段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指對數方程式與不等式、指數與對數的應用）

平鎮高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 5 題要先求出第 2 架的工時再取對數，最後還要估 2 的 4.1 次方；多重選擇第 7 題要分清楚對稱於 x−y=0 與對稱於 y=0 各換掉什麼，再判斷凹口方向與交點；多重選擇第 8 題 (5) 要把負的對數寫成負整數加正小數才能看出第幾位；選填 K（本頁第 20 題）要分 a 正、a 負兩種情形，各自找曲線最靠近正方形的那一端。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題、多重選擇題 4 題、選填題 11 題，每題 5 分，合計 100 分。原卷選填題 A～K，本頁編為第 10～20 題。卷頭備註：log 2≈0.3010，log 3≈0.4771，log 7≈0.8451。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題 5 分，答錯不倒扣）

坐標平面上滿足

lo g_{2} x + 1 = lo g_{4} y

的所有點

(x, y)

所形成的圖形為下列哪一個選項的部分圖形？

(1) 一個圓
(2) 一直線
(3) 指數函數圖形
(4) 對數函數圖形
(5) 二次多項式函數圖形

令

a = 0. 6^{10} - 0. 6^{9}

，

b = 0. 6^{11} - 0. 6^{10}

，

c = \frac{0. 6 ^{11} - 0. 6 ^{9}}{2}

。請選出正確的大小關係。

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > b > a$

已知某一麻醉藥劑在正常的人體中，每一小時會代謝掉體內剩餘藥劑量的

20%

，且當體內藥劑少於原先注射量的一半時醫院才會讓檢驗者在家人陪同下離開醫院。平鎮高中提供學校教職人員每年體檢一次，阿廖老師利用課餘時間到醫院做大腸鏡診療，該療程需要全身麻醉，試問當阿廖開始被麻醉檢驗後最快要經過多少個小時才能在家人的陪同下離開醫院？

(1) $4$
(2) $5$
(3) $6$
(4) $7$
(5) $8$

做某項試驗共有四種可能的結果，其發生的機率分別為

lo g_{4} 2

，

lo g_{4} k

，

lo g_{8} k

，

lo g_{16} k

，求實數

k

的值最接近下列哪一個選項？

(1) $1.1$
(2) $1.4$
(3) $1.6$
(4) $1.8$
(5) $2$

二次世界大戰製造轟炸機時發現：製造第

n

架轟炸機所需的工時為

T

年，且

T

與

n

之間的關係為

T = (\frac{4}{5})^{l o g_{2} n}

，若製造第

n

架轟炸機所需的工時不到第

2

架一半時間，試問正整數

n

最接近下列哪一個選項？

(1) $12$
(2) $15$
(3) $18$
(4) $21$
(5) $24$

二、多重選擇題（每題 5 分，全對給 5 分，錯 1 個選項給 3 分，錯 2 個選項給 1 分，其餘給 0 分）

請選出正確的選項。

(1) $lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3$
(2) $y = lo g x^{2}$ 的圖形與 $y = 2 lo g x$ 的圖形相同
(3) $lo g_{(- 4)} 16 = 2$
(4) $34 < 234$
(5) $\frac{2 ^{30} + 2 ^{10}}{2} > 2^{20}$

已知函數

Γ_{1} : f (x) = 2^{- x}

，若

Γ_{2}

的圖形與

Γ_{1}

對稱於直線

x - y = 0

，且

Γ_{2}

的圖形與

Γ_{3}

對稱於直線

y = 0

。請選出正確的選項。

(1) $Γ_{2}$ 的圖形凹口向下
(2) $Γ_{3}$ 的圖形凹口向下
(3) $Γ_{1}$ 與 $Γ_{2}$ 的圖形不相交
(4) $Γ_{1}$ 與 $Γ_{3}$ 的圖形不相交
(5) 當 $x > 2$ 時， $Γ_{3}$ 的圖形恆在 $Γ_{1}$ 的上方

已知

a = 3^{60}

，

b = 7^{30}

。請選出正確的選項。

(1) $a < b$
(2) $ab$ 的個位數字為 $1$
(3) $ab = 1 0^{60 l o g 3 + 30 l o g 7}$
(4) $ab$ 為 $53$ 位數字
(5) 將 $\frac{a}{b ^{2}}$ 表示成小數時，從小數點後第 $22$ 位開始出現不為 $0$ 的數字

已知

f (x) = 4 - 2 \times 3^{x} + 9^{x}

，請選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 的值恆正
(2) $f (x)$ 的最大值不存在
(3) $f (x)$ 的最小值不存在
(4) 當 $- 10 \leq x \leq 2$ 時， $f (x)$ 的最大值為 $67$
(5) 當 $- 10 \leq x \leq 2$ 時， $f (x)$ 的最小值為 $4$

三、選填題（11 題每題 5 分全對才給分）

方程式

3^{x} + 3 - 18 \times 3^{- x} = 0

的解為 ____。

方程式

lo g x + lo g (x - 1) = 1 + lo g 2

的解為 ____。

已知

a

為阿拉伯數字且

lo g_{4} 125 = \frac{3}{lo g _{a} b}

，則

ab =

____。

求

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 7 \times lo g_{7} 9 \times (lo g_{3} 64 + lo g_{9} 2) =

____。

已知

\frac{1}{lo g _{2} a} + \frac{1}{lo g _{3} a} + \frac{1}{lo g _{6} a} = \frac{2}{3}

，則

a =

____。

滿足不等式

(0.3)^{x^{3} - 11 x^{2}} > (\frac{100}{9})^{9 x}

的所有正整數的和為 ____。

方程式

lo g (1 0^{x} + 100) = \frac{x}{2} + 1 + lo g 2

的解為 ____。

已知

x > 1

，且

3 lo g_{x} 10 - 2 lo g x + 1 = 0

，試求

x

的整數部分為 ____。

鉛製容器中有兩種放射性物質甲與乙，若乙的質量為甲質量的兩倍，且甲的半衰期為

30

小時。已知經過

120

小時候甲的質量為乙的兩倍，求乙的半衰期為 ____ 小時。

已知正數數列

{x_{n}}

，滿足

lo g x_{n + 1} - lo g x_{n} = 3

，則

lo g (x_{26} + x_{27} + x_{28} + x_{29} + x_{30}) - lo g (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5})

的值為 ____。

在坐標平面上，

Γ

是邊長為

6

的正方形，其中心位於點

(1, 1)

，且各邊與坐標軸平行。已知函數

y = a \times 2^{x}

的圖形與

Γ

相交，其中

a

為實數，若

m \leq a \leq n

則

m \times n =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(1)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(1)(4)(5)

第 7 題(2)(5)

第 8 題(3)

第 9 題(1)(2)(4)

第 10 題

1

第 11 題

5

第 12 題

20

第 13 題

13

第 14 題

216

第 15 題

33

第 16 題

2

第 17 題

31

第 18 題

20

第 19 題

75

第 20 題

- 128

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～5 題）：對數關係式的圖形、比較大小、衰減與工時模型、換底公式

第 1 題答案 (5)。真數條件：

x > 0

，

y > 0

。

lo g_{4} y = \frac{lo g _{2} y}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} y = lo g_{2} y

，左邊

lo g_{2} x + 1 = lo g_{2} x + lo g_{2} 2 = lo g_{2} (2 x)

。所以

lo g_{2} (2 x) = lo g_{2} y

，

y = 2 x

，

y = 4 x^{2}

（

x > 0

）。這是二次函數

y = 4 x^{2}

圖形在

x > 0

的那一半，選 (5)。

x > 0

這個條件把拋物線切掉左半，所以題目說「部分圖形」。

第 2 題答案 (4)。都提出

0. 6^{9}

（是正數）：

a = 0. 6^{9} (0.6 - 1) = - 0.4 \times 0. 6^{9}

；

b = 0. 6^{10} (0.6 - 1) = - 0.4 \times 0.6 \times 0. 6^{9} = - 0.24 \times 0. 6^{9}

；

c = \frac{0. 6 ^{9} ( 0.36 - 1 )}{2} = - 0.32 \times 0. 6^{9}

。因為

- 0.24 > - 0.32 > - 0.4

，乘上正數

0. 6^{9}

不改變大小，所以

b > c > a

。

卷面選項 (2)(4)(5) 最後一個字母印得只剩左半：(2) 殘存一豎，讀作

b

；(4)(5) 殘存左半個圓弧，讀作

a

。五個選項正好是

a

、

b

、

c

的五種排法，這樣讀也與學校答案 (4) 相符。

第 3 題答案 (1)。每小時代謝掉剩餘量的

20%

，剩下

80%

，所以

n

小時後體內剩下原注射量的

0. 8^{n}

倍。要

0. 8^{n} < 0.5

，兩邊取常用對數：

lo g 0.8 = lo g \frac{8}{10} = 3 lo g 2 - 1 = - 0.0970

，

lo g 0.5 = - lo g 2 = - 0.3010

。

- 0.0970 n < - 0.3010

，除以負數不等號反向：

n > \frac{0.3010}{0.0970} \approx 3.10

。所以至少要

4

小時。

檢查：

0. 8^{3} = 0.512

還沒少於一半，

0. 8^{4} = 0.4096

少於一半。

第 4 題

答案 (2)。四種結果的機率和為 $1$ 。換成以 $2$ 為底： $lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$ ， $lo g_{4} k = \frac{1}{2} lo g_{2} k$ ， $lo g_{8} k = \frac{1}{3} lo g_{2} k$ ， $lo g_{16} k = \frac{1}{4} lo g_{2} k$ 。所以 $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) lo g_{2} k = 1$ ， $\frac{13}{12} lo g_{2} k = \frac{1}{2}$ ， $lo g_{2} k = \frac{6}{13}$ 。

$lo g k = \frac{6}{13} lo g 2 = \frac{6}{13} \times 0.3010 \approx 0.1389$ 。而 $lo g 1.4 = lo g \frac{14}{10} = lo g 2 + lo g 7 - 1 = 0.1461$ ， $lo g 1.6 = 4 lo g 2 - 1 = 0.2040$ ， $lo g 1 = 0$ 。 $0.1389$ 很接近 $0.1461$ ，所以 $k \approx 1.38$ ，最接近 $1.4$ 。

lo g_{2} k = \frac{6}{13} > 0

，

k > 1

，四個機率都是正的，合理。

k = 2^{\frac{6}{13}} \approx 1.377

。

第 5 題

答案 (3)。第 $2$ 架的工時 $T = (\frac{4}{5})^{l o g_{2} 2} = \frac{4}{5}$ ，一半是 $\frac{2}{5}$ 。要 $(\frac{4}{5})^{l o g_{2} n} < \frac{2}{5}$ ，取常用對數： $lo g \frac{4}{5} = lo g \frac{8}{10} = 3 lo g 2 - 1 = - 0.0970$ ， $lo g \frac{2}{5} = lo g \frac{4}{10} = 2 lo g 2 - 1 = - 0.3980$ 。所以 $- 0.0970 lo g_{2} n < - 0.3980$ ， $lo g_{2} n > \frac{0.3980}{0.0970} \approx 4.103$ ， $n > 2^{4.103} = 16 \times 2^{0.103}$ 。

$lo g 2^{0.103} = 0.103 \times 0.3010 \approx 0.031$ ，介於 $lo g 1 = 0$ 與 $lo g 1.1 \approx 0.041$ 之間，所以 $2^{0.103}$ 約 $1.07$ ， $n > 16 \times 1.07 \approx 17.2$ 。正整數 $n$ 最小是 $18$ ，選 (3)。

lo g 1.1 = lo g 11 - 1

，

lo g 11 \approx 1.0414

。底數

\frac{4}{5} < 1

，

lo g \frac{4}{5}

是負的，除過去不等號要反向。

02多重選擇題（第 6～9 題）：對數的定義、圖形的對稱與凹口、位數與首位、代換求極值

第 6 題答案 (1)(4)(5)。(1) 正確。

lo g_{2} 3 = lo g_{2^{\frac{1}{2}}} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3

。(2) 錯誤。

y = lo g x^{2}

只要

x \neq = 0

都有定義，

y = 2 lo g x

只在

x > 0

有定義；例如

x = - 1

時前者

y = 0

，後者沒有定義，圖形不同。(3) 錯誤。 對數的底數必須是不等於

1

的正數，

- 4

不能當底數，

lo g_{(- 4)} 16

沒有意義。(4) 正確。

34 = 2^{\frac{2}{3}}

，

234 = (2^{1 + \frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{6}}

；底數

2 > 1

，

\frac{2}{3} < \frac{5}{6}

，所以

2^{\frac{2}{3}} < 2^{\frac{5}{6}}

。(5) 正確。 由算幾不等式

\frac{2 ^{30} + 2 ^{10}}{2} \geq 2^{30} \times 2^{10} = 2^{20}

，等號只在

2^{30} = 2^{10}

時成立，這裡兩數不等，所以嚴格大於。

(5) 也可以直接算：

\frac{2 ^{30} + 2 ^{10}}{2} = 2^{29} + 2^{9}

，而

2^{29}

已經比

2^{20}

大。

第 7 題

答案 (2)(5)。 $Γ_{1} : y = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}$ 。對稱於直線 $x - y = 0$ （即 $y = x$ ）是把 $x$ 、 $y$ 對調，得 $Γ_{2} : y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 。對稱於直線 $y = 0$ （ $x$ 軸）是把 $y$ 換成 $- y$ ，得 $Γ_{3} : y = - lo g_{\frac{1}{2}} x = lo g_{2} x$ 。

(1) 錯誤。 取 $Γ_{2}$ 上兩點 $(1, 0)$ 、 $(4, - 2)$ ，連線中點是 $(2.5, - 1)$ 。 $Γ_{2}$ 在 $x = 2.5$ 的值是 $lo g_{\frac{1}{2}} 2.5 = - lo g_{2} 2.5$ ；因為 $2.5 > 2$ ， $lo g_{2} 2.5 > 1$ ，所以這個值小於 $- 1$ ，曲線在弦的下方，凹口向上（底數介於 $0$ 與 $1$ 的對數函數圖形遞減、凹口向上）。

(2) 正確。 $Γ_{3} : y = lo g_{2} x$ 底數大於 $1$ ，取 $(1, 0)$ 、 $(4, 2)$ ，中點 $(2.5, 1)$ ，而 $lo g_{2} 2.5 > 1$ ，曲線在弦的上方，凹口向下。

(3) 錯誤。 $Γ_{1}$ 與直線 $y = x$ 相交： $x = 0$ 時 $(\frac{1}{2})^{0} = 1 > 0$ ， $x = 1$ 時 $\frac{1}{2} < 1$ ，所以在 $0$ 與 $1$ 之間有一點 $P$ 同時在 $Γ_{1}$ 與 $y = x$ 上。 $P$ 在對稱軸上，對稱後仍是自己，所以 $P$ 也在 $Γ_{2}$ 上，兩圖形相交。

(4) 錯誤。 比較 $Γ_{1} : y = 2^{- x}$ 與 $Γ_{3} : y = lo g_{2} x$ ： $x = 1$ 時 $2^{- 1} = \frac{1}{2} > 0 = lo g_{2} 1$ ； $x = 2$ 時 $2^{- 2} = \frac{1}{4} < 1 = lo g_{2} 2$ 。兩者高低在 $1$ 與 $2$ 之間對調，圖形必相交。

(5) 正確。 $x > 2$ 時 $lo g_{2} x > lo g_{2} 2 = 1$ ，而 $2^{- x} < 2^{- 2} = \frac{1}{4}$ ，所以 $Γ_{3}$ 恆在 $Γ_{1}$ 的上方。

先把三條曲線寫成式子：

Γ_{1}

是底數

\frac{1}{2}

的指數函數，

Γ_{2}

是底數

\frac{1}{2}

的對數函數，

Γ_{3}

是底數

2

的對數函數。

第 8 題答案 (3)。(1) 錯誤。

a = 3^{60} = (3^{2})^{30} = 9^{30}

，

b = 7^{30}

，

9 > 7

，所以

a > b

。(2) 錯誤。

3

的乘冪個位數字依

3, 9, 7, 1

循環，

60

是

4

的倍數，

3^{60}

個位是

1

；

7

的乘冪個位依

7, 9, 3, 1

循環，

30

除以

4

餘

2

，

7^{30}

個位是

9

。

ab

的個位是

1 \times 9 = 9

。(3) 正確。

lo g (ab) = lo g 3^{60} + lo g 7^{30} = 60 lo g 3 + 30 lo g 7

，由對數的定義

ab = 1 0^{60 l o g 3 + 30 l o g 7}

。(4) 錯誤。

lo g (ab) = 60 \times 0.4771 + 30 \times 0.8451 = 28.626 + 25.353 = 53.979

，介於

53

與

54

之間，所以

1 0^{53} < ab < 1 0^{54}

，

ab

是

54

位數。(5) 錯誤。

\frac{a}{b ^{2}} = \frac{3 ^{60}}{7 ^{60}}

，

lo g \frac{a}{b ^{2}} = 60 (lo g 3 - lo g 7) = 60 \times (- 0.3680) = - 22.08 = - 23 + 0.92

。所以

\frac{a}{b ^{2}} = 1 0^{0.92} \times 1 0^{- 23}

，而

1 < 1 0^{0.92} < 10

，首位非零數字出現在小數點後第

23

位，不是第

22

位。

負的對數要寫成「負整數＋介於

0

與

1

的小數」：

- 22.08 = - 23 + 0.92

，整數部分

- 23

決定首位非零數字在小數點後第

23

位。

第 9 題答案 (1)(2)(4)。令

t = 3^{x}

，

t > 0

，

9^{x} = t^{2}

，

f (x) = t^{2} - 2 t + 4 = (t - 1)^{2} + 3

。(1) 正確。

(t - 1)^{2} + 3 \geq 3 > 0

。(2) 正確。

x

越大

t

越大，

(t - 1)^{2} + 3

可以任意大，沒有最大值。(3) 錯誤。

t = 1

（即

x = 0

）時有最小值

3

。(4) 正確。

- 10 \leq x \leq 2

時

3^{- 10} \leq t \leq 9

；拋物線頂點在

t = 1

，離

1

最遠的是

t = 9

，最大值

= (9 - 1)^{2} + 3 = 67

（在

x = 2

）。(5) 錯誤。

t = 1

在範圍內，最小值是

3

，不是

4

。

代換後要記得

t

的範圍：

t = 3^{x}

永遠是正數，限制

x

的範圍時

t

也跟著有範圍。

03選填 A～E（第 10～14 題）：指對數方程式、換底公式

第 10 題令

t = 3^{x} > 0

，則

3^{- x} = \frac{1}{t}

。方程式成為

t + 3 - \frac{18}{t} = 0

，乘以

t

：

t^{2} + 3 t - 18 = 0

，

(t + 6) (t - 3) = 0

。

t > 0

，所以

t = 3

，

3^{x} = 3

，

x = 1

。

t = - 6

不合，因為

3^{x}

恆正。原卷答案格是一格 ⑩。

第 11 題真數條件：

x > 0

且

x - 1 > 0

，即

x > 1

。左邊

= lo g (x (x - 1))

，右邊

= lo g 10 + lo g 2 = lo g 20

。所以

x (x - 1) = 20

，

x^{2} - x - 20 = 0

，

(x - 5) (x + 4) = 0

，

x = 5

或

x = - 4

。

x > 1

，所以

x = 5

。

原卷答案格是一格 ⑪。

第 12 題

lo g_{4} 125 = \frac{lo g 5 ^{3}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{3 lo g 5}{2 lo g 2}

，而

\frac{3}{lo g _{a} b} = \frac{3 lo g a}{lo g b}

。所以

\frac{lo g a}{lo g b} = \frac{lo g 5}{2 lo g 2} = \frac{lo g 5}{lo g 4}

，即

lo g_{a} b = lo g_{5} 4

。

a = 5

時

b = 4

（其他

a

見下方說明），

ab = 20

。

題目沒有限定

b

是整數。由

lo g_{a} b = lo g_{5} 4

得

b = a^{l o g_{5} 4}

，

ab = a^{1 + l o g_{5} 4} = a^{l o g_{5} 20}

；

a

是可以當底數的阿拉伯數字（

2

～

9

），只有

a = 5

時

ab = 20

是整數，其餘都不是整數，填不進兩格答案，所以題意是

a = 5

、

b = 4

。原卷答案格是 ⑫⑬ 兩格。

第 13 題換底連乘：

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 7 \times lo g_{7} 9 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 5}{lo g 3} \times \frac{lo g 7}{lo g 5} \times \frac{lo g 9}{lo g 7} = \frac{lo g 9}{lo g 2} = \frac{2 lo g 3}{lo g 2}

。括號裡：

lo g_{3} 64 = \frac{6 lo g 2}{lo g 3}

，

lo g_{9} 2 = \frac{lo g 2}{2 lo g 3}

，和為

\frac{13 lo g 2}{2 lo g 3}

。相乘：

\frac{2 lo g 3}{lo g 2} \times \frac{13 lo g 2}{2 lo g 3} = 13

。

原卷答案格是 ⑭⑮ 兩格。

第 14 題

\frac{1}{lo g _{2} a} = lo g_{a} 2

，同理

\frac{1}{lo g _{3} a} = lo g_{a} 3

，

\frac{1}{lo g _{6} a} = lo g_{a} 6

。所以

lo g_{a} 2 + lo g_{a} 3 + lo g_{a} 6 = lo g_{a} 36 = \frac{2}{3}

，

a^{\frac{2}{3}} = 36

，

a = 3 6^{\frac{3}{2}} = 6^{3} = 216

。

代回：

lo g_{216} 36 = \frac{lo g 6 ^{2}}{lo g 6 ^{3}} = \frac{2}{3}

。原卷答案格是 ⑯⑰⑱ 三格。

04選填 F～K（第 15～20 題）：指對數不等式與方程式、半衰期、數列、圖形與正方形相交

第 15 題

\frac{100}{9} = (\frac{3}{10})^{- 2} = (0.3)^{- 2}

，所以右邊

= (0.3)^{- 18 x}

。底數

0.3 < 1

，

y = 0. 3^{x}

遞減，不等式等價於

x^{3} - 11 x^{2} < - 18 x

，即

x^{3} - 11 x^{2} + 18 x < 0

，

x (x - 2) (x - 9) < 0

。解得

x < 0

或

2 < x < 9

。正整數

x = 3, 4, 5, 6, 7, 8

，和為

33

。

底數小於

1

，比較指數時不等號要反向。原卷答案格是 ⑲⑳ 兩格。

第 16 題右邊

= lo g 1 0^{\frac{x}{2}} + lo g 10 + lo g 2 = lo g (20 \times 1 0^{\frac{x}{2}})

。所以

1 0^{x} + 100 = 20 \times 1 0^{\frac{x}{2}}

。令

t = 1 0^{\frac{x}{2}} > 0

，

t^{2} - 20 t + 100 = 0

，

(t - 10)^{2} = 0

，

t = 10

，

\frac{x}{2} = 1

，

x = 2

。

代回：

lo g (100 + 100) = lo g 200 = 2 + lo g 2

，右邊

= 1 + 1 + lo g 2

，相等。原卷答案格是一格㉑。

第 17 題令

u = lo g x

，

x > 1

，所以

u > 0

。

lo g_{x} 10 = \frac{lo g 10}{lo g x} = \frac{1}{u}

。方程式成為

\frac{3}{u} - 2 u + 1 = 0

，乘以

u

：

2 u^{2} - u - 3 = 0

，

(2 u - 3) (u + 1) = 0

，

u = \frac{3}{2}

（

u = - 1

不合）。所以

x = 1 0^{\frac{3}{2}} = 1010

。

10

介於

3.16

與

3.17

之間（

3.1 6^{2} = 9.9856

，

3.1 7^{2} = 10.0489

），所以

31.6 < x < 31.7

，整數部分是

31

。

原卷答案格是㉒㉓兩格。

第 18 題設甲原有質量

m

，乙為

2 m

，乙的半衰期為

h

小時。

120

小時是甲的

4

個半衰期，甲剩

m (\frac{1}{2})^{4} = \frac{m}{16}

；乙剩

2 m (\frac{1}{2})^{\frac{120}{h}}

。依題意

\frac{m}{16} = 2 \times 2 m (\frac{1}{2})^{\frac{120}{h}}

，所以

(\frac{1}{2})^{\frac{120}{h}} = \frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^{6}

，

\frac{120}{h} = 6

，

h = 20

。

檢查：乙

120

小時經過

6

個半衰期，剩

\frac{2 m}{64} = \frac{m}{32}

，甲剩

\frac{m}{16}

，正好是乙的兩倍。原卷答案格是㉔㉕兩格。

第 19 題

lo g x_{n + 1} - lo g x_{n} = lo g \frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = 3

，所以

\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = 1 0^{3}

，數列是公比

1 0^{3}

的等比數列，

x_{n + 25} = x_{n} \times (1 0^{3})^{25} = x_{n} \times 1 0^{75}

。因此

x_{26} + x_{27} + \dots + x_{30} = 1 0^{75} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{5})

，所求

= lo g 1 0^{75} = 75

。

原卷答案格是㉖㉗兩格。

第 20 題

正方形 $Γ$ 中心 $(1, 1)$ 、邊長 $6$ 、各邊平行坐標軸，所以 $Γ$ 佔 $- 2 \leq x \leq 4$ 、 $- 2 \leq y \leq 4$ 。曲線 $y = a \times 2^{x}$ 與 $Γ$ 相交，就是有某個 $x$ 在 $- 2$ 到 $4$ 之間，使 $a \times 2^{x}$ 也在 $- 2$ 到 $4$ 之間。

$a = 0$ ： $y = 0$ 穿過正方形，相交。 $a > 0$ ： $a \times 2^{x}$ 恆正、隨 $x$ 遞增，在 $- 2 \leq x \leq 4$ 上最小的是 $x = - 2$ 時的 $\frac{a}{4}$ ；只要 $\frac{a}{4} \leq 4$ 就有一段落在正方形內，即 $0 < a \leq 16$ 。 $a < 0$ ： $a \times 2^{x}$ 恆負、隨 $x$ 遞減，最靠近 $0$ 的是 $x = - 2$ 時的 $\frac{a}{4}$ ；要 $\frac{a}{4} \geq - 2$ ，即 $- 8 \leq a < 0$ 。合起來 $- 8 \leq a \leq 16$ ， $m = - 8$ ， $n = 16$ ， $m \times n = - 128$ 。

邊界情形：

a = 16

時曲線恰過正方形左上角

(- 2, 4)

；

a = - 8

時恰過左下角

(- 2, - 2)

，都算相交。原卷答案格是㉘㉙㉚㉛四格，第一格㉘是負號。

指對數題先寫下底數與真數的條件，再化成同底或代換成多項式；底數小於

1

時比較指數或真數，不等號要反向；用常用對數估位數或小數位時，把對數寫成整數部分加

0

到

1

的小數部分。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 5 題要先求出第 2 架的工時再取對數，最後還要估 2 的 4.1 次方；多重選擇第 7 題要分清楚對稱於 x−y=0 與對稱於 y=0 各換掉什麼，再判斷凹口方向與交點；多重選擇第 8 題 (5) 要把負的對數寫成負整數加正小數才能看出第幾位；選填 K（本頁第 20 題）要分 a 正、a 負兩種情形，各自找曲線最靠近正方形的那一端。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自平鎮高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～5 題）：對數關係式的圖形、比較大小、衰減與工時模型、換底公式

02多重選擇題（第 6～9 題）：對數的定義、圖形的對稱與凹口、位數與首位、代換求極值

03選填 A～E（第 10～14 題）：指對數方程式、換底公式

04選填 F～K（第 15～20 題）：指對數不等式與方程式、半衰期、數列、圖形與正方形相交

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