段考詳解範圍：指數與對數（指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

平鎮高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

第一部分選擇題 40 分：單選題 4 題，每題 5 分；多選題 4 題，每題 5 分，只錯一個得 3 分、錯兩個得 1 分。第二部分選填題 12 題 60 分（原卷 A～L，本頁編為第 9～20 題），每題完全答對得 5 分。卷面附提示 log2＝0.3010、log3＝0.4771。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題全部一致。

第一部分：選擇題（佔 40 分）壹、單選題（佔 20 分）

已知附圖中，

a

為下列選項中的某一數，那麼

a

應該是哪一個數呢？

(1) $3$
(2) $\frac{3}{2}$
(3) $\frac{2}{3}$
(4) $\frac{1}{3}$
(5) $\frac{1}{2}$

載入中...

關於對數

lo g_{x - 1} (- x^{2} + 5 x - 4)

，下列哪一個數使對數有意義？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

試問有多少個整數

x

滿足

1 0^{9} < 2^{x} < 9^{10}

？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $0$ 個

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特

(W/m^{2})

來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12} (W/m^{2})

；噪音監測器量度的噪音 dB（分貝）則根據當地聲音的強度

I

，透過數學式子

d b (I) = 10 \times lo g_{10} \frac{I}{I _{0}}

計算得來。臺北市政府規定球場內噪音不得超過

65

分貝，而氣笛製造商製造一款低噪音氣笛，一支氣笛只會產生

45

分貝噪音。欲符合市政府噪音規定，球場內最多能同時響起幾支氣笛呢？

(1) $10$ 支
(2) $20$ 支
(3) $50$ 支
(4) $100$ 支
(5) $1000$ 支

貳、多選題（佔 20 分）

設

t > 0

，關於函數

f (x) = t lo g x

，選出所有正確的選項。

(1) $f (2) > 0$
(2) $f (x)$ 的圖形在 $x$ 軸的上方
(3) 若 $f (x) = f (2)$ ，則 $x = 2$
(4) $f (x)$ 的圖形凹口向上
(5) 若 $α < β$ ，則 $f (α) < f (β)$

圖為函數

y = a lo g x

、

y = b lo g x

、

y = c lo g x

與

y = lo g x

的圖形，且

y = b lo g x

與

y = lo g x

的圖形對稱於

x

軸。選出所有正確的選項

(1) $a > 1$
(2) $a < 1$
(3) $b = - 1$
(4) $c < - 1$
(5) $c > 1$

載入中...

下圖為某池塘中布袋蓮蔓延面積與時間的關係圖，假設其關係為指數函數，試問：下列何者為真？

(1) 此指數的底數為 $2$
(2) 在第 $5$ 個月時，布袋蓮的面積就會超過 $30 m^{2}$
(3) 布袋蓮從 $4 m^{2}$ 蔓延到 $12 m^{2}$ 只需要 $1.5$ 個月
(4) 設布袋蓮蔓延到 $2 m^{2}$ 、 $3 m^{2}$ 、 $6 m^{2}$ 所需要的時間分別為 $t_{1}$ 、 $t_{2}$ 、 $t_{3}$ ，則 $t_{1} + t_{2} = t_{3}$
(5) 布袋蓮在第 $1$ 個月到第 $3$ 個月之間的蔓延面積增加的平均速度等於在第 $2$ 個月到第 $4$ 個月之間的蔓延面積增加的平均速度

載入中...

已知

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上一點，問：下列哪些選項中的點也會在

y = lo g x

的圖形上？

(1) $(1, 0)$
(2) $(10 a, b + 1)$
(3) $(\frac{1}{a}, 1 - b)$
(4) $(a^{2}, 2 b)$
(5) $(10, 2)$

第二部分：選填題（佔 60 分）

A. 求

lo g \frac{7}{36} + 2 lo g 3 - lo g \frac{14}{25} + 5 lo g 2 =

____。

B. 若

lo g_{6} (x^{2} - 3 x + 2) < 1

，則

x

的範圍為 ____

< x <

____ 或 ____

< x <

____。

C. 已知

lo g 3 \approx 0.4771

，則滿足

1 0^{n - 2} > 9^{n}

的最小正整數

n

為 ____。

D. 解方程式

2^{2 x + 1} - 33 \times 2^{x - 2} + 1 = 0

，

x =

____ 或 ____。

E. 化簡

(lo g 2)^{3} + (lo g 5)^{3} + (lo g 5) (lo g 8) =

____。

1 0^{- l o g_{2} x} = \frac{1}{1000}

，求

x =

____。

G. 化簡

\frac{1}{3} lo g 3 - lo g 315 + lo g 350

____。

H. 解方程式：

2^{x - 1} = 162

，

x =

____。

I. 設

a = lo g_{5} 2

，

b = lo g_{3} 5

，求

5^{a - \frac{1}{b} + 2} =

____。

y = 2^{x}

的圖形向右移

h

單位，向上移

k

單位，可得

y - 3 = \frac{2 ^{x}}{8}

的圖形，則數對

(h, k) =

____。

K. 方程式

0.1 x - ∣ lo g x ∣ = 0

有 ____ 個實根。

L. 附圖為函數

y = \frac{lo g ( x - 1 )}{lo g a}

的部分圖形，此圖通過

(3, 1)

、

(b, 0)

、

(9, c)

三點，則

a + b + c =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(3)(5)

第 6 題(1)(3)(4)

第 7 題(1)(2)(4)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題

2

第 10 題

- 1 < x < 1

或

2 < x < 4

第 11 題

44

第 12 題

- 3

或

2

第 13 題

1

第 14 題

8

第 15 題

\frac{1}{3}

第 16 題

\frac{11}{2}

第 17 題

\frac{50}{3}

第 18 題

(3, 3)

第 19 題

3

第 20 題

7

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：指數函數圖形的陡緩、對數的限制

第 1 題

① 圖中 $y = a^{x}$ 往左上升、往右下降，是遞減函數，所以 $0 < a < 1$ ，先刪去 (1)(2)。

② 若 $a = \frac{1}{2}$ ， $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 與 $y = 2^{x}$ 對稱於 $y$ 軸，兩條曲線一樣陡。圖中 $y = a^{x}$ 往左升得比 $y = 2^{x}$ 往右升得慢，所以 $\frac{1}{a} < 2$ ，即 $a > \frac{1}{2}$ 。

③ 剩下的選項中只有 $\frac{2}{3}$ 大於 $\frac{1}{2}$ 。

④ 對照： $x = - 1$ 時 $(\frac{2}{3})^{- 1} = 1.5$ ，比 $(\frac{1}{2})^{- 1} = 2$ 低，圖形較平緩，與附圖相符。

答案 (3)。

載入中...

y = a^{x}

與

y = (\frac{1}{a})^{x}

對稱於

y

軸；底數離

1

越遠，圖形越陡。

第 2 題

① 底數要大於 $0$ 且不等於 $1$ ： $x - 1 > 0$ 且 $x - 1 \neq = 1$ ，得 $x > 1$ 且 $x \neq = 2$ 。

② 真數要大於 $0$ ： $- x^{2} + 5 x - 4 > 0$ ，即 $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ ， $(x - 1) (x - 4) < 0$ ，得 $1 < x < 4$ 。

③ 兩個條件同時成立： $1 < x < 4$ 且 $x \neq = 2$ 。選項中只有 $3$ 符合。

答案 (3)。

載入中...

代回：

x = 3

時為

lo g_{2} 2 = 1

，有意義；

x = 2

時底數是

1

，沒有意義。

對數

lo g_{a} b

有意義：

a > 0

、

a \neq = 1

、

b > 0

三個條件缺一不可。

02單選第 3、4 題：取對數定範圍、分貝公式

第 3 題

① 三個數都是正數，取常用對數，大小關係不變： $9 < x lo g 2 < 10 lo g 9$ 。

② 用卷面附的提示（見本卷說明） $lo g 2 \approx 0.3010$ 、 $lo g 3 \approx 0.4771$ ， $lo g 9 = 2 lo g 3 \approx 0.9542$ 。

③ 左邊： $x > \frac{9}{0.3010} \approx 29.9$ ；右邊： $x < \frac{9.542}{0.3010} \approx 31.7$ 。

④ 範圍內的整數是 $30$ 、 $31$ ，共 $2$ 個。

答案 (2)。

載入中...

直接核對：

2^{30} = 1073741824 > 1 0^{9}

；

2^{31} = 2147483648 < 9^{10} = 3486784401 < 2^{32} = 4294967296

。

第 4 題

① 一支氣笛 $45$ 分貝： $10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} = 45$ ，所以 $I_{1} = 1 0^{4.5} I_{0}$ 。

② 規定上限 $65$ 分貝對應的強度： $I_{m a x} = 1 0^{6.5} I_{0}$ 。

③ $n$ 支氣笛同時響，強度是 $n I_{1}$ 。要 $n I_{1} \leq I_{m a x}$ ：

$n \leq \frac{1 0 ^{6.5} I _{0}}{1 0 ^{4.5} I _{0}} = 1 0^{2} = 100$

④ 最多 $100$ 支。

答案 (4)。

分貝每多

10

，強度變

10

倍；多

20

分貝就是強度變

100

倍。

比較

a^{x}

與另一個數的大小，取常用對數變成一次不等式；分貝差換回強度的倍數。

03多選第 5、6 題：y＝t log x 的性質、由圖形判斷係數

第 5 題

$t > 0$ ， $y = t lo g x$ 的圖形是 $y = lo g x$ 鉛直伸縮 $t$ 倍，形狀與 $y = lo g x$ 相同：定義域 $x > 0$ 、過 $(1, 0)$ 、遞增、凹口向下。

(1) 正確。 $lo g 2 > 0$ ， $t > 0$ ，所以 $f (2) = t lo g 2 > 0$ 。

(2) 錯誤。 $0 < x < 1$ 時 $lo g x < 0$ ， $f (x) < 0$ ，圖形在 $x$ 軸下方。例如 $f (\frac{1}{10}) = - t < 0$ 。

(3) 正確。 $t lo g x = t lo g 2$ ，兩邊除以 $t$ 得 $lo g x = lo g 2$ ；對數函數是一對一的，所以 $x = 2$ 。

(4) 錯誤。 圖形凹口向下：例如 $(1, 0)$ 與 $(100, 2 t)$ 連線的中點 $(50.5, t)$ ，而 $f (50.5) = t lo g 50.5 > t$ ，曲線在弦的上方。

(5) 正確。 $t > 0$ 且 $y = lo g x$ 遞增，所以 $f$ 遞增； $α < β$ （都在定義域內）時 $f (α) < f (β)$ 。

答案 (1)(3)(5)。

載入中...

第 (5) 項的

α

、

β

要在定義域

x > 0

內，

f (α)

、

f (β)

才有意義。

第 6 題

看 $x = 10$ 這條鉛直線： $lo g 10 = 1$ ，所以四條曲線在 $x = 10$ 的高度分別是 $a$ 、 $1$ 、 $b$ 、 $c$ 。

① $y = b lo g x$ 與 $y = lo g x$ 對稱於 $x$ 軸，所以 $b lo g x = - lo g x$ ， $b = - 1$ 。

② 在 $x > 1$ 的部分， $y = a lo g x$ 在 $y = lo g x$ 上方，所以 $a > 1$ 。

③ 在 $x > 1$ 的部分， $y = c lo g x$ 在 $y = b lo g x = - lo g x$ 下方，所以 $c < - 1$ 。

(1) 正確。 $a > 1$ 。(2) 錯誤。 理由同 (1)。

(3) 正確。 $b = - 1$ 。

(4) 正確。 $c < - 1$ 。(5) 錯誤。 $c$ 是負數。

答案 (1)(3)(4)。

載入中...

比較

k lo g x

的係數，取

x = 10

（

lo g 10 = 1

）看高度最快。

04多選第 7、8 題：布袋蓮的指數模型、對數函數圖形上的點

第 7 題

由圖，第 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 個月的面積是 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $8$ 、 $16$ ，每個月變成 $2$ 倍，所以面積 $A = 2^{t}$ （ $t$ 為月數）。

(1) 正確。 底數為 $2$ 。

(2) 正確。 $t = 5$ 時 $A = 2^{5} = 32 > 30$ 。

(3) 錯誤。 $2^{t} = 4$ 得 $t = 2$ ； $2^{t} = 12$ 得 $t = lo g_{2} 12 = 2 + lo g_{2} 3$ 。所需時間 $lo g_{2} 3$ ，而 $2^{1.5} = 22 \approx 2.83 < 3$ ，所以 $lo g_{2} 3 > 1.5$ ，不是 $1.5$ 個月。

(4) 正確。 $t_{1} = lo g_{2} 2$ ， $t_{2} = lo g_{2} 3$ ， $t_{3} = lo g_{2} 6$ 。 $t_{1} + t_{2} = lo g_{2} (2 \times 3) = lo g_{2} 6 = t_{3}$ 。

(5) 錯誤。 第 $1$ 到第 $3$ 個月的平均速度 $= \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ （ $m^{2}$ ／月）；第 $2$ 到第 $4$ 個月 $= \frac{16 - 4}{4 - 2} = 6$ （ $m^{2}$ ／月）。兩者不相等。

答案 (1)(2)(4)。

載入中...

lo g_{2} 3 \approx 1.585

個月，比

1.5

個月多一點。

第 8 題

$(a, b)$ 在 $y = lo g x$ 上，表示 $a > 0$ 且 $b = lo g a$ 。逐一檢查各點的 $y$ 坐標是否等於 $lo g$ （ $x$ 坐標）。

(1) 正確。 $lo g 1 = 0$ 。

(2) 正確。 $lo g (10 a) = lo g 10 + lo g a = 1 + b$ 。

(3) 錯誤。 $lo g \frac{1}{a} = - lo g a = - b$ ，不是 $1 - b$ （ $- b = 1 - b$ 不可能成立）。

(4) 正確。 $lo g a^{2} = 2 lo g a = 2 b$ 。

(5) 錯誤。 $lo g 10 = 1 \neq = 2$ 。

答案 (1)(2)(4)。

載入中...

圖中取

a = 3

示意：

(1, 0)

、

(3, lo g 3)

、

(9, 2 lo g 3)

、

(30, 1 + lo g 3)

都在曲線上。

由整數月份的數據看出「每月乘幾倍」就得到底數；判斷點在不在

y = lo g x

上，用對數律把

lo g

（

x

坐標）算出來比。

05選填 A～C（第 9～11 題）：對數律、對數不等式、取對數解不等式

第 9 題

① 用對數律把四項合成一個：

$lo g \frac{7}{36} + lo g 3^{2} - lo g \frac{14}{25} + lo g 2^{5} = lo g (\frac{7}{36} \times 9 \times \frac{25}{14} \times 32)$

② 括號內 $= \frac{7 \times 9 \times 25 \times 32}{36 \times 14} = \frac{50400}{504} = 100$ 。

③ $lo g 100 = 2$ 。

答案 2。

第 10 題

① 真數要大於 $0$ ： $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ， $(x - 1) (x - 2) > 0$ ，得 $x < 1$ 或 $x > 2$ 。

② $1 = lo g_{6} 6$ ，底數 $6 > 1$ ， $y = lo g_{6} x$ 遞增，所以 $x^{2} - 3 x + 2 < 6$ ，即 $x^{2} - 3 x - 4 < 0$ ， $(x + 1) (x - 4) < 0$ ，得 $- 1 < x < 4$ 。

③ 兩個條件取交集： $- 1 < x < 1$ 或 $2 < x < 4$ 。

答案 $- 1 < x < 1$ 或 $2 < x < 4$ 。答案格依序填 $- 1$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 。

載入中...

只解

x^{2} - 3 x + 2 < 6

而忘了真數大於

0

，會把

1 \leq x \leq 2

也算進去。

第 11 題

① 兩邊取常用對數，大小關係不變： $n - 2 > n lo g 9 = 2 n lo g 3$ 。

② 代入 $lo g 3 \approx 0.4771$ ： $n - 2 > 0.9542 n$ ，即 $0.0458 n > 2$ 。

③ $n > \frac{2}{0.0458} \approx 43.7$ 。

④ 最小正整數 $n = 44$ 。

答案 44。

載入中...

以題給近似值算，

\frac{2}{0.0458} \approx 43.67

；

n = 43

不滿足，

n = 44

滿足。

對數不等式一定先寫出真數為正；比較

1 0^{n - 2}

與

9^{n}

這類指數，取常用對數變成一次不等式。

06選填 D～F（第 12～14 題）：指數方程式、立方和、對數與指數互換

第 12 題

① 令 $t = 2^{x}$ ， $t > 0$ 。 $2^{2 x + 1} = 2 (2^{x})^{2} = 2 t^{2}$ ， $2^{x - 2} = \frac{t}{4}$ 。

② 方程式變成 $2 t^{2} - \frac{33}{4} t + 1 = 0$ ，乘以 $4$ ： $8 t^{2} - 33 t + 4 = 0$ ， $(8 t - 1) (t - 4) = 0$ 。

③ $t = 4$ 或 $t = \frac{1}{8}$ ，都大於 $0$ 。 $2^{x} = 4$ 得 $x = 2$ ； $2^{x} = \frac{1}{8} = 2^{- 3}$ 得 $x = - 3$ 。

答案 $x = - 3$ 或 $2$ 。答案格依序填 $- 3$ 、 $2$ 。

代回

x = 2

：

32 - 33 + 1 = 0

；

x = - 3

：

2^{- 5} - 33 \times 2^{- 5} + 1 = \frac{1 - 33}{32} + 1 = 0

。

第 13 題

① 令 $p = lo g 2$ ， $q = lo g 5$ ，則 $p + q = lo g 10 = 1$ ，且 $lo g 8 = 3 lo g 2 = 3 p$ 。

② 原式 $= p^{3} + q^{3} + 3 pq$ 。

③ 由 $p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q) = 1 - 3 pq$ ，原式 $= 1 - 3 pq + 3 pq = 1$ 。

答案 1。

第 14 題

① $\frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}$ ，所以 $1 0^{- l o g_{2} x} = 1 0^{- 3}$ 。

② 指數函數 $y = 1 0^{x}$ 是一對一的，得 $- lo g_{2} x = - 3$ ， $lo g_{2} x = 3$ 。

③ $x = 2^{3} = 8$ 。

答案 8。

a^{2 x}

與

a^{x}

同時出現就換元；看到

lo g 2

與

lo g 5

就想到

lo g 2 + lo g 5 = 1

。

07選填 G～I（第 15～17 題）：根式的對數、同底指數、指數上的對數

第 15 題

① $lo g 315 = \frac{1}{3} lo g 15$ ， $lo g 350 = \frac{1}{3} lo g 50$ 。

② 原式 $= \frac{1}{3} (lo g 3 - lo g 15 + lo g 50) = \frac{1}{3} lo g \frac{3 \times 50}{15} = \frac{1}{3} lo g 10$ 。

③ $lo g 10 = 1$ ，所以原式 $= \frac{1}{3}$ 。

答案 $\frac{1}{3}$ 。

第 16 題

① $162 = 2^{4} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}$ 。

② $2^{x - 1} = 2^{\frac{9}{2}}$ ，指數相等： $x - 1 = \frac{9}{2}$ 。

③ $x = \frac{11}{2}$ 。

答案 $\frac{11}{2}$ 。

第 17 題

① $b = lo g_{3} 5$ ，由換底公式 $\frac{1}{b} = lo g_{5} 3$ 。

② 由指數律， $5^{a - \frac{1}{b} + 2} = 5^{a} \times 5^{- \frac{1}{b}} \times 5^{2}$ 。

③ $5^{a} = 5^{l o g_{5} 2} = 2$ ； $5^{- \frac{1}{b}} = \frac{1}{5 ^{l o g_{5} 3}} = \frac{1}{3}$ ； $5^{2} = 25$ 。

④ 相乘： $2 \times \frac{1}{3} \times 25 = \frac{50}{3}$ 。

答案 $\frac{50}{3}$ 。

a^{l o g_{a} M} = M

；把每一項都化成同一個底數，再讓指數相等。

08選填 J～L（第 18～20 題）：圖形平移、實根個數、由圖求對數函數

第 18 題

① $\frac{2 ^{x}}{8} = \frac{2 ^{x}}{2 ^{3}} = 2^{x - 3}$ ，所以新圖形是 $y = 2^{x - 3} + 3$ 。

② $y = 2^{x}$ 向右移 $h$ 、向上移 $k$ ，得 $y - k = 2^{x - h}$ 。

③ 對照得 $h = 3$ ， $k = 3$ 。點 $(0, 1)$ 移到 $(3, 4)$ 。

答案 $(3, 3)$ 。

載入中...

第 19 題

方程式等價於 $0.1 x = ∣ lo g x ∣$ （ $x > 0$ ），實根個數就是 $y = 0.1 x$ 與 $y = ∣ lo g x ∣$ 圖形的交點個數。

① $0 < x < 1$ ： $∣ lo g x ∣ = - lo g x$ ，從很大一路減到 $0$ ； $0.1 x$ 從 $0$ 增到 $0.1$ 。 $x = 0.1$ 時 $1 > 0.01$ ， $x = 1$ 時 $0 < 0.1$ ，兩圖形交換上下，交 $1$ 點。

② $1 < x < 10$ ： $x = 1$ 時 $0 < 0.1$ ； $x = 2$ 時 $lo g 2 \approx 0.301 > 0.2$ ，交換上下，在 $1$ 與 $2$ 之間交 $1$ 點。

③ $x = 10$ ： $lo g 10 = 1 = 0.1 \times 10$ ，交點 $(10, 1)$ 。

④ $x > 10$ ：直線 $y = 0.1 x$ 每 $10$ 單位升 $1$ ，比對數增加得快（例如 $x = 100$ 時 $10 > 2$ ），之後不再相交。

⑤ 共 $3$ 個交點。

答案 3。

載入中...

前兩個交點約在

x \approx 0.83

與

x \approx 1.37

，靠得很近，所以詳解圖把

1

附近放大來看。

第 20 題

由換底公式， $y = \frac{lo g ( x - 1 )}{lo g a} = lo g_{a} (x - 1)$ 。

① 過 $(3, 1)$ ： $lo g_{a} 2 = 1$ ，所以 $a = 2$ ，函數為 $y = lo g_{2} (x - 1)$ 。

② 過 $(b, 0)$ ： $lo g_{2} (b - 1) = 0$ ， $b - 1 = 1$ ， $b = 2$ 。

③ 過 $(9, c)$ ： $c = lo g_{2} 8 = 3$ 。

④ $a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7$ 。

答案 7。

載入中...

題目的圖是示意，

b

與

c

的位置不照實際比例；詳解圖是

y = lo g_{2} (x - 1)

的實際比例。

方程式的實根個數，畫兩個圖形數交點；

\frac{lo g M}{lo g a}

就是

lo g_{a} M

。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

平鎮高中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 19 題（選填 K）要畫出兩個圖形數交點，1 附近有兩個靠得很近的交點，再加上 x 等於 10 的一個，共三個；第 13 題（選填 E）要先看出 log2 加 log5 等於 1，再配成立方和；第 10 題（選填 B）對數不等式除了真數小於 6，還要記得真數大於 0；第 1 題要比較兩條指數函數圖形的陡緩。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自平鎮高中 110 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數（指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

平鎮高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

第一部分：選擇題（佔 40 分）壹、單選題（佔 20 分）

已知附圖中，

a

為下列選項中的某一數，那麼

a

應該是哪一個數呢？

(1) $3$
(2) $\frac{3}{2}$
(3) $\frac{2}{3}$
(4) $\frac{1}{3}$
(5) $\frac{1}{2}$

載入中...

關於對數

lo g_{x - 1} (- x^{2} + 5 x - 4)

，下列哪一個數使對數有意義？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

試問有多少個整數

x

滿足

1 0^{9} < 2^{x} < 9^{10}

？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $0$ 個

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特

(W/m^{2})

來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12} (W/m^{2})

；噪音監測器量度的噪音 dB（分貝）則根據當地聲音的強度

I

，透過數學式子

d b (I) = 10 \times lo g_{10} \frac{I}{I _{0}}

計算得來。臺北市政府規定球場內噪音不得超過

65

分貝，而氣笛製造商製造一款低噪音氣笛，一支氣笛只會產生

45

分貝噪音。欲符合市政府噪音規定，球場內最多能同時響起幾支氣笛呢？

(1) $10$ 支
(2) $20$ 支
(3) $50$ 支
(4) $100$ 支
(5) $1000$ 支

貳、多選題（佔 20 分）

設

t > 0

，關於函數

f (x) = t lo g x

，選出所有正確的選項。

(1) $f (2) > 0$
(2) $f (x)$ 的圖形在 $x$ 軸的上方
(3) 若 $f (x) = f (2)$ ，則 $x = 2$
(4) $f (x)$ 的圖形凹口向上
(5) 若 $α < β$ ，則 $f (α) < f (β)$

圖為函數

y = a lo g x

、

y = b lo g x

、

y = c lo g x

與

y = lo g x

的圖形，且

y = b lo g x

與

y = lo g x

的圖形對稱於

x

軸。選出所有正確的選項

(1) $a > 1$
(2) $a < 1$
(3) $b = - 1$
(4) $c < - 1$
(5) $c > 1$

載入中...

下圖為某池塘中布袋蓮蔓延面積與時間的關係圖，假設其關係為指數函數，試問：下列何者為真？

(1) 此指數的底數為 $2$
(2) 在第 $5$ 個月時，布袋蓮的面積就會超過 $30 m^{2}$
(3) 布袋蓮從 $4 m^{2}$ 蔓延到 $12 m^{2}$ 只需要 $1.5$ 個月
(4) 設布袋蓮蔓延到 $2 m^{2}$ 、 $3 m^{2}$ 、 $6 m^{2}$ 所需要的時間分別為 $t_{1}$ 、 $t_{2}$ 、 $t_{3}$ ，則 $t_{1} + t_{2} = t_{3}$
(5) 布袋蓮在第 $1$ 個月到第 $3$ 個月之間的蔓延面積增加的平均速度等於在第 $2$ 個月到第 $4$ 個月之間的蔓延面積增加的平均速度

載入中...

已知

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上一點，問：下列哪些選項中的點也會在

y = lo g x

的圖形上？

(1) $(1, 0)$
(2) $(10 a, b + 1)$
(3) $(\frac{1}{a}, 1 - b)$
(4) $(a^{2}, 2 b)$
(5) $(10, 2)$

第二部分：選填題（佔 60 分）

A. 求

lo g \frac{7}{36} + 2 lo g 3 - lo g \frac{14}{25} + 5 lo g 2 =

____。

B. 若

lo g_{6} (x^{2} - 3 x + 2) < 1

，則

x

的範圍為 ____

< x <

____ 或 ____

< x <

____。

C. 已知

lo g 3 \approx 0.4771

，則滿足

1 0^{n - 2} > 9^{n}

的最小正整數

n

為 ____。

D. 解方程式

2^{2 x + 1} - 33 \times 2^{x - 2} + 1 = 0

，

x =

____ 或 ____。

E. 化簡

(lo g 2)^{3} + (lo g 5)^{3} + (lo g 5) (lo g 8) =

____。

1 0^{- l o g_{2} x} = \frac{1}{1000}

，求

x =

____。

G. 化簡

\frac{1}{3} lo g 3 - lo g 315 + lo g 350

____。

H. 解方程式：

2^{x - 1} = 162

，

x =

____。

I. 設

a = lo g_{5} 2

，

b = lo g_{3} 5

，求

5^{a - \frac{1}{b} + 2} =

____。

y = 2^{x}

的圖形向右移

h

單位，向上移

k

單位，可得

y - 3 = \frac{2 ^{x}}{8}

的圖形，則數對

(h, k) =

____。

K. 方程式

0.1 x - ∣ lo g x ∣ = 0

有 ____ 個實根。

L. 附圖為函數

y = \frac{lo g ( x - 1 )}{lo g a}

的部分圖形，此圖通過

(3, 1)

、

(b, 0)

、

(9, c)

三點，則

a + b + c =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(3)(5)

第 6 題(1)(3)(4)

第 7 題(1)(2)(4)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題

2

第 10 題

- 1 < x < 1

或

2 < x < 4

第 11 題

44

第 12 題

- 3

或

2

第 13 題

1

第 14 題

8

第 15 題

\frac{1}{3}

第 16 題

\frac{11}{2}

第 17 題

\frac{50}{3}

第 18 題

(3, 3)

第 19 題

3

第 20 題

7

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：指數函數圖形的陡緩、對數的限制

第 1 題

① 圖中 $y = a^{x}$ 往左上升、往右下降，是遞減函數，所以 $0 < a < 1$ ，先刪去 (1)(2)。

③ 剩下的選項中只有 $\frac{2}{3}$ 大於 $\frac{1}{2}$ 。

④ 對照： $x = - 1$ 時 $(\frac{2}{3})^{- 1} = 1.5$ ，比 $(\frac{1}{2})^{- 1} = 2$ 低，圖形較平緩，與附圖相符。

答案 (3)。

載入中...

y = a^{x}

與

y = (\frac{1}{a})^{x}

對稱於

y

軸；底數離

1

越遠，圖形越陡。

第 2 題

① 底數要大於 $0$ 且不等於 $1$ ： $x - 1 > 0$ 且 $x - 1 \neq = 1$ ，得 $x > 1$ 且 $x \neq = 2$ 。

② 真數要大於 $0$ ： $- x^{2} + 5 x - 4 > 0$ ，即 $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ ， $(x - 1) (x - 4) < 0$ ，得 $1 < x < 4$ 。

③ 兩個條件同時成立： $1 < x < 4$ 且 $x \neq = 2$ 。選項中只有 $3$ 符合。

答案 (3)。

載入中...

代回：

x = 3

時為

lo g_{2} 2 = 1

，有意義；

x = 2

時底數是

1

，沒有意義。

對數

lo g_{a} b

有意義：

a > 0

、

a \neq = 1

、

b > 0

三個條件缺一不可。

02單選第 3、4 題：取對數定範圍、分貝公式

第 3 題

① 三個數都是正數，取常用對數，大小關係不變： $9 < x lo g 2 < 10 lo g 9$ 。

② 用卷面附的提示（見本卷說明） $lo g 2 \approx 0.3010$ 、 $lo g 3 \approx 0.4771$ ， $lo g 9 = 2 lo g 3 \approx 0.9542$ 。

③ 左邊： $x > \frac{9}{0.3010} \approx 29.9$ ；右邊： $x < \frac{9.542}{0.3010} \approx 31.7$ 。

④ 範圍內的整數是 $30$ 、 $31$ ，共 $2$ 個。

答案 (2)。

載入中...

直接核對：

2^{30} = 1073741824 > 1 0^{9}

；

2^{31} = 2147483648 < 9^{10} = 3486784401 < 2^{32} = 4294967296

。

第 4 題

① 一支氣笛 $45$ 分貝： $10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} = 45$ ，所以 $I_{1} = 1 0^{4.5} I_{0}$ 。

② 規定上限 $65$ 分貝對應的強度： $I_{m a x} = 1 0^{6.5} I_{0}$ 。

③ $n$ 支氣笛同時響，強度是 $n I_{1}$ 。要 $n I_{1} \leq I_{m a x}$ ：

$n \leq \frac{1 0 ^{6.5} I _{0}}{1 0 ^{4.5} I _{0}} = 1 0^{2} = 100$

④ 最多 $100$ 支。

答案 (4)。

分貝每多

10

，強度變

10

倍；多

20

分貝就是強度變

100

倍。

比較

a^{x}

與另一個數的大小，取常用對數變成一次不等式；分貝差換回強度的倍數。

03多選第 5、6 題：y＝t log x 的性質、由圖形判斷係數

第 5 題

$t > 0$ ， $y = t lo g x$ 的圖形是 $y = lo g x$ 鉛直伸縮 $t$ 倍，形狀與 $y = lo g x$ 相同：定義域 $x > 0$ 、過 $(1, 0)$ 、遞增、凹口向下。

(1) 正確。 $lo g 2 > 0$ ， $t > 0$ ，所以 $f (2) = t lo g 2 > 0$ 。

(2) 錯誤。 $0 < x < 1$ 時 $lo g x < 0$ ， $f (x) < 0$ ，圖形在 $x$ 軸下方。例如 $f (\frac{1}{10}) = - t < 0$ 。

(3) 正確。 $t lo g x = t lo g 2$ ，兩邊除以 $t$ 得 $lo g x = lo g 2$ ；對數函數是一對一的，所以 $x = 2$ 。

(4) 錯誤。 圖形凹口向下：例如 $(1, 0)$ 與 $(100, 2 t)$ 連線的中點 $(50.5, t)$ ，而 $f (50.5) = t lo g 50.5 > t$ ，曲線在弦的上方。

(5) 正確。 $t > 0$ 且 $y = lo g x$ 遞增，所以 $f$ 遞增； $α < β$ （都在定義域內）時 $f (α) < f (β)$ 。

答案 (1)(3)(5)。

載入中...

第 (5) 項的

α

、

β

要在定義域

x > 0

內，

f (α)

、

f (β)

才有意義。

第 6 題

看 $x = 10$ 這條鉛直線： $lo g 10 = 1$ ，所以四條曲線在 $x = 10$ 的高度分別是 $a$ 、 $1$ 、 $b$ 、 $c$ 。

① $y = b lo g x$ 與 $y = lo g x$ 對稱於 $x$ 軸，所以 $b lo g x = - lo g x$ ， $b = - 1$ 。

② 在 $x > 1$ 的部分， $y = a lo g x$ 在 $y = lo g x$ 上方，所以 $a > 1$ 。

③ 在 $x > 1$ 的部分， $y = c lo g x$ 在 $y = b lo g x = - lo g x$ 下方，所以 $c < - 1$ 。

(1) 正確。 $a > 1$ 。(2) 錯誤。 理由同 (1)。

(3) 正確。 $b = - 1$ 。

(4) 正確。 $c < - 1$ 。(5) 錯誤。 $c$ 是負數。

答案 (1)(3)(4)。

載入中...

比較

k lo g x

的係數，取

x = 10

（

lo g 10 = 1

）看高度最快。

04多選第 7、8 題：布袋蓮的指數模型、對數函數圖形上的點

第 7 題

由圖，第 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 個月的面積是 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $8$ 、 $16$ ，每個月變成 $2$ 倍，所以面積 $A = 2^{t}$ （ $t$ 為月數）。

(1) 正確。 底數為 $2$ 。

(2) 正確。 $t = 5$ 時 $A = 2^{5} = 32 > 30$ 。

(4) 正確。 $t_{1} = lo g_{2} 2$ ， $t_{2} = lo g_{2} 3$ ， $t_{3} = lo g_{2} 6$ 。 $t_{1} + t_{2} = lo g_{2} (2 \times 3) = lo g_{2} 6 = t_{3}$ 。

答案 (1)(2)(4)。

載入中...

lo g_{2} 3 \approx 1.585

個月，比

1.5

個月多一點。

第 8 題

$(a, b)$ 在 $y = lo g x$ 上，表示 $a > 0$ 且 $b = lo g a$ 。逐一檢查各點的 $y$ 坐標是否等於 $lo g$ （ $x$ 坐標）。

(1) 正確。 $lo g 1 = 0$ 。

(2) 正確。 $lo g (10 a) = lo g 10 + lo g a = 1 + b$ 。

(3) 錯誤。 $lo g \frac{1}{a} = - lo g a = - b$ ，不是 $1 - b$ （ $- b = 1 - b$ 不可能成立）。

(4) 正確。 $lo g a^{2} = 2 lo g a = 2 b$ 。

(5) 錯誤。 $lo g 10 = 1 \neq = 2$ 。

答案 (1)(2)(4)。

載入中...

圖中取

a = 3

示意：

(1, 0)

、

(3, lo g 3)

、

(9, 2 lo g 3)

、

(30, 1 + lo g 3)

都在曲線上。

由整數月份的數據看出「每月乘幾倍」就得到底數；判斷點在不在

y = lo g x

上，用對數律把

lo g

（

x

坐標）算出來比。

05選填 A～C（第 9～11 題）：對數律、對數不等式、取對數解不等式

第 9 題

① 用對數律把四項合成一個：

$lo g \frac{7}{36} + lo g 3^{2} - lo g \frac{14}{25} + lo g 2^{5} = lo g (\frac{7}{36} \times 9 \times \frac{25}{14} \times 32)$

② 括號內 $= \frac{7 \times 9 \times 25 \times 32}{36 \times 14} = \frac{50400}{504} = 100$ 。

③ $lo g 100 = 2$ 。

答案 2。

第 10 題

① 真數要大於 $0$ ： $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ， $(x - 1) (x - 2) > 0$ ，得 $x < 1$ 或 $x > 2$ 。

② $1 = lo g_{6} 6$ ，底數 $6 > 1$ ， $y = lo g_{6} x$ 遞增，所以 $x^{2} - 3 x + 2 < 6$ ，即 $x^{2} - 3 x - 4 < 0$ ， $(x + 1) (x - 4) < 0$ ，得 $- 1 < x < 4$ 。

③ 兩個條件取交集： $- 1 < x < 1$ 或 $2 < x < 4$ 。

答案 $- 1 < x < 1$ 或 $2 < x < 4$ 。答案格依序填 $- 1$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 。

載入中...

只解

x^{2} - 3 x + 2 < 6

而忘了真數大於

0

，會把

1 \leq x \leq 2

也算進去。

第 11 題

① 兩邊取常用對數，大小關係不變： $n - 2 > n lo g 9 = 2 n lo g 3$ 。

② 代入 $lo g 3 \approx 0.4771$ ： $n - 2 > 0.9542 n$ ，即 $0.0458 n > 2$ 。

③ $n > \frac{2}{0.0458} \approx 43.7$ 。

④ 最小正整數 $n = 44$ 。

答案 44。

載入中...

以題給近似值算，

\frac{2}{0.0458} \approx 43.67

；

n = 43

不滿足，

n = 44

滿足。

對數不等式一定先寫出真數為正；比較

1 0^{n - 2}

與

9^{n}

這類指數，取常用對數變成一次不等式。

06選填 D～F（第 12～14 題）：指數方程式、立方和、對數與指數互換

第 12 題

① 令 $t = 2^{x}$ ， $t > 0$ 。 $2^{2 x + 1} = 2 (2^{x})^{2} = 2 t^{2}$ ， $2^{x - 2} = \frac{t}{4}$ 。

② 方程式變成 $2 t^{2} - \frac{33}{4} t + 1 = 0$ ，乘以 $4$ ： $8 t^{2} - 33 t + 4 = 0$ ， $(8 t - 1) (t - 4) = 0$ 。

③ $t = 4$ 或 $t = \frac{1}{8}$ ，都大於 $0$ 。 $2^{x} = 4$ 得 $x = 2$ ； $2^{x} = \frac{1}{8} = 2^{- 3}$ 得 $x = - 3$ 。

答案 $x = - 3$ 或 $2$ 。答案格依序填 $- 3$ 、 $2$ 。

代回

x = 2

：

32 - 33 + 1 = 0

；

x = - 3

：

2^{- 5} - 33 \times 2^{- 5} + 1 = \frac{1 - 33}{32} + 1 = 0

。

第 13 題

① 令 $p = lo g 2$ ， $q = lo g 5$ ，則 $p + q = lo g 10 = 1$ ，且 $lo g 8 = 3 lo g 2 = 3 p$ 。

② 原式 $= p^{3} + q^{3} + 3 pq$ 。

③ 由 $p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q) = 1 - 3 pq$ ，原式 $= 1 - 3 pq + 3 pq = 1$ 。

答案 1。

第 14 題

① $\frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}$ ，所以 $1 0^{- l o g_{2} x} = 1 0^{- 3}$ 。

② 指數函數 $y = 1 0^{x}$ 是一對一的，得 $- lo g_{2} x = - 3$ ， $lo g_{2} x = 3$ 。

③ $x = 2^{3} = 8$ 。

答案 8。

a^{2 x}

與

a^{x}

同時出現就換元；看到

lo g 2

與

lo g 5

就想到

lo g 2 + lo g 5 = 1

。

07選填 G～I（第 15～17 題）：根式的對數、同底指數、指數上的對數

第 15 題

① $lo g 315 = \frac{1}{3} lo g 15$ ， $lo g 350 = \frac{1}{3} lo g 50$ 。

② 原式 $= \frac{1}{3} (lo g 3 - lo g 15 + lo g 50) = \frac{1}{3} lo g \frac{3 \times 50}{15} = \frac{1}{3} lo g 10$ 。

③ $lo g 10 = 1$ ，所以原式 $= \frac{1}{3}$ 。

答案 $\frac{1}{3}$ 。

第 16 題

① $162 = 2^{4} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}$ 。

② $2^{x - 1} = 2^{\frac{9}{2}}$ ，指數相等： $x - 1 = \frac{9}{2}$ 。

③ $x = \frac{11}{2}$ 。

答案 $\frac{11}{2}$ 。

第 17 題

① $b = lo g_{3} 5$ ，由換底公式 $\frac{1}{b} = lo g_{5} 3$ 。

② 由指數律， $5^{a - \frac{1}{b} + 2} = 5^{a} \times 5^{- \frac{1}{b}} \times 5^{2}$ 。

③ $5^{a} = 5^{l o g_{5} 2} = 2$ ； $5^{- \frac{1}{b}} = \frac{1}{5 ^{l o g_{5} 3}} = \frac{1}{3}$ ； $5^{2} = 25$ 。

④ 相乘： $2 \times \frac{1}{3} \times 25 = \frac{50}{3}$ 。

答案 $\frac{50}{3}$ 。

a^{l o g_{a} M} = M

；把每一項都化成同一個底數，再讓指數相等。

08選填 J～L（第 18～20 題）：圖形平移、實根個數、由圖求對數函數

第 18 題

① $\frac{2 ^{x}}{8} = \frac{2 ^{x}}{2 ^{3}} = 2^{x - 3}$ ，所以新圖形是 $y = 2^{x - 3} + 3$ 。

② $y = 2^{x}$ 向右移 $h$ 、向上移 $k$ ，得 $y - k = 2^{x - h}$ 。

③ 對照得 $h = 3$ ， $k = 3$ 。點 $(0, 1)$ 移到 $(3, 4)$ 。

答案 $(3, 3)$ 。

載入中...

第 19 題

方程式等價於 $0.1 x = ∣ lo g x ∣$ （ $x > 0$ ），實根個數就是 $y = 0.1 x$ 與 $y = ∣ lo g x ∣$ 圖形的交點個數。

② $1 < x < 10$ ： $x = 1$ 時 $0 < 0.1$ ； $x = 2$ 時 $lo g 2 \approx 0.301 > 0.2$ ，交換上下，在 $1$ 與 $2$ 之間交 $1$ 點。

③ $x = 10$ ： $lo g 10 = 1 = 0.1 \times 10$ ，交點 $(10, 1)$ 。

④ $x > 10$ ：直線 $y = 0.1 x$ 每 $10$ 單位升 $1$ ，比對數增加得快（例如 $x = 100$ 時 $10 > 2$ ），之後不再相交。

⑤ 共 $3$ 個交點。

答案 3。

載入中...

前兩個交點約在

x \approx 0.83

與

x \approx 1.37

，靠得很近，所以詳解圖把

1

附近放大來看。

第 20 題

由換底公式， $y = \frac{lo g ( x - 1 )}{lo g a} = lo g_{a} (x - 1)$ 。

① 過 $(3, 1)$ ： $lo g_{a} 2 = 1$ ，所以 $a = 2$ ，函數為 $y = lo g_{2} (x - 1)$ 。

② 過 $(b, 0)$ ： $lo g_{2} (b - 1) = 0$ ， $b - 1 = 1$ ， $b = 2$ 。

③ 過 $(9, c)$ ： $c = lo g_{2} 8 = 3$ 。

④ $a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7$ 。

答案 7。

載入中...

題目的圖是示意，

b

與

c

的位置不照實際比例；詳解圖是

y = lo g_{2} (x - 1)

的實際比例。

方程式的實根個數，畫兩個圖形數交點；

\frac{lo g M}{lo g a}

就是

lo g_{a} M

。

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06選填 D～F（第 12～14 題）：指數方程式、立方和、對數與指數互換

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