段考詳解範圍：選修數學甲上冊單元一、二（數列的極限、無窮等比級數、函數的概念、函數的極限、連續函數）

平鎮高中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、多重選擇題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、選填題 15 題（每題 5 分，共 75 分），合計 100 分。卷頭注意事項：所有分數型式的答案皆須化成最簡分數。選填題卷面的題號是 A 至 O，本頁依序編為第 6 至 20 題。第 1 題卷面的選項 (4) 與 (5) 印的是同一個數，第 3 題卷面的式子與文字敘述差一項，這兩題學校的標準答案都是兩個選項給分，說明寫在各題詳解。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題全部一致。

一、單選題：說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k x ^{2} + 2 x - k - 2}{x - 1}, 10, 當 x \neq = 1 當 x = 1

，若

f (x)

在

x = 1

處連續，

k =

____？（註：選項 (4) 與 (5) 卷面印的是同一個數，照卷面保留）

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $4$

將

0. \overline{702} - 0. \overline{54}

化成小數，則小數點後第

100

位是

(1) $1$
(2) $2$
(3) $4$
(4) $7$
(5) $5$

設等比級數前

n

項總和

S_{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots + (- \frac{1}{2})^{n}

，且

S = n \to \infty lim S_{n}

，則

∣ S - S_{n} ∣ < \frac{1}{1000}

的最小自然數

n =

____

(1) $8$
(2) $9$
(3) $10$
(4) $11$
(5) $12$

二、多重選擇題：說明：第 3 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。（卷面印作第 3 題至第 4 題，實際是第 4、5 題）

下列哪些敘述正確？

(1) 無窮等比級數的和： $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \dots + (- 1)^{n - 1} + \dots = 0$
(2) $2. \overline{9} = 3$
(3) $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )}$ 收斂於有理數
(4) 等比數列 $⟨ a_{n} ⟩$ ，若 $n \to \infty lim a_{n} = 0$ ，則前 $n$ 項的和 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 必定收斂
(5) 無窮級數 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$ 是收斂的。

f (x)

為一函數，下列哪些敘述正確？

(1) 若 $x \to p^{+} lim f (x) = x \to p^{-} lim f (x)$ ，則 $f (x)$ 在 $x = p$ 處連續
(2) 若 $f (x)$ 在 $x = p$ 處不連續，則 $x \to p lim f (x)$ 不存在
(3) 若 $f (p)$ 有意義且 $x \to p lim f (x) = f (p)$ ，則 $f (x)$ 在 $x = p$ 處連續
(4) $x \to 6 lim (\frac{3 x}{x - 6} - \frac{18}{x - 6}) = x \to 6 lim \frac{3 x}{x - 6} - x \to 6 lim \frac{18}{x - 6}$
(5) $n$ 為整數， $x \to n lim (x - [x])$ 不存在

三、選填題：說明：第 A 至 O 題，每格完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

設

f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 10

，

g (x) = 2^{x}

，

x

為任意實數，求

g (f (x))

的最小值為 ____。（原卷答案格：三格）

若函數

f (x) = \frac{- 2 x + b}{a x - 1}

的反函數為

g (x) = \frac{x - 6}{3 x + 2}

，則數對

(a, b) =

____。（原卷為畫卡作答的答案格）

求

n \to \infty lim \frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + \dots + n ^{3}}{n ^{4}} =

____。（原卷答案格：分數，分子、分母各一格）

求

x \to - 2 lim (\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{3 x - 2}{x ^{2} + 6 x + 8}) =

____。（原卷為畫卡作答的答案格）

已知

x \to 2 lim \frac{x ^{3} + a x + b}{( x - 2 ) ^{2}} = c

，求實數序對

a + 2 b - c =

____。（卷面印「實數序對」，所求是一個數；原卷答案格：兩格）

甲、乙、丙三人依序輪流擲銅板，先擲出正面者獲勝，甲獲勝的機率為

a

，乙獲勝的機率為

b

，則序對

(a, b) =

____。（原卷答案格：兩個分數，分子、分母各一格）

求和：

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n} - 5}{3 ^{n + 2}} =

____。（原卷為畫卡作答的答案格）

求

x \to 0 lim \frac{( x - 1 ) ^{12} - 1}{x} =

____。（原卷為畫卡作答的答案格）

已知函數

f (x) = x \times 2^{x}

為連續函數。若在正整數

k

與

k + 1

之間有一實數

c

滿足

f (c) = 2^{15}

，則

k

的值為 ____。（原卷答案格：兩格）

已知

x \to - 1 lim \frac{x ^{2} + b x - 2}{( x + 1 ) ( x - a )} = - 3

，求實數

a + 2 b =

____。（原卷為畫卡作答的答案格）

如圖，

A B C D

為正方形，以

A

為圓心，

\overline{A B}

為半徑畫一四分之一圓，設此四分之一圓的弧長為

a_{1}

，在四分之一圓中畫一內接正方形，再仿照上面的方式得到一更小的四分之一圓，並設其弧長為

a_{2}

，以此類推，得到數列

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

。已知

\overline{A B} = 4

，求

a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots

的值為 ____。（原卷答案格：形如

(□ + □ 2) π

，兩格各填一個數字）

載入中...

求

x \to 1 lim \frac{∣3 - 3 x - x ^{2} ∣ - 1}{x - 1} =

____。（原卷答案格：一格）

n

為任意正整數，令

n

的整數部分為

f (n)

，則

f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (100) =

____。（原卷答案格：三格）

函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

，已知

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 2

，則

f (x)

被

x - 3

除之餘式為 ____。（原卷答案格：兩格）

計程車費規定：前

1.5

公里內（含

1.5

公里），基本收費

70

元，以後每

300

公尺加收

5

元，但沒有達到

300

公尺，則以

300

公尺計算。若行程

x

（公里）、計費

f (x)

（元）可用函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a, 70 - 5 \times [\frac{b - 10 x}{3}], 0 < x \leq 1.5 x > 1.5

表示，其中

[]

為高斯符號。求數對

(a, b) =

____。（原卷答案格：兩個數各兩格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4) 或 (5)（卷面這兩個選項都印 4，學校的標準答案兩個都給分）

第 2 題(2)

第 3 題(2) 或 (3)（學校的標準答案這兩個選項都給分：照卷面的式子算是 (2)，照「前 n 項」的文字算是 (3)，見詳解）

第 4 題(2)(3)(4)

第 5 題(3)(5)

第 6 題

256

第 7 題

(3, - 6)

第 8 題

\frac{1}{4}

第 9 題

- \frac{5}{2}

第 10 題

14

第 11 題

(\frac{4}{7}, \frac{2}{7})

第 12 題

- \frac{1}{18}

第 13 題

- 12

第 14 題

11

第 15 題

- 4

第 16 題

(4 + 22) π

第 17 題

5

第 18 題

625

第 19 題

10

第 20 題

(70, 15)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：連續的條件、循環小數、部分和與級數和的差

第 1 題答案 (4) 或 (5)（

k = 4

；卷面這兩個選項都印

4

，學校的標準答案兩個都給分）。在

x = 1

連續，表示

x \to 1 lim f (x) = f (1) = 10

。把分子重新分組：

k x^{2} + 2 x - k - 2 = k (x^{2} - 1) + 2 (x - 1) = (x - 1) [k (x + 1) + 2]

。所以

x \neq = 1

時

f (x) = k (x + 1) + 2

，

x \to 1 lim f (x) = 2 k + 2

。令

2 k + 2 = 10

，得

k = 4

。

分子在

x = 1

的值是

k + 2 - k - 2 = 0

，不論

k

是多少都有因式

x - 1

，所以極限一定存在；

k

是由「極限值等於函數值

10

」決定的。

第 2 題答案 (2)。先化成分數：

0. \overline{702} = \frac{702}{999} = \frac{26}{37}

，

0. \overline{54} = \frac{54}{99} = \frac{6}{11}

。相減：

\frac{26}{37} - \frac{6}{11} = \frac{286 - 222}{407} = \frac{64}{407}

。用長除法：

64 \div 407 = 0.157248 157248 \dots

，除到第

6

位時餘數又回到

64

，所以

\frac{64}{407} = 0. \overline{157248}

，循環節有

6

位。

100 = 6 \times 16 + 4

，第

100

位就是循環節的第

4

位，是

2

。

也可以不化分數：兩個循環節的長度是

3

和

2

，取最小公倍數

6

位對齊，

0.702702 \dots - 0.545454 \dots = 0.157248 \dots

，每

6

位重複一次。

第 3 題答案 (2) 或 (3)（學校的標準答案這兩個選項都給分）。這是首項

1

、公比

- \frac{1}{2}

的等比級數，

S = \frac{1}{1 - ( - \frac{1}{2} )} = \frac{2}{3}

。卷面的式子與文字差一項，分兩種讀法。讀法一，照卷面的式子：末項是

(- \frac{1}{2})^{n}

，從

(- \frac{1}{2})^{0}

加到

(- \frac{1}{2})^{n}

共

n + 1

項，

S_{n} = \frac{2}{3} [1 - (- \frac{1}{2})^{n + 1}]

，所以

∣ S - S_{n} ∣ = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 ^{n + 1}}

。要小於

\frac{1}{1000}

，需要

2^{n + 1} > \frac{2000}{3} \approx 666.7

；

2^{9} = 512

不夠，

2^{10} = 1024

夠，所以

n + 1 \geq 10

，最小的

n = 9

，選 (2)。讀法二，照「前

n

項」的文字：末項是

(- \frac{1}{2})^{n - 1}

，

S_{n} = \frac{2}{3} [1 - (- \frac{1}{2})^{n}]

，

∣ S - S_{n} ∣ = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 ^{n}}

，需要

2^{n} > 666.7

，最小的

n = 10

，選 (3)。

兩種讀法只差在項數是

n + 1

還是

n

，做法完全相同。考試時遇到式子與文字不一致，先數清楚末項是第幾項。

在一點連續就是極限值等於函數值；無窮等比級數的和與部分和的差，是一個公比相同的等比數列。

02多選 4～5：級數的收斂與發散、極限與連續的觀念

第 4 題答案 (2)(3)(4)。(1) 公比是

- 1

，部分和依序是

1, 0, 1, 0, \dots

，不趨近單一的數，級數發散，沒有和，錯。(2)

2. \overline{9} = 2 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots

，後面是首項

0.9

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.9}{1 - 0.1} = 1

，所以

2. \overline{9} = 3

，對。(3)

\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

，前

n

項的和

= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1}

，

n \to \infty

時趨近

1

，

1

是有理數，對。(4) 設首項

a_{1}

、公比

r

（等比數列的各項都不是

0

），

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

。

n \to \infty lim a_{n} = 0

只在

∣ r ∣ < 1

時發生，而

∣ r ∣ < 1

時

S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}

收斂到

\frac{a _{1}}{1 - r}

，對。(5) 把項分組：

1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + \dots

，第一個括號大於

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

，第二個括號大於

4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

，之後每一組都大於

\frac{1}{2}

。組數沒有上限，部分和可以超過任何數，級數發散，錯。

(4) 與 (5) 要一起看：一般項趨近

0

並不足以讓級數收斂（(5) 的一般項

\frac{1}{n}

也趨近

0

），(4) 之所以成立是因為多了「等比」這個條件。

第 5 題答案 (3)(5)。在

x = p

連續要三件事同時成立：

f (p)

有定義、

x \to p lim f (x)

存在、兩者相等。(1) 左右極限相等只說明極限存在，沒有提到

f (p)

。例如

f (x) = {x, p + 1, x \neq = p x = p

，左右極限都是

p

，但

f (p) = p + 1

，在

x = p

不連續，錯。(2) 同一個例子：在

x = p

不連續，但

x \to p lim f (x) = p

存在，錯。(3) 這正是連續的定義，對。(4) 左邊先合併：

\frac{3 x - 18}{x - 6} = 3

（

x \neq = 6

），極限是

3

。右邊的兩個極限，

x \to 6

時分母趨近

0

而分子分別趨近

18

與

18

，都不存在；極限的減法性質要兩個極限各自存在才能用，右邊沒有意義，等式不成立，錯。(5)

[x]

是高斯符號。

x

從右邊靠近整數

n

時

[x] = n

，

x - [x] = x - n

趨近

0

；從左邊靠近時

[x] = n - 1

，

x - [x] = x - n + 1

趨近

1

。左右極限不相等，極限不存在，對。

(1)(2) 的反例是同一個：把連續函數在一點的函數值改掉，極限不變，但不再連續。(4) 是「無限大減無限大」的形式，要先合併再取極限。

極限存在只看那一點附近，連續還要求函數值等於極限值；極限的四則運算只有在各個極限都存在時才能拆開。

03選填 A～E（本頁第 6～10 題）：合成函數、反函數、數列與函數的極限

第 6 題

g (f (x)) = 2^{f (x)} = 2^{2 x^{2} + 4 x + 10}

。底數

2 > 1

，指數愈小值愈小，所以先求

f (x)

的最小值：

f (x) = 2 (x + 1)^{2} + 8

，

x = - 1

時有最小值

8

。

g (f (x))

的最小值為

2^{8} = 256

。

第 7 題

f

的反函數是

g

，那麼

g

的反函數就是

f

，所以直接求

g

的反函數。令

y = \frac{x - 6}{3 x + 2}

，解

x

：

y (3 x + 2) = x - 6

，

3 x y - x = - 2 y - 6

，

x = \frac{- 2 y - 6}{3 y - 1}

。把

x

、

y

對調，

g

的反函數是

\frac{- 2 x - 6}{3 x - 1}

，與

f (x) = \frac{- 2 x + b}{a x - 1}

比較，分子的

x

係數

- 2

與分母的常數項

- 1

都已經對上，所以

a = 3

，

b = - 6

，

(a, b) = (3, - 6)

。

比較係數前要確認兩個分式的寫法已經對齊（這裡分子

x

的係數同為

- 2

、分母常數項同為

- 1

），否則要先把分子分母同乘一個數再比。

第 8 題立方和公式：

1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}

。所以原式

= n \to \infty lim \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4 n ^{4}} = n \to \infty lim \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{n})^{2} = \frac{1}{4}

。

不可以把分子的每一項各自除以

n^{4}

再說「每一項都趨近

0

，所以極限是

0

」：項數

n

也在變大，要先求出和的公式。

第 9 題兩項在

x \to - 2

時各自都沒有極限，先通分。

x^{2} + 6 x + 8 = (x + 2) (x + 4)

，所以原式

= \frac{( x - 2 ) ( x + 4 ) - ( 3 x - 2 )}{( x + 2 ) ( x + 4 )} = \frac{x ^{2} - x - 6}{( x + 2 ) ( x + 4 )} = \frac{( x - 3 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x + 4 )}

。約去

x + 2

（

x \neq = - 2

）得

\frac{x - 3}{x + 4}

，

x \to - 2

時趨近

\frac{- 5}{2} = - \frac{5}{2}

。

第 10 題

x \to 2

時分母

(x - 2)^{2}

趨近

0

，極限要存在，分子必須能把

(x - 2)^{2}

整個約掉。第一步：分子在

x = 2

的值為

0

，即

8 + 2 a + b = 0

，

b = - 2 a - 8

。這時

x^{3} + a x - 2 a - 8 = (x^{3} - 8) + a (x - 2) = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4 + a)

，原式變成

\frac{x ^{2} + 2 x + 4 + a}{x - 2}

。第二步：分母仍趨近

0

，所以

x^{2} + 2 x + 4 + a

在

x = 2

的值也要是

0

：

12 + a = 0

，

a = - 12

，

b = 16

。此時

x^{2} + 2 x - 8 = (x - 2) (x + 4)

，極限

c = x \to 2 lim (x + 4) = 6

。所求

a + 2 b - c = - 12 + 32 - 6 = 14

。

驗算：

(x - 2)^{2} (x + 4) = x^{3} - 12 x + 16

。「分母趨近

0

、分子也要趨近

0

」在這題要用兩次，因為分母是二重因式。卷面寫「實數序對」，但所求

a + 2 b - c

是一個數。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0；分母有幾重因式，這個條件就用幾次。

04選填 F～J（本頁第 11～15 題）：等比級數算機率與求和、高次式的極限、中間值定理

第 11 題每次擲出正面的機率是

\frac{1}{2}

。甲在第

1, 4, 7, \dots

次擲。甲在第

1

次就獲勝的機率是

\frac{1}{2}

；在第

4

次獲勝，要前三次都是反面，機率

(\frac{1}{2})^{3} \cdot \frac{1}{2}

；在第

7

次獲勝的機率是

(\frac{1}{2})^{6} \cdot \frac{1}{2}

；依此類推。所以

a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{8})^{2} + \dots = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{4}{7}

。乙在第

2, 5, 8, \dots

次擲，首項是

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

、公比同樣是

\frac{1}{8}

，

b = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{2}{7}

。

(a, b) = (\frac{4}{7}, \frac{2}{7})

。

丙獲勝的機率是

\frac{\frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{1}{7}

，三人相加為

1

，可以用來檢查。

第 12 題把一般項拆開：

\frac{2 ^{n} - 5}{3 ^{n + 2}} = \frac{1}{9} (\frac{2}{3})^{n} - \frac{5}{9} (\frac{1}{3})^{n}

。兩個無窮等比級數的公比

\frac{2}{3}

、

\frac{1}{3}

的絕對值都小於

1

，各自收斂，可以分開求和：

n = 1 \sum \infty (\frac{2}{3})^{n} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = 2

，

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{3})^{n} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

。所求

= \frac{1}{9} \cdot 2 - \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{18} - \frac{5}{18} = - \frac{1}{18}

。

分母是

3^{n + 2} = 9 \cdot 3^{n}

，前面的

\frac{1}{9}

不要漏掉；

n

從

1

開始，首項是公比本身，不是

1

。

第 13 題用二項式定理展開：

(x - 1)^{12} = (1 - x)^{12} = 1 - 12 x + C_{2}^{12} x^{2} - C_{3}^{12} x^{3} + \dots + x^{12}

。減去

1

後每一項都有因式

x

，除以

x

（

x \neq = 0

）：

\frac{( x - 1 ) ^{12} - 1}{x} = - 12 + C_{2}^{12} x - C_{3}^{12} x^{2} + \dots + x^{11}

。

x \to 0

時除了第一項以外都趨近

0

，極限為

- 12

。

也可以令

t = x - 1

，原式

= t \to - 1 lim \frac{t ^{12} - 1}{t + 1}

，再用

t^{12} - 1 = (t + 1) (t - 1) (t^{2} + t + 1) (t^{2} - t + 1) (t^{6} + 1)

約分，代入

t = - 1

得

(- 2) \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 = - 12

。答案是負的，正負號容易漏。

第 14 題

2^{15}

可以寫成

16 \times 2^{11}

，也可以寫成

8 \times 2^{12}

，拿來和

f (11)

、

f (12)

比：

f (11) = 11 \times 2^{11} < 16 \times 2^{11} = 2^{15}

，

f (12) = 12 \times 2^{12} > 8 \times 2^{12} = 2^{15}

。

f (x)

是連續函數，且

f (11) < 2^{15} < f (12)

，由中間值定理，

11

與

12

之間有實數

c

使

f (c) = 2^{15}

。又

x > 0

時

x

與

2^{x}

都是正的而且都隨

x

增大，所以

f (x)

遞增，這樣的

c

只有一個，不會落在別的區間。

k = 11

。

第 15 題

x \to - 1

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

1 - b - 2 = 0

，

b = - 1

。分子

x^{2} - x - 2 = (x + 1) (x - 2)

，約去

x + 1

：

x \to - 1 lim \frac{x - 2}{x - a} = \frac{- 3}{- 1 - a} = - 3

，所以

- 1 - a = 1

，

a = - 2

。所求

a + 2 b = - 2 - 2 = - 4

。

驗算：

\frac{( x + 1 ) ( x - 2 )}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 2}{x + 2}

，

x \to - 1

時趨近

\frac{- 3}{1} = - 3

。

一般項能拆成幾個等比數列，就各自求和再相加；輪流進行的遊戲，把某一方在各輪獲勝的機率列出來就是等比級數。

05選填 K～O（本頁第 16～20 題）：圖形的等比級數、含絕對值的極限、高斯符號

第 16 題第一個四分之一圓的半徑是

4

，弧長

a_{1} = \frac{1}{4} \times 2 π \times 4 = 2 π

。在半徑

r

的四分之一圓裡，內接正方形有一個頂點在圓心

A

，對角的頂點在圓弧上，所以正方形的對角線等於

r

，邊長是

\frac{r}{2}

。下一個四分之一圓以這個邊長為半徑，所以半徑每次變成原來的

\frac{1}{2}

倍，弧長也是。

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots

是首項

2 π

、公比

\frac{1}{2}

的等比數列，公比的絕對值小於

1

，和為

\frac{2 π}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2 2 π}{2 - 1} = 22 (2 + 1) π = (4 + 22) π

。

公比是

\frac{1}{2}

不是

\frac{1}{2}

：

\frac{1}{2}

是面積的比，長度的比要開根號。

第 17 題先看絕對值裡面在

x = 1

附近的正負：

x = 1

時

3 - 3 x - x^{2} = - 1 < 0

，所以

x

在

1

附近時

∣3 - 3 x - x^{2} ∣ = x^{2} + 3 x - 3

。分子

= x^{2} + 3 x - 3 - 1 = x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4)

，約去

x - 1

：

x \to 1 lim (x + 4) = 5

。

若直接把絕對值拿掉，分子會變成

2 - 3 x - x^{2}

，在

x = 1

是

- 2

，會誤以為極限不存在。

第 18 題

f (n) = k

表示

k \leq n < k + 1

，也就是

k^{2} \leq n < (k + 1)^{2}

，這樣的

n

有

(k + 1)^{2} - k^{2} = 2 k + 1

個。

k = 1

到

9

正好涵蓋

n = 1

到

99

，再加上

f (100) = 10

。所求

= k = 1 \sum 9 k (2 k + 1) + 10 = 2 k = 1 \sum 9 k^{2} + k = 1 \sum 9 k + 10 = 2 \times 285 + 45 + 10 = 625

。

f (n) = 10

的只有

n = 100

一個，不是

21

個，最後一組要單獨算。

第 19 題

x \to 1

與

x \to 2

時分母趨近

0

而極限存在，所以

f (1) = 0

、

f (2) = 0

，

f (x)

有因式

(x - 1) (x - 2)

。

f (x)

至多三次，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = (1 - 2) (p + q) = - (p + q) = 1

，得

p + q = - 1

；

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = (2 - 1) (2 p + q) = 2 p + q = 2

。兩式相減得

p = 3

，

q = - 4

，

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x - 4)

。由餘式定理，

f (x)

被

x - 3

除的餘式是

f (3) = 2 \times 1 \times 5 = 10

。

第 20 題

0 < x \leq 1.5

時只收基本費，

a = 70

。

x > 1.5

時，超出的路程是

x - 1.5

公里，每

0.3

公里算一段，段數的原始值是

\frac{x - 1.5}{0.3} = \frac{10 x - 15}{3}

；不滿一段算一段，所以實際加收的段數是「不小於

\frac{10 x - 15}{3}

的最小整數」。高斯符號

[t]

是不大於

t

的最大整數，而不小於

t

的最小整數等於

- [- t]

，所以段數

= - [\frac{15 - 10 x}{3}]

，車費

f (x) = 70 + 5 \times

段數

= 70 - 5 \times [\frac{15 - 10 x}{3}]

。與題目的式子比較，

b = 15

。

(a, b) = (70, 15)

。

代數字檢查：

x = 1.6

時

[\frac{15 - 16}{3}] = [- \frac{1}{3}] = - 1

，

f = 75

（超出

100

公尺算一段）；

x = 1.8

時

[- 1] = - 1

，

f = 75

（剛好一段）；

x = 1.9

時

[- \frac{4}{3}] = - 2

，

f = 80

。負數取高斯符號是往更小的整數取，

[- \frac{1}{3}] = - 1

不是

0

。

圖形一層一層縮小時，先找相鄰兩層長度的比；高斯符號是無條件捨去，要無條件進位時用負號包兩次。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題：一般項趨近 0 的級數不一定收斂，調和級數就發散，但等比數列多了等比這個條件就一定收斂。多選第 5 題：左右極限相等只代表極限存在，連續還要函數值等於極限值；兩個極限各自不存在時不能把差的極限拆開。選填 B（第 7 題）：直接求 g 的反函數再和 f 比較係數。選填 M（第 18 題）：整數部分是 k 的正整數有 2k 加 1 個，但整數部分是 10 的只有 100 這一個。選填 O（第 20 題）：不滿一段算一段是無條件進位，要用負號把高斯符號包起來，b 是 15。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自平鎮高中 110 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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01單選 1～3：連續的條件、循環小數、部分和與級數和的差

02多選 4～5：級數的收斂與發散、極限與連續的觀念

03選填 A～E（本頁第 6～10 題）：合成函數、反函數、數列與函數的極限

04選填 F～J（本頁第 11～15 題）：等比級數算機率與求和、高次式的極限、中間值定理

05選填 K～O（本頁第 16～20 題）：圖形的等比級數、含絕對值的極限、高斯符號

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高三第一次段考
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