平鎮高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (1)。三條直線的斜率：$2x-3y=a$ 為 $\frac{2}{3}$，$3x-y=b$ 為 $3$，$x+2y=c$ 為 $-\frac{1}{2}$。由圖，鋪色三角形的下方頂點是斜率 $3$ 與斜率 $\frac{2}{3}$ 兩線的交點，往上走時斜率 $3$ 的直線較陡、在左邊，所以三角形夾在斜率 $3$ 的直線右側、斜率 $\frac{2}{3}$ 的直線左上側，並在斜率 $-\frac{1}{2}$ 的直線下方。

逐條判斷正負號：在 $3x-y=b$ 的右側，$x$ 變大使 $3x-y$ 變大，所以 $3x-y-b\ge 0$；在 $2x-3y=a$ 的上方，$y$ 變大使 $2x-3y$ 變小，所以 $2x-3y-a\le 0$；在 $x+2y=c$ 的下方，$y$ 變小使 $x+2y$ 變小，所以 $x+2y-c\le 0$。三者合起來是選項 (1)。

答案 (2)。圖形為圓，$x^2$ 與 $y^2$ 的係數要相等且不為 $0$：$a^2=5a-6$，$a^2-5a+6=0$，$a=2$ 或 $3$。

$a=2$：$4x^2+4y^2+8x-8y+8=0$，即 $x^2+y^2+2x-2y+2=0$，配方得 $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=0$，只是一個點，不是圓。

$a=3$：$9x^2+9y^2+12x-12y+7=0$，即 $x^2+y^2+\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}y+\frac{7}{9}=0$，配方得 ${\left(x+\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(y-\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{8}{9}-\frac{7}{9}=\frac{1}{9}>0$，是圓。

所以只有 $a=3$，總和為 $3$。

答案 (4)。三角形內部（不含邊）就是 $x>0$、$y>0$、$x+y<1$ 同時成立。

(1) 在三角形內 $xy>0$、$x+y-1<0$，乘積為負，不成立。(2) 範圍太大：例如 $(-1,-1)$ 使 $xy=1$、$x+y-1=-3$，乘積 $-3<0$，但它不在三角形內。(3) 與 (1) 同理，三角形內的值為負。(4) $\sqrt{x}\sqrt{y}$ 要有意義須 $x\ge 0$、$y\ge 0$；乘積小於 $0$ 時 $\sqrt{x}\sqrt{y}\ne 0$，所以 $x>0$、$y>0$，再由 $x+y-1<0$，正好是三角形內部。(5) 取三角形內的 $(0.3,0.3)$：$\sqrt{0.3}+\sqrt{0.3}-1\approx 0.095>0$，不滿足，所以解集合不是這個三角形。

答案 (1)。由 $x=2a-b+2$、$y=a+b-3$ 解出 $a$、$b$：相加得 $x+y=3a-1$，所以 $a=\frac{x+y+1}{3}$；$x-2y=-3b+8$，所以 $b=\frac{8-x+2y}{3}$。

$0\le a\le 2$ 化成 $-1\le x+y\le 5$；$2\le b\le 4$ 化成 $-2\le 2y-x\le 4$。這是兩組平行線夾出的平行四邊形，四個頂點對應 $(a,b)$ 的四個角落：$(0,2)\to (0,-1)$，$(2,2)\to (4,1)$，$(2,4)\to (2,3)$，$(0,4)\to (-2,1)$。

用外接長方形扣掉四個角的直角三角形：長方形 $x$ 從 $-2$ 到 $4$、$y$ 從 $-1$ 到 $3$，面積 $6\times 4=24$；四個角的三角形面積分別為 $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$、$\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$、$\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$、$\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$，共 $12$。所求面積 $24-12=12$。

答案 (3)(4)(5)。正六邊形的邊長設為 $1$，由圖 $F$ 在原點、$E$ 在 $x$ 軸負向，$B$ 在 $F$ 正上方：$F(0,0)$、$A\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$B(0,\sqrt{3})$、$C(-1,\sqrt{3})$、$D\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$E(-1,0)$。斜率：$m_1=\frac{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{0-\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}$，$m_2=0$，$m_3=\sqrt{3}$，$m_4=-\sqrt{3}$，$m_5=0$，$m_6=\sqrt{3}$。

(1) 錯誤。 最大的是 $m_3=m_6=\sqrt{3}$，$m_1=-\sqrt{3}$ 是最小。(2) 錯誤。 $m_2=0$ 不是最小。(3) 正確。 $\overline{AB}\parallel \overline{DE}$，$m_1=m_4=-\sqrt{3}$。(4) 正確。 $m_4=-\sqrt{3}<0$。(5) 正確。 $m_2=m_5=0$，乘積為 $0$。

答案 (2)(3)(5)。

(1) 錯誤。 平方和為 $0$ 只有 $x=1$、$y=2$，圖形是一個點。(2) 正確。 圓心 $(-1,-1)$、半徑 $7$。(3) 正確。 配方 $(x+2{)}^2+(y+2{)}^2=8>0$，是圓。(4) 錯誤。 配方 $(x+2{)}^2+(y+2{)}^2=8-9=-1<0$，沒有圖形。(5) 正確。 展開 $x^2-4x+3+y^2-2y-8=0$，配方 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4+1+5=10>0$，是圓。

答案 (1)(2)(4)(5)。圓心 $O(0,0)$、半徑 $2$。

(1) 正確。 直線與圓相交（含相切），圓心到直線的距離小於或等於半徑 $2$。(2) 正確。 原點到 $y=2$ 的距離是 $2$，等於半徑，相切。(3) 錯誤。 例如 $x$ 軸通過圓上的點 $(2,0)$，但它與圓交於 $(2,0)$、$(-2,0)$ 兩點，不是切線。(4) 正確。 $2^2+3^2=13>4$，$(2,3)$ 在圓外，圓外一點恰可作兩條切線。(5) 正確。 $1^2+1^2=2<4$，$(1,1)$ 在圓內，過圓內一點的直線都與圓交於兩點。

答案 (2)(3)(4)。由圖，$L_3$ 往右上升且比 $y=x$ 平緩，$0<m_3<1$；$L_1$、$L_2$ 往右下降，$L_2$ 比 $L_1$ 陡，所以 $m_2<m_1<0$。$L_1\perp L_3$ 得 $m_1{m}_3=-1$；$L_3\parallel L_4$ 得 $m_4=m_3$。

(1) 錯誤。 $m_2<m_1$，不是 $m_2>m_1$。(2) 正確。 $m_1{m}_4=m_1{m}_3=-1$。(3) 正確。 $m_1=-\frac{1}{m_3}$，而 $0<m_3<1$，所以 $\frac{1}{m_3}>1$，$m_1<-1$。(4) 正確。 $m_2<m_1$ 且 $m_3>0$，所以 $m_2{m}_3<m_1{m}_3=-1$。(5) 錯誤。 由圖，$L_4$ 與 $x$ 軸交在原點右方，斜率為正，所以與 $y$ 軸交在原點下方，$c<0$。

答案 (1)(3)(4)。$bc>0$ 所以 $b\ne 0$，直線可寫成 $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$。$ac<0$ 表示 $a$、$c$ 異號，$bc>0$ 表示 $b$、$c$ 同號，所以 $a$、$b$ 異號，斜率 $-\frac{a}{b}>0$；$y$ 截距 $-\frac{c}{b}<0$。斜率為正、$y$ 截距為負的直線經過第一、三、四象限，不過第二象限；$c\ne 0$，不過原點。

(1) 正確。 (2) 錯誤。 (3) 正確。 (4) 正確。 (5) 錯誤。

答案 (2)(3)(4)。甲：$-1\le x+y\le 2$，是兩平行線 $x+y=-1$ 與 $x+y=2$ 之間（含邊界）的帶狀區域，即圖(b)。乙：兩個因式乘積不大於 $0$，表示 $x+y+1$ 與 $x+y-2$ 一個不小於 $0$、一個不大於 $0$；由於 $x+y+1>x+y-2$，只能是 $x+y+1\ge 0$ 且 $x+y-2\le 0$，與甲相同，也是圖(b)。圖(a) 是帶狀區域的外側，不是甲。

丙：兩條邊界線 $x-y+2=0$（過 $(-2,0)$、$(0,2)$）與 $x+2y-2=0$（過 $(2,0)$、$(0,1)$）把平面分成四塊，丙是兩個因式異號（或為 $0$）的兩塊。代入原點：$(0-0+2)(0+0-2)=-4\le 0$，原點所在的下方那塊符合；與它隔著交點相對的上方那塊，兩個因式都變號，也符合。圖(c) 鋪色的正是上、下兩塊，圖(d) 是左、右兩塊。

(1) 錯誤。 (2) 正確。 (3) 正確。 (4) 正確。 (5) 錯誤。

答案 (5)。$m$ 為整數，$3m+4\ne 0$，兩條直線都不是鉛直線。$L_1$ 斜率 $-\frac{2m+1}{2}$，$L_2$ 斜率 $-\frac{3m+5}{3m+4}$。垂直時斜率乘積為 $-1$：$\frac{(2m+1)(3m+5)}{2(3m+4)}=-1$，即 $(2m+1)(3m+5)+2(3m+4)=0$，展開 $6m^2+13m+5+6m+8=0$，$6m^2+19m+13=0$，$(6m+13)(m+1)=0$，$m=-\frac{13}{6}$ 或 $m=-1$。題目說 $m$ 為整數，所以 $m=-1$。

(1) 錯誤。 $-\frac{13}{6}$ 不是整數。(2)(3)(4) 錯誤。 代入不滿足垂直條件。(5) 正確。

答案 (2)(3)。

(1) 錯誤。 $(1,-2)$ 到 $(3,4)$ 的斜率 $\frac{6}{2}=3$，$(3,4)$ 到 $(5,10)$ 的斜率 $\frac{6}{2}=3$，三點共線，沒有圓同時通過。(2) 正確。 直徑兩端點決定圓心（中點）與半徑，圓唯一。(3) 正確。 過 $O$、$A$、$B$ 的圓設為 $x^2+y^2+dx+ey+f=0$，代入得 $f=0$、$d=-1$、$e=-1$，即 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$。代入 $C$：${\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\right)}^2={\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$，$C$ 也在圓上，四點共圓，恰決定一個圓。(4) 錯誤。 圓心 $(2,-1)$ 與 $x$ 軸相切要半徑 $1$，與 $y$ 軸相切要半徑 $2$，矛盾，沒有這樣的圓。(5) 錯誤。 與兩軸都相切的圓，圓心為 $(r,r)$、$(-r,r)$、$(-r,-r)$ 或 $(r,-r)$。例如圓心 $(r,-r)$：到 $x-y-1=0$ 的距離 $\frac{|2r-1|}{\sqrt{2}}=r$，得 $2r-1=\pm \sqrt{2}r$，$r=\frac{1}{2-\sqrt{2}}$ 或 $r=\frac{1}{2+\sqrt{2}}$，兩個都是正數，已經有兩個圓，不唯一。

答案 (5)。設圓心 $Q(h,k)$、半徑 $r$，$P(2,6)$。$(0,0)$ 在圓外：$\overline{QO}>r$；$P$ 在圓內：$\overline{QP}<r$。所以 $\overline{QP}<r<\overline{QO}$，可以找到這樣的 $r$ 的條件是 $\overline{QP}<\overline{QO}$，也就是 $Q$ 比較靠近 $P$，在 $\overline{OP}$ 中垂線靠 $P$ 的那一側。$\overline{OP}$ 中點 $(1,3)$，中垂線 $x+3y=10$，條件是 $h+3k>10$。

(1) 錯誤。 取 $Q(-1,5)$：$-1+15=14>10$，$\overline{QP}=\sqrt{10}$、$\overline{QO}=\sqrt{26}$，取 $r=4$ 即可，圓心在第二象限。(2) 錯誤。 第三象限 $h<0$、$k<0$，$h+3k<0$，不可能。(3) 錯誤。 取 $Q(20,20)$：$\overline{QP}=\sqrt{520}$、$\overline{QO}=\sqrt{800}$，取 $r=25>10$ 即可。(4) 錯誤。 圓心在 $x$ 軸上 $k=0$，條件變成 $h>10$，$x$ 坐標必定大於 $10$。(5) 正確。 第四象限 $h>0$、$k<0$，由 $h+3k>10$ 得 $h>10-3k>10$。於是 $h-2>8$、$6-k>6$，$r>\overline{QP}=\sqrt{(h-2{)}^2+(k-6{)}^2}>\sqrt{8^2+6^2}=10$。

答案 (3)(4)(5)。$L_1$ 是斜率 $2$ 的 $y=2x+d$，由圖它與 $x$ 軸交在原點左方，所以與 $y$ 軸交在原點上方，$d>0$。$L_2$ 是 $ax+by=c$。原點在鋪色區域內部，代入 $0\le c$，又原點不在 $L_2$ 上，所以 $c>0$。由圖 $L_2$ 往右下降，且與 $y$ 軸交在原點下方：$b\ne 0$，$y$ 截距 $\frac{c}{b}<0$，所以 $b<0$；斜率 $-\frac{a}{b}<0$，$a$ 與 $b$ 同號，$a<0$。

(1) 錯誤。 $a<0$。(2) 錯誤。 $b<0$。(3) 正確。 $c>0$。(4) 正確。 $d>0$。(5) 正確。 $ab>0$、$cd>0$，$abcd>0$。