段考詳解範圍：指數與對數（指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

平鎮高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題 25 分、多選題 4 題 20 分、填充題 11 小題 55 分（原卷填充 1～7，第 1、2 題各有三小題，本頁編為第 10～20 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題(每題5分)

對任意實數

x

而言，

2 7^{(x^{2} + \frac{2}{3})}

的最小值為何？

(1) $3$
(2) $33$
(3) $9$
(4) $27$
(5) $813$

設某人借款

10000

元，年利率為

10%

，每年複利計息一次，則三年後的本利和為多少元？

(1) $11100$
(2) $12000$
(3) $12100$
(4) $13000$
(5) $13310$

下列哪一個選項的值最大？

(1) $lo g_{32} 48$
(2) $lo g_{16} 24$
(3) $lo g_{8} 12$
(4) $lo g_{4} 6$
(5) $lo g_{2} 3$

請問下列哪一個選項等於

lo g (2^{(3^{5})})

？

(1) $5 lo g (2^{3})$
(2) $3^{5} lo g 2$
(3) $5 lo g 2 \times lo g 3$
(4) $5 (lo g 2 + lo g 3)$
(5) $3 \times 5 lo g 2$

某品牌計算機在計算對數

lo g_{a} b

時需按

lo g (a, b)

。某生在計算

lo g_{a} b

時（其中

a > 1

且

b > 1

）順序弄錯，誤按

lo g (b, a)

，所得為正確值的

\frac{4}{9}

倍。試選出

a

，

b

間的關係式

(1) $a^{2} = b^{3}$
(2) $a^{3} = b^{2}$
(3) $a^{4} = b^{9}$
(4) $2 a = 3 b$
(5) $3 a = 2 b$

二、多選題(每題5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算.)

設

a

、

b

、

c

為實數且滿足

lo g a = 1.1

、

lo g b = 2.2

、

lo g c = 3.3

。試選出正確的選項

(1) $a + c = 2 b$
(2) $1 < a < 10$
(3) $1000 < c < 10000$
(4) $b = 2 a$
(5) $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比數列

坐標平面上，

Γ_{1}

為

y = lo g x

的圖形，

Γ_{2}

為

y = - lo g x

的圖形。下列關於

Γ_{1}

與

Γ_{2}

的敘述，試選出正確的選項

(1) $Γ_{1}$ 的圖形凹口向下
(2) $Γ_{2}$ 的圖形凹口向下
(3) $Γ_{1}$ 的圖形均在 $x$ 軸的上方
(4) $Γ_{2}$ 的圖形均在 $y$ 軸的右方
(5) $Γ_{1}$ 與 $Γ_{2}$ 恰交於一點

指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

，的圖形如圖所示。選出所有正確的選項。

(1) $a > 1$
(2) $b > 1$
(3) $c > 1$
(4) $b > a$
(5) $a > b$

載入中...

下列哪些式子是正確的？

(1) $lo g_{7} (- 3)^{2} = 2 lo g_{7} (- 3)$
(2) $lo g_{7} 7 = 1$
(3) $lo g_{81} 3 = 4$
(4) $lo g_{6} (3 + 4) = lo g_{6} 3 + lo g_{6} 4$
(5) $lo g_{6} 7 = lo g_{6} 7$

三、填充題(每小題5分)

填充 1（第 10～12 題）　解下列各方程式：

(1)

2^{x - 1} = 162

，

x = \frac{____}{____}

(2)

4^{x + 1} - 25 \times 2^{x} - 56 = 0

，

x =

____

(3)

lo g (1 0^{x} + 1000) = \frac{x}{2} + lo g 110

，

x =

____ or ____

填充 2（第 13～15 題）　求下列各式的值：

(1)

lo g 2 - lo g \frac{5}{2} + 2 lo g 125

。 ____

(2)

\frac{3}{2} lo g 34 + lo g_{100} 25

。 ____

(3)

(lo g_{2} 5 + lo g_{4} 25) (lo g_{5} 8 + lo g_{25} 16)

。 ____

下圖為

y = 3^{x}

的圖形。設

P

、

Q

分別為直線

y = 2

，

y = 6

與

y = 3^{x}

的交點，求

\overline{P Q}

的長為

____

載入中...

設

x = lo g_{2} 3

，求

4^{x} + 2^{- x}

的值。

____\frac{1}{____}

(表示為帶分數)

音量

s

（分貝）與聲音強度

w

（瓦特）的關係式如下：

s = 10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}

《琵琶行》中提到「大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語」。設急雨的音量為

60

分貝，私語的音量為

30

分貝。當多種聲音同時出現時，總聲音強度是將它們的聲音強度直接相加。若

100

位女子同時「小弦切切」地演奏琵琶，則其音量為多少分貝數？ ____

已知現有

1

株乳酸菌，且每隔

1

小時乳酸菌的數量會增加為原來的

3

倍。若以這樣的速度增殖，則經過多少小時之後，乳酸菌的數量會超過

1 0^{10}

株？（

lo g 3 \approx 0.4771

） ____

做某項試驗共有三種可能的結果，其發生的機率分別為

lo g_{k}^{2}

，

lo g_{k}^{4}

，

lo g_{k}^{8}

求實數

k

的值。 ____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(5)

第 4 題(2)

第 5 題(2)

第 6 題(3)(5)

第 7 題(1)(4)(5)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題(2)(5)

第 10 題

\frac{11}{2}

第 11 題

3

第 12 題

2

或

4

第 13 題

2

第 14 題

1

第 15 題

10

第 16 題

17

第 17 題

9 \frac{1}{3}

第 18 題

50

第 19 題

21

第 20 題

64

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：指數函數的最小值、複利

第 1 題答案 (3)。底數

27 > 1

，

y = 2 7^{t}

是遞增函數，指數

t

越小值越小。指數

x^{2} + \frac{2}{3}

在

x = 0

時最小，等於

\frac{2}{3}

。所以最小值是

2 7^{\frac{2}{3}} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{2} = 9

。

第 2 題答案 (5)。每年複利一次，每過一年本利和變成前一年的

1.1

倍。三年後本利和

= 10000 \times (1.1)^{3} = 10000 \times 1.331 = 13310

元。

(1.1)^{2} = 1.21

，

(1.1)^{3} = 1.331

。(3)

12100

是兩年後的本利和。

底數大於

1

的指數函數，指數最小時函數值最小。

02單選第 3～5 題：比較對數大小、指數掛在指數上、底數與真數互換

第 3 題

答案 (5)。五個底數都是 $2$ 的次方，用 $lo g_{2^{m}} N = \frac{1}{m} lo g_{2} N$ 全部化成以 $2$ 為底，並記 $t = lo g_{2} 3$ （ $2 < 3 < 4$ ，所以 $1 < t < 2$ ）：(1) $lo g_{32} 48 = \frac{lo g _{2} ( 16 \times 3 )}{5} = \frac{4 + t}{5}$ ；(2) $lo g_{16} 24 = \frac{3 + t}{4}$ ；(3) $lo g_{8} 12 = \frac{2 + t}{3}$ ；(4) $lo g_{4} 6 = \frac{1 + t}{2}$ ；(5) $lo g_{2} 3 = t$ 。

相鄰兩個相減： $\frac{1 + t}{2} - \frac{2 + t}{3} = \frac{t - 1}{6} > 0$ ， $\frac{2 + t}{3} - \frac{3 + t}{4} = \frac{t - 1}{12} > 0$ ， $\frac{3 + t}{4} - \frac{4 + t}{5} = \frac{t - 1}{20} > 0$ ，又 $t - \frac{1 + t}{2} = \frac{t - 1}{2} > 0$ 。所以由 (1) 到 (5) 越來越大，(5) 最大。

t = lo g_{2} 3 \approx 1.585

，五個值約為

1.117

、

1.146

、

1.195

、

1.292

、

1.585

。

第 4 題答案 (2)。

2^{(3^{5})}

是

2

的

3^{5}

次方，由對數律

lo g M^{r} = r lo g M

，

lo g (2^{(3^{5})}) = 3^{5} lo g 2

。其他選項：(1)

5 lo g (2^{3}) = 15 lo g 2

，(5)

3 \times 5 lo g 2 = 15 lo g 2

，都是把

3^{5}

當成

3 \times 5

；(3)、(4) 多出了

lo g 3

。

3^{5} = 243

，所以正確值是

243 lo g 2

，而 (1)、(5) 只有

15 lo g 2

。

第 5 題答案 (2)。誤按得到的是

lo g_{b} a

。由換底公式

lo g_{b} a = \frac{lo g a}{lo g b} = \frac{1}{lo g _{a} b}

。設

t = lo g_{a} b

，因為

a > 1

、

b > 1

，

t > 0

。由題意

\frac{1}{t} = \frac{4}{9} t

，

t^{2} = \frac{9}{4}

，

t = \frac{3}{2}

（負的不合）。所以

lo g_{a} b = \frac{3}{2}

，

b = a^{\frac{3}{2}}

，兩邊平方得

b^{2} = a^{3}

，即

a^{3} = b^{2}

。

檢查：取

a = 4

，

b = 8

，

lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}

，

lo g_{8} 4 = \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2}

，成立；而

4^{3} = 64 = 8^{2}

。

lo g_{b} a

與

lo g_{a} b

互為倒數；底數都是同一個數的次方時，全部化成同底再比較。

03多選第 6、7 題：常用對數值、對數函數的圖形

第 6 題答案 (3)(5)。由對數的定義，

a = 1 0^{1.1}

，

b = 1 0^{2.2}

，

c = 1 0^{3.3}

。(1) 錯誤。

a + c = 1 0^{1.1} + 1 0^{3.3} > 1 0^{3.3} = 1 0^{1.1} \times 1 0^{2.2} > 10 \times 1 0^{2.2} > 2 b

，所以

a + c \neq = 2 b

。(2) 錯誤。

1.1 > 1

，所以

a = 1 0^{1.1} > 10

。(3) 正確。

3 < 3.3 < 4

，

y = 1 0^{x}

遞增，所以

1 0^{3} < c < 1 0^{4}

。(4) 錯誤。

b = 1 0^{2.2} = (1 0^{1.1})^{2} = a^{2}

，

a > 10

，所以

b = a \cdot a > 10 a > 2 a

。(5) 正確。

a c = 1 0^{1.1 + 3.3} = 1 0^{4.4} = (1 0^{2.2})^{2} = b^{2}

，且

a

、

b

、

c

都是正數，

\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = 1 0^{1.1}

，成等比數列。

近似值

a \approx 12.59

，

b \approx 158.5

，

c \approx 1995.3

。

lo g a

、

lo g b

、

lo g c

成等差，

a

、

b

、

c

就成等比。

第 7 題答案 (1)(4)(5)。(1) 正確。

y = lo g x

的底數

10 > 1

，圖形遞增且越往右越平緩，凹口向下。例如取

(1, 0)

、

(100, 2)

兩點，連線中點是

(50.5, 1)

，而

lo g 50.5 > lo g 10 = 1

，圖形在連線上方。(2) 錯誤。

Γ_{2}

是

Γ_{1}

對

x

軸的鏡射，凹口方向跟著上下翻轉，

Γ_{2}

凹口向上。(3) 錯誤。

0 < x < 1

時

lo g x < 0

，例如

(0.1, - 1)

在

Γ_{1}

上、在

x

軸下方。(4) 正確。

lo g x

只在

x > 0

時有定義，

Γ_{2}

上每一點的

x

坐標都大於

0

，都在

y

軸右方。(5) 正確。交點滿足

lo g x = - lo g x

，

2 lo g x = 0

，

x = 1

，只有一個交點

(1, 0)

。

y = - lo g x

是

y = lo g x

對

x

軸的鏡射：定義域一樣是

x > 0

，凹口方向相反。

04多選第 8、9 題：由圖形判斷底數、對數律成立的條件

第 8 題答案 (1)(2)(4)。三條圖形都通過

(0, 1)

。(1) 正確。

y = a^{x}

由左往右上升，底數

a > 1

。(2) 正確。

y = b^{x}

也由左往右上升，

b > 1

。(3) 錯誤。

y = c^{x}

由左往右下降，

0 < c < 1

。(4) 正確。在

x = 1

處比較上升的兩條：

y = b^{x}

在

x > 0

時比

y = a^{x}

高，所以

b^{1} > a^{1}

，即

b > a

。(5) 錯誤。由 (4)，

b > a

。

底數大於

1

時，底數越大，圖形在

y

軸右側上升得越快。

第 9 題答案 (2)(5)。(1) 錯誤。右邊的

lo g_{7} (- 3)

真數是負數，沒有定義；對數律

lo g_{a} M^{r} = r lo g_{a} M

要

M > 0

才能用。左邊

lo g_{7} (- 3)^{2} = lo g_{7} 9

是有意義的數，兩邊不相等。(2) 正確。

7^{1} = 7

。(3) 錯誤。

8 1^{\frac{1}{4}} = 3

，所以

lo g_{81} 3 = \frac{1}{4}

，不是

4

。(4) 錯誤。

lo g_{6} 3 + lo g_{6} 4 = lo g_{6} 12

，而左邊是

lo g_{6} 7

，

7 \neq = 12

。(5) 正確。

lo g_{6} 7 = lo g_{6^{\frac{1}{2}}} 7^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} lo g_{6} 7 = lo g_{6} 7

。

對數律只對正的真數成立；

lo g (M + N)

不能拆成

lo g M + lo g N

。

05填充 1（第 10～12 題）：解指數與對數方程式

第 10 題

162 = 2^{4} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}

，所以

2^{x - 1} = 2^{\frac{9}{2}}

，

x - 1 = \frac{9}{2}

，

x = \frac{11}{2}

。答案格依序填

1

、

1

、

2

。

第 11 題

4^{x + 1} = 4 \times (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

，

t > 0

，方程式變成

4 t^{2} - 25 t - 56 = 0

，

(t - 8) (4 t + 7) = 0

，

t = 8

或

t = - \frac{7}{4}

。

t > 0

，所以

t = 8 = 2^{3}

，

x = 3

。

代回：

4^{4} - 25 \times 8 - 56 = 256 - 200 - 56 = 0

，成立。

第 12 題把右邊寫成一個對數：

\frac{x}{2} = lo g 1 0^{\frac{x}{2}}

，所以右邊

= lo g (110 \times 1 0^{\frac{x}{2}})

。兩邊真數相等：

1 0^{x} + 1000 = 110 \times 1 0^{\frac{x}{2}}

。令

u = 1 0^{\frac{x}{2}}

，

u > 0

，

1 0^{x} = u^{2}

，得

u^{2} - 110 u + 1000 = 0

，

(u - 10) (u - 100) = 0

，

u = 10

或

u = 100

。

1 0^{\frac{x}{2}} = 10

得

x = 2

；

1 0^{\frac{x}{2}} = 100

得

x = 4

。兩個都使真數

1 0^{x} + 1000 > 0

，都合。答案格依序填

2

、

4

。

代回：

x = 2

時左邊

lo g 1100

，右邊

1 + lo g 110 = lo g 1100

；

x = 4

時左邊

lo g 11000

，右邊

2 + lo g 110 = lo g 11000

。

指數方程式看出

a^{2 x} = (a^{x})^{2}

就換元；對數方程式先把兩邊都寫成一個

lo g

，再讓真數相等。

06填充 2（第 13～15 題）：對數的化簡

第 13 題

2 lo g 125 = lo g 125

。所以原式

= lo g (2 \div \frac{5}{2} \times 125) = lo g (2 \times \frac{2}{5} \times 125) = lo g 100 = 2

。

第 14 題

\frac{3}{2} lo g 34 = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} lo g 4 = \frac{1}{2} lo g 4 = lo g 2

。

lo g_{100} 25 = lo g_{1 0^{2}} 5^{2} = lo g 5

。相加：

lo g 2 + lo g 5 = lo g 10 = 1

。

第 15 題用

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

：

lo g_{4} 25 = lo g_{2^{2}} 5^{2} = lo g_{2} 5

，第一個括號

= 2 lo g_{2} 5

。

lo g_{5} 8 = 3 lo g_{5} 2

，

lo g_{25} 16 = lo g_{5^{2}} 2^{4} = 2 lo g_{5} 2

，第二個括號

= 5 lo g_{5} 2

。相乘：

2 lo g_{2} 5 \times 5 lo g_{5} 2 = 10 \times lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = 10

。答案格依序填

1

、

0

。

lo g_{2} 5

與

lo g_{5} 2

互為倒數，乘積為

1

。

底數與真數都是同一個數的次方時，先用

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

把次方提出來。

07填充 3、4（第 16、17 題）：交點距離、對數代入指數

第 16 題

P

在

y = 2

上：

3^{x} = 2

，

x = lo g_{3} 2

，

P (lo g_{3} 2, 2)

。

Q

在

y = 6

上：

3^{x} = 6

，

x = lo g_{3} 6 = lo g_{3} 3 + lo g_{3} 2 = 1 + lo g_{3} 2

，

Q (1 + lo g_{3} 2, 6)

。兩點

x

坐標差

1

、

y

坐標差

4

，由距離公式

\overline{P Q} = 1^{2} + 4^{2} = 17

。答案格依序填

1

、

7

。

不必算出

lo g_{3} 2

的值，兩個

x

坐標相減就消掉了。

第 17 題

x = lo g_{2} 3

等於

2^{x} = 3

。

4^{x} = (2^{x})^{2} = 9

，

2^{- x} = \frac{1}{2 ^{x}} = \frac{1}{3}

。所以

4^{x} + 2^{- x} = 9 + \frac{1}{3} = 9 \frac{1}{3}

。答案格依序填

9

、

3

。

x = lo g_{a} N

換成

a^{x} = N

，再把要求的式子寫成

a^{x}

的次方。

08填充 5～7（第 18～20 題）：分貝、細菌增殖、機率的總和

第 18 題先求一位女子「小弦切切」（私語，

30

分貝）的強度

w_{1}

：

30 = 10 lo g \frac{w _{1}}{1 0 ^{- 12}}

，

lo g \frac{w _{1}}{1 0 ^{- 12}} = 3

，

w_{1} = 1 0^{3} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 9}

瓦特。

100

位同時演奏，強度直接相加：

w = 100 \times 1 0^{- 9} = 1 0^{- 7}

。音量

s = 10 lo g \frac{1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 12}} = 10 lo g 1 0^{5} = 50

分貝。答案格依序填

5

、

0

。

強度變成

100

倍，分貝只多

10 lo g 100 = 20

。題目給的急雨

60

分貝在這一問用不到。

第 19 題經過

n

小時後有

3^{n}

株。要

3^{n} > 1 0^{10}

，兩邊取常用對數：

n lo g 3 > 10

，

n > \frac{10}{0.4771} \approx 20.96

。所以經過

21

小時之後數量會超過

1 0^{10}

株。答案格依序填

2

、

1

。

檢查：

20 \times 0.4771 = 9.542 < 10

，

21 \times 0.4771 = 10.0191 > 10

。

第 20 題卷面把

lo g_{k} 2

印成

lo g_{k}^{2}

（

2

寫在右上方），這裡指的是以

k

為底、

2

的對數，不是

(lo g_{k})^{2}

；其餘兩個同理。三種結果的機率相加等於

1

：

lo g_{k} 2 + lo g_{k} 4 + lo g_{k} 8 = lo g_{k} (2 \times 4 \times 8) = lo g_{k} 64 = 1

，所以

k = 64

。答案格依序填

6

、

4

。

檢查：三個機率分別是

lo g_{64} 2 = \frac{1}{6}

、

lo g_{64} 4 = \frac{1}{3}

、

lo g_{64} 8 = \frac{1}{2}

，都在

0

與

1

之間，總和為

1

。

「多個聲音一起」要把強度相加再換回分貝；「超過某個數」取常用對數後無條件進位到整數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

平鎮高中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 9 題第一個選項的真數是負數，對數根本沒有定義，不能套對數律；第 6 題要把三個數都寫成 10 的次方，a 和 c 的乘積才看得出等於 b 的平方；第 5 題要把按錯的結果寫成正確值的倒數，再解出正確值；第 18 題一百個聲音要把強度相加，不是把分貝相加。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數（指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

平鎮高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題(每題5分)

對任意實數

x

而言，

2 7^{(x^{2} + \frac{2}{3})}

的最小值為何？

(1) $3$
(2) $33$
(3) $9$
(4) $27$
(5) $813$

設某人借款

10000

元，年利率為

10%

，每年複利計息一次，則三年後的本利和為多少元？

(1) $11100$
(2) $12000$
(3) $12100$
(4) $13000$
(5) $13310$

下列哪一個選項的值最大？

(1) $lo g_{32} 48$
(2) $lo g_{16} 24$
(3) $lo g_{8} 12$
(4) $lo g_{4} 6$
(5) $lo g_{2} 3$

請問下列哪一個選項等於

lo g (2^{(3^{5})})

？

(1) $5 lo g (2^{3})$
(2) $3^{5} lo g 2$
(3) $5 lo g 2 \times lo g 3$
(4) $5 (lo g 2 + lo g 3)$
(5) $3 \times 5 lo g 2$

某品牌計算機在計算對數

lo g_{a} b

時需按

lo g (a, b)

。某生在計算

lo g_{a} b

時（其中

a > 1

且

b > 1

）順序弄錯，誤按

lo g (b, a)

，所得為正確值的

\frac{4}{9}

倍。試選出

a

，

b

間的關係式

(1) $a^{2} = b^{3}$
(2) $a^{3} = b^{2}$
(3) $a^{4} = b^{9}$
(4) $2 a = 3 b$
(5) $3 a = 2 b$

二、多選題(每題5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算.)

設

a

、

b

、

c

為實數且滿足

lo g a = 1.1

、

lo g b = 2.2

、

lo g c = 3.3

。試選出正確的選項

(1) $a + c = 2 b$
(2) $1 < a < 10$
(3) $1000 < c < 10000$
(4) $b = 2 a$
(5) $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比數列

坐標平面上，

Γ_{1}

為

y = lo g x

的圖形，

Γ_{2}

為

y = - lo g x

的圖形。下列關於

Γ_{1}

與

Γ_{2}

的敘述，試選出正確的選項

(1) $Γ_{1}$ 的圖形凹口向下
(2) $Γ_{2}$ 的圖形凹口向下
(3) $Γ_{1}$ 的圖形均在 $x$ 軸的上方
(4) $Γ_{2}$ 的圖形均在 $y$ 軸的右方
(5) $Γ_{1}$ 與 $Γ_{2}$ 恰交於一點

指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

，的圖形如圖所示。選出所有正確的選項。

(1) $a > 1$
(2) $b > 1$
(3) $c > 1$
(4) $b > a$
(5) $a > b$

載入中...

下列哪些式子是正確的？

(1) $lo g_{7} (- 3)^{2} = 2 lo g_{7} (- 3)$
(2) $lo g_{7} 7 = 1$
(3) $lo g_{81} 3 = 4$
(4) $lo g_{6} (3 + 4) = lo g_{6} 3 + lo g_{6} 4$
(5) $lo g_{6} 7 = lo g_{6} 7$

三、填充題(每小題5分)

填充 1（第 10～12 題）　解下列各方程式：

(1)

2^{x - 1} = 162

，

x = \frac{____}{____}

(2)

4^{x + 1} - 25 \times 2^{x} - 56 = 0

，

x =

____

(3)

lo g (1 0^{x} + 1000) = \frac{x}{2} + lo g 110

，

x =

____ or ____

填充 2（第 13～15 題）　求下列各式的值：

(1)

lo g 2 - lo g \frac{5}{2} + 2 lo g 125

。 ____

(2)

\frac{3}{2} lo g 34 + lo g_{100} 25

。 ____

(3)

(lo g_{2} 5 + lo g_{4} 25) (lo g_{5} 8 + lo g_{25} 16)

。 ____

下圖為

y = 3^{x}

的圖形。設

P

、

Q

分別為直線

y = 2

，

y = 6

與

y = 3^{x}

的交點，求

\overline{P Q}

的長為

____

載入中...

設

x = lo g_{2} 3

，求

4^{x} + 2^{- x}

的值。

____\frac{1}{____}

(表示為帶分數)

音量

s

（分貝）與聲音強度

w

（瓦特）的關係式如下：

s = 10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}

《琵琶行》中提到「大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語」。設急雨的音量為

60

分貝，私語的音量為

30

分貝。當多種聲音同時出現時，總聲音強度是將它們的聲音強度直接相加。若

100

位女子同時「小弦切切」地演奏琵琶，則其音量為多少分貝數？ ____

已知現有

1

株乳酸菌，且每隔

1

小時乳酸菌的數量會增加為原來的

3

倍。若以這樣的速度增殖，則經過多少小時之後，乳酸菌的數量會超過

1 0^{10}

株？（

lo g 3 \approx 0.4771

） ____

做某項試驗共有三種可能的結果，其發生的機率分別為

lo g_{k}^{2}

，

lo g_{k}^{4}

，

lo g_{k}^{8}

求實數

k

的值。 ____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(5)

第 4 題(2)

第 5 題(2)

第 6 題(3)(5)

第 7 題(1)(4)(5)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題(2)(5)

第 10 題

\frac{11}{2}

第 11 題

3

第 12 題

2

或

4

第 13 題

2

第 14 題

1

第 15 題

10

第 16 題

17

第 17 題

9 \frac{1}{3}

第 18 題

50

第 19 題

21

第 20 題

64

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：指數函數的最小值、複利

第 1 題答案 (3)。底數

27 > 1

，

y = 2 7^{t}

是遞增函數，指數

t

越小值越小。指數

x^{2} + \frac{2}{3}

在

x = 0

時最小，等於

\frac{2}{3}

。所以最小值是

2 7^{\frac{2}{3}} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{2} = 9

。

第 2 題答案 (5)。每年複利一次，每過一年本利和變成前一年的

1.1

倍。三年後本利和

= 10000 \times (1.1)^{3} = 10000 \times 1.331 = 13310

元。

(1.1)^{2} = 1.21

，

(1.1)^{3} = 1.331

。(3)

12100

是兩年後的本利和。

底數大於

1

的指數函數，指數最小時函數值最小。

02單選第 3～5 題：比較對數大小、指數掛在指數上、底數與真數互換

第 3 題

t = lo g_{2} 3 \approx 1.585

，五個值約為

1.117

、

1.146

、

1.195

、

1.292

、

1.585

。

第 4 題答案 (2)。

2^{(3^{5})}

是

2

的

3^{5}

次方，由對數律

lo g M^{r} = r lo g M

，

lo g (2^{(3^{5})}) = 3^{5} lo g 2

。其他選項：(1)

5 lo g (2^{3}) = 15 lo g 2

，(5)

3 \times 5 lo g 2 = 15 lo g 2

，都是把

3^{5}

當成

3 \times 5

；(3)、(4) 多出了

lo g 3

。

3^{5} = 243

，所以正確值是

243 lo g 2

，而 (1)、(5) 只有

15 lo g 2

。

第 5 題答案 (2)。誤按得到的是

lo g_{b} a

。由換底公式

lo g_{b} a = \frac{lo g a}{lo g b} = \frac{1}{lo g _{a} b}

。設

t = lo g_{a} b

，因為

a > 1

、

b > 1

，

t > 0

。由題意

\frac{1}{t} = \frac{4}{9} t

，

t^{2} = \frac{9}{4}

，

t = \frac{3}{2}

（負的不合）。所以

lo g_{a} b = \frac{3}{2}

，

b = a^{\frac{3}{2}}

，兩邊平方得

b^{2} = a^{3}

，即

a^{3} = b^{2}

。

檢查：取

a = 4

，

b = 8

，

lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}

，

lo g_{8} 4 = \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2}

，成立；而

4^{3} = 64 = 8^{2}

。

lo g_{b} a

與

lo g_{a} b

互為倒數；底數都是同一個數的次方時，全部化成同底再比較。

03多選第 6、7 題：常用對數值、對數函數的圖形

第 6 題答案 (3)(5)。由對數的定義，

a = 1 0^{1.1}

，

b = 1 0^{2.2}

，

c = 1 0^{3.3}

。(1) 錯誤。

a + c = 1 0^{1.1} + 1 0^{3.3} > 1 0^{3.3} = 1 0^{1.1} \times 1 0^{2.2} > 10 \times 1 0^{2.2} > 2 b

，所以

a + c \neq = 2 b

。(2) 錯誤。

1.1 > 1

，所以

a = 1 0^{1.1} > 10

。(3) 正確。

3 < 3.3 < 4

，

y = 1 0^{x}

遞增，所以

1 0^{3} < c < 1 0^{4}

。(4) 錯誤。

b = 1 0^{2.2} = (1 0^{1.1})^{2} = a^{2}

，

a > 10

，所以

b = a \cdot a > 10 a > 2 a

。(5) 正確。

a c = 1 0^{1.1 + 3.3} = 1 0^{4.4} = (1 0^{2.2})^{2} = b^{2}

，且

a

、

b

、

c

都是正數，

\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = 1 0^{1.1}

，成等比數列。

近似值

a \approx 12.59

，

b \approx 158.5

，

c \approx 1995.3

。

lo g a

、

lo g b

、

lo g c

成等差，

a

、

b

、

c

就成等比。

第 7 題答案 (1)(4)(5)。(1) 正確。

y = lo g x

的底數

10 > 1

，圖形遞增且越往右越平緩，凹口向下。例如取

(1, 0)

、

(100, 2)

兩點，連線中點是

(50.5, 1)

，而

lo g 50.5 > lo g 10 = 1

，圖形在連線上方。(2) 錯誤。

Γ_{2}

是

Γ_{1}

對

x

軸的鏡射，凹口方向跟著上下翻轉，

Γ_{2}

凹口向上。(3) 錯誤。

0 < x < 1

時

lo g x < 0

，例如

(0.1, - 1)

在

Γ_{1}

上、在

x

軸下方。(4) 正確。

lo g x

只在

x > 0

時有定義，

Γ_{2}

上每一點的

x

坐標都大於

0

，都在

y

軸右方。(5) 正確。交點滿足

lo g x = - lo g x

，

2 lo g x = 0

，

x = 1

，只有一個交點

(1, 0)

。

y = - lo g x

是

y = lo g x

對

x

軸的鏡射：定義域一樣是

x > 0

，凹口方向相反。

04多選第 8、9 題：由圖形判斷底數、對數律成立的條件

第 8 題答案 (1)(2)(4)。三條圖形都通過

(0, 1)

。(1) 正確。

y = a^{x}

由左往右上升，底數

a > 1

。(2) 正確。

y = b^{x}

也由左往右上升，

b > 1

。(3) 錯誤。

y = c^{x}

由左往右下降，

0 < c < 1

。(4) 正確。在

x = 1

處比較上升的兩條：

y = b^{x}

在

x > 0

時比

y = a^{x}

高，所以

b^{1} > a^{1}

，即

b > a

。(5) 錯誤。由 (4)，

b > a

。

底數大於

1

時，底數越大，圖形在

y

軸右側上升得越快。

第 9 題答案 (2)(5)。(1) 錯誤。右邊的

lo g_{7} (- 3)

真數是負數，沒有定義；對數律

lo g_{a} M^{r} = r lo g_{a} M

要

M > 0

才能用。左邊

lo g_{7} (- 3)^{2} = lo g_{7} 9

是有意義的數，兩邊不相等。(2) 正確。

7^{1} = 7

。(3) 錯誤。

8 1^{\frac{1}{4}} = 3

，所以

lo g_{81} 3 = \frac{1}{4}

，不是

4

。(4) 錯誤。

lo g_{6} 3 + lo g_{6} 4 = lo g_{6} 12

，而左邊是

lo g_{6} 7

，

7 \neq = 12

。(5) 正確。

lo g_{6} 7 = lo g_{6^{\frac{1}{2}}} 7^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} lo g_{6} 7 = lo g_{6} 7

。

對數律只對正的真數成立；

lo g (M + N)

不能拆成

lo g M + lo g N

。

05填充 1（第 10～12 題）：解指數與對數方程式

第 10 題

162 = 2^{4} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}

，所以

2^{x - 1} = 2^{\frac{9}{2}}

，

x - 1 = \frac{9}{2}

，

x = \frac{11}{2}

。答案格依序填

1

、

1

、

2

。

第 11 題

4^{x + 1} = 4 \times (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

，

t > 0

，方程式變成

4 t^{2} - 25 t - 56 = 0

，

(t - 8) (4 t + 7) = 0

，

t = 8

或

t = - \frac{7}{4}

。

t > 0

，所以

t = 8 = 2^{3}

，

x = 3

。

代回：

4^{4} - 25 \times 8 - 56 = 256 - 200 - 56 = 0

，成立。

第 12 題把右邊寫成一個對數：

\frac{x}{2} = lo g 1 0^{\frac{x}{2}}

，所以右邊

= lo g (110 \times 1 0^{\frac{x}{2}})

。兩邊真數相等：

1 0^{x} + 1000 = 110 \times 1 0^{\frac{x}{2}}

。令

u = 1 0^{\frac{x}{2}}

，

u > 0

，

1 0^{x} = u^{2}

，得

u^{2} - 110 u + 1000 = 0

，

(u - 10) (u - 100) = 0

，

u = 10

或

u = 100

。

1 0^{\frac{x}{2}} = 10

得

x = 2

；

1 0^{\frac{x}{2}} = 100

得

x = 4

。兩個都使真數

1 0^{x} + 1000 > 0

，都合。答案格依序填

2

、

4

。

代回：

x = 2

時左邊

lo g 1100

，右邊

1 + lo g 110 = lo g 1100

；

x = 4

時左邊

lo g 11000

，右邊

2 + lo g 110 = lo g 11000

。

指數方程式看出

a^{2 x} = (a^{x})^{2}

就換元；對數方程式先把兩邊都寫成一個

lo g

，再讓真數相等。

06填充 2（第 13～15 題）：對數的化簡

第 13 題

2 lo g 125 = lo g 125

。所以原式

= lo g (2 \div \frac{5}{2} \times 125) = lo g (2 \times \frac{2}{5} \times 125) = lo g 100 = 2

。

第 14 題

\frac{3}{2} lo g 34 = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} lo g 4 = \frac{1}{2} lo g 4 = lo g 2

。

lo g_{100} 25 = lo g_{1 0^{2}} 5^{2} = lo g 5

。相加：

lo g 2 + lo g 5 = lo g 10 = 1

。

第 15 題用

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

：

lo g_{4} 25 = lo g_{2^{2}} 5^{2} = lo g_{2} 5

，第一個括號

= 2 lo g_{2} 5

。

lo g_{5} 8 = 3 lo g_{5} 2

，

lo g_{25} 16 = lo g_{5^{2}} 2^{4} = 2 lo g_{5} 2

，第二個括號

= 5 lo g_{5} 2

。相乘：

2 lo g_{2} 5 \times 5 lo g_{5} 2 = 10 \times lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = 10

。答案格依序填

1

、

0

。

lo g_{2} 5

與

lo g_{5} 2

互為倒數，乘積為

1

。

底數與真數都是同一個數的次方時，先用

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

把次方提出來。

07填充 3、4（第 16、17 題）：交點距離、對數代入指數

第 16 題

P

在

y = 2

上：

3^{x} = 2

，

x = lo g_{3} 2

，

P (lo g_{3} 2, 2)

。

Q

在

y = 6

上：

3^{x} = 6

，

x = lo g_{3} 6 = lo g_{3} 3 + lo g_{3} 2 = 1 + lo g_{3} 2

，

Q (1 + lo g_{3} 2, 6)

。兩點

x

坐標差

1

、

y

坐標差

4

，由距離公式

\overline{P Q} = 1^{2} + 4^{2} = 17

。答案格依序填

1

、

7

。

不必算出

lo g_{3} 2

的值，兩個

x

坐標相減就消掉了。

第 17 題

x = lo g_{2} 3

等於

2^{x} = 3

。

4^{x} = (2^{x})^{2} = 9

，

2^{- x} = \frac{1}{2 ^{x}} = \frac{1}{3}

。所以

4^{x} + 2^{- x} = 9 + \frac{1}{3} = 9 \frac{1}{3}

。答案格依序填

9

、

3

。

x = lo g_{a} N

換成

a^{x} = N

，再把要求的式子寫成

a^{x}

的次方。

08填充 5～7（第 18～20 題）：分貝、細菌增殖、機率的總和

第 18 題先求一位女子「小弦切切」（私語，

30

分貝）的強度

w_{1}

：

30 = 10 lo g \frac{w _{1}}{1 0 ^{- 12}}

，

lo g \frac{w _{1}}{1 0 ^{- 12}} = 3

，

w_{1} = 1 0^{3} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 9}

瓦特。

100

位同時演奏，強度直接相加：

w = 100 \times 1 0^{- 9} = 1 0^{- 7}

。音量

s = 10 lo g \frac{1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 12}} = 10 lo g 1 0^{5} = 50

分貝。答案格依序填

5

、

0

。

強度變成

100

倍，分貝只多

10 lo g 100 = 20

。題目給的急雨

60

分貝在這一問用不到。

第 19 題經過

n

小時後有

3^{n}

株。要

3^{n} > 1 0^{10}

，兩邊取常用對數：

n lo g 3 > 10

，

n > \frac{10}{0.4771} \approx 20.96

。所以經過

21

小時之後數量會超過

1 0^{10}

株。答案格依序填

2

、

1

。

檢查：

20 \times 0.4771 = 9.542 < 10

，

21 \times 0.4771 = 10.0191 > 10

。

第 20 題卷面把

lo g_{k} 2

印成

lo g_{k}^{2}

（

2

寫在右上方），這裡指的是以

k

為底、

2

的對數，不是

(lo g_{k})^{2}

；其餘兩個同理。三種結果的機率相加等於

1

：

lo g_{k} 2 + lo g_{k} 4 + lo g_{k} 8 = lo g_{k} (2 \times 4 \times 8) = lo g_{k} 64 = 1

，所以

k = 64

。答案格依序填

6

、

4

。

檢查：三個機率分別是

lo g_{64} 2 = \frac{1}{6}

、

lo g_{64} 4 = \frac{1}{3}

、

lo g_{64} 8 = \frac{1}{2}

，都在

0

與

1

之間，總和為

1

。

「多個聲音一起」要把強度相加再換回分貝；「超過某個數」取常用對數後無條件進位到整數。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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平鎮高中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1、2 題：指數函數的最小值、複利

02單選第 3～5 題：比較對數大小、指數掛在指數上、底數與真數互換

03多選第 6、7 題：常用對數值、對數函數的圖形

04多選第 8、9 題：由圖形判斷底數、對數律成立的條件

05填充 1（第 10～12 題）：解指數與對數方程式

06填充 2（第 13～15 題）：對數的化簡

07填充 3、4（第 16、17 題）：交點距離、對數代入指數

08填充 5～7（第 18～20 題）：分貝、細菌增殖、機率的總和

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平鎮高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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