但

f (\frac{3 π}{2}) = 0

。

第 31 題

- 1 \leq sin x \leq 1

，所以

1 \leq f (x) \leq 5

，曲線都在

x

軸上方。

A (2 π)

就是

0 \leq x \leq 2 π

之間、曲線

y = 3 + 2 sin x

與

x

軸之間的面積。以水平線

y = 3

為準：

0 \leq x \leq π

時曲線高出

2 sin x

，

π \leq x \leq 2 π

時曲線低了同樣的形狀（因為

sin (x + π) = - sin x

）。把前半段凸出來的那一塊剪下來，正好補滿後半段凹下去的那一塊。補完後是寬

2 π

、高

3

的長方形，

A (2 π) = 2 π \times 3 = 6 π

。

這種割補只在剛好一個（或整數個）週期時成立。原卷這一題沒有附圖，可以自己畫

y = 3 + 2 sin x

在

0 \leq x \leq 2 π

的圖形來看。

圖形的面積先找對稱與割補；方程式的實根個數可以化成正弦等於定值，再到正弦曲線上數交點。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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瑞祥高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 31 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

瑞祥高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題的選項 E，只代 0 會以為相同，要多代一個點；填充題B 第 1 題第 2 格（本頁第 19 題）答案是正的，要用象限檢查正負；填充題B 第 5 題（本頁第 23 題）負的那一半範圍容易漏掉或寫錯端點；填充題B 第 9 題（本頁第 28 題）外面的弧在正方形內不是完整的四分之一圓，要切成兩個直角三角形與一個扇形。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自瑞祥高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

瑞祥高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多選 1～2：正弦函數的性質、弧度角比大小

02填充A 1～8（第 3～11 題）：特殊角、扇形公式、度與弧度

03填充A 9～12（第 12～17 題）：振幅、週期、伸縮與平移

04填充B 1～4（第 18～22 題）：角的化簡、讀圖、正多邊形、同界角

05填充B 5～8（第 23～27 題）：正弦不等式、象限、平移次序、最大最小值

06填充B 9～12（第 28～31 題）：扇形面積、實根個數、絕對值、曲線下的面積

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瑞祥高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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