段考詳解範圍：空間概念、空間向量（坐標、內積、正射影）、外積與三階行列式、平面方程式（卷面範圍 B4 U1～U5）

復興實中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

選擇題 5 題（每題 5 分，共 25 分；第 1、2 題單選，第 3～5 題多選，多選題錯 1 個選項得 3 分、錯 2 個選項得 1 分）、填充題 10 題共 12 格（依答對格數給分，最高 68 分；卷面標題印「共 14 題」）、混合題 3 小題（共 7 分；AB 組寫第 2、3 小題，CD 組寫第 1、2 小題）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、選擇題：每題 5 分，多選題錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分。（每題題號後標「單」為單選、「多」為多選）

（單）如圖，四角錐

P - A B C D

中，

\overline{P D} ⊥

底面

A B C D

，底面

A B C D

為矩形，則

B P

在

A D

上的正射影為

(A) $D A$
(B) $B C$
(C) $B D$
(D) $P D$
(E) $A P$

載入中...

（單）空間中，已知點

P

是四邊形

A B C D

所在平面外一點，且

P

到這四邊形

A B C D

各邊的距離相等，那麼這個四邊形一定是

(A) 圓內接四邊形
(B) 矩形
(C) 圓外切四邊形
(D) 平行四邊形
(E) 正方形

（多）如圖，在四面體

D - A B C

中，

E

，

F

分別為

\overline{B C}

，

\overline{A E}

的中點，

G

為

△ A C D

的重心，則

F G =

(A) $- \frac{1}{3} A B + \frac{1}{3} A D$
(B) $- \frac{1}{3} A B + \frac{1}{12} A C + \frac{1}{4} A D$
(C) $\frac{1}{4} A B - \frac{1}{12} A C + \frac{1}{3} A D$
(D) $- \frac{1}{4} A B + \frac{1}{12} A C + \frac{1}{3} A D$
(E) $\frac{1}{3} A B + \frac{1}{12} A C - \frac{1}{4} A D$

載入中...

（多）設

E_{1}

、

E_{2}

是兩相異平面，

L

，

M

是兩相異直線，且

E_{1} \cap E_{2}

為

L

，則下列哪些敘述是正確的？

(A) 若 $L ∥ M$ ，則 $M ∥ E_{1}$ 或 $M ∥ E_{2}$
(B) 若 $M ⊥ L$ ，則 $M ⊥ E_{1}$ ， $M ⊥ E_{2}$
(C) 若 $M ∥ E_{1}$ 且 $M ∥ E_{2}$ ，則 $L ∥ M$
(D) 通過 $M$ 的平面最多可和 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 將空間分成 $7$ 個區域
(E) 若 $M$ 皆不平行於 $E_{1}$ 與 $E_{2}$ ，則 $L$ ， $M$ 互為歪斜

（多）空間中四面體

P - A B C

，如圖，

\overline{P C} ⊥

平面

A B C

，

△ A B C

中，

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，

\overline{A B} = 8

，

∠ B A C = 6 0^{\circ}

，

\overline{P C} = 4

，

\overline{P M} ⊥ \overline{A B}

於

M

，連

\overline{C M}

，則

(A) 四面體體積 $\frac{64}{3}$
(B) 圖中的直角三角形共有 $7$ 個
(C) $P$ 到 $\overline{A B}$ 的最短距離為 $27$
(D) 若 $Q$ 為 $\overline{A B}$ 上動點，則 $tan ∠ P QC$ 的最小值為 $\frac{2}{3}$
(E) 小螞蟻由 $A$ 沿著四面體表面爬行經線段 $\overline{P C}$ 再到 $B$ 的最短距離大於 $10$

載入中...

二、填充題：共 14 題，配分如下表（卷面原文；實際為第 1～10 題共 12 格）。填充答對格數配分：1 格 8 分、2 格 16 分、3 格 24 分、4 格 30 分、5 格 36 分、6 格 42 分、7 格 48 分、8 格 52 分、9 格 58 分、10 格 62 分、11 格 66 分、12 格 68 分。（卷面填充第 1～10 題，本頁編為第 6～15 題）

如圖，空間中平行六面體

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中，以

A

為端點的三條稜長度皆是

1

，這三條稜兩兩各夾

6 0^{\circ}

，求

A C_{1} =

____。

載入中...

空間中，已知四面體

P - A B C

的體積為

10

，若

P A^{'} = 2 P A - P B

，

P B^{'} = 2 P B - 3 P C

，

P C^{'} = P A + P B + P C

，則四面體

P - A^{'} B^{'} C^{'}

的體積為 ____。

空間一平面

E : 2 x + y + z = 3

與

x y

平面的銳夾角平分面方程式為 ____。

空間中，

P (x, y, z)

為平面

E : 2 x - 3 y - 6 z = 2

上一點，若

(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 1)^{2}

的最小值為

M

，且此時的

P

點的

x

坐標為

a

，則序組

(M, a) =

____。

已知空間中三個向量分別為

x = (a, 4, 1)

，

y = (- 1, 2 a - 3, 3)

，

z = (1, - 3, a)

，如果向量

x

和向量

y

在向量

z

上的正射影相同，則

a =

____。

小悟與小空玩填數字遊戲，現有一個三階行列式

132 2 a b 321

，遊戲規則是小悟與小空輪流擲一骰子，並將點數依序填入

a

、

b

中，試問此行列式值大於

0

的機率是多少？ ____

設空間中三點

A (0, 1, 2)

，

B (- 1, 0, 3)

，

C (1, 2, 3)

，則 (1)

△ A B C

面積為 ____。 (2)

△ A B C

的外心坐標為 ____。

已知實數

k

滿足

1327 1 k k^{3} 1464 = 0

，則

k =

____。

四面體

A - B C D

中，平面

A B D ⊥

平面

A C D

，若

\overline{A C} = \overline{C D} = \overline{A D} = \overline{A B} = 1

，且

∠ B A D = 3 0^{\circ}

，則點

D

到平面

A B C

的距離為 ____。

如圖，在四面體

P - A B C

中，

\overline{A B} = \overline{B C} = 22

，

\overline{P A} = \overline{P B} = \overline{P C} = \overline{A C} = 4

，

O

為

\overline{A C}

的中點，

M

在

\overline{B C}

上，則 (1)

△ B O P

面積為 ____。 (2) 若

△ A M P

所在平面與

△ A C P

所在平面的夾角之一為

3 0^{\circ}

，則

\frac{B M}{C M} =

____。

載入中...

三、混合題：共 7 分。說明：AB 組寫第 2、3 題，CD 組寫第 1、2 題。（卷面混合題第 1～3 題，本頁編為第 16～18 題；第 1 題 3 分、第 2 題 4 分、第 3 題 3 分）

混合題（卷面第 1～3 題，本頁第 16～18 題）（第 16～18 題）　在攝影器材中，三腳架是用來穩固相機提升拍照品質的重要工具，可以利用腳架的伸縮以保持相機的水平視角。小澤有一台新相機與三角架（如圖一），將三腳架（不含相機）置於水平地面時（如圖二），三個腳架底

A

、

B

、

C

兩兩距離皆為

60

公分，且最高點

D

與

A

、

B

、

C

三點的距離皆為

120

公分。現將此三腳架置於一傾斜角為

θ

，

cos θ = \frac{5}{6}

的斜坡上（如圖三），使

A

、

B

兩點位於斜面與地面之交直線上，此時若將

\overline{C D}

縮短為

\overline{C^{'} D}

（如圖三），可保持三腳架的高度不變（即

D

點與水平地面的高度不變），以維持相機視角仍為水平。試回答下列各問題。（圖一為相機與三腳架的插圖，本頁從略。）

1. 圖二中，四面體

D - A B C

的體積為 ____

cm^{3}

。（3 分）

載入中...

2. 圖二中，平面

A B C

與平面

A B D

的兩面角之餘弦值為 ____。（4 分）

3. 試求圖三中，

\overline{C C^{'}} =

____ 公分。（3 分）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(A)(C)

第 5 題(C)(E)

第 6 題

6

第 7 題

130

第 8 題

2 x + y + 3 z = 3

第 9 題

(2, \frac{25}{7})

第 10 題

4

第 11 題

\frac{25}{36}

第 12 題(1)

2

　(2)

(0, 1, \frac{7}{2})

第 13 題

3

、

4

或

- 7

第 14 題

\frac{39}{13}

第 15 題(1)

23

　(2)

\frac{1}{2}

第 16 題

1800011

第 17 題

\frac{5}{15}

第 18 題

30

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇題（第 1～3 題）：正射影、平面外一點到各邊等距、向量的線性組合

第 1 題答案 (B)。把

B P

沿著稜拆開：

B P = B A + A D + D P

。底面是矩形，

B A ⊥ A D

；

\overline{P D} ⊥

底面，所以

D P ⊥ A D

。與

A D

垂直的向量在

A D

上的正射影是零向量，所以

B P

的正射影就是

A D

本身。矩形中

A D = B C

，選 (B)。

用公式檢查：

B P \cdot A D = A D^{2}

，正射影

= \frac{B P \cdot A D}{A D ^{2}} A D = A D

。(A) 的

D A

方向相反。

第 2 題答案 (C)。設

P

在四邊形所在平面上的垂足為

H

，

\overline{P H} = h

。對任一邊，作

\overline{H K}

垂直該邊於

K

，由三垂線定理

\overline{P K}

也垂直該邊，所以

P

到該邊的距離是

\overline{P K} = h^{2} + \overline{H K}^{2}

。

P

到四邊的距離都相等，

h

又相同，因此

H

到四邊的距離都相等，以

H

為圓心可以畫出一個與四邊都相切的圓，四邊形有內切圓，是圓外切四邊形。

反過來，只要四邊形有內切圓，在圓心正上方取

P

就符合條件；例如菱形或鳶形都可以，它們不一定是矩形、正方形或圓內接四邊形，鳶形也不是平行四邊形，所以其他選項都不是「一定」。

第 3 題答案 (D)。以

A

為起點：

F G = A G - A F

。

G

是

△ A C D

的重心，

A G = \frac{1}{3} (A C + A D)

。

E

是

\overline{B C}

中點，

A E = \frac{1}{2} (A B + A C)

；

F

是

\overline{A E}

中點，

A F = \frac{1}{2} A E = \frac{1}{4} A B + \frac{1}{4} A C

。相減：

F G = - \frac{1}{4} A B + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) A C + \frac{1}{3} A D = - \frac{1}{4} A B + \frac{1}{12} A C + \frac{1}{3} A D

。

A B

、

A C

、

A D

不共平面，用它們表示一個向量的方法只有一種，所以雖然卷面標為多選，符合的選項只有 (D)。

02選擇題（第 4、5 題）：線面關係的判斷、三垂線定理

第 4 題答案 (A)(C)。(A) 對：

M ∥ L

且

M

與

L

相異。若

M

不在

E_{1}

上，

M

與

E_{1}

內的直線

L

平行，所以

M ∥ E_{1}

；若

M

在

E_{1}

上，

M

就不可能也在

E_{2}

上（兩平面的公共點都在

L

上），於是

M ∥ E_{2}

。兩種情形至少有一個成立。(B) 錯：在

E_{1}

上取一條與

L

垂直的直線當

M

，它在

E_{1}

上，不會垂直

E_{1}

。(C) 對：

M

與兩平面都平行，

M

的方向同時垂直兩平面的法向量，而同時垂直兩個法向量的方向就是交線

L

的方向；

M

又不在兩平面上，與

L

沒有交點，所以

L ∥ M

。(D) 錯：三個平面最多把空間分成

8

個區域（像三個坐標平面那樣交於一點）。只要

M

不平行

L

，就能取一個通過

M

、又不與

L

平行的平面，它和

E_{1}

、

E_{2}

交於一點，把空間分成

8

個區域，超過

7

。(E) 錯：

M

可以通過

L

上一點、又不在兩平面上，這時

M

與兩平面都相交（都不平行），但

M

與

L

相交，不是歪斜。

(D) 補充：只有在

M ∥ L

的情形，通過

M

的平面都與

L

平行（或包含與

L

平行的方向），三個平面沒有共同交點，最多才是

7

個區域。題目沒有這個條件，所以敘述不成立。

第 5 題答案 (C)(E)。直角

△ A B C

中

\overline{A C} = 8 cos 6 0^{\circ} = 4

，

\overline{B C} = 8 sin 6 0^{\circ} = 43

。(A) 錯：體積

= \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times 4 \times 43) \times 4 = \frac{32 3}{3} = \frac{32}{3}

。(C) 對：

\overline{P C} ⊥

平面

A B C

且

\overline{P M} ⊥ \overline{A B}

，由三垂線定理

\overline{C M} ⊥ \overline{A B}

，

\overline{C M} = \frac{4 \times 4 3}{8} = 23

；

\overline{P M} = 4^{2} + (23)^{2} = 27

，就是

P

到

\overline{A B}

的最短距離。(B) 錯：直角在

C

的有

△ P C A

、

△ P C B

、

△ P C M

、

△ A C B

；直角在

M

的有

△ P M A

、

△ P M B

、

△ C M A

、

△ C M B

，共

8

個（

△ P A B

三邊為

42

、

8

、

8

，不是直角三角形）。(D) 錯：

\overline{P C} ⊥ \overline{C Q}

，

tan ∠ P QC = \frac{P C}{C Q} = \frac{4}{C Q}

，

\overline{C Q}

越長值越小；

Q

在

\overline{A B}

上時

\overline{C Q}

最長是

\overline{C B} = 43

，最小值是

\frac{4}{4 3} = \frac{1}{3}

。(E) 對：把面

P C A

與面

P C B

沿

\overline{P C}

攤平，因為

∠ P C A = ∠ P C B = 9 0^{\circ}

，攤平後

A

、

C

、

B

成一直線，最短路徑長

\overline{A C} + \overline{C B} = 4 + 43 \approx 10.93 > 10

。

(D) 的

\frac{2}{3}

是

Q

在

M

（

\overline{C Q}

最短）時的值，那是最大值。(E) 也可以直接算：經過

\overline{P C}

上離

C

距離

s

的點，路徑長

16 + s^{2} + 48 + s^{2}

，

s = 0

時最小。

03填充題（第 6～10 題，卷面填充第 1～5 題）：對角線長、體積倍率、角平分面、點到平面、正射影

第 6 題設以

A

為端點的三條稜為

a = A B

、

b = A D

、

c = A A_{1}

，則

A C_{1} = a + b + c

。三個向量長度都是

1

，兩兩內積

= 1 \times 1 \times cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。

A C_{1}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 3 + 2 \times \frac{3}{2} = 6

，所以

A C_{1} = 6

。

展開平方時交叉項有三組，每組都要乘

2

。

第 7 題四面體

P - A B C

的體積是

P A

、

P B

、

P C

所張平行六面體體積的

\frac{1}{6}

。新的三個向量用原來三個向量表示，係數排成行列式：

201 - 1 21 0 - 3 1 = 2 (2 + 3) - (- 1) (0 + 3) + 0 = 13

。所張平行六面體的體積變成原來的

∣13∣ = 13

倍，四面體體積也是

13

倍：

10 \times 13 = 130

。

把

P A

、

P B

、

P C

寫成坐標後，新的三階行列式等於「係數行列式」乘「原行列式」，所以體積的倍率就是係數行列式的絕對值。

第 8 題

x y

平面是

z = 0

。角平分面上的點到兩平面等距：

\frac{2 x + y + z - 3}{2 + 1 + 1} = ∣ z ∣

，即

2 x + y + z - 3 = \pm 2 z

，得兩個平分面

2 x + y - z = 3

與

2 x + y + 3 z = 3

。再判斷哪一個平分銳夾角：

E

的法向量

(2, 1, 1)

與

z = 0

的法向量

(0, 0, 1)

夾角的餘弦是

\frac{1}{2}

，兩平面的銳夾角是

6 0^{\circ}

，平分它的平面要和

z = 0

夾

3 0^{\circ}

。

2 x + y + 3 z = 3

的法向量

(2, 1, 3)

與

(0, 0, 1)

：

cos = \frac{3}{12} = \frac{3}{2}

，夾角

3 0^{\circ}

，就是所求。

另一個平面

2 x + y - z = 3

與

z = 0

的夾角是

6 0^{\circ}

，它平分的是

12 0^{\circ}

的那一側。

第 9 題

(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 1)^{2}

是

P

到點

Q (3, 4, 1)

的距離，最小值是

Q

到平面

E

的距離：

M = \frac{∣2 \times 3 - 3 \times 4 - 6 \times 1 - 2∣}{4 + 9 + 36} = \frac{14}{7} = 2

。此時

P

是

Q

在

E

上的垂足：設

P = (3 + 2 t, 4 - 3 t, 1 - 6 t)

代入

E

，

2 (3 + 2 t) - 3 (4 - 3 t) - 6 (1 - 6 t) = 2

，

49 t - 12 = 2

，

t = \frac{2}{7}

。

a = 3 + \frac{4}{7} = \frac{25}{7}

，所以

(M, a) = (2, \frac{25}{7})

。

垂足是沿法向量

(2, - 3, - 6)

的方向走到平面上；此時

P = (\frac{25}{7}, \frac{22}{7}, - \frac{5}{7})

。

第 10 題

x

在

z

上的正射影是

\frac{x \cdot z}{z ^{2}} z

，

y

的也是同樣的形式，兩者相同的條件是

x \cdot z = y \cdot z

。

x \cdot z = a - 12 + a = 2 a - 12

；

y \cdot z = - 1 - 3 (2 a - 3) + 3 a = - 3 a + 8

。

2 a - 12 = - 3 a + 8

，

a = 4

。

檢查：

a = 4

時兩個內積都是

- 4

，

z = (1, - 3, 4)

不是零向量。

04填充題（第 11～15 題，卷面填充第 6～10 題）：行列式與機率、面積與外心、行列式方程式、點到平面、兩面角

第 11 題沿第一列展開：

1 \times (a - 2 b) - 2 \times (3 - 4) + 3 \times (3 b - 2 a) = - 5 a + 7 b + 2

。行列式值大於

0

即

7 b > 5 a - 2

。

a = 1

：

7 b > 3

，

b = 1 \sim 6

，

6

種；

a = 2

：

7 b > 8

，

b = 2 \sim 6

，

5

種；

a = 3

：

7 b > 13

，

b = 2 \sim 6

，

5

種；

a = 4

：

7 b > 18

，

b = 3 \sim 6

，

4

種；

a = 5

：

7 b > 23

，

b = 4 \sim 6

，

3

種；

a = 6

：

7 b > 28

，

b = 5, 6

，

2

種。共

25

種，機率

\frac{25}{36}

。

a = 6

、

b = 4

時行列式值剛好是

0

，不算大於

0

。

第 12 題(1)

A B = (- 1, - 1, 1)

，

A C = (1, 1, 1)

，

A B \times A C = (- 2, 2, 0)

，面積

= \frac{1}{2} 4 + 4 = 2

。(2)

\overline{A B} = \overline{A C} = 3

，是等腰三角形，外心在

A

與

\overline{B C}

中點

N (0, 1, 3)

的連線上。設外心

O (0, 1, 2 + t)

，由

\overline{O A} = \overline{O B}

：

t^{2} = 1 + 1 + (t - 1)^{2}

，

t = \frac{3}{2}

，外心為

(0, 1, \frac{7}{2})

。

檢查：外心到

A

、

B

、

C

的距離都是

\frac{3}{2}

；外心在

N

的外側（

\overline{A N} = 1

），因為

A B \cdot A C = - 1 < 0

，

∠ A

是鈍角。

第 13 題第二行減第一行、第三行減第一行後沿第一列展開：

k - 3 k^{3} - 27 137 = 37 (k - 3) - (k^{3} - 27) = (k - 3) (37 - k^{2} - 3 k - 9) = - (k - 3) (k^{2} + 3 k - 28) = - (k - 3) (k - 4) (k + 7)

。令其為

0

，

k = 3

、

4

或

- 7

。

k = 3

時前兩行相同、

k = 4

時後兩行相同，行列式為

0

，這兩個根可以先看出來；第三個根

- 7

要展開才得到。

第 14 題兩平面的交線是

\overline{A D}

。取

A

為原點、

D (1, 0, 0)

，平面

A C D

為

x y

平面，則與它垂直且通過

x

軸的平面

A B D

是

x z

平面。正三角形

A C D

：

C (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0)

；

\overline{A B} = 1

、

∠ B A D = 3 0^{\circ}

：

B (\frac{3}{2}, 0, \frac{1}{2})

。

A B \times A C = (- \frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4})

，取法向量

(- 3, 1, 3)

，平面

A B C

：

- 3 x + y + 3 z = 0

。

D (1, 0, 0)

到它的距離

= \frac{3}{3 + 1 + 9} = \frac{3}{13} = \frac{39}{13}

。

也可以用體積：

B

到平面

A C D

的距離是

\frac{1}{2}

，四面體體積

= \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{24}

；

△ A B C

的面積是

\frac{13}{8}

，距離

= \frac{3 \times \frac{3}{24}}{\frac{13}{8}} = \frac{39}{13}

。

第 15 題

\overline{A B}^{2} + \overline{B C}^{2} = 8 + 8 = 16 = \overline{A C}^{2}

，所以

∠ A B C = 9 0^{\circ}

，

\overline{O B} = \frac{1}{2} \overline{A C} = 2

且

\overline{O B} ⊥ \overline{A C}

。

\overline{P A} = \overline{P C}

，所以

\overline{P O} ⊥ \overline{A C}

，

\overline{P O} = 16 - 4 = 23

；又

\overline{P O}^{2} + \overline{O B}^{2} = 12 + 4 = 16 = \overline{P B}^{2}

，

\overline{P O} ⊥ \overline{O B}

。(1)

△ B O P

面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times 23 = 23

。(2) 取

O

為原點，

A (- 2, 0, 0)

、

C (2, 0, 0)

、

B (0, 2, 0)

、

P (0, 0, 23)

。設

M = B + t B C = (2 t, 2 - 2 t, 0)

，

0 \leq t \leq 1

。平面

A C P

是

y = 0

，法向量

(0, 1, 0)

。

A P = (2, 0, 23)

、

A M = (2 t + 2, 2 - 2 t, 0)

，外積與

(- 3 (1 - t), 3 (1 + t), 1 - t)

平行。夾角

3 0^{\circ}

：

\frac{3 ( 1 + t ) ^{2}}{4 ( 1 - t ) ^{2} + 3 ( 1 + t ) ^{2}} = cos^{2} 3 0^{\circ} = \frac{3}{4}

，化簡得

4 (1 - t)^{2} = (1 + t)^{2}

，

2 (1 - t) = 1 + t

，

t = \frac{1}{3}

。

\overline{B M} : \overline{C M} = \frac{1}{3} : \frac{2}{3}

，比值為

\frac{1}{2}

。

兩平面的夾角有互補的兩個，題目說「夾角之一為

3 0^{\circ}

」，所以用餘弦的平方列式，不必管法向量的方向。

05混合題（第 16～18 題，卷面混合題第 1～3 題）：三腳架

第 16 題底面

△ A B C

是邊長

60

的正三角形，面積

= \frac{3}{4} \times 6 0^{2} = 9003

。

D

到三個頂點等距，垂足

H

是

△ A B C

的外心（也是重心），

\overline{A H} = \frac{60}{3} = 203

。高

\overline{D H} = 12 0^{2} - (203)^{2} = 13200 = 2033

。體積

= \frac{1}{3} \times 9003 \times 2033 = 600099 = 1800011

（立方公分）。

3 \times 33 = 99 = 311

。

第 17 題取

\overline{A B}

中點

N

。

\overline{C N} ⊥ \overline{A B}

、

\overline{D N} ⊥ \overline{A B}

（兩個都是等腰三角形底邊上的中線），所以兩面角就是

∠ D N C

。垂足

H

在

\overline{C N}

上，

\overline{H N} = \frac{1}{3} \overline{C N} = \frac{1}{3} \times 303 = 103

；

\overline{D N} = 12 0^{2} - 3 0^{2} = 13500 = 3015

。直角

△ D H N

中

cos ∠ D N C = \frac{H N}{D N} = \frac{10 3}{30 15} = \frac{1}{3 5} = \frac{5}{15}

。

H

是重心，把中線

\overline{C N}

分成

2 : 1

，靠近邊的那一段是

\frac{1}{3}

。

第 18 題

A

、

B

仍在地面上，

\overline{D A}

、

\overline{D B}

長度不變，

D

的高度也不變，所以

D

的位置和圖二相同；

\overline{D C}

這隻腳方向不變，只是縮短到碰到斜面的點

C^{'}

，

C^{'}

在

\overline{C D}

上。看通過

N

、

C

、

D

的鉛直截面（與

\overline{A B}

垂直）：以

N

為原點、

N C

為橫軸、鉛直向上為縱軸，

C (303, 0)

、

D (103, 2033)

。

cos θ = \frac{5}{6}

，

sin θ = \frac{11}{6}

，

tan θ = \frac{11}{5}

，斜面在截面上是通過原點的直線

y = \frac{11}{5} x

。設

C^{'} = C + s C D = (303 - 203 s, 2033 s)

，代入：

2033 s = \frac{11}{5} (303 - 203 s) = 633 - 433 s

，

24 s = 6

，

s = \frac{1}{4}

。

\overline{C C^{'}} = \frac{1}{4} \times 120 = 30

（公分）。

C^{'}

的高度是

2033 \times \frac{1}{4} = 533

，橫坐標

253

，比值

\frac{5 33}{25 3} = \frac{11}{5}

，確實在斜面上。

立體題先找一個與交線垂直的截面，把兩面角、斜面都變成平面上的角與直線再算。

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復興實中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選擇第 4 題要逐一想反例，尤其是三個平面最多能把空間分成 8 塊；選擇第 5 題的最小值與最大值容易顛倒，直角三角形要連 M 一起數；填充第 3 題（本頁第 8 題）兩個平分面要再用夾角挑出平分銳角的那一個；填充第 10 題（本頁第 15 題）第 2 格要先確認 PO 垂直底面再設坐標；混合題第 3 小題要在與 AB 垂直的截面上找腳與斜面的交點。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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復興實中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01選擇題（第 1～3 題）：正射影、平面外一點到各邊等距、向量的線性組合

02選擇題（第 4、5 題）：線面關係的判斷、三垂線定理

03填充題（第 6～10 題，卷面填充第 1～5 題）：對角線長、體積倍率、角平分面、點到平面、正射影

04填充題（第 11～15 題，卷面填充第 6～10 題）：行列式與機率、面積與外心、行列式方程式、點到平面、兩面角

05混合題（第 16～18 題，卷面混合題第 1～3 題）：三腳架

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高二第一次段考
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