段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

平鎮高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 111 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 111 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題括號裡是 2x 加 p，整個角要多轉完整一圈才會處處相等，不是多半圈；第 14 題要把梯形扣掉兩個圓心角不同的扇形；第 17 題要從圖形的起點決定平移量，再用範圍挑出唯一的值；第 19 題要先用圖形通過原點決定 c，再看出原點到 B 剛好是一個週期。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 8 題 40 分、多選題 4 題 20 分、選填題 8 格 40 分（每格 5 分），合計 100 分。選填題原卷編為甲 (A)(B)、乙 (C)(D)、E、F、G、H，本頁依序編為第 13～20 題。答案已與學校的標準答案逐題核對。

一、單選題：（每題 5 分，答錯不扣分）

已知某扇形的半徑為

6

，圓心角

θ

所對應的弧長為

12

，則圓心角

θ

等於下哪一個選項？

(1) $1$ 弳
(2) $2$ 弳
(3) $3$ 弳
(4) $4$ 弳
(5) $5$ 弳

已知某正弦函數滿足

sin (2 x + p) = sin 2 x

，其中

p

為正實數，

x

為任意數，則下列哪一個選項是

p

的最小值？

(1) $\frac{π}{2}$
(2) $π$
(3) $\frac{3 π}{2}$
(4) $2 π$
(5) $\frac{5 π}{2}$

下列哪一個選項跟

x

軸有交點？

(1) $y = sin x + 2$
(2) $y = - 2 sin x + 2$
(3) $y = 3 sin x + 4$
(4) $y = sin x + 2$
(5) $y = - sin x + 2$

比較

a = sin 1

、

b = sin 2

、

c = sin 3

的大小關係？

(1) $a > b > c$
(2) $c > b > a$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $a > c > b$

下列何者的圖形可由

y = sin 2 x

的圖形向右平移

\frac{π}{4}

單位，再向上平移

2

單位後得到？

(1) $y = sin (2 x + \frac{π}{4}) + 2$
(2) $y = sin (2 x + \frac{π}{4}) - 2$
(3) $y = sin (2 x - \frac{π}{4}) + 2$
(4) $y = sin (2 x - \frac{π}{2}) + 2$
(5) $y = sin (2 x - \frac{π}{4}) - 2$

右圖是下列哪個函數的圖形？

(1) $y = 3 sin x$
(2) $y = - 3 sin x$
(3) $y = 3 sin 2 x$
(4) $y = - 3 sin 2 x$
(5) $y = - 3 sin 3 x$

載入中...

若摩天輪的某一車廂的高度

y

（公尺）與時間

x

（分鐘）的關係式為

y = 20 sin (bπ x + \frac{5 π}{2}) + 31

，

b > 0

，已知摩天輪轉一圈需

20

分鐘，求

b =

？

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $\frac{1}{4}$
(3) $\frac{1}{6}$
(4) $\frac{1}{8}$
(5) $\frac{1}{10}$

設

a = sin 3

，則

a

的範圍是下列哪一個選項？

(1) $0 < a < \frac{1}{2}$
(2) $\frac{1}{2} < a < \frac{2}{2}$
(3) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(4) $\frac{3}{2} < a < 1$
(5) $- \frac{1}{2} < a < 0$

二、多選題：（每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 5 分，只錯一個選項可得 3 分，錯兩個選項可得 1 分，不作答或錯三個以上選項不給分。）

請選出

\frac{5 π}{3}

的同界角？

(1) $\frac{π}{3}$
(2) $\frac{7 π}{3}$
(3) $- \frac{7 π}{3}$
(4) $\frac{17 π}{3}$
(5) $- \frac{19 π}{3}$

關於函數

f (x) = 2 (1 + sin (3 x + \frac{π}{6}))

，試問下列哪些選項是正確的？

(1) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(2) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 時有最大值
(3) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(4) $f (x)$ 的振幅為 $2$
(5) 圖形關於直線 $x = \frac{π}{9}$ 對稱

下列哪些選項是正確的？

(1) $cos (\frac{π}{2} + θ) = - cos θ$
(2) $cos (θ - \frac{π}{2}) = - sin θ$
(3) $sin (π + θ) = sin θ$
(4) $sin (π - θ) = sin θ$
(5) $sin (- θ) = - sin θ$

設函數

y = sin (x - \frac{π}{4})

的圖形可由

y = sin x

的圖形往右平移

h

單位後得到。則

h

可能為下列哪些選項？

(1) $- \frac{π}{4}$
(2) $\frac{π}{4}$
(3) $\frac{9 π}{4}$
(4) $- \frac{7 π}{4}$
(5) $\frac{7 π}{4}$

三、選填題：（每格 5 分，全對才得分）

第 13～14 題為題組（原卷選填甲）（第 13～14 題）　如右圖，已知半徑分別為

3

與

9

的兩圓外切，且直線

A B

為其外公切線，求：（圖附在第 13 題）

(A) 鋪色區域的周長

=

____

π +

____

____

。

載入中...

(B) 鋪色區域的面積

= \frac{- 33}{2} π +

____

____

。

(C)

\frac{11}{12} π

弳

=

____ 度。

(D)

170

度

= \frac{____}{____} π

弳。

已知右圖為

y = sin (x - hπ)

一個週期的圖形，其中

2 π < hπ < 4 π

，求

h = \frac{____}{____}

。

載入中...

試問點

P (tan 10, sin 10)

位在第幾象限？ ____　(1) 一　(2) 二　(3) 三　(4) 四

下圖為函數

y = a sin (b x + c) + d

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，

- \frac{π}{2} \leq c \leq \frac{π}{2}

，

A (\frac{π}{3}, 0)

，

B (π, 0)

，求數對

(a, b) =

( ____ , ____ )。

載入中...

函數

y = - 3 sin (2 π x + 5) + 3

的最大值為

a

，最小值為

b

，週期為

c

，振幅為

d

。則

a + b + c + d =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(4)

第 6 題(4)

第 7 題(5)

第 8 題(1)

第 9 題(3)(4)(5)

第 10 題(3)(4)(5)

第 11 題(4)(5)

第 12 題(2)(3)(4)

第 13 題

5

、

6

、

3

（即

5 π + 63

）

第 14 題

36

、

3

（即

\frac{- 33}{2} π + 363

）

第 15 題

165

第 16 題

17

、

18

（即

\frac{17}{18} π

弳）

第 17 題

17

、

5

（即

h = \frac{17}{5}

）

第 18 題

4

（第四象限）

第 19 題

2

、

2

（即

(2, 2)

）

第 20 題

10

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：弧長、週期、與 x 軸的交點

第 1 題答案 (2)。弧長

=

半徑

\times

圓心角（弧度），

12 = 6 θ

，

θ = 2

（弳）。

第 2 題答案 (4)。等式對任意

x

都成立，先代

x = 0

：

sin p = 0

，所以

p

是

π

的正整數倍，最小的兩個候選是

π

與

2 π

。

p = π

時代

x = \frac{π}{4}

：左邊

sin (\frac{π}{2} + π) = sin \frac{3 π}{2} = - 1

，右邊

sin \frac{π}{2} = 1

，不相等，所以

π

不行。

p = 2 π

時

2 x + 2 π

與

2 x

是同界角，正弦值永遠相等。所以

p

的最小值是

2 π

。

y = sin 2 x

的週期是

π

，那是指把

x

換成

x + π

：

sin 2 (x + π) = sin (2 x + 2 π)

，括號裡的角一樣是多了

2 π

。本題的

p

直接加在

2 x

後面，所以是

2 π

而不是

π

。

第 3 題答案 (2)。與

x

軸有交點，就是

y

的值可以等於

0

。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，五個函數的範圍分別是：(1)

1 \leq y \leq 3

；(2)

0 \leq y \leq 4

；(3)

1 \leq y \leq 7

；(4)、(5) 都是

2 - 1 \leq y \leq 2 + 1

，而

2 - 1 \approx 0.41 > 0

。只有 (2) 的範圍包含

0

，例如

x = \frac{π}{2}

時

y = - 2 + 2 = 0

。

y = a sin x + d

的值介於

d - ∣ a ∣

與

d + ∣ a ∣

之間；這個範圍包含

0

，圖形才碰得到

x

軸。

02單選第 4～6 題：比較大小、圖形平移、由圖形判斷函數

第 4 題答案 (3)。

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

，所以

1

弳在第一象限，

2

弳、

3

弳在第二象限。把第二象限角換成參考角：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。角在

0

到

\frac{π}{2}

之間時，角愈大正弦值愈大，而

0.14 < 1 < 1.14

，所以

sin 3 < sin 1 < sin 2

，即

b > a > c

。

三個值約為

a \approx 0.841

、

b \approx 0.909

、

c \approx 0.141

。

第 5 題答案 (4)。向右平移

\frac{π}{4}

單位，是把

x

換成

x - \frac{π}{4}

：

y = sin 2 (x - \frac{π}{4}) = sin (2 x - \frac{π}{2})

；再向上平移

2

單位，整個函數值加

2

：

y = sin (2 x - \frac{π}{2}) + 2

。

選項 (3) 是只把括號裡減

\frac{π}{4}

，那樣圖形只向右移了

\frac{π}{8}

。

第 6 題答案 (4)。圖形最高到

3

、最低到

- 3

，五個選項的振幅都是

3

，要看週期與方向。圖形通過原點後，下一次由下往上穿過

x

軸在

\frac{π}{2}

，再下一次由上往下穿過

x

軸在

π

，所以從原點到

π

剛好是一個週期，週期是

π

；由

\frac{2 π}{b} = π

得

b = 2

，剩下 (3)、(4)。圖形通過原點後先往下走，而

y = 3 sin 2 x

在原點右邊是先往上，所以是上下顛倒的

y = - 3 sin 2 x

。

左右平移是對

x

本身加減：

y = sin b x

向右平移

k

單位是

y = sin b (x - k)

，括號要先乘開再比對。

03單選第 7、8 題：摩天輪的週期、sin 3 的範圍

第 7 題答案 (5)。轉一圈的時間就是函數的週期。

x

的係數是

bπ

（

b > 0

），週期

= \frac{2 π}{bπ} = \frac{2}{b}

。由

\frac{2}{b} = 20

得

b = \frac{1}{10}

。

括號裡的

\frac{5 π}{2}

與後面的

31

只影響起始位置與高度，不影響週期。

第 8 題答案 (1)。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 3 < π \approx 3.14

，

3

弳是第二象限角，正弦值為正，參考角是

π - 3 \approx 0.14

，所以

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。又

0 < 0.14 < \frac{π}{6} \approx 0.52

，角在

0

到

\frac{π}{2}

之間時角愈大正弦值愈大，所以

0 < sin 3 < sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

實際值

sin 3 \approx 0.141

。

沒有

π

的弧度角，先用

π \approx 3.14

找出象限，再換成參考角。

04多選第 9、10 題：同界角、正弦函數的性質

第 9 題答案 (3)(4)(5)。同界角與

\frac{5 π}{3}

相差

2 π = \frac{6 π}{3}

的整數倍。(1)

\frac{π}{3} - \frac{5 π}{3} = - \frac{4 π}{3}

，錯。(2)

\frac{7 π}{3} - \frac{5 π}{3} = \frac{2 π}{3}

，錯。(3)

- \frac{7 π}{3} - \frac{5 π}{3} = - 4 π

，對。(4)

\frac{17 π}{3} - \frac{5 π}{3} = 4 π

，對。(5)

- \frac{19 π}{3} - \frac{5 π}{3} = - 8 π

，對。

第 10 題答案 (3)(4)(5)。先乘開：

f (x) = 2 + 2 sin (3 x + \frac{π}{6})

。(1) 錯：

- 1 \leq sin (3 x + \frac{π}{6}) \leq 1

，所以

0 \leq f (x) \leq 4

。(2) 錯：

x = \frac{π}{6}

時

3 x + \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

，

f (\frac{π}{6}) = 2 + 2 \times \frac{3}{2} = 2 + 3

，比最大值

4

小。(3) 對：

x

的係數是

3

，週期

= \frac{2 π}{3}

。(4) 對：振幅是

sin

前面的係數

2

，也等於

\frac{4 - 0}{2}

。(5) 對：

x = \frac{π}{9}

時

3 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，

f (x) = 4

是最大值，正弦函數的圖形對稱於通過最高點的鉛直線。

正弦函數圖形的對稱軸，是通過最高點或最低點的鉛直線。

05多選第 11、12 題：角度加減後的關係、平移量

第 11 題答案 (4)(5)。(1) 錯：代

θ = 0

，左邊

cos \frac{π}{2} = 0

，右邊

- cos 0 = - 1

。（正確的關係是

cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ

。）(2) 錯：代

θ = \frac{π}{2}

，左邊

cos 0 = 1

，右邊

- sin \frac{π}{2} = - 1

。（正確的是

cos (θ - \frac{π}{2}) = sin θ

。）(3) 錯：代

θ = \frac{π}{2}

，左邊

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，右邊

sin \frac{π}{2} = 1

。（角多轉半圈，終邊跑到對面，正確的是

sin (π + θ) = - sin θ

。）(4) 對：

π - θ

與

θ

的終邊對稱於

y

軸，與單位圓的交點一樣高，正弦值相等。(5) 對：

- θ

與

θ

的終邊對稱於

x

軸，與單位圓的交點高度差一個負號。

第 12 題答案 (2)(3)(4)。

y = sin x

往右平移

h

單位得

y = sin (x - h)

。要它與

y = sin (x - \frac{π}{4})

是同一個圖形，

h

與

\frac{π}{4}

要相差

2 π = \frac{8 π}{4}

的整數倍（正弦函數的週期是

2 π

）。(1)

- \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}

，錯。(2) 相差

0

，對。(3)

\frac{9 π}{4} - \frac{π}{4} = 2 π

，對。(4)

- \frac{7 π}{4} - \frac{π}{4} = - 2 π

，對（

h

是負的，表示實際上往左平移

\frac{7 π}{4}

）。(5)

\frac{7 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}

，錯。

判斷一個恆等式錯，代一個特殊角找出反例就夠；判斷它對，要用單位圓上的對稱說明。

06選填甲 (A)(B)（第 13、14 題）：兩外切圓與公切線所圍的區域

第 13 題設小圓圓心

O_{1}

、大圓圓心

O_{2}

，兩圓的切點為

T

。半徑垂直切線，所以

\overline{O_{1} A} = 3

、

\overline{O_{2} B} = 9

都垂直直線

A B

；兩圓外切，

\overline{O_{1} O_{2}} = 3 + 9 = 12

，且

T

在

\overline{O_{1} O_{2}}

上。過

O_{1}

作

\overline{O_{2} B}

的垂線，垂足

H

，則

\overline{O_{2} H} = 9 - 3 = 6

，直角三角形

O_{1} H O_{2}

的斜邊是

12

、一股是

6

，所以

\overline{A B} = \overline{O_{1} H} = 1 2^{2} - 6^{2} = 63

，而且

∠ O_{1} O_{2} B = \frac{π}{3}

（鄰邊比斜邊

= \frac{1}{2}

）。四邊形

A O_{1} O_{2} B

是梯形，

\overline{O_{1} A}

與

\overline{O_{2} B}

平行，所以

∠ A O_{1} O_{2} = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。鋪色區域的邊界有三段：小圓的弧

A T

= 3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

，大圓的弧

T B

= 9 \times \frac{π}{3} = 3 π

，線段

\overline{A B} = 63

。周長

= 5 π + 63

，三格依序填

5

、

6

、

3

。

第 14 題沿用上一題的記號。鋪色區域

=

梯形

A O_{1} O_{2} B

扣掉兩個扇形。梯形面積

= \frac{( 3 + 9 ) \times 6 3}{2} = 363

。小圓的扇形

O_{1} A T

：半徑

3

、圓心角

\frac{2 π}{3}

，面積

\frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{2 π}{3} = 3 π

。大圓的扇形

O_{2} T B

：半徑

9

、圓心角

\frac{π}{3}

，面積

\frac{1}{2} \times 9^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{27}{2} π

。鋪色面積

= 363 - 3 π - \frac{27}{2} π = - \frac{33}{2} π + 363

，與卷面印好的

\frac{- 33}{2} π

相符，兩格依序填

36

、

3

。

數值約

62.35 - 51.84 = 10.52

，是一小塊，合理。

兩圓外切加一條外公切線：連兩個圓心、作兩條到切點的半徑，就得到一個直角梯形；圓心角從梯形裡的直角三角形找。

07選填乙 (C)(D)（第 15、16 題）：度與弧度互換

第 15 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{11}{12} π

弳

= \frac{11}{12} \times 18 0^{\circ} = 16 5^{\circ}

。填

165

。

第 16 題

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

17 0^{\circ} = \frac{170}{180} π = \frac{17}{18} π

弳。分子填

17

，分母填

18

。

08選填 E、F（第 17、18 題）：由圖形求平移量、判斷象限

第 17 題

y = sin x

的一個週期從

x = 0

（函數值

0

、接著往上）開始。圖上這一個週期從

x = - \frac{3 π}{5}

開始（函數值

0

、接著往上），到

\frac{7 π}{5}

結束，長度剛好

2 π

。所以起點處括號裡的角是

0

或差

2 π

的整數倍：

- \frac{3 π}{5} - hπ = - 2 k π

（

k

是整數），

hπ = - \frac{3 π}{5} + 2 k π

。

k = 1

時

hπ = \frac{7 π}{5}

，比

2 π

小；

k = 2

時

hπ = \frac{17 π}{5}

，在

2 π = \frac{10 π}{5}

與

4 π = \frac{20 π}{5}

之間；

k = 3

時

\frac{27 π}{5}

已超過

4 π

。所以

hπ = \frac{17 π}{5}

，

h = \frac{17}{5}

。分子填

17

，分母填

5

。

檢查：

x = - \frac{3 π}{5}

時

sin (- \frac{3 π}{5} - \frac{17 π}{5}) = sin (- 4 π) = 0

。

第 18 題

3 π \approx 9.42

，

\frac{7 π}{2} \approx 11.00

，所以

3 π < 10 < \frac{7 π}{2}

。減去一圈

2 π

後，

10

弳的同界角介於

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角。第三象限角的正切為正、正弦為負，所以

tan 10 > 0

、

sin 10 < 0

，點

P

的

x

坐標為正、

y

坐標為負，位在第四象限，填

4

。

實際值

tan 10 \approx 0.648

，

sin 10 \approx - 0.544

。問的是點

P

所在的象限，不是

10

弳這個角所在的象限。

y = sin (x - k)

的圖形是

y = sin x

向右平移

k

；

k

加減

2 π

的整數倍圖形不變，要靠題目給的範圍挑出唯一的值。

09選填 G、H（第 19、20 題）：由圖形決定係數、最大最小值與週期

第 19 題由圖，最大值

1

、最小值

- 3

。

a > 0

時最大值

a + d = 1

、最小值

- a + d = - 3

，解得

a = 2

、

d = - 1

。圖形通過原點：

2 sin c - 1 = 0

，

sin c = \frac{1}{2}

，在

- \frac{π}{2} \leq c \leq \frac{π}{2}

內只有

c = \frac{π}{6}

。圖形與

x

軸的交點依序是

O

、

A

、

B

：在

O

是由下往上穿過，在

A

是由上往下，在

B

又是由下往上，所以從

O

到

B

剛好是一個週期，週期

= π

。

b > 0

，

\frac{2 π}{b} = π

，

b = 2

。數對

(a, b) = (2, 2)

。

檢查：

y = 2 sin (2 x + \frac{π}{6}) - 1

，

x = \frac{π}{3}

時

2 sin \frac{5 π}{6} - 1 = 0

，

x = π

時

2 sin \frac{13 π}{6} - 1 = 0

，與

A

、

B

相符。

第 20 題

- 1 \leq sin (2 π x + 5) \leq 1

，乘以

- 3

後

- 3 \leq - 3 sin (2 π x + 5) \leq 3

，再加

3

：

0 \leq y \leq 6

。最大值

a = 6

，最小值

b = 0

。

x

的係數是

2 π

，週期

c = \frac{2 π}{2 π} = 1

。振幅是最大值與最小值的差的一半，

d = \frac{6 - 0}{2} = 3

（振幅是正的，不是

- 3

）。

a + b + c + d = 6 + 0 + 1 + 3 = 10

。

y = a sin (b x + c) + d

：

d

是最大值與最小值的平均，振幅

∣ a ∣

是兩者差的一半，週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

平鎮高中 111 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題括號裡是 2x 加 p，整個角要多轉完整一圈才會處處相等，不是多半圈；第 14 題要把梯形扣掉兩個圓心角不同的扇形；第 17 題要從圖形的起點決定平移量，再用範圍挑出唯一的值；第 19 題要先用圖形通過原點決定 c，再看出原點到 B 剛好是一個週期。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 111 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期）

平鎮高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題：（每題 5 分，答錯不扣分）

已知某扇形的半徑為

6

，圓心角

θ

所對應的弧長為

12

，則圓心角

θ

等於下哪一個選項？

(1) $1$ 弳
(2) $2$ 弳
(3) $3$ 弳
(4) $4$ 弳
(5) $5$ 弳

已知某正弦函數滿足

sin (2 x + p) = sin 2 x

，其中

p

為正實數，

x

為任意數，則下列哪一個選項是

p

的最小值？

(1) $\frac{π}{2}$
(2) $π$
(3) $\frac{3 π}{2}$
(4) $2 π$
(5) $\frac{5 π}{2}$

下列哪一個選項跟

x

軸有交點？

(1) $y = sin x + 2$
(2) $y = - 2 sin x + 2$
(3) $y = 3 sin x + 4$
(4) $y = sin x + 2$
(5) $y = - sin x + 2$

比較

a = sin 1

、

b = sin 2

、

c = sin 3

的大小關係？

(1) $a > b > c$
(2) $c > b > a$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $a > c > b$

下列何者的圖形可由

y = sin 2 x

的圖形向右平移

\frac{π}{4}

單位，再向上平移

2

單位後得到？

(1) $y = sin (2 x + \frac{π}{4}) + 2$
(2) $y = sin (2 x + \frac{π}{4}) - 2$
(3) $y = sin (2 x - \frac{π}{4}) + 2$
(4) $y = sin (2 x - \frac{π}{2}) + 2$
(5) $y = sin (2 x - \frac{π}{4}) - 2$

右圖是下列哪個函數的圖形？

(1) $y = 3 sin x$
(2) $y = - 3 sin x$
(3) $y = 3 sin 2 x$
(4) $y = - 3 sin 2 x$
(5) $y = - 3 sin 3 x$

載入中...

若摩天輪的某一車廂的高度

y

（公尺）與時間

x

（分鐘）的關係式為

y = 20 sin (bπ x + \frac{5 π}{2}) + 31

，

b > 0

，已知摩天輪轉一圈需

20

分鐘，求

b =

？

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $\frac{1}{4}$
(3) $\frac{1}{6}$
(4) $\frac{1}{8}$
(5) $\frac{1}{10}$

設

a = sin 3

，則

a

的範圍是下列哪一個選項？

(1) $0 < a < \frac{1}{2}$
(2) $\frac{1}{2} < a < \frac{2}{2}$
(3) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(4) $\frac{3}{2} < a < 1$
(5) $- \frac{1}{2} < a < 0$

請選出

\frac{5 π}{3}

的同界角？

(1) $\frac{π}{3}$
(2) $\frac{7 π}{3}$
(3) $- \frac{7 π}{3}$
(4) $\frac{17 π}{3}$
(5) $- \frac{19 π}{3}$

關於函數

f (x) = 2 (1 + sin (3 x + \frac{π}{6}))

，試問下列哪些選項是正確的？

(1) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(2) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 時有最大值
(3) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(4) $f (x)$ 的振幅為 $2$
(5) 圖形關於直線 $x = \frac{π}{9}$ 對稱

下列哪些選項是正確的？

(1) $cos (\frac{π}{2} + θ) = - cos θ$
(2) $cos (θ - \frac{π}{2}) = - sin θ$
(3) $sin (π + θ) = sin θ$
(4) $sin (π - θ) = sin θ$
(5) $sin (- θ) = - sin θ$

設函數

y = sin (x - \frac{π}{4})

的圖形可由

y = sin x

的圖形往右平移

h

單位後得到。則

h

可能為下列哪些選項？

(1) $- \frac{π}{4}$
(2) $\frac{π}{4}$
(3) $\frac{9 π}{4}$
(4) $- \frac{7 π}{4}$
(5) $\frac{7 π}{4}$

三、選填題：（每格 5 分，全對才得分）

第 13～14 題為題組（原卷選填甲）（第 13～14 題）　如右圖，已知半徑分別為

3

與

9

的兩圓外切，且直線

A B

為其外公切線，求：（圖附在第 13 題）

(A) 鋪色區域的周長

=

____

π +

____

____

。

載入中...

(B) 鋪色區域的面積

= \frac{- 33}{2} π +

____

____

。

(C)

\frac{11}{12} π

弳

=

____ 度。

(D)

170

度

= \frac{____}{____} π

弳。

已知右圖為

y = sin (x - hπ)

一個週期的圖形，其中

2 π < hπ < 4 π

，求

h = \frac{____}{____}

。

載入中...

試問點

P (tan 10, sin 10)

位在第幾象限？ ____　(1) 一　(2) 二　(3) 三　(4) 四

下圖為函數

y = a sin (b x + c) + d

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，

- \frac{π}{2} \leq c \leq \frac{π}{2}

，

A (\frac{π}{3}, 0)

，

B (π, 0)

，求數對

(a, b) =

( ____ , ____ )。

載入中...

函數

y = - 3 sin (2 π x + 5) + 3

的最大值為

a

，最小值為

b

，週期為

c

，振幅為

d

。則

a + b + c + d =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(4)

第 6 題(4)

第 7 題(5)

第 8 題(1)

第 9 題(3)(4)(5)

第 10 題(3)(4)(5)

第 11 題(4)(5)

第 12 題(2)(3)(4)

第 13 題

5

、

6

、

3

（即

5 π + 63

）

第 14 題

36

、

3

（即

\frac{- 33}{2} π + 363

）

第 15 題

165

第 16 題

17

、

18

（即

\frac{17}{18} π

弳）

第 17 題

17

、

5

（即

h = \frac{17}{5}

）

第 18 題

4

（第四象限）

第 19 題

2

、

2

（即

(2, 2)

）

第 20 題

10

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：弧長、週期、與 x 軸的交點

第 1 題答案 (2)。弧長

=

半徑

\times

圓心角（弧度），

12 = 6 θ

，

θ = 2

（弳）。

第 2 題答案 (4)。等式對任意

x

都成立，先代

x = 0

：

sin p = 0

，所以

p

是

π

的正整數倍，最小的兩個候選是

π

與

2 π

。

p = π

時代

x = \frac{π}{4}

：左邊

sin (\frac{π}{2} + π) = sin \frac{3 π}{2} = - 1

，右邊

sin \frac{π}{2} = 1

，不相等，所以

π

不行。

p = 2 π

時

2 x + 2 π

與

2 x

是同界角，正弦值永遠相等。所以

p

的最小值是

2 π

。

y = sin 2 x

的週期是

π

，那是指把

x

換成

x + π

：

sin 2 (x + π) = sin (2 x + 2 π)

，括號裡的角一樣是多了

2 π

。本題的

p

直接加在

2 x

後面，所以是

2 π

而不是

π

。

第 3 題答案 (2)。與

x

軸有交點，就是

y

的值可以等於

0

。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，五個函數的範圍分別是：(1)

1 \leq y \leq 3

；(2)

0 \leq y \leq 4

；(3)

1 \leq y \leq 7

；(4)、(5) 都是

2 - 1 \leq y \leq 2 + 1

，而

2 - 1 \approx 0.41 > 0

。只有 (2) 的範圍包含

0

，例如

x = \frac{π}{2}

時

y = - 2 + 2 = 0

。

y = a sin x + d

的值介於

d - ∣ a ∣

與

d + ∣ a ∣

之間；這個範圍包含

0

，圖形才碰得到

x

軸。

02單選第 4～6 題：比較大小、圖形平移、由圖形判斷函數

第 4 題答案 (3)。

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

，所以

1

弳在第一象限，

2

弳、

3

弳在第二象限。把第二象限角換成參考角：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。角在

0

到

\frac{π}{2}

之間時，角愈大正弦值愈大，而

0.14 < 1 < 1.14

，所以

sin 3 < sin 1 < sin 2

，即

b > a > c

。

三個值約為

a \approx 0.841

、

b \approx 0.909

、

c \approx 0.141

。

第 5 題答案 (4)。向右平移

\frac{π}{4}

單位，是把

x

換成

x - \frac{π}{4}

：

y = sin 2 (x - \frac{π}{4}) = sin (2 x - \frac{π}{2})

；再向上平移

2

單位，整個函數值加

2

：

y = sin (2 x - \frac{π}{2}) + 2

。

選項 (3) 是只把括號裡減

\frac{π}{4}

，那樣圖形只向右移了

\frac{π}{8}

。

第 6 題答案 (4)。圖形最高到

3

、最低到

- 3

，五個選項的振幅都是

3

，要看週期與方向。圖形通過原點後，下一次由下往上穿過

x

軸在

\frac{π}{2}

，再下一次由上往下穿過

x

軸在

π

，所以從原點到

π

剛好是一個週期，週期是

π

；由

\frac{2 π}{b} = π

得

b = 2

，剩下 (3)、(4)。圖形通過原點後先往下走，而

y = 3 sin 2 x

在原點右邊是先往上，所以是上下顛倒的

y = - 3 sin 2 x

。

左右平移是對

x

本身加減：

y = sin b x

向右平移

k

單位是

y = sin b (x - k)

，括號要先乘開再比對。

03單選第 7、8 題：摩天輪的週期、sin 3 的範圍

第 7 題答案 (5)。轉一圈的時間就是函數的週期。

x

的係數是

bπ

（

b > 0

），週期

= \frac{2 π}{bπ} = \frac{2}{b}

。由

\frac{2}{b} = 20

得

b = \frac{1}{10}

。

括號裡的

\frac{5 π}{2}

與後面的

31

只影響起始位置與高度，不影響週期。

第 8 題答案 (1)。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 3 < π \approx 3.14

，

3

弳是第二象限角，正弦值為正，參考角是

π - 3 \approx 0.14

，所以

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。又

0 < 0.14 < \frac{π}{6} \approx 0.52

，角在

0

到

\frac{π}{2}

之間時角愈大正弦值愈大，所以

0 < sin 3 < sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

實際值

sin 3 \approx 0.141

。

沒有

π

的弧度角，先用

π \approx 3.14

找出象限，再換成參考角。

04多選第 9、10 題：同界角、正弦函數的性質

第 9 題答案 (3)(4)(5)。同界角與

\frac{5 π}{3}

相差

2 π = \frac{6 π}{3}

的整數倍。(1)

\frac{π}{3} - \frac{5 π}{3} = - \frac{4 π}{3}

，錯。(2)

\frac{7 π}{3} - \frac{5 π}{3} = \frac{2 π}{3}

，錯。(3)

- \frac{7 π}{3} - \frac{5 π}{3} = - 4 π

，對。(4)

\frac{17 π}{3} - \frac{5 π}{3} = 4 π

，對。(5)

- \frac{19 π}{3} - \frac{5 π}{3} = - 8 π

，對。

第 10 題答案 (3)(4)(5)。先乘開：

f (x) = 2 + 2 sin (3 x + \frac{π}{6})

。(1) 錯：

- 1 \leq sin (3 x + \frac{π}{6}) \leq 1

，所以

0 \leq f (x) \leq 4

。(2) 錯：

x = \frac{π}{6}

時

3 x + \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

，

f (\frac{π}{6}) = 2 + 2 \times \frac{3}{2} = 2 + 3

，比最大值

4

小。(3) 對：

x

的係數是

3

，週期

= \frac{2 π}{3}

。(4) 對：振幅是

sin

前面的係數

2

，也等於

\frac{4 - 0}{2}

。(5) 對：

x = \frac{π}{9}

時

3 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，

f (x) = 4

是最大值，正弦函數的圖形對稱於通過最高點的鉛直線。

正弦函數圖形的對稱軸，是通過最高點或最低點的鉛直線。

05多選第 11、12 題：角度加減後的關係、平移量

第 11 題答案 (4)(5)。(1) 錯：代

θ = 0

，左邊

cos \frac{π}{2} = 0

，右邊

- cos 0 = - 1

。（正確的關係是

cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ

。）(2) 錯：代

θ = \frac{π}{2}

，左邊

cos 0 = 1

，右邊

- sin \frac{π}{2} = - 1

。（正確的是

cos (θ - \frac{π}{2}) = sin θ

。）(3) 錯：代

θ = \frac{π}{2}

，左邊

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，右邊

sin \frac{π}{2} = 1

。（角多轉半圈，終邊跑到對面，正確的是

sin (π + θ) = - sin θ

。）(4) 對：

π - θ

與

θ

的終邊對稱於

y

軸，與單位圓的交點一樣高，正弦值相等。(5) 對：

- θ

與

θ

的終邊對稱於

x

軸，與單位圓的交點高度差一個負號。

第 12 題答案 (2)(3)(4)。

y = sin x

往右平移

h

單位得

y = sin (x - h)

。要它與

y = sin (x - \frac{π}{4})

是同一個圖形，

h

與

\frac{π}{4}

要相差

2 π = \frac{8 π}{4}

的整數倍（正弦函數的週期是

2 π

）。(1)

- \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}

，錯。(2) 相差

0

，對。(3)

\frac{9 π}{4} - \frac{π}{4} = 2 π

，對。(4)

- \frac{7 π}{4} - \frac{π}{4} = - 2 π

，對（

h

是負的，表示實際上往左平移

\frac{7 π}{4}

）。(5)

\frac{7 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}

，錯。

判斷一個恆等式錯，代一個特殊角找出反例就夠；判斷它對，要用單位圓上的對稱說明。

06選填甲 (A)(B)（第 13、14 題）：兩外切圓與公切線所圍的區域

第 13 題設小圓圓心

O_{1}

、大圓圓心

O_{2}

，兩圓的切點為

T

。半徑垂直切線，所以

\overline{O_{1} A} = 3

、

\overline{O_{2} B} = 9

都垂直直線

A B

；兩圓外切，

\overline{O_{1} O_{2}} = 3 + 9 = 12

，且

T

在

\overline{O_{1} O_{2}}

上。過

O_{1}

作

\overline{O_{2} B}

的垂線，垂足

H

，則

\overline{O_{2} H} = 9 - 3 = 6

，直角三角形

O_{1} H O_{2}

的斜邊是

12

、一股是

6

，所以

\overline{A B} = \overline{O_{1} H} = 1 2^{2} - 6^{2} = 63

，而且

∠ O_{1} O_{2} B = \frac{π}{3}

（鄰邊比斜邊

= \frac{1}{2}

）。四邊形

A O_{1} O_{2} B

是梯形，

\overline{O_{1} A}

與

\overline{O_{2} B}

平行，所以

∠ A O_{1} O_{2} = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。鋪色區域的邊界有三段：小圓的弧

A T

= 3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

，大圓的弧

T B

= 9 \times \frac{π}{3} = 3 π

，線段

\overline{A B} = 63

。周長

= 5 π + 63

，三格依序填

5

、

6

、

3

。

第 14 題沿用上一題的記號。鋪色區域

=

梯形

A O_{1} O_{2} B

扣掉兩個扇形。梯形面積

= \frac{( 3 + 9 ) \times 6 3}{2} = 363

。小圓的扇形

O_{1} A T

：半徑

3

、圓心角

\frac{2 π}{3}

，面積

\frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{2 π}{3} = 3 π

。大圓的扇形

O_{2} T B

：半徑

9

、圓心角

\frac{π}{3}

，面積

\frac{1}{2} \times 9^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{27}{2} π

。鋪色面積

= 363 - 3 π - \frac{27}{2} π = - \frac{33}{2} π + 363

，與卷面印好的

\frac{- 33}{2} π

相符，兩格依序填

36

、

3

。

數值約

62.35 - 51.84 = 10.52

，是一小塊，合理。

兩圓外切加一條外公切線：連兩個圓心、作兩條到切點的半徑，就得到一個直角梯形；圓心角從梯形裡的直角三角形找。

07選填乙 (C)(D)（第 15、16 題）：度與弧度互換

第 15 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{11}{12} π

弳

= \frac{11}{12} \times 18 0^{\circ} = 16 5^{\circ}

。填

165

。

第 16 題

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

17 0^{\circ} = \frac{170}{180} π = \frac{17}{18} π

弳。分子填

17

，分母填

18

。

08選填 E、F（第 17、18 題）：由圖形求平移量、判斷象限

第 17 題

y = sin x

的一個週期從

x = 0

（函數值

0

、接著往上）開始。圖上這一個週期從

x = - \frac{3 π}{5}

開始（函數值

0

、接著往上），到

\frac{7 π}{5}

結束，長度剛好

2 π

。所以起點處括號裡的角是

0

或差

2 π

的整數倍：

- \frac{3 π}{5} - hπ = - 2 k π

（

k

是整數），

hπ = - \frac{3 π}{5} + 2 k π

。

k = 1

時

hπ = \frac{7 π}{5}

，比

2 π

小；

k = 2

時

hπ = \frac{17 π}{5}

，在

2 π = \frac{10 π}{5}

與

4 π = \frac{20 π}{5}

之間；

k = 3

時

\frac{27 π}{5}

已超過

4 π

。所以

hπ = \frac{17 π}{5}

，

h = \frac{17}{5}

。分子填

17

，分母填

5

。

檢查：

x = - \frac{3 π}{5}

時

sin (- \frac{3 π}{5} - \frac{17 π}{5}) = sin (- 4 π) = 0

。

第 18 題

3 π \approx 9.42

，

\frac{7 π}{2} \approx 11.00

，所以

3 π < 10 < \frac{7 π}{2}

。減去一圈

2 π

後，

10

弳的同界角介於

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角。第三象限角的正切為正、正弦為負，所以

tan 10 > 0

、

sin 10 < 0

，點

P

的

x

坐標為正、

y

坐標為負，位在第四象限，填

4

。

實際值

tan 10 \approx 0.648

，

sin 10 \approx - 0.544

。問的是點

P

所在的象限，不是

10

弳這個角所在的象限。

y = sin (x - k)

的圖形是

y = sin x

向右平移

k

；

k

加減

2 π

的整數倍圖形不變，要靠題目給的範圍挑出唯一的值。

09選填 G、H（第 19、20 題）：由圖形決定係數、最大最小值與週期

第 19 題由圖，最大值

1

、最小值

- 3

。

a > 0

時最大值

a + d = 1

、最小值

- a + d = - 3

，解得

a = 2

、

d = - 1

。圖形通過原點：

2 sin c - 1 = 0

，

sin c = \frac{1}{2}

，在

- \frac{π}{2} \leq c \leq \frac{π}{2}

內只有

c = \frac{π}{6}

。圖形與

x

軸的交點依序是

O

、

A

、

B

：在

O

是由下往上穿過，在

A

是由上往下，在

B

又是由下往上，所以從

O

到

B

剛好是一個週期，週期

= π

。

b > 0

，

\frac{2 π}{b} = π

，

b = 2

。數對

(a, b) = (2, 2)

。

檢查：

y = 2 sin (2 x + \frac{π}{6}) - 1

，

x = \frac{π}{3}

時

2 sin \frac{5 π}{6} - 1 = 0

，

x = π

時

2 sin \frac{13 π}{6} - 1 = 0

，與

A

、

B

相符。

第 20 題

- 1 \leq sin (2 π x + 5) \leq 1

，乘以

- 3

後

- 3 \leq - 3 sin (2 π x + 5) \leq 3

，再加

3

：

0 \leq y \leq 6

。最大值

a = 6

，最小值

b = 0

。

x

的係數是

2 π

，週期

c = \frac{2 π}{2 π} = 1

。振幅是最大值與最小值的差的一半，

d = \frac{6 - 0}{2} = 3

（振幅是正的，不是

- 3

）。

a + b + c + d = 6 + 0 + 1 + 3 = 10

。

y = a sin (b x + c) + d

：

d

是最大值與最小值的平均，振幅

∣ a ∣

是兩者差的一半，週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

。

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02單選第 4～6 題：比較大小、圖形平移、由圖形判斷函數

03單選第 7、8 題：摩天輪的週期、sin 3 的範圍

04多選第 9、10 題：同界角、正弦函數的性質

05多選第 11、12 題：角度加減後的關係、平移量

06選填甲 (A)(B)（第 13、14 題）：兩外切圓與公切線所圍的區域

07選填乙 (C)(D)（第 15、16 題）：度與弧度互換

08選填 E、F（第 17、18 題）：由圖形求平移量、判斷象限

09選填 G、H（第 19、20 題）：由圖形決定係數、最大最小值與週期

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