段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

平鎮高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 111 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 111 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

最容易錯的是多選第 6 題（先平移再取絕對值的那個函數週期不會減半）、選填 I（本頁第 16 題，兩段弧在不同的圓上，半徑與圓心角要分開算）、選填 L（本頁第 19 題，限制範圍下要先求疊合後那個角的範圍）、選填 K（本頁第 18 題，用和角公式把三倍角展開後再配正弦定理）。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、多重選擇題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、選填題 13 題（每格 5 分，共 65 分），合計 100 分。卷頭注意事項：所有的分數型式的答案皆須化成最簡分數。原卷選填題的題號是 A～M，本頁編為第 8～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題全部一致。

一、單選題｜第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

cos 1, cos 2, cos 3, cos 4, cos 5

這五個數值的中位數為

(1) $cos 1$
(2) $cos 2$
(3) $cos 3$
(4) $cos 4$
(5) $cos 5$

已知

\frac{π}{2} < θ < π

，且

sin θ = \frac{4}{5}

，則

sin 2 θ =

(1) $\frac{7}{25}$
(2) $- \frac{7}{25}$
(3) $\frac{24}{25}$
(4) $- \frac{24}{25}$
(5) $\frac{8}{5}$

設

a = \frac{1}{2} cos 6^{\circ} + \frac{3}{2} sin 6^{\circ}

，

b = \frac{2 tan 1 9 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 1 9 ^{\circ}}

，

c = \frac{1 - cos 7 4 ^{\circ}}{2}

，則

a

，

b

，

c

大小關係為下列何者？

(1) $a > b > c$
(2) $c > b > a$
(3) $a > c > b$
(4) $b > a > c$
(5) $b > c > a$

右圖為底角為

x

的等腰三角形，

\overline{A H}

為

\overline{B C}

上的高，若

\overline{A B} = \overline{A C} = 6

，求

\overline{A H} + \overline{B C}

的最大值為 ____。

(1) $55$
(2) $65$
(3) $75$
(4) $85$
(5) $95$

載入中...

二、多重選擇題｜第 5 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列哪些選項中的

x

，會使得不等式

- \frac{1}{2} < cos x < \frac{3}{2}

恆成立？

(1) $\frac{π}{6} < x < \frac{2 π}{3}$
(2) $\frac{4 π}{3} < x < \frac{11 π}{6}$
(3) $\frac{π}{6} < x < \frac{11 π}{6}$
(4) $\frac{π}{6} < x < \frac{4 π}{3}$
(5) $\frac{2 π}{3} < x < \frac{11 π}{6}$

下列各函數的週期何者為

\frac{π}{2}

？

(1) $y = 2 sin (3 x + 2) + 1$ 。
(2) $y = 3 ∣ sin (2 x + 1) ∣ + \frac{1}{2}$ 。
(3) $y = tan (- 2 x + 1)$
(4) $y = 3 cos (2 x + 1) + \frac{1}{2}$ 。
(5) $y = ∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣$ 。

關於函數

f (x) = 2 (1 + sin (3 x + \frac{π}{6}))

，試問下列哪些選項正確？

(1) $0 \leq f (x) \leq 4$
(2) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 時有最大值
(3) $f (x)$ 的週期為 $\frac{3 π}{2}$
(4) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{4 π}{9}$ 。
(5) $y = 2 (1 + sin (3 x + \frac{π}{6}))$ 之圖形是由 $y = 2 (1 + sin 3 x)$ 向左移 $\frac{π}{18}$

三、選填題｜第 A 至 M 題，每格完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

有一扇形的半徑為

r

，圓心角為

θ

弳，若此扇形的周長為

12

，面積為

9

，則數對

(r, θ) =

____。（原卷畫卡格的答案形式為

(□, □)

）

設

α

為第二象限角，

β

為第一象限角且

sin α = \frac{8}{17}

，

cos β = \frac{5}{13}

，則

cos (α - β) =

____。（原卷畫卡格的答案形式為

\frac{□□}{□□□}

）

鐘面上時針的長度為

1

，分針的長度為

2

，求由

4

點

15

分到

5

點整，這段時間內分針和時針所掃過的面積比值為 ____。（原卷畫卡格的答案形式為

□□

）

\frac{cos \frac{5 π}{3}}{1 + sin \frac{2 π}{3}} - \frac{1}{tan \frac{7 π}{6}} + 2 cos π =

____。（原卷畫卡格的答案形式為

□□ □

）

若

3 sin (x + \frac{π}{3}) - 2 cos x = a sin (x + β)

，其中

a > 0

，

0 \leq β \leq 2 π

，求數對

(a, β) =

____。（原卷畫卡格的答案形式為

(□, \frac{□□}{□} π)

）

\frac{sin 2 7 ^{\circ}}{sin 9 ^{\circ}} - \frac{cos 2 7 ^{\circ}}{cos 9 ^{\circ}} =

____。（原卷畫卡格的答案形式為

□

）

方程式

cos x = sin 2 x

在

0 \leq x \leq 4 π

範圍內的實數解有 ____ 個。（原卷畫卡格的答案形式為

□

）

求函數

y = 2 cos (x + \frac{π}{3}) - 2 cos x - 3

的最小值為 ____。（原卷畫卡格的答案形式為

□□

）

如圖，一個半徑為

2

的四分之一圓，內部有一內切圓，求

A B

弧與劣弧

A C

弧兩圓弧長的和為 ____。（原卷畫卡格的答案形式為

\frac{□ □ - □}{□} π

）

載入中...

設

\frac{π}{2} < x < 2 π

，且

3 sin x - cos x = 3

，則

x =

____ 弳。（原卷畫卡格的答案形式為

\frac{□}{□} π

）

△ A B C

中，若

\overline{A B} = 9

，

\overline{A C} = 15

，

∠ A B C = 3∠ A C B

，求

cos (2∠ A C B)

的值

=

____。（原卷畫卡格的答案形式為

\frac{□}{□}

）

設

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2}

，則

f (x) = 2 sin (\frac{π}{6} - x) - 2 cos x + 3

的最大值為

M

，最小值為

m

，則

M + m =

____。（原卷畫卡格的答案形式為

□ - □

）

設

10 8^{\circ} < A < 27 0^{\circ}

，則

3 sin A + cos A = 2 cos 201 7^{\circ}

，若

A = m^{\circ}

，則

m =

____。（原卷畫卡格的答案形式為

□□□

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(5)

第 4 題(2)

第 5 題(1)(2)

第 6 題(2)(3)(5)

第 7 題(1)(4)(5)

第 8 題

(3, 2)

第 9 題

\frac{21}{221}

第 10 題

48

第 11 題

- 23

第 12 題

(1, \frac{11}{6} π)

第 13 題

2

第 14 題

8

第 15 題

- 5

第 16 題

\frac{3 2 - 2}{2} π

第 17 題

\frac{5}{6} π

第 18 題

\frac{1}{3}

第 19 題

4 - 3

第 20 題

203

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：弧度角的餘弦比大小、二倍角、化簡後比大小、疊合求最大值

第 1 題答案 (2)。角度沒有印度的符號，是弧度。

π \approx 3.14

，

2 π \approx 6.28

。先把

4

、

5

換到

0

與

π

之間：

cos 4 = cos (2 π - 4) \approx cos 2.28

，

cos 5 = cos (2 π - 5) \approx cos 1.28

。於是五個數是

cos 1

、

cos 2

、

cos 3

、

cos 2.28

、

cos 1.28

。餘弦在

0

到

π

之間是遞減的，角愈大值愈小，而

1 < 1.28 < 2 < 2.28 < 3

，所以

cos 1 > cos 5 > cos 2 > cos 4 > cos 3

。由小到大排第三的是

cos 2

，中位數是

cos 2

。

數值：

cos 1 \approx 0.54

，

cos 5 \approx 0.28

，

cos 2 \approx - 0.42

，

cos 4 \approx - 0.65

，

cos 3 \approx - 0.99

。

第 2 題答案 (4)。

θ

在第二象限，餘弦為負：

cos θ = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}

。

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times \frac{4}{5} \times (- \frac{3}{5}) = - \frac{24}{25}

。

沒看象限、取

cos θ = \frac{3}{5}

會得到 (3)。

第 3 題答案 (5)。

a = sin 3 0^{\circ} cos 6^{\circ} + cos 3 0^{\circ} sin 6^{\circ} = sin (3 0^{\circ} + 6^{\circ}) = sin 3 6^{\circ}

。

b

是正切二倍角公式

tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ}

的形式，

b = tan 3 8^{\circ}

。

c

是半角公式

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2}

的形式，

3 7^{\circ}

的正弦為正，所以

c = sin 3 7^{\circ}

。銳角的正弦隨角度增加而變大，

sin 3 6^{\circ} < sin 3 7^{\circ} < sin 3 8^{\circ}

；又

tan 3 8^{\circ} = \frac{sin 3 8 ^{\circ}}{cos 3 8 ^{\circ}} > sin 3 8^{\circ}

（因為

0 < cos 3 8^{\circ} < 1

）。所以

b > c > a

。

數值：

a \approx 0.588

，

c \approx 0.602

，

b \approx 0.781

。

第 4 題答案 (2)。直角三角形

A B H

中，

\overline{A H} = 6 sin x

，

\overline{B H} = 6 cos x

；等腰三角形底邊上的高平分底邊，所以

\overline{B C} = 12 cos x

。

\overline{A H} + \overline{B C} = 6 sin x + 12 cos x

。疊合：

6^{2} + 1 2^{2} = 180 = 65

，

6 sin x + 12 cos x = 65 (\frac{1}{5} sin x + \frac{2}{5} cos x) = 65 sin (x + ϕ)

，其中

cos ϕ = \frac{1}{5}

、

sin ϕ = \frac{2}{5}

，

ϕ

是銳角。底角

x

的範圍是

0^{\circ} < x < 9 0^{\circ}

，取

x = 9 0^{\circ} - ϕ

（也是銳角）時

sin (x + ϕ) = 1

，所以最大值是

65

。

最大值發生在

tan x = \frac{1}{2}

的時候，此時

\overline{A H} = \frac{6}{5}

、

\overline{B C} = \frac{24}{5}

，和為

\frac{30}{5} = 65

。附圖是示意圖，底角不是照這個角度畫的。

02多重選擇題（第 5～7 題）：餘弦不等式、週期、正弦型函數的性質

第 5 題答案 (1)(2)。五個選項的範圍都在

0

到

2 π

之間，先在這一圈內解不等式。

cos x < \frac{3}{2}

：因為

cos \frac{π}{6} = cos \frac{11 π}{6} = \frac{3}{2}

，由餘弦圖形得

\frac{π}{6} < x < \frac{11 π}{6}

。

cos x > - \frac{1}{2}

：因為

cos \frac{2 π}{3} = cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}

，得

0 \leq x < \frac{2 π}{3}

或

\frac{4 π}{3} < x \leq 2 π

。兩者同時成立的範圍是

\frac{π}{6} < x < \frac{2 π}{3}

或

\frac{4 π}{3} < x < \frac{11 π}{6}

。(1)、(2) 正好是這兩段，對。(3)、(4)、(5) 都包含

x = π

，而

cos π = - 1

不大於

- \frac{1}{2}

，錯。

「恆成立」是指選項範圍裡的每一個

x

都要滿足，只要找到一個不滿足的

x

就能排除。

第 6 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：

y = 2 sin (3 x + 2) + 1

的週期是

\frac{2 π}{3}

。(2) 對：

sin (2 x + 1)

的週期是

π

；

x

增加

\frac{π}{2}

時角度增加

π

，正弦值變號，取絕對值後相同，所以

∣ sin (2 x + 1) ∣

的週期減半為

\frac{π}{2}

，乘

3

再加

\frac{1}{2}

不改變週期。(3) 對：正切的週期是

π

，

y = tan (- 2 x + 1)

的週期是

\frac{π}{∣ - 2 ∣} = \frac{π}{2}

。(4) 錯：絕對值裡面是

cos (2 x + 1) + \frac{1}{2}

，先加了

\frac{1}{2}

才取絕對值；

x

增加

\frac{π}{2}

時

cos (2 x + 1)

變號，例如

cos (2 x + 1) = 1

時函數值是

3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}

，往後

\frac{π}{2}

是

3 \times - 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

，兩者不等，

\frac{π}{2}

不是週期，週期仍是

π

。(5) 對：把

x

換成

x + \frac{π}{2}

，

sin (x + \frac{π}{2}) + cos (x + \frac{π}{2}) = ∣ cos x ∣ + ∣ sin x ∣

，函數值不變；又

y^{2} = 1 + 2 ∣ sin x cos x ∣ = 1 + ∣ sin 2 x ∣

，而

∣ sin 2 x ∣

的週期是

\frac{π}{2}

，所以週期就是

\frac{π}{2}

。

(2) 與 (4) 的差別在絕對值蓋到哪裡：整個正弦或餘弦取絕對值，週期減半；先上下平移再取絕對值，圖形上下不再對稱，週期不變。

第 7 題答案 (1)(4)(5)。(1) 對：

- 1 \leq sin (3 x + \frac{π}{6}) \leq 1

，所以

0 \leq 1 + sin (3 x + \frac{π}{6}) \leq 2

，

0 \leq f (x) \leq 4

。(2) 錯：

x = \frac{π}{6}

時角度是

\frac{π}{2} + \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

，

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

，

f (\frac{π}{6}) = 2 + 3 < 4

，不是最大值。(3) 錯：週期是

\frac{2 π}{3}

。(4) 對：

x = \frac{4 π}{9}

時角度是

\frac{4 π}{3} + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}

，正弦值為

- 1

，

f (x)

在這裡有最小值

0

；正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，所以圖形對稱於

x = \frac{4 π}{9}

。(5) 對：把

y = 2 (1 + sin 3 x)

向左移

\frac{π}{18}

，就是把

x

換成

x + \frac{π}{18}

，得

y = 2 (1 + sin 3 (x + \frac{π}{18})) = 2 (1 + sin (3 x + \frac{π}{6}))

。

(5) 的平移量要先把

x

的係數

3

提出來：

3 x + \frac{π}{6} = 3 (x + \frac{π}{18})

，是

\frac{π}{18}

不是

\frac{π}{6}

。最大值發生在

3 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，也就是

x = \frac{π}{9}

（加上週期的整數倍）。

03選填 A～D（第 8～11 題）：扇形、差角公式、鐘面上的扇形、特殊角

第 8 題扇形的弧長是

r θ

，周長是兩條半徑加弧長：

2 r + r θ = 12

，所以

r θ = 12 - 2 r

。面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r \times (r θ) = \frac{1}{2} r (12 - 2 r) = 9

，整理得

r^{2} - 6 r + 9 = 0

，

(r - 3)^{2} = 0

，

r = 3

。代回

r θ = 12 - 6 = 6

，

θ = 2

。所以

(r, θ) = (3, 2)

。

檢查：周長

3 + 3 + 3 \times 2 = 12

，面積

\frac{1}{2} \times 3^{2} \times 2 = 9

。

第 9 題

α

在第二象限，餘弦為負：

cos α = - 1 - \frac{64}{289} = - \frac{15}{17}

。

β

在第一象限，正弦為正：

sin β = 1 - \frac{25}{169} = \frac{12}{13}

。

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = (- \frac{15}{17}) (\frac{5}{13}) + (\frac{8}{17}) (\frac{12}{13}) = \frac{- 75 + 96}{221} = \frac{21}{221}

。

17 \times 13 = 221

；

21 = 3 \times 7

與

221 = 13 \times 17

沒有公因數，已是最簡分數。

第 10 題從

4

點

15

分到

5

點整經過

45

分鐘。分針

60

分鐘轉一圈，

45

分鐘轉了

\frac{3}{4}

圈，轉過的角是

\frac{3}{4} \times 2 π = \frac{3 π}{2}

，掃過的面積是

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{3 π}{2} = 3 π

。時針

12

小時轉一圈，每小時轉

\frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

，

45

分鐘（

\frac{3}{4}

小時）轉了

\frac{π}{8}

，掃過的面積是

\frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{π}{8} = \frac{π}{16}

。分針與時針掃過的面積比值是

3 π \div \frac{π}{16} = 48

。

同一段時間內分針轉過的角是時針的

12

倍，半徑是

2

倍，面積與半徑的平方成正比，所以比值是

12 \times 2^{2} = 48

。

第 11 題逐項求值：

cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2}

，

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

，

tan \frac{7 π}{6} = \frac{1}{3}

，

cos π = - 1

。第一項

= \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3

（分子分母同乘

2 - 3

）。第二項

\frac{1}{tan \frac{7 π}{6}} = 3

。原式

= (2 - 3) - 3 + 2 \times (- 1) = - 23

。

\frac{5 π}{3}

在第四象限，餘弦為正；

\frac{7 π}{6}

在第三象限，正切為正。畫卡時負號也占一格。

04選填 E～H（第 12～15 題）：展開後疊合、通分化簡、解方程式的個數、疊合求最小值

第 12 題先用和角公式展開：

3 sin (x + \frac{π}{3}) = 3 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = \frac{3}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x

。所以原式

= \frac{3}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x - 2 cos x = \frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x

。疊合：

\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1

，原式

= sin x cos \frac{π}{6} - cos x sin \frac{π}{6} = sin (x - \frac{π}{6})

。所以

a = 1

。

β

要在

0

到

2 π

之間，把

- \frac{π}{6}

加一圈：

β = - \frac{π}{6} + 2 π = \frac{11 π}{6}

。

(a, β) = (1, \frac{11}{6} π)

。

β

要同時滿足

cos β = \frac{3}{2}

、

sin β = - \frac{1}{2}

，是第四象限角，在指定範圍內只有

\frac{11 π}{6}

。

第 13 題通分：原式

= \frac{sin 2 7 ^{\circ} cos 9 ^{\circ} - cos 2 7 ^{\circ} sin 9 ^{\circ}}{sin 9 ^{\circ} cos 9 ^{\circ}}

。分子是正弦差角公式，等於

sin (2 7^{\circ} - 9^{\circ}) = sin 1 8^{\circ}

。分母用二倍角公式

sin 1 8^{\circ} = 2 sin 9^{\circ} cos 9^{\circ}

，等於

\frac{1}{2} sin 1 8^{\circ}

。所以原式

= \frac{sin 1 8 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 1 8 ^{\circ}} = 2

。

第 14 題用二倍角公式

sin 2 x = 2 sin x cos x

：

cos x = 2 sin x cos x

，移項得

cos x (1 - 2 sin x) = 0

，所以

cos x = 0

或

sin x = \frac{1}{2}

。在

0 \leq x \leq 4 π

（兩圈）內：

cos x = 0

的解是

\frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

、

\frac{5 π}{2}

、

\frac{7 π}{2}

，共

4

個；

sin x = \frac{1}{2}

的解是

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

、

\frac{13 π}{6}

、

\frac{17 π}{6}

，共

4

個。兩組沒有重複，合計

8

個。

不可以兩邊直接約掉

cos x

，那樣會漏掉

cos x = 0

的

4

個解。

第 15 題展開：

2 cos (x + \frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2} cos x - \frac{3}{2} sin x) = cos x - 3 sin x

。所以

y = cos x - 3 sin x - 2 cos x - 3 = - 3 sin x - cos x - 3

。疊合：

3 sin x + cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

，所以

y = - 2 sin (x + \frac{π}{6}) - 3

。

x

是任意實數，

sin (x + \frac{π}{6}) = 1

時

y

最小，最小值是

- 2 - 3 = - 5

。

最大值是

2 - 3 = - 1

。前面有負號，正弦取最大時

y

反而最小。

05選填 I～M（第 16～20 題）：內切圓的弧長、疊合解方程式、三倍角、指定範圍的極值、解角度

第 16 題設四分之一圓的圓心是

O

（兩條半徑的交點），內切圓的圓心是

I

、半徑是

ρ

。內切圓與兩條半徑都相切，所以

I

到兩條半徑的距離都是

ρ

，

\overline{O I} = 2 ρ

，而且

\overline{O I}

與兩條半徑各夾

\frac{π}{4}

。內切圓又與大圓弧內切於

A

，所以

O

、

I

、

A

共線，

\overline{O I} = 2 - ρ

。由

2 ρ = 2 - ρ

得

ρ = \frac{2}{2 + 1} = 2 (2 - 1)

。

A B

弧在大圓上：

∠ A O B = \frac{π}{4}

，弧長

= 2 \times \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

。劣弧

A C

在內切圓上：

C

是切點，

\overline{I C}

垂直半徑

\overline{O B}

，直角三角形

O I C

中

∠ I O C = \frac{π}{4}

，所以

∠ O I C = \frac{π}{4}

；

A

在

\overline{O I}

的延長線上，

∠ A I C = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}

，弧長

= 2 (2 - 1) \times \frac{3 π}{4} = \frac{3 ( 2 - 1 )}{2} π

。兩弧長的和

= \frac{π}{2} + \frac{3 2 - 3}{2} π = \frac{3 2 - 2}{2} π

。

兩段弧在不同的圓上，半徑不同（

2

與

22 - 2

），圓心角也不同（

\frac{π}{4}

與

\frac{3 π}{4}

），要分開算。數值約

3.52

。

第 17 題疊合：

3 sin x - cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

。方程式變成

sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

。由

\frac{π}{2} < x < 2 π

得

\frac{π}{3} < x - \frac{π}{6} < \frac{11 π}{6}

；這個範圍內正弦值等於

\frac{3}{2}

的角只有

\frac{2 π}{3}

（

\frac{π}{3}

是端點，不含）。所以

x = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

。

檢查：

3 sin \frac{5 π}{6} - cos \frac{5 π}{6} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3

。

x = \frac{π}{2}

也滿足方程式，但不在題目給的範圍內。

第 18 題設

∠ A C B = θ

，則

∠ A B C = 3 θ

。

\overline{A B} = 9

是

∠ C

的對邊，

\overline{A C} = 15

是

∠ B

的對邊，由正弦定理

\frac{15}{sin 3 θ} = \frac{9}{sin θ}

，所以

\frac{sin 3 θ}{sin θ} = \frac{5}{3}

。用和角公式把

sin 3 θ

展開：

sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = 2 sin θ cos^{2} θ + cos 2 θ sin θ

。兩邊除以

sin θ

：

\frac{sin 3 θ}{sin θ} = 2 cos^{2} θ + cos 2 θ

。又

2 cos^{2} θ = 1 + cos 2 θ

，所以

\frac{sin 3 θ}{sin θ} = 1 + 2 cos 2 θ

。於是

1 + 2 cos 2 θ = \frac{5}{3}

，

cos 2 θ = \frac{1}{3}

。

檢查：

cos 2 θ = \frac{1}{3}

時

sin^{2} θ = \frac{1}{3}

，

θ

約

35. 3^{\circ}

，

3 θ

約

105. 8^{\circ}

，兩角的和小於

18 0^{\circ}

，三角形存在。

第 19 題展開：

2 sin (\frac{π}{6} - x) = 2 (\frac{1}{2} cos x - \frac{3}{2} sin x) = cos x - 3 sin x

。所以

f (x) = cos x - 3 sin x - 2 cos x + 3 = - (3 sin x + cos x) + 3 = - 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 3

。由

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2}

得

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{2 π}{3}

，這一段的正弦值最大是

1

（角為

\frac{π}{2}

），最小是

\frac{3}{2}

（兩個端點）。所以

m = - 2 \times 1 + 3 = 1

，

M = - 2 \times \frac{3}{2} + 3 = 3 - 3

。

M + m = 4 - 3

。

有限制範圍時不能直接用

- 1 \leq sin \leq 1

；先求出

x + \frac{π}{6}

的範圍，再看這一段的正弦值。前面有負號，正弦值最小時

f (x)

最大。

第 20 題左邊疊合：

3 sin A + cos A = 2 (\frac{3}{2} sin A + \frac{1}{2} cos A) = 2 sin (A + 3 0^{\circ})

。右邊：

201 7^{\circ} = 5 \times 36 0^{\circ} + 21 7^{\circ}

，

cos 201 7^{\circ} = cos 21 7^{\circ} = - cos 3 7^{\circ} = - sin 5 3^{\circ}

。方程式變成

sin (A + 3 0^{\circ}) = - sin 5 3^{\circ}

。由

10 8^{\circ} < A < 27 0^{\circ}

得

13 8^{\circ} < A + 3 0^{\circ} < 30 0^{\circ}

。正弦值是負的，角在第三或第四象限：

18 0^{\circ} + 5 3^{\circ} = 23 3^{\circ}

或

36 0^{\circ} - 5 3^{\circ} = 30 7^{\circ}

；只有

23 3^{\circ}

在範圍內。所以

A = 23 3^{\circ} - 3 0^{\circ} = 20 3^{\circ}

，

m = 203

。

檢查：

2 sin 23 3^{\circ} = - 2 sin 5 3^{\circ} = - 2 cos 3 7^{\circ} = 2 cos 21 7^{\circ}

。

30 7^{\circ}

對應

A = 27 7^{\circ}

，超出範圍。

看到

a sin x + b cos x

就先疊合成單一正弦；題目給了角的範圍，要先換成疊合後那個角的範圍，再決定極值或解。

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最容易錯的是多選第 6 題（先平移再取絕對值的那個函數週期不會減半）、選填 I（本頁第 16 題，兩段弧在不同的圓上，半徑與圓心角要分開算）、選填 L（本頁第 19 題，限制範圍下要先求疊合後那個角的範圍）、選填 K（本頁第 18 題，用和角公式把三倍角展開後再配正弦定理）。詳解逐題寫在本頁。

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平鎮高中 111 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～4 題）：弧度角的餘弦比大小、二倍角、化簡後比大小、疊合求最大值

02多重選擇題（第 5～7 題）：餘弦不等式、週期、正弦型函數的性質

03選填 A～D（第 8～11 題）：扇形、差角公式、鐘面上的扇形、特殊角

04選填 E～H（第 12～15 題）：展開後疊合、通分化簡、解方程式的個數、疊合求最小值

05選填 I～M（第 16～20 題）：內切圓的弧長、疊合解方程式、三倍角、指定範圍的極值、解角度

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平鎮高中 111 上
高二第一次段考
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