段考詳解範圍：指數與對數函數（指數與指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

平鎮高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 13 題要看出 2 的 c 次方就是三分之二、a 的十次方要到小數點後第九位才不為零；多選第 12 題的不等式恆成立與實根個數都要靠圖形與單調性判斷；選填 F（本頁第 19 題）要由內往外把一層層根號寫成指數；選填 D（本頁第 17 題）要把點在指數圖形上的條件改寫成橫坐標的關係。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單一選擇題 7 題（每題 5 分）、多重選擇題 6 題（每題 5 分）、選填題 7 題（每題 5 分），合計 100 分；卷頭附參考數值 log 2 = 0.3010，log 3 = 0.4771，log 7 = 0.8451。原卷選填題 A～G，本頁編為第 14～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

第一部分：選擇題　壹、單一選擇題（每題 5 分，不倒扣）

設

a = (0.25)^{2.5}

，選出正確的選項。

(1) $- 1 \leq a < 0$
(2) $0 \leq a < 0.25$
(3) $0.25 \leq a < 0.5$
(4) $0.5 \leq a < 1$
(5) $1 \leq a$

求

\frac{lo g _{2} 5 + lo g _{4} 3}{lo g _{2} 5}

的值等於下列哪一個選項？

(1) $lo g_{4} 70$
(2) $lo g_{4} 23$
(3) $lo g_{2} 15$
(4) $2 + lo g_{5} 3$
(5) $5 + lo g_{5} 3$

若

lo g 54 = a

，

lo g 18 = b

，則

lo g 36

可用下列哪一個選項表示？

(1) $\frac{a + b}{2}$
(2) $ab$
(3) $2 a - 3 b$
(4) $3 a - 4 b$
(5) $- 2 a + 4 b$

在

2014

年時，網路風行一個利用

2

的次方設計的小遊戲「2048」。遊戲過程中要把相同的數字相加即可獲得較大的數字。例如

2 + 2 = 4

，

4 + 4 = 8

，玩家必須在遊戲中獲得

2048

即算挑戰成功。下列有關

2

的次方運算哪一選項正確？

(1) $2^{1} + 2^{2} = 2^{3}$
(2) $2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} = 2^{0} = 0$
(3) $2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$
(4) $(- 2)^{2} = - (2^{2})$
(5) $2^{2} + 2^{2} = 2^{2 + 1}$

已知實數

a > 1

，正方形

A B C D

的面積為

16

，其中

\overline{A B}

與

y

軸平行，且

A

、

B

、

C

分別為函數

y = a^{x}

、

y = 2 a^{x}

、

y = 4 a^{x}

圖形上的點，求

a

值？

(1) $4$
(2) $2$
(3) $2^{\frac{1}{2}}$
(4) $2^{\frac{1}{4}}$
(5) $2^{\frac{1}{8}}$

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特

(W / m^{2})

來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12} (W / m^{2})

；當測得聲音強度為

I (W / m^{2})

時，所產生的聲音分貝數

d

，其中

d = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

設一般人普通說話所產生的分貝數為

45

，12 強大巨蛋台日大戰加油聲所產生的分貝數為

90

，若 12 強大巨蛋台日大戰加油聲所產生的強度為一般人普通說話所產生強度的

m

倍。則

m

值最接近下列哪一個數值？

(1) $10000$
(2) $20000$
(3) $30000$
(4) $40000$
(5) $50000$

設

x

為正實數，若

(x - 1)^{2} + (lo g_{2} x - 2)^{2} + (x - 5)^{2} + (lo g_{2} x - 1)^{2}

有最小值

m

，則

m

最接近下列哪一個正整數？

(1) $2$
(2) $3$
(3) $4$
(4) $5$
(5) $6$

貳、多重選擇題（每題全對 5 分，錯一個選項可得 3 分，錯兩個選項可得 1 分，錯三個或三個以上不給分）

選出下列正確選項。

(1) 指數函數 $y = 7^{x}$ 的圖形過點 $(0, 1)$
(2) 若點 $(- 100, k)$ 在 $y = 2^{x}$ 的圖形上，則 $k < 0$
(3) 指數函數 $y = (0.99)^{x}$ 的圖形與 $y = 100$ 不相交
(4) 指數函數 $y = 5^{x}$ 與 $y = (\frac{1}{5})^{x}$ 的圖形都是凹口向上
(5) $7^{0.8} > 7^{0.9}$

選出下列正確選項。

(1) $2^{l o g_{2} 3} = 3$
(2) $lo g (5 + 9) = lo g 5 \times lo g 9$
(3) $lo g 5 = \frac{1}{2} lo g 5$
(4) $lo g_{2} 3 = \frac{1}{lo g _{3} 2}$
(5) 若 $lo g a = 5.67$ ，則 $a$ 的整數部分為 $5$ 位數

選出下列正確選項。

(1) 對數函數 $y = lo g_{7} x$ 的圖形過點 $(1, 0)$
(2) 若點 $(0.01, k)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 的圖形上，則 $k < 0$
(3) 對數函數 $y = lo g x$ 的圖形是凹口向上
(4) 對數函數 $y = lo g x$ 的圖形與指數函數 $y = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(5) $lo g 0.9 > lo g 0.8$

設

x

為實數，且

f (x) = 2 (4^{x} + 4^{- x}) + 4 (2^{x} + 2^{- x}) + 8

，令

t = 2^{x} + 2^{- x}

，選出下列正確選項。

(1) $t$ 的最小值可為 $1$
(2) $4^{x} + 4^{- x}$ 可用 $t^{2} - 2$ 表達
(3) $f (x)$ 可用 $2 t^{2} + 4 t + 4$ 表達
(4) $f (x)$ 的最小值為 $10$
(5) 當 $f (x)$ 最小值時， $x > 0$

選出下列正確選項。

(1) $y = 2^{x}$ 的函數圖形與 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的函數圖形對稱 $y$ 軸
(2) 當 $x > 0$ 時， $1 0^{x} > x^{2}$ 恆成立
(3) 當 $0 < x_{1} < x_{2}$ 時， $\frac{lo g x _{1} + lo g x _{2}}{2} > lo g \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ 恆成立
(4) 方程式 $x + lo g x = 0$ ，恰有一實根
(5) 方程式 $2^{x} = ∣ lo g_{2} x ∣$ ，恰有一實根

設

a = \frac{1}{7}

，

b = lo g_{128} \frac{3}{2}

，

c = lo g_{2} \frac{2}{3}

，選出下列正確選項。

(1) $a > b > c$
(2) $14 a + 7 b + c = 2$
(3) 若將 $2^{c}$ 化成小數，則 $2^{c}$ 為循環小數
(4) $a^{10}$ 為小數點後開始第 $8$ 位不為 $0$
(5) $0 < lo g 2^{- 7 b} < 1$

第二部分：選填題（每題全對 5 分，答錯不倒扣）

可使

lo g_{x - 4} (- x^{2} + 19 x - 34)

有意義的整數

x

有 ____ 個。

化簡

2 lo g \frac{5}{3} - lo g \frac{7}{4} + 2 lo g 3 + \frac{1}{2} lo g 49

的值為 ____。

已知

8^{x + 1} - 4^{x + \frac{3}{2}} + 2^{x + 1} (1 - 2^{x}) = 0

有兩相異實根

α

與

β

，求

∣ α - β ∣ =

____。

設

⟨ a_{n} ⟩

為等差數列，若對所有的正整數

n

，點

(a_{n}, b_{n})

皆在

y = 2^{x}

的圖形上，且點

(a_{6}, \frac{1}{16} b_{2})

亦為

y = 2^{x}

圖形上的一點，則此等差數列的公差為 ____。

設年利率

12.5%

，若依複利計算，則至少要 ____ 年本利和才會超過本金的

2

倍。

西元 1943 年，第二次世界大戰還在激烈進行著，這時在英國軍營裡流傳著一個「用四個 4 來表示整數」的數學問題，為戰爭的緊張氣氛所繃緊的神經，找到了舒緩的機會，下面就是「用四個 4 來表示整數」的方法之一：令

a = lo g_{4} lo g_{4} \dots 4 \times 4

其中的

\dots 4 \times 4

共含

2002

層二次根號，則

a

的值等於 ____。

滿足

lo g_{2} (x^{2} + 2 x) \leq 3

的所有整數

x

有 ____ 個。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(4)

第 3 題(5)

第 4 題(5)

第 5 題(4)

第 6 題(3)

第 7 題(3)

第 8 題(1)(4)

第 9 題(1)(3)(4)

第 10 題(1)(2)(4)(5)

第 11 題(2)(3)

第 12 題(1)(2)(4)(5)

第 13 題(1)(2)(3)

第 14 題

11

第 15 題

2

第 16 題

2

第 17 題

- 1

第 18 題

6

第 19 題

- 2000

第 20 題

4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：分數指數、換底公式、以已知對數表示、指數律

第 1 題答案 (2)。

0.25 = \frac{1}{4} = 2^{- 2}

，

2.5 = \frac{5}{2}

，所以

a = (2^{- 2})^{\frac{5}{2}} = 2^{- 5} = \frac{1}{32} = 0.03125

，落在

0 \leq a < 0.25

。

指數是正的，但底數小於

1

，所以結果比

0.25

還小；指數函數的值一定是正的，不可能落在 (1)。

第 2 題答案 (4)。用換底公式把底數都換成

2

：

lo g_{4} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} 3

，

lo g_{2} 5 = \frac{1}{2} lo g_{2} 5

。所以原式

= \frac{lo g _{2} 5 + \frac{1}{2} lo g _{2} 3}{\frac{1}{2} lo g _{2} 5} = 2 + \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 5} = 2 + lo g_{5} 3

。

其他選項的值：(1)

lo g_{4} 70 \approx 3.06

，(2)

lo g_{4} 23 \approx 2.26

，(3)

lo g_{2} 15 \approx 1.95

，(5)

\approx 5.68

，而原式

\approx 2.68

。

第 3 題答案 (5)。

54 = 2 \times 3^{3}

，

18 = 2 \times 3^{2}

，所以

a = lo g 2 + 3 lo g 3

，

b = lo g 2 + 2 lo g 3

。兩式相減得

lo g 3 = a - b

，代回得

lo g 2 = b - 2 (a - b) = 3 b - 2 a

。

36 = 2^{2} \times 3^{2}

，

lo g 36 = 2 lo g 2 + 2 lo g 3 = 2 (3 b - 2 a) + 2 (a - b) = - 2 a + 4 b

。

可代數值檢查：

a \approx 1.7324

，

b \approx 1.2553

，

- 2 a + 4 b \approx 1.5563 = lo g 36

。

第 4 題答案 (5)。(1)

2 + 4 = 6

，

2^{3} = 8

，不相等。(2)

2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} = 0

沒錯，但

2^{0} = 1

，中間那個等號不成立。(3)

2^{\frac{1}{2}} = 2

，

\frac{1}{2} = 2^{- 1}

。(4) 左邊

(- 2)^{2} = 2

，右邊

- (2^{2}) = - 2

。(5)

2^{2} + 2^{2} = 2 \times 2^{2} = 2^{1} \times 2^{2} = 2^{2 + 1}

，正確。

同底數相乘才是指數相加；兩個相同的數相加是乘以

2

，所以 (5) 剛好可以寫成指數加

1

。

02單選題（第 5～7 題）：正方形與指數曲線、分貝、距離和的最小值

第 5 題答案 (4)。正方形面積

16

，邊長

4

。

\overline{A B}

與

y

軸平行，所以

A

、

B

的橫坐標相同，設為

s

：

A (s, a^{s})

、

B (s, 2 a^{s})

，

\overline{A B} = 2 a^{s} - a^{s} = a^{s} = 4

，所以

B

的縱坐標是

8

。

\overline{B C}

與

\overline{A B}

垂直，是水平線段，

C

的縱坐標也是

8

，橫坐標是

s + 4

或

s - 4

。

C

在

y = 4 a^{x}

上：

4 a^{s \pm 4} = 8

，即

a^{s} \cdot a^{\pm 4} = 2

，

a^{\pm 4} = \frac{1}{2}

。因為

a > 1

，

a^{4} > 1

，所以只能是

a^{- 4} = \frac{1}{2}

，

a^{4} = 2

，

a = 2^{\frac{1}{4}}

。

a > 1

時

y = 4 a^{x}

遞增，要在

B

的同一高度上，

C

必須在

B

的左邊（

C

的橫坐標是

s - 4

）。

第 6 題答案 (3)。設普通說話與加油聲的強度分別為

I_{1}

、

I_{2}

。

45 = 10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}}

，

90 = 10 lo g \frac{I _{2}}{I _{0}}

，兩式相減：

45 = 10 (lo g \frac{I _{2}}{I _{0}} - lo g \frac{I _{1}}{I _{0}}) = 10 lo g \frac{I _{2}}{I _{1}}

，所以

lo g m = 4.5

，

m = 1 0^{4.5} = 1 0^{4} \times 1 0^{0.5}

。由參考數值

lo g 3 = 0.4771 < 0.5 < 0.6020 = lo g 4

，

1 0^{0.5}

介於

3

與

4

之間，而且

0.5

離

0.4771

近得多，

m

最接近

30000

。

1 0^{0.5} = 10 \approx 3.162

，

m \approx 31623

。分貝數變成兩倍，強度不是變成兩倍。

第 7 題答案 (3)。設

P (x, lo g_{2} x)

是

y = lo g_{2} x

圖形上的點，

A (1, 2)

、

B (5, 1)

，則所給的式子就是

\overline{P A} + \overline{P B}

。

x = 1

時曲線高度

lo g_{2} 1 = 0 < 2

，

A

在曲線上方；

x = 5

時曲線高度

lo g_{2} 5 > lo g_{2} 4 = 2 > 1

，

B

在曲線下方。

A

、

B

在曲線的兩側，線段

\overline{A B}

一定與曲線相交，交點記為

P_{0}

。由三角不等式

\overline{P A} + \overline{P B} \geq \overline{A B}

，等號在

P = P_{0}

時成立，所以

m = \overline{A B} = (5 - 1)^{2} + (1 - 2)^{2} = 17

。

4^{2} = 16 < 17 < 4. 5^{2} = 20.25

，

m

最接近

4

。

17 \approx 4.123

。關鍵是看出兩個根號各是一段距離，並確認兩個定點在曲線的不同側。

03多選題（第 8～10 題）：指數函數、對數律、對數函數的性質

第 8 題答案 (1)(4)。(1) 正確。

7^{0} = 1

。(2) 錯誤。

k = 2^{- 100} = \frac{1}{2 ^{100}} > 0

，指數函數的值恆為正。(3) 錯誤。 底數

0.99 < 1

，

y = (0.99)^{x}

遞減，

x

往負的方向越來越小時，函數值可以大過任何正數，它的值域是所有正實數，所以一定會碰到

y = 100

（交點在

x < 0

處）。(4) 正確。 指數函數不論底數大於

1

或介於

0

與

1

之間，圖形都是凹口向上。(5) 錯誤。 底數

7 > 1

，

y = 7^{x}

遞增，

0.8 < 0.9

，所以

7^{0.8} < 7^{0.9}

。

(3) 交點的橫坐標是

lo g_{0.99} 100 = \frac{2}{lo g 0.99} \approx - 458.2

。

第 9 題答案 (1)(3)(4)。(1) 正確。 由對數的定義，

2^{l o g_{2} 3} = 3

。(2) 錯誤。

lo g (5 + 9) = lo g 14 \approx 1.146

，

lo g 5 \times lo g 9 \approx 0.699 \times 0.954 \approx 0.667

；對數律只有

lo g (5 \times 9) = lo g 5 + lo g 9

，沒有「和的對數等於對數的積」。(3) 正確。

lo g 5 = lo g 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} lo g 5

。(4) 正確。 換底：

lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2}

，

lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}

，兩者互為倒數。(5) 錯誤。

lo g a = 5.67

，

5 \leq 5.67 < 6

，所以

1 0^{5} \leq a < 1 0^{6}

，

a

的整數部分是

6

位數。

(5) 常數部分（首數）是

5

時整數部分是

6

位數，位數比首數多

1

。

第 10 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1) 正確。

lo g_{7} 1 = 0

。(2) 正確。 底數

2 > 1

，

y = lo g_{2} x

遞增，

0.01 < 1

，所以

k = lo g_{2} 0.01 < lo g_{2} 1 = 0

。(3) 錯誤。

y = lo g x

的圖形是凹口向下。(4) 正確。

y = lo g x

與

y = 1 0^{x}

互為反函數，

(p, q)

在其中一個圖形上，

(q, p)

就在另一個圖形上，所以兩圖形對稱於直線

y = x

。(5) 正確。

y = lo g x

遞增，

0.9 > 0.8

，所以

lo g 0.9 > lo g 0.8

。

(3) 把

y = 1 0^{x}

（凹口向上）對直線

y = x

翻過去，就得到凹口向下的

y = lo g x

。

04多選題（第 11～13 題）：代換成二次函數、圖形判斷、比大小與位數

第 11 題答案 (2)(3)。(1) 錯誤。

2^{x} > 0

、

2^{- x} > 0

，由算幾不等式

t = 2^{x} + 2^{- x} \geq 2 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2

，等號在

2^{x} = 2^{- x}

即

x = 0

時成立，所以

t

的最小值是

2

，

t

不可能等於

1

。(2) 正確。

t^{2} = 4^{x} + 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- x} + 4^{- x} = 4^{x} + 4^{- x} + 2

，所以

4^{x} + 4^{- x} = t^{2} - 2

。(3) 正確。

f (x) = 2 (t^{2} - 2) + 4 t + 8 = 2 t^{2} + 4 t + 4

。(4) 錯誤。

2 t^{2} + 4 t + 4 = 2 (t + 1)^{2} + 2

，對稱軸

t = - 1

不在範圍

t \geq 2

內，在

t \geq 2

上函數值隨

t

增加而增加，最小值在

t = 2

：

2 \times 4 + 8 + 4 = 20

，不是

10

。(5) 錯誤。 最小值發生在

t = 2

，也就是

x = 0

，不是

x > 0

。

(4) 若忘了

t \geq 2

而直接取頂點，會得到

2

，也不是

10

；這類題換元後一定要先寫出新變數的範圍。

第 12 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1) 正確。

(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}

，點

(p, q)

在

y = 2^{x}

上時，

(- p, q)

就在

y = 2^{- x}

上，兩圖形對稱於

y

軸。(2) 正確。

0 < x \leq 1

時，

x^{2} \leq 1 < 1 0^{x}

。

x > 1

時，設

n \leq x < n + 1

（

n

為正整數），則

1 0^{x} \geq 1 0^{n}

，

x^{2} < (n + 1)^{2}

；而

1 0^{n} \geq (n + 1)^{2}

對每個正整數

n

都成立（

n = 1

時

10 \geq 4

，之後

n

每加

1

，左邊乘以

10

，右邊

\frac{( n + 2 ) ^{2}}{( n + 1 ) ^{2}} \leq \frac{9}{4} < 10

倍），所以

1 0^{x} > x^{2}

。(3) 錯誤。 左邊

= \frac{1}{2} lo g (x_{1} x_{2}) = lo g x_{1} x_{2}

。由算幾不等式，

x_{1} \neq = x_{2}

時

x_{1} x_{2} < \frac{x _{1} + x _{2}}{2}

，

y = lo g x

遞增，所以左邊

<

右邊，不等號方向相反。(4) 正確。 方程式即

lo g x = - x

。

y = lo g x

遞增、

y = - x

遞減，兩圖形最多一個交點；

x = 0.1

時

lo g x = - 1 < - 0.1

，

x = 1

時

lo g x = 0 > - 1

，兩者的大小關係對調，中間恰有一個交點。(5) 正確。 當

0 < x < 1

時，

∣ lo g_{2} x ∣ = - lo g_{2} x

遞減，從很大一路降到接近

0

，而

2^{x}

遞增、值介於

1

與

2

之間，兩者恰交一次。當

x \geq 1

時，

∣ lo g_{2} x ∣ = lo g_{2} x

；

y = 2^{x}

的圖形整個在直線

y = x

的上方，它對

y = x

的對稱圖形

y = lo g_{2} x

整個在

y = x

的下方，所以

lo g_{2} x < x < 2^{x}

，沒有交點。合計恰有一個實根。

(3) 是對數函數凹口向下的代數說法：兩點連線的中點在曲線下方。(4) 的根約為

x \approx 0.399

，(5) 的根約為

x \approx 0.401

。

第 13 題答案 (1)(2)(3)。先化簡：

128 = 2^{7}

，

b = lo g_{2^{7}} \frac{3}{2} = \frac{1}{7} lo g_{2} \frac{3}{2}

；

c = lo g_{2} \frac{2}{3} = - lo g_{2} \frac{3}{2}

。因為

1 < \frac{3}{2} < 2

，

0 < lo g_{2} \frac{3}{2} < 1

。(1) 正確。

0 < b < \frac{1}{7} = a

，而

c < 0

，所以

a > b > c

。(2) 正確。

14 a + 7 b + c = 2 + lo g_{2} \frac{3}{2} - lo g_{2} \frac{3}{2} = 2

。(3) 正確。

2^{c} = 2^{l o g_{2} \frac{2}{3}} = \frac{2}{3} = 0.666 \dots

，是循環小數。(4) 錯誤。

lo g a^{10} = - 10 lo g 7 = - 8.451 = - 9 + 0.549

，所以

a^{10} = 1 0^{0.549} \times 1 0^{- 9}

；由

lo g 3 = 0.4771 < 0.549 < 0.6020 = lo g 4

，

1 0^{0.549}

介於

3

與

4

之間，

a^{10} = 0.000000003 \dots

，從小數點後第

9

位才不為

0

，第

8

位是

0

。(5) 錯誤。

- 7 b = - lo g_{2} \frac{3}{2} = lo g_{2} \frac{2}{3}

，所以

2^{- 7 b} = \frac{2}{3}

，

lo g \frac{2}{3} < 0

，不在

0

與

1

之間。

(4) 負的對數要先改寫成「負整數＋介於

0

與

1

的小數」，

- 8.451

的整數部分是

- 9

，不是

- 8

。

a^{10} \approx 3.54 \times 1 0^{- 9}

。

05選填 A～D（第 14～17 題）：對數有意義、對數律、指數方程式、等差數列

第 14 題底數條件：

x - 4 > 0

且

x - 4 \neq = 1

，即

x > 4

且

x \neq = 5

。真數條件：

- x^{2} + 19 x - 34 > 0

，即

x^{2} - 19 x + 34 < 0

，

(x - 2) (x - 17) < 0

，

2 < x < 17

。合起來

4 < x < 17

且

x \neq = 5

，整數

x = 6, 7, \dots, 16

，共

11

個。

底數不能是

1

，所以

x = 5

要扣掉；只看真數的話會多數到

3

、

4

、

5

。

第 15 題原式

= 2 lo g 5 - 2 lo g 3 - lo g 7 + lo g 4 + 2 lo g 3 + \frac{1}{2} lo g 7^{2} = 2 lo g 5 - lo g 7 + 2 lo g 2 + lo g 7 = 2 lo g 5 + 2 lo g 2 = 2 lo g 10 = 2

。

\frac{1}{2} lo g 49 = lo g 7

與

- lo g \frac{7}{4}

裡的

- lo g 7

抵消；

2 lo g 3

與

2 lo g \frac{5}{3}

裡的

- 2 lo g 3

抵消。

第 16 題令

u = 2^{x} > 0

。

8^{x + 1} = 8 \cdot (2^{x})^{3} = 8 u^{3}

，

4^{x + \frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} \cdot 4^{x} = 8 u^{2}

，

2^{x + 1} (1 - 2^{x}) = 2 u (1 - u) = 2 u - 2 u^{2}

。方程式化為

8 u^{3} - 8 u^{2} + 2 u - 2 u^{2} = 0

，即

8 u^{3} - 10 u^{2} + 2 u = 0

，

2 u (4 u^{2} - 5 u + 1) = 0

，

2 u (4 u - 1) (u - 1) = 0

。

u > 0

，所以

u = \frac{1}{4}

或

u = 1

，對應

x = - 2

或

x = 0

。

∣ α - β ∣ = ∣ - 2 - 0 ∣ = 2

。

4^{\frac{3}{2}} = (4)^{3} = 8

。代回檢查：

x = 0

時

8 - 8 + 0 = 0

；

x = - 2

時

\frac{1}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = 0

。

第 17 題點

(a_{n}, b_{n})

在

y = 2^{x}

上，所以

b_{n} = 2^{a_{n}}

，

b_{2} = 2^{a_{2}}

。點

(a_{6}, \frac{1}{16} b_{2})

也在

y = 2^{x}

上：

2^{a_{6}} = \frac{1}{16} \cdot 2^{a_{2}} = 2^{a_{2} - 4}

。指數函數是一對一的，所以

a_{6} = a_{2} - 4

。設公差為

d

，

a_{6} - a_{2} = 4 d = - 4

，

d = - 1

。

縱坐標變成

\frac{1}{16}

倍，在

y = 2^{x}

上等於橫坐標減

4

。

06選填 E～G（第 18～20 題）：複利、多層根號、對數不等式

第 18 題設本金為

P

，

n

年後本利和為

P (1.125)^{n}

。要

(1.125)^{n} > 2

，兩邊取常用對數：

n lo g 1.125 > lo g 2

。

1.125 = \frac{9}{8}

，

lo g \frac{9}{8} = 2 lo g 3 - 3 lo g 2 = 0.9542 - 0.9030 = 0.0512

，所以

n > \frac{0.3010}{0.0512} \approx 5.88

，

n

是正整數，至少要

6

年。

驗算：

(1.125)^{5} \approx 1.802 < 2

，

(1.125)^{6} \approx 2.027 > 2

。

第 19 題

4 \times 4 = 16 = 1 6^{\frac{1}{2}}

，每多一層二次根號，指數就再乘

\frac{1}{2}

，所以

2002

層根號後是

1 6^{\frac{1}{2 ^{2002}}} = (2^{4})^{\frac{1}{2 ^{2002}}} = 2^{\frac{4}{2 ^{2002}}} = 2^{2^{- 2000}}

。底數

4 = 2

，所以

lo g_{4} (2^{2^{- 2000}}) = 2^{- 2000}

，再取一次：

a = lo g_{2} (2^{- 2000}) = - 2000

。

由內往外：最裡面那一層

4 \times 4

已經算一層，所以指數的分母是

2^{2002}

；

16 = 2^{4}

，指數

4 = 2^{2}

約掉分母

2^{2002}

中的兩個

2

，剩

2^{- 2000}

。

第 20 題真數條件：

x^{2} + 2 x > 0

，

x (x + 2) > 0

，

x > 0

或

x < - 2

。底數

2 > 1

，

lo g_{2} (x^{2} + 2 x) \leq 3 = lo g_{2} 8

等價於

x^{2} + 2 x \leq 8

，

(x + 4) (x - 2) \leq 0

，

- 4 \leq x \leq 2

。合起來

- 4 \leq x < - 2

或

0 < x \leq 2

，整數

x = - 4, - 3, 1, 2

，共

4

個。

只解

x^{2} + 2 x \leq 8

會數到

- 4

到

2

共

7

個整數，要把真數不為正的

- 2

、

- 1

、

0

扣掉。

指對數的題目先寫條件（底數大於

0

且不等於

1

、真數大於

0

、代換後新變數的範圍），再化成同底或代換成多項式來解。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 13 題要看出 2 的 c 次方就是三分之二、a 的十次方要到小數點後第九位才不為零；多選第 12 題的不等式恆成立與實根個數都要靠圖形與單調性判斷；選填 F（本頁第 19 題）要由內往外把一層層根號寫成指數；選填 D（本頁第 17 題）要把點在指數圖形上的條件改寫成橫坐標的關係。詳解逐題寫在本頁。

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02單選題（第 5～7 題）：正方形與指數曲線、分貝、距離和的最小值

03多選題（第 8～10 題）：指數函數、對數律、對數函數的性質

04多選題（第 11～13 題）：代換成二次函數、圖形判斷、比大小與位數

05選填 A～D（第 14～17 題）：對數有意義、對數律、指數方程式、等差數列

06選填 E～G（第 18～20 題）：複利、多層根號、對數不等式

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