段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式）

平鎮高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

單選題 12 題（每題 5 分，共 60 分）、多選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、選填題 5 題（每題 3 分，共 15 分）。原卷選填題號 A～E，本頁編為第 18～22 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，22 題全部一致。

單選題 12 題（每題 5 分）

求

cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} =

？

(1) $\frac{3}{2}$
(2) $\frac{1}{2}$
(3) $\frac{2}{2}$
(4) $1$
(5) $- \frac{3}{2}$

5 7^{\circ}

等於多少弧度？

(1) $1$ 弳
(2) $π$ 弳
(3) $\frac{19 π}{60}$ 弳
(4) $\frac{180}{π}$ 弳

設

a = sin 1

，

b = sin 2

，

c = sin 3

，

d = sin 4

，

e = sin 5

，則

a

，

b

，

c

，

d

，

e

的大小順序為何？

(1) $e > d > c > b > a$
(2) $b > a > c > d > e$
(3) $b > a > c > e > d$
(4) $c > b > a > d > e$
(5) 以上皆非

若

- 18 0^{\circ} < θ < 0^{\circ}

，

\frac{tan θ - tan 3 2 ^{\circ}}{1 + tan θ tan 3 2 ^{\circ}} = 1

，則

θ =

？

(1) $- 1 3^{\circ}$
(2) $- 7 7^{\circ}$
(3) $- 9 0^{\circ}$
(4) $- 10 3^{\circ}$
(5) $- 13 5^{\circ}$

△ A B C

中，

tan A = \frac{1}{7}

，

cos B = \frac{4}{5}

，則

∠ C

為下列何者？

(1) $\frac{π}{6}$
(2) $\frac{π}{4}$
(3) $\frac{2 π}{3}$
(4) $\frac{3 π}{4}$
(5) $\frac{5 π}{6}$

設

27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

，化簡

1 + sin θ - 1 - sin θ =

？

(1) $- 2 sin \frac{θ}{2}$
(2) $2 cos \frac{θ}{2}$
(3) $2$
(4) $- 2 cos \frac{θ}{2}$
(5) $2 sin \frac{θ}{2}$

半徑為

10

的扇形區域，其面積為

5 π

，則此扇形之弧長為何？

(1) $2 π$
(2) $π$
(3) $\frac{3 π}{2}$
(4) $\frac{π}{2}$

tan 19 5^{\circ} =

(1) $- 2 - 3$
(2) $- 2 + 3$
(3) $2 - 3$
(4) $2 - 1$
(5) $2 + 3$

sin θ

為方程式

6 x^{2} - 7 x - 5 = 0

之一解，求

cos 2 θ

之值為何？

(1) $- \frac{7}{25}$
(2) $\frac{7}{25}$
(3) $- \frac{8}{9}$
(4) $\frac{1}{2}$
(5) $\frac{3}{2}$

在

△ A B C

中，

\overline{A B} = 5

，

cos A = \frac{3}{5}

，

tan B = 7

，求

△ A B C

外接圓的半徑

=

？

(1) $\frac{5 3}{2}$
(2) $2$
(3) $\frac{3 3}{2}$
(4) $4$
(5) $\frac{5 2}{2}$

已知

tan θ = \frac{1}{2}

，則

cos 4 θ =

(1) $- 1$
(2) $- \frac{16}{25}$
(3) $- \frac{1}{2}$
(4) $- \frac{7}{25}$
(5) $- \frac{1}{5}$

將一個半徑為

10

，圓心角為

25 2^{\circ}

的扇形（如圖）的兩直邊對齊黏合，可形成下列哪個圓錐？（卷面的五個選項是五個圓錐的圖，圖上標的數字寫在各選項）

(1) 圖 (1) 的圓錐：母線旁標 $10$ ，底面半徑標 $6$
(2) 圖 (2) 的圓錐：高旁標 $10$ ，底面半徑標 $6$
(3) 圖 (3) 的圓錐：母線旁標 $10$ ，底面半徑標 $7$
(4) 圖 (4) 的圓錐：高旁標 $10$ ，底面半徑標 $7$
(5) 圖 (5) 的圓錐：高旁標 $10$ ，底面半徑標 $8$

載入中...

多選題 5 題（每題 5 分）全對 5 分，錯 1 選項 3 分，錯 2 選項 1 分，其餘 0 分

若

a = cos^{2} 3 5^{\circ} - sin^{2} 3 5^{\circ}

，

b = 2 cos^{2} 4 0^{\circ} - 1

，

c = 2 sin^{2} 7 0^{\circ} - 1

，

d = \frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}}

，則下列何者為真？

(1) $a$ 最大
(2) $c < 0$
(3) $d > c$
(4) $a > b$
(5) $a > d$

若

9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}

，且

sin θ + cos θ = \frac{1}{5}

，則下列何者為真？

(1) $cos θ = - \frac{3}{5}$
(2) $cos 2 θ = \frac{7}{25}$
(3) $sin 2 θ = - \frac{24}{25}$
(4) $sin \frac{θ}{2} = \frac{1}{5}$
(5) $tan \frac{θ}{2} = 2$

下列各函數哪些週期是

π

？

(1) $y = sin \frac{x}{2}$
(2) $y = sin x cos x$
(3) $y = ∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣$
(4) $y = ∣ tan x ∣$
(5) $y = 2 cos^{2} x$

若

22 5^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

，

tan θ = \frac{4}{3}

，則下列敘述何者正確？

(1) $sin 2 θ > 0$
(2) $tan \frac{θ}{2} = - 2$
(3) $sin θ < cos θ$
(4) $cos (45 0^{\circ} - θ) = sin (- θ)$
(5) $sin θ > cos θ$

關於函數

y = 3 sin (2 x - \frac{π}{4}) - 1

的敘述，下列選項哪些正確？

(1) 週期為 $2 π$
(2) 振幅為 $3$
(3) 圖形為以 $y = 3 sin 2 x - 1$ 的圖形向右平移 $\frac{π}{4}$ 而得
(4) 最大值為 $2$
(5) 最小值為 $- 1$

選填題 5 題（每題 3 分）

設

- π \leq x \leq 2 π

，求函數

y = 3 sin (2 x + \frac{π}{3})

的圖形與

x

軸有 ____ 個交點。（原卷畫卡格的答案形式為

□

）

試求方程式

sin 4 x = \frac{x}{2 π}

的實數解個數有 ____ 個？（原卷畫卡格的答案形式為

□□

）

如圖中，

\overline{A B} = 20

，以

\overline{A B}

為直徑作半圓，

C

為弧

A B

之中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則陰影部分的面積為 ____？（原卷畫卡格的答案形式為

□□ π - □□□

）

載入中...

設

ω > 0

，函數

y = sin (ω x + \frac{π}{3}) + 2

的圖形向右平移

\frac{4 π}{3}

單位後與原圖形重合，則

ω

的最小值為 ____。（原卷畫卡格的答案形式為

\frac{□}{□}

）

小綠設計了一款新式的帆船的帆（如下圖），它是由

3

個直角三角形所組成（

∠ B = ∠ D = ∠ F = 9 0^{\circ}

），其中

\overline{A B} = 3

，

\overline{B C} = 1

，

\overline{A D} = 5

，

\overline{D E} = 1

，

\overline{A F} = 7

，

\overline{F G} = 1

，則此帆的高度為 ____。（即

G

到直線

A B

距離）（原卷畫卡格的答案形式為

\frac{□ □□}{□□}

）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(4)

第 6 題(1)

第 7 題(2)

第 8 題(3)

第 9 題(4)

第 10 題(5)

第 11 題(4)

第 12 題(3)

第 13 題(3)(4)

第 14 題(1)(3)(5)

第 15 題(2)(4)(5)

第 16 題(1)(2)(3)

第 17 題(2)(4)

第 18 題

6

第 19 題

15

第 20 題

50 π - 100

第 21 題

\frac{3}{2}

第 22 題

\frac{7 65}{13}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：餘弦的差角、度與弧度、弧度的正弦值、正切的差角

第 1 題答案 (2)。這是餘弦差角公式

cos α cos β + sin α sin β = cos (α - β)

的形式，

α = 8 0^{\circ}

、

β = 2 0^{\circ}

，所以原式

= cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。

第 2 題答案 (3)。

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，

5 7^{\circ} = 57 \times \frac{π}{180} = \frac{19 π}{60}

弳。

\frac{19 π}{60} \approx 0.995

，很接近

1

但不等於

1

；

1

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

。

第 3 題答案 (2)。

π \approx 3.14

，

\frac{π}{2} \approx 1.57

。

1

、

2

、

3

都介於

0

與

π

之間，正弦為正；用

sin (π - x) = sin x

把角都換到

0

與

\frac{π}{2}

之間：

b = sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

c = sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。正弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，而

0.14 < 1 < 1.14

，所以

c < a < b

。

4

、

5

介於

π

與

2 π

之間，正弦為負：

d = sin 4 = - sin (4 - π) \approx - sin 0.86

，

e = sin 5 = - sin (2 π - 5) \approx - sin 1.28

。因為

sin 0.86 < sin 1.28

，所以

d > e

。合起來

b > a > c > 0 > d > e

。

數值約為

a \approx 0.84

、

b \approx 0.91

、

c \approx 0.14

、

d \approx - 0.76

、

e \approx - 0.96

。這裡的

1

、

2

、…、

5

沒有度的符號，是弧度。

第 4 題答案 (4)。左式是正切差角公式

tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β}

的形式，所以

tan (θ - 3 2^{\circ}) = 1

。由

- 18 0^{\circ} < θ < 0^{\circ}

得

- 21 2^{\circ} < θ - 3 2^{\circ} < - 3 2^{\circ}

；正切等於

1

的角是

4 5^{\circ}

加減

18 0^{\circ}

的整數倍，在這個範圍內只有

- 13 5^{\circ}

。所以

θ - 3 2^{\circ} = - 13 5^{\circ}

，

θ = - 10 3^{\circ}

。

若取

θ - 3 2^{\circ} = 4 5^{\circ}

會得到

θ = 7 7^{\circ}

，不在題目給的範圍內；選項 (2) 的

- 7 7^{\circ}

是只差一個負號的誘答。

02單選題（第 5～8 題）：三角形的內角、根號的化簡、扇形、tan 195°

第 5 題答案 (4)。

cos B = \frac{4}{5} > 0

，

B

是銳角，

sin B = \frac{3}{5}

，

tan B = \frac{3}{4}

。

tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} \times \frac{3}{4}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1

A

、

B

都是銳角，

0 < A + B < π

，所以

A + B = \frac{π}{4}

，

∠ C = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}

。

\frac{π}{4}

是

A + B

，不是

∠ C

；選項 (2) 是忘了用內角和去減。

第 6 題答案 (1)。用

1 = sin^{2} \frac{θ}{2} + cos^{2} \frac{θ}{2}

與

sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}

：

1 + sin θ = (sin \frac{θ}{2} + cos \frac{θ}{2})^{2}, 1 - sin θ = (sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2})^{2}

所以原式

= sin \frac{θ}{2} + cos \frac{θ}{2} - sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2}

。由

27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

得

13 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 18 0^{\circ}

：此時

sin \frac{θ}{2} > 0

、

cos \frac{θ}{2} < 0

，而且過了

13 5^{\circ}

之後餘弦的絕對值比正弦大，所以

sin \frac{θ}{2} + cos \frac{θ}{2} < 0

，

sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2} > 0

。去掉絕對值：

- (sin \frac{θ}{2} + cos \frac{θ}{2}) - (sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2}) = - 2 sin \frac{θ}{2}

檢查：取

θ = 30 0^{\circ}

，

1 - \frac{3}{2} - 1 + \frac{3}{2} \approx 0.366 - 1.366 = - 1

，而

- 2 sin 15 0^{\circ} = - 1

，相符。原式在這個範圍內是負的，(3)、(4)、(5) 都是正的，可以先排除；剩下 (1)、(2) 再代

θ = 30 0^{\circ}

：(2)

= 2 cos 15 0^{\circ} = - 3 \neq = - 1

。

第 7 題答案 (2)。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，所以

5 π = \frac{1}{2} \times 10 \times s

，弧長

s = π

。

也可以先求圓心角：

\frac{1}{2} \times 1 0^{2} \times θ = 5 π

，

θ = \frac{π}{10}

，弧長

= 10 \times \frac{π}{10} = π

。

第 8 題答案 (3)。正切的週期是

18 0^{\circ}

，

tan 19 5^{\circ} = tan 1 5^{\circ}

。再用差角公式：

tan 1 5^{\circ} = tan (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{2} = 2 - 3

19 5^{\circ}

在第三象限，正切為正，而且

tan 1 5^{\circ} < tan 4 5^{\circ} = 1

，所以答案是小於

1

的正數；(1)、(2) 是負的，(5) 大於

1

（那是

tan 7 5^{\circ}

）。

03單選題（第 9～12 題）：二倍角、外接圓半徑、四倍角、扇形捲成圓錐

第 9 題答案 (4)。

6 x^{2} - 7 x - 5 = (2 x + 1) (3 x - 5) = 0

，

x = - \frac{1}{2}

或

\frac{5}{3}

。正弦值介於

- 1

與

1

之間，

\frac{5}{3}

不合，所以

sin θ = - \frac{1}{2}

。

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

。

第 10 題答案 (5)。

cos A = \frac{3}{5}

，

A

是銳角，

sin A = \frac{4}{5}

，

tan A = \frac{4}{3}

。

tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = \frac{\frac{4}{3} + 7}{1 - \frac{4}{3} \times 7} = \frac{\frac{25}{3}}{- \frac{25}{3}} = - 1

0^{\circ} < A + B < 18 0^{\circ}

，所以

A + B = 13 5^{\circ}

，

∠ C = 4 5^{\circ}

。

\overline{A B}

是

∠ C

的對邊，由正弦定理

\frac{A B}{sin C} = 2 R

，得

R = \frac{5}{2 sin 4 5 ^{\circ}} = \frac{5}{2} = \frac{5 2}{2}

。

正弦定理要用「邊」和「它的對角」配對：

\overline{A B}

對的是

∠ C

，所以要先求出

∠ C

。

第 11 題答案 (4)。先求

cos 2 θ

：由

tan θ = \frac{1}{2}

，

\frac{sin ^{2} θ}{cos ^{2} θ} = \frac{1}{4}

，配合

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

得

cos^{2} θ = \frac{4}{5}

，所以

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{3}{5}

。再用一次二倍角公式：

cos 4 θ = 2 cos^{2} 2 θ - 1 = 2 \times \frac{9}{25} - 1 = - \frac{7}{25}

。

不論

θ

在第一或第三象限，

cos^{2} θ

都是

\frac{4}{5}

，答案相同。

第 12 題答案 (3)。黏合之後，扇形的半徑變成圓錐的母線，所以母線長是

10

；扇形的弧變成圓錐底面的圓周。弧長

= 10 \times 252 \times \frac{π}{180} = 14 π

，底面圓周

2 π r = 14 π

，底面半徑

r = 7

。母線

10

、底面半徑

7

的是圖 (3)。

圖 (4) 的底面半徑也是

7

，但它的

10

標在高，母線會是

1 0^{2} + 7^{2} = 149

，不合。看清楚

10

標在斜的母線還是鉛直的高。

04多選題（第 13～15 題）：二倍角比大小、正弦加餘弦、週期

第 13 題答案 (3)(4)。先把四個數都化成一個三角函數值。

a = cos^{2} 3 5^{\circ} - sin^{2} 3 5^{\circ} = cos 7 0^{\circ}

。

b = 2 cos^{2} 4 0^{\circ} - 1 = cos 8 0^{\circ}

。

c = 2 sin^{2} 7 0^{\circ} - 1 = - (1 - 2 sin^{2} 7 0^{\circ}) = - cos 14 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ}

。

d = \frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}} = tan 5 0^{\circ}

。餘弦在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

遞減，所以

1 > cos 4 0^{\circ} > cos 7 0^{\circ} > cos 8 0^{\circ} > 0

；又

tan 5 0^{\circ} > tan 4 5^{\circ} = 1

。四個數的大小是

d > c > a > b

。(1) 錯：最大的是

d

。(2) 錯：

c = cos 4 0^{\circ} > 0

。(3) 對：

d > 1 > c

。(4) 對：

cos 7 0^{\circ} > cos 8 0^{\circ}

。(5) 錯：

a < 1 < d

。

數值約為

a \approx 0.34

、

b \approx 0.17

、

c \approx 0.77

、

d \approx 1.19

。

c

的式子和

1 - 2 sin^{2} θ

差一個負號，別直接寫成

cos 14 0^{\circ}

。

第 14 題答案 (1)(3)(5)。兩邊平方：

1 + 2 sin θ cos θ = \frac{1}{25}

，所以

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = - \frac{24}{25}

，(3) 對。

sin θ

、

cos θ

的和是

\frac{1}{5}

、積是

- \frac{12}{25}

，它們是

25 t^{2} - 5 t - 12 = 0

的兩根，

(5 t - 4) (5 t + 3) = 0

，

t = \frac{4}{5}

或

- \frac{3}{5}

。

θ

在第二象限，正弦為正、餘弦為負，所以

sin θ = \frac{4}{5}

、

cos θ = - \frac{3}{5}

，(1) 對。

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{18}{25} - 1 = - \frac{7}{25}

，(2) 錯（差一個負號）。

4 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 9 0^{\circ}

，正弦、餘弦都為正：

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{4}{5}

，

sin \frac{θ}{2} = \frac{2}{5}

，(4) 錯。

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{5}

，

cos \frac{θ}{2} = \frac{1}{5}

，所以

tan \frac{θ}{2} = 2

，(5) 對。

選項 (4) 的

\frac{1}{5}

是

cos \frac{θ}{2}

的值。

第 15 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：

y = sin \frac{x}{2}

的週期是

2 π \div \frac{1}{2} = 4 π

。(2) 對：

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(3) 錯：把

x

換成

x + \frac{π}{2}

，

sin (x + \frac{π}{2}) + cos (x + \frac{π}{2}) = ∣ cos x ∣ + ∣ sin x ∣

，函數值不變，所以每隔

\frac{π}{2}

圖形就重複一次，週期是

\frac{π}{2}

，不是

π

。(4) 對：

tan x

的週期是

π

，取絕對值只是把

x

軸下方的部分翻到上方，圖形仍然每隔

π

重複一次，而且它只在

x

是

π

的整數倍時等於

0

，不會更短。(5) 對：

2 cos^{2} x = 1 + cos 2 x

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。

(3)：週期指的是讓圖形重複的最小正數。平移

π

也會讓 (3) 的圖形重合，但

\frac{π}{2}

更小。再確認

\frac{π}{2}

是最小的：

y^{2} = 1 + ∣ sin 2 x ∣

，在

0 < x < \frac{π}{2}

時

y > 1

，只有

x = 0

與

x = \frac{π}{2}

時

y = 1

，所以不會有比

\frac{π}{2}

更短的週期。

05多選題（第 16～17 題）：第三象限角、正弦型函數的圖形

第 16 題答案 (1)(2)(3)。

θ

在第三象限，正弦、餘弦都為負；由

tan θ = \frac{4}{3}

得

sin θ = - \frac{4}{5}

、

cos θ = - \frac{3}{5}

。(1) 對：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = \frac{24}{25} > 0

。(2) 對：

112. 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 13 5^{\circ}

，在第二象限，正弦為正、餘弦為負；

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{4}{5}

，

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{5}

，所以

sin \frac{θ}{2} = \frac{2}{5}

、

cos \frac{θ}{2} = - \frac{1}{5}

，

tan \frac{θ}{2} = - 2

。(3) 對、(5) 錯：

- \frac{4}{5} < - \frac{3}{5}

，即

sin θ < cos θ

。(4) 錯：

45 0^{\circ} - θ = 36 0^{\circ} + (9 0^{\circ} - θ)

，所以

cos (45 0^{\circ} - θ) = cos (9 0^{\circ} - θ) = sin θ = - \frac{4}{5}

；而

sin (- θ) = - sin θ = \frac{4}{5}

，兩者不相等。

(3) 與 (5) 恰好相反，不會同時成立。兩個負數比大小，絕對值大的反而小。

第 17 題答案 (2)(4)。(1) 錯：

x

的係數是

2

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(2) 對：振幅是

sin

前面的係數

3

。(3) 錯：

y = 3 sin (2 x - \frac{π}{4}) - 1 = 3 sin 2 (x - \frac{π}{8}) - 1

，是把

y = 3 sin 2 x - 1

的圖形向右平移

\frac{π}{8}

；若向右平移

\frac{π}{4}

，得到的是

y = 3 sin (2 x - \frac{π}{2}) - 1

。(4) 對、(5) 錯：

- 1 \leq sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq 1

，所以

- 4 \leq y \leq 2

，最大值

2

、最小值

- 4

。

平移量要先把

x

的係數提出來再看。(5) 的

- 1

是圖形上下振動的中心線

y = - 1

，不是最小值。

06選填 A～C（第 18～20 題）：與 x 軸的交點、數方程式的解、陰影面積

第 18 題與

x

軸的交點就是

sin (2 x + \frac{π}{3}) = 0

的解：

2 x + \frac{π}{3} = k π

（

k

為整數），

x = \frac{k π}{2} - \frac{π}{6}

。代入

- π \leq x \leq 2 π

：

- \frac{5 π}{6} \leq \frac{k π}{2} \leq \frac{13 π}{6}

，即

- \frac{5}{3} \leq k \leq \frac{13}{3}

，

k = - 1, 0, 1, 2, 3, 4

，共

6

個交點。

六個交點的

x

坐標是

- \frac{2 π}{3}

、

- \frac{π}{6}

、

\frac{π}{3}

、

\frac{5 π}{6}

、

\frac{4 π}{3}

、

\frac{11 π}{6}

。範圍長

3 π

，是

3

個週期，每個週期與

x

軸交

2

次；兩個端點都不是交點，所以恰好

6

個。

第 19 題數

y = sin 4 x

與直線

y = \frac{x}{2 π}

的交點。

x = 0

是一個解。正弦值不超過

1

，而直線在

x > 2 π

時高度大於

1

，所以正的解只可能在

0 < x \leq 2 π

。

y = sin 4 x

的週期是

\frac{π}{2}

，在

0

到

2 π

之間有

4

個週期，每個週期的前半段（長

\frac{π}{4}

）是一個在

x

軸上方的波峰，後半段在

x

軸下方；直線在

x > 0

時是正的，只會和波峰相交。第

1

個波峰（

0 < x < \frac{π}{4}

）：兩個圖形都從原點出發，到頂點

x = \frac{π}{8}

時正弦值是

1

、直線高度只有

\frac{1}{16}

，正弦曲線在直線上方；到

x = \frac{π}{4}

時正弦值落回

0

、在直線下方，所以除了原點之外交

1

點。第

2

、

3

、

4

個波峰：波峰兩端的高度是

0

，在直線下方；波峰頂點高度是

1

，而直線在這三個頂點

x = \frac{5 π}{8}

、

\frac{9 π}{8}

、

\frac{13 π}{8}

的高度分別是

\frac{5}{16}

、

\frac{9}{16}

、

\frac{13}{16}

，都小於

1

，直線從波峰中間穿過；波峰是向下彎的弧，和直線最多交

2

點，所以每個波峰各交

2

點。正的解共

1 + 2 + 2 + 2 = 7

個。兩個圖形都對稱於原點，負的解也有

7

個。合計

7 + 7 + 1 = 15

個。

別漏掉

x = 0

。端點

x = 2 π

不是解（正弦值

0

、直線高度

1

）。第

1

個波峰因為和直線共用原點，只多出

1

個交點，不是

2

個。

第 20 題設

O

是

\overline{A B}

的中點（半圓的圓心），半圓半徑

10

。

C

是弧

A B

的中點，所以

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

，

△ O B C

是等腰直角三角形，

∠ A B C = 4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

，

\overline{B C} = 102 < 20

，

D

在

\overline{B C}

往

C

那一側的延長線上。陰影有兩塊。右邊那塊是半圓上弦

\overline{B C}

與弧

B C

之間的弓形：扇形

O B C

減

△ O B C

= \frac{1}{4} \times π \times 1 0^{2} - \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 25 π - 50

。左邊那塊是扇形

B A D

（圓心

B

、半徑

20

、圓心角

\frac{π}{4}

）去掉半圓落在

\overline{B C}

下方的部分。扇形

B A D

的面積

= \frac{1}{2} \times 2 0^{2} \times \frac{π}{4} = 50 π

。半圓在

\overline{B C}

下方的部分

=

扇形

O A C

加

△ O B C

= 25 π + 50

。所以左邊那塊

= 50 π - (25 π + 50) = 25 π - 50

。陰影面積

= (25 π - 50) + (25 π - 50) = 50 π - 100

。

兩塊陰影的面積恰好相等，都是

25 π - 50

。也可以這樣看：陰影

=

扇形

B A D

+

半圓

- 2 \times

（半圓在

\overline{B C}

下方的部分）

= 50 π + 50 π - 2 (25 π + 50) = 50 π - 100

。

07選填 D～E（第 21～22 題）：平移後重合、三個直角三角形疊成的帆

第 21 題向右平移

\frac{4 π}{3}

後的函數是

y = sin (ω (x - \frac{4 π}{3}) + \frac{π}{3}) + 2 = sin (ω x + \frac{π}{3} - \frac{4 π ω}{3}) + 2

。要和原圖形重合，角度必須只差

2 π

的整數倍：

\frac{4 π ω}{3} = 2 k π

，

ω = \frac{3 k}{2}

。

ω > 0

，所以

k

是正整數，最小值在

k = 1

，

ω = \frac{3}{2}

。

換個說法：平移量

\frac{4 π}{3}

必須是週期

\frac{2 π}{ω}

的正整數倍。

ω

最小就是週期最大，也就是平移量剛好等於一個週期：

\frac{2 π}{ω} = \frac{4 π}{3}

。

第 22 題設

∠ B A C = α

、

∠ D A E = β

、

∠ F A G = γ

。三個直角三角形的直角分別在

B

、

D

、

F

，所以

tan α = \frac{B C}{A B} = \frac{1}{3}

，

tan β = \frac{D E}{A D} = \frac{1}{5}

，

tan γ = \frac{F G}{A F} = \frac{1}{7}

。由圖，

D

在射線

A C

上、

F

在射線

A E

上，三個角依序相疊，所以

∠ B A G = α + β + γ

。

tan (α + β) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}} = \frac{\frac{8}{15}}{\frac{14}{15}} = \frac{4}{7}

tan (α + β + γ) = \frac{\frac{4}{7} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{4}{7} \times \frac{1}{7}} = \frac{\frac{5}{7}}{\frac{45}{49}} = \frac{7}{9}

∠ B A G

是銳角，由

tan ∠ B A G = \frac{7}{9}

得

sin ∠ B A G = \frac{7}{7 ^{2} + 9 ^{2}} = \frac{7}{130}

。又

\overline{A G} = 7^{2} + 1^{2} = 52

。

G

到直線

A B

的距離

= \overline{A G} sin ∠ B A G = 52 \times \frac{7}{130} = \frac{35}{65} = \frac{7 65}{13}

。

\frac{7 65}{13} \approx 4.34

。高度不是三個

1

相加：三條短邊

\overline{B C}

、

\overline{D E}

、

\overline{F G}

的方向都不同，只有

\overline{B C}

垂直於

\overline{A B}

。附圖是示意圖，不是照實際比例畫的。

題目給了角的範圍或象限，就是要用來決定正負號與角的大小：先定出半角、二倍角或

A + B

落在哪裡，再代公式。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 6 題要把根號裡配成完全平方，再依半角所在的範圍去掉絕對值；多選第 15 題絕對值的和每隔二分之一個圓周率就重複一次，週期不是圓周率；多選第 17 題的平移量要先把 x 的係數提出來；選填 B（本頁第 19 題）數交點時別漏掉原點，第一個波峰只多一個交點；選填 E（本頁第 22 題）是三個角相加，連用兩次正切的和角公式。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自平鎮高中 110 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 110 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～4 題）：餘弦的差角、度與弧度、弧度的正弦值、正切的差角

02單選題（第 5～8 題）：三角形的內角、根號的化簡、扇形、tan 195°

03單選題（第 9～12 題）：二倍角、外接圓半徑、四倍角、扇形捲成圓錐

04多選題（第 13～15 題）：二倍角比大小、正弦加餘弦、週期

05多選題（第 16～17 題）：第三象限角、正弦型函數的圖形

06選填 A～C（第 18～20 題）：與 x 軸的交點、數方程式的解、陰影面積

07選填 D～E（第 21～22 題）：平移後重合、三個直角三角形疊成的帆

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