段考詳解範圍：高一數學第一、二冊與高二數學B 第三冊總複習（數與式、多項式函數、直線與圓、三角比、數列、數據分析、排列組合與機率、三角函數、平面向量）

平鎮高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 111 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 111 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

進階題第 19 題要分別數出點數和為 5、10、15 的情形，總數 43，機率略小於 0.2；第 21 題要先解出聯立的絕對值不等式，再判斷 a 是負的、同除時不等號變向；第 18 題用迴歸直線從表格推測 8 度時的售出量；第 16 題兩個數都要先化簡（分母有理化、雙重根號）才能數整數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

單選題基礎題第 1～17 題（每題 5 分）、單選題進階題第 18～22 題（每題 3 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對。

單選題　基礎題每題 5 分

依據條件

sin θ < 0

且

cos θ > 0

判斷

θ

是第幾象限角？

(1) 一
(2) 二
(3) 三
(4) 四

求點

P (3, 1)

到直線

L : 3 x - 4 y + 5 = 0

的距離？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

已知

2^{31} - 1

是質數，求此質數的位數？

(1) $8$
(2) $9$
(3) $10$
(4) $11$
(5) $12$

學校想從

6

個參觀地點中，選出

3

個依序參訪，其安排的方案共有多少種？

(1) $120$
(2) $20$
(3) $36$
(4) $81$
(5) $2187$

在

△ A B C

中，已知

\overline{A B} = 3

，

\overline{A C} = 5

，

∠ A = 12 0^{\circ}

，求

\overline{B C}

的長度？

(1) $4$
(2) $5$
(3) $6$
(4) $7$
(5) $9$

求三邊長分別為

9, 10, 17

的三角形之面積？

(1) $24$
(2) $28$
(3) $30$
(4) $32$
(5) $36$

不等式

∣ - x + 2 ∣ \leq 4

的整數解共有幾個？

(1) $7$
(2) $8$
(3) $9$
(4) $10$
(5) $11$

求

lo g \frac{1}{300} + lo g \frac{1}{10} + lo g 30

？

(1) $- 1$
(2) $0$
(3) $1$
(4) $2$
(5) $3$

求值

sin \frac{2 π}{3} \times cos \frac{π}{6} + tan \frac{5 π}{4} \times sin \frac{7 π}{6}

？

(1) $- 1$
(2) $0$
(3) $1$
(4) $2$
(5) $\frac{1}{4}$

已知

a

，

b

是有理數，且

(3 + 22) a + (2 - 2) b = 72

，求

a + b

的值？

(1) $- 1$
(2) $- 2$
(3) $0$
(4) $2$
(5) $5$

用一條長度為

12

公尺的繩子圍成一矩形，求所圍矩形的最大面積？

(1) $8$
(2) $9$
(3) $10$
(4) $12$
(5) $16$

已知

f (x) = 3 x^{5} - 22 x^{4} - 12 x^{3} - 33 x^{2} + 10 x + 5

，求

f (8)

的值？

(1) $21$
(2) $25$
(3) $28$
(4) $- 35$
(5) $46$

將正弦函數

y = sin x

的圖形向右平移

1

單位，再上下伸縮為

2

倍而得出的是下列哪個函數的圖形？

(1) $y = 2 sin (x - 1)$
(2) $y = 2 sin (x + 1)$
(3) $y = - 2 sin (x - 1)$
(4) $y = - 2 sin (x + 1)$
(5) $y = 1 + 2 sin x$

如圖是由二組兩兩平行的直線所構成，且每一小格都是菱形，試問哪個式子不成立？

(1) $A B = 3 a + 5 b$
(2) $C D = 3 a - 3 b$
(3) $A B + C D = 8 a$
(4) $A B - C D = 8 b$

載入中...

數列

⟨ a_{n} ⟩

，滿足

a_{1} = 2

，

a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a _{n}}

，則

a_{1000}

的值為

(1) $2$
(2) $- 1$
(3) $\frac{1}{2}$
(4) $0$

介於

\frac{1}{2 - 5}

與

\frac{11}{13 - 4 3}

之間的整數共有幾個？

(1) $6$
(2) $7$
(3) $8$
(4) $9$
(5) $10$

f (x)

為三次實係數多項式，

f (0) = f (1) = f (- 2) = 4

，

f (2) = - 4

，則

f (- 1) =

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

單選題　進階題每題 3 分

某超商依據過去的銷售紀錄，冬天平均氣溫在

6^{\circ} C

到

2 4^{\circ} C

時，每日平均售出的咖啡數量與當天的平均氣溫之相關係數為

- 0.99

，部分紀錄如下表。

平均氣溫（^{\circ} C ） 平均售出量（杯） 115121343715361172791920321135

某日平均氣溫為

8^{\circ} C

，依據上述資訊推測，試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個選項？

(1) $570$ 杯
(2) $625$ 杯
(3) $700$ 杯
(4) $755$ 杯
(5) $800$ 杯

投擲三粒公正的骰子一次，計算骰子的點數和，若點數和為

5

的倍數之機率為

P

，則下列選項哪一個正確？

(1) $0 < P \leq 0.1$
(2) $0.1 < P \leq 0.2$
(3) $0.2 < P \leq 0.3$
(4) $0.3 < P \leq 0.4$
(5) $0.4 < P < 1$

已知平行四邊形的兩邊所在直線方程式為

L_{1} : x + y = 0

，

L_{2} : x - 2 y = 0

，若平行四邊形的四個頂點中，有一個為

(1, 3)

，另一個是第二象限的點

(a, b)

，則

a

值為何？

(1) $- 5$
(2) $- 3$
(3) $- \frac{5}{3}$
(4) $- \frac{3}{5}$
(5) $- \frac{5}{2}$

設

a

，

b

為實數，若不等式

{∣ 1 + 2 x ∣ < 3 ∣ 1 - x ∣ > 2

和

∣ a x - 9 ∣ < b

的解相同，則

a - b

的值為何？

(1) $- 3$
(2) $- 5$
(3) $- 7$
(4) $- 9$
(5) $- 11$

已知直線

L : 3 x + y - 5 = 0

與圓

C : (x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 35

交於

A (x_{1}, y_{1})

、

B (x_{2}, y_{2})

兩點，則

x_{1} + x_{2} =

(1) $- \frac{1}{2}$
(2) $- 2$
(3) $- \frac{2}{3}$
(4) $2$
(5) $- \frac{3}{2}$

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)

第 3 題(3)

第 4 題(1)

第 5 題(4)

第 6 題(5)

第 7 題(3)

第 8 題(1)

第 9 題(5)

第 10 題(1)

第 11 題(2)

第 12 題(1)

第 13 題(1)

第 14 題(3)

第 15 題(1)

第 16 題(4)

第 17 題(2)

第 18 題(2)

第 19 題(2)

第 20 題(3)

第 21 題(4)

第 22 題(4)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 3、7、8、10、12、16、17、21 題：數與式、常用對數與多項式函數

第 3 題答案 (3)。

2^{31}

是偶數，個位數不是

0

，所以

2^{31} - 1

與

2^{31}

位數相同。取常用對數：

lo g 2^{31} = 31 lo g 2 \approx 31 \times 0.3010 = 9.331

，介於

9

與

10

之間，所以

1 0^{9} < 2^{31} < 1 0^{10}

，

2^{31}

是

10

位數，

2^{31} - 1

也是

10

位數。

實際上

2^{31} - 1 = 2147483647

，確實是

10

位數。整數部分

9

要加

1

才是位數。

第 7 題答案 (3)。

∣ - x + 2 ∣ = ∣ x - 2 ∣

，所以

∣ x - 2 ∣ \leq 4

，即

- 4 \leq x - 2 \leq 4

，

- 2 \leq x \leq 6

。整數有

- 2, - 1, 0, 1, \dots, 6

，共

6 - (- 2) + 1 = 9

個。

兩端點

- 2

與

6

都要算（題目是小於或等於）。

第 8 題答案 (1)。用對數律合併成一個對數：原式

= lo g (\frac{1}{300} \times \frac{1}{10} \times 30) = lo g \frac{30}{3000} = lo g \frac{1}{100} = lo g \frac{1}{10} = - 1

。

第 10 題答案 (1)。把左邊整理成「有理數＋有理數倍的

2

」：

(3 a + 2 b) + (2 a - b) 2 = 0 + 72

。

a

、

b

是有理數，所以

3 a + 2 b

、

2 a - b

都是有理數，比較兩邊得

3 a + 2 b = 0

、

2 a - b = 7

。由第二式

b = 2 a - 7

，代入第一式：

3 a + 4 a - 14 = 0

，

a = 2

，

b = - 3

。所以

a + b = - 1

。

第 12 題答案 (1)。用綜合除法除以

x - 8

，係數

3, - 22, - 12, - 33, 10, 5

依序計算：

3

；

3 \times 8 - 22 = 2

；

2 \times 8 - 12 = 4

；

4 \times 8 - 33 = - 1

；

(- 1) \times 8 + 10 = 2

；

2 \times 8 + 5 = 21

。由餘式定理，

f (8)

等於餘數

21

。

直接代

8^{5} = 32768

數字很大，綜合除法每一步都只是小數字。

第 16 題

答案 (4)。先化簡兩個數。 $\frac{1}{2 - 5} = \frac{2 + 5}{( 2 - 5 ) ( 2 + 5 )} = \frac{2 + 5}{4 - 5} = - 2 - 5$ ，因為 $2 < 5 < 3$ ，這個數介於 $- 5$ 與 $- 4$ 之間。

$13 - 43 = 13 - 212$ ，找兩數和為 $13$ 、積為 $12$ ： $12$ 與 $1$ ，所以 $13 - 43 = 12 - 1 = 23 - 1$ 。於是 $\frac{11}{2 3 - 1} = \frac{11 ( 2 3 + 1 )}{12 - 1} = 23 + 1$ ，因為 $3 < 23 < 4$ ，這個數介於 $4$ 與 $5$ 之間。

兩數之間的整數是 $- 4, - 3, \dots, 4$ ，共 $9$ 個。

- 2 - 5 \approx - 4.24

、

23 + 1 \approx 4.46

。

第 17 題答案 (2)。

f (0)

、

f (1)

、

f (- 2)

都等於

4

，表示

f (x) - 4

有

x

、

x - 1

、

x + 2

三個因式。

f (x)

是三次式，可設

f (x) - 4 = k x (x - 1) (x + 2)

。代

x = 2

：

- 4 - 4 = k \times 2 \times 1 \times 4

，

8 k = - 8

，

k = - 1

。所以

f (- 1) = 4 + (- 1) \times (- 1) \times (- 2) \times 1 = 4 - 2 = 2

。

三個函數值相同時，先減掉那個共同的值，再用因式定理設式。

第 21 題

答案 (4)。先解聯立不等式。 $∣ 1 + 2 x ∣ < 3$ ： $- 3 < 1 + 2 x < 3$ ， $- 2 < x < 1$ 。 $∣ 1 - x ∣ > 2$ ： $x - 1 > 2$ 或 $x - 1 < - 2$ ，即 $x > 3$ 或 $x < - 1$ 。兩者同時成立： $- 2 < x < - 1$ 。

$∣ a x - 9 ∣ < b$ 要有解， $b > 0$ ，化成 $9 - b < a x < 9 + b$ 。若 $a > 0$ ，解是 $\frac{9 - b}{a} < x < \frac{9 + b}{a}$ ，要等於 $- 2 < x < - 1$ ，則 $9 - b = - 2 a$ 、 $9 + b = - a$ ，相加得 $18 = - 3 a$ ， $a = - 6$ ，與 $a > 0$ 矛盾。所以 $a < 0$ ，同除以負數要變號： $\frac{9 + b}{a} < x < \frac{9 - b}{a}$ ，於是 $9 + b = - 2 a$ 、 $9 - b = - a$ ，相加得 $18 = - 3 a$ ， $a = - 6$ ；再得 $b = - 2 a - 9 = 3$ 。

檢查： $∣ - 6 x - 9 ∣ < 3$ 即 $∣ 2 x + 3 ∣ < 1$ ， $- 2 < x < - 1$ ，正確。所以 $a - b = - 6 - 3 = - 9$ 。

a = 0

時

∣ a x - 9 ∣ < b

的解不是有限區間，不必考慮。

位數用常用對數的整數部分加 1；有理數加根號的等式要比較係數；雙重根號找兩數和與積；多個函數值相同時先減掉共同值再設因式。

02第 1、2、5、6、20、22 題：直線、圓與三角比

第 1 題答案 (4)。在坐標平面上，

θ

終邊上的點

(x, y)

滿足

cos θ

與

x

同號、

sin θ

與

y

同號。

cos θ > 0

表示

x > 0

，

sin θ < 0

表示

y < 0

，終邊在第四象限，

θ

是第四象限角。

第 2 題答案 (2)。點到直線的距離公式：

\frac{∣ 3 \times 3 - 4 \times 1 + 5 ∣}{3 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}} = \frac{∣10∣}{5} = 2

。

第 5 題答案 (4)。已知兩邊與夾角，用餘弦定理：

\overline{B C}^{2} = 3^{2} + 5^{2} - 2 \times 3 \times 5 \times cos 12 0^{\circ} = 9 + 25 - 30 \times (- \frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49

，所以

\overline{B C} = 7

。

cos 12 0^{\circ}

是負的，減一個負數變成加。

第 6 題答案 (5)。用海龍公式：

s = \frac{9 + 10 + 17}{2} = 18

，面積

= s (s - 9) (s - 10) (s - 17) = 18 \times 9 \times 8 \times 1 = 1296 = 36

。

第 20 題

答案 (3)。 $L_{1}$ 與 $L_{2}$ 都通過原點，兩直線交於 $O (0, 0)$ ，所以 $O$ 是平行四邊形的一個頂點，兩鄰邊分別在 $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 上。 $(1, 3)$ 代入 $L_{1}$ 得 $1 + 3 \neq = 0$ ，代入 $L_{2}$ 得 $1 - 6 \neq = 0$ ，不在兩條直線上，所以 $(1, 3)$ 是 $O$ 的對角頂點。另兩個頂點：

過 $(1, 3)$ 且平行 $L_{1}$ 的直線是 $x + y = 4$ ，與 $L_{2}$ （ $x = 2 y$ ）的交點： $3 y = 4$ ，得 $(\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$ ，在第一象限。

過 $(1, 3)$ 且平行 $L_{2}$ 的直線是 $x - 2 y = - 5$ ，與 $L_{1}$ （ $y = - x$ ）的交點： $x + 2 x = - 5$ ，得 $(- \frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ ，在第二象限。

所以 $a = - \frac{5}{3}$ 。

第 22 題答案 (4)。由

L

得

y = 5 - 3 x

，代入圓：

(x + 2)^{2} + (4 - 3 x)^{2} = 35

，展開

x^{2} + 4 x + 4 + 9 x^{2} - 24 x + 16 = 35

，即

10 x^{2} - 20 x - 15 = 0

，也就是

2 x^{2} - 4 x - 3 = 0

。判別式

16 + 24 > 0

，有兩個相異實根，就是

x_{1}

、

x_{2}

。由根與係數的關係，

x_{1} + x_{2} = \frac{4}{2} = 2

。

題目只要兩根的和，不必把交點解出來。

對角頂點不在兩條邊所在的直線上，過它作平行線找其餘頂點；求兩交點坐標的和，代入消去後用根與係數的關係。

03第 4、15、18、19 題：數列、數據分析、排列組合與機率

第 4 題答案 (1)。「依序參訪」表示順序不同算不同方案，是從

6

個中取

3

個的直線排列：

6 \times 5 \times 4 = 120

種。

20

是只選不排的

C_{3}^{6}

；

6 \times 5 \times 4

的三個數就是第一、二、三站各有幾種選法。

第 15 題答案 (1)。依遞迴式算前幾項：

a_{1} = 2

，

a_{2} = \frac{1}{1 - 2} = - 1

，

a_{3} = \frac{1}{1 - ( - 1 )} = \frac{1}{2}

，

a_{4} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

。

a_{4} = a_{1}

，之後就以

2, - 1, \frac{1}{2}

每

3

項循環一次。

1000 = 3 \times 333 + 1

，所以

a_{1000} = a_{1} = 2

。

第 18 題

答案 (2)。相關係數 $- 0.99$ 很接近 $- 1$ ，數據幾乎在一條直線上，可以用迴歸直線推測。氣溫的平均 $\overset{x}{ˉ} = 16$ ，售出量的平均 $\overset{y}{ˉ} = \frac{1927}{6} \approx 321.17$ 。

氣溫的離均差為 $- 5, - 3, - 1, 1, 3, 5$ ，平方和 $= 70$ ；與售出量離均差的乘積和 $= \sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) y_{i} = - 5 \times 512 - 3 \times 437 - 361 + 279 + 3 \times 203 + 5 \times 135 = - 2669$ 。迴歸直線的斜率 $= \frac{- 2669}{70} \approx - 38.13$ 。

$8^{\circ} C$ 比平均低 $8$ 度，推測售出量約為 $321.17 + 38.13 \times 8 \approx 626$ 杯，最接近 $625$ 杯。

迴歸直線在

11

度的推測值約

321.17 + 38.13 \times 5 \approx 512

，與表格幾乎相同；從

11

度再往低推

3

度約多賣

38.13 \times 3 \approx 114

杯，同樣得到約

626

杯。

8^{\circ} C

在題目說的

6

到

24

度範圍內，可以推測。

第 19 題

答案 (2)。三粒骰子共有 $6^{3} = 216$ 種結果，機會相等。點數和介於 $3$ 到 $18$ ， $5$ 的倍數只有 $5$ 、 $10$ 、 $15$ 。

和為 $5$ ： $x + y + z = 5$ ，每個至少 $1$ ，正整數解 $C_{2}^{4} = 6$ 種（都不超過 $6$ ）。

和為 $15$ ：令 $x^{'} = 7 - x$ 等， $x^{'} + y^{'} + z^{'} = 21 - 15 = 6$ ，正整數解 $C_{2}^{5} = 10$ 種（都不超過 $6$ ）。

和為 $10$ ：令 $x^{''} = x - 1$ 等，非負整數 $x^{''} + y^{''} + z^{''} = 7$ 有 $C_{2}^{9} = 36$ 組，扣掉某一個超過 $5$ （即至少 $6$ ）的：該變數減 $6$ 後剩下和為 $1$ ，有 $3$ 組，三個變數共 $9$ 組，得 $36 - 9 = 27$ 種。

$P = \frac{6 + 27 + 10}{216} = \frac{43}{216} \approx 0.199$ ，所以 $0.1 < P \leq 0.2$ 。

\frac{43}{216}

很接近

0.2

但小於

0.2

，若誤以為是

\frac{44}{216}

或以上就會選錯。

遞迴數列先算幾項找循環；給相關係數接近正負 1 的表格，用迴歸直線推測；骰子點數和用正整數解的個數計算，記得扣掉超過 6 的情形。

04第 9、11、13 題：二次函數與三角函數

第 9 題

答案 (5)。 $\frac{2 π}{3}$ 是 $12 0^{\circ}$ ， $sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}$ ； $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ ； $\frac{5 π}{4}$ 是 $22 5^{\circ}$ ，在第三象限， $tan \frac{5 π}{4} = 1$ ； $\frac{7 π}{6}$ 是 $21 0^{\circ}$ ， $sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}$ 。

原式 $= \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} + 1 \times (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 。

第三象限的正切是正的，正弦是負的。

第 11 題答案 (2)。設矩形一邊長

x

公尺，周長

12

，另一邊長

6 - x

，

0 < x < 6

。面積

= x (6 - x) = - x^{2} + 6 x = - (x - 3)^{2} + 9

，

x = 3

時面積最大，為

9

平方公尺。

周長固定時，正方形的面積最大。

第 13 題答案 (1)。

y = sin x

的圖形向右平移

1

單位，把

x

換成

x - 1

，得

y = sin (x - 1)

；再上下伸縮為

2

倍，

y

坐標乘

2

，得

y = 2 sin (x - 1)

。

向右平移是

x - 1

，不是

x + 1

；上下伸縮

2

倍是乘

2

，不會加負號。

弧度先換成度數再判斷象限與正負；圖形往右移 h 就把 x 換成 x−h，上下伸縮 k 倍就把函數值乘 k。

05第 14 題：平面向量

第 14 題

答案 (3)。由圖， $a$ 是沿底邊方向一小格， $b$ 是沿斜邊方向一小格。以左下角為起點數格子： $A$ 在底邊第 $5$ 格處， $D$ 在底邊第 $11$ 格處； $B$ 在最上面一條線（往上 $5$ 格）、沿 $a$ 方向第 $8$ 格處； $C$ 在往上第 $3$ 條線、沿 $a$ 方向第 $8$ 格處。

$A B$ ：從 $A$ 沿 $a$ 走 $3$ 格、沿 $b$ 走 $5$ 格， $A B = 3 a + 5 b$ ，(1) 成立。

$C D$ ：從 $C$ 沿 $a$ 走 $3$ 格、沿 $b$ 往回走 $3$ 格， $C D = 3 a - 3 b$ ，(2) 成立。

$A B + C D = 6 a + 2 b \neq = 8 a$ ，(3) 不成立。

$A B - C D = 0 a + 8 b = 8 b$ ，(4) 成立。

所以不成立的是 (3)。

a

、

b

不平行，同一個向量寫成它們的組合只有一種寫法，所以

6 a + 2 b

不會等於

8 a

。

網格上的向量，數沿兩組平行線方向各走幾格，就是兩個基底向量的係數；加減時係數各自加減。

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同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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