段考詳解範圍：正餘弦的疊合、指數與對數函數（指數律、對數律與換底、常用對數、指對數方程式與不等式及應用）

平鎮高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

共 20 小題，每小題 5 分，共 100 分；分數、根號須化成最簡。原卷題號 1～17，第 8、10、11 題各有兩小題，本頁依序編為第 1～20 題：原卷第 8 題＝第 8、9 題，第 9 題＝第 10 題，第 10 題＝第 11、12 題，第 11 題＝第 13、14 題，第 12～17 題＝第 15～20 題。卷頭附對數值：log₁₀2≈0.3010、log₁₀3≈0.4771、log₁₀5≈0.6990、log₁₀7≈0.8451。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 小題全部一致。

答題說明：請將答案畫在答案卡內，共 20 小題，每小題 5 分

關於函數

y = sin x - cos x

的圖形，選出正確的選項(多選)。

(1) 週期為 $π$
(2) 振幅為 $2$
(3) 與 $y$ 軸的交點為 $(0, - 1)$
(4) 與 $x$ 軸有無限多個交點
(5) 對稱於直線 $x = \frac{π}{4}$

下列哪一個數值最接近

2

？

(1) $3 cos 4 4^{\circ} + sin 4 4^{\circ}$
(2) $3 cos 5 4^{\circ} + sin 5 4^{\circ}$
(3) $3 cos 6 4^{\circ} + sin 6 4^{\circ}$
(4) $3 cos 7 4^{\circ} + sin 7 4^{\circ}$
(5) $3 cos 8 4^{\circ} + sin 8 4^{\circ}$

求函數

y = 3 sin (x + \frac{π}{6}) - 2 sin x

的最大值。____

在

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

的範圍內，求函數

y = sin x - 3 cos x + 1

的最大值。____

求函數

y = cos^{2} x + 3 sin x cos x

的最大值。____

求兩函數

y = 9^{x}

與

y = 3^{3 x - 2}

的圖形交點坐標。____

設

P

、

Q

分別為直線

y = 3

、

y = 6

與

y = 2^{x}

的交點，求線段

P Q

的長度。____

原卷第 8 題（第 8～9 題）　解下列各不等式：

(1)

9^{x} + 3^{x} - 2 \geq 0

。____

(2)

(\frac{1}{3})^{x^{2} - x} \leq (\frac{1}{9})^{2 x + 3}

。____

解下列對數不等式

2 lo g_{\frac{1}{3}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{3}} (7 - x)

　____

原卷第 10 題（第 11～12 題）　求下列各式的值：

(1)

\frac{2}{lo g _{2} 60} + \frac{1}{lo g _{3} 60} + \frac{1}{lo g _{5} 60}

。____

(2)

(lo g_{2} 5 + lo g_{8} 125) (lo g_{25} 4 + lo g_{5} \frac{1}{8})

。____

原卷第 11 題（第 13～14 題）　解下列各方程式：

(1)

lo g x + lo g (x - 1) = 1 + lo g 2

。____

(2)

lo g_{3} (3^{x} + 243) = \frac{x}{2} + 2 + lo g_{3} 4

　____

已知

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上一點，問：下列哪些選項中的點也會在

y = lo g x

的圖形上？(多選)。

(1) $(1, 0)$
(2) $(10 a, b + 1)$
(3) $(\frac{1}{a}, 1 - b)$
(4) $(2 a, 2 b)$

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，求滿足

10 0^{n} > 2^{1000}

的最小正整數

n

。____

將

(349)^{50}

寫成科學記號

(349)^{50} = a \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq a < 10

，且

n

為正整數。若

a

的整數部分為

m

則數對

(m, n) =

____ 對數值：

lo g_{10} 2 \approx 0.3010

，

lo g_{10} 3 \approx 0.4771

，

lo g_{10} 5 \approx 0.6990

，

lo g_{10} 7 \approx 0.8451

設

x_{0}

、

y_{0}

為正實數。若坐標平面上的點

(10 x_{0}, 100 y_{0})

在函數

y = 1 0^{x}

的圖形上，則點

(x_{0}, lo g y_{0})

會在直線

y = a x + b

的圖形上，其中

a

、

b

為實數。試問

2 a + b

的值為何？____

小華準備向銀行貸款 1 百萬元當做創業基金，其年利率為

3%

，約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利（每年複利一次）計息還款，但給小華創業優惠改以單利計息還款。問在此優惠下，小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳多少錢？____

設

a, b, c

為實數且滿足

lo g a = 1.1

、

lo g b = 2.2

、

lo g c = 3.3

。試選出正確的選項。(多選)。

(1) $a + c = 2 b$
(2) $1 < a < 10$
(3) $1000 < c < 2000$
(4) $b = 2 a$
(5) $a, b, c$ 成等比數列

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)

第 2 題(1)

第 3 題

1

第 4 題

2

第 5 題

\frac{3}{2}

第 6 題

(2, 81)

第 7 題

10

第 8 題

x \geq 0

第 9 題

x \geq 6

或

x \leq - 1

第 10 題

1 < x < 3

第 11 題

1

第 12 題

- 3

第 13 題

5

第 14 題

4

或

6

第 15 題(1)(2)

第 16 題

151

第 17 題

(1, 28)

第 18 題

18

第 19 題

2727

元

第 20 題(3)(5)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～5 題：正餘弦的疊合

第 1 題

答案 (3)(4)。

① 疊合： $y = sin x - cos x = 2 (sin x \cdot \frac{2}{2} - cos x \cdot \frac{2}{2}) = 2 sin (x - \frac{π}{4})$ 。

(1) 錯誤。 $x$ 的係數是 $1$ ，週期是 $2 π$ 。

(2) 錯誤。 振幅是 $2$ ，不是 $2$ 。

(3) 正確。 $x = 0$ 時 $y = sin 0 - cos 0 = - 1$ ，交點是 $(0, - 1)$ 。

(4) 正確。 $sin (x - \frac{π}{4}) = 0$ 時 $x = \frac{π}{4} + k π$ （ $k$ 為整數），有無限多個。

(5) 錯誤。 $x = \frac{π}{4}$ 時 $y = 0$ ，是圖形穿過 $x$ 軸的點，不是最高點或最低點，所以 $x = \frac{π}{4}$ 不是對稱軸。例如 $x = 0$ 時 $y = - 1$ ，對稱的位置 $x = \frac{π}{2}$ 時 $y = 1$ ，兩者不相等。

所以答案 (3)(4)。

載入中...

正弦型圖形的對稱軸通過最高點或最低點：

x = \frac{3 π}{4} + k π

。

x = \frac{π}{4}

是對稱中心

(\frac{π}{4}, 0)

所在的位置，圖形對這一點成點對稱。

第 2 題

答案 (1)。

① 疊合： $3 cos θ + sin θ = 2 (sin θ \cdot \frac{1}{2} + cos θ \cdot \frac{3}{2}) = 2 sin (θ + 6 0^{\circ})$ 。

② 最大值是 $2$ ，發生在 $θ + 6 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ ，也就是 $θ = 3 0^{\circ}$ 。

③ 五個選項的 $θ$ 是 $4 4^{\circ}$ 、 $5 4^{\circ}$ 、 $6 4^{\circ}$ 、 $7 4^{\circ}$ 、 $8 4^{\circ}$ ， $θ + 6 0^{\circ}$ 介於 $10 4^{\circ}$ 與 $14 4^{\circ}$ 之間。

④ 在 $9 0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 之間正弦遞減，角越小值越大，所以 $θ = 4 4^{\circ}$ 的值最大、最接近 $2$ 。

答案 (1)。

載入中...

五個值依序約為

1.94

、

1.83

、

1.66

、

1.44

、

1.18

，都小於

2

，所以「最接近

2

」就是「最大」。卷面最後一個選項的代號印成 (4)，它是第五個選項。

第 3 題

① 用和角公式展開： $3 sin (x + \frac{π}{6}) = 3 (sin x \cdot \frac{3}{2} + cos x \cdot \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x$ 。

② 減去 $2 sin x$ ： $y = - \frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x$ 。

③ 疊合： $(- \frac{1}{2})^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = 1$ ，取 $cos φ = - \frac{1}{2}$ 、 $sin φ = \frac{3}{2}$ ， $φ = \frac{2 π}{3}$ ，得 $y = sin (x + \frac{2 π}{3})$ 。

④ 正弦的最大值是 $1$ ，例如 $x = - \frac{π}{6}$ 時取到。

最大值 1。

載入中...

a sin x + b cos x

的最大值就是

a^{2} + b^{2}

，這裡

\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1

。

第 4 題

① 疊合： $sin x - 3 cos x = 2 (sin x \cdot \frac{1}{2} - cos x \cdot \frac{3}{2}) = 2 sin (x - \frac{π}{3})$ ，所以 $y = 2 sin (x - \frac{π}{3}) + 1$ 。

② 範圍： $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $- \frac{π}{3} \leq x - \frac{π}{3} \leq \frac{π}{6}$ 。

③ 在這一段， $sin (x - \frac{π}{3})$ 隨 $x$ 增加而遞增，從 $- \frac{3}{2}$ 增加到 $\frac{1}{2}$ 。

④ 最大值在 $x = \frac{π}{2}$ ： $y = 2 \times \frac{1}{2} + 1 = 2$ 。

最大值 2。

載入中...

沒有範圍限制時最大值是

2 + 1 = 3

；本題

x - \frac{π}{3}

到不了

\frac{π}{2}

，所以只能取到

2

。

第 5 題

① 用倍角公式降次： $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ ， $sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x$ 。

② 代入： $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{3}{2} sin 2 x$ 。

③ 疊合： $\frac{3}{2} sin 2 x + \frac{1}{2} cos 2 x = sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，所以 $y = sin (2 x + \frac{π}{6}) + \frac{1}{2}$ 。

④ 正弦最大是 $1$ （例如 $x = \frac{π}{6}$ ），所以最大值是 $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 。

最大值 $\frac{3}{2}$ 。

載入中...

看到

cos^{2} x

、

sin x cos x

這種二次式，先降成

2 x

的一次式再疊合。

a sin x + b cos x

一律先疊合成

a^{2} + b^{2} sin (x + φ)

，週期、振幅、最大值、範圍內的極值都從這個形式讀。

02第 6～10 題：指數函數與指對數不等式

第 6 題

① 化成同底： $9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x}$ 。

② 交點滿足 $3^{2 x} = 3^{3 x - 2}$ ，指數函數是一對一的，所以 $2 x = 3 x - 2$ ， $x = 2$ 。

③ 代回： $y = 9^{2} = 81$ 。

交點坐標 (2, 81)。

載入中...

方程式

2 x = 3 x - 2

只有一個解，兩個圖形恰好交於一點。

x < 2

時

9^{x}

在上方，

x > 2

時

3^{3 x - 2}

在上方。

第 7 題

① $P$ 在 $y = 3$ 上： $2^{x} = 3$ ， $x = lo g_{2} 3$ ， $P (lo g_{2} 3, 3)$ 。

② $Q$ 在 $y = 6$ 上： $2^{x} = 6$ ， $x = lo g_{2} 6$ ， $Q (lo g_{2} 6, 6)$ 。

③ 水平距離 $lo g_{2} 6 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} \frac{6}{3} = lo g_{2} 2 = 1$ ；鉛直距離 $6 - 3 = 3$ 。

④ $\overline{P Q} = 1^{2} + 3^{2} = 10$ 。

答案 $10$ 。

載入中...

不必算出

lo g_{2} 3

的值，兩個對數相減直接用對數律合併。

第 8 題

① 令 $t = 3^{x}$ ，則 $t > 0$ ，且 $9^{x} = (3^{x})^{2} = t^{2}$ 。

② 不等式變成 $t^{2} + t - 2 \geq 0$ ，因式分解 $(t + 2) (t - 1) \geq 0$ 。

③ $t > 0$ 時 $t + 2 > 0$ ，所以只要 $t - 1 \geq 0$ ，即 $3^{x} \geq 1 = 3^{0}$ 。

④ 底數 $3 > 1$ ，指數函數遞增，所以 $x \geq 0$ 。

答案 $x \geq 0$ 。

載入中...

t \leq - 2

那一段不必考慮，因為

3^{x}

永遠是正的。

第 9 題

① 化成同底： $(\frac{1}{9})^{2 x + 3} = (\frac{1}{3})^{2 (2 x + 3)} = (\frac{1}{3})^{4 x + 6}$ 。

② 不等式變成 $(\frac{1}{3})^{x^{2} - x} \leq (\frac{1}{3})^{4 x + 6}$ 。

③ 底數 $\frac{1}{3} < 1$ ，指數函數遞減，比指數時不等號要反向： $x^{2} - x \geq 4 x + 6$ 。

④ 移項： $x^{2} - 5 x - 6 \geq 0$ ， $(x - 6) (x + 1) \geq 0$ 。

答案 $x \geq 6$ 或 $x \leq - 1$ 。

載入中...

最常見的錯是忘了底數小於

1

要反向，會誤得

- 1 \leq x \leq 6

。

第 10 題

① 真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $7 - x > 0$ ，所以 $1 < x < 7$ 。

② 在這個範圍內 $x - 1 > 0$ ， $2 lo g_{\frac{1}{3}} (x - 1) = lo g_{\frac{1}{3}} (x - 1)^{2}$ 。

③ 不等式變成 $lo g_{\frac{1}{3}} (x - 1)^{2} > lo g_{\frac{1}{3}} (7 - x)$ 。底數 $\frac{1}{3} < 1$ ，對數函數遞減，真數的大小要反過來： $(x - 1)^{2} < 7 - x$ 。

④ 展開： $x^{2} - 2 x + 1 < 7 - x$ ， $x^{2} - x - 6 < 0$ ， $(x - 3) (x + 2) < 0$ ，得 $- 2 < x < 3$ 。

⑤ 與真數條件 $1 < x < 7$ 取交集： $1 < x < 3$ 。

答案 $1 < x < 3$ 。

載入中...

真數條件一定要先寫：只解 ④ 會得到

- 2 < x < 3

，其中

- 2 < x \leq 1

會讓

lo g_{\frac{1}{3}} (x - 1)

沒有意義。

指數、對數不等式先化成同底；底數小於

1

時不等號反向；對數題先寫真數條件，最後取交集。

03第 11～14 題：對數律、換底與對數方程式

第 11 題

① 換底公式的倒數形式： $\frac{1}{lo g _{a} b} = lo g_{b} a$ 。

② 所以 $\frac{2}{lo g _{2} 60} = 2 lo g_{60} 2 = lo g_{60} 4$ ， $\frac{1}{lo g _{3} 60} = lo g_{60} 3$ ， $\frac{1}{lo g _{5} 60} = lo g_{60} 5$ 。

③ 相加： $lo g_{60} 4 + lo g_{60} 3 + lo g_{60} 5 = lo g_{60} (4 \times 3 \times 5) = lo g_{60} 60 = 1$ 。

答案 $1$ 。

第 12 題

① 第一個括號： $lo g_{8} 125 = lo g_{2^{3}} 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} lo g_{2} 5 = \frac{1}{2} lo g_{2} 5$ ，所以 $lo g_{2} 5 + lo g_{8} 125 = \frac{3}{2} lo g_{2} 5$ 。

② 第二個括號： $lo g_{25} 4 = lo g_{5^{2}} 2^{2} = lo g_{5} 2$ ， $lo g_{5} \frac{1}{8} = lo g_{5} 2^{- 3} = - 3 lo g_{5} 2$ ，相加得 $- 2 lo g_{5} 2$ 。

③ 相乘： $\frac{3}{2} lo g_{2} 5 \times (- 2 lo g_{5} 2) = - 3 lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 2$ 。

④ $lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 2 = 1$ ，所以原式 $= - 3$ 。

答案 $- 3$ 。

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

是這題的主角；

lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1

由換底公式得到。

第 13 題

① 真數條件： $x > 0$ 且 $x - 1 > 0$ ，所以 $x > 1$ 。

② 左邊合併： $lo g x + lo g (x - 1) = lo g x (x - 1)$ ；右邊： $1 + lo g 2 = lo g 10 + lo g 2 = lo g 20$ 。

③ 對數函數是一對一的，所以 $x (x - 1) = 20$ ， $x^{2} - x - 20 = 0$ ， $(x - 5) (x + 4) = 0$ 。

④ $x = 5$ 或 $x = - 4$ ，只有 $x = 5$ 合乎 $x > 1$ 。

答案 $x = 5$ 。

x = - 4

代回原式，

lo g (- 4)

沒有意義，要捨去。

第 14 題

① 右邊寫成一個對數： $\frac{x}{2} + 2 + lo g_{3} 4 = lo g_{3} 3^{\frac{x}{2}} + lo g_{3} 9 + lo g_{3} 4 = lo g_{3} (36 \cdot 3^{\frac{x}{2}})$ 。

② 兩邊真數相等： $3^{x} + 243 = 36 \cdot 3^{\frac{x}{2}}$ 。

③ 令 $t = 3^{\frac{x}{2}} > 0$ ，則 $3^{x} = t^{2}$ ，方程式變成 $t^{2} - 36 t + 243 = 0$ ， $(t - 9) (t - 27) = 0$ 。

④ $t = 9 = 3^{2}$ 時 $\frac{x}{2} = 2$ ， $x = 4$ ； $t = 27 = 3^{3}$ 時 $\frac{x}{2} = 3$ ， $x = 6$ 。

⑤ 兩個 $t$ 都是正數， $3^{x} + 243$ 也一定是正數，兩解都合。

答案 $x = 4$ 或 $6$ 。

驗算：

x = 4

時左邊

lo g_{3} 324 = lo g_{3} (81 \times 4) = 4 + lo g_{3} 4

，右邊

2 + 2 + lo g_{3} 4

，相等；

x = 6

時左邊

lo g_{3} 972 = lo g_{3} (243 \times 4) = 5 + lo g_{3} 4

，右邊

3 + 2 + lo g_{3} 4

，相等。

對數式先統一底數或化成一個對數；方程式記得真數條件，遇到

3^{x}

與

3^{x /2}

同時出現就整體代換成二次方程式。

04第 15～20 題：對數函數與常用對數的應用

第 15 題

答案 (1)(2)。已知 $a > 0$ 且 $b = lo g a$ 。

(1) 正確。 $lo g 1 = 0$ 。

(2) 正確。 $lo g (10 a) = lo g 10 + lo g a = 1 + b$ 。

(3) 錯誤。 $lo g \frac{1}{a} = - lo g a = - b$ ；落在圖形上的是 $(\frac{1}{a}, - b)$ ，而 $1 - b \neq = - b$ 。

(4) 錯誤。 $lo g (2 a) = lo g 2 + b$ ，要等於 $2 b$ 必須 $b = lo g 2$ ，也就是只有 $a = 2$ 時才成立，不是每個 $(a, b)$ 都對。

所以答案 (1)(2)。

載入中...

(2) 的意思是：橫坐標乘

10

，縱坐標就加

1

。(4) 舉例：

a = 10

、

b = 1

時，

(20, 2)

不在圖形上，因為

lo g 20 \approx 1.301

。

第 16 題

① 兩邊都是正數，取常用對數（底數 $10 > 1$ ，不等號方向不變）： $n lo g 100 > 1000 lo g 2$ 。

② $lo g 100 = 2$ ， $lo g 2 \approx 0.3010$ ： $2 n > 301$ ， $n > 150.5$ 。

③ 最小的正整數是 $151$ 。

答案 $151$ 。

10 0^{n} = 1 0^{2 n}

，

2^{1000} = 1 0^{1000 l o g 2} \approx 1 0^{301}

，所以只要

2 n > 301

。用更精確的

lo g 2 \approx 0.30103

得

n > 150.515

，答案一樣是

151

。

第 17 題

① $(349)^{50} = (7^{\frac{2}{3}})^{50} = 7^{\frac{100}{3}}$ 。

② 取常用對數： $lo g 7^{\frac{100}{3}} = \frac{100}{3} \times 0.8451 = \frac{84.51}{3} = 28.17$ 。

③ 寫成 $28 + 0.17$ ：首數 $28$ ，所以 $n = 28$ ； $lo g a = 0.17$ 。

④ $lo g 1 = 0 < 0.17 < 0.3010 = lo g 2$ ，所以 $1 < a < 2$ ，整數部分 $m = 1$ 。

答案 $(m, n) = (1, 28)$ 。

a = 1 0^{0.17} \approx 1.48

。科學記號

a \times 1 0^{n}

中，

n

是常用對數的整數部分，

a

由小數部分決定。

第 18 題

① 點 $(10 x_{0}, 100 y_{0})$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上： $100 y_{0} = 1 0^{10 x_{0}}$ 。

② 兩邊取常用對數： $lo g (100 y_{0}) = 10 x_{0}$ ，即 $2 + lo g y_{0} = 10 x_{0}$ 。

③ 整理： $lo g y_{0} = 10 x_{0} - 2$ 。這表示點 $(x_{0}, lo g y_{0})$ 一定在直線 $y = 10 x - 2$ 上。

④ 所以 $a = 10$ 、 $b = - 2$ ， $2 a + b = 20 - 2 = 18$ 。

答案 $18$ 。

載入中...

y_{0} > 0

，取對數才有意義；

x_{0}

可以是任何正數，所有這樣的點連起來就是直線

y = 10 x - 2

在

x > 0

的部分；這條直線與

x

軸交於

x = 0.2

。

第 19 題

① 複利：每年本利和乘上 $1.03$ ，三年後 $1000000 \times 1.0 3^{3}$ 。

② $1.0 3^{2} = 1.0609$ ， $1.0 3^{3} = 1.0609 \times 1.03 = 1.092727$ ，所以複利本利和 $= 1092727$ 元。

③ 單利：每年利息都是 $1000000 \times 3% = 30000$ 元，三年後本利和 $= 1000000 + 3 \times 30000 = 1090000$ 元。

④ 相差 $1092727 - 1090000 = 2727$ 元。

$年 123 單利本利和 103000010600001090000 複利本利和 103000010609001092727$

答案 $2727$ 元。

第一年兩者相同；差別在複利把前一年的利息也算進本金，第二年起就多出「利息的利息」。

第 20 題

答案 (3)(5)。由定義 $a = 1 0^{1.1}$ 、 $b = 1 0^{2.2}$ 、 $c = 1 0^{3.3}$ ，三個都是正數。

(1) 錯誤。 $lo g c = 3.3 > 3$ ，所以 $c > 1000$ ； $lo g b = 2.2 < 2.3010 = lo g 200$ ，所以 $b < 200$ ， $2 b < 400$ 。於是 $a + c > c > 1000 > 2 b$ ，不相等。

(2) 錯誤。 $lo g a = 1.1 > 1 = lo g 10$ ，所以 $a > 10$ 。

(3) 正確。 $lo g 1000 = 3 < 3.3$ ； $lo g 2000 = lo g 2 + 3 \approx 3.3010 > 3.3$ ，所以 $1000 < c < 2000$ 。

(4) 錯誤。 $lo g b = 2.2 = 2 lo g a = lo g a^{2}$ ，所以 $b = a^{2}$ ； $a^{2} = 2 a$ 只在 $a = 2$ 時成立，但 $a > 10$ 。

(5) 正確。 $lo g b - lo g a = 1.1 = lo g c - lo g b$ ，即 $\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = 1 0^{1.1}$ ，三數成等比數列。

所以答案 (3)(5)。

載入中...

對數成等差（公差

1.1

），原數就成等比（公比

1 0^{1.1}

）。近似值：

a \approx 12.6

、

b \approx 158.5

、

c \approx 1995.3

。

常用對數把乘方變成乘法、把乘法變成加法：比大數取對數，科學記號看首數與尾數，對數成等差就是原數成等比。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

平鎮高中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題（疊合後要逐項判斷週期、振幅、交點與對稱軸）、第 17 題（用常用對數寫成科學記號再判斷首位數字）、第 18 題（由點在指數函數圖形上，推出另一點落在哪條直線上）步驟較多，容易漏看條件；共同的關鍵是先把式子整理成標準形式，再逐項代回檢查。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 110 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 110 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1～5 題：正餘弦的疊合

02第 6～10 題：指數函數與指對數不等式

03第 11～14 題：對數律、換底與對數方程式

04第 15～20 題：對數函數與常用對數的應用

這一章的單元冊

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

平鎮高中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

平鎮高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

平鎮高中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？