段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

平鎮高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 110 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 110 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 12 題正弦值相等要分成同界角與相加為平角的同界角兩類來解，兩類都要數；第 13 題繩子要圍出兩條半徑和一段弧，面積要寫成半徑的二次式再配方；第 8 題要先把角換成同界角，再用終邊旋轉後的坐標求值；第 20 題要從圖形一個週期的起點決定 c。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

選擇題 20 分（單選題 2 題、多選題 2 題，每題 5 分）、選填題 16 題 80 分（每題 5 分），合計 100 分。原卷選填題號 A～P，本頁編為第 5～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

第一部分：選擇題（佔 20 分）　壹、單選題（佔 10 分，每題 5 分，答錯不倒扣）

11 4^{\circ}

恰等於多少弳？

(1) $2$ 弳
(2) $π$ 弳
(3) $\frac{π}{180}$ 弳
(4) $\frac{114 π}{180}$ 弳
(5) $\frac{180}{π}$ 弳

設

a = cos 2

，則下列敘述何者正確？

(1) $- 1 < a < - \frac{3}{2}$
(2) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a < 0$
(4) $0 < a < \frac{3}{2}$
(5) $\frac{3}{2} < a < 1$

貳、多選題（佔 10 分，五個選項全部答對得 5 分，只錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，不作答或錯三個以上選項不給分）

關於函數

y = sin x

的描述，下列敘述何者正確？

(1) $y = sin x$ 為週期函數，且週期為 $2 π$
(2) $y = sin x$ 圖形中，點 $(\frac{3 π}{2}, - 1)$ 是最低點位置
(3) $y = sin x$ 的圖形對 $y$ 軸對稱
(4) $y = sin x$ 的圖形與 $y = 2$ 不相交
(5) $y = sin x$ 圖形上有無限多個 $x$ 範圍滿足 $- 1 \leq sin x \leq - \frac{3}{2}$

設

0 \leq x < 2 π

，則滿足不等式

\frac{1}{2} < sin x < \frac{3}{2}

之

x

的範圍可為下列何者？

(1) $\frac{π}{6} < x < \frac{2 π}{3}$
(2) $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$
(3) $\frac{2 π}{3} < x < \frac{5 π}{6}$
(4) $\frac{7 π}{6} < x < \frac{4 π}{3}$
(5) $\frac{5 π}{3} < x < \frac{11 π}{6}$

第二部分：選填題（佔 80 分，每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分）

試問

(\frac{4 π}{3} - \frac{5 π}{4})

弳為多少度？ ____

^{\circ}

。

設

θ

是

12

弳的同界角，且

0 \leq θ < 2 π

，試問

θ

為多少弳？ ____

-

____

π

。

已知扇形的圓心角為

4

，周長為

24

，求扇形的面積。 ____。

已知

tan θ = - \frac{12}{5}

，且

\frac{π}{2} < θ < π

，試求

cos (\frac{3 π}{2} + θ) = \frac{____}{____}

。

設函數

y = 2 sin (x + \frac{π}{2}) + 1

的最大值為

M

，最小值為

m

，則

M + m =

____。

函數

y = sin (x + \frac{7 π}{5})

的圖形往左平移幾個單位可以得到函數

y = sin x

的圖形。

\frac{____}{____} π

。

試求函數

y = 2 sin (- 3 x + \frac{π}{5})

的週期。

\frac{____}{____} π

。

在

0 \leq x < 2 π

範圍內，函數

y = sin 4 x

與函數

y = sin x

的圖形有幾個交點。 ____。

一條長為

6

的繩子，所能圍出的扇形面積最大是多少？

\frac{____}{____}

。

有一個時鐘的時針長度為

5

公分，分針長度為

8

公分。假設時針針尖每分鐘所移動的弧長都相等，試求早上

7

點到早上

7

點

40

分鐘時針針尖所移動的弧長

\frac{____}{____} π

。

試問點

P (cos 7, sin (- 7))

在第幾象限？ ____。

如右圖，

△ A B C

為邊長為

43

的正三角形，圓

O

為其內切圓，

D

，

E

，

F

為其切點，求鋪色區域的面積。

\frac{____}{____} π -____

。

載入中...

求函數

f (x) = sin^{2} x + 2 sin x + 2

的最小值。 ____。

有一圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，小龍恰坐在離地面最近的位置上，

x

分鐘後，小龍離地的高度

y

公尺，可表為

f (x) = 20 sin (a x - \frac{π}{2}) + 22

。已知摩天輪轉一圈需要

12

分鐘，求

a

的近似值。 ____。（

π = 3.14

，四捨五入到小數點後第二位）

在

0 < x < 2 π

範圍內，求方程式

sin x = - \frac{3}{2}

的最大解。

\frac{____}{____} π

。

如右圖是函數

y = 2 a sin (b x + c)

（

a > 0

，

b > 0

，

∣ c ∣ < π

）在一個週期內的圖形，求

a + b + c = \frac{____}{____}

。（以最簡分數作答）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)

第 3 題(1)(2)(4)(5)

第 4 題(2)(3)

第 5 題

15

第 6 題

12

、

2

（即

12 - 2 π

）

第 7 題

32

第 8 題

12

、

13

（即

\frac{12}{13}

）

第 9 題

2

第 10 題

3

、

5

（即

\frac{3}{5} π

）

第 11 題

2

、

3

（即

\frac{2}{3} π

）

第 12 題

8

第 13 題

9

、

4

（即

\frac{9}{4}

）

第 14 題

5

、

9

（即

\frac{5}{9} π

）

第 15 題

4

（第四象限）

第 16 題

4

、

3

、

3

（即

\frac{4}{3} π - 3

）

第 17 題

1

第 18 題

0.52

第 19 題

5

、

3

（即

\frac{5}{3} π

）

第 20 題

3

、

2

（即

\frac{3}{2}

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：度與弧度、弧度角的餘弦值

第 1 題答案 (4)。

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，

11 4^{\circ} = 114 \times \frac{π}{180} = \frac{114 π}{180}

弳。

約分後是

\frac{19 π}{30}

，大約

1.99

弳，很接近

2

但不是「恰」等於

2

，所以 (1) 不對。

第 2 題答案 (3)。

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，所以

\frac{π}{2} < 2 < \frac{2 π}{3}

，

2

弳是第二象限角，餘弦值是負的。角從

\frac{π}{2}

增加到

\frac{2 π}{3}

時，終邊與單位圓交點的

x

坐標從

0

一路減少到

- \frac{1}{2}

，所以

- \frac{1}{2} < cos 2 < 0

。

2

弳約

114. 6^{\circ}

，實際值

cos 2 \approx - 0.416

。

看到沒有

π

的弧度角，先用

π \approx 3.14

找出它夾在哪兩個特殊角之間。

02多選第 3、4 題：正弦函數的圖形

第 3 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1) 對：角多轉一圈終邊回到原處，

sin (x + 2 π) = sin x

，而且圖形每隔

2 π

才重複一次，週期是

2 π

。(2) 對：

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，而正弦值最小就是

- 1

，所以這一點是最低點。(3) 錯：

sin (- x) = - sin x

，圖形對稱於原點；例如

sin \frac{π}{2} = 1

，但

sin (- \frac{π}{2}) = - 1

，兩個值不相等，所以不對稱於

y

軸。(4) 對：

- 1 \leq sin x \leq 1

，不會等於

2

。(5) 對：在

0

到

2 π

之間，

\frac{4 π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

時

- 1 \leq sin x \leq - \frac{3}{2}

；圖形每隔

2 π

重複，所以每一個週期裡都有這樣的一段，共有無限多段。

第 4 題答案 (2)(3)。在

0 \leq x < 2 π

畫出

y = sin x

的圖形，再畫兩條水平線

y = \frac{1}{2}

與

y = \frac{3}{2}

。

sin x = \frac{1}{2}

的解是

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

；

sin x = \frac{3}{2}

的解是

\frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3}

。圖形夾在兩條水平線之間的部分有兩段：上升的那一段

\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}

，與下降的那一段

\frac{2 π}{3} < x < \frac{5 π}{6}

，所以 (2)、(3) 對。(1) 錯：這個範圍包含

x = \frac{π}{2}

，此時

sin x = 1

超過

\frac{3}{2}

。(4)、(5) 錯：這兩個範圍都在

π

與

2 π

之間，正弦值是負的。

解正弦的不等式：先解等號成立的角，再看圖形哪幾段夾在兩條水平線之間。

03選填 A、B、C（第 5～7 題）：弧度與度、同界角、扇形

第 5 題先通分：

\frac{4 π}{3} - \frac{5 π}{4} = \frac{16 π - 15 π}{12} = \frac{π}{12}

。

π

弳是

18 0^{\circ}

，所以

\frac{π}{12}

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{12} = 1 5^{\circ}

。

也可以分開換：

24 0^{\circ} - 22 5^{\circ} = 1 5^{\circ}

。

第 6 題同界角相差

2 π

的整數倍。

2 π \approx 6.28

，

4 π \approx 12.57

，所以

2 π < 12 < 4 π

，減去一圈：

θ = 12 - 2 π \approx 5.72

，落在

0 \leq θ < 2 π

內。兩格依序填

12

、

2

。

第 7 題設半徑

r

。弧長

= r θ = 4 r

，周長是兩條半徑加一段弧：

2 r + 4 r = 24

，

r = 4

。面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 4^{2} \times 4 = 32

。

題目的圓心角

4

沒有寫度的記號，是

4

弳。

扇形的周長要加兩條半徑；弧長

= r θ

、面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

都用弧度。

04選填 D（第 8 題）：由正切值求另一個角的餘弦

第 8 題

θ

是第二象限角，

tan θ = \frac{y}{x} = - \frac{12}{5}

，在終邊上取點

(- 5, 12)

，到原點的距離

r = 5^{2} + 1 2^{2} = 13

，所以

sin θ = \frac{12}{13}

，

cos θ = - \frac{5}{13}

。接著看

\frac{3 π}{2} + θ

：它與

θ - \frac{π}{2}

相差

2 π

，是同界角，也就是把

θ

的終邊順時針轉

\frac{π}{2}

。點

(- 5, 12)

順時針轉

\frac{π}{2}

後到

(12, 5)

（第二象限的點轉到第一象限，到原點的距離仍是

13

），所以

cos (\frac{3 π}{2} + θ) = \frac{12}{13}

分子填

12

，分母填

13

。

一般地，點

(x, y)

順時針轉

\frac{π}{2}

會到

(y, - x)

，所以

cos (\frac{3 π}{2} + θ) = sin θ

。答案是正的也合理：

\frac{3 π}{2} + θ

介於

2 π

與

\frac{5 π}{2}

之間，是第一象限角。

角加上

\frac{π}{2}

的整數倍時，先化成同界角，再想終邊上的點轉到哪裡。

05選填 E、F、G（第 9～11 題）：最大最小值、平移、週期

第 9 題不論

x

是多少，

- 1 \leq sin (x + \frac{π}{2}) \leq 1

，乘以

2

再加

1

：

- 1 \leq y \leq 3

，而且兩端都取得到。

M = 3

、

m = - 1

，

M + m = 2

。

M + m

剛好是上下平移量

1

的兩倍。

第 10 題圖形往左平移

k

單位，是把

x

換成

x + k

，得到

y = sin (x + k + \frac{7 π}{5})

。要它與

y = sin x

是同一個圖形，

k + \frac{7 π}{5}

必須是

2 π

的整數倍。取最小的正數：

k + \frac{7 π}{5} = 2 π

，

k = \frac{3}{5} π

。分子填

3

，分母填

5

。

k

也可以是

\frac{3 π}{5}

再加

2 π

的整數倍，例如

\frac{13 π}{5}

；答案格是一位數的分子與分母，填最小的正數

\frac{3}{5} π

。

第 11 題

y = sin (b x + c)

的週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

，振幅

2

與括號裡加的

\frac{π}{5}

都不影響週期。這裡

b = - 3

，週期

= \frac{2 π}{3}

。分子填

2

，分母填

3

。

x

的係數是負的，圖形只是左右翻轉，重複一次所需的長度不變。

y = a sin (b x + c) + d

：

a

管高低的幅度，

b

管週期，

c

管左右位置，

d

管上下位置。

06選填 H（第 12 題）：sin 4x＝sin x 的解的個數

第 12 題交點的

x

坐標就是

sin 4 x = sin x

的解。兩個角的正弦值相等，表示它們的終邊與單位圓的交點一樣高：兩個終邊要嘛重合（同界角），要嘛對稱於

y

軸（兩個角相加是

π

的同界角）。以下

k

是整數。第一類：

4 x = x + 2 k π

，

x = \frac{2 k π}{3}

，在

0 \leq x < 2 π

內有

0

、

\frac{2 π}{3}

、

\frac{4 π}{3}

三個。第二類：

4 x + x = π + 2 k π

，

x = \frac{( 2 k + 1 ) π}{5}

，在範圍內有

\frac{π}{5}

、

\frac{3 π}{5}

、

π

、

\frac{7 π}{5}

、

\frac{9 π}{5}

五個。第一類是

\frac{π}{3}

的偶數倍、第二類是

\frac{π}{5}

的奇數倍，逐一比對沒有相同的，所以兩類沒有重複，共

3 + 5 = 8

個交點。

x = 0

在範圍內要算，

x = 2 π

不在範圍內不算。也可以在同一張圖上畫

y = sin x

與

y = sin 4 x

（週期

\frac{π}{2}

）來數，同樣是

8

個。

sin A = sin B

時，

A

與

B

是同界角，或

A + B

是

π

的同界角，兩類都要解。

07選填 I、J（第 13、14 題）：扇形面積的最大值、時針走的弧長

第 13 題繩子圍成扇形，要圍兩條半徑和一段弧。設半徑

r

、弧長

s

，則

2 r + s = 6

，

s = 6 - 2 r

（

0 < r < 3

）。面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (6 - 2 r) = - r^{2} + 3 r

。配方：

- r^{2} + 3 r = - (r - \frac{3}{2})^{2} + \frac{9}{4}

r = \frac{3}{2}

時面積最大，最大值是

\frac{9}{4}

。分子填

9

，分母填

4

。

此時弧長

s = 3

，圓心角

θ = \frac{s}{r} = 2

弳。

第 14 題時針

12

小時（

720

分鐘）轉一圈

2 π

弳。

40

分鐘轉了

\frac{40}{720} \times 2 π = \frac{π}{9}

弳。針尖走的弧長

=

半徑

\times

圓心角

= 5 \times \frac{π}{9} = \frac{5}{9} π

（公分）。分子填

5

，分母填

9

。

題目問的是時針，分針的長度

8

公分用不到。

扇形面積也可以寫成

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，周長固定時用它列式最快。

08選填 K、L（第 15、16 題）：判斷象限、內切圓上的弓形

第 15 題

2 π \approx 6.28

，

\frac{5 π}{2} \approx 7.85

，所以

2 π < 7 < \frac{5 π}{2}

，

7

弳是第一象限角（與

7 - 2 π \approx 0.72

弳同界）。因此

cos 7 > 0

，

sin 7 > 0

，而

sin (- 7) = - sin 7 < 0

。點

P

的

x

坐標為正、

y

坐標為負，在第四象限，填

4

。

也可以直接看

- 7

弳：它與

- 7 + 4 π \approx 5.57

弳同界，介於

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間，是第四象限角，正弦值為負。

第 16 題正三角形的高

= \frac{3}{2} \times 43 = 6

。內切圓的圓心

O

也是重心，到各邊的距離是高的

\frac{1}{3}

，所以半徑

r = 2

。半徑

\overline{O D}

垂直

\overline{A B}

、

\overline{O E}

垂直

\overline{A C}

，四邊形

A D O E

的四個角和是

2 π

，其中兩個是直角、

∠ A = \frac{π}{3}

，所以

∠ D O E = 2 π - \frac{π}{2} - \frac{π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。鋪色區域是弦

\overline{D E}

與弧

D E

圍成的弓形，等於扇形

O D E

扣掉

△ O D E

。扇形

O D E

的面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{4}{3} π

。

△ O D E

的面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times sin \frac{2 π}{3} = 2 \times \frac{3}{2} = 3

。鋪色區域的面積

= \frac{4}{3} π - 3

。三格依序填

4

、

3

、

3

。

數值約

4.19 - 1.73 = 2.46

，比整個內切圓的面積

4 π \approx 12.57

小很多，合理。

弓形

=

扇形

-

三角形；先找出圓心角與半徑。

09選填 M、N（第 17、18 題）：配方求最小值、摩天輪的週期

第 17 題令

t = sin x

，則

- 1 \leq t \leq 1

，

f (x) = t^{2} + 2 t + 2 = (t + 1)^{2} + 1

。

(t + 1)^{2} \geq 0

，而

t = - 1

在範圍內（例如

x = \frac{3 π}{2}

），所以最小值是

1

。

換成

t

之後一定要記得

t

只能在

- 1

到

1

之間；這一題頂點

t = - 1

剛好落在邊界上。

第 18 題轉一圈的時間就是函數的週期，

\frac{2 π}{∣ a ∣} = 12

，所以

∣ a ∣ = \frac{π}{6}

；答案格是正數，取

a = \frac{π}{6}

。用

π = 3.14

：

a = \frac{3.14}{6} = 0.5233 \dots

，四捨五入到小數點後第二位得

0.52

。

檢查：

x = 0

時

f (0) = 20 sin (- \frac{π}{2}) + 22 = 2

，是最低點，與「開始時坐在離地面最近的位置」相符。

10選填 O、P（第 19、20 題）：正弦方程式、由圖形決定函數

第 19 題

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，參考角是

\frac{π}{3}

。正弦值為負的角在第三、第四象限：

x = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}

或

x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}

。在

0 < x < 2 π

內只有這兩個解，較大的是

\frac{5}{3} π

。分子填

5

，分母填

3

。

第 20 題由圖，最大值

3

、最小值

- 3

。

a > 0

時

y = 2 a sin (b x + c)

的最大值是

2 a

，所以

2 a = 3

，

a = \frac{3}{2}

。一個週期從

x = 1

畫到

x = 9

，週期

= 8

；

b > 0

，

\frac{2 π}{b} = 8

，

b = \frac{π}{4}

。圖形在

x = 1

時

y = 0

，而且接著往上，這是正弦函數一個週期的起點，所以這時括號裡的角是

0

（或差

2 π

的整數倍）：

\frac{π}{4} \times 1 + c = 0

，

c = - \frac{π}{4}

，符合

∣ c ∣ < π

（加減

2 π

的整數倍後的其他值都不在這個範圍內）。

a + b + c = \frac{3}{2} + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3}{2}

。分子填

3

，分母填

2

。

檢查：

y = 3 sin (\frac{π}{4} x - \frac{π}{4})

，

x = 3

時

3 sin \frac{π}{2} = 3

，

x = 5

時

3 sin π = 0

，

x = 7

時

3 sin \frac{3 π}{2} = - 3

，

x = 9

時

3 sin 2 π = 0

，都與圖相符。

由圖形決定

y = A sin (b x + c)

：

A

看最高點，

b

由週期決定，

c

由一個週期的起點決定。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

平鎮高中 110 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 12 題正弦值相等要分成同界角與相加為平角的同界角兩類來解，兩類都要數；第 13 題繩子要圍出兩條半徑和一段弧，面積要寫成半徑的二次式再配方；第 8 題要先把角換成同界角，再用終邊旋轉後的坐標求值；第 20 題要從圖形一個週期的起點決定 c。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 110 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

平鎮高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

第一部分：選擇題（佔 20 分）　壹、單選題（佔 10 分，每題 5 分，答錯不倒扣）

11 4^{\circ}

恰等於多少弳？

(1) $2$ 弳
(2) $π$ 弳
(3) $\frac{π}{180}$ 弳
(4) $\frac{114 π}{180}$ 弳
(5) $\frac{180}{π}$ 弳

設

a = cos 2

，則下列敘述何者正確？

(1) $- 1 < a < - \frac{3}{2}$
(2) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a < 0$
(4) $0 < a < \frac{3}{2}$
(5) $\frac{3}{2} < a < 1$

貳、多選題（佔 10 分，五個選項全部答對得 5 分，只錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，不作答或錯三個以上選項不給分）

關於函數

y = sin x

的描述，下列敘述何者正確？

(1) $y = sin x$ 為週期函數，且週期為 $2 π$
(2) $y = sin x$ 圖形中，點 $(\frac{3 π}{2}, - 1)$ 是最低點位置
(3) $y = sin x$ 的圖形對 $y$ 軸對稱
(4) $y = sin x$ 的圖形與 $y = 2$ 不相交
(5) $y = sin x$ 圖形上有無限多個 $x$ 範圍滿足 $- 1 \leq sin x \leq - \frac{3}{2}$

設

0 \leq x < 2 π

，則滿足不等式

\frac{1}{2} < sin x < \frac{3}{2}

之

x

的範圍可為下列何者？

(1) $\frac{π}{6} < x < \frac{2 π}{3}$
(2) $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$
(3) $\frac{2 π}{3} < x < \frac{5 π}{6}$
(4) $\frac{7 π}{6} < x < \frac{4 π}{3}$
(5) $\frac{5 π}{3} < x < \frac{11 π}{6}$

第二部分：選填題（佔 80 分，每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分）

試問

(\frac{4 π}{3} - \frac{5 π}{4})

弳為多少度？ ____

^{\circ}

。

設

θ

是

12

弳的同界角，且

0 \leq θ < 2 π

，試問

θ

為多少弳？ ____

-

____

π

。

已知扇形的圓心角為

4

，周長為

24

，求扇形的面積。 ____。

已知

tan θ = - \frac{12}{5}

，且

\frac{π}{2} < θ < π

，試求

cos (\frac{3 π}{2} + θ) = \frac{____}{____}

。

設函數

y = 2 sin (x + \frac{π}{2}) + 1

的最大值為

M

，最小值為

m

，則

M + m =

____。

函數

y = sin (x + \frac{7 π}{5})

的圖形往左平移幾個單位可以得到函數

y = sin x

的圖形。

\frac{____}{____} π

。

試求函數

y = 2 sin (- 3 x + \frac{π}{5})

的週期。

\frac{____}{____} π

。

在

0 \leq x < 2 π

範圍內，函數

y = sin 4 x

與函數

y = sin x

的圖形有幾個交點。 ____。

一條長為

6

的繩子，所能圍出的扇形面積最大是多少？

\frac{____}{____}

。

有一個時鐘的時針長度為

5

公分，分針長度為

8

公分。假設時針針尖每分鐘所移動的弧長都相等，試求早上

7

點到早上

7

點

40

分鐘時針針尖所移動的弧長

\frac{____}{____} π

。

試問點

P (cos 7, sin (- 7))

在第幾象限？ ____。

如右圖，

△ A B C

為邊長為

43

的正三角形，圓

O

為其內切圓，

D

，

E

，

F

為其切點，求鋪色區域的面積。

\frac{____}{____} π -____

。

載入中...

求函數

f (x) = sin^{2} x + 2 sin x + 2

的最小值。 ____。

有一圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，小龍恰坐在離地面最近的位置上，

x

分鐘後，小龍離地的高度

y

公尺，可表為

f (x) = 20 sin (a x - \frac{π}{2}) + 22

。已知摩天輪轉一圈需要

12

分鐘，求

a

的近似值。 ____。（

π = 3.14

，四捨五入到小數點後第二位）

在

0 < x < 2 π

範圍內，求方程式

sin x = - \frac{3}{2}

的最大解。

\frac{____}{____} π

。

如右圖是函數

y = 2 a sin (b x + c)

（

a > 0

，

b > 0

，

∣ c ∣ < π

）在一個週期內的圖形，求

a + b + c = \frac{____}{____}

。（以最簡分數作答）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)

第 3 題(1)(2)(4)(5)

第 4 題(2)(3)

第 5 題

15

第 6 題

12

、

2

（即

12 - 2 π

）

第 7 題

32

第 8 題

12

、

13

（即

\frac{12}{13}

）

第 9 題

2

第 10 題

3

、

5

（即

\frac{3}{5} π

）

第 11 題

2

、

3

（即

\frac{2}{3} π

）

第 12 題

8

第 13 題

9

、

4

（即

\frac{9}{4}

）

第 14 題

5

、

9

（即

\frac{5}{9} π

）

第 15 題

4

（第四象限）

第 16 題

4

、

3

、

3

（即

\frac{4}{3} π - 3

）

第 17 題

1

第 18 題

0.52

第 19 題

5

、

3

（即

\frac{5}{3} π

）

第 20 題

3

、

2

（即

\frac{3}{2}

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：度與弧度、弧度角的餘弦值

第 1 題答案 (4)。

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，

11 4^{\circ} = 114 \times \frac{π}{180} = \frac{114 π}{180}

弳。

約分後是

\frac{19 π}{30}

，大約

1.99

弳，很接近

2

但不是「恰」等於

2

，所以 (1) 不對。

第 2 題答案 (3)。

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，所以

\frac{π}{2} < 2 < \frac{2 π}{3}

，

2

弳是第二象限角，餘弦值是負的。角從

\frac{π}{2}

增加到

\frac{2 π}{3}

時，終邊與單位圓交點的

x

坐標從

0

一路減少到

- \frac{1}{2}

，所以

- \frac{1}{2} < cos 2 < 0

。

2

弳約

114. 6^{\circ}

，實際值

cos 2 \approx - 0.416

。

看到沒有

π

的弧度角，先用

π \approx 3.14

找出它夾在哪兩個特殊角之間。

02多選第 3、4 題：正弦函數的圖形

第 3 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1) 對：角多轉一圈終邊回到原處，

sin (x + 2 π) = sin x

，而且圖形每隔

2 π

才重複一次，週期是

2 π

。(2) 對：

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，而正弦值最小就是

- 1

，所以這一點是最低點。(3) 錯：

sin (- x) = - sin x

，圖形對稱於原點；例如

sin \frac{π}{2} = 1

，但

sin (- \frac{π}{2}) = - 1

，兩個值不相等，所以不對稱於

y

軸。(4) 對：

- 1 \leq sin x \leq 1

，不會等於

2

。(5) 對：在

0

到

2 π

之間，

\frac{4 π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

時

- 1 \leq sin x \leq - \frac{3}{2}

；圖形每隔

2 π

重複，所以每一個週期裡都有這樣的一段，共有無限多段。

第 4 題答案 (2)(3)。在

0 \leq x < 2 π

畫出

y = sin x

的圖形，再畫兩條水平線

y = \frac{1}{2}

與

y = \frac{3}{2}

。

sin x = \frac{1}{2}

的解是

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

；

sin x = \frac{3}{2}

的解是

\frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3}

。圖形夾在兩條水平線之間的部分有兩段：上升的那一段

\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}

，與下降的那一段

\frac{2 π}{3} < x < \frac{5 π}{6}

，所以 (2)、(3) 對。(1) 錯：這個範圍包含

x = \frac{π}{2}

，此時

sin x = 1

超過

\frac{3}{2}

。(4)、(5) 錯：這兩個範圍都在

π

與

2 π

之間，正弦值是負的。

解正弦的不等式：先解等號成立的角，再看圖形哪幾段夾在兩條水平線之間。

03選填 A、B、C（第 5～7 題）：弧度與度、同界角、扇形

第 5 題先通分：

\frac{4 π}{3} - \frac{5 π}{4} = \frac{16 π - 15 π}{12} = \frac{π}{12}

。

π

弳是

18 0^{\circ}

，所以

\frac{π}{12}

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{12} = 1 5^{\circ}

。

也可以分開換：

24 0^{\circ} - 22 5^{\circ} = 1 5^{\circ}

。

第 6 題同界角相差

2 π

的整數倍。

2 π \approx 6.28

，

4 π \approx 12.57

，所以

2 π < 12 < 4 π

，減去一圈：

θ = 12 - 2 π \approx 5.72

，落在

0 \leq θ < 2 π

內。兩格依序填

12

、

2

。

第 7 題設半徑

r

。弧長

= r θ = 4 r

，周長是兩條半徑加一段弧：

2 r + 4 r = 24

，

r = 4

。面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 4^{2} \times 4 = 32

。

題目的圓心角

4

沒有寫度的記號，是

4

弳。

扇形的周長要加兩條半徑；弧長

= r θ

、面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

都用弧度。

04選填 D（第 8 題）：由正切值求另一個角的餘弦

第 8 題

θ

是第二象限角，

tan θ = \frac{y}{x} = - \frac{12}{5}

，在終邊上取點

(- 5, 12)

，到原點的距離

r = 5^{2} + 1 2^{2} = 13

，所以

sin θ = \frac{12}{13}

，

cos θ = - \frac{5}{13}

。接著看

\frac{3 π}{2} + θ

：它與

θ - \frac{π}{2}

相差

2 π

，是同界角，也就是把

θ

的終邊順時針轉

\frac{π}{2}

。點

(- 5, 12)

順時針轉

\frac{π}{2}

後到

(12, 5)

（第二象限的點轉到第一象限，到原點的距離仍是

13

），所以

cos (\frac{3 π}{2} + θ) = \frac{12}{13}

分子填

12

，分母填

13

。

一般地，點

(x, y)

順時針轉

\frac{π}{2}

會到

(y, - x)

，所以

cos (\frac{3 π}{2} + θ) = sin θ

。答案是正的也合理：

\frac{3 π}{2} + θ

介於

2 π

與

\frac{5 π}{2}

之間，是第一象限角。

角加上

\frac{π}{2}

的整數倍時，先化成同界角，再想終邊上的點轉到哪裡。

05選填 E、F、G（第 9～11 題）：最大最小值、平移、週期

第 9 題不論

x

是多少，

- 1 \leq sin (x + \frac{π}{2}) \leq 1

，乘以

2

再加

1

：

- 1 \leq y \leq 3

，而且兩端都取得到。

M = 3

、

m = - 1

，

M + m = 2

。

M + m

剛好是上下平移量

1

的兩倍。

第 10 題圖形往左平移

k

單位，是把

x

換成

x + k

，得到

y = sin (x + k + \frac{7 π}{5})

。要它與

y = sin x

是同一個圖形，

k + \frac{7 π}{5}

必須是

2 π

的整數倍。取最小的正數：

k + \frac{7 π}{5} = 2 π

，

k = \frac{3}{5} π

。分子填

3

，分母填

5

。

k

也可以是

\frac{3 π}{5}

再加

2 π

的整數倍，例如

\frac{13 π}{5}

；答案格是一位數的分子與分母，填最小的正數

\frac{3}{5} π

。

第 11 題

y = sin (b x + c)

的週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

，振幅

2

與括號裡加的

\frac{π}{5}

都不影響週期。這裡

b = - 3

，週期

= \frac{2 π}{3}

。分子填

2

，分母填

3

。

x

的係數是負的，圖形只是左右翻轉，重複一次所需的長度不變。

y = a sin (b x + c) + d

：

a

管高低的幅度，

b

管週期，

c

管左右位置，

d

管上下位置。

06選填 H（第 12 題）：sin 4x＝sin x 的解的個數

第 12 題交點的

x

坐標就是

sin 4 x = sin x

的解。兩個角的正弦值相等，表示它們的終邊與單位圓的交點一樣高：兩個終邊要嘛重合（同界角），要嘛對稱於

y

軸（兩個角相加是

π

的同界角）。以下

k

是整數。第一類：

4 x = x + 2 k π

，

x = \frac{2 k π}{3}

，在

0 \leq x < 2 π

內有

0

、

\frac{2 π}{3}

、

\frac{4 π}{3}

三個。第二類：

4 x + x = π + 2 k π

，

x = \frac{( 2 k + 1 ) π}{5}

，在範圍內有

\frac{π}{5}

、

\frac{3 π}{5}

、

π

、

\frac{7 π}{5}

、

\frac{9 π}{5}

五個。第一類是

\frac{π}{3}

的偶數倍、第二類是

\frac{π}{5}

的奇數倍，逐一比對沒有相同的，所以兩類沒有重複，共

3 + 5 = 8

個交點。

x = 0

在範圍內要算，

x = 2 π

不在範圍內不算。也可以在同一張圖上畫

y = sin x

與

y = sin 4 x

（週期

\frac{π}{2}

）來數，同樣是

8

個。

sin A = sin B

時，

A

與

B

是同界角，或

A + B

是

π

的同界角，兩類都要解。

07選填 I、J（第 13、14 題）：扇形面積的最大值、時針走的弧長

第 13 題繩子圍成扇形，要圍兩條半徑和一段弧。設半徑

r

、弧長

s

，則

2 r + s = 6

，

s = 6 - 2 r

（

0 < r < 3

）。面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (6 - 2 r) = - r^{2} + 3 r

。配方：

- r^{2} + 3 r = - (r - \frac{3}{2})^{2} + \frac{9}{4}

r = \frac{3}{2}

時面積最大，最大值是

\frac{9}{4}

。分子填

9

，分母填

4

。

此時弧長

s = 3

，圓心角

θ = \frac{s}{r} = 2

弳。

第 14 題時針

12

小時（

720

分鐘）轉一圈

2 π

弳。

40

分鐘轉了

\frac{40}{720} \times 2 π = \frac{π}{9}

弳。針尖走的弧長

=

半徑

\times

圓心角

= 5 \times \frac{π}{9} = \frac{5}{9} π

（公分）。分子填

5

，分母填

9

。

題目問的是時針，分針的長度

8

公分用不到。

扇形面積也可以寫成

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，周長固定時用它列式最快。

08選填 K、L（第 15、16 題）：判斷象限、內切圓上的弓形

第 15 題

2 π \approx 6.28

，

\frac{5 π}{2} \approx 7.85

，所以

2 π < 7 < \frac{5 π}{2}

，

7

弳是第一象限角（與

7 - 2 π \approx 0.72

弳同界）。因此

cos 7 > 0

，

sin 7 > 0

，而

sin (- 7) = - sin 7 < 0

。點

P

的

x

坐標為正、

y

坐標為負，在第四象限，填

4

。

也可以直接看

- 7

弳：它與

- 7 + 4 π \approx 5.57

弳同界，介於

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間，是第四象限角，正弦值為負。

第 16 題正三角形的高

= \frac{3}{2} \times 43 = 6

。內切圓的圓心

O

也是重心，到各邊的距離是高的

\frac{1}{3}

，所以半徑

r = 2

。半徑

\overline{O D}

垂直

\overline{A B}

、

\overline{O E}

垂直

\overline{A C}

，四邊形

A D O E

的四個角和是

2 π

，其中兩個是直角、

∠ A = \frac{π}{3}

，所以

∠ D O E = 2 π - \frac{π}{2} - \frac{π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。鋪色區域是弦

\overline{D E}

與弧

D E

圍成的弓形，等於扇形

O D E

扣掉

△ O D E

。扇形

O D E

的面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{4}{3} π

。

△ O D E

的面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times sin \frac{2 π}{3} = 2 \times \frac{3}{2} = 3

。鋪色區域的面積

= \frac{4}{3} π - 3

。三格依序填

4

、

3

、

3

。

數值約

4.19 - 1.73 = 2.46

，比整個內切圓的面積

4 π \approx 12.57

小很多，合理。

弓形

=

扇形

-

三角形；先找出圓心角與半徑。

09選填 M、N（第 17、18 題）：配方求最小值、摩天輪的週期

第 17 題令

t = sin x

，則

- 1 \leq t \leq 1

，

f (x) = t^{2} + 2 t + 2 = (t + 1)^{2} + 1

。

(t + 1)^{2} \geq 0

，而

t = - 1

在範圍內（例如

x = \frac{3 π}{2}

），所以最小值是

1

。

換成

t

之後一定要記得

t

只能在

- 1

到

1

之間；這一題頂點

t = - 1

剛好落在邊界上。

第 18 題轉一圈的時間就是函數的週期，

\frac{2 π}{∣ a ∣} = 12

，所以

∣ a ∣ = \frac{π}{6}

；答案格是正數，取

a = \frac{π}{6}

。用

π = 3.14

：

a = \frac{3.14}{6} = 0.5233 \dots

，四捨五入到小數點後第二位得

0.52

。

檢查：

x = 0

時

f (0) = 20 sin (- \frac{π}{2}) + 22 = 2

，是最低點，與「開始時坐在離地面最近的位置」相符。

10選填 O、P（第 19、20 題）：正弦方程式、由圖形決定函數

第 19 題

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，參考角是

\frac{π}{3}

。正弦值為負的角在第三、第四象限：

x = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}

或

x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}

。在

0 < x < 2 π

內只有這兩個解，較大的是

\frac{5}{3} π

。分子填

5

，分母填

3

。

第 20 題由圖，最大值

3

、最小值

- 3

。

a > 0

時

y = 2 a sin (b x + c)

的最大值是

2 a

，所以

2 a = 3

，

a = \frac{3}{2}

。一個週期從

x = 1

畫到

x = 9

，週期

= 8

；

b > 0

，

\frac{2 π}{b} = 8

，

b = \frac{π}{4}

。圖形在

x = 1

時

y = 0

，而且接著往上，這是正弦函數一個週期的起點，所以這時括號裡的角是

0

（或差

2 π

的整數倍）：

\frac{π}{4} \times 1 + c = 0

，

c = - \frac{π}{4}

，符合

∣ c ∣ < π

（加減

2 π

的整數倍後的其他值都不在這個範圍內）。

a + b + c = \frac{3}{2} + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3}{2}

。分子填

3

，分母填

2

。

檢查：

y = 3 sin (\frac{π}{4} x - \frac{π}{4})

，

x = 3

時

3 sin \frac{π}{2} = 3

，

x = 5

時

3 sin π = 0

，

x = 7

時

3 sin \frac{3 π}{2} = - 3

，

x = 9

時

3 sin 2 π = 0

，都與圖相符。

由圖形決定

y = A sin (b x + c)

：

A

看最高點，

b

由週期決定，

c

由一個週期的起點決定。

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02多選第 3、4 題：正弦函數的圖形

03選填 A、B、C（第 5～7 題）：弧度與度、同界角、扇形

04選填 D（第 8 題）：由正切值求另一個角的餘弦

05選填 E、F、G（第 9～11 題）：最大最小值、平移、週期

06選填 H（第 12 題）：sin 4x＝sin x 的解的個數

07選填 I、J（第 13、14 題）：扇形面積的最大值、時針走的弧長

08選填 K、L（第 15、16 題）：判斷象限、內切圓上的弓形

09選填 M、N（第 17、18 題）：配方求最小值、摩天輪的週期

10選填 O、P（第 19、20 題）：正弦方程式、由圖形決定函數

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平鎮高中 110 上
高二第一次段考
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