段考詳解範圍：三角函數的疊合與指數對數函數（和差角、正餘弦的疊合、指數與對數、指對數函數的圖形、指對數的應用）

平鎮高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《三角函數》、《指數與對數函數》

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 5 分，占 25 分）、多選題 4 題（每題 5 分，占 20 分）、選填題 11 題（每題 5 分，占 55 分），合計 100 分。原卷選填題 A～K，本頁編為第 10～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

第一部分：選擇題（佔 45 分）　壹、單選題（佔 25 分）｜說明：第 1 至 5 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

若

y = 5 sin x - 12 cos x - 3

，則下列何者正確？

(1) $- 20 \leq y \leq 8$
(2) $- 16 \leq y \leq 10$
(3) $- 17 - 3 \leq y \leq 17 - 3$
(4) $- 10 \leq y \leq 10$
(5) $- 20 \leq y \leq 20$

附圖為

y = a^{x + b} + c

之函數圖形，其中

y = - 1

為其漸近線，則下列何者正確？

(1) $a > 1$ ， $b > 0$ ， $c > 0$
(2) $a > 1$ ， $b < 0$ ， $c > 0$
(3) $a > 1$ ， $b < 0$ ， $c < 0$
(4) $0 < a < 1$ ， $b > 0$ ， $c > 0$
(5) $0 < a < 1$ ， $b < 0$ ， $c < 0$

載入中...

附圖為函數

y = a + lo g_{b} (x + c)

的圖形，且以

x = - 1

為其漸近線，試問下列選項何者正確？

(1) $a > 0$ ， $0 < b < 1$ ， $c > 0$
(2) $a > 0$ ， $0 < b < 1$ ， $c < 0$
(3) $a > 0$ ， $b > 1$ ， $c > 0$
(4) $a > 0$ ， $b > 1$ ， $c < 0$
(5) $a < 0$ ， $0 < b < 1$ ， $c > 0$

載入中...

聲音的強度是每平方公尺多少能量（單位：

W / m^{2}

，

W

為瓦特），若某一發聲體的強度為

I (W / m^{2})

，將它換算成分貝

d

表示時，其公式為

d (I) = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

，

I_{0} = 1 0^{- 12} (W / m^{2})

。若有一支

50

分貝的汽笛和二十支

40

分貝的汽笛齊響，測得的音量最接近多少分貝？

(1) $50$ 分貝
(2) $55$ 分貝
(3) $60$ 分貝
(4) $90$ 分貝
(5) $130$ 分貝

下列哪一個數值最小？

(1) $lo g_{\frac{1}{2}} 3$
(2) $lo g_{\frac{1}{3}} 2$
(3) $lo g_{2} 3$
(4) $lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$
(5) $0$

貳、多選題（佔 20 分）｜說明：第 6 至 9 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 5 分，只錯一個選項可得 3 分，錯兩個選項可得 1 分，不作答或錯三個以上選項不給分。

設

f (x) = sin x - cos x + 2

，若

x \in R

，則下列選項哪些是正確的？

(1) $f (x)$ 的週期為 $2 π$
(2) $f (x)$ 的振幅為 $22$
(3) $f (x)$ 的最大值為 $22$
(4) $f (x)$ 的最小值為 $- 2$
(5) $f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{3 π}{4}$

設

x \in R

，若方程式

sin x + 3 cos x = k

，則下列哪些選項中的

k

值，會使得方程式沒有實數解？

(1) $1$
(2) $3$
(3) $2$
(4) $23$
(5) $- 23$

試問下列選項何者正確？

(1) $y = 2^{x}$ 與 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(2) $y = 2^{x}$ 與 $y = lo g_{2} x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(3) $y = 2^{- x}$ 的圖形向右平移 $3$ 個單位後的圖形方程式為 $y = 2^{- x - 3}$
(4) 將 $y = lo g_{2} x$ 的圖形向上平移 $3$ 個單位後，可以得到 $y = lo g_{2} (8 x)$ 的圖形
(5) 若 $(a, b)$ 是 $y = 2^{- x}$ 圖形上的一點，則 $(b, a)$ 必為 $y = lo g_{2} \frac{1}{x}$ 圖形上的一點

下列選項何者正確？

(1) $lo g_{(- 2)} 4 = 2$
(2) $lo g_{2} (- 3)^{2} = 2 lo g_{2} 3$
(3) $lo g_{3} 7 = lo g_{3} 49$
(4) $\frac{lo g _{2} 30}{lo g _{2} 3} = lo g_{2} 10$
(5) $lo g_{8} 2 = - 3$

第二部分：選填題（佔 55 分）｜說明：1. 第 A 至 K 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號（10～25）。2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

設

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2}

，則

f (x) = 2 sin (\frac{π}{6} - x) - 2 cos x

的最大值為 ____。

設

- π \leq x \leq π

，則滿足方程式

cos 2 x = \frac{3}{2}

的解

x

共有 ____ 個。

已知

0 \leq x \leq 3

，若

f (x) = 4^{x} - 2^{x + 2} + 5

的最大值為

M

，最小值

m

，試求

M + m =

____。

解方程式

lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) - lo g_{\frac{1}{4}} (x + 2) = - 1

，得

x =

____。

求

\frac{3}{cos 29 0 ^{\circ}} + \frac{1}{sin 25 0 ^{\circ}}

的值為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，設

3 6^{12} = a_{n} \times 1 0^{n} + a_{n - 1} \times 1 0^{n - 1} + \dots + a_{1} \times 10 + a_{0}

，其中

a_{0}

，

a_{1}

，

\dots

，

a_{n}

都是

0

到

9

的整數，且

a_{n} \neq = 0

，

n

是正整數，則

n

值為 ____。

解

3^{x^{2} - 3 x + 5} < 27

得解為

α < x < β

，其中

α

，

β

為實數，則

β - α =

____。

滿足

- 1 \leq lo g_{\frac{1}{3}} (lo g_{2} x) < 0

的整數

x

有 ____ 個。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

且

4000 < (\frac{5}{4})^{n} < 5000

，求滿足不等式的正整數

n =

____。

設實數

x

滿足

x > 1

，解方程式

x^{2 l o g x} = \frac{1000}{x}

，得

x =

____。

坐標平面上，直線

x = k

與

x = k + 3

分別與

y = lo g x

的圖形交於

A

、

B

兩點，且與

x

軸分別交於

C

、

D

兩點，其中

k > 1

。若四邊形

A C D B

的面積為

\frac{3}{2}

，則

k

之值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(1)

第 4 題(2)

第 5 題(1)

第 6 題(1)(3)(5)

第 7 題(4)(5)

第 8 題(2)(4)(5)

第 9 題(2)(3)

第 10 題

- 3

第 11 題

4

第 12 題

38

第 13 題

7

第 14 題

4

第 15 題

18

第 16 題

1

第 17 題

6

第 18 題

38

第 19 題

10

第 20 題

2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：疊合求值域、由圖形判斷係數

第 1 題答案 (2)。

5^{2} + 1 2^{2} = 13

，取角

θ

使

cos θ = \frac{5}{13}

、

sin θ = \frac{12}{13}

，則

5 sin x - 12 cos x = 13 (sin x cos θ - cos x sin θ) = 13 sin (x - θ)

。

- 1 \leq sin (x - θ) \leq 1

，所以

- 13 \leq 5 sin x - 12 cos x \leq 13

，再減

3

得

- 16 \leq y \leq 10

。

疊合後的振幅是

a^{2} + b^{2}

，不是

a + b

或

a + b

；常數

- 3

只是把整段上下平移。

第 2 題答案 (3)。漸近線是

y = - 1

，而

a^{x + b} > 0

且可以任意接近

0

，所以

c = - 1 < 0

。圖形由左往右上升，是遞增函數，所以

a > 1

。圖形通過點

(1, 0)

：

a^{1 + b} - 1 = 0

，

a^{1 + b} = 1 = a^{0}

，所以

1 + b = 0

，

b = - 1 < 0

。

檢查：

x = 0

時

y = a^{- 1} - 1

，

a > 1

時介於

- 1

與

0

之間，和圖上曲線交

y

軸在

O

的下方、

y = - 1

的上方相符。

第 3 題答案 (1)。

lo g_{b} (x + c)

的真數要大於

0

，

x > - c

，圖形的鉛直漸近線是

x = - c

；題目說漸近線是

x = - 1

，所以

c = 1 > 0

。圖形由左往右下降，是遞減函數，所以

0 < b < 1

。圖形與

y

軸交在原點上方：

x = 0

時

y = a + lo g_{b} 1 = a

，所以

a > 0

。

圖上標的

(0, 1)

與

(1, 0)

是坐標軸上的位置，曲線並沒有通過這兩點；曲線交

y

軸在

0

與

1

之間，交

x

軸也在

0

與

1

之間。判斷只需要截距的正負。

02單選題（第 4、5 題）：分貝、對數比大小

第 4 題答案 (2)。

50

分貝的強度

I_{1}

：

10 lo g \frac{I _{1}}{1 0 ^{- 12}} = 50

，

I_{1} = 1 0^{5} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 7}

。

40

分貝的強度是

1 0^{4} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 8}

，二十支共

20 \times 1 0^{- 8} = 2 \times 1 0^{- 7}

。齊響的總強度

I = 1 0^{- 7} + 2 \times 1 0^{- 7} = 3 \times 1 0^{- 7}

，分貝數

d = 10 lo g \frac{3 \times 1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 12}} = 10 lo g (3 \times 1 0^{5}) = 10 (5 + lo g 3)

。因為

3^{5} = 243 > 1 0^{2}

，

lo g 3 > 0.4

；又

3^{2} = 9 < 10

，

lo g 3 < 0.5

。所以

54 < d < 55

，最接近

55

分貝。

lo g 3 \approx 0.4771

，

d \approx 54.77

。分貝數不能直接相加：

50 + 20 \times 40

遠超過任何選項；聲音疊加時相加的是強度。

第 5 題答案 (1)。用換底公式改寫成以

2

、

3

為底：(1)

lo g_{\frac{1}{2}} 3 = \frac{lo g 3}{lo g \frac{1}{2}} = - lo g_{2} 3

；(2)

lo g_{\frac{1}{3}} 2 = - lo g_{3} 2

；(3)

lo g_{2} 3

；(4)

lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = \frac{- lo g 2}{- lo g 3} = lo g_{3} 2

；(5)

0

。

lo g_{2} 3 > lo g_{2} 2 = 1

，

0 < lo g_{3} 2 < lo g_{3} 3 = 1

，所以負的兩個中

- lo g_{2} 3 < - 1 < - lo g_{3} 2 < 0

，最小的是 (1)。

近似值：(1)

\approx - 1.585

，(2)

\approx - 0.631

，(3)

\approx 1.585

，(4)

\approx 0.631

。

03多選題（第 6、7 題）：疊合後的性質、方程式有沒有解

第 6 題答案 (1)(3)(5)。先疊合：

sin x - cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{4} - cos x sin \frac{π}{4}) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，所以

f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{4}) + 2

。(1) 正確。 週期與

sin x

相同，是

2 π

。(2) 錯誤。 振幅是

2

。(3) 正確。 最大值

2 + 2 = 22

。(4) 錯誤。 最小值

- 2 + 2 = 0

。(5) 正確。

x = \frac{3 π}{4}

時

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

，

f

取到最大值；對任意

t

，

f (\frac{3 π}{4} + t) = 2 sin (\frac{π}{2} + t) + 2 = 2 cos t + 2

，

f (\frac{3 π}{4} - t) = 2 cos (- t) + 2 = 2 cos t + 2

，兩者相等，所以圖形對稱於直線

x = \frac{3 π}{4}

。

正弦型函數的圖形對稱於每一條通過最高點或最低點的鉛直線。振幅只看疊合後

sin

前面的係數，加上的常數不影響。

第 7 題答案 (4)(5)。

sin x + 3 cos x = 2 (sin x \cdot \frac{1}{2} + cos x \cdot \frac{3}{2}) = 2 sin (x + \frac{π}{3})

，值域是

- 2 \leq k \leq 2

。

k

在這個範圍內就有實數解，超出就沒有。(1)

k = 1

有解。(2)

k = 3 \approx 1.73

有解。(3)

k = 2

有解（

x = \frac{π}{6}

）。(4) 沒有解。

23 \approx 3.46 > 2

。(5) 沒有解。

- 23 < - 2

。

題目問的是「沒有實數解」，要選值域以外的

k

。

04多選題（第 8、9 題）：圖形的對稱與平移、對數律

第 8 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯誤。

(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}

，點

(p, q)

在

y = 2^{x}

上時，

(- p, q)

在

y = 2^{- x}

上，兩圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸（

y = (\frac{1}{2})^{x}

的值都是正的，不可能和

y = 2^{x}

對

x

軸對稱）。(2) 正確。

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

互為反函數，

(p, q)

在其中一個圖形上，

(q, p)

就在另一個上，所以對稱於直線

y = x

。(3) 錯誤。 向右平移

3

個單位是把

x

換成

x - 3

：

y = 2^{- (x - 3)} = 2^{- x + 3}

，不是

2^{- x - 3}

（那是向左平移

3

個單位）。(4) 正確。

lo g_{2} (8 x) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} x = 3 + lo g_{2} x

，正是

y = lo g_{2} x

向上平移

3

個單位。(5) 正確。

(a, b)

在

y = 2^{- x}

上，

b = 2^{- a}

，所以

b > 0

且

- a = lo g_{2} b

，

a = - lo g_{2} b = lo g_{2} \frac{1}{b}

，也就是點

(b, a)

滿足

y = lo g_{2} \frac{1}{x}

。

(5) 也可以這樣看：

y = 2^{- x}

與

y = lo g_{2} \frac{1}{x} = - lo g_{2} x

互為反函數，所以

x

、

y

互換後點會落在另一個圖形上。

第 9 題答案 (2)(3)。(1) 錯誤。 對數的底數必須大於

0

且不等於

1

，

lo g_{(- 2)} 4

沒有意義（雖然

(- 2)^{2} = 4

）。(2) 正確。

(- 3)^{2} = 9

，

lo g_{2} (- 3)^{2} = lo g_{2} 9 = lo g_{2} 3^{2} = 2 lo g_{2} 3

。(3) 正確。

lo g_{3} 7 = \frac{lo g 7}{\frac{1}{2} lo g 3} = \frac{2 lo g 7}{lo g 3} = \frac{lo g 49}{lo g 3} = lo g_{3} 49

。(4) 錯誤。 由換底公式

\frac{lo g _{2} 30}{lo g _{2} 3} = lo g_{3} 30 = \frac{lo g 30}{lo g 3} = \frac{1 + lo g 3}{lo g 3} \approx \frac{1.4771}{0.4771} \approx 3.10

，而

lo g_{2} 10 = \frac{1}{lo g 2} \approx \frac{1}{0.3010} \approx 3.32

，兩者不相等。(5) 錯誤。

8^{\frac{1}{3}} = 2

，所以

lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}

。

(4) 常見的錯是把兩個對數相除當成真數相除：

\frac{lo g _{2} 30}{lo g _{2} 3} \neq = lo g_{2} \frac{30}{3}

。

05選填 A～D（第 10～13 題）：限定範圍的疊合、三角方程式、代換成二次函數、對數方程式

第 10 題

由差角公式， $2 sin (\frac{π}{6} - x) = 2 (\frac{1}{2} cos x - \frac{3}{2} sin x) = cos x - 3 sin x$ ，所以 $f (x) = - 3 sin x - cos x = - 2 (sin x \cdot \frac{3}{2} + cos x \cdot \frac{1}{2}) = - 2 sin (x + \frac{π}{6})$ 。

$\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2}$ 時， $\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{2 π}{3}$ ， $sin (x + \frac{π}{6})$ 的範圍是 $\frac{3}{2}$ 到 $1$ 。乘上 $- 2$ 後大小對調： $f (x)$ 的範圍是 $- 2$ 到 $- 3$ ，最大值是 $- 3$ （在 $x = \frac{π}{6}$ 或 $x = \frac{π}{2}$ 時）。

原卷答案格是 ⑩ 後面接根號、根號裡是 ⑪：⑩ 畫負號，⑪ 畫

3

。係數是負的，

f

的最大值發生在

sin

最小的地方。

第 11 題

- π \leq x \leq π

，所以

- 2 π \leq 2 x \leq 2 π

。在這個範圍內

cos θ = \frac{3}{2}

的角有

θ = \pm \frac{π}{6}

、

\pm \frac{11 π}{6}

，共

4

個。對應

x = \pm \frac{π}{12}

、

\pm \frac{11 π}{12}

，共

4

個解。

2 x

跑了兩個週期，每個週期

cos

等於

\frac{3}{2}

兩次。原卷答案格是一格 ⑫。

第 12 題令

t = 2^{x}

。

0 \leq x \leq 3

時

1 \leq t \leq 8

。

4^{x} = t^{2}

，

2^{x + 2} = 4 t

，所以

f (x) = t^{2} - 4 t + 5 = (t - 2)^{2} + 1

。在

1 \leq t \leq 8

上：最小值在

t = 2

，

m = 1

；最大值在離

2

最遠的

t = 8

，

M = 36 + 1 = 37

。

M + m = 38

。

t = 1

時值為

2

，比

t = 8

時的

37

小，所以最大值在右端點。原卷答案格是 ⑬⑭ 兩格。

第 13 題真數條件：

x - 1 > 0

且

x + 2 > 0

，即

x > 1

。換底：

lo g_{\frac{1}{4}} (x + 2) = \frac{lo g ( x + 2 )}{lo g \frac{1}{4}} = \frac{lo g ( x + 2 )}{2 lo g \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} lo g_{\frac{1}{2}} (x + 2) = lo g_{\frac{1}{2}} x + 2

。方程式成為

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{x - 1}{x + 2} = - 1

，所以

\frac{x - 1}{x + 2} = (\frac{1}{2})^{- 1} = 2

，

x - 1 = 2 x + 2

。兩邊平方：

x^{2} - 2 x + 1 = 4 x + 8

，

x^{2} - 6 x - 7 = 0

，

(x - 7) (x + 1) = 0

，

x = 7

或

x = - 1

。

x > 1

，所以

x = 7

。

代回檢查：

lo g_{\frac{1}{2}} 6 - lo g_{\frac{1}{4}} 9 = lo g_{\frac{1}{2}} 6 - lo g_{\frac{1}{2}} 3 = lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1

。原卷答案格是一格 ⑮。

06選填 E～H（第 14～17 題）：廣義角與和角公式、位數、指對數不等式

第 14 題

$cos 29 0^{\circ} = cos (36 0^{\circ} - 7 0^{\circ}) = cos 7 0^{\circ} = sin 2 0^{\circ}$ ， $sin 25 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} + 7 0^{\circ}) = - sin 7 0^{\circ} = - cos 2 0^{\circ}$ 。原式 $= \frac{3}{sin 2 0 ^{\circ}} - \frac{1}{cos 2 0 ^{\circ}} = \frac{3 cos 2 0 ^{\circ} - sin 2 0 ^{\circ}}{sin 2 0 ^{\circ} cos 2 0 ^{\circ}}$ 。

分子 $= 2 (sin 6 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} - cos 6 0^{\circ} sin 2 0^{\circ}) = 2 sin 4 0^{\circ}$ ；分母由二倍角公式 $= \frac{1}{2} sin 4 0^{\circ}$ 。所以原式 $= \frac{2 sin 4 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 4 0 ^{\circ}} = 4$ 。

關鍵是把兩個角都化成

2 0^{\circ}

的正弦、餘弦，分子湊成差角公式、分母湊成二倍角公式。原卷答案格是一格 ⑯。

第 15 題

lo g 3 6^{12} = 12 lo g (2^{2} \times 3^{2}) = 12 (2 \times 0.3010 + 2 \times 0.4771) = 12 \times 1.5562 = 18.6744

，所以

1 0^{18} < 3 6^{12} < 1 0^{19}

，

3 6^{12}

是

19

位數。題目的寫法

a_{n} \times 1 0^{n} + \dots + a_{0}

中最高位

a_{n} \neq = 0

乘的是

1 0^{n}

，

19

位數的最高位乘

1 0^{18}

，所以

n = 18

。

n

不是位數，而是位數減

1

（從

a_{0}

到

a_{n}

共

n + 1

個數字）。原卷答案格是 ⑰⑱ 兩格。

第 16 題

27 = 3^{3}

，底數

3 > 1

，

y = 3^{x}

遞增，所以

3^{x^{2} - 3 x + 5} < 3^{3}

等價於

x^{2} - 3 x + 5 < 3

，即

x^{2} - 3 x + 2 < 0

，

(x - 1) (x - 2) < 0

，

1 < x < 2

。

α = 1

，

β = 2

，

β - α = 1

。

原卷答案格是一格 ⑲。

第 17 題底數

\frac{1}{3} < 1

，

y = lo g_{\frac{1}{3}} t

遞減，而

lo g_{\frac{1}{3}} 3 = - 1

、

lo g_{\frac{1}{3}} 1 = 0

，所以

- 1 \leq lo g_{\frac{1}{3}} (lo g_{2} x) < 0

等價於

1 < lo g_{2} x \leq 3

（不等號方向對調，且已含真數

lo g_{2} x > 0

）。底數

2 > 1

，再化為

2 < x \leq 8

。整數

x = 3, 4, 5, 6, 7, 8

，共

6

個。

兩端的等號要跟著對調：左邊的「

\leq

」變成右邊的「

\leq 3

」，

x = 8

要算進去，

x = 2

不算。原卷答案格是一格 ⑳。

07選填 I～K（第 18～20 題）：取對數解不等式與方程式、對數圖形上的面積

第 18 題

lo g \frac{5}{4} = lo g \frac{10}{8} = 1 - 3 lo g 2 = 1 - 0.9030 = 0.0970

。

lo g 4000 = 2 lo g 2 + 3 = 3.6020

，

lo g 5000 = lo g \frac{1 0 ^{4}}{2} = 4 - 0.3010 = 3.6990

。不等式取常用對數：

3.6020 < 0.0970 n < 3.6990

，所以

37.13 \dots < n < 38.13 \dots

，正整數

n = 38

。

檢查：

0.0970 \times 38 = 3.686

，介於

3.6020

與

3.6990

之間。原卷答案格是㉑㉒兩格。

第 19 題

x > 1

，兩邊都是正數，取常用對數：

lo g x^{2 l o g x} = 2 lo g x \cdot lo g x = 2 (lo g x)^{2}

，右邊

lo g \frac{1000}{x} = 3 - lo g x

。令

u = lo g x

，得

2 u^{2} + u - 3 = 0

，

(2 u + 3) (u - 1) = 0

，

u = 1

或

u = - \frac{3}{2}

。

x > 1

時

u > 0

，所以

u = 1

，

x = 10

。

代回：

1 0^{2 l o g 10} = 1 0^{2} = 100 = \frac{1000}{10}

。另一根

u = - \frac{3}{2}

對應

x = 1 0^{- 1.5} < 1

，不合題意。原卷答案格是㉓㉔兩格。

第 20 題

A (k, lo g k)

、

B (k + 3, lo g (k + 3))

、

C (k, 0)

、

D (k + 3, 0)

。

k > 1

，所以

lo g k > 0

、

lo g (k + 3) > 0

，

A

、

B

都在

x

軸上方。

\overline{A C}

與

\overline{B D}

都垂直

x

軸、互相平行，四邊形

A C D B

是梯形，上下底長

lo g k

、

lo g (k + 3)

，高

\overline{C D} = 3

。面積

= \frac{( lo g k + lo g ( k + 3 ) ) \times 3}{2} = \frac{3}{2}

，所以

lo g k + lo g (k + 3) = 1

，

lo g (k (k + 3)) = 1

，

k^{2} + 3 k = 10

，

(k + 5) (k - 2) = 0

。

k > 1

，所以

k = 2

。

檢查：

lo g 2 + lo g 5 = lo g 10 = 1

，面積

\frac{1 \times 3}{2} = \frac{3}{2}

。原卷答案格是一格㉕。

疊合題先把

a sin x + b cos x

寫成

a^{2} + b^{2} sin (x + θ)

再看角的範圍；指對數題先寫底數與真數的條件，再化成同底或代換成多項式，最後別忘了檢查範圍。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

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平鎮高中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題圖上標出的 (0,1)、(1,0) 兩點在坐標軸上，曲線並沒有通過它們，要靠漸近線、遞減與截距的正負來判斷；單選第 4 題要先把強度相加再換回分貝，不能把分貝數直接相加；多選第 8 題平移要把 x 整個換成 x 減 3；選填 A（本頁第 10 題）展開後疊合，還要注意角度範圍內正弦的最小值。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～3 題）：疊合求值域、由圖形判斷係數

02單選題（第 4、5 題）：分貝、對數比大小

03多選題（第 6、7 題）：疊合後的性質、方程式有沒有解

04多選題（第 8、9 題）：圖形的對稱與平移、對數律

05選填 A～D（第 10～13 題）：限定範圍的疊合、三角方程式、代換成二次函數、對數方程式

06選填 E～H（第 14～17 題）：廣義角與和角公式、位數、指對數不等式

07選填 I～K（第 18～20 題）：取對數解不等式與方程式、對數圖形上的面積

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