段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

蘭陽女中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 8 題（每題 5 分，共 40 分）、多選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、選填題 7 題（每格 5 分，共 35 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題全部一致。

一、單選題：每題 5 分，共 40 分。

- 12 0^{\circ}

為多少弳？

(1) $- \frac{π}{3}$
(2) $- \frac{2 π}{3}$
(3) $- π$
(4) $- \frac{4 π}{3}$
(5) $- \frac{5 π}{3}$

\frac{7 π}{4}

弳為多少度？

(1) $1.7 5^{\circ}$
(2) $4 5^{\circ}$
(3) $157. 5^{\circ}$
(4) $31 5^{\circ}$
(5) $63 0^{\circ}$

扇形的半徑為

10

，圓心角為

\frac{π}{5}

，求此扇形的面積為

(1) $π$
(2) $2 π$
(3) $10 π$
(4) $20 π$
(5) $40 π$

如圖最有可能是下列哪一個函數的圖形？

(1) $y = \frac{1}{2} sin 2 x$
(2) $y = \frac{1}{2} sin \frac{x}{2}$
(3) $y = sin \frac{x}{2}$
(4) $y = \frac{1}{2} sin x$
(5) $y = 2 sin \frac{x}{2}$

載入中...

下列何者的圖形可由

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{π}{4}

單位，再向上平移

3

單位後得到？

(1) $y = sin (x + \frac{π}{4}) + 3$
(2) $y = sin (x - \frac{π}{4}) + 3$
(3) $y = sin (x + \frac{π}{4}) - 3$
(4) $y = sin (x - \frac{π}{4}) - 3$
(5) $y = 3 sin (x - \frac{π}{4})$

試比較

sin 4

、

sin 5

、

sin 6

的大小關係。

(1) $sin 6 > sin 5 > sin 4$
(2) $sin 4 > sin 5 > sin 6$
(3) $sin 5 > sin 4 > sin 6$
(4) $sin 5 > sin 6 > sin 4$
(5) $sin 6 > sin 4 > sin 5$

求方程式

sin x = \frac{x}{10 π}

的實根個數為

(1) $18$
(2) $19$
(3) $20$
(4) $21$
(5) $22$

設

θ

與

60

弳為同界角，且

0 < θ < 2 π

，求

θ

的值為下列何者？

(1) $0.34$ 弳
(2) $3.48$ 弳
(3) $60 - 17 π$ 弳
(4) $60 - 18 π$ 弳
(5) $60 - 19 π$ 弳

二、多選題：每題 5 分，共 25 分。錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 2 分，其餘得 0 分。

下列哪些是

\frac{5 π}{6}

弳的同界角？

(1) $\frac{π}{6}$
(2) $\frac{7 π}{6}$
(3) $- \frac{7 π}{6}$
(4) $\frac{17 π}{6}$
(5) $- \frac{19 π}{6}$

下列哪些函數與

y = sin 2 x

有相同週期？

(1) $y = 2 sin x$
(2) $y = sin 2 x - 1$
(3) $y = sin (2 x + 3)$
(4) $y = - 2 sin x - 5$
(5) $y = sin (- 2 x)$

試問

y = sin (x + \frac{2 π}{5})

的圖形可由

y = sin x

的圖形如何平移得到？

(1) 往左平移 $\frac{2 π}{5}$ 單位
(2) 往右平移 $\frac{2 π}{5}$ 單位
(3) 往左平移 $\frac{8 π}{5}$ 單位
(4) 往右平移 $\frac{8 π}{5}$ 單位
(5) 往左平移 $\frac{12 π}{5}$ 單位

關於函數

y = 3 sin (2 x - \frac{π}{4}) - 1

的敘述，下列選項哪些正確？

(1) 週期為 $π$
(2) 振幅為 $6$
(3) 值域為 $[- 1, 2]$
(4) $y = f (x)$ 的圖形對稱於 $x - \frac{7 π}{8} = 0$
(5) $y = 3 sin (2 x - \frac{π}{4}) - 1$ 的圖形可由 $y = 3 sin 2 x - 1$ 的圖形向右平移 $\frac{π}{4}$ 而得

遊樂區中有一圓形的摩天輪，中心高

22

公尺，直徑

40

公尺，逆時針方向運轉一圈，需時

15

分鐘。當摩天輪開始運轉時，甲車廂恰在離地最近的位置上，

x

分鐘後，甲車廂離地面高度為

y = a sin (b x + c) + d

（單位：公尺），

a > 0

，

b > 0

，

0 < c < 2 π

，下列選項哪些正確？

(1) $a + d = 40$
(2) $a = 20$
(3) $b = \frac{2 π}{15}$
(4) $c = \frac{3 π}{2}$
(5) $d = 20$

三、選填題：每格 5 分，共 35 分。※答案請化成最簡分數※（原卷題號 A～G，本頁編為第 14～20 題）

求

tan \frac{3 π}{4} + cos \frac{23 π}{2} + sin \frac{5 π}{3} cos (- \frac{5 π}{6}) =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯}

）

函數

y = sin x

的圖形在

0 \leq x \leq 100

的範圍內與

x

軸共有 ____ 個交點。

如圖，兩個同心圓的半徑分別是

3

和

7

，且

A B

的長度為

7

，求鋪色區域的周長為 ____。（卷面原文如此，

A B

上沒有弧的記號；依答案格與學校答案，指的是大圓上弧

A B ⌢

的長度）

載入中...

下圖是函數

y = a sin b x

的部分圖形，其中

a > 0

、

b > 0

，求序對

(a, b) =

____。

載入中...

在

0 \leq x \leq 4 π

範圍內，方程式

sin x = - \frac{1}{4}

所有解的總和為 ____

π

。

如圖，

\overline{A B} = 4

，以

\overline{A B}

為直徑畫一半圓，已知

\overline{C D}

為該半圓的一弦，且

\overline{C D} ∥ \overline{A B}

。

\overline{C D} = 23

，若鋪色區域的面積為

aπ + b

，求

ab =

____。

載入中...

如圖，半徑皆為

6

的兩圓其內部部分重疊，已知鋪色區域之周長為

22 π

，若鋪色區域的面積為

aπ + b

，求

a + b =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(1)

第 5 題(2)

第 6 題(5)

第 7 題(2)

第 8 題(4)

第 9 題(3)(4)(5)

第 10 題(2)(3)(5)

第 11 題(1)(4)(5)

第 12 題(1)(4)

第 13 題(2)(3)(4)

第 14 題

- \frac{1}{4}

第 15 題

32

第 16 題

18

第 17 題

(3, 6)

第 18 題

10

第 19 題

2

第 20 題

84

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：度與弧度互換、扇形面積

第 1 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

- 12 0^{\circ} = - 120 \times \frac{π}{180} = - \frac{2 π}{3}

弳，選 (2)。

第 2 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{7 π}{4}

弳

= \frac{7}{4} \times 18 0^{\circ} = 31 5^{\circ}

，選 (4)。

第 3 題扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 1 0^{2} \times \frac{π}{5} = 10 π

，選 (3)。

公式裡的圓心角要用弧度。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳。

02單選第 4、5 題：由圖形讀函數、圖形的平移

第 4 題圖形過原點後先上升，最高點的高度大約是

1

的一半，所以振幅是

\frac{1}{2}

。圖形與

x

軸的交點是

- π

、

- \frac{π}{2}

、

0

、

\frac{π}{2}

、

π

：從

0

出發，到

\frac{π}{2}

第一次回到

x

軸，到

π

才走完一個完整的波，所以週期是

π

。

y = \frac{1}{2} sin k x

的週期是

\frac{2 π}{k} = π

，得

k = 2

，即

y = \frac{1}{2} sin 2 x

，選 (1)。

選項 (2)、(3)、(5) 的週期是

4 π

，選項 (4) 的週期是

2 π

，在

x = \frac{π}{2}

都不會回到

x

軸。

第 5 題向右平移

\frac{π}{4}

：把

x

換成

x - \frac{π}{4}

，得

y = sin (x - \frac{π}{4})

。再向上平移

3

：整個函數值加

3

，得

y = sin (x - \frac{π}{4}) + 3

，選 (2)。

向右平移

h

是把

x

換成

x - h

；向上平移

k

是在式子後面加

k

。

03單選第 6～8 題：比大小、數實根、化成最小正同界角

第 6 題取近似值：

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

。

4

在

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角；

5

與

6

都在

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間，是第四象限角，所以三個正弦值都是負的。負的正弦值等於「負的參考角正弦值」，而銳角愈大正弦值愈大：

4

的參考角是

4 - π \approx 0.86

，

5

的參考角是

2 π - 5 \approx 1.28

，

6

的參考角是

2 π - 6 \approx 0.28

。參考角由大到小是

5

、

4

、

6

，所以

sin 5

最小、

sin 6

最大，即

sin 6 > sin 4 > sin 5

，選 (5)。

實際的值約為

sin 4 \approx - 0.76

、

sin 5 \approx - 0.96

、

sin 6 \approx - 0.28

。

第 7 題實根就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{10 π}

的交點。

sin x

的值在

- 1

與

1

之間，而直線在

x = 10 π

時高度為

1

、在

x = - 10 π

時高度為

- 1

，所以交點只會出現在

- 10 π \leq x \leq 10 π

。先看

x > 0

：直線在這裡是正的，交點只會落在正弦曲線在

x

軸上方的那幾段，即

(0, π)

、

(2 π, 3 π)

、

(4 π, 5 π)

、

(6 π, 7 π)

、

(8 π, 9 π)

共五段。後四段每一段的最高點高度是

1

，而直線在這些區間的高度都小於

1

，直線從下方穿進波峰再穿出，各有

2

個交點，共

8

個。第一段

(0, π)

：直線很平緩，在原點附近位於曲線下方，到

x = π

時直線高

\frac{1}{10}

而曲線回到

0

，而這一段曲線先升後降、開口朝下，直線則一直平緩地上升，畫圖可見兩者在

(0, π)

內只交一次，所以這一段只有

1

個交點（另一個是原點本身）。在

x = 10 π

處

sin 10 π = 0 \neq = 1

，不是交點。所以正根有

8 + 1 = 9

個。兩個圖形都對稱於原點，負根也有

9

個，再加上

x = 0

，共

9 + 9 + 1 = 19

個，選 (2)。

容易漏掉的是

x = 0

這個根，以及第一個波峰只多出一個正根。

第 8 題同界角相差

2 π

的整數倍，要從

60

減去若干個

2 π

，使結果落在

0

與

2 π

之間。

2 π \approx 6.283

，

60 \div 6.283 \approx 9.55

，所以減去

9

個

2 π

：

θ = 60 - 18 π \approx 60 - 56.55 = 3.45

，確實在

0

與

2 π \approx 6.28

之間，選 (4)。

選項 (2) 的

3.48

只是接近，不是確切的值；選項 (3)、(5) 減的是

π

的奇數倍，不是

2 π

的整數倍。

數實根時把方程式兩邊各畫成一個圖形，先用值域圈出交點可能出現的範圍，再一段一段數。

04多選第 9～11 題：同界角、週期、平移

第 9 題同界角與

\frac{5 π}{6}

的差必須是

2 π = \frac{12 π}{6}

的整數倍。(1)

\frac{5 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{4 π}{6}

，不是，錯。(2)

\frac{7 π}{6} - \frac{5 π}{6} = \frac{2 π}{6}

，不是，錯。(3)

\frac{5 π}{6} - (- \frac{7 π}{6}) = \frac{12 π}{6} = 2 π

，對。(4)

\frac{17 π}{6} - \frac{5 π}{6} = \frac{12 π}{6} = 2 π

，對。(5)

\frac{5 π}{6} - (- \frac{19 π}{6}) = \frac{24 π}{6} = 4 π

，對。答案 (3)(4)(5)。

第 10 題

y = sin 2 x

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

。

y = a sin (b x + c) + d

的週期只由

x

的係數決定，等於

\frac{2 π}{∣ b ∣}

。(1)

y = 2 sin x

：週期

2 π

，錯。(2)

y = sin 2 x - 1

：只是往下平移，週期

π

，對。(3)

y = sin (2 x + 3)

：只是左右平移，週期

π

，對。(4)

y = - 2 sin x - 5

：週期

2 π

，錯。(5)

y = sin (- 2 x)

：週期

\frac{2 π}{∣ - 2∣} = π

，對。答案 (2)(3)(5)。

振幅、上下平移、左右平移都不會改變週期。

第 11 題把

y = sin x

往左平移

h

單位得到

y = sin (x + h)

，往右平移

h

單位得到

y = sin (x - h)

。又因為正弦函數的週期是

2 π

，括號裡多加或少加

2 π

的整數倍，圖形都相同。(1) 往左

\frac{2 π}{5}

：得

sin (x + \frac{2 π}{5})

，對。(2) 往右

\frac{2 π}{5}

：得

sin (x - \frac{2 π}{5})

，與

\frac{2 π}{5}

相差

\frac{4 π}{5}

，不是

2 π

的整數倍，錯。(3) 往左

\frac{8 π}{5}

：

\frac{8 π}{5} - \frac{2 π}{5} = \frac{6 π}{5}

，不是

2 π

的整數倍，錯。(4) 往右

\frac{8 π}{5}

：得

sin (x - \frac{8 π}{5})

，而

- \frac{8 π}{5} + 2 π = \frac{2 π}{5}

，圖形相同，對。(5) 往左

\frac{12 π}{5}

：

\frac{12 π}{5} - 2 π = \frac{2 π}{5}

，圖形相同，對。答案 (1)(4)(5)。

週期函數的圖形往左移

h

，和往右移「週期減

h

」是同一個結果。

05多選第 12、13 題：正弦型函數的性質、摩天輪

第 12 題(1) 週期

= \frac{2 π}{2} = π

，對。(2) 振幅是

sin

前面係數的絕對值

3

，不是

6

（

6

是最高與最低的差），錯。(3)

sin

的值在

- 1

與

1

之間，所以

y

在

3 \times (- 1) - 1 = - 4

與

3 \times 1 - 1 = 2

之間，值域是

[- 4, 2]

，錯。(4) 正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。把

x = \frac{7 π}{8}

代入：

2 \times \frac{7 π}{8} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}

，

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，此處是最低點，所以圖形對稱於直線

x = \frac{7 π}{8}

，對。(5)

2 x - \frac{π}{4} = 2 (x - \frac{π}{8})

，所以是由

y = 3 sin 2 x - 1

向右平移

\frac{π}{8}

，不是

\frac{π}{4}

，錯。答案 (1)(4)。

選項 (4) 卷面寫的

y = f (x)

指的就是題幹的函數。判斷平移量時，要先把

x

的係數提出來。

第 13 題半徑是

40 \div 2 = 20

公尺，中心高

22

公尺，所以車廂的高度在

22 - 20 = 2

與

22 + 20 = 42

之間。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

）的最大值是

d + a

、最小值是

d - a

，所以

d + a = 42

、

d - a = 2

，得

a = 20

、

d = 22

。轉一圈

15

分鐘就是週期：

\frac{2 π}{b} = 15

，

b = \frac{2 π}{15}

。開始時（

x = 0

）在最低點：

20 sin c + 22 = 2

，

sin c = - 1

，在

0 < c < 2 π

內只有

c = \frac{3 π}{2}

。逐項：(1)

a + d = 42

，錯。(2)

a = 20

，對。(3)

b = \frac{2 π}{15}

，對。(4)

c = \frac{3 π}{2}

，對。(5)

d = 22

，錯。答案 (2)(3)(4)。

d

是中心的高度（最高與最低的平均），

a

是半徑。

y = a sin (b x + c) + d

：

a

管振幅、

b

管週期、

d

管中心線，

c

由起始位置決定。

06選填 A、B（第 14、15 題）：特殊角的值、與 x 軸的交點個數

第 14 題

\frac{3 π}{4}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{4}

，正切為負：

tan \frac{3 π}{4} = - 1

。

\frac{23 π}{2} = 10 π + \frac{3 π}{2}

，與

\frac{3 π}{2}

同界：

cos \frac{23 π}{2} = cos \frac{3 π}{2} = 0

。

\frac{5 π}{3}

是第四象限角，參考角

\frac{π}{3}

：

sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}

。

- \frac{5 π}{6}

是第三象限角，參考角

\frac{π}{6}

：

cos (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{3}{2}

。原式

= - 1 + 0 + (- \frac{3}{2}) (- \frac{3}{2}) = - 1 + \frac{3}{4} = - \frac{1}{4}

。

第 15 題

sin x = 0

的解是

x = k π

（

k

為整數）。要

0 \leq k π \leq 100

，即

0 \leq k \leq \frac{100}{π} \approx 31.83

，所以

k = 0, 1, 2, \dots, 31

，共

32

個交點。

31 π \approx 97.39

還在範圍內，

32 π \approx 100.53

已經超過

100

。別忘了

k = 0

（原點）也算一個。

07選填 C、D、E（第 16～18 題）：扇環周長、由圖形求係數、解的總和

第 16 題設圓心角

∠ A O B = θ

。大圓半徑

7

，弧

A B

長

= 7 θ = 7

，所以

θ = 1

（弧度）。小圓上的弧

C D

對同一個圓心角，長

= 3 θ = 3

。

\overline{A C} = \overline{B D} = 7 - 3 = 4

。鋪色區域的周長

=

弧

A B +

弧

C D + \overline{A C} + \overline{B D} = 7 + 3 + 4 + 4 = 18

。

卷面印的是「

A B

的長度為

7

」，沒有弧的記號，這裡指的是大圓上的弧

A B

。若當成線段

\overline{A B} = 7

，

△ O A B

是正三角形，圓心角是

\frac{π}{3}

，周長會是

\frac{7 π}{3} + π + 4 + 4 = 8 + \frac{10 π}{3} \approx 18.47

，填不進兩格的答案格，也與學校答案

18

不合。周長要把兩段弧和兩段直線邊都算進去。

第 17 題最高點的高度是

3

、最低點是

- 3

，且

a > 0

，所以

a = 3

。圖形從原點出發，在

x = \frac{π}{6}

第一次回到

x

軸，到

x = \frac{π}{3}

走完一個完整的波，所以週期是

\frac{π}{3}

。由

\frac{2 π}{b} = \frac{π}{3}

得

b = 6

。所以

(a, b) = (3, 6)

。

第 18 題

sin x = - \frac{1}{4}

是負的，解落在正弦曲線位於

x

軸下方的區間。在

0 \leq x \leq 4 π

內，這樣的區間有

(π, 2 π)

與

(3 π, 4 π)

，水平線

y = - \frac{1}{4}

與每一段各交於

2

點，共

4

個解。

(π, 2 π)

這一段的圖形對稱於直線

x = \frac{3 π}{2}

，兩個解的平均是

\frac{3 π}{2}

，和為

3 π

；

(3 π, 4 π)

這一段對稱於

x = \frac{7 π}{2}

，兩個解的和為

7 π

。總和

= 3 π + 7 π = 10 π

，格內填

10

。

不必把每個解求出來，用對稱軸就能得到每一對解的和。

同一個圓心角下，弧長與半徑成正比；正弦曲線每個波峰、波谷都對稱於通過頂點的鉛直線。

08選填 F、G（第 19、20 題）：半圓減弓形、兩圓聯集的面積

第 19 題設

\overline{A B}

的中點為

O

，半徑

= 2

。從

O

作

\overline{C D}

的垂線，垂足

M

是

\overline{C D}

的中點，

\overline{C M} = 3

，

\overline{O C} = 2

，所以

\overline{O M} = 2^{2} - (3)^{2} = 1

。直角三角形

O M C

中

cos ∠ C O M = \frac{1}{2}

，

∠ C O M = \frac{π}{3}

，所以

∠ C O D = \frac{2 π}{3}

。弦

C D

上方的弓形面積

=

扇形

O C D - △ O C D = \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 23 \times 1 = \frac{4 π}{3} - 3

。半圓面積

= \frac{1}{2} \times π \times 2^{2} = 2 π

。鋪色區域

=

半圓

-

弓形

= 2 π - (\frac{4 π}{3} - 3) = \frac{2 π}{3} + 3

。對照

aπ + b

：

a = \frac{2}{3}

、

b = 3

，所以

ab = 2

。

鋪色的是弦

C D

與直徑

A B

之間的部分，不是上方的弓形。

第 20 題一個圓的周長是

2 π \times 6 = 12 π

，兩個圓共

24 π

。鋪色區域的周長只算外圍，每個圓各有一段弧被另一個圓蓋在裡面，沒有算進去。兩圓半徑相同，被蓋住的兩段弧一樣長，合計

24 π - 22 π = 2 π

，所以每段長

π

。這段弧所對的圓心角

= \frac{π}{6}

（弧長

\div

半徑）。重疊的部分由兩個全等的弓形組成，每個弓形

=

扇形

-

三角形

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{π}{6} - \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times sin \frac{π}{6} = 3 π - 9

，所以重疊面積

= 2 (3 π - 9) = 6 π - 18

。鋪色區域

=

兩圓面積和

-

重疊面積

= 2 \times 36 π - (6 π - 18) = 66 π + 18

。所以

a = 66

、

b = 18

，

a + b = 84

。

兩圓面積相加時重疊的部分算了兩次，所以要減掉一次。附圖只是示意，重疊的大小不照實際比例。

弓形面積

=

扇形面積

-

三角形面積；由弧長除以半徑就得到圓心角的弧度。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

蘭陽女中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要畫出正弦曲線與過原點的斜直線，一個波峰一個波峰地數交點，還要記得原點與負的那一半；第 11 題同一個圖形有很多種平移方式，往左與往右差一個週期的都算；第 13 題要由一開始在最低點決定角度裡的常數；第 20 題要先由周長反推每個圓被蓋住的弧所對的圓心角，再用兩個圓面積減去重疊的部分。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

蘭陽女中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題：每題 5 分，共 40 分。

- 12 0^{\circ}

為多少弳？

(1) $- \frac{π}{3}$
(2) $- \frac{2 π}{3}$
(3) $- π$
(4) $- \frac{4 π}{3}$
(5) $- \frac{5 π}{3}$

\frac{7 π}{4}

弳為多少度？

(1) $1.7 5^{\circ}$
(2) $4 5^{\circ}$
(3) $157. 5^{\circ}$
(4) $31 5^{\circ}$
(5) $63 0^{\circ}$

扇形的半徑為

10

，圓心角為

\frac{π}{5}

，求此扇形的面積為

(1) $π$
(2) $2 π$
(3) $10 π$
(4) $20 π$
(5) $40 π$

如圖最有可能是下列哪一個函數的圖形？

(1) $y = \frac{1}{2} sin 2 x$
(2) $y = \frac{1}{2} sin \frac{x}{2}$
(3) $y = sin \frac{x}{2}$
(4) $y = \frac{1}{2} sin x$
(5) $y = 2 sin \frac{x}{2}$

載入中...

下列何者的圖形可由

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{π}{4}

單位，再向上平移

3

單位後得到？

(1) $y = sin (x + \frac{π}{4}) + 3$
(2) $y = sin (x - \frac{π}{4}) + 3$
(3) $y = sin (x + \frac{π}{4}) - 3$
(4) $y = sin (x - \frac{π}{4}) - 3$
(5) $y = 3 sin (x - \frac{π}{4})$

試比較

sin 4

、

sin 5

、

sin 6

的大小關係。

(1) $sin 6 > sin 5 > sin 4$
(2) $sin 4 > sin 5 > sin 6$
(3) $sin 5 > sin 4 > sin 6$
(4) $sin 5 > sin 6 > sin 4$
(5) $sin 6 > sin 4 > sin 5$

求方程式

sin x = \frac{x}{10 π}

的實根個數為

(1) $18$
(2) $19$
(3) $20$
(4) $21$
(5) $22$

設

θ

與

60

弳為同界角，且

0 < θ < 2 π

，求

θ

的值為下列何者？

(1) $0.34$ 弳
(2) $3.48$ 弳
(3) $60 - 17 π$ 弳
(4) $60 - 18 π$ 弳
(5) $60 - 19 π$ 弳

二、多選題：每題 5 分，共 25 分。錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 2 分，其餘得 0 分。

下列哪些是

\frac{5 π}{6}

弳的同界角？

(1) $\frac{π}{6}$
(2) $\frac{7 π}{6}$
(3) $- \frac{7 π}{6}$
(4) $\frac{17 π}{6}$
(5) $- \frac{19 π}{6}$

下列哪些函數與

y = sin 2 x

有相同週期？

(1) $y = 2 sin x$
(2) $y = sin 2 x - 1$
(3) $y = sin (2 x + 3)$
(4) $y = - 2 sin x - 5$
(5) $y = sin (- 2 x)$

試問

y = sin (x + \frac{2 π}{5})

的圖形可由

y = sin x

的圖形如何平移得到？

(1) 往左平移 $\frac{2 π}{5}$ 單位
(2) 往右平移 $\frac{2 π}{5}$ 單位
(3) 往左平移 $\frac{8 π}{5}$ 單位
(4) 往右平移 $\frac{8 π}{5}$ 單位
(5) 往左平移 $\frac{12 π}{5}$ 單位

關於函數

y = 3 sin (2 x - \frac{π}{4}) - 1

的敘述，下列選項哪些正確？

(1) 週期為 $π$
(2) 振幅為 $6$
(3) 值域為 $[- 1, 2]$
(4) $y = f (x)$ 的圖形對稱於 $x - \frac{7 π}{8} = 0$
(5) $y = 3 sin (2 x - \frac{π}{4}) - 1$ 的圖形可由 $y = 3 sin 2 x - 1$ 的圖形向右平移 $\frac{π}{4}$ 而得

遊樂區中有一圓形的摩天輪，中心高

22

公尺，直徑

40

公尺，逆時針方向運轉一圈，需時

15

分鐘。當摩天輪開始運轉時，甲車廂恰在離地最近的位置上，

x

分鐘後，甲車廂離地面高度為

y = a sin (b x + c) + d

（單位：公尺），

a > 0

，

b > 0

，

0 < c < 2 π

，下列選項哪些正確？

(1) $a + d = 40$
(2) $a = 20$
(3) $b = \frac{2 π}{15}$
(4) $c = \frac{3 π}{2}$
(5) $d = 20$

三、選填題：每格 5 分，共 35 分。※答案請化成最簡分數※（原卷題號 A～G，本頁編為第 14～20 題）

求

tan \frac{3 π}{4} + cos \frac{23 π}{2} + sin \frac{5 π}{3} cos (- \frac{5 π}{6}) =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯}

）

函數

y = sin x

的圖形在

0 \leq x \leq 100

的範圍內與

x

軸共有 ____ 個交點。

如圖，兩個同心圓的半徑分別是

3

和

7

，且

A B

的長度為

7

，求鋪色區域的周長為 ____。（卷面原文如此，

A B

上沒有弧的記號；依答案格與學校答案，指的是大圓上弧

A B ⌢

的長度）

載入中...

下圖是函數

y = a sin b x

的部分圖形，其中

a > 0

、

b > 0

，求序對

(a, b) =

____。

載入中...

在

0 \leq x \leq 4 π

範圍內，方程式

sin x = - \frac{1}{4}

所有解的總和為 ____

π

。

如圖，

\overline{A B} = 4

，以

\overline{A B}

為直徑畫一半圓，已知

\overline{C D}

為該半圓的一弦，且

\overline{C D} ∥ \overline{A B}

。

\overline{C D} = 23

，若鋪色區域的面積為

aπ + b

，求

ab =

____。

載入中...

如圖，半徑皆為

6

的兩圓其內部部分重疊，已知鋪色區域之周長為

22 π

，若鋪色區域的面積為

aπ + b

，求

a + b =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(1)

第 5 題(2)

第 6 題(5)

第 7 題(2)

第 8 題(4)

第 9 題(3)(4)(5)

第 10 題(2)(3)(5)

第 11 題(1)(4)(5)

第 12 題(1)(4)

第 13 題(2)(3)(4)

第 14 題

- \frac{1}{4}

第 15 題

32

第 16 題

18

第 17 題

(3, 6)

第 18 題

10

第 19 題

2

第 20 題

84

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：度與弧度互換、扇形面積

第 1 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

- 12 0^{\circ} = - 120 \times \frac{π}{180} = - \frac{2 π}{3}

弳，選 (2)。

第 2 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{7 π}{4}

弳

= \frac{7}{4} \times 18 0^{\circ} = 31 5^{\circ}

，選 (4)。

第 3 題扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 1 0^{2} \times \frac{π}{5} = 10 π

，選 (3)。

公式裡的圓心角要用弧度。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳。

02單選第 4、5 題：由圖形讀函數、圖形的平移

第 4 題圖形過原點後先上升，最高點的高度大約是

1

的一半，所以振幅是

\frac{1}{2}

。圖形與

x

軸的交點是

- π

、

- \frac{π}{2}

、

0

、

\frac{π}{2}

、

π

：從

0

出發，到

\frac{π}{2}

第一次回到

x

軸，到

π

才走完一個完整的波，所以週期是

π

。

y = \frac{1}{2} sin k x

的週期是

\frac{2 π}{k} = π

，得

k = 2

，即

y = \frac{1}{2} sin 2 x

，選 (1)。

選項 (2)、(3)、(5) 的週期是

4 π

，選項 (4) 的週期是

2 π

，在

x = \frac{π}{2}

都不會回到

x

軸。

第 5 題向右平移

\frac{π}{4}

：把

x

換成

x - \frac{π}{4}

，得

y = sin (x - \frac{π}{4})

。再向上平移

3

：整個函數值加

3

，得

y = sin (x - \frac{π}{4}) + 3

，選 (2)。

向右平移

h

是把

x

換成

x - h

；向上平移

k

是在式子後面加

k

。

03單選第 6～8 題：比大小、數實根、化成最小正同界角

第 6 題取近似值：

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

。

4

在

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角；

5

與

6

都在

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間，是第四象限角，所以三個正弦值都是負的。負的正弦值等於「負的參考角正弦值」，而銳角愈大正弦值愈大：

4

的參考角是

4 - π \approx 0.86

，

5

的參考角是

2 π - 5 \approx 1.28

，

6

的參考角是

2 π - 6 \approx 0.28

。參考角由大到小是

5

、

4

、

6

，所以

sin 5

最小、

sin 6

最大，即

sin 6 > sin 4 > sin 5

，選 (5)。

實際的值約為

sin 4 \approx - 0.76

、

sin 5 \approx - 0.96

、

sin 6 \approx - 0.28

。

第 7 題實根就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{10 π}

的交點。

sin x

的值在

- 1

與

1

之間，而直線在

x = 10 π

時高度為

1

、在

x = - 10 π

時高度為

- 1

，所以交點只會出現在

- 10 π \leq x \leq 10 π

。先看

x > 0

：直線在這裡是正的，交點只會落在正弦曲線在

x

軸上方的那幾段，即

(0, π)

、

(2 π, 3 π)

、

(4 π, 5 π)

、

(6 π, 7 π)

、

(8 π, 9 π)

共五段。後四段每一段的最高點高度是

1

，而直線在這些區間的高度都小於

1

，直線從下方穿進波峰再穿出，各有

2

個交點，共

8

個。第一段

(0, π)

：直線很平緩，在原點附近位於曲線下方，到

x = π

時直線高

\frac{1}{10}

而曲線回到

0

，而這一段曲線先升後降、開口朝下，直線則一直平緩地上升，畫圖可見兩者在

(0, π)

內只交一次，所以這一段只有

1

個交點（另一個是原點本身）。在

x = 10 π

處

sin 10 π = 0 \neq = 1

，不是交點。所以正根有

8 + 1 = 9

個。兩個圖形都對稱於原點，負根也有

9

個，再加上

x = 0

，共

9 + 9 + 1 = 19

個，選 (2)。

容易漏掉的是

x = 0

這個根，以及第一個波峰只多出一個正根。

第 8 題同界角相差

2 π

的整數倍，要從

60

減去若干個

2 π

，使結果落在

0

與

2 π

之間。

2 π \approx 6.283

，

60 \div 6.283 \approx 9.55

，所以減去

9

個

2 π

：

θ = 60 - 18 π \approx 60 - 56.55 = 3.45

，確實在

0

與

2 π \approx 6.28

之間，選 (4)。

選項 (2) 的

3.48

只是接近，不是確切的值；選項 (3)、(5) 減的是

π

的奇數倍，不是

2 π

的整數倍。

數實根時把方程式兩邊各畫成一個圖形，先用值域圈出交點可能出現的範圍，再一段一段數。

04多選第 9～11 題：同界角、週期、平移

第 9 題同界角與

\frac{5 π}{6}

的差必須是

2 π = \frac{12 π}{6}

的整數倍。(1)

\frac{5 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{4 π}{6}

，不是，錯。(2)

\frac{7 π}{6} - \frac{5 π}{6} = \frac{2 π}{6}

，不是，錯。(3)

\frac{5 π}{6} - (- \frac{7 π}{6}) = \frac{12 π}{6} = 2 π

，對。(4)

\frac{17 π}{6} - \frac{5 π}{6} = \frac{12 π}{6} = 2 π

，對。(5)

\frac{5 π}{6} - (- \frac{19 π}{6}) = \frac{24 π}{6} = 4 π

，對。答案 (3)(4)(5)。

第 10 題

y = sin 2 x

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

。

y = a sin (b x + c) + d

的週期只由

x

的係數決定，等於

\frac{2 π}{∣ b ∣}

。(1)

y = 2 sin x

：週期

2 π

，錯。(2)

y = sin 2 x - 1

：只是往下平移，週期

π

，對。(3)

y = sin (2 x + 3)

：只是左右平移，週期

π

，對。(4)

y = - 2 sin x - 5

：週期

2 π

，錯。(5)

y = sin (- 2 x)

：週期

\frac{2 π}{∣ - 2∣} = π

，對。答案 (2)(3)(5)。

振幅、上下平移、左右平移都不會改變週期。

第 11 題把

y = sin x

往左平移

h

單位得到

y = sin (x + h)

，往右平移

h

單位得到

y = sin (x - h)

。又因為正弦函數的週期是

2 π

，括號裡多加或少加

2 π

的整數倍，圖形都相同。(1) 往左

\frac{2 π}{5}

：得

sin (x + \frac{2 π}{5})

，對。(2) 往右

\frac{2 π}{5}

：得

sin (x - \frac{2 π}{5})

，與

\frac{2 π}{5}

相差

\frac{4 π}{5}

，不是

2 π

的整數倍，錯。(3) 往左

\frac{8 π}{5}

：

\frac{8 π}{5} - \frac{2 π}{5} = \frac{6 π}{5}

，不是

2 π

的整數倍，錯。(4) 往右

\frac{8 π}{5}

：得

sin (x - \frac{8 π}{5})

，而

- \frac{8 π}{5} + 2 π = \frac{2 π}{5}

，圖形相同，對。(5) 往左

\frac{12 π}{5}

：

\frac{12 π}{5} - 2 π = \frac{2 π}{5}

，圖形相同，對。答案 (1)(4)(5)。

週期函數的圖形往左移

h

，和往右移「週期減

h

」是同一個結果。

05多選第 12、13 題：正弦型函數的性質、摩天輪

第 12 題(1) 週期

= \frac{2 π}{2} = π

，對。(2) 振幅是

sin

前面係數的絕對值

3

，不是

6

（

6

是最高與最低的差），錯。(3)

sin

的值在

- 1

與

1

之間，所以

y

在

3 \times (- 1) - 1 = - 4

與

3 \times 1 - 1 = 2

之間，值域是

[- 4, 2]

，錯。(4) 正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。把

x = \frac{7 π}{8}

代入：

2 \times \frac{7 π}{8} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}

，

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，此處是最低點，所以圖形對稱於直線

x = \frac{7 π}{8}

，對。(5)

2 x - \frac{π}{4} = 2 (x - \frac{π}{8})

，所以是由

y = 3 sin 2 x - 1

向右平移

\frac{π}{8}

，不是

\frac{π}{4}

，錯。答案 (1)(4)。

選項 (4) 卷面寫的

y = f (x)

指的就是題幹的函數。判斷平移量時，要先把

x

的係數提出來。

第 13 題半徑是

40 \div 2 = 20

公尺，中心高

22

公尺，所以車廂的高度在

22 - 20 = 2

與

22 + 20 = 42

之間。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

）的最大值是

d + a

、最小值是

d - a

，所以

d + a = 42

、

d - a = 2

，得

a = 20

、

d = 22

。轉一圈

15

分鐘就是週期：

\frac{2 π}{b} = 15

，

b = \frac{2 π}{15}

。開始時（

x = 0

）在最低點：

20 sin c + 22 = 2

，

sin c = - 1

，在

0 < c < 2 π

內只有

c = \frac{3 π}{2}

。逐項：(1)

a + d = 42

，錯。(2)

a = 20

，對。(3)

b = \frac{2 π}{15}

，對。(4)

c = \frac{3 π}{2}

，對。(5)

d = 22

，錯。答案 (2)(3)(4)。

d

是中心的高度（最高與最低的平均），

a

是半徑。

y = a sin (b x + c) + d

：

a

管振幅、

b

管週期、

d

管中心線，

c

由起始位置決定。

06選填 A、B（第 14、15 題）：特殊角的值、與 x 軸的交點個數

第 14 題

\frac{3 π}{4}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{4}

，正切為負：

tan \frac{3 π}{4} = - 1

。

\frac{23 π}{2} = 10 π + \frac{3 π}{2}

，與

\frac{3 π}{2}

同界：

cos \frac{23 π}{2} = cos \frac{3 π}{2} = 0

。

\frac{5 π}{3}

是第四象限角，參考角

\frac{π}{3}

：

sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}

。

- \frac{5 π}{6}

是第三象限角，參考角

\frac{π}{6}

：

cos (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{3}{2}

。原式

= - 1 + 0 + (- \frac{3}{2}) (- \frac{3}{2}) = - 1 + \frac{3}{4} = - \frac{1}{4}

。

第 15 題

sin x = 0

的解是

x = k π

（

k

為整數）。要

0 \leq k π \leq 100

，即

0 \leq k \leq \frac{100}{π} \approx 31.83

，所以

k = 0, 1, 2, \dots, 31

，共

32

個交點。

31 π \approx 97.39

還在範圍內，

32 π \approx 100.53

已經超過

100

。別忘了

k = 0

（原點）也算一個。

07選填 C、D、E（第 16～18 題）：扇環周長、由圖形求係數、解的總和

第 16 題設圓心角

∠ A O B = θ

。大圓半徑

7

，弧

A B

長

= 7 θ = 7

，所以

θ = 1

（弧度）。小圓上的弧

C D

對同一個圓心角，長

= 3 θ = 3

。

\overline{A C} = \overline{B D} = 7 - 3 = 4

。鋪色區域的周長

=

弧

A B +

弧

C D + \overline{A C} + \overline{B D} = 7 + 3 + 4 + 4 = 18

。

卷面印的是「

A B

的長度為

7

」，沒有弧的記號，這裡指的是大圓上的弧

A B

。若當成線段

\overline{A B} = 7

，

△ O A B

是正三角形，圓心角是

\frac{π}{3}

，周長會是

\frac{7 π}{3} + π + 4 + 4 = 8 + \frac{10 π}{3} \approx 18.47

，填不進兩格的答案格，也與學校答案

18

不合。周長要把兩段弧和兩段直線邊都算進去。

第 17 題最高點的高度是

3

、最低點是

- 3

，且

a > 0

，所以

a = 3

。圖形從原點出發，在

x = \frac{π}{6}

第一次回到

x

軸，到

x = \frac{π}{3}

走完一個完整的波，所以週期是

\frac{π}{3}

。由

\frac{2 π}{b} = \frac{π}{3}

得

b = 6

。所以

(a, b) = (3, 6)

。

第 18 題

sin x = - \frac{1}{4}

是負的，解落在正弦曲線位於

x

軸下方的區間。在

0 \leq x \leq 4 π

內，這樣的區間有

(π, 2 π)

與

(3 π, 4 π)

，水平線

y = - \frac{1}{4}

與每一段各交於

2

點，共

4

個解。

(π, 2 π)

這一段的圖形對稱於直線

x = \frac{3 π}{2}

，兩個解的平均是

\frac{3 π}{2}

，和為

3 π

；

(3 π, 4 π)

這一段對稱於

x = \frac{7 π}{2}

，兩個解的和為

7 π

。總和

= 3 π + 7 π = 10 π

，格內填

10

。

不必把每個解求出來，用對稱軸就能得到每一對解的和。

同一個圓心角下，弧長與半徑成正比；正弦曲線每個波峰、波谷都對稱於通過頂點的鉛直線。

08選填 F、G（第 19、20 題）：半圓減弓形、兩圓聯集的面積

第 19 題設

\overline{A B}

的中點為

O

，半徑

= 2

。從

O

作

\overline{C D}

的垂線，垂足

M

是

\overline{C D}

的中點，

\overline{C M} = 3

，

\overline{O C} = 2

，所以

\overline{O M} = 2^{2} - (3)^{2} = 1

。直角三角形

O M C

中

cos ∠ C O M = \frac{1}{2}

，

∠ C O M = \frac{π}{3}

，所以

∠ C O D = \frac{2 π}{3}

。弦

C D

上方的弓形面積

=

扇形

O C D - △ O C D = \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 23 \times 1 = \frac{4 π}{3} - 3

。半圓面積

= \frac{1}{2} \times π \times 2^{2} = 2 π

。鋪色區域

=

半圓

-

弓形

= 2 π - (\frac{4 π}{3} - 3) = \frac{2 π}{3} + 3

。對照

aπ + b

：

a = \frac{2}{3}

、

b = 3

，所以

ab = 2

。

鋪色的是弦

C D

與直徑

A B

之間的部分，不是上方的弓形。

第 20 題一個圓的周長是

2 π \times 6 = 12 π

，兩個圓共

24 π

。鋪色區域的周長只算外圍，每個圓各有一段弧被另一個圓蓋在裡面，沒有算進去。兩圓半徑相同，被蓋住的兩段弧一樣長，合計

24 π - 22 π = 2 π

，所以每段長

π

。這段弧所對的圓心角

= \frac{π}{6}

（弧長

\div

半徑）。重疊的部分由兩個全等的弓形組成，每個弓形

=

扇形

-

三角形

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{π}{6} - \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times sin \frac{π}{6} = 3 π - 9

，所以重疊面積

= 2 (3 π - 9) = 6 π - 18

。鋪色區域

=

兩圓面積和

-

重疊面積

= 2 \times 36 π - (6 π - 18) = 66 π + 18

。所以

a = 66

、

b = 18

，

a + b = 84

。

兩圓面積相加時重疊的部分算了兩次，所以要減掉一次。附圖只是示意，重疊的大小不照實際比例。

弓形面積

=

扇形面積

-

三角形面積；由弧長除以半徑就得到圓心角的弧度。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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蘭陽女中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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02單選第 4、5 題：由圖形讀函數、圖形的平移

03單選第 6～8 題：比大小、數實根、化成最小正同界角

04多選第 9～11 題：同界角、週期、平移

05多選第 12、13 題：正弦型函數的性質、摩天輪

06選填 A、B（第 14、15 題）：特殊角的值、與 x 軸的交點個數

07選填 C、D、E（第 16～18 題）：扇環周長、由圖形求係數、解的總和

08選填 F、G（第 19、20 題）：半圓減弓形、兩圓聯集的面積

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蘭陽女中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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