平鎮高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (5)。$x\to 0$ 時分母 $x\to 0$，而極限存在，所以分子也要趨近 $0$：$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$。多項式函數連續，$f(0)=0$。

於是 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)=3$。

切點 $(0,0)$、斜率 $3$，切線為 $y=3x$。逐一代入選項，只有 $(1,3)$ 滿足 $3=3\cdot 1$。

答案 (3)。直線 $x-y+1=0$ 即 $y=x+1$，斜率 $1$，且過 $P(1,2)$。

相切於 $P$ 有兩個條件。$P$ 在圖形上：$f(1)=1+a+b=2$，即 $a+b=1$。切線斜率等於導數：$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$，$f^{\prime }(1)=3+2a+b=1$，即 $2a+b=-2$。

兩式相減得 $a=-3$，$b=4$，所以 $(a,b)=(-3,4)$。

答案 (4)。$f(1)=1-1+2-1+1=2$；$f^{\prime }(x)=4x^3-3x^2+4x-1$，$f^{\prime }(1)=4-3+4-1=4$。

在 $x=1$ 附近用切線估計：

$$f(1.01)\approx f(1)+f^{\prime }(1)\times 0.01=2+4\times 0.01=2.04$$

答案 (4)。$f(x)$ 的圖形過 $(0,0)$、$(1,1)$，$f(x)=x$，$f(1)=1$，$f^{\prime }(1)=1$。

$g(x)$ 的圖形過 $(1,1)$、$(3,0)$，斜率 $\frac{0-1}{3-1}=-\frac{1}{2}$，所以 $g(1)=1$，$g^{\prime }(1)=-\frac{1}{2}$。

由乘法的微分公式，

$$u^{\prime }(1)=f^{\prime }(1)g(1)+f(1)g^{\prime }(1)=1\cdot 1+1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}=0.5$$

答案 (1)。$h(1)=15+10-5=20$，$h(3)=15+30-45=0$。從 $t=1$ 到 $t=3$ 的平均速度是平均變化率：

$$\frac{h(3)-h(1)}{3-1}=\frac{0-20}{2}=-10$$

單位是公尺／秒；負號表示這段時間整體是往下。

答案 (3)。入水時高度為 $0$：$15+10t-5t^2=0$，$t^2-2t-3=0$，$(t-3)(t+1)=0$。因為 $0\le t\le 3$，取 $t=3$。

瞬時速度是 $h^{\prime }(t)=10-10t$，入水時 $h^{\prime }(3)=10-30=-20$（公尺／秒）。

答案 (1)(2)(3)。

(1) 正確。 這就是 $f(x)$ 在 $x=2$ 的導數的定義。

(2) 正確。 切點 $(2,f(2))$、斜率 $f^{\prime }(2)$，由點斜式得 $y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2)$。

(3) 正確。 一次估計就是用切線的高度近似函數值：$f(x)\approx f(2)+f^{\prime }(2)(x-2)$。

(4) 錯誤。 多項式函數在每一個實數都可微分，$x=\sqrt{2}$ 也不例外。

答案 (1)(2)(3)(4)。$f(2)=0$，可設 $f(x)=(x-2)q(x)$，$q(x)$ 是二次式。由乘法的微分公式 $f^{\prime }(x)=q(x)+(x-2)q^{\prime }(x)$，所以 $f^{\prime }(2)=q(2)=0$，$q(x)$ 也有因式 $x-2$。又 $f(1)=0$，於是

$$f(x)=k(x-1)(x-2{)}^2(k\ne 0)$$

$f^{\prime }(x)=k[(x-2{)}^2+2(x-1)(x-2)]=k(x-2)(3x-4)$，$f^{\prime }(0)=k\cdot (-2)\cdot (-4)=8k=-8$，$k=-1$。所以 $f(x)=-(x-1)(x-2{)}^2$。

(1) 正確。 $f(1)=0$，由因式定理 $f(x)$ 有因式 $x-1$。

(2) 正確。 $f(2)=0$，$f(x)$ 有因式 $x-2$（而且是二重因式）。

(3) 正確。 $f^{\prime }(x)=-(x-2)(3x-4)$，有因式 $x-2$；也可直接由 $f^{\prime }(2)=0$ 與因式定理得到。

(4) 正確。 $f(3)=-(3-1)(3-2{)}^2=-2$。

答案 (1)(2)(3)。先求 $a,b$。可微分一定連續：左邊 $f(1)=1$，右邊 $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(ax+b)=a+b$，所以 $a+b=1$。

左導數：$x\le 1$ 時 $f(x)=x^2$，$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x+1)=2$。右導數：$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(ax+b)-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{a(x-1)}{x-1}=a$（用了 $a+b=1$）。可微分要求左右導數相等，$a=2$，$b=-1$。

(1) 正確。 這個極限就是 $f^{\prime }(1)$，等於 $2$。

(2) 正確。 $x$ 在 $98$ 附近時 $x>1$，$f(x)=2x-1$，$f(1)=1$，$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{2x-2}{x-1}=2$，所以極限是 $2$。

(3) 正確。 $a=2$。

(4) 錯誤。 $b=-1$，不是 $0$。

答案 (1)(2)(4)。$Q(x,x^2)$，$x\ne 0$。割線 $AQ$ 的斜率 $m(x)=\frac{x^2-0}{x-0}=x$。

(1) 正確。 $m(x)=x$（$x\ne 0$）。

(2) 正確。 $Q$ 在第一象限表示 $x>0$；$Q$ 向 $A$ 靠近時 $x$ 由正數逐漸減小到接近 $0$，$m(x)=x$ 愈來愈小。

(3) 錯誤。 $Q$ 在第二象限表示 $x<0$；$Q$ 向 $A$ 靠近時 $x$ 由負數逐漸增大到接近 $0$（例如 $-2\to -1\to -0.5$），$m(x)=x$ 愈來愈大。

(4) 正確。 切線斜率是 $\underset{x\to 0}{\lim }m(x)=0$，又過 $A(0,0)$，切線為 $y=0$。

答案 (2)(3)。

(1) 錯誤。 $k=f(4)=4\sqrt{4}=8$，不是 $16$。

(2) 正確。 分子分母同乘 $x\sqrt{x}+8$：

$$\frac{x\sqrt{x}-8}{x-4}=\frac{(x\sqrt{x}{)}^2-64}{(x-4)(x\sqrt{x}+8)}=\frac{x^3-64}{(x-4)(x\sqrt{x}+8)}=\frac{x^2+4x+16}{x\sqrt{x}+8}(x\ne 4)$$

兩個式子在 $x\ne 4$ 時處處相等，極限也相等。

(3) 正確。 由 (2)，極限 $=\frac{16+16+16}{4\cdot 2+8}=\frac{48}{16}=3$。

(4) 錯誤。 這個極限就是 $f^{\prime }(4)$，切線斜率 $3$，切線為 $y-8=3(x-4)$，即 $y=3x-4$，寫成 $3x-y-4=0$；選項的常數項符號相反。

分母 $x-3\to 0$ 而極限存在，所以 $f(3)=0$，可設 $f(x)=(x-3)(px+q)$（$p\ne 0$）。

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }(px+q)=3p+q=5$$

又 $f(x)=p{x}^2+(q-3p)x-3q$，$f^{\prime }(x)=2px+q-3p$，$f^{\prime }(0)=q-3p=-1$。兩式相加 $2q=4$，$q=2$，$p=1$。

所以 $f(x)=(x-3)(x+2)$，$f(-2)=(-5)\cdot 0=0$。

設切點 $B(t,-t^3+1)$。$f^{\prime }(x)=-3x^2$，切線斜率 $-3t^2$，切線為

$$y-(-t^3+1)=-3t^2(x-t)$$

切線過 $A(0,3)$：$3+t^3-1=3t^3$，$2t^3=2$，$t^3=1$，$t=1$。

所以 $B(1,f(1))=(1,0)$，切線 $L$ 為 $y=-3x+3$。

拆成兩個導數的定義：

$$\frac{f(5+h)-f(5-h)}{h}=\frac{f(5+h)-f(5)}{h}+\frac{f(5-h)-f(5)}{-h}$$

$h\to 0$ 時，第一項趨近 $f^{\prime }(5)$；第二項令 $k=-h$，是 $\frac{f(5+k)-f(5)}{k}$，$k\to 0$ 時也趨近 $f^{\prime }(5)$。所以極限為 $2f^{\prime }(5)=6$。

可微分一定連續：左邊 $f(1)=1+1=2$，右邊 $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{ax+b}{x+1}=\frac{a+b}{2}$，所以 $a+b=4$。

左導數：$x<1$ 時 $f^{\prime }(x)=2x$，在 $x=1$ 得 $2$。右邊用除法的微分公式：

$${\left(\frac{ax+b}{x+1}\right)}^{\prime }=\frac{a(x+1)-(ax+b)}{(x+1{)}^2}=\frac{a-b}{(x+1{)}^2}$$

在 $x=1$ 得 $\frac{a-b}{4}$。左右導數相等：$\frac{a-b}{4}=2$，$a-b=8$。

與 $a+b=4$ 聯立得 $a=6$，$b=-2$，$(a,b)=(6,-2)$。

三次函數 $f(x)=x^3+l{x}^2+mx+n$ 圖形的對稱中心在 $x=-\frac{l}{3}$，所以 $-\frac{l}{3}=-2$，$l=6$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2lx+m=3x^2+12x+m$。切線 $L:y=x-9$ 的斜率 $1$ 等於 $f^{\prime }(-2)=12-24+m$，所以 $m=13$。

$A(-2,-11)$ 在圖形上：$f(-2)=-8+4l-2m+n=-8+24-26+n=-10+n=-11$，$n=-1$。

所以 $(l,m,n)=(6,13,-1)$。

設 $g(x)=\frac{2x-5}{x^2+1}$，則 $f(x)=(g(x){)}^3$，由連鎖律 $f^{\prime }(x)=3(g(x){)}^2{g}^{\prime }(x)$。

$g(1)=\frac{-3}{2}$。由除法的微分公式，

$$g^{\prime }(x)=\frac{2(x^2+1)-(2x-5)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2},g^{\prime }(1)=\frac{2\cdot 2-(-3)\cdot 2}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$$

所以 $k=f^{\prime }(1)=3\cdot \frac{9}{4}\cdot \frac{5}{2}=\frac{135}{8}$，$8k=135$。

把恆等式兩邊對 $x$ 微分（左邊用連鎖律）：

$$10(1+x{)}^9=C_1^{10}+2C_2^{10}x+3C_3^{10}{x}^2+\cdots +10C_{10}^{10}{x}^9$$

代入 $x=1$：$C_1^{10}+2C_2^{10}+\cdots +10C_{10}^{10}=10\cdot 2^9=5120$。