段考詳解範圍：第一冊數與式（含指對數）

北一女中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 2 題（10 分）、多選題 2 題（20 分）、填充題 10 格（60 分）、混合題 3 題（10 分：單選 2 分、填充 3 分、計算 5 分）；本試卷題型均可以自行判斷採用計算器為計算工具（限指定機型）。答案已與學校公布的答案逐題核對（第 2 題照學校答案並加附註，其餘一致）。

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）說明：每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 5 分；答錯或未作答者，該題以零分計算。

滿足

{∣ x - 103 ∣ < 4 ∣3 x - 9∣ > 16

的整數

x

有多少個？

(A) $12$
(B) $8$
(C) $7$
(D) $6$
(E) $0$

遊戲的狀態空間複雜度是指從遊戲初始狀態開始，可以達到所有符合規則狀態的總數；遊戲樹複雜度是指遊戲可以被玩弄的總次數。已知圍棋狀態空間複雜度的上限

M

為

3^{361}

，西洋棋的遊戲樹複雜度

N

為

3 5^{80}

，則

M + N

最接近的是

(A) $1 0^{124}$
(B) $1 0^{173}$
(C) $1 0^{295}$
(D) $1 0^{361}$
(E) $1 0^{441}$

二、多選題（每題 10 分，共 20 分）說明：每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，每答對一個選項得 2 分；所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列哪些選項是正確的？

(A) $(3 + 22) + \frac{1}{3 + 2 2}$ 為有理數
(B) $\frac{324}{234}$ 可化為循環小數
(C) $(- 125)^{\frac{2}{3}} = 25$
(D) 若 $a + b$ 為有理數且 $ab$ 為有理數，則 $a$ 、 $b$ 皆為有理數
(E) 若 $3 a + b$ 、 $a + 3 b$ 皆為有理數，則 $a^{2} - b^{2}$ 為有理數

在數線上有

A (a)

、

B (b)

、

P (x)

，已知

a < b

且

\overline{P A} : \overline{P B} = 4 : 3

，試問下列哪些選項是正確的？

(A) $4∣ x - a ∣ = 3∣ x - b ∣$
(B) $P$ 必在 $\overline{A B}$ 上
(C) 若 $a = 5$ 且 $x = \frac{35}{3}$ ，則 $b = \frac{50}{3}$
(D) 若 $x = 6$ 且 $b = 12$ ，則 $a = - 2$
(E) $x > \frac{a + b}{2}$

三、填充題（每格 6 分，共 60 分）說明：答案需完全答對才給分。

設

x

、

y

為有理數，且

(6 + 7) x + (y - 2) (3 - 27) = 6 - 147

，則數對

(x, y) =

____。

如圖，線段

\overline{A B}

長度為

1. \overline{11}

，線段

\overline{B C}

長度為

3.1 \overline{4}

，其中

B

點介在

A

、

C

之間，以

\overline{A C}

為直徑作半圓，過

B

點作

\overline{A C}

的垂直線交半圓於

D

點，

\overline{B D}

長度為

\frac{a}{b}

，則數對

(a, b) =

____。（本站附圖為示意圖，未照實際比例）

載入中...

已知

x = \frac{6 - 2}{6 + 2}

，則

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。

已知

92 5^{x} = 125

且

3 7^{y} = 25

，則

\frac{3}{x} - \frac{2}{y} =

____。

已知

lo g a = 0.3

，

lo g b = 7

，

lo g c = - 4

，求

a^{8} \times b^{27} \div 1 0^{\frac{2}{5} l o g c}

展開後為 ____ 位數。

小綠打算在農業用地中規劃出一塊面積為

1200

平方公尺的矩形農地種植作物，並打算在此區域內挖設四條縱向田溝及三條橫向田溝，劃分成六個相等大小的區塊分別種植不同的作物，如圖所示。假設每條田溝寬度都是

0.6

公尺，則所有田溝所佔的面積最小為 ____ 平方公尺。

載入中...

地震芮氏規模

M

與釋放能量

E

（單位爾格）的關係，根據地震學家古騰堡的公式為

lo g E = 11.8 + 1.5 M

。依中央氣象局資料，民國 111 年 9 月 18 日 14：44 分發生芮氏規模

M_{1}

為

6.8

的地震，隔天 9 月 19 日 10：07 分發生芮氏規模

M_{2}

為

5.9

的地震。試問

M_{1}

所釋放的能量為

M_{2}

所釋放的能量的 ____ 倍。（答案請四捨五入至整數位）

設

k = (3 - 1)^{3} + 38 - 288 + (63 - 11)^{2}

，若

k

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，則

a + \frac{2}{b} =

____。

若

a

、

b

為實數，已知

∣ a x + 3∣ \leq b

與

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ = 5

的解相同，則

a + b =

____。

解不等式

∣ x + 5∣ - 2∣ x - 3∣ \geq 4

，以區間符號表示其解為 ____。

四、混合題（共 10 分）說明：選擇題與填充題請在欄位處作答。計算題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

混合題（第 15～17 題）　牛頓冷卻定律表明一個物體損失熱的速率與物體和其周圍環境間的溫度差呈正比例。如果室溫為

θ_{0}

度，物體的初始溫度為

θ_{1}

度，經過

t

小時後物體的溫度

f (t)

滿足

f (t) = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) \cdot 1 0^{- k t}

，其中

k

是一個隨物體與空氣接觸狀況而定的常數。今天花媽將竹筴魚從冰箱冷凍庫拿出來，其初始溫度為

θ_{1}

度，放在室溫

26

度下解凍，經過一個小時後，其溫度為

- 7.6

度，經過三個小時後，其溫度為

7.1

度。

試問

1 0^{- k}

的值為下列哪一個選項？（單選題，2 分）

(A) $0.56$
(B) $0.64$
(C) $0.75$
(D) $0.81$
(E) $0.90$

竹筴魚的初始溫度

θ_{1}

為 ____ 度。（填充題，3 分）

花媽希望在烹飪時竹筴魚的溫度至少為

15

度，若花媽需將竹筴魚放在室溫

26

度下至少

n

小時（

n

為正整數）才能符合前述要求，試問

n

值為多少？（計算題，5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)（照學校公布的答案，比的是 10 的幾次方，見詳解）

第 3 題(A)(B)(E)

第 4 題(D)(E)

第 5 題

(- 2, 8)

第 6 題

(283, 9)

第 7 題

52

第 8 題

2

第 9 題

19

第 10 題

139.68

第 11 題

22

第 12 題

7 + 2

第 13 題

9

第 14 題

[\frac{5}{3}, 7]

第 15 題(C)

第 16 題

- 18.8

第 17 題

n = 5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2：絕對值不等式與大數的估計

第 1 題答案 (D)。第一式：

∣ x - 103 ∣ < 4

即

103 - 4 < x < 103 + 4

。因為

1 0^{2} < 103 < 1 1^{2}

，

103 \approx 10.15

，所以

6.15 < x < 14.15

，整數

x

是

7, 8, \dots, 14

。第二式：

∣3 x - 9∣ > 16

即

3 x - 9 > 16

或

3 x - 9 < - 16

，得

x > \frac{25}{3} \approx 8.33

或

x < - \frac{7}{3}

。兩式同時成立的整數是

9, 10, 11, 12, 13, 14

，共

6

個。

只要知道

103

介於

10

與

11

之間、而且比較靠近

10

，就能定出兩端的整數。

第 2 題答案 (B)。用常用對數估計：

lo g M = 361 lo g 3 \approx 361 \times 0.4771 \approx 172.2

，所以

M \approx 1 0^{172.2}

。

lo g N = 80 lo g 35 \approx 80 \times 1.5441 \approx 123.5

，所以

N \approx 1 0^{123.5}

。

N

比

M

小了大約

1 0^{49}

倍，加上去幾乎不影響，

M + N \approx M \approx 1 0^{172.2} \approx 1.7 \times 1 0^{172}

。五個選項都是 10 的整數次方，比的是數量級：

172.2

最接近的指數是

173

，所以選

1 0^{173}

，這也是學校公布的答案。

兩個大小差很多的數相加，和的大小由大的那個決定；不可以把指數

172

和

124

相加。另外，「最接近」若嚴格解釋成相減的差距最小：

1 0^{173} - (M + N) \approx 8.3 \times 1 0^{172}

，而

(M + N) - 1 0^{124} \approx 1.7 \times 1 0^{172}

，反而是 (A) 的差距比較小。本題的原意是比 10 的幾次方，答案照學校公布的 (B)。

02多選 1、2（第 3、4 題）：有理數的判斷、數線上的距離比

第 3 題答案 (A)(B)(E)。(A) 對：

\frac{1}{3 + 2 2} = \frac{3 - 2 2}{9 - 8} = 3 - 22

，相加得

6

，是有理數。(B) 對：

\frac{324}{234} = \frac{18}{13}

，最簡分數的分母

13

有

2

、

5

以外的質因數，所以化成小數是循環小數（

1. \overline{384615}

）。(C) 錯：分數指數

a^{\frac{m}{n}}

只在底數

a > 0

時有定義，

(- 125)^{\frac{2}{3}}

沒有意義，等式不成立。(D) 錯：反例

a = 2

、

b = - 2

，

a + b = 0

、

ab = - 2

都是有理數，但

a

、

b

都是無理數。(E) 對：令

p = 3 a + b

、

q = a + 3 b

，則

p^{2} - q^{2} = (3 a^{2} + 23 ab + b^{2}) - (a^{2} + 23 ab + 3 b^{2}) = 2 (a^{2} - b^{2})

，所以

a^{2} - b^{2} = \frac{p ^{2} - q ^{2}}{2}

是有理數。

(E) 不必解出

a

、

b

，兩式平方相減剛好把含

3

的項消掉。

第 4 題答案 (D)(E)。

\overline{P A} = ∣ x - a ∣

、

\overline{P B} = ∣ x - b ∣

，由

\overline{P A} : \overline{P B} = 4 : 3

得

3∣ x - a ∣ = 4∣ x - b ∣

。滿足條件的

P

有兩個位置：在

A

、

B

之間（內分點

x = \frac{3 a + 4 b}{7}

），或在

B

的右邊（

x - a = \frac{4}{3} (x - b)

，即

x = 4 b - 3 a

）。(A) 錯：係數放反了，應是

3∣ x - a ∣ = 4∣ x - b ∣

。(B) 錯：

P

也可以在

B

的右邊。(C) 錯：

\overline{P A} = \frac{35}{3} - 5 = \frac{20}{3}

，所以

\overline{P B} = 5

，

b = \frac{35}{3} \pm 5

，即

\frac{50}{3}

或

\frac{20}{3}

，兩個都大於

a = 5

，

b

不一定是

\frac{50}{3}

。(D) 對：

\overline{P B} = 6

，所以

\overline{P A} = 8

，

a = 6 \pm 8

，即

14

或

- 2

；又

a < b = 12

，只能是

a = - 2

。(E) 對：

\overline{P A} > \overline{P B}

表示

P

離

B

比較近，而

B

在

A

的右邊，所以

P

在

A

、

B

中點的右邊，即

x > \frac{a + b}{2}

。

距離比只給了長度，

P

在線段內、線段外各有一個位置，(C)(D) 都要兩種都算，再用

a < b

篩選。

03填充 1～4（第 5～8 題）：比較係數、循環小數、對稱式與指數

第 5 題展開後把有理數部分與

7

的部分分開：左式

= [6 x + 3 (y - 2)] + [x - 2 (y - 2)] 7

。因為

x

、

y

是有理數，兩邊比較得

6 x + 3 (y - 2) = 6

且

x - 2 (y - 2) = - 14

。令

u = y - 2

：

2 x + u = 2

、

x - 2 u = - 14

，解得

u = 6

、

x = - 2

，所以

y = 8

，

(x, y) = (- 2, 8)

。

第 6 題先把循環小數化成分數：

\overline{A B} = 1. \overline{11} = 1 + \frac{11}{99} = \frac{10}{9}

；

\overline{B C} = 3.1 \overline{4} = 3.1 + \frac{4}{90} = \frac{279 + 4}{90} = \frac{283}{90}

。

D

在以

\overline{A C}

為直徑的半圓上，所以

∠ A D C = 9 0^{\circ}

；又

\overline{D B} ⊥ \overline{A C}

，直角三角形

A B D

與

D B C

相似，

\frac{A B}{B D} = \frac{B D}{B C}

，即

\overline{B D}^{2} = \overline{A B} \times \overline{B C} = \frac{10}{9} \times \frac{283}{90} = \frac{283}{81}

。所以

\overline{B D} = \frac{283}{9}

，

(a, b) = (283, 9)

。

1. \overline{11}

就是

1.111 \dots

，和

1. \overline{1}

是同一個數。

283

是質數，根號不能再化簡。本頁的圖是示意圖，

B

的位置沒有照實際比例畫。

第 7 題有理化：

x = \frac{( 6 - 2 ) ^{2}}{6 - 2} = \frac{8 - 4 3}{4} = 2 - 3

，

\frac{1}{x} = \frac{6 + 2}{6 - 2} = 2 + 3

。所以

x + \frac{1}{x} = 4

。由

(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} + 3 (x + \frac{1}{x})

，得

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 4^{3} - 3 \times 4 = 52

。

第 8 題由

92 5^{x} = 125 = 5^{3}

得

925 = 5^{\frac{3}{x}}

；由

3 7^{y} = 25 = 5^{2}

得

37 = 5^{\frac{2}{y}}

。兩式相除：

\frac{925}{37} = 5^{\frac{3}{x} - \frac{2}{y}}

，而

\frac{925}{37} = 25 = 5^{2}

，所以

\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 2

。

看到所求是

\frac{3}{x}

、

\frac{2}{y}

，就把兩式都改寫成「底數 5 的幾次方」，再找

925

與

37

的關係。

04填充 5～7（第 9～11 題）：位數、算幾不等式與地震能量

第 9 題把每一項都寫成 10 的次方：

a = 1 0^{0.3}

，所以

a^{8} = 1 0^{2.4}

；

b = 1 0^{7}

，所以

b^{27} = 1 0^{7 \times 27} = 1 0^{14}

；

1 0^{\frac{2}{5} l o g c} = 1 0^{\frac{2}{5} \times (- 4)} = 1 0^{- 1.6}

。原式

= 1 0^{2.4 + 14 - (- 1.6)} = 1 0^{18}

。

1 0^{18}

是

1

後面

18

個

0

，共

19

位數。

除以

1 0^{- 1.6}

是指數「減去

- 1.6

」，也就是加

1.6

；

1 0^{n}

是

n + 1

位數。

第 10 題設農地橫向長

x

公尺、縱向長

y

公尺，

x y = 1200

。四條縱向田溝共占去橫向

4 \times 0.6 = 2.4

公尺，三條橫向田溝共占去縱向

3 \times 0.6 = 1.8

公尺，所以六個區塊合計面積是

(x - 2.4) (y - 1.8)

。田溝面積

= x y - (x - 2.4) (y - 1.8) = 1.8 x + 2.4 y - 4.32

。由算幾不等式，

1.8 x + 2.4 y \geq 2 1.8 x \times 2.4 y = 2 4.32 \times 1200 = 25184 = 144

，等號成立在

1.8 x = 2.4 y = 72

，即

x = 40

、

y = 30

（此時

x y = 1200

，做得到）。所以田溝面積最小為

144 - 4.32 = 139.68

平方公尺。

直接把七條田溝的面積相加，會把縱橫田溝交叉的

12

個小方塊（每塊

0.36

平方公尺）重複算一次；用「全部減去種植區」比較不會錯。

第 11 題

lo g E_{1} = 11.8 + 1.5 \times 6.8

，

lo g E_{2} = 11.8 + 1.5 \times 5.9

。相減：

lo g E_{1} - lo g E_{2} = 1.5 \times (6.8 - 5.9) = 1.35

，所以

\frac{E _{1}}{E _{2}} = 1 0^{1.35}

。用計算器得

1 0^{1.35} \approx 22.39

，四捨五入至整數位是

22

倍。

兩式相減後常數

11.8

消掉，倍數只和規模的差有關。

05填充 8～10（第 12～14 題）：根式化簡與絕對值

第 12 題三項分別化簡。第一項：

(3 - 1)^{3} = 33 - 3 \times 3 + 33 - 1 = 63 - 10

。第二項：

38 - 288 = 38 - 272

，找兩數和為

38

、積為

72

，是

36

與

2

，所以等於

36 - 2 = 6 - 2

。第三項：

(63 - 11)^{2} = ∣6 3 - 11∣

，而

63 = 108 < 121 = 11

，所以等於

11 - 63

。相加：

k = (63 - 10) + (6 - 2) + (11 - 63) = 7 - 2 \approx 5.586

。整數部分

a = 5

，小數部分

b = k - 5 = 2 - 2

。

\frac{2}{b} = \frac{2}{2 - 2} = \frac{2 ( 2 + 2 )}{4 - 2} = 2 + 2

，所以

a + \frac{2}{b} = 7 + 2

。

A^{2} = ∣ A ∣

，要先比較

63

和

11

的大小才能去掉絕對值。

第 13 題

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣

是數線上

x

到

- 2

與到

3

的距離和；

- 2

與

3

相距

5

，所以距離和等於

5

的

x

就是兩點之間的所有點：

- 2 \leq x \leq 3

。這個範圍的中點是

\frac{1}{2}

、半徑是

\frac{5}{2}

，可寫成

x - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}

。另一方面

∣ a x + 3∣ \leq b

（

a \neq = 0

，

b > 0

）可改寫成

x + \frac{3}{a} \leq \frac{b}{∣ a ∣}

。比較得

- \frac{3}{a} = \frac{1}{2}

，

a = - 6

；

\frac{b}{6} = \frac{5}{2}

，

b = 15

。所以

a + b = 9

。

驗算：

∣ - 6 x + 3∣ \leq 15

即

- 15 \leq - 6 x + 3 \leq 15

，得

- 2 \leq x \leq 3

。

第 14 題分界點是

x = - 5

和

x = 3

，分三段。

x \geq 3

：

(x + 5) - 2 (x - 3) = 11 - x \geq 4

，得

x \leq 7

，這段的解是

3 \leq x \leq 7

。

- 5 \leq x < 3

：

(x + 5) - 2 (3 - x) = 3 x - 1 \geq 4

，得

x \geq \frac{5}{3}

，這段的解是

\frac{5}{3} \leq x < 3

。

x < - 5

：

- (x + 5) - 2 (3 - x) = x - 11 \geq 4

，得

x \geq 15

，和

x < - 5

矛盾，沒有解。合起來是

\frac{5}{3} \leq x \leq 7

，即

[\frac{5}{3}, 7]

。

06混合題 1～3（第 15～17 題）：牛頓冷卻定律

第 15 題答案 (C)。令

r = 1 0^{- k}

，則

1 0^{- k t} = r^{t}

，

f (t) = 26 + (θ_{1} - 26) r^{t}

。代入兩個條件：

f (1) = - 7.6

得

(θ_{1} - 26) r = - 33.6

；

f (3) = 7.1

得

(θ_{1} - 26) r^{3} = - 18.9

。兩式相除：

r^{2} = \frac{18.9}{33.6} = \frac{9}{16}

，

r > 0

，所以

r = \frac{3}{4} = 0.75

。

把

1 0^{- k}

整個當成一個未知數，兩式相除就能消掉

θ_{1} - 26

。

第 16 題由

(θ_{1} - 26) \times 0.75 = - 33.6

，得

θ_{1} - 26 = - 44.8

，所以

θ_{1} = - 18.8

（度）。

第 17 題由前兩題，

f (t) = 26 - 44.8 \times (0.75)^{t}

。要求

f (n) \geq 15

，即

44.8 \times (0.75)^{n} \leq 11

，

(0.75)^{n} \leq \frac{11}{44.8} \approx 0.2455

。

0.75 < 1

，

(0.75)^{n}

隨

n

變大而變小，逐一計算：

(0.75)^{4} \approx 0.3164 > 0.2455

，

(0.75)^{5} \approx 0.2373 < 0.2455

。也就是

f (4) = 26 - 44.8 \times (0.75)^{4} = 11.825 < 15

，

f (5) = 26 - 44.8 \times (0.75)^{5} = 15.36875 > 15

。所以至少要

5

小時，

n = 5

。

也可以兩邊取常用對數：

n lo g 0.75 \leq lo g \frac{11}{44.8}

，因為

lo g 0.75 < 0

，同除後不等號要反向，得

n \geq 4.88 \dots

，取

n = 5

。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

北一女中 111 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 111 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題的距離比要想到點在線段內與線段外兩種位置、第 6 題要先把循環小數化成分數再用半圓上的直角、第 10 題田溝交叉處不能重複算而且要用算幾不等式，以及第 13 題要把兩點距離和等於定值的解寫成一個絕對值不等式再比較。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 111 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

北一女中 111 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1、2：絕對值不等式與大數的估計

02多選 1、2（第 3、4 題）：有理數的判斷、數線上的距離比

03填充 1～4（第 5～8 題）：比較係數、循環小數、對稱式與指數

04填充 5～7（第 9～11 題）：位數、算幾不等式與地震能量

05填充 8～10（第 12～14 題）：根式化簡與絕對值

06混合題 1～3（第 15～17 題）：牛頓冷卻定律

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北一女中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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